53 G. Kirchhoj:

die Erde gelegter Quecksilberftrden denselben Widerstand besgsse, wie ein ebenso dicker 1 mm langer Wasserfaden.

Der Widerstand von 1 Ohm ware hiernach durch eine Wasserschicht von 1 qmm Querschnitt bei einer Dicke von etwa 26 Billionteln Meter dargestellt. Die ,,Wasser- widerstandseinheit", eine Wassersaule von 1 qmm und der Llinge von 1 m hat fast 4.10 lo Ohm. Um denselben Wider- stand zu besitzen, miisste ein Kupferdraht von 1 qmm die Liinge 24.10* km haben, eine Strecke, welche das Licht in etwa 2,2 Stunden durchliiuft. - Wilrde man in die Ober- fliche einer grossen Waasermasse eine halbkugelige Electrode von 1 m Durchmesser einsenken, so betriige der Ausbreitungs- widerstand etwa 12000 Ohm.

Einen Kiirper von einem so geringen Leitungsvermbgen wird man filr galvanische Electricitilt in vielen Flrllen als einen Nichtleiter behandeln diirfen.

Die Destillation im Vacuum hat nach Obigem den sehr befriedigenden Erfolg gehabt, auf einem einfacheren Weee sls dem friiheren zu einem fast dreimal kleineren Leitungsver- mbgen des Wasaers oder, wie man mit einer gewissen Be- rechtigung sagen darf, zu einem mindestens dreimal reineren Wasser zu hhren.

Mit Sicherheit kann man auch jetzt nur behaupten, dass die angegebene sehr kleine Leitungsffiigkeit wieder eine obere Grenze darstellt.

VI. Ueber dde Porrndderuny, die edn fester elastbcher E&rper erfilhr, wenn er rnagnetbcit

o&er &&Zectrisch polarWrt Mrd; von G. Kdrchhoff.

(dus den Sitzungsber. der k. ak+. der Wise. zu Berlin vom 28. Febr. 1884 mitgetheilt vom Hm. Verfasser.)

Am 17. Februar 1881 hat Hr. v. Helmholtz der Aka- demie eine Mittheilung liber die KrHfte gemacht, welche auf die Theile von magnetiach oder diglectrisch polarisirten Kbrpern wirken, und Ausdriicke fiir diese Krgfte mit Hiilfe

G. Kirchhof. 53

des Princips von der Erhaltung der Energie aus der An- nahme abgeleitet, dass Poisson 's Theorie des inducirten Blagnetismus ftir starre Kbrper im Luftraume richtig ist und sich iibertragen llisst auf diglectrisch polarisirbare Nicht- leiter. Die Resultate, zu denen er gelangt, stimmen im iibrigen mit den schon friiher von Sir W. T h o m s o n und C1. Maxwel l entwickelten iiberein; nur enthalten sie neben der Inductionsconstanten noch eine zweite von der Natur des Mittels abhiingige Grosse, die bestimmt ist durch die Aenderung, die jene bei einer Aenderung der Dichtigkeit erfahrt. Es hat Hr. v. H e l m h o l t z bei seinen Betrach- tuugen vorzugsweise Fliissigkeiten im Auge gehabt. Bei festen Korpern ist zu vermuthen, dass jene Krilfte mitbe- dingt sein werden durch eine dritte Constante, die eingefiihrt aerden muss, wenn man die Aenderung ausdrucken will, die die Induction durch Dilatationen erfshrt, welche in verschie- denen Richtungen verschieden sind. Es sol1 im Folgenden diese Vermuthung gepriift und dann die allgemeine Theorie anf einen einfachen Fall angewandt werden. l)

1. Es moge mit einer Betrachtung begonnen werden, die tihnlich einer ist, durch welche die allgemeinen Glei- chungen der P o i s s o n'schen Theorie des indncirten Magne- tismus begrtindet zu werden pflegen, und die zeigen SOU, wie der magnetische Zustand zu bestimmen ist, den unter dem Einfluss gegebener magnetisirender Krgfte eine Eisenmasse annimmt, deren Theilcben beliebig gegebene, unendlich kleine Verschiebungen am Lagen erfahren haben, bei denen die Masse in ihrem nattirlichen Zustande sich befand.

Man denke sich eine Kugel aus Eisen, welche in drei aufeinander senkrechten Richtungen die ilberall gleichen, als unendlich klein zu betrachtenden Dilatationen 4 4, 2, erlitten hat. Wirkt auf diese Kugel eine constante magne-

1) Bei der Coilactur diwr Mittheilung erh.lte ich daa Febiwarheft van Wiedemann's Annalen, in dem sich eine Arbeit von Em. L o r - berg ,,iiber Electmetriction" behdet; Bd. 21. y. SOO. Ee bezieht aich die= auf denaelben Uegenstsnd, der hier abgehandelt iat, und ffihrt durch Betraehtungen von anderer Form zu gleichen Resultaten.

51 G. Kirchh#

tische Kraft, deren Intensitat J1 ist, in der Richtung von A,, so wird die magnetische Axe derselben auch die Richtung von A1 haben, und ist pl ihr magnetisches Moment, bezogen auf die Volumeneinheit, so wird man :

!'I - - ( p - p' ( A , f I , + 1 9 ) - p" A,) J1 setzen dtirfen, wo p , p', p" Constanten sind, d. h. nur von der Natur des Eisens und, wie hier noch als moglich ange- nommen werden muss, von der Grosse der Kugel abhbgen kannen. Wirken gleichzeitig auf die Kugel in den Rich- tungen von 4, 4, & constante magnetische ErHfte, deren Intensitaten J1, J?, J3 sind,und bedeuten nun ,ul, pt, p3 die auf die Volumeneinheit bezogenen magnetischen Momente der Kugel Air dieselben Richtungen, so gilt auch jetzt noch diese Gleichung, und es ist:

und: Xun sei die gedachte Kugel ein unendlich kleiner Theil

einer endlichen Eisenmiuse, deren Punkte beliebig relative Verschiebungen erlitten haben, und die durch gegebene iiussere KrHfte magnetisirt ist, welche von einem permanen- ten Magnet herriihren mogen. Sie befindet sich dann unter den eben vorausgesetzten Verhiiltnissen. 4, I , , 4 sind ihre Hauptdilatationen; es seien sl, sg , s3 die Coordinaten eines Punktes in ihr in den Richtungen der Hauptdilatationen, V das Potential der Pusseren magnetischen Krilfte, Q das Potential der ganzen, magnetisch gewordenen Eisenmasse in Bezug auf diesen Punkt und:

,u2 = ( p - p' ( A ] + A, + &,) - p" A?) Js

p:$ = ( p - p' (A, + ib2 + I.:,) - p'' I . ~ ) J ~ .

rf = V + Q . Es ist dann:

Substituirt man diese Werthe in die Ausdriicke von fi , ps , k , so erhlilt man Gleichungen, aus denen zunilchst zu schliessen ist, dass p , p', p" von dem Radius der Kugel unabhhgig sind, da alle anderen, in ihr vorkomrnenden Griissen von diesem Radius nicht abhbgen. Setzt man:

uncl vernachliissigt Griissen von der Ordnung der Quadrate vnn i., . i,, I . ! , so erhHlt man aus ihnen weiter:

M a n bezeichne nun die Coordinaten des Punktes isl , s 2 , s3) in Bezug auf ein beliebiges, rechtwinkliges Coordinatensystem clurch .r, ! I , 2 , die Cosinus der Winkel, welche die 9 x e n der .(,. . s , . - I .<, rnit den Axen der . c , y, : bilden, durch:

‘ I I 1 6 , , c‘1 ! h?, f ’ ? , U s , IJ,,

und die rtuf die Volumeneinheit bezogenen magnetischen Momente fiir die Axen der 2 . y , : durch u , 3, ;’; man hat dann :

und die Gleichungen, die aus diesen entstehen, wenn statt des Index 1 der Index 2 oder 3 gesetzt wird. Es seien ierner i t , u , iu die unendlich kleinen Verruckungen, die der inaterielle Punkt, welcher a m Orte (z, y, z) sich befindet, erlitten hat , wahrend die Dilatationen I., , i, , i., erzeugt wurden; dann gelten die Gleichungen:

und diejenigen, die aus ihnen entstehen, wenn x, y, z und t i , u , 1u und a, b , c cyklisch vertanscht werden. Multipli- cirt man die Gleichungen fiir u , , p 2 , mit a , , a?, 0s oder mit b l , b 2 , b3 oder mit cl, c,, c3 und addirt sie jedesmal, so erhilt man infolge hiervon :

56

W O :

k” all , 611 , ( I l 2 = u,l = -- - 2 (6 a;;

&fit Hulfe dieser Gleichungen sind nun die Bedingungen abzuleiten, denen gemass das Gesammtpotential cp zii be- stimmen ist. Man hat:

wo d t ein Element des vom Eisen eingenommenen Raumes bezeichnet, dessen Coordinaten x , y, : sind, und T die Ent- fernung dieses von dem Punkte, auf den Q aich bezieht. Durch partielle Integration kann man den Ausdruck von Q in die Summe zweier Potentiale verwandeln, von denen dss eine herriihrt von Xassen, die den Raum des Eisens erfullen, das andere von Massen, die seine Oberflache bedecken. Des letzteren wegen erleiden die ersten Differentialquotienten von Q , also anch die von tp, an der Oberfliiche des Eisens Sprunge. Um die Darstellung zu vereinfachen, soll ein Kunatgriff benutzt werden, deasen sich auch Hr. v. H e l m - h o l t z bedient hat. Es soll die Vorstellung zu Grunde ge- legt werden, dass das Eisen a l lmah l i ch in die Luft iiber- geht, die Grassen a,,, aI2 , . . also stetig von den Werthen,

G. Kirchk@ 5 i

die im Innern des Eisens ihnen zukommen, bis Xu11 ab- nehmen, welchen Werth sie in der Luft haben. Erst spiiter sol1 dann die Annahme eingefiihrt werden, dass dieser Ueber- gang sich in einer unendlich dunnen Schicht vollzieht. Von der Oberflache des Eisens kann dann hier im eigentlichen Sinne nicht gesprochen werden; mit diesem Namen so11 Aber eine Flache belegt werden , die das Eisen einschliesst , fur die schon ilberall jene Coiifficienten uI1, a l z , . . = 0 sind, und die, wenn der Uebergang als ein plbtzlicher angenommen werden wird, in die wirkliche Oberflache des Eisens fallen soll. F u r die ,,Oberflache" des Eisens ist dann t( = p = 7 = 0. und es wird dsher:

Macht man in Betreff der Begrenzung des Magnets, dessen Potential 1,' genannt worden ist , die entsprechende Annahme, so ist Q und V , also auch mit seinen ersten Differentialquotienten im genzen Raume stetig und, erstreclien sich weder Eisen noch Magnet in die Unendlichkeit, so ist uberdies in der Unendlichkeit 'p = 0 . Es ist q aus (liesen Bedingungen und einer partiellen Differentialgleichung, der im ganzen Raume gentlgt werden muss, zu bestimmen. Diese finclet man, wenn man erwagt, dnss aus dem 1et.zten fiir Q angegebenen Ausdruck folgt:

und dass andererseits: d Q = AT - dI'-

ist. Substituirt man in die hieraus sich ergebende Gleichung fur u , p, y die gefundenen Werthe, so erhillt man:

Fur jeden der drei Theile, in welche der ganze Raum zerlegt werden kann, niimlich ftir das Eisen, den Magnet und

5s G. Kirchhtf.

den Luftraum, nimmt diese Gleichung eine einfachere Gestalt infolge davon an, dass nur im Eisen die Grossen a,, , aI2 . . . von Null verschieden sind und nur im Magnet d Vnicht = Null ist. F u r das Eisen ist daher die rechte Seite der Gleichung = Null, fur den Magnet ist die Gleichung:

A y = A V und f b den Luftraum: Arp = 0.

Die allgemeine fur y gefundene Diflerentialgleichung lisst sich ersetzen durch eine Gleichung, die ausspricht, dass die Variation eines gewissen Integrals verschwindet. Man verstehe unter 13tp einen unendlich kleinen Zuwachs der Function 'p , der, wie diese, mit seinen Differentialquotienten uberall stetig ist und in der Unendlichkeit verschwindet; man multiplicire die Differentialgleichung fur y mit 69 und mit dem Raumelement dt und integrire uber einen Raum, der durch eine Flache begrenzt ist, die ganz in der Unendlich- keit liegt. Die Gleichung, die man dann erhlilt, lliast sich durch partielle Integrationen in die Form bringen:

3'W den Zuwachs bedeutet, den W dadurch e r fh r t , dass 'p und c3qj wachst, ds ein Element der unendlich gossen Grenz- flllche und n die nach Innen gekehrte Normale von ds ist.1) Daraus , dass 'p mit seinen ersten Differentialquotienten iiberall stetig ist , in der Unendlic4keit verschwindet , und

1) Beilhfig m6ge. bemerkt werden, dass

also auch bei der eben gebrauchten Bezeichnung:

G. h-irchhqf 59

J g nur in einem Raume, cler sich nicht in die Unendlich- keit erstreckt, von Xu11 verschieden ist, folgt aber:

und &inn weiter , class , wenn die Abstnnde der Elemente ' der gewahlten Grenzflllche von einem im Endlichen liegen- den Punkte von der Ordnung der unendlich grossen L h g e R sind, in ihr die Werthe von cp mindestens von der Ord- nung von 1 /R und die Werthe von ayid i i mindestens von der Ordnung von 1/R3 unendlich klein sind. Hieraus ergibt sich endlich, dass das zu lfW hinzugefiigte Integral ver- schwindet, wenn, wie es sein soll, 8 r p in der Unendlichkeit verschwindet, dass also:

0 = $W ist. Der fur W aufgestellte Ausdruck soll noch einer Trans-

formation unterworfen werden. Indem man erwQt, dass cp und seine ersten Differentialquotienten tiberall stetig und in der Unendlichkeit von den eben angegebenen Grossenord- nungen unendlich klein sind , findet Integrationen

man durch partielle

\vo die Integrale uber einen Ilaum auszudehnen sind, dessen Grenze ganz in der Unendlichkeit liegt. Durch Substitution hiervon ergibt sich, wenn man noch durch d r L , C I T ~ , d r , Ele- mente des Eisens, des Magnets und des Luftraumes bezeichnet:

+ J Z T - V A T . 1 1 sz

2. Es soll nun durch Betrachtungen, die im wesent- lichen denen ganz gleich sind, durch die Eli. v. H e l m h o l t z zu seinen Resultaten gefilhrt ist, gezeigt werden, in welcher Beziehung die Grbsse W zur Energie der aus dem Eisen und dem Magnet gebildeten Yysteme steht, und wie aus ihrem Ausdrucke auf die K r m e geschlossen werden kann, die auf die Elemente des Eisens infolge seiner Xagnetisirnng

60 G. Kirchhof.

wirken. Zu diesem Zwecke sol1 zunikhst der Zuwachs SR' berechnet werden, den W erhillt, wenn der Magnet eine unendlich kleine Aenderung seiner Lage erfahrt, alle Punkte des Eisens aber nnverruckt bleiben. Um den Werth zu be- rechnen, den U' nach der Verriickung des Magnets besitzt, ist es nicht nothig, den wahren Werth zu benutzen, den dann tp in jedem Punkte des Raumes hat; es ist gestattet, einen anzuwenden, der von diesem urn etwas unendlich Kleines abweicht, wenn er nur, wie dieser, mit seinen ersten Differen- tialquotienten uberall stetig ist und in der Unendlichkeit verschwindet, da, wie im vorigen Paragraph bewiesen, unter dieser Bedingung alle Annahmen iiber Q zu demselben Werthe yon W fahren. Es darf daher angenommen werderi, dass nach der Verschiebung des Magnets in jedem materiellen Punkte des Eisens, des Magnets und der Luft Asp den ur- spriinglichen Werth behalten hat, wodurch dann das neue y uberall vollstilndig bestimmt ist. Die Vergrosserung, die sich dabei fiir das auf irgend einen materiellen Punkt be- zogens y ergibt, sei asp; die entsprechende Vergrosserung ron G sei d G. Variirt man den fur 2 G aufgestellten Bus- druck und fuhrt d a m die Grossen a, @, ;' ein, so findet man:

und daher, weil in der OberflLche des Eisens a! /? und y = 0 sind:

oder wegen der Differentidgleichung, der Q im Eisen genugt:

Erwagt man noch, dass fur alle Punkte des Magnets d y = AV und fiir alle Punkte des Luftraums d y = 0 ist, so ergibt sich:

- 6 W = L I d r , 8 n asp Arp + &sdr , , , 6g A g . Diese beiden Integrale sind einander gleich; es ist nilmlich allgemein :

wo die Integration uber das Eisen und den Magnet auszu- dehnen ist, also in dem ersten jener beiden Integale:

1 a l p = - - S d T m 6 r d T

I x

und in dem zweiten: d v = -

also ein jedes von ihnen:

wo Aye sich auf den Ort von dre , Jyn auf den Ort von d ~ , bezieht, und r der Abstand dieser beiden Elemente 1st. Es ist also:

Dieser Ausdruck stellt aber die Arbeit dar, die fremde Krafte der magnetischen Anziehung entgegen leisten miissen, urn die gedachte Verschiebung des Magnets hervorzubringen; es ist also SW die dieser Verschiebung entsprechende Ver- grosserung der E n e r g i e des aus dern Eisen und dem Magnet bestehenden Systemes, und W selbst diese Energie (abge- sehen von einer additiven Constanten) fur Z u s b d e , die voneinander durch die Lage des Magnets sich unterscheiden. In dem Falle, dass der Magnet in unendlich grosse Entfer- nung von dem Eisen geriickt ist, ist Wnur von dem Magnet, nicht von dem Eisen abhbgig.

Nun sollen Zustlinde ins Auge gefasst werden, die da- durch entatehen, dam die Theile des Eisens beliebige unend- lich kleine Verriickungen erleiden. Bei e in e m solchen Zustande seien 5 , q , 5 die Verrilckungen, die derjenige materielle Punkt, der urspriinglich die Coordinaten c, y, z besitzt, erfahren hat. Anf zwei Weisen denke mm sich diesen Zustand aus dem arspriinglichen durch fremde KrHRe, die man auf die Elemente des Eisens wirken Iseat, h e r v o r g d e n : das eine ma1 sollet4 geschehen, w3hrend derbiagnet an seinem Orte sich befindet; das andere mal soll der Magnet durch

62 G. KircAhof.

fremde Krafte vorher in die Unendlichkeit gefuhrt sein und nachher an seinen Or t zuriickgebracht merden. Nach dem Princip von der Erhaltung der Energie muss die Arbeit der fremden Kriifte in beiden FtSllen die niimliche sein. Die Arbeit, welche zum Transport des Magnets in die Unend- lichkeit und zurlick aufgewendet werden musste, ist die Ver- grasserung 6 W, melche W infolge der Verschiebungen 8 : 71. 5 erf&; um soviel kleiner muss die Arbeit der auf die Theile des Eisens wirkenden fremden Krafte in dem zweiten Falle, als in dem ersten sein. Bezeichnet man diese mi-fte, bezogen auf die Volumeneinheit, in dem Falle, dass der Magnet an seinem Orte ist, durch X, 2, 2: und in dem Falle, dass der Magnet entfernt ist, durch A;? 1;. 2,. so hat man also die Gleichung:

bringt man 8 W auf die Form:

dw’= - f d r , (A$ + B1, + CJ,

so sind daher A ~ T , , B ~ T , , Cdr, die inneren Krafte, welche auf das Element d ~ , mehr wirken, wenn der Magnet an- wesend ist, als wenn er fehlt; es sind die magnetischen Krgfte, welche auf das Eisenelement ausgeiibt werden.

Um hiernach A, B, C zu berechnen, muss man den Werth ermitteln, den W nach Eintritt der Verschiebungen 8 , 7, 5 besitzt; dabei darf man wegen der Eigenschnft von W, die im 0 1 bemiesen ist, statt des wahren Werthes von 9 wiederum einen nehmen, der von diesem um unendlich Kleines verschieden ist. E s kann und sol1 fiir jeden Punkt des Raumes d e r Werth von tp angenommen werden, der hier galt , bevor die Verschiebungen stattfanden Es wird dann 6W gleich der VergrBsserung. die

- j G d s , . dadurch erfAhrt, dass R, R’, h” und u , L’) w in jedem Raum- elemente des Eisens bei den Verschiebungen sich iindern. In dem Punkte des Raumes (z, y, z) befindet sich nach den Verschiebungen der mnterielle Punkt, der vor denselben am

G . Kirchhqtf: 6 9

Orte (r - t , y - I , , = - 5) sich befand; es haben dort k. k'. k' also die Zunahmen:

erhalten ; die Verschiebungen, die derselbe materielle Punkt erfahren hat, wiihrend dtrs Eisen aus demjenigen Zustande, in dem keine Dilatationen vorhanden waren, in den Zustirnd uberging, in dem es nach den Verschiebungen 6, q , 5 sich befindet, sind 21 + 5 , o + p i , ic + 5. d. h. t , 71, i sind die Vergrosserungen , die u , u , tc infolge der Verschiebungen 8. 5 . < erlitten haben. E s hat hiernach keine Schwierig- keit, durch Gleichsetzung der Coefficienten von I , 7;. 5 in cYW und in dem Integrale, durch welches A , B , C einge- fuhrt sind, Ausdriicke fur diese Krafte zu bilden. Dieselben werden wesentlich vereinfacht, wenn man benutzt, dass u , v , IC unendlich klein sind, annimmt, dass k' und R" endlich wie k sind. und nur Endliches berucksichtigt. Da an cler Ober- flache des Eisens k' und k = o sind, so erhzlt man dann:

und ahnliche Ausdriicke fiir B und C. Es lassen aich dieae Ausdrticke auf die folgende Weise

umformen. Die Differentialgleichuog, der 4p im Eisen gentigt, ist, wenn man auch in ihr unendlich Kleines gegen Endli- ches vernachliesigt:

multiplicirt man eie mit t3ypid.c und formt das Resultat um. SO erhiilt man:

64 G. Kirchhofl

Mit Hiilfe dieser Gleichung und der beiden ahnlichen, die sich ihr an die Seite setzen lassen, erhalt man:

aB, aB, aB, ax ay az - 9 - - - ad, ad, ad, A = - - - ~~ a j - - x l B = -

Daraus geht hervor, dass die Krafte A, B, C sich er- setzen lassen durch die Druckkriifte A,, A,, B, . . . , wo A, z. B. die x-Componente des anf die Fhcheneinheit be- zogenen Druckes bedeutet, die in einem auf der y-Axe senk- rechten Fliichenelement auf die Masse auf derjenigen 8eite des Elementes wirkt, nach welcher die y-Ordinaten wachsen.

Die Druckcomponenten A,, A,. . , konnen auch auf die Punkte des Luftraumes, in dem R , R', k"= 0 sin& bezogen werden nnd haben auch hier von Null verschiedene Werthe, wiihrend die Krllfte A, B, C im Luftraume verschwinden.

Die hier entwickelten Ausdriicke gehen, abgesehen von einer Verschiedenheit der Bezeichnung, in die yon Hm. von Ee lmho l t z gefundenen iiber, wenn man h"= 0 setzt.

G. Kir chk of. c)5

Solange wurde der Uebergang des Eisens in die uin- gebende Luft nls ein allmghlicher vorausgesetzt; es sol1 nun die Annahme eingefiihrt werden, dass dieser Uebergang in einer unendlich diinnen Schicht sich vollzieht, und dass inner- halb des Eisens k! k', h" constant sind. Infolge des letzteren Ulnstnndes findet man:

mit zwei ahnlichen Ausdriicken fiir R und C. Zu diesen Kraften, welche auf das Innere des Eisens wirken, kommen aber noch solche hinzu, die auf die Elemente seiner Ober- 5ache ausgeiibt werden. Ihre Componenten, bezogen auf die Flacheneinheit, seien 2, B, Um diese zu finden. behalte man die eingefuhrten Zeichen in Bezug auf das Eisen bei, bezeichne die entaprechenden, auf die Luft be- zogenen Grossen durcli mit einem Strich versehene Buch- staben; man nenne ferner n eine nach dem Innern des Eisens gerichtete Normale seiner Oberfliiche. Bus der Differentialgleichung, der bei stetiger Veriinderlichkeit von k die Function y genilgt, folgt dann, dass, bei der nun ge- macliten Annnhme, an der Oberflache des Eisens:

ist. woraus sich weiter ergibt:

a = :z + -Ink azcos(nzj.

Ferner hat man:

A = A'- A, , , A, = A, cos (n.) + A, cos (ny) + A, cos (nz) , A'= A,' cos (ns) + A,' cos (ny) + A,' cos (nz),

Auu. d. Phys. u. Cham. N. P. HXIV. >

66 G. Kirchli?~:

Daraus findet man: - 2 A = - 2 7 4 2 ) cos(nx)

2 at a n

und zwei iihnliche Ausdriicke fur B und c. Es sind diese Ausdrticke durch die Discussion eines

Processes gewonnen, der nicht immer ausftihrbar ist. E s sollte der Magnet in die Unendlichkeit gefiihrt werden, ohne dass dabei das Eisen eine Aenderung der Gestallt oder Lage erlitte; das ist nicht mbglich, z. B. wenn das Eisen ein Hohl- korper ist, in dessen Hohlung der Magnet sich befindet. Aber auch in solchen Fiillen werden die fiir A , B , C und A , B , C aufgestellten Ausdriicke gelten, da es in Bezug auf die Kriifte, die auf ein Element des Eisens ausgeiibt werden, gleichgiiltig sein muss, wie die magnetischen Fliissig- keiten, welche gewisse Werthe des Gesammtpotentials cp in seinen Punkten hervorbringen, soweit sie in endlicher Ent- fernung von dem Elemente liegen, vertheilt sind.

Die in Bezug auf einen Eisenkorper angestellten Be- trachtungen lassen sich auf ein DiBlectricum iibertragen, wenn dieses an Stelle des Eisens und ein electrisirter Nichtleiter an Stelle des Magnets gesetzt wird. Der Nicht- leiter kann aber auch durch Leiter ersetzt werden, da es fdr die Kriifte, die auf ein Element des Diglectricums wirken, gleichgiiltig ist , ob die electrischen Flussigkeiten, von denen diese Krafte herriihren, soweit sie in endlicher Entfernung von dem Elemente liegen, in ihren Triigern be- weglich sind, oder nicht.

Nun ist es leicht, die Dzerentialgleichungen fiir die Pormiinderungen aufzustellen, die ein fester elastischer Kijr- per erfiihrt, wenn er magnetisch oder diGlectrisch polarisirt wird. Man bezeichne in Ublicher Weise durch X,, X , , . . die Componenten der durch die Verschiebungen u , v , - w -- her- vorgerufenen elastischen Drucke, durch X, Y, 2 und X, 2 die Componenten der auf die Volumeneinheit bezogenen Krafte und der auf die Flicheneinheit bezogenen Druck-

- - -

G. Kirchhoy. 67

krafte, welche auf das Innere und auf die Obertlache des Korpers ausgeubt werden und von anderen Iirsachen, als der Elasticitiit und der Polarisirung desselben herruhren ; man hat dann fir jeden Piinkt im Innern des Korpers:

und fur jedes Element der Oberflache, wenn n die nach dem Innern des Karpers gerichtete Normale desselben bedeutet:

Dabei ist sllgemein, wenn n eine beliebige Richtung be- zeichnet :

-Y, = s+ A , Yn = 1-+ B, z, = z+ c.

x* = x, cos ( A Z ) + xy cos (ny) + -u, cos (nz ) , u, = Y, cos (n.) + Yy cos (7ty) + r, cos (72.) , z,, = 2, COS (nI) + 2, COS (ny) + 2, cos (7Z.Z) ,

t in i l :

‘3.U ;

und K und 8 die beiden Constanten der Elasticitat sind.

3. Es moge eine Betrachtung hier erwiihnt werden, durch die man glauben konnte, ebenfalls zur Kenntniss der A , B, C genannten Krilfte zu gelangen, die aber nicht zu diesem Ziele ftihrt.

Xan stelle sich einen durch eine geschlossene Flache begrenzten Theil des mxgnetisch oder dielectrisch polarisir- ten Kijrpers vor und berechne die Summe der z-Componenten der Kriifte, welche auf diesen Tbeil von allen ausserhalb desselben befindlichen magnetischen oder electrischen Flus- sigkeiten ausgetibt werden. Die in ihm enthaltenen Fltissig- keiten kiinnen dabei ersetzt werden durch eine Schicht an

5 .

68 G. KircIih#.

seiner Oberflache, in der auf das Plachenelement ds die Fliissigkeitsmenge: a

a 1) k -9 (1s

kommt, wenn R die nach seinem Inneren gerichtete Nor. male von ds bedeutet. Die auf diese Schicht wirkenden Krafte lassen sich aus zwei Theilen zusammensetzen. F u r den ersten Theil ist sp das auf einen Pol von der Fliissig- keitsmengc Eins bezogene Potential. Der zweite Theil ruhrt ,her von einer Flussigkeitsschicht, die an der Fliiche, deren Element d s genannt worden ist, ausserhalb derselben sich befindct und im Elemente ds die Dichtigkeit:

besitzt. Es sei U das Potential dieser Schicht in Bezug auf einen Punkt, dessen Entfernnng von dem Elemente ds durcli r hczcichnet werden moge, sodass:

ist, und U, sei der Werth von U in Bezug auf einen inneren, U, dcr in Bezug auf einen Susseren Punkt. Der erste Tlicil der gesuchten Summe der x-Componenten ist dann:

und der ziveite: -

Dieser zweite Theil lasst sicli aber auch noch auf andere Weise ausdriicken. Er ist namlich gleich der negativ ge- nommenen Summe der z - Componenten derjenigen Eriifte, welche die innere von den beiden betrachteten Schichten auf die aussere ausubt; d. h. er ist:

also auch:

oder : = - 27zb'Jd.v ( q c o s ( / L l ) .

G. Kirchhi!@. 69

Man kann hiernach die Summen der Componenten nach ,!en Coordinatenaxen der Kriifte, welche auf die Fliissigkeiten in dem abgegrenzten Theile des Korpers von allen ausser- hnlb desselben befindlichen Fliissigkeiten ausgeiibt werden, herechnen, indem man annimmt, dcrss auf jedes Element .;einer Oberfiiiche ein Druck wirkt, dessen Componenten, Iwogen :mf die Fliicheneinheit, sincl:

Eine nahe liegende Hypothese ist nun die, dass hier- durch erschopfend die magnetischen oder electrischen Krafte angegeben sind, die aiif den gedachten Theil des Korpers wirken. Ware dns richtig, so wiirde man jene Krafte -4, B, C finden, indem man mit Hiilfe dieser Ausdruclte fur ein R: tumclement des Korpers die Componentensummen ermittelte und durch die Grosse des Ranmelementes divi- dirte; es miissten die Quotienten von Gestalt und Grosse des Raumelementes unabhangig sich ergehen. Das ist nun Iiber nicht der Fall; ja, im allgemeinen finden sich die Com- ponentensummen nicht sls von der Grossenordnung des Raumelementes, sondern als von der seiner OberflBche. Man sieht dss leicht e i n , indem man ale Raumelement ein TetraEder wiihlt, bei dem drei Kanten den Coordinatenaxen parallel sind, und sich iiberzeugt, dass die Gleichung:

-U,, = -U, cos (nx) + X,, cos (ny) + X: cos (7iz)

n i c h t erfullt wird. Es ist daraus zu schliessen, dass ausser den durch die Fernwirkung der Flnesigkeiten unmittelbar hervorgerufenen Drucken X,, Yn, 2,. auf die Oberfische des abgegrenzten Theiles infolge der Polarisirung noch a n d e r e Drucke wirken. Es fallen diese fort, wenn der Theil von seiner Umgebung durch eine unendlich dSnne Luftschicht getrennt ist; sie miissen aber vorhanden sein, wenn die Con-

70 G. Kirchhof.

tinuitat des Korpers erhalten ist, weil sonst ein Gleich- gewicht gar nicht stattfinden konnte.

Hr. B o l t z m a n n hat in seiner Abhandlungl) allgemeine Gleichungen aufgestellt, welche fir die Deformation eines beliebigen festen elastischen Korpers durch Magnetisirung oder Diiilectrisirung gelten sollen. Den Betrachtungen, durch welche er dieselben ableitet, liegt aber die eben be- sprochene Hypothese zu Grunde, deren innerer Widerspruch bei dem Wege, den Hr. B o l t z m a n n eingeschlagen hat, nicht hervortritt. Bus den Gesetzen der magnetischen oder electrischen Kriifte und Induction entwickelt er namlich die Werthe von Xu, Y,, 2, nur fiir die Falle, dass n mit der Normale der Flliche tp = const. zusammenfdllt oder senkrecht darauf ist, und berechnet aus diesen die allgemeinen Werthe von Xu, Y n , 2, durch die Gleichung Xu = cosnx + X, cos ny + X, cos nz und die beiden entsprechenden Gleichungen.

4. Es sollen nun die im 0 2 aufgestellten Gleichungen auf den Fall eines Kugelcondensators angewendet werden, der auch von Hm. B o l t z m m n z ) und Kor t eweg3) behan- delt ist.

Bezieht man die Zeichen X, Y , 2, X , Y, Z auf a l l e Kriifte und Druckkriifte, die auf die Theile und die Ober- fiache des zu betrachtenden Korpers neben den durch die Elasticit% hervorgerufenen ausgeiibt werden, so sind die Differentialgleichungen fiir die Verruckungen u , 11, w :

- - -

1 au - g 2 = AUJ + (1 + 2 0) 3;.

Der Ebrper sol1 nun eine Glasmasse sein, die durch zwei concentrische Eugelflachen begrenzt ist , und deren Punkte Verrnckungen in den Richtungen ihrer Radien er-

1) Boltzmann, Wien. Ber. 8% p. 1157. 1080. 2) Boltzmann, Wien. Ber. 82. p. 926. u. fE. p. 1157. 1880. 3) Korteweg, Wied. Ann. 9. p. 48. 1880.

G. Kirchh qf. i 1

litten haben. Der Anfangspunkt der Coordinaten sei der Mittelpunkt,

~

7' = V L 2 + g + =')

und p die Grosse der Verriickung, die nur von T abhHngig sein soll, poditiv gerechnet in der Richtung, in der T wkchst. Es ist dann:

X 1 1 = 0 - c = o r . w y A - r ' ' r

also : l i d s + u(l!/ f 7 U d Z = p d r . woraus folgt, dass 11, u , w die partiellen Differentialquotien- ten nach x, y, z einer Function von r sind. Es werde diese U genannt; damit ist:

r12 U 2 d G drP r d r

fl= d U = - + - - 6 = > d o +9v= 1 d ( r Y o ) '. .

d r r I.: d r oder :

Die Kriifte X, I-, Z sollen den Gleichungen geniigen:

S = R J - , I ' = R Y , Z = R + ,

wo R eine Function von r ist; da dann: X d x + Fdy + Z d z = Rt i r ,

so sind auch X , Y , 2 die partiellen Differentialquotienten nach L , y, z eine Function von r ; nennt man diese P . fiihrt P und U in die Differentialgleichungen fur u , u , w ein. multiplicirt dieselben mit d x , dy , d z , addirt und integrirt, so erhillt man:

1 - - P = At'+ (1 + 2 @ ) 0 d. h. = 2(1 + Sj 6: K

wo T~ den Radius der inneren Oberfliche des Glaskorpers, a eine willktirliche Constante bezeichnen SOU. Daraus folgt dann weiter :

r

wo b eine zweite Constante ist. Betrachtet man Punkte, fiir die y = 0, z = 0 und .r

72 G. Kirchhq#:

positiv ist, so ist fur diese x = r , u = 0 , Xr = R,; daraus folgt:

R, = - 2 ~ @ + 0 s ) oder = 2 ~ ( 2 + - (1 + 0) c), und daher:

R , = 3 ( 1 + 4 ) ___ l + 3 @ , 1 - l f 8 r 3 ' 1. + j R d r - 1 + ' 07 ' j * ' d r j R , j r . +I rl ,I .

Bezeichnet r, den Radius der ausseren Oberflache des Glases, ist:

fur r = r , R, = El Wr r = r, R, = - E,

und sind und i?.. gegeben, so hat man in dieser Glei- chung r = r1 und r = r2 zu setzen, um die Gleichungen zu finden, aus denen a und h zu bestimmen sind.

Nun sei der Glaskorper mit zwei leitenden Belegungen versehen, die man sich als von ihm durch unendlich diinne Luftschichten getrennt vorstellen moge. In der inneren Be- legung sei das Potential = y,,, in der ausseren = 0; im Glase ist dann:

1 1 ---

f , r2

Nach dem im 2 fiir A aufgestellten Ausdruck ist ferner :

also, wenn man:

setzt: R = -(2k+R")p* C?

Waren die Glastlachen von den Belegungen insofern frei, als Drnckkrafte, die auf diese ausgeubt werden, sich auf jene nicht iibertriigen, so wilre nach dem fur 2 aufge- stellten Ausdruck:

Nun sol1 aber angenommen werden, d i m im Cfegentheil Drucke, die auf die Belegungen wirken, sich ohne Aende- rung auf die Glasflachen ubertragen; die Werthe von und R, sind dann urn gewisse Glieder zu ve rg rhe rn .

Die innere FlZiche der inneren Belegungen enthalt keine Electricitiit; die electrische Dichtigkeit der ausseren Flitclie derselben Belegnng ist:

1 d f r 4 2 d r '

-

wenn drts Zeiclien y' sich auf die Luftschicht bezieht, die die Belegung von dem Glase trennt; die Kraft, die auf die Einheit der Electricitiltsmenge in einem Flachenelemente in cler Richtung von r wirkt.und herriihrt von aller vorhande- nen Electricitat, mit Ausnahme derjenigen, die suf dem Flachenelemente sich befindet, ist:

Hiernach ist der Wertli von E, zu vergrbssern, um:

Die Dichtigkeit der Electricitat in der iiusseren Flache der liusseren Belegung ist = 0, in der inneren Flache der- selben :

- - -1 de.' ; 4 ;I d r

daher ist dem Werthe von R, hinzuzufugen:

Setzt man noch fir riylctr seine Werthe, so ergibt sich daher :

Es konnen jetzt die Constanten a und b berechnet wer- Urn diese Berechnung zu .erleichtern, mage die An- den.

14 A. Schuster.

nahme gemacht werden, dass die Dicke der Glasmand, rg - rl. unendlich klein gegen die Radien T~ und T~ ist. Es ergibt sich dann:

-"b 3 = - (- 1 + k + k * 1) cz. 4n Von besonderem Interesse ist die Kenntniss der Ver-

grosserung, welche der Radius T~ erfahren hat. Wird diese el genannt, so ist:

- _ Fiihrt man stlrtt der Griisse K den Elasticitiitscoefficien-

ten des Glases 6 durch die Gleichung: 1 + 3 8 E = 2 K - 1 + 2 e ~. ~-

ein, so findet man hiernach:

- 1 + 2 &

Diese Gleichung etimmt uberein mit einer, die Hr. K o r- t eweg in der oben citirten Arbeit durch Betrachtungen ah- geleitet hat, die den hier durchgefuhrten jm wesentlichen ilhnlich, wenn auch in ein anderes Gewand gekleidet und von geringerer Allgemeinheit sind. Statt der Grossen k, R', k", die hier vorkommen, hat er drei andere k, xl, x2 eingefiihrt, die mit diesen in den Relationen stehen:

h = 1 + 4nk, xI = 4n(k'+ k'?, xz = 4nk'.

VII. Ueber die Entladung &er ElectrtdtUt durch Gaae; v m Arthur S c h u a t e r .

In einer kurzlich der Royal Society zu London vor- gelegten Axbeit fiber den obigen Gegenstand I) habe ich alles Controverselle zu vermeiden gesicht. Ich werde mir im Folgenden erlauben, einige Ansichten, die der meinigen ent- gegenstehenden zu discutiren.

Ich habe die Vorgiinge in der NBhe einer negativen 1) A. Schaster , Proc. Roy. Soc. 37. p. 317. 1884. Beibl. 8. p. 835.