13. Ueber e in vow W e r t h e i m aufgestelltes Gesetck far d4e Elasticit&?seonstanten, fester Korper ;

v o n W. ToBgt.

Wertheim') hat aus seinen Beobachtungen uber den ,,Dehnungswiderstaridd' (,,Elasticitatcoefficienten") E einiger Xe- talle den Schluss gezogen, dass der Quotient dieser Zahl und der siebenten Potenz der Anzahl A der Atome auf der Langen- einheit fur alle Metalle nahezu denselben Werth hat, sodass also E l A7 = K eirie universelle Constante darstellen wurde. So unvollkommen auch die W ertheim'schen Messungen diese Relation bestatigten - K ist nach ihm fur Platin nahe 2,6 ma1 so gross, als fur Kupfer -, so hat seine Regel doch ein gewisses Ansehen bewahrt, vielleicht wegen des Schlusses, den W e r t h e i m aue ihr gezogen hat, dass nach ihr die Wechselwirkung zwischen den kleinsten Theilchen den funften Potenzen ihi-es Abstnndes indirect proportional sein musste.

So hat Hr. Tomlinson2) in neuerer Zeit unter speciellem Hinweis darauf, dass die bekannte Arbeit Maxwell's iiber die kinetische Gastheorie von demselben Attractionsgesetz ausgeht, eine Priifung der Wertheim'schen Regel und einiger daraus folgender Beziehungen unternommen , ist aber bezuglich der Constanz von K nicht zu wesentlich besseren Resultaten ge- langt.

Die von mir unlangst fur eine griissere Zahl nahe isotroper (oder quasi-isotroper) Metalle erhaltenen Elasticitatsconstanten gestatten nun, in weiterem Umfange und in durchgreifenderer Weise jene Regel zu prufen. In der am Schluss dieser Arbeit gegebenen kleinen Tabelle enthalt die funfte Columne fur elf Metalle Zahlen, welche mit E / A' proportional siiid , nam- lich die Werthe von E ' / ( E / y)7, wobei E die Dichte der untersuchten Metalle nach den fruher mitgetheilten Beob- achtungen, und y das Atomgewicht iiach L. Meyer bezeichnet.

1) W e r t b e i m , Anni de Chim. (3) 12. 385 (specie11 p. 447 u. f.) 1844. 2) H. T o m l i n s o n , Phil. Trans. 174. p. 32. 1884; Proc. Roy. Soc.

38. p. 488. 1885.

Ueber ein Gesetx vqn Wertheim. 397

Man erkennt, dass die Unterschiede dieser Zahlen j a zwar erheblich kleiner sind, a19 die der in der ersten Columne ge- gebenen E , aber doch immer noch recht betrachtlich; der Werth fiir Wismuth ist das 2,8-fache YOU dem fiir Kupfer.

Dazu kommt, dass die Relatioil B / A7 = K gar nicht die ihr beigelegte physikalische Bedeutuiig hat. Xs ist yon vorn- herein unwahrscheinlich , dass durch Vergleichung der Con- stanten versrhiedener Metalle eine Aufltlarung iiber dss zwischen den Theilen eines jederi einzelnen wirksamen Attractionsgesetzes gewonnen werden sollte, und in der That lasst sich der W e r t - heim ’sche Schluss ineines Erachtens niclit hirireichend be- griinden.

Es scheint mir aber nicht ohne Interesse, dass zwei der W ertheim’schen sehr ahnliche Relationen noch etwas besser als jene durch meine Beobachtungen bestatigt werden, welche eine sehr anschauliche physikalische Bedeu tung besitzen, nilmlich die Beziehungen 31 Ae = Kl und T/ A6 = Ka , wo in letzterer T den Torsionswiderstsnd der Substanz, und K l , Ka je ‘ eine Constante bezeichnet. Analoge Formeln gelten natiir- lich fur alle anderen elastischen Widerstande, indessen gehe ich nur auf E’ und 1’ ein, da diese Grossen direct gemessen und daher relatic genau bekrtnnt Sind.

Der Sinn dieser Beziehungen erhellt aus der Ueberlegung, dass in Korpern mit nur einer Atomart, falls f ( r ) das Gesetz der Wechselwirkung zwischen zwei Atomen bezeichnet, die auf die Fliicheneinheit bezogenen Druckcomponenten gegen ein Flachenelement y , dessen Normale n ist, definirt sind durch die Formeln

= 1 2 x f ( r ) cos (r , x) ,

Y, = - 3 C f ( r ) COB (r, y),

2, = - 2 Cf(r) cos (r, 2) .

4 1 Q

1 4

Hierin bezieht sich die eine Summe 2 auf alle die anziehenden Massen, welche sich auf der einen Seite einer durch q ge- legten Ebene befinden, die andere auf die angezoyenen Massen, welche auf der anderen Seite dieser Ebene und zwar in einem

398 w. Poigt. iiber q, parallel mit n errichteten geraden Cylinder liegen. Die Summen sind also im Grunde beide dreifache.

1st die Anzahl der innerhalb der Wirkungssphare liegenden Atome sehr gross, so kann man, vorausgesetzt, dass die der Grenze q unendlich nahe zweiter Ordnung gelegenen Massen keinen endlichen Antheil zu dem Werthe der Summe beitragen, die Summen in Raumintegrale verwandeln, wobei dann die Anzahl A3 der Atome in der Volumeneinheit zweimal vor die Summe tritt. Man kann also schreiben:

Die in As multiplicirten Summen harigen nun nicht mehr von der wirklich im Korper vorhandenen Massenvertheilung ab, sondern nur noch von dem Gesetz der Elementarwirkung zwischen zwei Atomen. Sie stellen namlich die Werthe dar, welche X,, Y,, Z, annehmen wiirden, wenn in jedem Volumen- element dv nur je ein Atom lage.

Entwickelt man diese Ausdriicke in gewohnter Weise, urn zu den Grundformen der Elasticitat

/

- 1, = C % + c1yy + C1 z,, . . . . . . . . . .

zu gelangen, so erkennt man, dass die Constanten c und c1 den Factor As erhalten und, in ihn multiplicirt, je einen nur von der Elementarwirkung abhiingenden Term, sodass man schreiben kann :

Nun sind die elastischen Widerstande linear in den Elasticitiits- constanten, man kann unter den gemachten Voraussetzungen also auch setzen:

worin E und T allein von dem Elementargesetz der Wechsel- wirkung zwischen zwei Atomen abhangen.

c = As c’, c1 = As 4’.

E = As”‘, l’= A6Y,

Elasticitatsconstanten fester Kiirper. 39%

Ergibt nun die Beobachtung fur verschiedene Metalle nahezu gleiche Werthe der Verhaltnisse E l As und 1'1 de, so folgt daraus die Constanz von E und T', und diese hat man dahin zu deuten, dass fiir jene Metalle die Wechselwirkung zwischen den einzelnen Atomen bei gleicher Entfernung nahezu gleiche Intensitat besitzt.

Die folgende Tabelle enthalt in der sechsten und siebenten Columne die Werthe der mit E / As resp. T / As proportionalen Grossen B . ( y / und T . ( y / E ) ~ .

E. T. lov6 E y E.(y/~)'/s.lO-* E.(y/~)*.10-~ !i".(y/.)*. lo4 A1 6,57 2,58 2,676 27,03 31,2 6,70 2,63 Cd 7,07 2,45 8,665 111,7 59,4 11,77 4,08 Fe 12,8 5,21 7,188 55,9 33,O 7,74 3,15 Au 7,513 2,85 19,284 196,2 36,6 7,84 2,95 Cu 10,85 4,78 8,860 63,2 22,9 5,52 2,43

4,26 1,71 1,741 23,95 41,6 8,06 3,24 tf 20,3 7,82 8,795 58,O 35,7 8,82 3,40 7,79 2,96 10,493 107,7 39,3 8,40 3,12 if 3,19 1,24 10,05 207,5 80,4 13,61 5,29

Zn 10,3 3,88 7,212 64,9 37,4 8,34 3,14 Sn 5,41 1,73 7,328 117,5 75,6 13,91 4,45

Man erkennt, dass erheblich aus der Reihe der ubrigen Zahlen nur die Werthe fur Cd, Bi und Sn herausfallen, Werthe, die in der That auch zu den zweifelhaftesten gehoren, da Cd und Sn ausserst ductil und daher Veranderungen durch mecha- nische Einwirkung sehr ausgesetzt sind, Bi wegen der hiichst groben krystallinischen Structur nicht mit voller Sicherheit als quasi-isotrop betrachtet werden kann. Aber auch wenn man diese Zahlen beibehalt, da eine grosse Abweichung von dem wahren Werth nicht eben wahrscheinlich ist, erreicht das Verhaltniss der Zahlen in der vorletzten Columne nur 2,5, in der letzten nur 1,6. Insbesondere ist die nahe Uebereinstim- mung der Werthe fur Fe , An, Mg, Ni, Ag, Z n von Interesse, bei denen die elastischen Widerstande E und T zum Theil ganz ausserordentlich abweichen.

Eine vollstiindige Gleichheit ist natiirlich bei Substanzen, deren Constanten die Poisson'sche Relation T / E = const. nicht befolgen, nicht moglich; dies hangt damit zusammen, dass auf E und T bei quasi-isotropen Korpern die krystalli- nische Structur einwirkt. Man konnte daher versucht sein, die Priifung der aufgestellten Relation statt an E und T lieber

400 W. Vot9t. Veber ein Gesetr von Wertheim.

an den Widerstand K der kubischen Compression anzukniipfen, welcher von jenem Einfluss frei sein muss; indessen ist eine directe Beobachtung von K , so wichtig sie wiire, ilusserst schwierig und seine Berechnung, aus h’ und 7’ ungenau, daher hat auch eine auf diese Grosse begriindete Berechnung wenig Beweiskraft. Ich will demgemass nur mittheilen, dass K ( y / fur Al, F e , .4n, Mg, Ni, Ag, Zn im Mittel gleich 6,4. 10fS ist und der Werth, den man fur Hg bei Zugrundelegung des Mittelwerthes K = 3,2 . aus den vorliegenden, in sich wenig stimmenden Beobachtungen’) erhalt, namlich 6,9 . 10f8, hiermit recht gut iibereinstimmt.

Was die erhaltensn Resultate lehren, ist insbesondere dieses. Man betrachtet es vielfach als nahezu selbstverstandlich,

dass die Wechselwirkungen zwischen den Atomen, auf denen die Elasticitatserscheinungen beruhen, die Form des New ton ’schen Gesetzes insoweit besitzen, als sie dem Product der sich an- ziehenden Jlassen proportional sind, sodass also

gesetzt wird, wo P ( r ) eine universelle Function bezeichnet. Ein solcher Ansatz ist den obigen Resultaten gegenuber

nicht zu halten, denn er wurde -- die gemachten Voraus- setzungen zugestanden - auf elastische Widerstande ftihren, die mit dem Quadrat der Dichtigkeit proportional sind. Die Tnbelle zeigt aber, dass fir die grosse Mehrzahl der unter- suchten Metalle, trotz des vom einfachen bis zum zehnfachen variirenden Atomgewichtes (was einem vom einfachen bis zum hundertfachen variirenden Product m . rn‘ entspricht) die Grbsse der Wechselwirkung f ( r ) zwischen zwei Atomen sehr nahe die- selbe ist. Dieser Umstand legt wiederum von einer neuen Seite her die Vorstellung nahe, dass nicht die ponderabeln Massen bei den Processen im Irinern der Korper die Wirkungen be- stimmen, sondern h e n mitgetheilte, etwa electrische Ladungen.

Hierin liegt das Interesse , welches die oben zusammen- gestellten Zahlen besitzen.

Go t t ingen , Marz 1893.

f ( r ) = m . m‘. P(r )

1) Amagat , Journ. de phys. (2) 8. p. 203. 1889.

Druck vou Yetzger & Wittig i i i Leipzig.