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l~ber das von Neumannsche Minimax-Theorem

Hcrrn gos~F MwIX~R zum 60. Geburtstag gcwidmet

Von

Hxit;z K6sm

Diese Note wurde durch den in GLICKSBERG [4, S. 116] enthaltenen Beweis des Minimax-Theorems veranlaI~t. Sie liefert eine umfassende Version des Theorems, die wie das Minimax-Theorem von KY FAN [2, Theorem 2] yon aller Vektorraum- struktur abstrahiert und dieses noch etwas fibertrifft. Der wesentliche Punkt ist aber der Beweis des Theorems, der mir besonders iibersiehtlich und informativ er- seheint. Das Minimax-Theorem entsteht dutch dh'ektes Kombinieren eines ,,kon- vexen" Satzes mit einem ,,konkaven" Satz, die sich beide auf sehr einfaehe Weise aus den Grundtatsachen der Funktionalanalysis herleiten lassen. Der ,,konvexe" Satz ist eine unmittelbare Konsequenz des Satzes von Itahn-Banach, die bisher anscheinend nicht bemerkt wurde, und eine darin enthaltene Variante des Satzes von Dini. Diese Vorstufe des Minimax-Theorems laBt sieh selbst schon nfitzlich an- wenden. Wir betraehten hierzu ein k]eines Beispiel aus der Theorie der logarithmisehen Kapazitiit. Der ,,konkave" Satz ist das im letzten Abschnitt bewiesene Schwerpunkt- lemma. Das Lemma wird im Beweis des Minimax-Theorems zwar nur in einer schw/icheren Form benutzt, es ist aber natiirlich auch an sich yon Interesse. Der Verfasser m6chte Herrn K u FAn fiir seinen freundliehen Kommentar zu einer friiheren Version dieser Note herzlieh danken.

Eine Konsequenz des Satzes von Hahn-Banaeh. Es sei E ein reeller Vektorraum und E* der Vektorraum der reellen linearen Funktionale auf E. Es sei O: E - + R ein sublineares Funktional. Nach einer Version des Satzes yon Hahn-Banach existiert dann ein q~ e E* mit r =< O. Wit beweisen hieraus das naehstehende Resultat, das ffir die aus einem einzelnen Punkte bestehenden T c E wohlbekannt ist.

Satz. Es sei T c E nichtleer und Konv T die konvexe Hiille yon T. Dann existiert ein ~ E* mit q~ < 0 und mi t

Inf {0 (/): ] e Konv T} = Inf {~ (/) : / e Konv T} = In f {~ (/) : / e T}.

Beweis . Die rechte Gleichheit ist klar ffir alle ~ ~ E*. Zum Beweis der linken Gleichheit k6nnen wir T ---- Konv T und I = I n f ( O ( / ) : / E T} > -- ~ annehmen. Wir definieren v~: E -+ R dureh

0 ( h ) = I n f { O ( h H - t l ) - - t I : 1~7 ' und t>_--0} fiir h e E .

Man beachte dabei t I <--_ tO( / ) = O( t / ) < O(h A- t /) H- O ( - - h ) f i i r / ~ T und t > O

Vol. XIK, 1968 Uber das yon Neumanns&e Minimax-Theorem 483

und also O(h) __> - - O ( - - h ) > - - c~ ffir h e E. Es ist dann ~9 __< O. Und au f Grund der Konvexit/~t yon T ist v ~ ein sublineares Funkt ional . Wh" fixieren ein (p a E* mit

~ ~. Dann ist also ~v =< O. Und ffir ] e T haben wir -- qJ (/) = ~v (-- ]) < ~ (-- ]) =< 0 ( - - ] - % [ ) - - I = - - I oder I ~ F ( / ) . Q.E.D.

Zusatz. Zu u, v a T existiere ein / a T m i t ( 9 ( / - - �89 -% v)) < O. Dann ist

I n f { O ( / ) : / a T } = I n f ( O ( / ) : / a K o n v T } .

B e w e i s . Es bestehe H c E aus allen h a E m i t h f f { O ( ] - - h): ] a T} ~ 0. Dann ist T c H und I n f { O ( / ) : [ a T } = In f{O(h ) : h a H } . Weiter sind die h e E mit I n f { O ( / _ h): [ a H} ~ 0 in H enthalten. Wir sehlieSen ftir u, tt e E hieraus und a u s

O((u-%th)- (u-%sh))= O((t-- s)h) < I t-- sl(IO(h)[ -% IO(--h)[) ffir s, tel t ,

dall {l E R : u -% t h e H} c R abgeschlossen ist. Nun liefert unsere Annahme u, v a H �89 (u -% v) e H. Mithin ist H konvex und also T c K o n v T c H. Q.E.D.

Eine Variante zum Satz yon Dini. Es sei X ein nichtleerer kompak te r Hausdorff- raum. Es bestehe C ( X , R) aus den stetigen Funkt ionen [: X- -> R und CO(X) aus den oberhalb stetigen Funkt ionen [: X - > [ - - c~ , r Weiter bestehe P o s X aus den linearen Funkt iona len ~ e C ( X , R)* mit 0 ~ ~([) ffir alle 0 ~ [ a C ( X , R), also aus den posit iven RadonmaBen auf X, und Prob X aus den linearen Funkt ionalen

~ C ( X , R)* mit q0([) ~ Max [ ffir alle [ ~ C ( X , R), also aus den ~ e Pos X mit 9(1) = i. Man setzt bekanntl ich T e Pos X dureh

~ . ( / ) - - - - Inf{qJ(F) : t < F a O ( X , R ) } ffir / c O O ( X )

zu einem Funkt iona l ~o, : CO (X) --. [ - - oo, c~[ fort.

Satz. JEs sei T c CO (X) nichtleer. Z u u, v a T existiere ein / e T m i t ] <= �89 (u -% v). Dann existiert ein qJ a Prob X mit

I n f { M a x ] : / a T} ----- I n f { ~ . ( / ) : / e T}.

B e w e i s . Man wends das g e s u l t a t des vors tehenden Abschni t tes bei E = C ( X , R) und 0 = Max auf {F e C ( X , I t) : [ ~ F ftir ein [ e T} c C ( X , R) an. Q.E.D.

l(orollar. Es bestehe T c CO (X) aus Funk t ionen >= 0 und sei nichtleer. Z u u, v e T existiere ein ] ~ T m i t j2 <= uv . Dann existiert ein ~ e Prob X mit

I n f ( M a x 1: / a T} ---- I n f{e xp ~v. (log 1): / a T}.

Wir vermerken die formale Ahnlichkeit der vorstehenden Resultatc mit dem Satz yon Dini, den wir anschlieBend mit seinem fiblichen Beweis reproduzieren. Hierin wird die Kompaktheit van X wesentlich benutzt.

8atz van Dini. Es sei T c CO (X) nichtleer. Zu u, v e T existiere ein ] e T mit [ ~ Min (u, v). Dann existiert ein x e X mit

Inf {Max/: [ e T} = Inf {/(x): / e T}.

Beweis. Ftir /~ T ist Max / ~ I = Inf{Max/: /~ T} und also X([) ~-- {xe X: ](x) >__ I) aichtleer. Zu endlichem M c T existiert ein F e Tmit, F _~ [ und also mit X(F) r X([) fiir alle

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/ ~ M . Mithin ist { x e X : / ( x ) ~ I fiir alle / E M } nichtleer ffir endliches M c T und also { x ~ X : /(x) ~; I ftir a l lc /c T} nichtlcer. Q.E.D.

Der Satz von Dini spiclt bekanntlich beim Aufbau dcr Radonschcn Mal3theorie eine wesent- liche Rolle. Wit verweisen hierzu auf NEU~ArCK [5, Kapitel I, w 6]. ~Vir erinnern an die einfachen Konsequenzen des Satzes, die wir im lctztcn Abschnitt benutzen werden.

Satz. Es sei T c CO(X) nichtleer. Zu u, v ~ T existiere ein /E T mit [ < Min(u, v). Es 8ei h = Inf {/: /~ T} und daher h ~ CO(X). ])ann ist ~p, (h) : : Inf {q~, (]): /~ T} ]iir alle ~o ~ Pos X.

Beweis. Es sei h ~ H ~ C(X, R). Naeh dem Satz yon Dini ist

Inf {Max(/-- I1): / e T} Inf {/(x) H(x): / e T}

fiir ein x e X und also :~0. Zu e > 0 exist iert datler ein / e T mit / ( ~ H T e und also mit q),(/) ~ q)(II) @ s (p(1). Wir erhMten far I = Inf {50,(/): l e T} mithin I 5~ ef(II) -1- s ~o(1) far alle s > 0 und also I < p (H). Daher ist I ~ q~, (It). Q.E.D.

Norollar. Es seien % y~ ~ Pos X u~d u, v, / c CO(X):und ~ > 0 reell. Dann ist

~o, (u + v) = ~ , (u) + q~, (v) und ~, (Z/) = Z ~o, (/),

(~o + YO, ([) = q~, (/) + YJ, (/) und (~ ~o), (/) = 2 ~o, (/).

Beweis. Nichttrivial ist nur die erste Relation. Man erh~tlt sie durch Anwendung des vor- stehenden Satzes auf T = {F ~- G: F, G e C(X, R) mit u ~ F u n d v =< G}. Q.E.D.

Ein Beislaiel. Es sei X c C nichtleer und kompakt . Es handel t sich um die logarith- mische Kapaz i t s C(X) yon X. Wir verweisen hierzu auf T s u J I [6, Chapter I I I ] und F u c n s [3, Chapter VII I ] . Man bildet zu m e Prob X die Po ten t i a l funk t ion

I Im: I I m ( u ) = f l o g [ z - - u i d m ( z ) fiir u e C .

Es ist also H m �9 CO ((1). Und naeh dem Maximumpr inz ip f/ir Potent ia le ist

In f{Hm(u) : u e e } = I n f { g m ( u ) : u e X } .

Man definiert C(X) etwa durch

log C ( X ) -- Sup {Inf Hm : m �9 Prob X} .

Man definiert weiter die Tschebyschewsehe Kons t a n t e 2(X) von X dureh

2(X) = Inf{I ] Pll~/n: P ( z ) = z" + . . . } ,

worin ]].1] die Sup remumsnorm auf X hezeiehnet. N u n k a n n m a n C ( X ) ~ 2 ( X )

sofort ablesen aus

I n f H m ~ 1 -~ (Urn(u1) + "'" + t lm(un) ) = ~ f log l P ( z ) l dm(z ) <= log [[ e l l 1/n

ffir alle m �9 Prob X und alle P : P (z) = z n + . . . . (z - - ul) " " (z - - Un) .

Es ist aber aueh ).(X) ~ C ( X ) u n d mi th in )~(X) = C ( X ) . Die fiblichen Beweise m/issen hierzu welter ausholen. Man k o m m t indessen sofort zum Ziele, wenn m a n das Korol lar des vors tehenden Abschni t tes auf das F u n k t i o n e n s y s t e m

T --- { [P la in : P ( z ) = z n -1 . . . . } c C ( X , R ) c C O ( X )

anwendet . Man ha t offenbar u, v �9 T => (uv) l/2 �9 T . Hiernaeh existiert ein m � 9 mi t log 2(X) --< 1In f l o g [ P I dm fiir alle P : P ( z ) = z n -t- "'" u n d also insbesondere

Vol. XIX, 1968 l~ber das von Neumannsdm Minimax-Theorem 485

mi t log 2 (X) =< I n f Hm. Das lieferb mi t dem Fr / ihe ren 2 (X) = C (X) = exp ( In f Hm) ftir �9 m e P rob X.

Das Min imax-The0rem. Es sei X ein n icht leerer k o m p a k t e r Hausdor f f r aum, Das nachs tehende L e m m a erwei te r t den Satz yon der Exis tenz des Schwerpunk te s bei l~adon-Wahrscheinl ichkei tsmal3en auf e inem konvexen k o m p a k t c n Tell eines lokal konvexen Hausdor f f raumes . 1Vir verweisen hierzu a u f BAuEI~ [1, K a p i t e l I I , w 5].

Lemma . Es sei T c CO ( X) . Zu u, v ~ X existiere �9 x e X mit ~ (] (.u) ~- ] (v) ) <= ] (x) /iir alle [ e T. Dann existiert zu qJ E Prob X ein x e X mit q>. (]) <_/(x) ]iir alle / ~ T.

]~ewe i s . Der Beweis liel]e sich im FMle 7 ' c C(X , R) vicl e infacher f i ihren. I m Fa l l �9 7 ' c CO(X) h a t m a n tcchnische K o m p l i k a t i o n e n zu i iberwinden. Es wird be- haupte t , dab ffir ~0 e Prob X der Durchschn i t t der {x c X : q). (/) =< [(x)} f/Jr a l l �9 / ~ T nieht leer ist. A u f Grund der Kompak the i~ von X kSunen wir uns au f den Fa l l eines endl ichen T c CO (X) beschr/inken. W i r kSnnen aul3erdem 7) e P rob X m i t 9), ( 1 ) . - oo fiir alle [ ~ T annehmen. Das k a n n m a n dureh Zur~ckz iehen auf T(~) = { / ~ T : qJ. ( / ) , - - oo} i m m e r erreichen. Wi r beweisen nun den h i e rmi t be- schr iebenen SpezialfaI1 des Lemmas . Wi r kSnnen na t i i r l i ch T ~= 0 annehmcn.

i) Es bes tehe P c P o s X aus den q~ �9 P o s X mi t qJ. ([) 4- - - oo f/ir alle / e T. D a n n ist U -~ P - - P c C ( X , It)* ein U n t e r v e k t o r r a u m . W e l t e r best, eho Q c CO(X) aus den [ ~ CO(X) mi t ~ , ([) * - - oo ffir alle 90 e P . Dann i s t also C ( X , R) c Q und T c Q. ii) Es sei [ e Q. W i r definieren f : P --~ R durch f(rp) - eft. (]) fi ir alle ~0 ~ P . D a n n i s t offenbar f(q> + ~0) = f(qg) + f(~0) und f(2q)) = 2f(~0) fiir q), y~ e P und reelles 2 > 0. Wi t kSnnen d a h e r f : P --~ R zu e inem w o h l b e s t i m m t e n l inearen F u n k t i o n a l f : U - > R fortsetzen, iii) Es seien u, v, [ e Q und ~ > 0 reell. Naeh d e m le tz ten Koro l l a r im ZWeiten A b s c h n i t t haben wi t u -t- v, 2] s Q m i t (-u, + v) (q~) = ~(9~) -t- ~(~0) und (2/)-(~v) = 2f(rp) ffir a l l �9 ~ ~ P . Die l inearen F u n k t i o n a l e fi, ~ . . . . e U* erf/i l len also (u q- v) - = fi + ~ und (2[) - = 2f. Mi th in is t V = {~ - - ~: ~, v eQ} c U* �9 Unter - vek to r raum, iv) Wi r b i lden X (7') = {x e X : [ (x) 4= - - oo fiir a l l �9 [ E T} c X. I m F a l l � 9 ~c ~ X ( T ) haben wir also ~z*(]) ~-- l (x) * - - oo ffir allc t ~ T und mi th in dx ~ P . Die F u n k t i o n e n [ e O erf/illen wel ter [(x) = ~x*([)4- - - o o ffir a l l �9 x �9 X ( T ) .

v) Es bes tehe H c U aus den a e U, zu denen �9 x �9 X exis t ie r t m i t f ( a ) < [ ( x ) ftir a l l �9 ] e T. Dann mug nat i i r l ich x e X ( T ) sein. W i r h a b e n ~x e H fiir x �9 X ( T ) , denn es is t d~ �9 P c U u n d f ( ~ z ) = ~x*([) = ](x) fiir a l l �9 [ e T. W i t haben auBerdem e, ~ e H ~ �89 -~- ~) e H naeh unserer Annahme . vi) H c U is t in der schwachen Topologie a(U, V) abgeschlossen. Hierzu sei 0 e U in der a(U, V)-Htille yon H. Zu e > 0 ex is t ie r t dann �9 a e I t m i t l.f(a) - - f ( tg ) [ <= e f/ir a l l �9 [ �9 7' und also ein

�9 X mi t f (O) ~ f ( a ) -[- e < ] ( x ) - ~ e ffir a l l �9 I ~ T - Mith in is t { x e X : f ( v ~) [(x) + e f/ir a l l �9 [ �9 T} nicht leer fiir e > 0 und also {x �9 X : f(O) ~ ](x) fiir al |e

] s T} nicht leer . Das bedeu te t aber O e H. vii) Naeh dem Vors tehenden ist H c U konvex und a(U, V)-abgcschlossen und enth/ i l t also die a(U, V)-abgesehlossene konvexe Htil le D von {dx: x �9 X ( T ) } z H. Nach dem Bipolarensa tz bes t eh t aber D aus den a e U m i t

( Z , a ) ~ S u p { ( Z , ~ z ) : x � 9 f i i r a l l e Z e V ,

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das h e i s t aus den a e U m i t

~(~) - ~(~) =< Sup { ~ ( ~ ) - ~ ( ~ ) : x e X ( T ) } =

- = S u p { u ( x ) - - v ( x ) : x E X ( T ) } ff ir a l l �9 u, v e Q .

I m F a l l � 9 X (T) ~-- 0 is t n a t f i r h c h aueh D = 0. viii) W i r b e h a u p t e n q �9 P (~ P r o b X ~ 0 � 9 H i e r z u seien u , v � 9 u n d Sup {u (x) - - v (x) : x E X ( T ) } = c . I m Fa l l e

X ( T ) ~- 0 whre c = - - ~ , abe r m a n wh'd sehen, da$ d ieser F a l l bei E x i s t e n z eh~es ep �9 P (~ P r o b X n i e h t e i n t r e t e n k a n n . W i r h a b e n ~(cp) - - ~(T) ~ c zu bewe i sen u n d

k S n n e n na t f i r l i ch c < oo a n n e h m e n . E s i s t u (x) g v (x) + c ff ir a l l �9 x �9 X (T). W i r b i l den die S u m m e F �9 CO(X) al ler F u n k t i o n e n / � 9 T. D a n n is t o f f enba r F �9 Q u n d

F (x) ---= - - ~ ffir al le x �9 X - - X (T). Es i s t m i t h i n u (x) ~ F (x) =~ v (x) + c + F (x)

f i i r a l l �9 x �9 X. A u s u + F ~ v + c + F e r h a l t e n wi r of, (u) ~- ~ , (F) = ~ , (u ~ F ) =~ (p, (v + c -{- F ) = (p, (v) + c + (p, (F) u n d aldo a (~) = ~ , (u) _~ T* (v) + c = ~ (~0) ~- c a u f G r u n d y o n ~ , (F) ~ - - vr Das w a r zu beweisen , ix) W i r s ind n u n a m Zieh E s sei

~0 �9 P r o b X m i t T , ([) ~: - - ~ ff ir a l l �9 [ �9 T. D a n n i s t also ~ �9 P n P r o b X c D r Es ex i s t i e r t m i t h i n ein x �9 X m i t ~fl, (]) = f(ef) =~ / (x ) f i ir a l l e / �9 T. Q . E . D .

Wh" k o m b i n i e r e n das v o r s t e h e n d e L e m m a m i t d e m e r s t en S a t z des z w e i t e n Ab-

s c h n i t t e s u n d e r h a l t e n das n a c h s t e h e n d e R e s u l t a t . D a s M i n i m a x - T h e o r e m y o n K Y FAN [2, T h e o r e m 2] i s t h i e r in als Spez ia l fa l l e n t h a l t e n .

M i n i m a x - T h e o r e m . Es sei T c CO (X) nichtleer. Zu u, v �9 T existiere �9 / �9 T m i t / ~ �89 v). Und zu u, v � 9 X existiere �9 x e X rail �89 + [(v)) ~ / (x ) /iir all�9 ] �9 T. Dann existiert ein x �9 X mit

I n f { M a • / � 9 T} = I n f { / ( x ) : / � 9 T } .

Zusatz bei der Korrektur am 25. 11. 1968: Der Satz des ersten Absehnittes ist, wie ich in der Zwisehenzeit bemerkte, in einem Resultat yon MAZ~R und ORLICZ (Th~or~me 2.41 in Studia Math. 18, 137--179 (1953)) enthalten. Einfachere Beweise dieses Resultates stammen yon SIKORSK~ (ibid. 1~, 180--182 (1953)) und yon PT~_K (ibid. 15, 365--366 (1956)). Der Beweis yon PTgK ist dem unseren sehr 5hnlich. Wir erw~hnen auch das umfassendere Resultat yon KAu~vlh~ (ibid. 27, 269--272 (1966)) und eine yon SEEVER (unverSffentliehtes Manuskript) bewiesene Variant�9 Der durch vie|fache Konsequenzen flmdamentale Satz yon MAZUR und ORLICZ land bisher leider nicht die verdiente Aufnahme in die Lehrbuchliteratur. Der in dieser Note enthaltene SpeziMfall, der yon ~hnlichem Nutzen ist, li~flt sich besonders leicht formulieren und wird hier- durch vielleicht das Bekanntwerden des Ideenkreises fSrdern.

Zusatz bei der Korrektur am 25.11. 1968: Die Resultate dieser Note bleiben erhalten, wenn man die Operation (u, v) I--~ �89 (u + v) durch (u, v) I-~ (1 -- 2)u ~- 2v mit einem willkfirlichen festen 0 < ), < 1 ersetzt. Das kann man den Beweisen leieht entnehmen.

Literaturverzeiehnis

[1] H. B~UER, KonvexitKt in topologischen Vektorr~umen, insbesondere: Integraldarstellung in konvexen kompakten Mengen. Vorl. Univ. Hamburg, WS 1963/64.

[2] KY F~_~, Minimax Theorems. Prec. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 39, 42--47 (1953). [3] W. H. J . Fucgs , Topics in the Theory of Functions of one complex Variable. Princeton 1967.

Vol. XIX, 1968 l~ber das von Neumannsche Minimax-Theorem 487

[4] I. Gr~mKSBEm~, The abstract F. and M. Riesz Theorem. g. Funet. Analysis 1, 109--122 (1967). [5] M. A. NE~I~ARK, Normierte Algebren. Berlin 1959. [6] M. Tsuaz, Potential Theory in modern Function Theory. Tokyo 1959.

Ansehrift des Au~ors: Heinz K6nig Mathematisches Institut T2niversit~t des Saarlandes 66 Saarbriicken

(Eingegangen am22.4.1968")

*) Eine erweiterte Fassung ging am 1.7. 1968 ein.