Arch. Math., Vol. 42, 314- 324 (1984) 0003-889 X/84/4204-0314 $ 3.70/0 �9 1984 Birkhfiuser Verlag, Basel

Ober die Faktorkommutatorgruppe der Gruppen S L 2 (O) im Funktionenk6rperfall

Von

ULRICH STUHLER

Einleitung. Nach bekannten Verschwindungssfitzen fiber die Kohomologie arithmeti- scher Gruppen F i s t die erste Kohomologiegruppe mit rationalen Koeffizienten, H a (F; II)), die ja (nicht kanonisch) isomorph zur mit (I) tensorierten Fak to rkommuta to r - gruppe (F ab | ist, h/iufig Null. Ist z.B. 0 s ein Ring S-ganzer Gr613en im globalen K6rper K, F eine Untergruppe von endlichem Index in der speziellen linearen Gruppe S L , (Os), so ist folgendes bekannt: ([1], [12]).

Es ist (F ab | Q) = 0 auBer in folgenden F/illen:

a) K -- I1~, S = {oe}, F c S L 2 (~r) von endlichem Index. Hier ist seit langem bekannt, dab F, falls torsionsfrei gew/ihlt, eine freie Gruppe yon explizit angebbarem Rang ist, und

e zwar gilt h 1 (F): = dim (F "b | I1~) = 1 + i 2 ' wobei e := [SL 2 (;g) : F] der Index ist.

b) K = Q(x/d), d < 0, ein imagin/ir-quadratischer Zahlk6rper, S = {oo} wiederum die unendliche Primstelle, F c S L 2 (Os) yon endlichem Index. Hier ist kein allgemeines Resul- tat bekannt, man sehe aber [7], insbesondere auch fiir numerische Beispiele. c) K ein Funkt ionenk6rper vom Transzendenzgrad 1 fiber dem endlichen K6rper k = Fq, S = {or} irgendeine Stelle yon K, O = 0 s der Ring der augerhalb von S holomor- phen algebraischen Funktionen. Ffir hinreichend kleine Kongruenzuntergruppen F c S L z (O) ist hier wiederum eine explizite Formel bekannt, nfimlich

h i ( r ) = 1 + (q - 1 ) ( K ( - - 1 ) ( S L 2 ( O ) : F ) + t ,

hierbei bezeichnet t noch die Anzahl der Spitzen yon F, so dab also der Rang der Fak to rkommuta to rg ruppe mit dem Weft der Zetafunktion an der Stelle - 1 (bzw. + 2) verknfipft ist. ([11, p. 149], [14]).

Noch nicht untersucht, scheint dagegen der Fall F = SL2 (0) selber zu sein, wo sich das Vorhandensein der nicht -p -Tor s ionse l emen te st6rend bemerkbar macht. Trotzdem kann man auch hier, wie wir unten zeigen wollen, eine explizite Formel ffir ha (F) angeben, zumindest im Fall, dab der Grad (k (oe ) :k )= 1 ist. Wir gehen dabei so vor: Es sei F (p) = {7 e S L 2 (O) ] y - 1 mod p} die Kongruenzuntergruppe zur Stufe !~, P c O ein pas- send gew/ihltes Primideal. Dann operiert auf dem Vektorraum (F (p)~b | ~ ) die Gruppe i f : = F / F ( p ) ~- S L 2 (k(p)), k(p) der Restklassenk6rper an der Stelle p. Wir werden den ff-Darstellungsraum (F (p)ab | Q) explizit bestimmen, was vielleicht auch ffir sich interes-

Vol. 42, 1984 Faktorkommutatorgruppe der SL2(O) ffir Funktionenk6rper 315

sant ist. Insbesondere 1/iBt sich dann aber der F-invariante Unterraum angeben und man mug nur noch ausnutzen, dab

HI(F(p), tI~) r ~ HI(F; tl~) ist.

Noch zwei Bemerkungen: Eine technische: Ich werde in der Arbeit annehmen, dab der Grad [k(p) : k] = 1 ist. Dies

ist nicht n6tig, erleichtert aber die Darstellung. Das Hauptresultat ist ffir den allgemeinen Fall angegeben. Zweitens sei noch auf den folgenden Fragenkreis hingewiesen: Auf den Kohomologiegruppen H" (F; ~ ) operiert die Heckealgebra und es stellt sieh die Frage nach der arithmetischen Bedeutung der Eigenklassen. Hier ist die Forschungslage im Fall c) vor allem Dank der sch6nen Arbeiten Drinfeld's und Delignes (z. B. [4], [5]) weitaus erfreulicher als in a) und b). Eine mit diesem Komplex zusammenh/ingende Frage aus der diophantischen Geometrie habe ich im letzten Abschnitt erw/ihrit.

1. Vorbereitungen. Zun/ichst einige

B e z e i c h n u n g e n . K sei also Funktionenk6rper vom Transzendenzgrad 1 fiber dem genauen Konstantenk6rper k = •q mit char (k) = p, q = pal, y sei regul/ires projekti- yes Modell yon K fiber k, 0o die ausgezeichnete Stelle yon K, ferner nehmen wir an, dab [k(oo) : k] = deg(oo) = 1 ffir den Restklassenk6rper k(ov) von Y in oo gilt. Es sei O der Ring der auf Y auBer oo holomorphen Funktionen, ferner p eine Stelle von O, wobei wir, wie schon oben gesagt, annehmen, dab deg (p) = 1 ist.

Es sei Or, oo der lokale Ring yon Y in o0, Or, ~ die zugeh6rige Komplettierung u n d / ( ~ der Quotientenk6rper. Die Menge der )khnlichkeitsklassen yon Oy, oo-Gittern im K 2 bildet dann, wie etwa in [11] erkl/irt ist, einen Baum X~ (= zusammenziehbarer simplizia- ler Komplex der Dimension 1). Die Menge der j-Simplizes sei X~o (j). Auf diesem simpli- zialen Komplex operiert GL 2 (K~) durch

7" [A]:= [7 (A)] ffir 7 e GL2(K J , A c K 2 ein Gitter, [A] e X~o (0)

das zugeh6rige Vertex. Insbesondere erh/ilt man dann eine Operation yon Untergruppen von GL2 (O) auf X~.

Jedem durch ein Gitter A gegebenen Vertex x = [A] e Xoo (0) assoziiert man ein Vek- torbfindel E (x) vom Rang zwei durch Vorgabe des global gegebenen Gitters (0 2, A), so dab also F(Spec (O), E(x)) = 0 2 c K 2 ist und E(x)oo = A der Halm an der Stelle ov ist. E (x) ist nut bis auf Tensorieren mit einer Potenz der Geradenbfindels Or (o0) bestimmt. Entsprechend gilt: Zwei Vertizes xl , x2 e Xoo (0) sind/iquivalent bzgl. der Operation yon GL 2 (O), wenn

e ( x l ) ~- E(x2) | Or(d(oo))

mit passendem d gilt. Noch einige Bemerkungen, die sich ausffihrlich s/imtlich in [11, II.2.2.] sowie in [15] finden.

D e f i n i t i o n 1. a) Ein Vektorbfindel E vom Rang zwei fiber Y heil3t stabil (semi- stabil), falls ffir jedes Geradenbfindel L c E gilt:

deg (E) > 2 deg (L) (bzw. deg (E) _> 2 deg (L)).

316 U. STUHLER ARCH. MATH.

b) Ist E weder stabil noch semistabil, so heil3t es instabil. Das dann vorhandene Geraden- bfindel L ~ E m i t 2 deg (L)> deg(E) ist nach einer Bemerkung Mumford's eindeutig bestimmt [11, p. 136].

D e f i n i t i o n 2. Die Zahl

min {deg (E) -- 2 deg (L) IL c E vom Rang 1}

heigt der Stabiliffitsgrad # (E) von E.

Eigenschaften yon #. a) # (E) = # (E | L), d.h. # ~indert sich nicht bei Tensorieren mit einem Geradenbiindel. b) /~ kann wegen a) als Funktion auf X~ (0) erklfirt werden dutch

p (x): = ~ (E (x))

und ist G L 2 (O)-invafiant. c) Ein Vertex x ~ X~ (0) heigt stabil, semistabil oder instabil, je nachdem dies ffir E (x) gilt. d) In [15, w 1, Prop. 2] findet man, wie sich der Stabilit/itsgrad p (x) bei Ubergang zu einem Nachbarn x '~ X~ (0) findern kann. Von diesem (ganz einfachen) Ergebnis werden wit von nun an freien Gebrauch machen. Ist ein Vektorbfindel E/Ysemistabil oder instabil, so behfilt es diese Eigenschaft offenbar bei Erweiterung des Konstantenk6rpers. Dahinge- gen kann ein stabiles Vektorbfindel bei Konstantenerweiterung semistabil werden. Ge- nauer gilt

Lemma 1. Bleibt ein stabiles Vektorbfindel E/Yvom Rang zwei bei einer Erweiterung des Konstantenk6rpers k nicht stabil, so wird E bereits bei einer quadratischen Erweiterung k 1 ~ k semistabil und ist fiber Y yon der Form f , (L), f: Y| kl ~ Ydie ProjektionsabbiI- dung, L ein Geradenbfindel auf (Y | k kO, welches nicht schon auf Y definiert werden kann.

B e w e i s. Wfire (E @k kl) instabil, so wfire das ausgezeichnete Geradenbtindel maxi- malen Grades eindeutig bestimmt, also invariant gegenfiber der Galoisoperation von ~- fiber k und es gfibe daher bereits ein Teilbfindel yon E, welches die Stabilitfitsbedingung verletzt. Also ist E | kl semistabil und man fiberlegt sich dann leicht, dab E vonder angegebenen Form ist.

2. Bestimmung der D i m e n s i o n yon H 1 (F (p); ~). In diesem Abschnitt leiten wir die versprochene Formel ffir die Dimension des Vektorraumes H 1 (F (p); Q) ab. Wir betraeh- ten den Quotienten

2 : = r ( ~ ) \ x ~ ,

etwa in der Kategorie der simplizialen Mengen. X wird wie folgt zerlegt, X = X1 u )(2, dabei ist:

)(2 die minimale simpliziale Teilmenge yon )(, die alle die 1-Simplizes yon )s enthfilt, ffir die beide zugeh6rigen Vertizes instabil sind, )(1 diejenige minimale simpliziale Teil- menge von X, die sdmtIiche anderen 1-Simplizes enth/ilt. Ferner sei, wenn n: X~ ~ X" die Projektionsabbildung bezeichnet, n- 1 ( ~ ) = : Xj (] = 1, 2).

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Lemma 1. a) (X 1 n -X2) ist diejenige O-dimensionale simpliziale Teilmenge yon X, deren Vertizes siimtlich Vektorbiindeln yore Stabilitiitsgrad ( - 1) entsprechen. Umgekehrt geh6rt

jedes derartige Vertex zu (X1 c~ X2). b) Ist x E X l k ( X 1 c~ J~2), so ist E(x) semistabil oder stabil.

B e w e i s. Ergibt sich leicht aus [11, 11.2.2] bzw. [15, w 1, Prop. 2].

Lemma 2. a) X t ist endliche simpliziale Teilmenge yon X. b) )(2 ist selber nicht endlich, aber die K ohomologiegruppen H i ()(2, II~) sind endlich dimen- sional.

B e w e i s. Siehe etwa [11; II.2.3] bzw. [14].

Lemma 3. Ffir die Stc(bilisatoren F(p)~ der Vertizes x ~ X1, x Oi X1 c~ X 2, gilt: F(p)x = 1.

B e w e i s. Wir betrachten die Reduktionsabbildung' End (E (x)) % Endo (02) Endo/~ ((O/p)2). ~0: E (x) ~ E (x) liege im Kern. Dann induziert (0 einen Homomorph i smus

qr E (x) -~ E (x) | oy ( - (p)),

demnach ist im (~o') vom Rang 1 und man erh/ilt leicht einen Widerspruch zur Semistabi- lit/it von E (x). Q.e.d.

Da X| zusammenziehbar ist, haben wir

H i (F (p); Q) --~ H i (F (p)\Xo~; ~ ) -

Nach ([11, II.2.3], [14]) ist klar, dab dies endlichdimensionale Vektorr/iume sind, speziell ist natfirlich

H ~ ( r (p); II)) = 0 ffir i _> 2.

Wir setzen dim H i (J(; II~) = :h i (J() ( = :h ~ (F(p)), analog fiir die X j, j = 1, 2. Wir verglei- chen jetzt

Z (3;): = h ~ (J() - h 1 (J() mit

1 1 co (g ) '= Z ,Y~_ -

~x~o~lr(p)~l - Ir(p),l

Entsprechend sind die Ausdriicke co (J(j), j = 1, 2 definiert.

B e m e r k u n g . i) Fiir unter F(p) /iquivalente Simplizes ~r, ~r' e Xoo (") gilt: IF(p)~I = I r (p)~, I: Daher ist es sinnvoll, von I F (PL I auch ffir a s J~ zu sprechen. ii) Die absolute Konvergenz der oben auftretenden unendlichen Reihen ist wohlbekannt und kann etwa [11, p. 148] entnommen werden.

Offenbar gilt nun

z (x ) = z ( x 0 + z(J?9 - z(g~ c~ ~ ) ,

entspreehend

co(J?) = co(J?J + c o ( x 9 - co(~?~ c~ J fg .

318 U. STUHLER ARCH. MATH.

Nach Lemma 1 ist IF(p)~I = 1 ffir alle x ~ X I \ ( X l c ~ X 2 ) , ferner IF(P)yl = 1 fiir alle y e XI(1), da wenigstens eines der beiden Vertizes des 1-Simplexes y nicht instabil ist. Danach ergibt sich aber

z ( X l ) - z(X1 r X2) = co(X1) - co(X~ c~ J~2) also folgt

z (X) - o (R) = z (x2) - ~0 (X~),

aber es gilt:

Lemma 4. a) Es ist ~0 (Jr2) = 0. b) Es ist Z(X2) = t, t die A n z a h l der Sp i t zen yon F ( p ) \ X ~ .

B e w e i s. Zu a) Jedes x e X2 (0) bestimmt eindeutig einen Nachbarn x' e )7 2 (0), der ,,noch instabiler" ist, und damit ein 1-Simplex (x, x ' ) e -~2 (1).

Umgekehrt vergewissert man sich leicht, dab jedes 1-Simplex aus X2 (1) v o n d e r angegebenen Form ist. Da F (P)x = F (P)<x, x,) gilt, folgt a).

Zu b) Dies kann man wiederum [11, II.2.3] entnehmen. Der entscheidende Punkt ist nun der folgende

Satz ([10. w 3]). Es ist

o~(2) = [SL2(k)I (1 - q) ( r ( - - 1).

Ffir den Beweis sei auf die angegebene Literatur verwiesen. Dahinter steckt im Wesent- lichen, dab die Tamagawazahl der S L 2 Eins ist (siehe dazu [16]).

Damit ergibt sich

)~(F(p)) = t + ISL2(k) l (1 - q) (K(-- 1)

also wegen h ~ (F (p)) = 1,

h l ( r ( p ) ) = 1 + ( q - 1)(, ,(-1)lsc2(Fq)F- t,

t die Anzahl der Spitzen von X~ bzgl. F(p). Auf dem Raum (F (p)\X~) und daher insbesondere auf

H 1 ( r (p); ~ )

operiert nun i f := F / F ( p ) ~ S L 2 (0/p). Im nfichsten Absehnitt werden wir diesen Darstellungsmodul, dessen Dimension wir

jetzt also kennen, bestimmen.

3. Bestimmung des F-Moduls H 1 (F (p); ~) . Wir ffihren jetzt das eingangs erwfihnte Programm durch"

Auf den simplizialen Mengen X, X 1 und X~2 operiert die Gruppe if, ebenso auf der Homologie und Kohomologie dieser Mengen. Wir erhalten daher Elemente im Darstel- lungsring R (if; ~ ) der Gruppe ff fiber ~ , woffir wit kfirzer R (if) schreiben, also etwa [C i (X1) ] e R (if) etc. Offenbar gilt [CI(X1)] = [Ci()(1) ] in R (if), weshalb wir in den folgen- den Rechnungen Ketten und Koketten durchggngig identifizieren.

Vol. 42, 1984 Faktorkommutatorgruppe der SLz(O ) fiir Funktionenk6rper 319

Zu bestimmen also als/~-Modul:

z ( 2 ) = (z(X'O - z(X1 n 22)) + z(X2),

Wir behandetn zuniichst

( z (2 , ) - z (21 n 22))

Lemma 1. In R(F) gilt: a) [c ~ ( 2 0 ] - [ c ~ ( 2 0 ] = [H ~ (-~0] - [U~(;~0]

b) [C~ = [ H ~

B e w e i s. Klar mit Lemma 1, 2.

B e m e r k u n g. Ffir X" 2 hat es nur Sinn, [H ~ (X2) ] zu betrachten, da X 2 keine simpli- ziale Menge von endlichem Typis t .

Bestimmung yon

[C ~ (J?0] - [ e l ( X 0 ] - [ c ~ (21 n 22)]:

1. Sei x ~ X 1 instabil. Nach Lemma 1 aus 1. ist x ~ X 1 n -22 und der zu x geh6rende Darstellungsmodul

@ Q . y c C ~

(wit identifizieren Ketten und Koketten!) liegt ja auch in C~ n J~2) und hebt sich daher im Ausdruck oben weg.

2. Sei x ~ X 1 absolut stabil (d. h. E (x) bleibt bei Konstantenerweiterung stabil). Es ist F(p)x = 1, SL2(O)x= {+ 1} und daher

G ( l ) .y ~- Ind,+ 1} (1), { y ~ F �9 x = Xrl}

dabei 1 die triviale Darstellung der Gruppe {_+ 1}, Ind,+l}(1 ) die nach F induzierte Darstellung.

3. Entsprechend gilt: Sei (x, y ) s 21(1 ), etwa x absolut stabil. Dann ist der Stabilisa- t o r / ~ , y > = (+_1}, also

0 ~ . z -~ Ind,+ 1} (1) z e r - ( x , Y) = XI (1)

als Bestandteil in [CI(Xi)]. 4. Die aus 2. und 3. herriihrenden Beitr~ge zu Z (21) - Z (21 n 22) setzen wir an in der

Form m. Ind,_+ 1} (1)

wobei m noch n~iher bestimmt werden muB. 5. a) Sei x ~ 21 stabil, aber nicht absolut stabil. Es ist Aut(E(X)) -~ k~, k I = k die

quadratische Erweiterung von k. Also ist F(p)~ = 1 und SL2(O)~ = k (1), die Gruppe der Norm-l-Elemente von kl/k.

b) Weiter ist zu beachten. Die siimtlichen Nachbarn eines stabilen, nicht absolut stabilen x sind alle absolut stabil, denn ffir einen instabilen Nachbarn x' w~ire p (x') = - 1

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und so ein x' h/itte etwa nach [15, w 1. Prop. 2] nur semistabile oder instabile Nachbarn, jedenfalls keine stabilen. Die yon einem stabilen, nicht absolut stabilen Vertex ausgehen- den 1-Simplizes sind daher schon in 4. ber/icksichtigt.

Lemma 2. Die Anzahl der stabilen, nicht absolut stabilen Vertizes aus X ~, die nicht F-dquivalent sind, ist gerade

[{L ~ Pic (O | k 0 \ P i c (0) [ (id | a)(L) = U 1)

f i ir a e Aut(kl /k) , a + id}[ ~ =: l

B e w e i s. Einfach genug, dab er dem interessierten Leser i.iberlassen werden kann. Man nutzt natfirlich Lemma 1, 1. aus.

F o 1 g e r u n g a u s L e m m a 2. Die stabilen, nicht absolut stabilen x liefern in Z()(1) - z ( X 1 c~ Jr2) aus R(F) den Beitrag

1/2 Ind,11, (1)

B e w e i s. Man beachte nur n o c h f , (L) = f , (L- 1) in den Beziehungen von Lemma 1, 1. sowie L r L-1.

6. Sei schlieBlich x e Xx semistabil, aber nicht stabil. Die zugeh6rigen E (x) geh6ren folgenden Typen an: a) E(x) ~- L 1 �9 L2 mit Geradenbfindeln L 1 4: L2. b) E ( x ) - L O L . c) E (x) gegeben als nicht spaltende Erweiterung

O ~ L I - ~ E ( x ) ~ L2-oO, dabei 2 d e g L l = d e g E ( x ).

zu a): Man hat ffir solche x E )~1:

Die betrachteten Moduln sind also von der Gestalt Ind~ (1). Betrachtet man die (x, y ) e J~l (1) zu solchen x, so sind genau zwei Nachbarn unstabil,

alle anderen sogar absolut stabil. Die zu letzteren geh6renden 1-Simplizes (x, y ) sind bereits unter 3. und 4. berficksichtigt worden. Die beiden instabilen Nachbarn, Yl, Yz sind ferner nicht einmal unter der Operat ion yon GL2(O )/iquivalent, wie man leicht einsieht. Es ist

SL2 (O)(x, y,) ~- T

und deshalb �9 I~. z ~ Ind~ (1) in R (F).

{z~F. (x, Ys) =.~(1)}

Es bezeichnen h : = [Pic (O) 1 sowie h2:= [Pic (O)z [ die Klassenzahl bzw. die Ordnung der Gruppe der Elemente der Ordnung zwei in der Klassengruppe Pic (0).

Lemma 3. Die Anzahl der semistabilen Vertizes yore Typ a) in X1 ist �89 - h2).

B e w e i s. Einfach.

Vol. 42, 1984 Faktorkommutatorgruppe der SLz(O ) fiir Funktionenk6rper 321

F o 1 g e r u n g a u s L e m rn a 3. Die semistabilen Vertizes vom Typ a) sowie die von ihnen ausgehenden 1-Simplizes, die noch nicht vorher beriicksichtigt worden sind, erge- ben zu z (X 0 - X ( X l c ~ X 2 ) in R(F) einen Beitrag

-- �89 - h2) Indfr(1)

zu 6 b): Sei jetzt x e X 1 semistabil vom Typ b). Es ist Aut E (x) ~- GLz (k). Also ist Fx = F. Als Beitrag zu [C o (X1)] ergibt sich ffir solche x die tfiviale F-Darstellung 1. Alle Nach- barn yon x sind instabil. Ist y so ein Nachbar, so ist/~x, y> eine Borelgruppe B in F. Damit ergibt sich als Beitrag

@ ~ z ~ Ind~(l) zeF<x,y>cXl(1)

Lemma 4. Die Anzahl der semistabilen Vertizes vom Typ b) in R i ist gerade h 2.

B e w e i s. Trivial.

F o l g e r u n g a u s L e m m a 4. Der in 6b) betrachtete Beitrag zu Z ( X 0 - Z(X'I c~ X2) ist h 2 (1 - Ind~(1))

zu 6 c) Sei x ~ X 1 ein Vertex mit E (x) vom Typ einer Extension

O ~ L 1 ~ E ( x ) ~ L 2 ~ 0

mit deg (Ll) = deg (L2). Da E (x) nicht spalten soil, ist L1 das eindeutig best immte Teil- bfindel maximalen Grades. Daher ergibt sich genau ein Nachbarver tex y zu x, das instabil ist, alle anderen Nachbarn sind sogar absotut stabil. D a Fx =/~x , y> ist, die anderen vom x ausgehenden 1-Simplizes schon unter 3. und 4. beriicksichtigt sind, ergibt sich gar kein Beitrag zu

Z (X1) - Z(X1 n X g .

Dami t ist die Diskussion des virtuellen le-Moduls X (Xl) - Z (XI n X2) komplett . Es bleibt z(X2) = H~ ~ ) zu bestimmen:

Lemma 5. Es ist

z(X2) = h . Ind~(1).

B e w e i s. Bezfiglich der Operat ion von S L 2 (O) auf X~ o ergeben sich h verschiedene Spitzen ([11, II.2.3.]), da der Stabilisator einer Spitze einer Borelgruppe entspricht, folgt das Ergebnis.

Zusammenfassend erhalten wir:

E r g e b n i s. Im Darstellungsring R ( ~ gilt die Identit/it

l r Z (X) = m. Ind,+ 1~ (1) + ~ lndk]-(1) -- �89 (h -- he) IndrT (1)

+ h 2 (1 - Ind~(1)) + h Ind~(1)

Arctuv der Mathematik 42 21

322 U. STUHLER ARCH. MATH.

Benutzen wir die in 2. durchgefiihrte Dimensionsbest immung yon Z (J~) und vergleichen die Dimensionen, so ergibt sich nach Division durch IFI

m/2, falls (2, q) = 12} mit m' : =

m, falls (2, q)

(1 - q ) ~ ( - 1 ) = m ' + I/(2 (1 + q)) + (h - h 2 ) / ( 2 (1 - q)) + h2 / (1 - - q 2 ) .

Damit sind alle Invarianten auf die Zetafunktion und ihre Werte zuriickgef/.ihrt.

Satz 1. M i t m , l wie oben, p j e t z t eine beliebige Primstelle yon O, gilt in R (F) = R (SL 2 (k (p))

Z(J~) = m Ind,• ,~ ( I ) + / Ind , ) , (1)

1 + g(h2 - h) Ind{(1)

+ h2 (Ind~L~k)(I) -- Ind~(~)(1))

+ h Indr(k (p)) (I).

B e w e i s. Falls deg (p) = 1, so ist oben alles gezeigt, im Falle, dab deg (p) beliebig ist, argumentiert man ganz analog.

B e m e r k u n g e n . i) Der Fall d e g ( ~ ) > 1 erfordert vermutlich doch mehr Arbeit. Mir ist nicht klar, ob man ein/ihnliches geschlossenes Resultat finden kann.

ii) Statt mit S L 2 (O) h/itte man auch mit der Gruppe GL2 (O) arbeiten k6nnen. Man erhfilt vOllig entsprechende Resultate. Man ersetze nur m' durch m, also

l ( 1 - - q) ~ K ( - - 1 ) = m + - - + - -

2(1 + q)

die im Ergebnis auftretenden Moduln kann GL z (O/p)-Moduln auffassen.

(h - h 2 ) h 2 + 2 (1 - q) (1 - q2),

man auch in naheliegender Weise als

E i n B e i s p i e 1. Sei p # 2, q = pa, y elliptische Kurve fiber ~ , oe s Y der Nullpunkt, h 2 = 4.

Die Zetafunktion yon Y hat die Gestalt

Dann gilt:

~K(S) = (1 -- aq-S)(1 -- c~q-S)(1 -- q s)- l(1 -- q l - S ) - l .

h = ( l + q ) - ( c ~ + c ~ )

l - (q - 3) + (c~ + cO

m = - 2 q

und also, wie man sofort nachrechnet;

dimQ (SL 2 (0) "b ~ 0 ~ ) = q.

Entsprechend ergibt sich ffir

F = GL 2 (O): dim• (GL 2 (0) "b ~ l l ) ) = O.

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Es ist amfisant, sich dieses Ergebnis an Hand einer expliziten Bestimmung der jeweiligen Fundamentalbereiche klarzumachen. Diese bleibe dem Leser fiberlassen. Ffir eine algebraisch-geometrische Interpretation sehe man den n/ichsten Abschnitt.

4. Einige Bemerkungen. 1. Die erhaltenen Ergebnisse kann man in der Sprache der kontinuierlichen Kohomologie von Gruppen auch folgendermaBen zusammenfassen: ([2], [8]). Man hat

H 1 (F; R) ~ H:ont (SL 2 (/(~); L 2 (F\SL2 (g~); ~,))

@ H:ont (SL2 (/(oo); x). r c ( L Z ( F \ S L 2 ( K ~ ) ; ~ )

spezielle Darstellung Weiter gilt

H~o,t (SL2(/s ~) = ~ ,

falls ~ = sp die spezielle Darstellung ist. Man erh/ilt also insbesondere

h ~ (F: R) = m(sp; L2(F \SL2( I s R)) ,

die Multiplizitfit der speziellen Darstellung in/~ (F \SL 2 (/(~o); ~). 2. Bezeiehnet S ein Vertretersystem der Isomorphieklassen projektiver Moduln vom

Rang 2 fiber O, so operiert die Heeke-Algebra auf V: = [ [ H 1 (GL(P); (~). Nach Resulta- PES

ten yon Deligne und Drinfel'd ([4], [5]) besteht eine bijektive Beziehung zwischen eindi- mensionalen rationalen Eigenrfiumen yon V bzgl. der Hecke-Algebra und gewissen 1- adischen Darstellungen der Galoisgruppe Gal(/(/K). Genauer gilt: Ist E / K eine nichtkonstante elliptische Kurve fiber K mit guter Reduktion auBerhalb ~ und semista- biler Reduktion in ~ , so korrespondiert dieser Situation nach [4] eine rationale Kohomo- logieklasse in V, die Eigenklasse bzgl. der Operation der Hecke-Algebra ist. Uber K isogene elliptische Kurven liefern dieselbe Eigenklasse. Hat man umgekehrt eine solche Klasse, so korrespondiert dieser nach Drinfel'd [5] eine K-Isogenieklasse elliptischer Kurven fiber K, die als Faktoren der Jacobischen Varietfit der entsprechenden Drinfeld- schen modularen Kurven auftreten. Betrachtet man nun etwa die endlichen Erweiterun- gen k'/k sowie die sich durch Konstantenerweiterung ergebende Situation Y| k', 0 | k', GL 2 (0 @k k') etc., so ist wie sich aus Satz 1 leicht ergibt,

lim hl(GL2(O ~g~,k')) = oo (k' : k ) ~ oo

falls das Geschlecht gr => 2 ist. Auf der anderen Seite liefert die am Ende yon Abschnitt 3 durchgeffihrte Rechnung,

dab ffir gr = 1 fiberhaupt keine derartigen Kurven existieren. In der Tat gilt auch ffir gr >= 2 ein Resultat in dieser Richtung, dab ich L. Szpiro und

L. Moret-Bailly verdanke: und zwar ist die Anzahl der Isogenieklassen nichtkonstanter elliptischer Kurven fiber (K | k-) mit guter Reduktion auBerhalb 0% semistabiler Reduk- tion in 0% endlich. D. h., dab nur wenige der in H 1 ( ) steckenden ,,Motive" von ellipti- schen Kurven fiber K | k- herkommen bzw. dab es nur wenige rationale Eigenklassen bzgl. der Hecke-Algebra gibt. Entsprechend modifizierte (Jberlegungen lassen sich natfir- lich auch ffir Kongruenzuntergruppen F c GL z (O) anstellen.

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324 U. STUHLER ARCH. MATH.

3. Der Froben iushomomorphismus F: O--* O, a ~ a p induziert Gruppenhomomor - phismen

S L , (0) ~ S L , (0)~

(a,~,) ~--~(a~,) J" f

Induziert F auf H i (SL,(O); F,.) die Mul t ip l ikat ion mit pi? Nicht einmal der Fal l i = 1, n = 2 ist mir klar.

Man kann die entsprechende Frage natiirlich ffir mit S L . (O) kommensurable Gruppen stellen, die durch F in sich iibergefiihrt werden.

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Anschrift des Autors:

Ulrich Stuhler Gesamthochschule Wuppertal Fachbereich Mathematik GauBstr. 20 D-5600 Wuppertal 1

Eingegangen am 6.4. 1983