l~Tber die polykonischen l~oxo(trom(m.

)~emoria di ~VVALTER ~y~TuNDI~I~LICII (a ~VVien).

Zusammenfassung, - Die schon y o n PIRONDINI u n d OESA.RO betrachteten t~aumkurven, die die Erzeugenden zweier Kegel u~ter konstanten ~inkeln schneiden, werden mittels einer elementa~'en Methode untersucht. Die bisher bekannten Eigeuschaften, die sich hier als Sonderfdille eines allgemei~eren Satzes ergeben, ~cerden um ~eue bemerkenswerte Eigen. schaften vermehrt. Die analytische Dars~ellung dieser Kurven ~vird auf ein elliptisches Integral zuri~ckgefiihrt.

1. ] E i n l e i t u n g . - - A. E~TEP]~R ({) hatte bemerkt, dass die BSschungs l in ien

(Kurven konstanter Steigung, Zylinderloxodromen, allgemeinen Schr~ubenli- nien), die auf einer Drehfl(iche 2. Grades mit lotreehter Aehse verlaufen, auch L o x o d r o m e n zweier Kegel sind, deren Scheitel mit den Brennpunkten der Triiger- fl~che zusammenfal len; das soil heissen~ dass die genannten Kurven die Erzeu- genden der beiden Kegel unter konstant (n Winke]n schneiden. G. Scm~) ~- }~Ens (~) stellte sp'ater yon neuem fest, dass jede l~aumkurve, die Zyl inder- und Kegelloxodrome zugleich ist, auf einer Drehflitche 2. Grades ]iegt, deren Achse die Richtung der Zyl indererzeugenden hat.

E s war naheliegend, auch nach den ~llgemeinsten Kin:yen zu fragen,~ die die Erzeugenden z w e i e r K e g e 1 unter konstanten ~Vinkeln durchsetzen. G. PlnONDI~I (3) fand, dass diese Kurven auf gewissen Drehfl~ichen 4. Ordnung

verlaufen und bei der Verebnung des achsenparal le len Zvlinders, auf dem sie liegen, in gemeine Zyk lo iden ¢ibergehen. E. CEs)~RO (4) erkannte dann den 3ieridian der Drehfl~ehe als Cartesisches Oval; zwei der drei Brennpunkte werden yon den Kegelschei teln dargestellt und die Gleichbereehfigung des dri t ten fiihr~ altf einen wei teren Kegel, dessen Erzeugenden die Kurve unter unver~inder]ichem Winkel t reffen; abgesehen yon Ausartungel~ sind die be- t rachieten Kurven also immer drei fache Kegel loxodromen. CEshno entdeekte noch einon vierten ausgezeichneten Kegel, dutch dessert Abwicklung die Kurve in eine Gerade i ibergeht; die allgemeinen polykonisehen Loxodromen geh(iren demnaeh zu den Kegelgeodg~tischen.

(t) A. ENNnPBR, Zur Theorie der Curven doppetter Kt'i~mmung. (~ Math. Ann. ~, 19 (1882), 72-83.

(~) G. SCHE}'rE~S, "Uber Loxodromen, ~ Ber. s~ichs. Ges. Wiss. Leipzig >,, (1902), 363-370. (s) G. P~nO~DINI, Sur ]es trajectoires isogoqmles des gd~dratrices d'une surface ddvelop-

pable~ Creltes iT. 118 (1897), 61-73. (4) E. CES£1~O. A~alisi intrinseca delIe eliche polico~lche, ~ Rend. ace. sci. fis. mat. hTa.

poll ~ ser. :[:[]:~ 9 (1903), 73-89.

Ann(~li di Matemc, ticv,. Ser i e Pi ~, Tomo X X I X . 23

178 W. W[;Nr)EnL~CU: Ueber die pol!/lt'onischc~ Loxodromen

Man kennt auch die <~ natiirl ichen Gleichungen ~ der polykonischen Lo- xodromen, vie1 mehr weiss man jedoch yon ihnen nicht. In der vorl iegenden ~iitteilung wird nun ein al lgemeiner Satz tiber diese Kurven bewiesen, der die Resultate yon P~nO~qD~Ni und CESXnO als Sonderf~tlle umfasst, ferner wer- den wei tere bemerkenswer te geometrisehe Eigensehaften aufgedeckt, und schliesslich wird eine Parameterdars te l lung der Kurven mittels ell iptischer Integrale angegeben. Behandel t wird grundslitzlich nu t der << allgemeine Fall >> (~).

2. Grund|agen. - - Eine Kegelloxodrome geht bei der Verebnung des Kegels in eine logarithmische Spirale tiber. 5~an kann sich demnach einfach ein 1 K o d e l l einer bikonischen Loxodrome herstellen, indem man zwei yon logari thmischen Spiralen begrenzte Sektoren mit ihren krummen Riindern zu- sammenheftet .

Ftir eine solche Doppel loxodrome hlillgen die Entfernungen / ~ , R: eines taufenden Punktes P yon den Kegelspitzen F~, F~ offensiehtlich l inear yon der Bogenl~nge s ab ; And v~, % die beiden unver'~lnderlichen Schnit twinkel, so gilt mit passenden Konstanten a~, a~

(1) R~ --" a~ -t- s cos z~, B~ ----- a 2 -t- s cos %.

Elimination yon s liefert dann die Bedingung

(2) R~ cos % - - / ~ cos z~ ~ a~ cos % - - a~ cos (~ --- const,

die als die Gleiehung einer Drehfl~che (P in bipolaren Koordinaten R, , R~ aufgefasst warden kann, auf welcher die Doppelloxodrome verl:duft, Es ist bekannt, dass eine lineare Beziehung zwisehen bipolaren Koordinaten in der Ebene ein Carlesisches Oval darstel l t (6}; damit ist der ) ier idian der Dreh- fl~iche (I) gekennzeichnet, die im tlbrigen zu den Zykl iden gehih.t, d~ sie ~ auf sechs Arden - - dureh Rotation yon (imagin~iren) Kreisen erzeugt werden kann (7). Die Fli~che besteht aus zwei gesehlossenen Tei len; der innere ist stets ova], wi~hrend der aussere eine Einbuchtung besitzen kann.

Zur Behandlung des Cartesischen Ovals eignet sich besonders eine sym- metr ische, zum erstenmal yon PA~o~q (~) verwendete Darstellung. Ein Carte- s isches Oval besitzt bekannt l ich drei ordentliche Bren~punMe F~, t2~, F~, tiberdies noeh einen ausserordentlichen Breun~u~k t 0 ; dutch diese vier Brenn- punkte, die alle auf der Symmetr ieachse z liegen, is~ das Oval vollstlindig

(5) Uber den ebenfalls hierher gehSrigen Sonderfall der sphftriscIten KegeUoxod~'omen (3) vgl. W. ~¥'UNDERLIet{. Ueber die Torsen, de~'en E~'zeugendeq~ z,cei Kugeln be;'iihren, ~, Soc. So. t%nnica, Comm. Phys.-Math. % 14 (19~9), 1-16.

(~) G. LORIA, Spezielte algebraische und transzeq~denre ebene lfurven~ (Leipzig, 1902), Bd. I~ 174 ff.

(z) G. DARi~OUX~ Sur u~e classe remarquable de cou~'bes et de surfaces a~gdbrique 6 (Paris, 1873)~ 154. -- Die Kreise liegen in den 5Iinimalebenen dutch die ]3rennpunkte F i.

W. WI,~NOE~Lmlt: Ueber die polykoni~:c:hen Lo,~,odromen 179

bestimmt Wit machen 0 zum Ursprung eines Systems von Zylinderkoordi- naten % r, z and setzen OF~-= ei, wobei wir etwa

(3j 0 <7 e~ < e~ <: e~

voraussetzen. 3'[it Bent~tzung der elementarsymmetrischen Funktionen

(4) A - - - - - e , + e , + e a , B---~e,e~+e~e 3+eae , , C '-e ,e~e a

li~88t sich dann die Gleichung des Ovals und damit der Zyklide (I) in der Gestalt

(r ~ + z 2 - - B) 2 + 4 0 ( 2 z - - A) = 0

linearen Beziehungen zwischen den Fokalentfernungen

(5)

ansehreiben. Die Fi/~--- Rf lauten

(G) R t - - at R ~ - - ct~ R 8 - a 3

W , VT, - V ~ ' wobei

(7) ~ , = Ve~e3 , a~ = V ~ e , , a~ = V e , e ~ .

Ist nun k eine auf der F1Ache gP verlaufende Kurve, die die yon F, arts. gehenden Brennstrahlen enter dem beliebig vorgegebenen konstanten Winkel z, schneider, so gilt bei geeigneter Z~thlung tier Bogenl~tnge s die erste der Gleichungen (1). Dann sind aber wegen (6) auch die zweite end eine entspre- chende dritte Gleichung {1) erftillt, wenn wir % bzw. % gemass der Proportion

(8) c o s o , : c o s ~ : c o s ~, = V ~ : V ~ : VTo

bestimmen. Die Kurve k schneider also auch die Brennstrahlen yon F~ bzw. F a enter den festen Winkeln % bzw. %. Auf einer vorgelegten Zyklide • gibt es mithin ~ verschiedene Drehscharen yon dreifachen Kegelloxodromen, je nach der -Wahl des Schnittwinkels % oder des gemeinsamen Wertes

(9) m = e, / c o s ~ ~ , = e~ / c o s ~ ~ = e~ / c o s ~ ~ ,

oder auch des Wertes

(lO) n = VCT"~ = ~ c o s ~, c o s ~ c o s ~ = a , c o s ~, = c~ c o s o , = a~ c o s ~ .

3. I n v e r s i o n e n . - Es ist bekannt, dass ein Cartesisches Oval dreifach anallagmatisch ist; es geht nV~mlich dureh jede Inversion, die einen ordent- lichen Brennpunkt Fi zum Zentrum hat und die beiden anderen vertauscht, in sich iiber. Dasselbe gilt nattirlich ftir die Drehzyklide (P.

Eine auf • verlaufende polykonische Loxodrome k geht durch eine solehe Inversion in eine Flachenkurve k* tiber, die ebenfalls auf dem Kegel Fik liegt und auf Grund der Winkeltreue dessen Erzeugenden auch unter dem konstanten Winkel z~ schneider. Es ist also k* eine Loxodrome gleicher Art und daher zu k kongruent. Hierbei ist allerdings zu beachten, class unsere

1 ~0 \ V . 1,V[rNl 'd<Rr,IOll: : U(~bcp fli(d /)(Jlt!i>'o~li.w.~'t cl l~,n,'~'o(l~'olllf'lt

Loxodromen aus zwei Zitgen b(~stehen, die sich auf die beiden M~tntel der Ft~iehe ffP ver te i ien; nur bei der Inversion yon F s aus bleibt jeder Zug auf seinem )Iantet, withrend bei den tnvers ionen aus F~ oder F.~ eine Ver tauschung eintrit~.

In diesem erwei ter ten Sinn kann jedenfal ls gesagt werden : Die allge~nei~e~ po lykoe i schen Loxodro~neu s i~d drei fach anallag~ncttisch (s).

4. Verebnungen. - - Sei F ( r - - O , z - - e ) ein beliebiger Punkt der z-Achse und r - - F k sein Verbindungskegel mit der Loxodrome k. Es sell die ebese Kurve k untersucht werden, in die k durch Ab~vicklung yon r [ibergeht.

Wir dr[icken zu diesem Zweck die Ent fe rnung R-----/;P eines laufenden ] (urvenpunktes P durch seine Fokaldistanzen R I u n d E~. zaus , indem wir die Koordinaten r u n d z a u s den Abstandsformeln

(11) lt~--r~ 4-(z--e)~, R:=r~ d-(z--e,I ~, R~--r~ 4-(z--e~) ~

eliminierer~. Unter gleichzeitiger Einfi ihrung der Bogenlange s mittels (1) erhal ten wir

(12) (e~ - - e , ) ( R ~ - - e ~) ---- (e~ - - e ) ( a ~ - - e~ + 2 a ~ s c o s ~ + s ~ c o s ~ z~)

+ (e - - e~)(a~ - - e~ + 2a,~s c o s z~ -4- s ~ c o s ~ a~).

Diese Beziehung muss nun sieherl ieh symmetr isch inbezug auf e~, e~ uud e~ sein; tatsaehtieh l~tsst sie sich naeh Umformung mittels (7}, (9) und (10) durch e~--e~ ktirzen und sehliesslich auf die Gestalt

(13) R ~ - - e ~ - - Ae -4- B -e 2ns -+ m s~

bringen. Es erweist die Substitution

sieh noeh als vorteilhaft, das l ineare Glied 2us dureh

(14) m = s + %-

(s) F i l r s p e z i e 11 e p o l y k o a i s c h e L o x o d r o m e n b r a u c h t de r Satz n i c h t zu gel ten , t l t i c k e n z.B. zwe i order t t l iche B r e n n p u n k t e zusammen~ so a r t e t das Car tes i sehe Ova l ztl e i n e r Pascal- schnecke aus~ u.zw. zu e i n e r v e r k [ i r z t e n ft lr el ----- ee ~ zu e ine r v e r s e h l u n g e n e n f i i r e~ ~ e3, u n d za eizxer ge sp i t z t en (Kard io ide) fi ir e i -----e e = e 3. Die zugeh0r ige D r e h z y k ] i d e q) w i r d d u r e h eine I n v e r s i o n aus dem Doppelpunkt~ in d e m die ] 3 r e n n p u n k t e v e r e i n i g t sind~ in ein v e r l ~ n g e r t e s Drehellipsoid~ zwe i seha l iges Drehhyperboloid b z ~ . Drehparaboloid v e r w a n d e l t , w o b e i die L o x o d r o m e n Yon 4) i a B6sch~engs~inien au f den g e n a a n t e n ~ l ~ e h e n 2. G r a d e s

t ibe rgehen . Die P r o j e k t i o n e n d iese r L o x o d r o m e n aus dem I n v e r s i o n s z e n t r u m auf e ine a e h s e n n o r m a l e

E b e n e k( innen demznfo lge als nichteuklidische Kreist~'aktt'izen im S i n n e e ine r e l l ip t i schen M a s s b e s t i m m u n g n a e h CAYr~EY-KLEI~schem M u s t e r au fge fa s s t werden . Vgl . W . ~VusDER- LIC~, ~]ber die Schleppkttrve~ des Kreises~ ,~ Sitzungsber. .A_k. Wis s . ~Vien % I56 (19i8), 155.173.

W. WvNz)~!:nL,~e~t: Ueber (lie polyl~onis,chcn Loxodrome,n tS[

wegzuschaffen, was lediglich eine Verschiebutlg des Anfangspunktes der Bo- genzahlung bedeutet. Unter Verwendung der Abktirzung

(15) l I (z) = (z - - e , ) (~ - - e~)(z - - e~) = ~ - - A z " + B ~ - - V

orhalten wir dann. die zu (13) ~quivalente Formel

e 8~ II(e) (16) R ~ = - + - - -

m e

Die A b w i c k l u n g s h u r v e k ist nunmehr durch den Zusammenhang zwischen Radius.vektor R und Bogenlitnge S gekennzeichnet. Um sie zu identifizieren, ieiten wir ihre << natiirl iche Gleichung >> im Sinne CEshnos ab. Wi t bilden zu diesem Zwecke die Ableitung nach S und fiihren den Tangentenwinkel du tch d R / d S - - c o s z ein. Die so gewonnene Beziehung

(17) R cos ,: - - -- S m

differenzieren wir neuer l ich und ftlhren gleichzeitig die Krt immung 1 / ~ - ~- d(~ + ~) /dS unter Beriicksichtigung yon R d ~ / d S ::~ sin ~ ein, womit wir zu

(18) R sin ": - -

gelangen. Vergleichen wi t nunmehr die Quadratsumme yon (17) und (18) mit (16), so erhal ten wir die nati'~rliche G l e i c h u n g

m~H(e) (19) ( m - - e)~ 2 ---- e S ~ + e ( ~ - ~ ) "

Dutch eine Gleiehung dieser Bauart wird aber bekanntl ich eine zyk l i s che K u r v e

gekennzeichnet (~), d.h. die Bahn eines Umfangspunktes eines Kreises, der auf e inem anderen rollt.

Um die U n t e r a r t e n der zyklischen Kurven (19) ztt erkennen, berechnen wir mittels (17) und (t8) die Halbmesser R' , R " j ene r beidea Kreise, auf welchen die Scheitel bzw. Spitzen der Kurve liegen. W i t l inden

~ S' R' ]/II(e), f~, m Schei te l : ":' - - - -~ , --~ O, - - y e - - - - R';(,o)

S p i t z e : ¢ ' - - O, S" e R", R" - - - ] / II(e) p" ~ 0. - - m r e ~ '

(9) G. LORIA, a.a.O., Bd. I I , 121. - - Die genaueste Diskussion finder sich bei H. WIE- I~EIT~BR, Spezielle ebene I~+rven (Sammlung Schubert, Bd. 55, Leipzig, 1908), 197, 211, 219.

(lo) R' isi als gewShnliches Extcem Yon /~ offenbar die Li~nge des Lores, das man aus dem Achsenpunkt F aaf die Drehzyklide q) ftillen kann. Auf dem Parallelkreis, der dutch den Fusspunkt geht, befindet sich der Anfangspunkt des Bogens S; er bra1~cht nicht immer reell zu sein.

t82 W. \VuNl)I~nr~ICrt: Ucbcr (lie poI!fi,'o.td.~.chen Loxodromen

Das R e a l i t l i t s - u n d Gr0ssenverhl t l tn is yon R' und R" gibt uns dann sofort Aufschhtss iiber die Gat~ung der zykl i schen Kurve.

Verbindet m a n eine a l lgemeine polykonische L o x o d r o m e k init e inem belie-

bhjen Achsenpunk t , u n d ~'erebnet m a n den so en ts lehenden Kegel , so g e m k

hierbei in e inen Bogen einer zyk l i schen L i n i e oder eines Grenzfa, lles einer

solehen igber. Uber die A r t der L i n i e gibt die fo lgende Z u s a m m e n s l e l l u n g

A u s k u n f t :

e < 0 : R ' > R" . . . . . . . . . . . . . . . Ep i zyk lo ide

e - - 0 : R' =-- oc, R" --= n . . . . . . . . . . Kre i sevo lven te

0 < e < e~ : R' imagin'~tr, R" reel l . . . . . . P a r a z y k l o i d e

et < e < e~ : R' reell, R" imaginl t r . . . . . . . H y p e r z y k l o i d e

ea < e < e a : R' imaginltr , R" re. ll . . . . . . . P a r a z y k l o i d e

e ~- e~ : R ' =-: R" --= 0 . . . . . . . . . . . . logar .Sp i ra len

e a < e < m" R' reell, R" imag ingr . . . . . . . H y p e r z y k l o i d e

e -= m : R' = p, R " - - c,c . . . . . . . . . . Gerade (~)

e > m : R ' < t~" . . . . . . . . . . . . . . . Hypozyk lo ide

e -----~: R ' = R" ---c~, R " - - R'--- m/2 . . g e m e i n e Zyk lo ide (3).

Dami t ist der angekf indig te a l lgemeine Satz abgelei tet , der die zwei bisher b e k a n n t e n Spezial fa l le e - - - - ~ (Pino:~cI)isri (3)) und e--=-,m (CESXRO ('~)) umfass t und erweiter~. Der letzte Fal l , sowie der wieh t ige neue Sonderfa l l e - - 0 sollen in den nachs t en Abschn i t t en aus f t ih r l i cher besprochen werden.

Es bere i te t ke ine Schwier igke i t en , den a l lgemeinen Satz ftir speziel le a n d ausgear te te Drehzyk l iden abzawande ln .

5. R e k t i f i z i e r e n d e r Keg(~l . - - W i e aus der A n n a h m e e ~ m folgt, gibt es auf der z-Achse in der E n t f e r n u n g m yore N u l l p u n k t 0 e inen P u n k t M mit der Eigenschaf~, dass die V e r e b n u n g seines Verb indungskege l s M k die Loxo- d rome k in e ine Gerade k t lberftihrt . W i r schl iessen das am bes ten aus der G le i chung (16), die die F o r m des py thagore i schen Lehrsa tzes

{21) R 2 ~ S ~ -+-p~

ann immt , wobei ftlr den Sche i t e l abs tand p die Formel

(22) P - - - i n - - m s i n z i s i n ~ 2 s i n %

gilt. Des ist der I nha l t des Satzes yon CES_knO : Die al lgemeine po lykonische L o x o d r o m e i s t geodgT, tische L i n i e a u f e inem

Kegel, dessen Scheitel M a u f der Achse in der E n t f e r n u n g m ~ e i /cos ~- z~

yore N u l l p u n k t liegt. Beaeh ten wir, dass wl ihrend des Abwieke lvorganges des (< rek t i f i z ie renden

Kegels )> Mk der S6he i te labs tand p der Geradeu k unve rande r t bleibt und diese stets mi t e iner Tangen te yon k zusammenfiillt~ so e rkennen wir die ftlr

W. WUNDER.L,ICII: Ueber die ?2olykonis,chen Loxodromen 183

alle Kegelgeod~ttischen gtlltige Tatsache, dass samtliche Tangenten yon k eine Kugel E(M, p) beriihren - - eine Konsequenz, die CESXRO nicht ausge- sprochen hat. Zufolge einer oben gemaehten Bemerkung (~0) ist R ' ~ p der Normalabstand des Punktes M yon der Zyklide q), und demnaeh ist die Kuget E der Drehfl~che (I) l~ngs eines Parallelkreises ein- oder a, ngeschrieben:

S(imtliehe Tangenlen und Sehmiegebenen der allgemeinen polykonisehen Loxodrome beri'~hren eine feste Kugel E mit der Mitle 3'[(r--0, z - - m ) und dem Radius p (22). Diese Kugel beri'~hrt die Drehzyklide: au f weleher die Lo- xodrome verl(iuft, t(~ngs eines Parallelkreises.

Die Bert ihrung zwischen ~ und • - - di% nebenbei bemerkt, in der Ebene 2 z - - A ~ C/m ~ s t a t t f i n d e t - braucht durchaus nicht reeI1 zu sein; dies ist z.Bo sicher nicht der Fall, wenn der Aussenmantet der Zyklide oval ist (A ~ > 4B).

6. Polartorse. - - Die Annahme e ~ 0 -- entsprechend der Annahme der Kegelspitze im ausserordentl iehen Brennpunkt 0 - - reduziert (13) auf

(24) R ~ --- 2ns + B

und ftihrt tiber R cos z = n und R sin z-----~ anf die nattirliehe Gleiehung

(25) ~' = 2ns + (B - - n ~)

einer Kreisevolvente -k mit dem Grundkreishalbmesser n: Bei der Verebnung des Verbindungskegels einer allgemeinen polykonisehen

Loxodrome mit dem Mittelpunkt (singuh~xen Brennpunkt) der Tr(igerzyklide geht die Loxodrome in den Bogen einer Kreisevolvente i'tber.

Alle Nornmlebenen der Kreisevolvente k berahren eine Kugel mit dem Radius n. Diese Eigensehaft bleibt auch bei der Verbiegung zur Loxodrome k erhalten. Es gilt daher :

Samtliche Normalebenen und Kri'munungsachsen der allgemeinen polyko- nischen Lo'xodrome beri'~,hren eine zur Trgigerzyklide CO konzentrisehe Kugel vom Halbmesser n (10).

Die yon den Normalebenen der Loxodrome k eingehtillte Polartorse ist der Kugel ~ umschrieben. Ihre Gratlinie l, d.i. die (( Polare ~) oder (( PL~n- evolute )~ yon k, ist demnach eine Kegelgevd~itische. Da ferner die rektifizie- renden Ebenen einer Knrve und ihrer Evolute in entsprechenden Punkten stets paial le l sind, und in unserem Fal le samtlich dutch die festen Punkte M bzw. 0 gehen, sind die yon ihnen eingehtlllten reklifizierenden Kegel Mk und Ol k o n g r u e n t .

Die a llgemeine polykonische Loxodrome und ihre Pla~evolute sind geod~. lische Linien a u f kongruenten Kegeln.

Die Vermutung liegt nahe, dass die E v o h t e 1 selbst eine polykonisehe Loxodrome is~ ~ mnsomehr, als dies im Sonderfalle der Biischungslinien auf

184 W. WUNDERI~ICH: Ueber die pol!lko~ti.~chen Loxod~'omen

Drehfl~chen 2. Grades tatsi~chlieh zutrifft (~). Dies ist im al lgemeinen Falle jedoch nieht wahr, wie wir einsehen, wenn wir die dureh Rotation yon 1 um z ents tehende Drehflaehe W untersuchen. Sei P ein Punkt yon k und Q der zugeh(irige Punkt yon l , wegen der Gleichheit der rekt if izierenden Kegel ist MP[I OQ; Q liegt also in der Meridianebene ~t yon P, definitions. gem',tss auch in tier Normalebene v yon k~ daher auf der Zyldidennormate ~v ~ PF. Der Lotpunkt F auf z ist die Spitze jenes Projek~ionskegels yon k, bei dessen Verebnung P zu einem Seheitel der zyklischen Linie k wi rd ; naeh (20) und (14) is~ daher OF = e - - - - mn/s~ wobei s die zu P geh~rige Bogen- lange bedeutet. Aus der Ahnlichkeit der Dreiecke M P F und OQF folgt mithin

OQ " M P - - OF" M F ~- n" (n + s),

und damit ergeben sieh ftir die Koordinaten des zum Loxodromenpunkt P(% r, z) geh(i'rigen Schmiegkugelzentrums Q(~*, r*, z*) die Werte

(36) V * = % r * = n ~ + s ~" Z* - - n + s (Z - - m).

Denken wit uns hierin r und z als Fttnktionen yon s eingesetzt - - die zugeh~rigen Substi tut ionen

fliessen aus dem Vergleieh yon (11) und (13), wo man am besten e~--0 und oosetzt ~ , so geben r* und z* die Parameterg le iehnngen einer Drehflgehe 4. Ordnun 9 W, auf der die Polare I liegt. Ihr Meridian weist jedoeh reetle Fernpunkte auf ( s = - - n ) , ist also sieher k e i n Cartesisehes Oval.

Trotz der negativen Antwort hat sieh ein bemerkenswer~es Zwisehener- gebnis eingestel l t : Die zu einem Loxodromenpunkt P geh~rige Sehrniegku. gelmitte Q liegt auf der Zykl idennormale in P. Das bedeu~et:

Die Schmiegkugeln der allgemeinen polykonischen Loxodrome beri'~hren die Tr~gerzyklide.

Die c~ '~ Kurven auf einer Flache, deren Schmiegkugeln die Fl~ehe beriih- ten, werden nach DAI~BOVX benann L der sie zum erstenmal betrachte~ und ihre Integrat ion fiir F laehen 2. Grades und Zykliden allgemein durehgefi ihrt hat (~'~). Dass die Bi~schungslinien auf Drehfli~chen 2. 0 rdung mit lotrechter Achse die Darbouxschen Linien ((~ D-Lin ien ~) derselben darstellen~ hat schon BL~SC~:E (~) bemerkt. Als Vera l lgemeinerung hat sich nun ergeben:

Die Darbouxschen Linien ei~er Drehfldche, die dutch I~olation eines Car.

(i t) W . BLASCtIKE r B e m e r k u ~ g e n iiber al lgemei~e Schvauben l in ien , ~ Monatsh. Math. Phys . ,,, 19 (1908), 188-204 : ~ Die Polave einer B6schu~gs l in ie a u f einev Drehfltiche 2. Grades m i t lotvechter Achse i s t eine g le ichar t ige .B6schungslinie, a f f i n z u r eq'sten ~.

(~2) G. DAaBOUX, Des courbes tracdes sur une su,rface, et den t la sphere osculatr ice est t angen t e en chaque p o i n t & la surface~ ~, C. R . ~, 73 (1871), 732-736.

@. LOt~IA~ Cu~'ve sghembe special.i, (Bologna~ £925), [, 2~; I]:, 225.

W. WUXD~I~blCII: Uvber (lie polgkonische~ Lo,~:odrom.eT, 185

tesischert Ovals um seine Achse entsleht, sind idenlisch mit den oo ~ polykoni. sehen Loxodromen, die a u f ether solchen Fl(~che liegen.

Das begleitende Dreibein ether polykonischen Loxodrome k sttitzt sich mit seinen drei Ebenen auf zwei Kugeln und einen Punkt : Die Schmiegebene be- r[ihrt nach Absehn. 5 st~ndig die Kugel E(M,p), die rektifizlerende Ebene geht dementsprechend immer durch M, und die Normalebene bert~hrt schliesslieh die feste Kugel f~(O, n), wie wir gesehen haben. Durch eine solche Ftihrung ist aber auch u m g e k e h r t eine polykonische Loxodrome charakterisiert; yon einer Anfangsstellung des Dreibeins ausgehend entwicke]t sich die Bahn- kurve k des Scheitels aus infinitesimalen Schritten ganz zwangsl~ufig. Auf Grund der Kugelfilhrungen hat k die Eigenschaft, bet Verebnung der Kegel Mk bzw. Ok in eine Gerade bzw. eine Kreisevolvente verwandelt zu werden; demzufolge gelten ftir die Abstlinde M P ~ R , , und O P ~ R o des laufenden Punktes P entsprechend (21) bzw. (24) die kennzeiehnenden tleziehllngen

2nS -t- d. I ~ , --- S ~ + p~, t~ o =

Ganz analog wie a , s (1t} ]asst sieh darans fiir das Quadrat der Entfe, nung

FP--~ R yon einem beliebigen Achsenpunkt F(z---~ e) eine quadratische Rela- tion in S ableiten, deren Koeffizienten nattirlich in bestimmter Weise yon e abhangen. ])as Polynom li~sst sich dann ftir besondere Werte yon e - - auf mehrfache W e i s e - auf ein vollstandiges Quadrat bringen, sodass R eine lineare Funktion des Bogens S wird, was die konische Loxodrome erkennen lii sst. Es muss bier jedoeh der Fall komplexer Schnittwinkel eblbezogen werden; in diesem weiteren Sinne gilt dann:

Hat eine Raumkurve die Eigenschaft, dass ihre Sch~iegebe~en und IVor- malebenen je eine feste Kugel beri~hren, so ist sie eine polyko~ische Loxodrome.

Oder anders ausgedrtiekt : Die polyko~ischen Loxodromen sind die einzigen KegelgeodOlischen, deren

Polare (Planevolute) auch ei~e Kegelgeodt'itische ist.

7. I n t e g r a t i o n . - Verfolgen wir die Roltbewegung einer Tangente der Zyklide (I), wahrend welcher sie auf der Kugel Z s/~indig quer zu ihrer ei. genen Richtung sehleift, so gewinnen wit dine anschanliche Vorste]lung vom Verlauf der Loxodrome k, die als Abdruckspur der Tangente auf (I) erscheint: Jeder tier beiden Ztige yon k verlauft auf seinem Fl~iehenmantel ~eriodisch zwischen zwei Parallelkreisen, auf denen er mit Spilzen senkrecht aufsetzt.

Diese vier Grenzkreise lassen sich mit Zirkel und Lineal aus der ]3edin- gung konstruieren~ dass aus ihren Punkten die Fokalstrecken F,Fk unter den bekannten Winkeln ~ W_.zk gesehen werden. Dureh ]3etrachtung der Inver- sionen aus Absehnitt 3, die (I) in sich ~ransformieren und die Grenzkreise vertauschen, gelangen wit aber zu noch einfacheren Winkelbeziehungen: Ein ]~tilfskreis liber de," Sehne F~F~ wird ja durch die Inversion aus F~ in eine Gerade dureh Fz verwandelt, wobei der Schnittwinkel mit der Aehse z erhalten

Artnal i di Matemat~ca . S e r i e I V , ~'omo ~,~LIX. 21

t86 W. \VuNDERf~ICH: Ueber (lie polyko't~isvhcn Loxodromen

bleibt. Die v ier Grenzkreise werden daher aus den ordenl l ichen B r e ~ n p u n k t e n

Ft durch Drehkegel rail den halben O f f n u n g s w i n k e l n ~i - - t -% projiziert . Dami t lassen sieh auch die Rad ien und Ebenen der Grenzkre ise leicht

berechnen , ebenso die zugehSr igen Bogenll ingen. Ft'~r den Grenzkre is g,), der zu den ha lben ( J f fnungen ~-+-~h geh~rt, f i aden wir

ro = m sin (~ + %} sin (% + %) sin (% + ~,)

~28~ z o = 2 - - t a c o s ~ ( ~ + % + % )

s o = ~ m cos (~t -~, ~ "+- %}-

[ ~ r die ~ibrigen Grenzkre ise g~ (i = 1, 2, 3) ist j ewei l s das Vorzeichen yon ~ r O" zu ~ndern. go und g3 be f inden sich bei ¥oraussetzun~, 13) auf dem Aussen-

mantel , g~ und g2 auf dem I n n e n m a n t e l der Zyklide. Zur In t egra t ion gehen wir yore Bogene lement in ZyI inderkoord ina ten

(29) ds 2 - - (rd~) '~ ÷ dr ~ + dz ~

a u s ; da die Abh~tngigkeiten r(s) und z ( s ) a u s (27) bekann t s.ind, stSsst die B e r e c h n u n g der f eh lenden Abhltngigkei t ~(s) auf ke ine grunds~ttzlichen Schwier igke i ten . N'ach e in igen U m f o r m u n g e n ergibt sich schl iessl ich

(30) ¢0 = "~-~ j --~- ds mit

Q - - m~(4B ~ A ~ - - 4n ~) +- 4mn(2m - - A)s -~- 2(mA - - 2B)s "2 - - 4ns 3 ~ s ~.

Dami t ist der Po la rwinke l ~ du rch ein ell iptisches In t egra l ausgedrt ickt . Die zur A u s u e r t u n g wich t igen N u l l s l e l l e n des Z~thlers und des Nenners

kt innen auf G r u n d - i h r e r geomet r i schen Bedeu tung angegeben werden. Zu Q " - 0 gehtirt ein station~.rer W e f t yon ~ ; es hande l t sich also urn die Sp i t zen

der Loxodrome und die vier Nul l s te l len So, s~, s~, s 3 haben die aus (28) be- ka nn t en Wer te . D u t c h r . .~ 0 s ind h ingegen die Nul lkre ise , also die Minimal- s t r ah l enpaa re du reh die Schei tel der Zykl ide gel~ennzeichnet ; de ren I t t ihen l au t en - - wie m a n e twa aus (6) l inden k a n n - -

z o --.=- - - a~ - - a.~ - - a s , z s : cq + a.~ - - a s (i~usseres Oval)~ (31) -

z~ --- - - a~ -I- a~ -+- a~, z~ = a~ - - a~ ~ a~ ( inneres Oval),

u n d h ie rzu geh~iren gemass (27) die Bogent~ngen

1 (32) so,~ : n (a~a~ +~ a~a~ ~ a~a~) - - re(cos % ~--- cos % --+. cos %) usf.

Es sei noeh bemerkt , dass der Z~thler des In tegra l s (30)dem K r i t m m u n g s .

r a d i u s ~ der Loxodrome k d i rek t propor t ional i s t ; es gilt

1 13 ) = = V (s - So)(S - s j .

Dieser A u s d r u e k l'asst sich m i t d e r yon CESATRO 1 ~) angegebenen na t i i r l i chen Gle ichung bis auf das Vorzeichen des Gliedes s ~ in Ube re in s t immung br ingen.