Ober die Multiplizit t der Schnittpunkte von Hyperfl tchen.

Von

Wei-Liang Chow in Shanghai (China).

Wit werden hier einen einfachen rein-algebraischen Beweis fiir den folgenden Satz bringen:

n Hypeffl~chen Fi im n-dimensionalen projektiven Raume schneiden sich in einem Punier ~, der fiir die Hypeffl~chen F~ bzw. s~-fach ist, ira allge- meinen//s~-fach; die Schnittmultiplizit&t wird dann und nut dann grS]er, wenn die Hypeffl~chen F~ in ~ eine gemeinsame Tangente besitzen.

Der Beweis, der, dem rein algebraischen Standpunlrt gem~B, auf der van

der Waerdenschen Multiplizit~tstheorie beruhtl), bildet eine einfache An- wendung yon dem Prinzip der Erhaltung der Anzahl. Die zur Anwendung dieses Prinzips nStigen Betrachtungen werden hier dutch zwei allgemeinere S~tze A und B fiber Schnittmultiplizit~t geliefert. Diese S~tze fiber Schnitt- multiplizit~t sind Yerallgemeinerungen eines Satzes iiber die Einfachheit der Schnittmultiplizit~t yon Herrn van der Waerden~), und sie ]assen sich auch mit einer ~hnlichen Methode beweisen.

A. Wenn bei einer relationstreuen Spezialisierung der Schnittpunkte der Hyperfl~chen G~ (A, x) --- 0 fiir 2 --~ # zwei Schnittpunkte ~(~) und ~(2) in einen Schnittpunkt ~ der spezialisierten Hyperfl~chen Gt (#, x) -- 0 hineinriicken und wenn der Punkt ~(1) bzw. si-fach fiir die Hyperfl~chen G~ (2, x) ---- 0 ist, so haben die Polaren s~-ter Ordnung yon Gi (#, x) -~ 0 in bezug auf U eine gemeinsame Erzeugende.

B. Wenn bei eiffer relationstreuen Spezialisierung der Sctmittpunkte der Hyperfl~ichen Gi (2, x) = 0 fiir 2-> # zwei Schnittpunkte ~(1) und ~ ) in einen Schnittpunkt ~ der spezialisierten Hyperfl~ehen Gi (#, x) ---- 0 hinein- riieken und wenn die Hypeffl~chen G~ (2, x ) = 0 in ~(~) bzw. si-fach sind und dort eine gemeinsame Tangente besitzen, so haben entweder die Polaren s~-ter Ordnung yon G~ (/~, x) -- 0 in bezug auf ~7 zwei gemeinsame Erzeugende, oder es gelten gewisse Relationen R, die wit nachher angeben werden.

1) B. L. van der Waerden, Der Multip]izit~tsbegrfff der algebraischen Geometrie, Math. Aunalen 97 (1927), S. 756--774.

2) B. L. van der Waerden, Zur algebraischen Geometrie V, Math. Annalen l l 0 (1934), S. 128--133.

W.-L. Chow, 0her SehnittpunkCe yon Hyperfl~chen. 599

B e w e i s yon A. Der Beweis lautet fast wSrtlich genau so wie bei van der Waerden~), nur werden bier s ta t t der Tangentialhyperebenen die Tangential- kegel (die Polaren s,-ter Ordnung) betrachtet. Wir kSnnen ~o 1) = ~:~) = 7o -- 1 annehmen. Die Verbindungslinie yon ~(1) und ~(~) schneide die Hyperebene x o - - 0 in einem Punkt r, der bei der relationstreuen Spezialisierung (~t, ~1), ~(~)) _> (/~, ~, y) in den Punkt eo hineinriicken mSge. Wit kSnnen ~1 ----- % = 1 annehmen, dann ist ~(2) = ~(1) _~ ( ~ ) _ $~1)) ~. Entwickeln wit nun G, (~t, ~(~)) ---- G, (2, ~(1} + (~2~ _ ~(1~) ~) nach den Potenzen yon (~? )_ ~1)), so haben wir

+ (~?) _ $S~))~ + I H ~ + 1 (~; ~(~), ~) + . . . = o

oder, dutch (8~)--~))s~ dividiert,

H,, (;L; ~(~, T) + (~?) - ~(~)) [ H ~ + ~ (;~; ~('), ~) + . . . ] = 0.

Machen wit diese Gleichungen dutch Einfiihrung yon ~(o 1), ~(o ~), ~ homogen, machen dann den ~])ergang (~t, ~(~), ~(~), ~) --> (#, V, 7, co) und se~zen dann wieder ~ o - o~ = 1, so bekommen wit

H ~ (/~; ~, ~) - - 0.

Daraus folgt, wie man leicht einsieht, dal~ die H~ (~; V, x) -- 0 die Ver- bindungslinie ~7~ yon ~ und co enthalten.

Bewe i s von B. Wir kSnnen ~0 - ~1) __ ~(o~) = 1 annehmen. Die ge- meinsame Tangente yon Gi (2, x ) - - 0 schneide die Hyperebene x e - - 0 in einem Punkt a, der bei der relationstreuen Spezialisierung (~, ~(~})--> (/~, r/) in w' hineinriicken mSge, wobei wit ax = ~o~ -- 1 annehmen kSnnen. Es gelten dann offenbar H~ (#; U, o Y ) - 0. Die Verbindungslinie yon ~(~}

und ~(~) schneide die I-Iyperebene x o -- 0 in v, der bei der relationstreuen Speziahsierung (2, ~{1), ~(~)) _ , (#, ~, ~) in o~ hineinriicken mSge. Aus A folgt dann H~ (#; ~, o~) -- 0. Ist ~o ~= oY, so haben die Polaren H~ (#; ~, x)

-- 0 zwei Erzeugende ~-~, ~eo' gemeinsan~. Es sei nun eo -- co'. Wit kSnnen dann ~ = o~ 1 = I und folglich ~(~) = ~1) _~ ( ~ ) ~o)) ~ setzen. Daraus folgt wie bei A

(1 ) / /~(~; ~('), r) + (~?) - ~i~))// ,~+ ~ (~; ~('), ~) + . . . = 0.

Die Verbindungslinie yon a und v mSge nun die Hyperebene x~ = 0 in einem Punkt ~ schneiden, der bei der relationstreuen Spezialisierung (~, ~(~), $(~), v, a) -~ (#, ~, ~, o~, ~o) in = hineinriicke, wobei wit ~ = ~ -- 1 annehmen kSnnen. Wit haben dann

(2) ~ -- ~ -~ ( ~ -- a2) ~"

39*

600 W.-L. Chow.

Die Gleichung

definiert ein ]]lementenpaar (~, fl), das bei der relationstreuen Spezialisierung (2, ~(1), r v, a) --~ (#, ~/, ~/, co, w) in das Paar A, B hineinriicken mSge. wobei A, B nicht beide versehwinden kSnnen. Falls A ~ 0 ist, dann kSnnen wit A = ~-= 1 setzen, und wir h~ben

(~) ~ ) -- ~ ' = t~ ( ~ - ~ ) .

Setzen wit nun (2) und (3) in (1) ein und entwickeln die H (2; ~(~), v) nach den Potenzen yon (~ -- a~.), so haben wit (da Hs~ (2; ~('), a) -= 0)

(~ - - a~) ~Y ~ OjH,~ (4; ~(~), a) + (~2)_ ~)) H~ +, (7; ~(~), a)

+ ( ~ - a~) ~ ( . . . ) + (~, - ~ , ) (~?) - ~?)) ( . . . ) + ( ~ ) _ z~,))~ ( . . . )

+ ( ~ - ~.~)~ ( . . . ) = 0

oder, dividiert dutch ( ~ - a~),

(4) ~, ~jOjH,~(4; ~(1),a) --bflH,,+l(4; ~ ( ' ) , a ) - t - ( v~_a2) ( . . . ) = O. J

Machen wit nun (4) dutch Einfiihrung yon ~(o 1), %, zl, e~, ~ homogen, machen dann den l~Tbergang (4, ~o), z, a, e, ~, fl) --> (#, ~1, w, w, :~, A, B) und setzen dann wieder v /o - w~ ---z~ = 1, so haben wir die Relationen

?t

(g) A ,~, niOjH,~,(#; rl, aO + B H ~ + ~ (#; V,o~) = 0,

die dadurch, dal~ wit den Koeffizienten A beibehalten haben, aueh fiir den :Fall A = 0 gelten, wie man sich in ~hnlicher Weise wie oben iiberzeugt.

Beweis des Satzes . Zun~chst wenden wit A auf n allgemeine Hyper- fl~chen ~', (2, x) der Ordnung n, an, die bzw. si-fach durch einen festen Punkt r/ gehen. Fiir die Spezialisierung 4 -+/z sollen diejenigen Hyperflgchen Fi (#, x) entstehen, die bzw. aus s, allgemeinen dutch ~ gehenden Hyperebenen und n , - s, allgemeinen Hyperebenen bestehen. Da die F, (/z, x) offenbar in einen 17 s,-fachen Sehnittpunkt haben und dort keine gemeinsame Tangente besitzen, so miissen sich die Hyperfl~chenFi (4, x) auch Hsi-fach in ~ schneiden. Damit ist der erste Tefl des Satzes schon bewiesen. Dal~ die Schnittmultipli- zit~t nut dann grSl]er sein kann, wenn eine gemeinsame Tangente vorhanden is~ folgt wieder unmittelbar aus A. Da] dann auch tats~ehlich eine grSl]ete Sohnittmultiplizit~t auftritt, l~]t sich so schliel~en. Wit wenden B auf n aUgemeine Hypeffl~ehen ~vi (2, x) der Ordnung n, an, die bzw. si-fach dutch einen festen Punkt ~7, etwa den Punkt (1, 0, . . . , 0), gehen und dort eine

Uber Schnittpunkte yon Hyperfli~chen. 601

feste Tangente in der Richtung des Punktes co, etwa des Punktes (0, 1, 0, . . . , 0), besitzen. Als spezialisierte Hypeffliichen F~ (#, x) nehmen wit nun die folgenden" iv 1 (#, x) besteht aus einer allgemeinen quadratischen Hyper- fl~che 2:a~t x~ xt = 0, die dutch ~ (abet nicht dutch r geht und dort eine Tangente in der Richtung co besitzt (d.h. 27a~tr i~ , - - - - - .~a~t~co t - 0, also aoo = aol = alo = 0, die sonstigen a~t sind allgemein), und s ~ - 1 allgemein durch ~ gehenden Hyperebenen und n l - s 1 allgemeinen Hyper- ebenen; die anderen F i (#, x) ( i - - 2 , 3 , . . . , n) bestehen bzw. aus einer allgemeinen dutch ~, o~ gehenden Hyperebene ~'b~ ~) zs = 0 (d. h. 27b~ ~) ~/, = 27 b(: ' co, = O, also b(o ') = b(1 '3 = 0, die sonstigen b~ ~' sind allgemein), st -- 1 allgemeinen dutch ~ gehenden Hyperebenen und n~ -- s~ allgemeinen Hyper- ebenena).

Die Relationen R lauten dann

2 (si + 1) A 2 7 a ~ g ~ -~ B27as, coso.~ = 2 (s~ + 1 )AZ , a l t ~ ~ + B a l l = 0 ,

.4 27 51 ~) ~ = A (51 ~) ~ + . . . + b~) ~ , ) = o, * t * * * o o * o , o o * , e * o * o * * l o , o l ~ t J , , o . o s , * * Q

A 27 b? ) ~ . = A (bl ").~ + . . . + b(~") ~ . ) = 0.

Da die Determinante i b~') I (i, s -- 2, 3, . . . , n) nicht verschwindet (denn die b~ ~ sind ja alle Unbestimmte) und die ~ nicht alle ]Null sind, so mu~ A --- 0 sein, woraus folgt Ba 11 -- 0, also B -- 0 (da a 11 Unbestimmte is$), in Wider- spruch zu der Annahme, dal~ A, B nicht beide Null sind. Also l~5nnen die Relationen R nicht bestehen, woraus folgt, dal3 die lv~ (~, x) sich in ~ mlt derselben Multipliziti~t schneiden wie die /~ (#, x). Da~ die Fi (#, x) nun tatsiichlich in ~ einen (//s~ -~ 1)-fachen Schnittpunkt haben, liiflt sich leicht direkt ausrechnen. Damit ist der Satz volls~ndig bewiesen.

a) Der Fal l n~ = s i fiir alle i, der hier ausgesohlossen ist, l~Bt sich sehr le icht

erledigen. In der Tat sind in diesem Falle alle Hyperf]~chen F~ ()., x) Kegel mit der

Spitze in 7" H a b e n sie eine gemeinsame Tangente in ~7, so enthal ten sie alle diese Gerade, sie haben also dann unendlichviele gemeins~me Schnittpunkte.

(Eingegangen am 9. 7. 1938.)