232 E. Warburg

in der Werkstitte der f i n . Mechaniker B a r t e l s und D i e t r i c h in Gottingen unter Beihiilfe desHm.Dr. Meyer- s t e i n angefertigt. Der Preis eines Tangentenmultiplicaturs mit einfacher Nadel betrHgt 100 M.; die Gtebrauch eines ashtischen Nadelpaares auf 125 M.

Einrichting zum erhoht denselben

wi 1 h. W e b e r , welcher die elastische Nachwirkung ent- deckte, hat auch eine physikalische Vorstellung v& der Ursache dieser Erscheinung gegeben und zwar ruhrt nach ihrn dieselbe von einer Drehung der kleinsten Theile urn ihre Schwerpunkte her. I)

In der That, wenn man die elastische Nachwirkung dahin beschreiben kann , dam bei gleichbleibender Gestalt eines Korpers die Spannungen in demselben sich Hndern, so scheint vom Standpunkte der Atomistik aus die We- b e r'sche Ansicht der einfache Ausdivck der Thatsachen zu sein; es iat daher nicht zu vemndern, dass dieselbe Ansicht auch von andern Physikern ausgesprochen war- den ist.

Wliren nun die Molectile isotrope Kugeln, so kannten Drehungen derselben urn ihre Schwerpunkte keinen Ein- Auss auf die Spannungen haben; deshalb kann man vom Standpunkte der Atomistik die elastische Nachwirkung als ein Phihomen betrachten, welches durch die Ahweichnng der Molectile von der Kugelgestalt bedingt ist.

Das Stadium des Gleichgewichts eines Systems be- liebig geatalteter Moleciile schien mir daher ein physikali- sches Interesse zu bieten und Gesichtspunkte fUr das ex-

1) Pogg. Ann. LI\-. p. 9.

E. Warburg. 233

perimentslle Stadium der &&isohen Nachwirkung zu versprechen; r o h l mir bekmmt, id diesor Gegemtand noch nicht bearbeitet worden. Eine ad doneelbem beztig- liche Unterspchung bnbe ich in den BsriaBten der natur- forschenden (;)ss&haft ma Freiborg i Br. rer8ffentlicht. I)

Ea hat sich dabei ergeben, desa die Theo~e die elasti- ache Nnchwirktmg, insbesondere auch die Beobachtungen des Hrn. Braun'), qualitativ erkkt, eowie einige biaher noch nicht begbaahtete Thatsachen vomuasehen 1Hsat.

Hr. Neesen hat auch eine auf atomistischen Hypo- thesen beruhende Theorie der Nachwirkung gegeben ? ; der Unterechied der Neesen'schen Vorebllungen von den hier zu entwickelndem nird geniigend bezeichnet d m h die Angabe, dam bei Neesen die Gteetelt dm Moleclile keine Rolle epielt. - L. Boltzmann') bat eine nicht auf ato- miatischen Hypothesen beruhende Theorie der elastiechen Nachwirkung d p s t e l l t , der Erfolg eines bestimmten Ex. perimentee ist aoch d i e m Theorie w berechnen und hat dieselbe ftir dw experimentelle Studinm der Nachwirkung sich als niitslich erwieeen; indesaen liefert sie nicht das von Hrn. Braun beobachtete PhHnomen.

D e d d b gbube ich, obgleich die von mir verfolgte Hypothese noch nicht soweit entwickelt iet, dass quantita- tire Bestimmungen am deraelben abzuleiten wiiren, dennoch die bisher gewonnenen Resultate mittheilen zu dtirfen, wobei ich mich bea l i ch der Beweise auf die genannte -4bhandlung berufe.

Die Aufgmbe, welche gestellt wird, ist folgende: Gege- ben i a t ein S p h beliebig geetalteter, gleicher, starrer Mole- ciile, deren sohwarpunkte im natklichen Zaetande gleich- formig angeordnet sind; ferner die F'erschiebungen der

1) Ber. d. MW. Gter. zn Freibnrg i. Br. M L Heft 2. 2) Pogg. Ann. CLIX. p. 335-98. Eise b;hnliche Erkliirnng iet

ichon von Hm. Brann am Sahlwse r h r Atbeit angedentet, aber nicht entwibkelt rodeo.

3) Pa. Ann. CLVII. p. 579 fl. 4) Pogg. Ann. Etgbd. VII. p. 6'24 ff. Wien. Ber. LXLI.

234 E. Warburg.

Schwerpunkte fiir einen Zustand, der von dem natiirlichen unendlich wenig verschieden ist. Es sollen erstens die zum Schwerpunkt relativen stabilen Gleichgewichtslagen der MolecUle fur diesen Zustand gefunden werden; zweitens sollen die Spannnngen fur den Fall, dass die Moleclile in ihren stabilen Gleichgewichtslagen ruhen, berechnet und verglichen werden mit den Spannungen fi den Fall, dass bezaglich der Einstellung der Molecule 'an jeder Stelle keine Richtung des Raumes bevorzugt ist.

Diese Aufgabe wird ge16st unter der Annahme, dass die linearen Dimensionen d der Moleciile unendlich klein sind gegen den Abstand T ihrer Schwerpunkte. Die La- sung beruht g8nzlich 8uf der Entwicklung des Potentials des Systems in Bezug auf ein beliebiges seiner Moleciile.

0. 1. Vm diese Grosse zu bilden, wird zuerst im 0. 1 das Potential U zweier Moleciile 1 und 2 aufeinander entwickelt. f(t) wird das Potential der Masseneinheit in Bezug auf die Masseneinheit genannt , beide Einheiten je in Punkten vom Abstand r concentrirt gedacht; iiber die Function f wird nur vorausgesetzt, dass P ..t"(r) , r8 .f '(r) , r3 .f"'(r) nicht sehr gross sind gegen f ( r ) ; das Vorzeichen des Potentials wird so genommen, dass dessen Abnahme die von den wirkenden Krtlften geleistete Arbeit an- gibt. Das Potential von 1 auf 2 hangt ab von dem Abstand der Schwerpunkte und der Lage der Haupttrw- heitsaxen der beiden Moleciile gegen die Verbindungslinie ihrer Schwerpunkte. Man findet denjenigen Theil desselben, melcher von der Richtung der Haupttrikgheitsaxen von 1 gegen die Verbindungslinie der Schwerpnnkte abhllngt, unabhilngig von der Richtung der Haupttrllgheitsasen von 2; d v u s ergibt sich, dass die Gleichgewichtslage von 1 relativ zum Schwerpunkte von 1 unabhlngig ist yon der Lage von 2 relntiv zum Schwerpunkte von 2; dieses Ver- halten, welches daher rlihrt, dass unendlich klein gegen die Eioheit ist, triigt wesentlich zur Erleichterung der weiteren Untersuchung bei.

d

E. Watbwg. 235

0. 2. Zu der Entdcklung des Pobntirls W des gsn- Zen Systems in Bomg auf ekes seiner Molecale 1, der Aufgabe des 0. 2, ist Folgendes 90 bemerkea

I n der Theorie ruhender Bfoledh von PoiPson und Cauchy m w man sich bekanntlioh, urn das Gleichge- wicht im nattirliohen Zustsnde zu erhrriten, die Molecular- krilfte bei gewi8sen Entfernungen anaiehend I bei anderen abstossend denken. Nach den Ansichten der mechani- schen Whmetheorie kann man rich die Molecularkr&fte dnrchweg amiehend voletallen ; am Zwammenfallen wird das System gehindert dnrch die Stl)ere der Molectile gegen einander, welche St6sse man doh alsdann ersetzt denken muss durch abstossende KrHfte, die in den Schwer- punkten der Molecfile angreifen, da die i9tiisse wegen ihrer Unregelmhsigkeit eine bestimmte Bichtung der Molecfile relativ zu ihren Schwerpunkten nicht hervonubringen streben. *

Wenn man daher mit ruhenden Molecillen rechnen will, 80 muse xnan dem im 0. 1 gefundenen Potential U das Potential jener Eraatzkraft, welobs m1 m1 . cp (r) sei, hinzuftigen, um dae Potentiul 0 s von 2 auf 1 in dem System zu erhalten; daher:

(1) Us = U+ m,mz. tp(r).

Diese Betrachtung soll darauf hinweisen, dass die mit f(r) bezeichnete Function hicht diejenige iet, von wel- cher der ron der Richtung der Molectile unabhilngige Theil der Spaanungen abhHngt.

Es wird nun zur Lbsnng der gestellten Aufgabe nur erforderlich sein, denjenigen !l!heil W, ron H? zu bilden, welcher von der Richtung der Eaupttragheitsaxen von 1 abhKngt; diem iet gpnnlich unabh&& von cp(r).

Die Deformrtion, welche daa Spbn erfahren hat, wird in gew6Mcher Weise suss iqdem man das- selbe auf ein rechtwinkliges Coordhtmsystem z, y, z bezieht, z, y, x die Coordinoh dss 8dmerpunktes eines Nolectils im natWichen Zustrnie nennt, z + u , y + c,

236 E. Warburg.

z + w dieselben Grossen nach der Deformation; wir setzen

d r - u2, Die Richtling eines Moleciils relativ zu seinem Schwer-

punkte wird festgelegt durch die 9 Richtungscosinus a, a', a"; b, b', b"; c, c', c" der Haupttragheitsaxen desselben, welche A, B, C genannt werden, gegen die Coordinaten- axen.

Sei ferner m die Masse eines Moleclils, u, p, y seien die Coordinaten eines Massenelementes dm in Bezug auf ein durch den Schwerpunkt des BIoleciils gelegtes Coor- dinatensystem, dessen k e n die Haupttragheitsaxen A, B, C sind, so werde:

au- B U = uy etc.

gesetzt, wobei die Integrale uber die Masse m zu er- strecken sind.

Bei diesen Bezeichnungen findet man nnch den Me- thoden von P o i s s o n und Cauchy ftir ein Molecul 1, dessen WirkungssphiSre ganz im Innern des Systems liegt, wenn man setzt:

(4) ITl = R, (x2 + + r$) + No (71s + ry + %)'+ N . 212 +N' . v , + Y . ws + T ( u y + vz) + T'(u, + ?c9) + T" (20, + us) .

R nnd k' sind Constanten, welche von der Beschaffen- heit des Systems im natiirlichen Zustande abhhgen ; A, = 5R. Das Vorzeichen der Constanten 2 (3R + A') h h g t von der Beschaffenheit der Function f ab; urn eine be- stimmte Vorstellung zu haben, wollen wir annehmen, dass diese Grosse in sich negativ sei und daher:

237

setzen. E'erner aollen wir immer voraussetzen:

(6) %a > IS > , p a .

Die 9 GrOsaen 4, a' etc., +on welchen die Werthe N, N', W, T, 2"' abhhgen, enthrdten bekanntlich 3 unabhgngige Variable und jedes Werthayetem dieaer, das W, zu einem Minimum macht, entapricht einer sta- bilen Gleichgewichtdage.

Bus denFormeln (3) und (4) ergibt sich znnllchst als allgemeine Conoequew , dass in den Gleichgewichtelagen der Moleode deren Haupttrbgheitsuea die Riohkngen der Hauptaxen des Elasticititsellipsoids haben. l)

Wir heben h e r hervor, darn, wie die Formeln un- mittelbar zeigen, die Gleichgewichtelage der Moleciile re- lntiv zu ihretn Sahwerpunkten nicht von dem abeolaten Werthe der W e n us, % etc., soadern nur von deren Verhilltnise a b w ; ao ist aie 2. B. bei tier Torsion un- abhlingig vom Tomionawinkel. Ihgegea ist das Drehungs- moment, welchee tin am der Gleichgewichtdage heraua- gedrehhs Molecfil in diem zurUekzuf8hFen aucht, der Grasse der Deformation direct proportional. Diea ergibt sich aus (4) menn man beachtet, dass -=, -=, aF1 awl die

Componenten des genannten Drehmgsmomktes nach den Axen A, B, Csind, wobei p , q, t Drehungen urn diese Axen bedeuten.

Was nun specielle FUe betria, so sieht man zu- nlchst, dass sowohl Air den natitrlichen Zustand (u = v = tr.= 0) als hir den Zustand einer gleichfirnligen Com-

1) Diesen Sate hatte ich in der friihemn Arbeit nicht bemerkt. Urn ihn an beweiseo. nenne man p , q. r Drehungen am die Axen d. B, C ; dann sind die emten Bedingungun einer Maximama oder Minimums

P 0 , a% = 0 I 0. Btelit man diese Gleiohnn- a;. a0 ar von w,: ~a ~1

gen auf and wahlt die Axen des ElrrticitiitreUpaoidr zu Coordinrten- axen, so erbiilt man leicht den im Terte rusgesproahenen Satz.

238 E. Wurbur~.

0) pression (u, = vy = w,; uy = v, = w, = u, = v, = wy = W., in Bezug auf die Grassen u, b, c constant wird, also in diesen beiden FQlen das Gleichgewicht der Moleciile relativ zu ihren Schwerpunkten ein indifferentes ist. In dem folgenden Paragraphen werden die stabilen Gleich- gewichtslagen filr den Fall der Torsion und Dehnung eines Drahtes von kreisfbmigem Quenchnitt ausgerechnet und die Resultate Rind folgende.

0. 3. Torsion. Es gibt nur eine stabile Gleichge- wichtslage. Bei dieser fallt die B-Axe in den Radius vector des Punktes, den man betrachtet, wbhrend die bei- den andern Haupttrtigheitsaxen Winkel von 45 O mit der Drahtaxe bilden. Urn die Lage der b e n A und C roll- etandig zu beschreiben , denken wir unser Auge im freien Ende in der Axe des Drahtes und betrachten einen Pnnkt Y eines Drahtquerschnittes , dessen Mittelpunkt 0 sei. Die B-Axe im Punkte P hat die Richtung des Radius vector OP. 1st der Sinn der Torsion der positive, so er- scheint uns der Querschnitt gedreht in einem Sinne ent- gegengesetzt der Drehung des Uhrzeigers bei uns zuge- kehrtem Zifferblatt; blicken wir nun die an unserem Auge vorilberlaufenden Theile und A, der Axen C und A an: so ist die Drehung, durch welche C, auf dem kiirze- sten Wege in A1 iibergefiihrt wird, such dem Laufe des Uhrzeigers entgegengesetzt.

Wir setzen noch die Componenten des Drehungsmo- meates nach den Axen C, A, B hierher, welches ein aus seiner Gleichgewichtslage herausgedrehtes Molecill in die- sellie zurnckzafilhren strebt. Dieselben sind fnr ein Mole- citl, dessen Schwerpunkt von der y-Axe getroffen wird (in- dem die z-Axe in die Richtung der Drahtaxe Tom be- festigten nach dem freien Ende hin gelegt wird):

E. Warkg . 239

Hier ist 1 die Unge des Drahtes, 4. der Torsionswinkel, p der Radius vector des betrachtobn Punktea.

Bei der Dehnung ist ein Molectll beall&& einer D r h um die Axen B und A dam and nur d a m im sbbihn Gleichgewicht, wenn die A - h e die Bichtung der Dnhtaxe hat; beaiig- lich einer Drehung um die A-Axe iet dabei das Gleich- gewicht ein indifferentes. Bei der Compression tritt die C-Axe an die Stelle der A-Axe.

Derselbe A u s d d W, nun, welcher die stabile Gleich- gewichtslage der Moleotile kennen lehrt, dient eur LBsung des eweiten Thailes der Aafepbe, namlich KW Ermittelung der Spannungem oder Dmckcomponenten; diese Aufgabe wird im 4. 4. allgemein behandelt.

0. 4. 1st W das Potential des Systems beztiglich eines Molecttle, deseen WirkungaeahHre ganz im Innern des Systems liqt, 80 eind die Druckwmponenten an des- sen Stelle, wenn a die Zahl der Molectile in der Raum- einheit bedeutet:

D e h n u n g u n d Compreeeion.

Wir haben es hier nur zu thun mit demjenigen Theile der Druckcomponenten, welcher a b h g t von der Richtung cler Molectile. Fiir diesen Theil kommt nur der von der Richtung der Molectile abhlingige Theil des Potentials W in Betracht. Wir wollen diesen Tbeil yon W durch %I bezeichnen und die entsprechenden Theile der Druckcom- ponenten durch Xs, 3Ey etc. Dam ist:

s,= - asl, -.- n p--.- etc. aU, 2 any 2

Unter der Voraussetzung, dass innerhalb der Wir- kungssphiire der Molecularkrlifte die Richtung der Mole-

1) 5. C. Neumann. Crelle's Journal 5'7, p. 298. Die Gfisaen 4, XI eta. brauche ioh in der Bedentung, welche

K i r c h h o ff ihnen in seinen Vorlesaqen beilcgt.

240 E. Warburg.

ciiie sich nicht merklich iindert, folgt aus dem Werthe yon U sogleich, dass man hat:

wo W, die 0. 2 angegebene Bedeutung und den in Glei- chung (4) angegebenen Werth hat.

Auf diesen Fall lasst sich auch derjenige zurtickfiihren, in welchem an jeder Stelle die Heupttrligheitsaxen nach allen Richtungen des Baumes gleichmassig vertheilt liegen. In Flillen, in welchen die Molecllle in ihren stabilen Gleich- gewichtslagen rnhend gedacht werden, kommen aber Stel- len des Kbrpers vor, an welchen innerhalb der Wirkungs- sphare die Richtung der Molecille sich erhe blich iindert ; solche Stellen sind z. B. in dem Falle der Torsion nacli 0. 3 die der Drahtaxe nahen. Wir gehen hier auf die Betmchtung solcher singulgren Stellen nicht ein. Nimmt man an, dass an solchen Stellen die Druckcomponenten Xz etc. yon derselben Ordnung sind, wie an den anderen, und dass sich eine Lgnge angeben lbst , welche sehr gross ist gegen den Radius der Wirkungssphiire und sehr klein gegen den Radius des Drahtes, so kann man bei einem solchen Drahte die singuliiren Stellen vernachlissigen. Ferner gilt filr Punkte, welche der Oberfliche des Korpers so nahe sind, dass ihre Wirkungssphare zum Theil ausser- halb des Karpers fillt, meder Gleichung (4) noch Glei- chung (10). Auch mit solchen Stellen beschaftigen wir uns hier nicht; dieselben wiirden zu beriicksichtigen sein, menn man in der Theorie der Capillaritit fester Eorper die Ausdehnung der Xoleciile berticksichtigen wollte.

EW Stellen, an welchen die Gleichung (10) besteht, hat man nach Gleichung (4):

Z = = - n . ( N +No) X,,= -1i.T gz= - n . T (11) By= - n . ( N +No) & = - n . T ” .

(10) m = 2w;,

{ 8,- -n . (N”+No) Diese Werthe sind unabhingig von u2, uY etc., da mir

Pi3 nur bis auf Grijssen 1. Ordnnng beziiglich jener Zah- len entwickelt haben. Sie gelten daher insbesondere fiir

E. Warkg. 24 1

einen Znstand des System, in mhhm die Elchwerpunkte der Molectile ihre Mtatlidm aimdunen, aber die h e n in bestimmh Weise &ahtot h d and innerhdb der W i r h q m p k dime Ricktwq ach nicht meaklich iindert. Man ]uan moh tibrigens ldoht ilbermngen, dass die Wertbe der Gleichungem (11) auoh nach der von C au c h y bei seiner Untersuchung einm Sptems materieller Punkte befoldtgn Methodel) erhdten worden; man geht dabei a u ~ von der Eraft, mit w d h r mei gleiche gleich gerichtete Molectlle adeinander *ken, und deren Com- ponenten nauh dea Ooordinatenaxem apll dem Werth U 4. 1 zu berechaeza sind.

Wir wolkm noch die Werthe 5, etc. bestilnmen Air ein System, in welchem die Axen d, B, C an jeder Stelle nach allen m6glichen Bichtungen in gleicher Webe ver- theilt sind, d jene Werthe * diesen Fall durch 50, etc. bezeichnen. Wir lctkrnen dieses Sphm OnflFaSsen ah eine Uebereinanderlqerung unendlich rietSr Systeme, von denen jedes eine u n d & kleine Dieh*kd hat und in deren jedem alle Mulectlle gleich gsrichtet a i d . Durch diese Betrachtungsweiae h d e t man:

= 8: = - n.N, + 2 ~ . + A' +- pq =

3 = g = 9: = 0. (12) {

Unter der Vorauswtznng, h a die Gleichung (10) iiberall beateht, Meat sich folgender Sat% beweisen:

Wenn ein elaatischer Kbrper unter dem Eiduss von Kriiften, die auf seine Oberflilche wirken, eine gegebene Formllndernng erleidet, so ist die dabei mn dieeen KrPf- ten geleietete Arbeit ein Minimum, wenn wHhrend der Formverbnderung die au ihren Schwerpunkten relative Lage der Molecllle die dieser Formterllndernng entspre- chende stabile Gleicbgewichtslage ist.

Far die Auffmung dieses Satsee ist ea wesentlich 211 bemerken, dam die stabile Gtleichgewiehblage ton der absoluten GTbsse der Werthe u,, vv etc. unabhPngig ist

'1) hernicer de rmrtbCmatiqner. I11 annh. Paris 1828. p. 218. A n n d. Phys. n Cbm. 3. F. IV. 16

(14)

hungsmoment : 2nR3

3 ?1 .Y(G - *$). - * d’= - I

Dime Krme ergeben nnch bekannten Methoden 1) fur die Mantewitche die constante Drpckkraft

PI = n(2Raf3 - No)

2) fiir die Endfliche die constante Druckkraft

in der Richtung der innern Normale und das Dre-

in der Richtung der innern Normale.

P* = 12 [fa (%* + p3) - No]

242 E. Warburg.

und nur von deren VerUtniss abhangt. Die stabile Gleichgewichtslage der Moleciile ist also schon eine be- stimmte, wenn ein unendlich kleiner Theil der Formver- iinderung stattgefunden hat, und iindert sich nicht in deren Verlauf,*indem wir uns namlich vorstellen, dass das Ver- hllltniss der Grassen u,, uy etc. w&hrend des ganzen Vor- gtmges das namliche bleibt.

Riickaichtlich des Beweises wird auf die ausfiihrliche Abhandlung verwiesen.

Die vorstehenden Entwicklungen werden nun im 4. 5 angewandt auf den Fall der Torsion und Dehnung.

0. 5. Torsion. Nehmen wir an, ein Draht von kreis- fdrmigem Querschnitt werde tordirt und stellen uns weiter vor, die Moleciile befinden sich relativ zu ihren Schwer- punkten in ihren stabilen Gtleichgewichtslagen, so mollen wir iberechnen, welche Krilfte auf die Oberflhhe des Drahtes wirken miissen, damit der beschriebene Zustand ein Gleichgewichtszustand sei.

Bus dem von der Richtung der Moleciile unabhitngi- gen Theil von W ergibt sich bekanntlich ein auf den unteren Drahtquerschnitt wirkendes Drehungsmoment:

wo: R der Radius des Drahtes und s eine Constante ist. Dazu kommen nun die von ?B herriihrenden Krafte, welche mittelst der Gleichungen (3) und (11) berechnet werden, indem die Werthe der a, b, c aus der Untersuchung des 4. 3 bekannt sind.

A = - . - 4.B n a , (13) 1 2

E. Whtbrrrg. 248

Es ist nun von Wichtigkeit, an bemerken, daras A' und d entgegengeeetatee Vomhhen haben; es ist dies nicht etwa eine Folge davon, d s ~ wir in Gleichung (5) die Annahme gemacht haben:

denn hbtten wir 2(3k + A') = +y > 0 gesetzt, so wire die stabile Gleichgawichtalrrge eine andere geworden, und mar witre die C-Axe an die Stelle der A - h e getreten und umgekehrt; wben wir daher von dieser Annahme aus- gegangen, so hiitten wir erhalten:

2(3A+A') = - p < o ,

was mit dem Werth (14) Ubereinstimmt. Fur die Anwendung der Thmrie ist es vornehmlich

von Interesse, die Dmckkrhfta fib die stabile Qleich- gewichtslage der Moleogle zu verglaichen mit den Druck- kriiften, welche bei gktiohf6rxuiger Vertheilung der Axen A, B, C nach allen Bichtungen des Banmea stattiinden. Fiir diesen Fall ergibt (12) einen Druck in der Richtung der inneren Normale:

No) * 9 + I' + p -

PO= n.(2f'. 8

Stellen wir ua8 nun vor, ein Draht werde tordirt und nehmen an, die MolecUle gingen am ihrer nstltrlichen Lage in die der Torsion entsprechende stabile Qleich- gewichtslage iiber, so fragt es eich, welche Druckkriitte man den schon vorhandenen hinxufilgen mum, urn den Draht im Gleichgewicht 2u erhlten. Nnch Qleichung (14) und (15) muss man h i d g e n :

auf der Mantelflbche den Druck in der Richtung I der inneren Normale:

q - PO I ( ( 1 2 - p) - - as)) 3

auf der Endf l i che den Druck:

244 E. Warburg.

I und das Drehungsmoment: 2n.p

3 A'= - - (x*-pC1.B).nR3.

Das Drehungsmoment, welches den Draht tordirt er- hillt, muss also nachlassen , eenn der Draht in seiner Lage verharren SOU. Wird der Sinn der Torsion umge- kehrt, so wechselt A' das Zeichen, wiihrend PI - Yo und PB - P o ungelindert bleiben.

Wilhrend das Voneichen von A' immer dem Zeichen der Torsion entgegengesetzt ist, h h g t das Voneichen von PI- PO und P g - P von der Gestalt der Moleciile ab. Wilren z. B. diese abgeplattete Rotationsellipsoide (Aa= d), so mitre PI - PO positiv, wiiren sie verliingerte Rotations- ellipsoide (A* = @), so ware PI - PO negativ.

D e h nun g. Ein Draht von kreisformigem Querschnitt werde gedehnt; die Moleciile sollen sich dabei in den dieser Deformation entsprechenden sbbilen Gleichgewichts- lagen befinden; wir suchen die Drucke, welche auf die Ober- Aiiche wirken miissen, damit der beschriebene Zustand des Drahtes ein Gleichgewichtszustand sei.

Nach 0. 3 ist ein Moleciil beziiglich einer Drehung urn die Axen B und C im stabilen Gleichgewicht, wenn seine A-Axe nach der Stabaxe gerichtet ist, dabei ist be- idiglich einer Drehung urn die A-Axe das Gleichgewicht ein indifferentea; wir nehmen daher an, dass die B- und C-Axen in dem Querschnitt an jeder Stelle desselben nach allen Richtungen gleichmiissig vertheilt sind. Unter dieser Annahme h d e t man fttr die Mantelfliiche den Druck in der Richtung der inneren Norinale:

ftir die f r e i e Endflilche den Druck in der Richtung der inneren Normale :

daher, indem P o in derselben Bedeutung a i e vorhin, Glei- chung (15), gebraucht wird:

P* = n (No- 2f2%?),

E. Warbwg. 245

fur die ManteWhe den nach innen gerichteten [ Normaldraclt:

2 n . P I. 3

PI - Po ist nothwendig negotiv, Pa- Po aber positiv. Gehen daher bei der Dehnung die Molecule aus ihrer nattirlichen in die stabile Gleichgewichtdage fiber, so muss dabei, wenn die Deformation bestahen bleibem soll, die Zug- kraft, welche auf die EndflOche wirkt, nachlassen, auf der Mantelfllkha aber eine %aft angebrscht werden, welche den Stab hindert, sich weiter in die Quere w contrahiren.

Bei der Compression stellt. sich die C-Axe in die Btabaxe, die Lage der A- und 8-Axe im Querschnitt bleibt unbestimmt and wir erhalten W r die entsprechen- den Werthe von PI - Po und Pa -PO, indem wir pa an die Stelle von xa treten lassen, daher fur die

Compression:

\ YanteMkhe PI- PO = + ST ((is+) + ( ~ ' - p ? ) ~

1 freie EnWche P, -PO = - %!? 8 ((As-p? + (z'- p?).

Es ist hier Pl-Po positiv, P,-Po negativ. Sol1 da- her der w m p M Stab bei dem Uebergrrng der Molectile aus ihrer natWcben Lage in ihre stabile (3leichgewichts- lage seine Gtestalt nicht hdern, 80 muss die Divckkraft auf der Endibhe nachlassen, a d die Bdantelfliiche aber eine Druokkdt wirken, welohe den W b hindert, sich weiter in die Quere zu dilatiren. Dabei iat bemerkens- werth, dam, wenn nicht gerade P - p a o #'-Aa, der Werth, urn den bei der Dehnung die ZtyLroft noohlassen muss, verschieden iet o m dam We*, nm den bei der Compres- sion die Draollraft nachlaasen mus8.

(18)

246 E. Wcirlurg.

Zum Schlusa fiige ich einige Worte dariiber hinzu, wie ich mir auf Grund der erhaltenen Resultate die ela- stische Nachwirkung vorstelle. Ich gehe dabei aus von den Anachauungen der mechanischen Wlrmetheorie, nach welcher die Moleciile der Kbrper sich in lebhafter Bewe- gung befinden, welche Bewegung theils besteht in Trans- lationsbewegungen der Schwerpunkte der Molecule theils in Bewegungen der Molecifle relativ zu ihren Schwer- punkten. Trotz der unregelmilssigen Bewegung, in wel- cher die MolecUle begriffen sind, kann man doch von einer mittleren Anordnung derselben reden, indem man daninter diejenigen Lagen versteht, von welchen sich die Molecule w&hrend einer hinreichend langen Zeit ebenso weit in dem einen wie in dem anderen Sinne entfernen. Unter der An- ordnung der Moleciile sei im folgenden immer diese mitt- lere Anordnung verstanden, unter den Axen der Moleciile ihre Haupttrllgheitsaxen.

Im natiirlichen Zustand eines isotropen K6rpers sind die Schwerpunkte der Molecifle nach allen Richtungen hin gleichfdrrnig angeordnet und ist daher keine Directions- kraft vorhanden, welche die Axen eines Noleciils in be- stimmter Weise einzustellen suchte ($. 2). Daher nehme ich an, dass im natiirlichen Zustand die Axen der Mole- tale 'an jeder Stelle des Eorpers unregelmlssig und so liegen, dass keine Richtung im Raum vor einer anderen ausgezeichnet ist. Stellen wir uns nun vor, ein solcher Karper werde deformirt, z. B. ein elastischer Draht tordirt, drrnn wirkt auf jedes Moleciil in der mittleren Anordnung des Systems ein Drehungsmoment, welches die Axen des Moleciils in eine bestimmte Lage einzuatellen sucht, und dieses Drehungsmoment ist bei gleicher Position relativ zur stabilen Gleicbgewichtslage proportional der Grbsse des Torsionawinkels (8. 2). Es wird infolge dessen die zum Schwerpunkt relative Bewegung des Moleciils ver- mehrt werden um einen Betrag, welcher wlchst mit der Grasse der Torsion. Ich nehme nun an, dass daa WBrme- g le ichgewicht fiir eine bestimmte Temperatur eine be-

E. Wwbury. 241

s t immte mittlere lebendige Kr& der m m Schwerpnnkte relrrtiven Bewegang dordert; dahm rirB durch das Ein- zutreten des genaunten Betraps daa W&rmegleich&cht gest6rt w& d mine He- eine Vdeine rung der Excursionen des Moleettla von seiner stabilen Gleich- gewichtslqp srfbrdern; es werden dLher die Moleciile ihren stabilsn Gleichgewichbhpn g enbh e r t wnerden, und m a r um so miter, j e grkser die 'Parsion; denn um so graeedr dae Drehungsmoment, nm so lrteiner muss bei glei- cher lebendiger K& die 8ch-litude werden.

Die Eerstellung des Wbmegbiehgewichts wird ver- mittelt durch die Wirkung (&&me) der Moleettle aaf ein- nnder, nnd es wird eine gewisee &it hnern, bis dasselbe eingetreten ist.

Wird daher ein Draht tordirt d auf einem bertimm- ten TorsionsainLel erhdten, so nphern sich mit der Zeit die Nolecnle bis mf einen gewissen Grad ihren stabilen G l e i c h g e w i ~ ~ n ; dabei aber nhmt 8ae Torsionsmoment ab, welches den Draht in seiner abgelenkten Lage m er- halten nbchig ist (8. 5).

Ftihrt man miter, nochdem dies geschehen ist, den Draht in seine urepfingliche Lage Onruck, so aind die MolMle noch in bestimmter Weiw hgeotellt und diese Einstellung verliert sich erst d l d h h . So lange aber jene EinsteUung besteht, muss a d den Drrrht, wenn er in seiner natftrlichenhge festgehalten werden SOU, ein Dre- hungmoment wirken, dessen Sinn dem S h e der Torsion, die h h e r beahad, mtgegengeseht irt (4. 5); diems Dre- hungemomat terfiert sich in dem Ildrsre, ah die Mole- cule ihrer net&li&en unregelmoseigeri Lage wider sich zu bewegen.')

1) Ea orhmert worden, d u o d u Ik.bungsmonent, welshes ein M o l d is 'mine Wile Gleiohgewioh- einzwbllen mucht. nach Gleiahuag (7) doxu B.dillr redor cbr b&r&aden Moleciilr pro- portional ;rt, dro m~ den Itand hm nkhrt; em k u ~ n dduroh unter UrnrtLlnden ein etrru eompliairtea VerUtem h i der Tolaionmachwir- knng eintreten.

248 6 Warburg.

Es muss daher ein System, wie wir es betrachtet haben, Phlinomene zeigen, welche der elastischen Nachwir- kung entsprechen.

Urn noch eine Anwendung auf die Braun'schen Ver- suchel) zu machen, nehmen wir an, ein Draht, welcher eine Zeit lang tordirt erhalten war, werde sich selbst tiber- lassen, nachdem die Schwingungen, die er etwa ausftihrt, beruhigt sind; er wird dam, Venn kein Drehungsmoment auf ihn wirkt, etwas tordirt bleiben, indem die Molecue k e n 0. 3 berechneten atabilen Gleichgewichtslagen noch genlhert sind, und erst in dem Masse, als dime Echtung der MolecUle sich verliert, in seine urspriingliche Lage zurtickkehren. Llsst man nun, wiihrend dieser Process vor sich geht, eine dehnende Kraft wirken, so streben die Molecule den 0. 3 fur die Dehnung gefundenen stabi- len Gleichgewichtslagen zu, fiir welche das Torsionsmoment Null ist (4. 5); daher wird durch die Dehnung die Tor- sionsnachwirkung abnehmen. Es werden daher Phanomene eintreten, d e sie Hr. Braun beobachtet hat.

Noch sei erwaht, dass nach der entwickelten Theorie ein Draht sich bei der Torsionsnachwirkung je nach der Gestalt der Moleciile in die Quere zusammenziehen oder ausdehnen muss (0. 5); sowie, dass die Nachwirkung bei der Dehnung im Allgeminen von der bei der Compres- sion eintretenden verschieden sein muss (3. 5); Beobach- tungen dartiber sind mir nicht bekannt.

Zu einer eingehenden Vergleichung mit der Erfahrung sind die entwickelten Vorstellungen deshalb noch .nicht reif, weil der Erfolg eines bestimmten Versucha sich noch nicht quantitativ berechnen llast. Ich fiige nur noch hinzu, dasa nach den vorstehenden Entwicklungen bei einem System ausgedehnter Molectile eine jede Deformation, wenn aie nicht eke gleichfdrmige Compression oder Ausdehnung ist, nothwendig begleitet ist von einer Erzeugung von Be- wegung der Moleciile relatiy zu ihren Schwerpunkten, -

1) Pogg. Ann. C'LIS. p. 337-93.

0. E. Msyct. 249

d. h. von einer WHtmeproduction, a€so von einem mt- aprechenden Verbt msohoniehr Faeqie. GteaieaO !Chat- sachen, welch8 die Bbibpne der kopfbmn Flii@keiten bettreffen, sohsiaen mir k u f hiaaraairen, drres bei die- eem Phllnomen die gemnnta Art der Wbeemugung eine bedeutende Bob spielt

Fre ibu rg i/Br., am 25. April 1878.

D i e Beobachtupgen und theoretischen Betrrrohtnngen, wel- che ich in diewr Abhandlung mittheile, hPbea den Zweck, ein Urtheil fiber 4en Werth r d & w Theorien zu gewinnen, welche m u Erkkmig il# ekdachen Nachwir- kung aufgestellt wordsn sind. I& beqmmhe der Reihe nach einen von mir d b a t gemachten Vexsuch, dam die von B o i t z m o a ~ and daranf die von Neeaen entickedte Theorie. Enduah wade ich mich zu den von Weber und von K o h l r a u s c h aufgestek Hmotheeen und schliease mit einigen Fomeln, welche niaht den Ampruch erheben, eine v o h h d i g e Theorie zu emthalbn, welohe jedoch einen von Kohlrausch ausgeaproohenen G e U e n in einer mit den Beobeehtungen nbereiarfimmmden Weise mathematirch wid-- scheinen.

1. Die Theorie der elaetiechen N d w i r h q , welche ich vor einigen Jahrenl) zu entic- vereuoht habe, geht von der Annahme am, dam in featen Kbrpern ebeneo wie in 0Uwigen and l&rm@n, eine innere Eleibung zwiachen ungleid bew-n Theilsn wirke. Am dieser Eypothese w i d die Dhmpfung berebet, welche Schwin- gungen eines elastischen Drahtes durch die innere Rei-

1) Pogg. Ann. CLI. p. 108.