10. Ueber eine unscheinend noth wendige Erweiter&fj der Theorie der Elnsticitiit;

von w. V o i g t .

Die Grnndformeln der Elasticitit sind bekanntlich unter der Voraussetzung unendlich lileiner Deformationen abgeleitet, und es bleibt in jedem einzelnen Falle ihrer Anwendung die Beobachtung dariiber zu befragen, bis zu welchem endlichen Betrag man ihre Griisse steigern darf, ohne mit den Resultaten jener Annahme in merkliclien Widerspruch zu gerathen. Dem- entsprechend habe ich bei verschiedenen meiner Bestimmungeii der Elasticitatsconstnnten von Krystallen gepriift, ob innerhalb der benutzten Grenzen die Proportionalitat zwischen den aus- geiibten Kraften und den liervorgerufenen Deformationen, welclie die alte Theorie fordert, auch wirklich stattfindet. Bei Stein- salz sind diese Untersuchungen bis zu der Festigkeitsgrenze ausgedehnt worden und haben ein positives Resultat ergeben ; bei anderen innerhalb geriiigerer Grenzen aber mit demselben Erfoig. Auch bei der Bestimmung der Eiasticitiitsconstariten von Metallen durch Schwingungsbeobachtungen sind die Ampli- tuden variirt worden, ohne dass sich die Resultate cladurch iinderten. Nachdem aber durch neuere Beobachtungen l) ge- zeigt ist, dass man unter Umstanden, wo man friiher die Gultigkeit der alten Formeln fur selbstverstaiidlich hielt , be- reits erhebliche Abweichungen von der Proportionalitkt zwischen den ausgeiibten Kraften und den hervorgerufenen Deformationen findet, scheint es aiigemessen, die Erweiterungen zu unter- suchen, welche die altere Theorie erfahren muss, um mit jenen Resultaten in Einklang zu kommen. Ich will mich im Fol- gendenden stets auf das niedrigste der hinzuzufiigenden Cor- rectionsglieder beschranken , werde aber darauf hinweisen , in welcher einfachen Weise man die Genauigkeit noch weiter t r eib en kann . ~~ ~

1) O . T h o m p s o n , Wied. Ann. 44. p. 555. 1891.

Brweiterung clcr I ~ Z ( ~ s t i c . i t ~ f s t ~ ~ e o r i e . 531

Die Grundlagen der iiltercii Tlieorie siiid die beiden An- nahnien, dass die elastisclien Druclie a n eiiier Xtelle x. y, z nur von dem Zustaiide in uiimittelbarer Umgebung des Puiiktes und zweitens, dass sie voii deli dort stattfindendeii Verriickungcii u . v , zu reip. iliren L)iffereiitialqnotienteii Zimzeur abhaiigeii, Mit diesen Annalimen sind die allgeirieiii fur nichtstarre Kiirper geltenden Relationen iibrr die Druckcomponenten Xs . . . X, verbunden.

Beziiglicli der ersten Annahme wird man sich schwer ZLI

einer Erweiterung entschliesseii; denn wenn die elastischen Kriifte auf Molecularwirkungen mit uiimerklicher Wirkungs- sphare beruhen, bietet sich die Vorstellung von selbst, dass nur die unendlich benachbarten Tlieile anf die Griisse der Drucke 22 . . . X , eineri Einfluis haben. Eiri Verlassen diesel Aniialinie wiirde zur Folge haben, dass diese Krafte nicht nur voii den sogenannteri Deformationsgrossen

a w a U r _ ~ y,= a Y ’ AT- a % ’ at6

\:%=

I%=,+ a y ~ ’ z2= as+d;’ xy= a y ~ + 8.c (1) a v aw a iu azc a u a 5

abhgngen, sondern auch voii cleren Aenderungen mit deni Ort, und eine solclie Erweiteruiig wiirde erst dann geboten er- sclieineii , weuii durcli die Beobachtung coiistatirt wiire , dass zwar lionlogen deformirte Kiirper der iilteren Tlieorie folgen, riiclit aber inliomogen deformirte. F u r eine solclie Ansiclit liegen aber meines Wissens zwingelide Beobachtungen noch iiicht vor, uiid es erscheint daher rationell. die erste Annahme beizubehalten, d. h., die Drucke als Functionen der Deformationb- grossen allein anzusetzen, um so mehr, als eine Erweiterung iiach rler bezeichneten Richtung die Resultate der Theorie beziiglich der Proportionalitiit zwischen Drucken und Defor- mationen nicht andern wiirde.

Dann bleiberi auch die Formeln bestehen, welche die Druckcomponenten niit dem elastisclien Potential 3’ verbinden,

Die Erweiterung der Theorie kann sonach nur darin be- stelien, dass man das Potential nicht als Function zweiten.

538 w. Vot-yt.

sonclern zweiten uiid hoheren Grades von den Deformations- griisseii ansetzt.

Bezeichnet man abgekiirzt 1

(3) 3% +yy + i, = 3 , .,c,2 +?/$,2 + ZZ2+ (y,Z+ ZZ2 + .TyZ) = a , und verstelit unter el und c2 Constanten, so ist der Werth des elastischen Potentiales 3' fiir einen isotropen Kiirpei- nach der Slteren Tlieorie gegeben durch

(4) 2 1; = c1 O 2 + c2 I?,

was darin begriindct i s t , class (Y und 19- bei Coordinaten- transformationen ihre Gestalt iiicht kndern.

Die analoge Eigenschaft miissen n u n aucli die zur Correction noch hinzugefiigten Glieder besitzen. &Ian kann dicselben oline alle Rechnung mit Hiilfe eines von Hrn. L. S t i c k e l h e r g e r l) angegebenen Sntzes bilden, wonach jede ganze rationale Function der sechs Deformationsgrossen, welche Tom Coordinatensystem unabhangig ist, diese Grossen nur in den drei Combinationen

= 2, + yz/ + z,, 1

ri =yp.+ ~zIc,+Cc,y/,- (y.,2+2,2+Jy2) ,

5 = .c, yy 2, + 1 1 (5) 1

y. 2, ry - 7 (G y.2 + yy + 2, .$) enthalten kann. Da nun

s2 - 211 = 1'1

ist , so kann inan ststt der Aggregate 8, I / , 5 anch 8. 9. < benutzen.

Beschrhl i t man sicli auf die Zusatzglieder dritteii Grades urid versteht unter cl', L'IZ, c ' ~ Constanten, so w i d sicli das Potential If' schreiben lassen

2 (6) 2 P = c1 82 + c2 9 + :i cl' ds + c2' 8 s + 2 c3' ;. Aus diesem Werthe folgen die I~~uclicomponenten

1) Vgl. W. V o i g t , Gott. Nadir. 1894. Nr. 1. p. 33.

l ~ ~ u ~ e i t e r ~ t ~ i ~ g ( l ey ~'l~sticitix't.sf7/eo7.ie. 539

Mit ihiien rind die allgemeinen Gleichnngen f ~ r nichtstarre Ktjrlwr LU vei*biuden, die fiir jede Stelle iiii Iiiiierii l a i i t r n

Hicrin bezeiclineii dV, l', Z die Cornpoilenten riusserer, anf inneru PmiBte wirlreuder (\ogenaiiutt.r hiiipedic7ier) Kr&fte, X , I: X die Compoiieiiten voii Oberfl~~clieiitlrnclien ; erstere sind auf die Volumen-, letztere auf die Pliicheiieirilieit brzogeii ; E ist die Dichte.

Da die in die c7; multiplicirten G l i d e r in ( 7 ) al\ Cor- rectioiien zu betrschten sind, wird iiiaii die Gleicliuiigen xni besten durch Anidlerung beliaiidcln. Man zerlegt liierzu die Verriicliuiigeii zc, v, zu geingiss den B'ormelii

u = uo + U') D = vo + 21') zu = 700 + ui, in denen die uo, DO, zuo die Liisungeri des gestellteii Problem in erster Anniiheruiig, cl. 11. bei VeriiachlLssi'gung der Zusatz- glieder bezeichnen, u', u , 10' die durch sie bedingteii Correc- tioneii siiid.

Entsprechend mird d a m auch fiir Deforriiatioiisgrijs~eii uiitl I>ruckcompoiieiiteii geschrieben w e d e n 17'. ,oiineii

j .Yz = .Y," + T,') . , . . " . zy = .TyO + 2.;)

1 x, = x ,o + .Ti + A,, . . . &I-<, = 1;" -{- x; + A, ? (11)

worin .x;l . . . x y 0 , &(I . . . X,,O &us den u", vO, zu" in gewoliiiter Weise gcbildct siiicl und fiir die 1,' . . . Xy' mid Ax . . . A, nach (7) bei Bescliriinkung auf die Glieder niedrigstcr Oril- riung gilt:

540 T. voigt.

Es sind also X; . . . Xy’ Druckcomponenten der gewohnlic: Elasticitatstheorie, gebildet von den Zusatzverriickungen d , v’: Ax . . . A, mit ihnen verbundene, nur von den uo, vo, wo und Erganzungsconstanten el‘, ca‘, csf abhangige Functionen. u‘, v’, w’ bestimmen sich indessen nicht aus den Formeln und (9) mit den direct gegebenen Kraften, sondern befol die Qleichungen

t + ~ a ~ , ax; ax; axz‘ + Y + = ~ + __ (13) -1- (2 a y 8 % 5 8 y +-z

und

(14)

in denen also

(A, cos [n, 2) + dy cos [n, y) + a, cos (n, z))

+ (XS cos (n, x) + x;I cos [n, y) + x, [cos (74, 2 ) ) = 0, _ - - - - - - - - - I

- (1 G ) a, cos (n, x) + Al/ cos (a, y) + 2, (cos n, %) = B

_ - - - - - - - - als die suf innere und auf Oberflachenpunkte wirkenden K gedeutet werden ]Itinnen. -

Die vorstehenden Formeln wenden wir zuniichst auf Fall der homogenen Deformation an und setzen hierzu

(17) F O

Diese homogene Deformation setzt cofistante Werthe der DI XSo, YYo, ZZo und verschwindende Y,O, Z,”, -X; voraus, zwar bestimmt sich

@ = a , , , vO= b y , w O = c z ,

x 2 = a , y?/o=h, zzo=c, S o = a + h + c ,

x,. (XZ” -I- Yy” +- 4”) c,

(3-0, + en) c2 - _ ~ f

Zugleich w i d iiun nach (12)

- A, = cl’ (a + b + (y + cz‘ ( a (a + 6 + ( 8 ) + (/? + 62 + c”) + c3’ b c ,

+ cz‘ (6 (0 + b + c) + (a2 + 6% + 2)) + c3’ c a ,

- c: = (aI’ (a + b + c)Z

+ c2‘ ( c ( a + b + c) -k (a2 + 62 + 2)) + c3’ a b ,

1

- 3, = el’(. + b + c ) ~

1

1

Bz = e, = A , = 0.

Die Zusatzdeformation ist also von deinselben Charskter, wie die primiitre. Wir koniien setzen

d= l z , v l = m y , w’= n z , x, = I , .yyI= m , zL= n, yz = 2% = xi= 0 , (20) { , I - I

uric1 demgemass nacli (18)

Diese allgemeiiieii Formeln weiiden wir zunichst an anf den Fall eiiies allseitig gleichen Urucltes von der GriSsse p .

Hier gebeii die Formeln (9)

X,O = y = 4 0 = p

u = b = c = - - ” . und (18)

( 2 2 ) 3 c1 + c j

Ferner mid aus (19) 1

2 9 - A, = - R, = - cZ := 9 02(el‘+ c2’ + - c3’)

I

(23) i

sie mird also dnrch eirie Function zweiten Grades des Druckcs gegcben, welche dic drei nenm Conitmiten c,,’ in der Com- bination

33s mag diLr:Lri erinnert werden, class die Dilatation durcli gleicliformigc Erwiirmuiig ebenfails eine liomogene der vor- steheiiden Art ist uiid bei ilir in erster Anrialierung p mit der Temperaturiinderuiig t proportional = - y z gesetzt werden kann. Es ware ron Interesse , experimentell zu untersuchen, ob die Abweichung der thermischen Dilatation von de r Pro- portionalitiit mit der Temperatur allein auf der allgemeineren Form des elastischen Potentiales beruht, ocler ob ancli der thcrmische Drucli p = - q z duvcli Zufiigung von liolieren Poteiixen der Teinperittur verallgemeinert werdeii muss.

Bei der Dehnung eines Cylinders voii beliebigerii Quer- schnitt (lurch eineii longitudirialen Zng P auf die Querschnitts- eiiiheit ist, wenn man die Z-Axe in die Cylinderaxe legt,

also XZ” = 0 = 0 , Z,O = - P, ?J

(2(i) a = b = - ~ ~ - - 1 - I’ c . r . = + - - - p (2 rl f ( 3 el + r.,) ( a d ( 3 (‘1 f C,)C,

und dahei

Eruviterung der Zlasticitatstheorie. 543

Gegenstaiid der Beobachtung ist die lineare Dilatatation I = c + n des Cylinders parallel seiner Axe

(as) 1 - 3 2

c2' (6 cI2 + 4cl c2 + c2')) c2

Dies ist die Grosse, auf welche sicli die Beobachtungen des Hrn. 0. T h o m p s o n beziehen; seine Resultate sincl inner- halb maissiger Bereiche von P auch durcli diese Forinel dar- stellbar und gestatten fur die untersuchten Substanzen die Berechnung der in der eckigen Klainrner enthaltenen Combi- riation von cl', cz', c3'.

Eine Erweiterung der Betrachtung auf die nachst hoheren Glieder cles Potentiales, uni die allgeniein von Him. T h o m p s 011

benutzte Interpolationsforniel

a = d u + n P Z + c P 3

abzuleiten, bietet keinerlei principielle Schwierigkeiteii, hat aber jctzt , wo die E:rgansungsconstanten erster Orclnuug c1 , c2 , c3' noch fur keine einzige Substanz bekannt siud, keiii Interesse. -

Das Problem de r 'Ibrsion eines Cylinders von doppelt symmetriscliein Querschnitt wird in erster Annaherung durch den bnsatz

, I

? L o = - t y z , 11 = + r d ' z , w = tX(.",?/)

gelrjst, worin t die Drillurig der Lkngeneinheit uiid ,y e k e ungerade Function von R' uncl y bezeichnet, welche \on der speciellen Form des Querschnittes nbhangt. Es wird also

w i d demgemass

544 w: Yo<yt.

Hieraus folgt :

1 ‘ 02 1 ‘ ? P O - c3 yz , i - (‘2

uiid zwar siiid . /m , By. Cz siimmtlich gerade Functionen von ~t’ und y, A, ist hingegen ungerade.

Das Verriickungssystem u‘, o‘, w‘ ist deshalb riacli (13) und (14) ein solches, das durch ein in Bezug auf die X%- und 1’Z- Ebene sgmmetrisches, voii z unabhangiges System voii korperlicheii und Druckkriiften bewirkt werden wiirde, kann demnach in einem Cylinder von derselben Synimetrie keine Torsion bewirken.

Diese Ueberleguiig beweist, dass anch bei Henutzung des vervollstandigten el:r\tisclien Potentiales der Drilluiigswinkel ei:ies Cylinders voii doi.’peltsymmetriscliem Querschnitt eine Ziizenre Function dcs ausgeiibten Drehungsmomentes bleibt.

Die Aendcrungcn , w e l c h gegenuber der Ateren Theorie eintreten, bestehen dariri, dass bei der Deformation der Querschnitt des Cylinders seine Contour und die Lange ihre Grosse andert.

Diese Wirkung der Erganznngsglieder iiisst sich bei einem Cylinder von kreisforniigeni Querschnitt leicht vollstindig be- reciinen.

Hier ist x = 0 und daher, falls .z2 + T~ = r2 gesetzt wird,

T 2 22 - A, = -~ (c ’ r2 - c3’ .z2) , - R - ~ (c2’ r2 - c3’y2) , 4 2 z / - 4

- C, = p c 2 1 r 2 , - B:= - C,= 0, - il - - 22 , y - c3 xy .

(3 l ) 1 ra

also nach (15) das System der korperlichen Krafte:

22 .i; ( 2 ~ ~ ’ - 3 ~ ~ ’ ) . e B = Y (2c2’-3c3’), EC=O. 4 4

(32) e A =

und, falls der Radius des Querschnittes gleich (1 gesetzt wird,

I!?rrireiterirry der I~l~sticitiitst~~eor~~. 545

r 2 y 9 2

clas System cler Drucke gegeii die MantelAiidie :

(33) - A, = ~~ (cz‘- C3’)) - B, = y- (cz’ - c3’), c, = 0. 4 das der Drucke gegen die Grundfiiche:

- C, = ~

- 22 - A, = - B, = 0, Wir machen nun den Ansatz:

c2‘ r 2 .

(34) u ‘ = ~ ~ R x , u’= t ’R~y? w’= t 2 C z 7 worin R nur r enthiilt und C eine Constante ist. Daraus folgt, wenn d K l d r = R gesetzt wird:

\ - 3%’ = t~ [cl ( f i r + 2 IZ + C) + c2

- 2’‘ ?I - - t 2 (R’ 1‘ + 2 n + C) + cg (R; + R) j 7

(35) I - Zz’=tZ[cl ( E r + 2 R + C ) + c2 C],

- y ‘ - -z;=o, -~X,’=tZc,R’xY . ! z - r

Die ersten beiden Gleichungen (13) werden hierdurch identisch und zwar zu

(36) analog die zwei ersten fur die Mantelflache giiltigen Be- dingungen (14) zu

(37)

die dritte Gleichung (13) ist identisch erfiillt.

(el + c2) (3”r + 3 R’) + (2 ca‘ - 3 c2’) = 0 ,

c1 (R’ + 2R + C) + c2 (FQ + R) + $ (cz’ - c3’) = 0;

Kurzt man ab

so gibt die Integration von (36) B

(38) R = A + r2 + K ( e 2 - 1 ” ) ;

damit die Liisung auf r = 0 angewandt werden kann. muss B=O

sein. Fur A und C erhiilt man eine Gleichung aus (377, namlich

1 (39) A ( 2 c1 + cg) + C‘Cl + ; (C2’- +’) = 0 ,

eine zweite gewinnt man aus der dritten Grenzbedingung (14) Ann. d. Phys. u. Choru. N. F . 62. 35

546 IK Voz*qt.

fur die Grunflkcheii, die alleiii iiicht icleiitiscli erfullt ist. 1st der Cylinder vori gegen seinen Ilurchmesser grosser Lange, so kiinrien wir sie so benutzeii, dass wir die Resultaiite der auf die Chuiidflkchen wirkenden Krafte, uiid damit

setzen, und erhalten claraus J (fl; + G) /i y = 0

' (40) A 2 c1 + C(C, + cg) + cp' = 0 . Aus beiden folgt

wo cc und y neue Bezeichnungen sind. Dns Problem der Drillung des Kreiscylinders ist hierdurch vollsUndig geliist ; insbesondere findet sicli die irifolge der Drillung auftretencie Verringeruiig des Dnrchniessers gleicli

cc zz 0 3 ,

Yt2Q21.

die Verringeruiig der Linge I gleich

Die Messung dieser beiclen Griissen wiirde die beiden Er- ginzungsconstanten c2' uiid c3' z u bestiminen gestntten, scheint aber niclit nnbetrkclitliche Schwierigkeiten ZLI bieten. Mit dem wirkenden Moment iV ist die specifische Drillung t clurch die Formel verbunden

Das Problem der gleiciiform<yen Bieguny eines isotropen Cylinders durch Drehungsmomente um die Haupttragheitsaxe Y seines Querschnittes wird in erster Annaherung durch deri Ansntz

geliist. Hieriri ist (43) uO=a(xZ--y2) + cz(Z-z), v0=2azy , ? u 0 = - c ( l - 2 2 ) x

a = - c e, Zc, + cg '

und es bedeutet 2 c den reciproken Badius des Kreises, nach welchem die Faser x = :/ = 0 gebogen ist; 2 c ist mit dem Ge- sammtmomeiit M clurch die Gleichuiig

verbundeii, in ivelcher k , dell Trliglieitsradius des Querschiiittcs 0 urn die 2 -Axe bezeichnet.

Aus (43) folgt:

(45) .?.,O=yo0='Lu r , z o = 2 ( . J , ,/. / o-* 'I- -.l.,o=o. OO=2,c(;!a+c), also

uncl {)O = 4 J 2 ('2 a 2 + (3)

(4(i) 1 - c C , = 4 . ( . 2 [ C l ' ( j ! U + ( , ) 4 + ( . 2 ' ( a P + 2 ~ l c + 3 2) + c,'aZ], 2

I - . iy=; - - - - - -1- ( ) y - g - '

Verbindet man niit diesen Resultaten clie Gleiehungcii (1 3) utitl (14), so crliennt mail. dass clas Verriicknng cin iolches ist, wie er tlurcli in Bezug aid' die .Y%- uncl 1 - X - Ebene syinmetrische und fiir alle Quersclinitte gleiclie kiirpcrliche und Drucklrr2fte beivirkt wird, uncl ersielit cltlraus, dass, wenn der Querd in i t t die gleiclie Syinmetrie besitzt, diese Verriickungen weder Riegnng noch Drillung beivirkeii kiirinen. Es bleibt sonach auch bei Anwendung des rervollstaiidigteii elastischen Potentiales cler reciprokc Radius der I3ieguiigscur\ e uiid clemgemiiss auch der Pfeil der Biegiuig eiuc lineare Fuiic- tion des ausgeiibten Monientes.

Was hier fur gleichfor~nige Bieguiig gefundeii ist. gestattet sofort die Uebertragung auf /cyleichfii).mz''e, wenn iiur der ge- hogeiie Cylinder so lwig gegen seine Querilimensioneii ist. chss inan Elemente, welclie durch einmider sehr nahe Querschiiitte hegrenzt siiid, als gleichforlnig gebogen betrachten kanii.

Die vorstel-iendeii , fur Drillung urid €Iiegulig gefuiideiieli Resultate, welche, so uberrascheiid sie eiwAeiiieii, sich tlurc*li Discussion der Eigeiischd'ten cler erweiterten I~rncltcoiiipu- nenten (7) plausibel machen lassen, liliiren deli Widersprucli auf, in welchein sclteiiibar die yon Hrii. 0. Tli o i n p s o n bei bei Lii,iigsdehnuiig gefuiidenen Resultate init rleii voii mir uncl Andereii bei Bieguiig untl Torsion erhalteneti steheii. Sie zeigeii, class cler Einfluss, welchen die iiiclit genanc (;iiltiglicit

35%

548 w. Voi-qt.

des gcwiihaliclien elastisclien Potenti:Lles auf clie verscliiedenen beobaclitbaren Deformationen hat, eine gaiiz verschiedene Gr6ssenordniing besitzt , z. B. bei Langsdchnung in eineni Gliede erster, bei Biegung und Drillung in eiriem Gliede zzueitw Ordnung auftritt, im ersteren Falle also unter Umstanden sehr merklich sein kann, \vo er in den letzteren kaum nach- weisbar ist.

Hierdurch sind aucli einige der von Hrn. T h o m p s o n aus seinen Beobachtungen gezogencii Schlussfolgerungeri als irrig erwiesen. -

Das erweiterte elastische Potential (6) und die %us ihm gefolgerten Wertlie cler Druckcomponeiiten ( 7 ) gestatten aucli noch die Verwendniig , zu bestimmen, wie sich der isotrope K6rper durch eine p r i m k hervorgebrachte starke Deformation gegeniiber spiiteren kleinen in seinem Verlialten Bndert ; er muss durch die erstere offenbar in jedem Volunienelement riacli ver- schiedenen Richtnngen physikalisch ungleichwerthig werden, und clie Gesetze dieser Wirliung sind in dem obigen Ansatz enthalten.

Es miige jetzt u0, uo, w0 und entsprechend P, 1 9 O sich auf die vorliergehenden starken Deformationen beziehen, ZL‘, v’, 20’) d’, 6‘ auf die zu ihnen gefiigten riaclifolgenden schwacheren.

Beschrinkeri wir uiis hinsichtlich der u’, w’, w‘ auf die iiiedrigste Ordnung, so iiehmen die Formeln (7) fur die Drucke die Gestalt an :

- x x - - - x,o- Xx’, . . , -x Y - - - X O - X / / , Y

wo Xxo . . . Xyo die Ausdriicke (7) selbst sind, wenn man darin rechts die oberen Tidices O anfiigt. Die X l . . . zJ’ siiicl p grben durch

- X‘ = Cll .T,’ + y!; -k ( a l 3 ZE’ + C14 yz’ + Clj z ; + .ry‘ , . _ - - - - - - - - __ - (47)

worin die Constanten clL der Beclingung

%k = C k h

geiiiigen uiid ziernlirli coinplicirtc Werthc hxben; es gilt u. a.

549

(48)

c23 = c, + ( 2 el' + c z ' ) 11'0 - (ea' - f3') xz0,

c44 = T ( c z + c,' 80 - c3'Icz) , c41 = -(c, - c3'),yz", ckZ = Cd3=-c2 yz ,

1

c3' cj3 = ~~~ y.. 1 , 1 ' 0 4 2 2

549

Hieraus folgen alle andern c h L leicht durch cyklische Ver- tauschung links der Indices 1, 2, 3 resp. 4, 5, 6, rechts der Deformationsgrossen xGo, yyo, zZo resp. yz", zoO, .xy0.

Da in diesen Werthen die ursprunglichen Deformations- griisseu .zZo . . . .ryO nur in die Erg~inzungsconstanteii cl'. cz', c3 multiplicirt anftreten, so koiinen wir fur sie innerhalb dcr ein- gefiihrten Anniiheruiig die nach der Blteren Theorie berechileten Werthe benutzen. Die Werthe (47) haloeri den allgemeirien Gleichungen (Sj und (9) bei Einfiigung der die nachfolgenden Deformationen he\virkenden kiirperlichen Krafte und Ober- fl%chendruclte zu geniigen.

Fur den Fa l l einer homoyenen priiniireii Deformation liaiin m:tu die Coorrlinateiiasen mit den Hauptdeformationsaxen zu- sammenfallen lassen, also yzo = 2," = ,yYo = seteen ; die erhaltenen Resultate ergehen eine elastische Symmetrie , die derjenigen eines rhombischen Krystalles entspricht.

1st specie11 der Kiirper ein Cylinder und die primiire De- formation eine Delinung durcli longitudinalen Zug , so ist wie in (26) xZo = ?/so = a , zZo = c zu setzen. ~ ~ o d u r c h

und die Symmetrie die eines hexagonalen Rrystalles (oder eines Rotationskarpers) wird. Da fur solche Kiirper die Prohleme der Drillung wid der gleichfiirmig~ii Biegnng leicht geliist werden kiinnen, so enthalten aucli die vorstehenden Werthe

550 rv. Yoigt. der Constanten chfC die gesammte Grundlage fur die Theorie des Einflusses der Langsdehnung auf diese Ersclieinungen.

Insbesoriclere wird der Drillungswiderstand cOc bei Ein- fiihrung der Werthe fur u und c aus (26) zu

Der Factor voii P enthalt die beiden Ergarizungscoiistanten cg' und cg' in derselben Verbindung, wie (a - y ) in den For- meln (41); es cliirfte iiioglich sein, seinen Werth durch Be- obachtungen, sei es nun von Gleichgewichtszust~n~len oder von langsameii Schwingungen bei welchen der Cylinder in jedem Moment als gleichfijrmig gespaniit betrachtet werden kann, zu hestimmcn. Dabci ist uber ZII beachten, dass unter Umstiiirlen die Beriderung der Dimensionen d e i betrachteten Cjlinders i r i -

folge der primaren Deformation nicht zu vernachlassigen sein m i d , also z. €3. der Radius des Kreiscyliiiders nicht mit dem nripriinglichen Wcrth Q , sonderii mit seiiiem modificirten (1 + a) iii Rechnuiig zii setzen ist. -

Neben dem oben erorterten Falle dass die primare De- formation liomogen ist , bietet besonders derjcnige, dass sie eine Brillmg nnd der Korper ein Kreiscylindw ist, practiwhes Interesse.

Hier ist also

Cl l = cz2 = ('33 = c1 + /'%. C z 3 = CQ1 = cI2 = c l ,

c44 = C g 5 = CGB = 1 z ,

c2 , Cq1 = -? (c , - c3') .x, i 1 c50 = t c g ' x , 1 , (52) Cd2 = cg3 = 5 ( B 2 2 I

1 c52 = - ; (c2' - C 3 ' ) ! j . /'52 = Cjl = - t c2'y j

1 , - 4 t ('3 ?I1 = Cb2 = cb3 = cg5 = 0 . I C64 =

Der Kreiscyliiider wirrl also diirch diese priiiiiire Deformation inhomogeii.

8 r u x i t e r i ~ n . deer ~ l a s t i c i t ~ t s t ~ ~ e o r i e . 551

Hat die naclifolgende Dilatation die Eigenschaft, dass yz‘ = zz’ = xy‘ = 0 ist, so wird einfach

- Y’ - z - t k (cz’ 6’ - c3‘ . T i ) 2 - x; = c1 6’ + c2 .xi,

(53 ) - Yy‘ = c1 d’ + cz y; , 1 2

“y (cz’ 3” - c3’yz/’) Z ‘ - - ~

5 - I I - Z ‘ - z - c1 s’ + c2 G’ , - x; = 0 .

-

Dies gilt insbesondere bei homogener Deformation, wo d m n auch noch 2;;’ = u’, yi =: b’ , z,‘= c constant sind. Der specielle Fall, dass a’ = b’ ist, tritt bei longitudinaler Dehnung ein uiid fiihrt zu nahezu demselben Gesetze, nls wenii der Kreiscylinder die primare Drillung nicht erfahren hatte. Denn (lie Normaldrucke &’, I;, $‘ habeii nach (53) dieselbe Form wie fiir den nicht deformirten Cylinder, clie tangentialen I? und ,Ty, verschwinden a m den Hauptgleichungen (8) wie &us den (:renzheclingungen (9) fur die Mantelfliiche nnd liefern iiber die Grundfliiche summirt verschwindende Compoiieiitensummen. Dnher erf‘ordert die gleichformige Dehnung des I<reiscylinders dieselbe Zugkraft, als wenn er iiicht deformirt ware.

Allerdiiigs gebeii die Componenten Y,’ uiid Z2’ iiher die Grundfliichen summirt ein Drehungsmomcnt und die %-Axe,

(54) (x ITs - y gZ) d p = - ~ t y g2 ( c2’ ( 2 a’ + c) - c3‘ a’) ~

und es muss demgeniiiss, uni eine entsprechende Ilrillung des Cylinders zu verhindern, etma durch eine Parallelfiihrung des beweglichen Endes des Cylinders, cin jenes compensireiides Busseres Moment ausgeiibt werden.

Fehlt ein solches, so erfihrt der primar gedrillte Stab bei einem longitudinalen Zug neben der Langsdehnung eine neue Drillung, deren Grosse sich theoretisch bestimmen lasst urid da rie vielleicht der Beobachtung zug%iiglich ist, fiir die evperimentelle Bestimmung der Erganzungsconstanten cl’ cz‘ c3’ in Retracht kommt.

J\-ir setzeii

1 AT = .I’ 4

(53) uird rerstehen unter t’ eiiie Constante, unter R eine Function von r = 1 / x Z + y2 allein ; hieraus folgt

u’ = zz Ic - t’ ?J z , u’ = H y + t ‘ J z , 10‘ = cz

(57) *

gleiches gilt von den beideii ersten Bedingungen (9) fur die Mnntelfliiche, welche liefern

1 (59) c1 ( 2 R+ B’ (3 + e) + c2 (R + K’ (1) + t t’ Q2 (c2’ - c3’) = 0 . Die dritte Hauptgleichung (8) und die dritte Bedingung (9) fur die Mantelflache; wird durch die obigen Werthe von Yi und Zz’ identisch erfiillt.

Die Bedingungen fur die freie Grundfliiche reduciren sich darauf, dass das Drehungsmoment

(60) J(Z r,’ - y Xi) d p = 0

- b i d p = 1“= 5T (12 P

ist und die longitudinale Zugkraft

(61)

einen gegebenen Werth besitzt. Die drei Gleichungen (59) (60) und (61) liefern nach Ein-

’ - x.=ccl (2R+R’ r + C ) + c , (R+E F) + yz: 2 (c2< r2 - c,’ r 2 ) ,

- IT= c1 (2R+K’r + C) + c2 (R+X’ ?) + 3- (c; 7.2 - C i ? J 2 ) ) z z‘

z z‘ 2

- 2’ - z - c c l ( 2 B + R ’ r + C ) + C , C + - - c 2 ‘ r 2 ,

- J:= 2 ‘-c,t’x+ 2 - C 2 ’ t r ( 2 ~ + n . r + c ) - - ~ C 3 ’ t Z ( l i + n ’ r ) , 2

- y;/ ’ - --c2zy- -c2’ ty (2R+R’r+C)+2c, ’ ty (R+nlr ) ,

1 1

1 , l 1 2 2

- _y’ u--CzR - %?l - ; c , ‘ t t ‘ s y .

B~ineitewng der /~l~stic.itiitstlieot.ie. 553

setzeri aller Werthe folgeride Formeln zur Bestimmung von A , C und t':

A 12 c1 + c,) + c c , + t' yz ( 2 ca' - c3') = 0 ,

A 2 c, + c (c, + c2) + t' y2 2 cz = P.

Die Resultate sind ziemlich complicirt, es diirften aber strenye Werthe in Praxi nicht erfordert werden.

Vernachlassigt man Grossen von der Ordnung (c,~' t 0 / c h ) 2 neben Eins, so erhalt man fur A und C die Werthe, die sich bei nicht primar gedrilltem Cylinder finden, namlich (vgl. Formel (26))

dagegen findet sich

oder bei Einfuhrung des Wert'hes y ans (411

Hieraus folgt der eigenthumliche Satz : J e nachdem der Kreiscylinder bei Drillung sich verlangert

oder verkiirzt, bewirkt eine Langsdehnung des primar stark gedrillten Cylinders eine Vermehrung oder eine Verminderung dieser Drillung. -

Ebenso wie die Langsdehnung des Kreiscylinders von einer primaren Torsion nicht beeinflusst wird , bleibt auch die Fortpflanzungsgeschwindigkeit longitudinaler Schwingungen ungeandert, wenn man nur den Querschnitt des Cylinders als klein gegen die Wellenlange ansehen darf.

Kier sind zwar x~', yi , zz' nicht constant, aber nach Symmetrie gerade Functionen von z und y ; fuhrt man nun den mittleren Werth von u, v, w auf jedem Querschnitt unter der Be- zeichnung (u) , (v), ( 7 0 ) ein, so erhalt man fur (w) dieselben Formeln, wie fur ZD in dem primar nicht deformirten Stab.

554 IK ?Toigt.

I n der That , integrirt man die Formeln (8) uber den Querschnitt des Stabes so findet man, wegen der Werthe (53)

a w ) . a b,') 1 -ax-+ " z - r , - a 2 (LO) a (ZZ')

a-tz a x - c - ~~ - (65) E

zugleich liann man widerspruchslos, um die ersten beiden Grenz- bedingungen (9) zu erfiillen , auf dem ganzen Querschnitt

= yyI = - c1 S i c 2 , also auch = - c1 z z ' / (2 c1 + c,) setzen, wahrend die dritte Grenzbedingung (9) durch die Werthe (53) voii Y,' nnd &' identisch erfiillt ist. Sonach giht die letzte Formel (54)

was mit der Gleichung fiir die longitudinalen Schwiiigniigen in dem nicht deformirteii Stabe iibereinstimmt.

Die Fortpflanzungsgeschwindiglieit longitndinaler Schwin- gnngen in eineni Kreiscylinder wird also auch nach der ver- vollstiindigten Tlieorie durch Torsion nicht geandert. -

E'iir den F a l l , dass die der primiiren Didlung folgende Deformation eine gleichfcjrmige Bieguiig in der 2 X - Ebene ist, hat nian gemzss (13)

.?Lo) = yy' = 2 a' T ~ zz' = 2 c' R' , yb' = z,' = xi = 0 , a'(2 rl + c2) + (3' c1 = 0

zu setzen, sodass die specielle Form (53) fur die Druck- cornponenten anwendbar bleiht. Setzt nian die erhaltenen Werthe der Druclie in die Gleichungen (8) rind (9) ein, so er- k m n t inan , dass zur Erzielung der gleiclifiirrnigen Biegnng eine korperliche Kraft parallel der %-Axe anzubringen ist, gegeben dnrch

class auf der MantelflAche keine ;iusseren Drucke zu wirken brsuchen, dass aber auf die Grundibchen ausser normalen Zugkraften, welche ein Moment um die Y-Axe gehen, noch tangentiale auszuiiben siiid, welche sich zu eiiier Resultirenden

(67) e z = ty (c2' ( 2 a' + c') - c3' a') ,

(68) I [ = & t Q hi,' (c2' (2 a' + ( 8 ' ) - c3' a')

parallel der K A x e zusammensetzen.

Brweiterzcnq der fllasticitutstheorie. 555

Hicraus ist zu schlicssen , dass die wirkliche Deformation, welche infolge eincs auf die Grundflachen ausgeubten Momentcs urn die Y-Axe auftritt, sich von ciner gleichfhrmigen Biegung urn Glieder unterscheidet, wic sie durch die entgegengcsetzten Componenten - E Z und - II bewirkt wcrden wurdcn.

Die Bicgung wurde also einerseits nicht glcichformig, andererseits von einer Ausweichung des Stabes aus der X Z - Ebene und wohl auch von einer Drillung urn die B A x e be- gleitat sein.

Ganz ahnlichc Bctrachtungen liesscn sich an den Fal l ankniipfen , dass die primare Deformation eine gleichformige Biegung ist, nlqo fur die bez. Dcformationsgrossen dcr Aiisatz (45) gemacht wird; sie ergeben, dass cin Moment urn die Langsaxe den Cylinder iiicht nur drillt sondcrn zuglcich auch hicgt.

Die st,rcngc Behandlung dieser Vorgangc diirfte grosse Schwierigkeiten bieten.

G 6 t t i n g e n , Januar 1891.