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l~ber die Multiplikation quantenmechanischer GrSl~en. II. Von P. Jordan in Restock.

(Eingegangen am 30. November 1933.)

Auf Grund mathematischer Resultate yon J. v. Neumann, E. Wigner und dem Verfasser gelingt eine erschSpfende Beantwortung der Frage nach dem Sinn des assoziativen Gesetzes in der ~Iultiplikation quantenmechanischer

GrSi~en.

w 1. Seit liingerer Zeit habe ich den Gedanken erwogen, dal3 der Formalismus der Quantenmechanik grunds~ttzlieher Erweiterungen be- dtirfe, um zur Erfassung der tieferen Probleme der relativistisehen Quanten-

theorie fiihig zu werden. Dieselbe Ansieht ist im Laufe der Zeit auch yon anderen Verfassern gefal3t worden: Dir a e 1) hat kt~rzlieh in sehr bestimmter Form die Uberzeugung ausgedrtickt, dal~ die jetzige Form der quanten- mechanisehen Transformationstheorie ,,played out" und an der Grenze ihrer Leistungsf~higkeit angekommen sei; L a n d a u und Pe i e r l s 2) haben sehon frtiher die radikale Ansieht ausgesprochen, dal~ selbst die bisherige Vorstellung yon der MSglichkeit reproduzierbarer Messungen im Gebiet der relativistisehen Quanteneffekte unanwendbar werde.

Allerdings sind der l)berzeugung yon der Notwendigkeit einer Er- weiterung oder Ab~nderung am Formalismus der Quantenmeehanik gerade jetzt einige starke Stiitzen entzogen worden. Die sehwerwiegenden Ano-

malien der Kernphysik Seheinen tatsiichlieh in dem von Pau l i seinerzeit erl~uterten Sinne ihre zutreffende Erkliirung durch die Annahme eines noch nieht direkt beobaehteten ,,leiehten Neutrons" zu finden; die Auf- findung des Positrons hat die Widersprtiehe zwisehen der Erfahrung und

der Diraeschen Spinelektrongleichung wesentlieh verringert; und die von Born a) angedeutete Theorie des Elektrons scheint das beriichtigte Problem der Selbstenergie des Elektrons zu 15sen. Trotzdem bleiben Grtinde bestehen, zu vermuten, dal] die vollst~ndige LSsung der relativis~isehen Quantenprobleme eine Erweiterung des jetzigen Formalismus effordern wird.

In einer vorangegangenen Untersuehung 4) wurde versueht, einen Bei- trag zur Kliirung dieser Fragen zu liefern durch eine Untersuehung der

1) p. A. M. Dirae, Trans. London Math. Soe. 8, 274, 1933. Einen anders- artigen interessanten Versueh hat G. Ruiner, ZS. f. Phys. 83, 351, 1933, unternommen. -- 2) L. Landau u. R. Peierls, ZS. f. Phys. 69, 56, 1931.

_ 8) M. Born, Nature, August 1933, S. 282. -- 4) p. Jo rdan , ZS. f. Phys. 80, 285, 1933. Ira folgenden mit I bezeichnet.

506 P. Jordan,

Rolle, welche das assoziative Gesetz der Multiplikation quantenmeehanischer GrSl3en in der jetzigen Theorie spielt. Es wurde gezeigt, dal~ gegeniiber der assoziativen Multiplikation c-~ ab zweier mel3barer GrS•en a, b die ,, Quasimultiplikation" d = 1 (ab ~ ba) eine physikaliseh viel einfachere und viel unmittelbarere Bedeutung besitzt. DieSe Quasimultiplikation ist kommutativ, aber nieht assoziativ; es empfiehlt sieh, in der weiteren Untersuchung nur noch yon dieser Quasimultiplikation zu spreehen und nicht mehr yon der gewShnlichen Multiplikation selbst. Die yon uns gestellte Frage lautet dann so: Weshalb ist in der jetzigen Theorie die ,,Algebra" der me~baren GrS~en stets eine Matrizenalgebra (mit Quasi- multiplikation der Matrizen); weshalb kann nieht start dessen eine beliebige kommutative hyperkomplexe Algebra auftreten? 1) Die Bereehtigung dieser Frage erhellt besonders deutlich aus der schSnen axiomatischen Begriindung, welehe J. v. N e u m a n n 2) der Quantenmeehanik gegeben hat. Seine Axiome enthalten nut solche Aussagen, die einen unmittelbar an- sehaulichen physikalischen Sinn besitzen; mit Ausnahme eines besonderen Axioms, welches vorschreibt, dal3 das System der mel~baren GrSl~en an einem physikalischen Gebilde einem Matrizensystem ~quivalent sein sell - - eine Forderung, der ira Zusammenhang der Neumannsehen Begriffs- bildungen keinerlei physikaliseh unmittelbar anschaulieher Sinn zukommt.

Zur Beantwortung unserer Frage ist zuni~ehst zu sagen, dal~ jedenfalls das Potenzgesetz

a . a m ~_ a . + .~ (1)

in einer far die Quantenmechanik (in ihrer jetzigen Gestalt) zu gebrauchenden Algebra erfifilt sein mull Dieses Gesetz ni~mlich hat veto Standpunkt der Neumannschen Begriffsbildungen aus einen unmittelbar anschauliehen Sinn; es kann als Ausdrq~ck [~r die MOgliehkeit reproduzierbarer Messungen angesehen werden, da es die notwendige and hinreichende Bedingung dafiir bildet, da~ jede mel]bare GrS~e a zerlegt werden kann in zueinander ortho- gonale ,,Einzelgr6flen" (vgl. hierzu w 2).

1) Ganz allgemein ist eine hyperkomplexe Algebra dadurch zu definieren, dal3 ~iir ,,Basisgr61~en" al, as , . . . , eine ;,Multiplikationstabelle"

ak al = ~ ~ l aj J

vorgesehrieben wird, we die ~2{, Zahlkoeffizienten sind. Wenn ~ z = ~J~~ ist, so ist die Algebra kommutativ. Eine assoziative Algebra ist, wenn sie ,,halb- einfaeh" ist, stets einer Matrixalgebra •quivalent.- *)J . v. Neumann, GSttinger Naehr. 1927, 1.

Uber die Multiplikation quantenmeehanischer GrSl3en. II. 507

In I wurde nun etwa folgendes ausgefiihrt: Wenn wit Algebren hyper- komplexer GrS~en konstruieren kSnnen, welehe keine Matrizen sind, welehe aber trotzdem ebenfalls dem Gesetz (1) geni~gen, so werden wir in diesen Algebren ein geeignetes mathematisches Instrument einer Veraltgemeinerung tier bisherigen Theorie erblieken diirfen. Es ergibt sieh also die Aufgabe, alle hyperkomplexen Algebren zu bestimmen, welche dem Gesetz (1) ge- nfigeIl.

Diese Aufgabe, welche bei der Abfassung yon I noeh ungelbst war, und deren Behandlung eine etwas umfangreiehe mathematisehe Theorie erfordert, ist inzwisehen yore Verfasser 1) angegriffen und gemeinsam mit J. v. N e u m a n n und E. W i g n e r vollsti~ndig gelSst worden2).

Wir haben festgestellt: Mit Ausnahme einer gewissen Algebra ~ , die in diesem Zusammenhang einen singul~ren Ausnahmefall bildet, sind alle kommutativen Algebren, in denen das Potenzgesetz (1) gilt, aus Matrizen- systemen abzuleiten, indem man diese Matrizen durch Quasimultiplikation miteinander verkntipft. (Dabei sind in unseren Beweisen die Algebren als ,,halbeinfaeh" und als yon endlieher Basis angenommen; vgl. die genaue Formulierung in w 2.) Jedoeh gibt es unter den Matrixalgebren noch drei verschiedene Klassen:

1. Matrizen mit reellen Zahlen als Elemente; 2. Matrizen mit kom- plexen Zah]en als Elemente; 3. Matrizen mit reellen Quaternionen als Elemente.

Man kSnnte also die Mbglichkeit erw~gen, da~ der in der niehtrela- tivistisehen Quantenmechanik unbekannte Fall 3 in der relativistischen Verallgemeinerung der Theorie eine Rolle spielen kSnnte.

Andere VerallgemeinerungsmSglichkeiten bestehen aber nicht, wenn man (1) aufreeht erhalten will; denn das sparer zu besehreibende Ausnahme- system ~ kann bier nieht unmittelbar helfen. Abgesehen yon der noeh nicht n~her untersuehten MSglichkeit, dal~ die Quaternionenmatrizen fiir relativistisehe Zweeke brauehbar sein kSnnten, bleibt also, falls eine Ver- allgemeinerung der Theorie tats~chlich unvermeidlich ist, kein anderer Ausweg iibrig, als da~ man mit L a n d a u und Pe ie r l s die Annahme repro- duzierbarer Messungen in der bisherigen Form fallen 1~13t8).

Unabh~ngig yon der Frage der Verallgemeinerung der jetzigen Theorie ermSglicht unser mathematisches Resultat jedenfalls eine wesentlieh durch-

1) p. Jordan, GSttinger Nachr. 1933, 209 (vgl. auch ebenda 1932, 569). _ 3) p. Jordan, J .v. Neumann u. E. Wigner (erscheint am anderen Orte). _ 3) Abgesehen yon einem noch zweifelhaften Punkte in der Begriindung des distributiven Gesetzes; vgl. die Sehlul3bemerkung.

Zeitschrift ffir Physik. Bd. 87. 34

508 P. Jordan,

sichtigere und naturgenril3ere Axiomatisierung der Quantenmechanik in ihrer jetzigen Gestalt. Das soll im zweiten Paragraphen der vorliegenden Note gezeigt werden.

w 3. Wir betraehten ein bestimmtes quantenmeehanisehes Gebilde, etwa ein H-Atom. Aft einem solehen kSnnen versehiedenartige Zustands- messungen ausgefiihrt werden; wenn wir yon einer bestimmten meflbaren GrSfie a oder einer davon versehiedenen meBbaren GrSBe b spreehen, so meinen wir nichts anderes, als zwei verschiedene Mefiapparate, die wit am H-Atom anwenden kSnnen.

Innerhalb einer gewissen groBen Menge ~ ~'on H-Atomen gibt es einen bestimmten Erwartungswert a fiir die GrSl~e a; dieser wird in einer anderen H-Atommenge ~ i natiirlieh im allgemeinen ein anderer sein. (Es sei etwa a eine Ortskoordinate des Elektrons im H-Atom; .~ sei eine Menge yon H-Atomen im Grundzustand; ~ i eine Menge yon H-Atomen in einer stromdurchflossenen Geissler-RShre.) Zwei GrSi~en a, b mtissen als identisch

betraehtet werden, wenn unter allen Umstiinden a = b ist (d. h., wenn in .~, und ebenso in -~i, und ebenso in jeder anderen Menge yon H-Atomen,

= b ist.) Im Anschlug an die Neumannsehen Begriffsbildungen formu- lieren wit:

Axiom I. Zu zwei GrSBen a, b gibt es stets eine dritte e nfit der Eigen- schaft, dag unter allen Um.stiinden (d. h. in ~eder 5Ienge .~, ~1, usw.)

= ~ + ~ (2) ist.

Wir nennen dann c die ,,Sumlne" yon a und b und sehreiben also

c =: a § b. (8)

Folgerungen hieraus sind das kmnmutative und assoziative Gesetz der Addition:

a + b = b + a; (4)

(a + b) + o = a + (b + c). (5)

Es mug betont werden, dab Axiom I eine sehr einsehneidende Forderung ist. Die yon Pau l i i) gegen die ,dogmatische" Fassung der quanten- mechanischen Transformationstheorie erhobenen Bedenken betreffen gerade diese Forderung. Es scheint mir jedoch wenig wahrscheinlich, dab der Paulisehe Vorschlag einer Unterseheidung soleher Operatoren, welehe eine ,,wirklieh mefibare" GrSSe darstellen, yon solehen, deren wirkliche

1) W. Pauli jr., Handb. d. Phys. Zweite Auflage. Bd. XXIV/1.

Uber die Multiplikation quantenmechanischer GrSl]en. IX. 509

Messung nieht angiingig ist, far die For~entwieklung der Theorie fruehtbar

sein wird. Indem wit auf einem Mel~apparat, der die GrSl~e a mil~t, eine bloSe

Skaleni~nderung vornehmen - - ohne irgendeine sonstige Anderung dieses Mel~instrumentes - - , erhalten wir einen neuen Me~apparat, dureh welchen jetzt eine gewisse Funktion yon a gemessen wird. E s ist also sinnvoll, yon Funktionen /(a), also z .B. yon a 2 oder aS-~ 7 a3-4 - 2 oder sin a zu

spreehen, und es miissen die gewShnlichen l~eehengesetze daftir gelten.

Das drticken wit aus dureh das

Axiom 1I. Aus einer mel~baren GrSl~e a ist eine mel3bare GrSl3e a n ab-

zuleiten, und es gilt a n a m = a n + "* (6)

Dieses Axiom ist kennzeichnend ftir die Auffassung, welehe die jetzige Theorie betreffs des MeSprozesses hegt; wiirde man mit L a n d a u - P e i e r l s den quan~enmeehanisehen Messungsprozessen einen noch hSheren Grad yon Unbestimmthei~ zusehreiben, so wiirde das Axiom I I aufhSren, in unseren quantenphysikalisehen Vorstellungen zwangsliiufig begriindet zu sein.

Endlieh geht aus der erl/~uterten Auffassung hervor, da$ ~ niemals negativ sein kann (denna 2 wird gemessen auf einer Skale, auf der es keine negativen Werte gibt). Aueh kann ~ auSer far a = 0 nieht in allen Mengen 9, 91, usw. versehwinden. Das drticken wir aus in

Axiom 111. Aus a s + b 2 + c 2 + . . . . 0 (7)

folgt a = b -= c . . . . . 0. (7')

Fi~r die mathematisehe Theorie ist dies Axiom lediglieh zweeks Aus- sehlu$ ,,pathologiseher" Systeme notwendig 1) ; die eigentlieh grundlegenden Axiome sind I und II.

Weiterer Axiome bediirfen "~4r nieht; in den gemaehten, unmittelbar

ansehauliehen Annahmen ist die gesamte Quantenmeehanik (in ihrer heutigen Gestalt) enthalten.

Wir de/inieren eine Multiplikation der mel3baren GrSl~en, indem wit setzen:

2 ab = (a ~ b) 2 - (a s -4- b~); (8)

links treten nut solehe Reehenprozesse (Addieren, Quadrieren) auf, die wir sehon besprochen haben.

1) Axiom I I I hat analoge Bedeutung, wie die Voraussetzung der ,,Halb- einfachhei~" bei assoziativen Algebren.

34*

510 P. Jordan,

In dieser Definition ist das kommutative Gesetz der Multiplikation enthalten. Zugleich aber auch das distributive Gesetz

a (x + y) = a x + ay . (9)

Zum Beweise kombinieren wir (8) mit (5):

( a ~ - b - 4 - c ) 2 : (a-~-b) 2- [ -c 2 -~-2(a -~-b) c : a 2 + ( b ~ - c ) 2 ~ - 2 a ( b - ~ - c ) ,

also nach (8) weiterhin:

2 a b + 2 (a ~- b) c -~ 2 bc + 2 a (b -~ c);

dasselbe werde flit - - c start c hingesehrieben und dann beides addiert. Das gibt

2 ab = a (b -~ c) -~ a (b - - c),

was mit (9) gleiehbedeutend ist.

Wir stellen also zusammenfassend lest: Die mel~baren Gr613en an unserem System (H-Atom) bilden eine hyperkomplexe Algebra. In dieser Algebra gelten alle gewShnlichen Reehenregeln mit Ausnahme des asso-

ziativen Gesetzes der Mul t ip l ikat ion; yon diesem ist nut das Potenzgesetz ana m ~ a n + m iibrig geblieben. Ferner gilt Axiom I I I .

Endlich wollen wit noeh die vereinfaehende Annahme einfiihren, dal3 die fragliehe Algebra eine endliche Basis besitzt, d. h. dal3 durch ein System

yon endlieh vielen linear unabh~ngigen BasisgrSl~en al , a 2 . . . . jede GrS~e a linear ausdriiekbar ist:

a : ~ / z ka k. (10) k

Diese Annahme trifft zwar bekanntlieh beim H-Atom nicht zu; sie hat aber den grol3en Vorteil, das Problem zu vereinfaehen dureh Ausschlul3 gewisser mathematiseher Komplikationen (kontinuierliehe Eigenwert-

spektren usw.), ohne dal3 dabei das fiir uns je tzt Wesentliehe beri~hrt werden diirfte.

Bei endlieher Basis kSnnen die Potenzen a ~ : 1, a, a ~ . . . . yon a nicht siimtlich linear unabhiingig sein. Es sei nun

q~ (a) = a M + 2 m - 1 a m - - 1 "~- " ' " ~ - 21 a -~ 20 = O, (11)

wi~hrend keine Gleiehung / (a) : 0 yon kleinerem als m-ten Grade gelten soll. Aus Axiom I I I ist abzuleiten, dal3 die Gleichung ~ (:r : 0 genau m verschiedene, reelle Wurzeln hat, so dal3 man lolgendes behaupten kann:

m

a ~ ~ a a e a ,

e~ee ---- ~ae%, (12) q~ (a)

Uber die Multiplikation quantenmechanischer GrSl~en. II. 511

Das Potenzgesetz (Axiom II), das, wie oben erliiutert, ein n o t w e n d i g e r

Ausdruck flit die MSglichkeit reproduzierbarer Messungen ist, is~ also um- gekehrt auch h i n r e i c h e n d ftir die Existenz einer Zerlegung yon a naeh orthogonalen EinzelgrSl3en %, auf weleher die bekannte quantenmechanisehe Messungsstatistik beruht.

Es entsteht nun die rein mathematisehe Frage naeh den verschiedenen m5gliehen Strukturtypen yon hyperkomplexen Algebren mit den erliiuterten Eigensehaften. Wit sagen, eine Algebra hat den Grad y, wean es in ihr GrSl~en a mit ~, versehiedenen ,,Eigenwerten" ga, abet k e i n e GrSl3e a mit m e h r als ~, versehiedenen Eigenwerten % gibt. Die Antwort auI unsere Frage ist dann diese:

1. Es gibt fiir jeden Grad y ~ 3 genau 3 verschiedene irreduzible Algebren unserer Art. Sie entstehen so: Man nehme die hermitisch-symme- trisehen Matrizen vom Grade ~, entweder mit reellen Zahlen als Elementen, oder mit komplexen Zahlen als Elementen, oder mit reellen Quaternionen als Elementen; und man verkniipfe diese Matrizen dutch die kommutative Quasimultiplikation.

2. Es gib~ fiir den Grad ~ ~ 3 aul]erdem noch eine vierte irreduzible Algebra; man kann in den Matrizen dritten Grades n~mlieh aueh noeh viertens reelle Cayley-GrSl]en 1) als Matrixelemente nehmen. Dies is~ der oben erw~hnte Ausnahmefall ~)~.

3. Ftir ~ = 2 gibt es unendlich viele irreduzible Algebren der ge- forderten Art; als Basis kann % ~ 1; al, a~ , . . . , a n gewiihl~ werden, wo n beliebig und a~a~ ~ (~k~ fiir k, l ~ 0 ist. Naeh einer yon M. Zorn her- riihrenden Uberlegung sind mit den soeben angegebenen die fragliehen Algebren mit ~ = 2 ersehSpft.

Der Beweis 2) flit die hiermit Iormulierte An~wort erfordert (flit die Punkte 1. und 2.) recht umfangreiehe Untersuehungen, auf die bier nieht eingegangen werden kann.

Die Algebra ~ wtirde einem physikalisehen Gebiide entspreehen, bei welchem jede reel]bare Grsl]e nut drei Eigenwerte hat. (Wiihrend z.B. beim ruhenden niehtrelativistischen Elektron jede reel]bare Gr513e ~ d. h. jede Spinkomponente - - gerade zwei Eigenwerte hat.) Bemerkenswerter- weise lal]t sieh die gesamte quantenmechanisehe Theorie ltickenlos auf dies Gebilde tibertragen. Nur fehl~ die M5gliehkeit, dies Gebilde mit einem zweiten zu einem Gesamtsystem zu ,,versehmelzen", unter Wahrung des Potenzgesetzes a~ a '~ = a n + ~ auch im Gesamtsystem.

1) gber deren Definition vgl. I. -- 2) p. Jordan, J. v. Neumann u. E. Wigner, a. a. O.

512 P. Jordan.

Ftir die Systeme hSheren Grades (~ ~ 3) ist ohne weiteres die ge- wShnliche Quantenmechanik im Vollen Umfang gesichert, nachdem man

weifl, da~ es sieh um Matrizenalgebren handelt: denn danach sind jetzt alle Voraussetzungen gegeben, welche naeh v. Neumann (a. a. O.) eine ausreiehende Unterlage zur Herleitung der Quantenmechanik bilden.

Dabei erscheinen die Quaternionenmatrizen als zun~chst ebensowohl verwendbar wie die gewShnliehen komplexen Matrizen. Nut zeigen die Quaternionenmatrizen nieht mehr dieselben einfachen Eigenschaften wie die gewShnliehen komplexen Matrizen hinsichtlich des Problems der ,,Ver- schmelzung" zweier Systeme zu einem Gesamtsystem. Immerhin kSnnte vielleieht gerade die Art und Weise, wie in der jetzigen Theorie diese Ver- sehmelzung auszufiihren ist, als charakteristisch flit die nichtrelativistische

Theorie angesehen werden.

Anmerkung bei der Korrektur. Herr v. Neumann macht reich darauf auflnerksam, da~ in der obigen Herleitung des distributiven Gesetzes (9) stillschweigend die Annahmen b ( - - c) : - - bc und a (2 b) : 2 (ab) ge- braucht sin& Die letztere kann noeh entbehrlieh gemacht werden, die erstere dagegen scheint ein besonderes Axiom darzustellen, dessen eigent- licher physikalischer Sinn noch nicht zu erkennen ist. Dieser Punkt s011 noeh untersucht werden.