Uber eine Klasse nichtlinearer abstrakter Wellengleichungen im HILBERT-Raurn

Von HERBERT GAJEWSKI in Berlin

(Eingegangen am 5. 7. 1971)

0. Einleitung

Scien 2- uiid H reelle H I L B E R T - R ~ ~ ~ ~ ~ ~ mit x c H c X*. Von LIONS- STRAUSS [6] und BROWDER [ 2 ] wurden Anfangsu ertproblelrie der Form

u" + A ( t ) u' + ( L + f l ( t ) ) u = 0, u(0) = 260, d ( 0 ) = u1,

mit nichtlinearen Operatoren A ( t ) E ( X - X * ) und 8(t) E ( H - H ) sowie linearem, in H dicht definiertem, positiv definitem und selbstadjungiertem

Operator L betrachtet. ( u - = ;;). - Der Gegeiistand vorliegender Arbeit sind Existenz- und Einzigkeits-

aussagen fur Anfangswertprobleme der Porn1

(7 u" + ( L + A @ ) ) u' + B(t ) u = 0, u ( 0 ) = uo, u'(0) = u1,

mit nichtlinearen Operatoren A ( t ) , B ( t ) E ( X 4 X * ) und linearem, in 11 dicht definiertem, positiv definitem und selbstadjungiertem Operator L.

Wahrend zum Beweis derartiger Esistenzausssgen h&ufig das GALERKIN- Verfahren herangezogen wird (z. B. [ 5 , 6]), werden wir iiiit einer Regulsri- sierungsmethode arbeiten, die auf der Approximation von (*) durrh eine Folge gewohnlicher Differentialgleichungen in geeigneten HILBERT-Raumen basiert. Diese Methode vurde in [3, 41 bereits auf abstrakte parabolische Gleichungen angemendet.

Die Arbeit besteht aus vier Abschiiitten. Im ersten werden Regriffe und Bezeichnungen eingefuhrt. Der zweite Abschnitt enthiilt Voraus- setzungen und Ergebnisse, der dritte Beweise. Absehliel3end werden im 4. Abschnitt einige Hinweise zur Anwendung der Ergebnisse gegeben.

1. Begriff e und Bezeichnungen

Seien H und V rcelle HILmRT-Riiiurne mit den Skalarprodukten (. , .) bzw. ( ( a , .)) und den Normen 1 . 1 bzw. I / . 1 1 . TVir setzen voraus

V c B, V dicht in H , ii,?hlll 2 y luI2, ZG E V . .'a*

372 Gajewski, Uber eine Klasse nichtlinearer Wellenglcichungen

Sei V* der zu V dude Raum mit der Norni ) [ . I]*. H identifizieren wir mit seinem diialen Raum H*. Dann konnen wir schreiben

V c H c V * . Den Wert eines linearen Funktionals f E V* im Punkt v E V bezeichnen wir durch (f, v). 1st speziell f E H , dann ist diese Form identisch mit dem Skalarprodukt in H .

Sei R E (V* + V ) der Rmszsche @perator und J = R-1 die dude Abbildung von V auf V*. Es gilt

(1.1)

(1.2)

( J U , v) = ((RJ.4 4) = ((% v)) = (P, .)) = ( (RJv , u ) ) = (Jv, u) ,

( J G , a) = IIW, I!J4l* = 1141.

( (U, v)), = (u, v) + E ( (U, 4) Auf V definieren wir fur E > 0 Skalarprodukte

und entsprechende Normen

Es gilt offenbar

(1.4) d. h., die Normen (1.3) sind der V-Norm aquivalent. Deswegen konnen wir gemid3 der Vorschrift (1.5) ( ( R e f , h ) ) € = tf,h), V I L E

Operatoren R, erzeugen, die V* auf V homoomorph abbilden.

(1.3) lid = ((% u)),.

E 11~112 2 lIu/l,2 5 (1iV + 4 1I4l2,

Lemma 1. Fur u E V gilt 1 -

!Iu - R€4l€ s E 2 I l ~ l l , 1 1 % - Re u I l a 0 . Ein Beweis dieses Lemmas findet sich in [3]. Sei [0, T] ein beschranktes (Zeit-) Interval1 der positiven reellen Achse. Definition 1. Mit Cz (0, T, X ) ( X = H , V , V * ) bezeichnen wir die

Klasse der I-ma1 stetig differenzierbaren abstrakten Funktionen

t - x ( t ) E x. Mit der Norm

k

=- max \ \ xg ( t ) l l x

m ird d (0, T, X) zum BANAcH-Raum.

Funktionen t + x ( t ) E X, fur die fiir jedes h E X gilt Definition 2. Mit CL (C, T, X ) bezeichneii wir die Klasse der abstrakten

( Z ( t ) , h ) E C2[O, 57.

Gajewski, Ubcr cine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen 373

Wir sagen, eine Folge {xn} konvergiert in Ck (0, T, X ) gegen 2, wenn fur jedes h € X die Funktionenfolge { (xn( t ) , h) } in Cz[O, T] gegen ( ~ ( t ) , h ) kvnvergiert .

2.Voraussetzunge11, Problemstellung, Ergebnisse

Seien { A ( t ) } und {B(t)} , t E [0, Tj, Familien von Operatoren von V in V*, die fur u, v E P, t , s € [0, TI den folgenden Bedingungen genugen

(A,) ( A ( t ) u - A ( t ) w , u - v ) ~ - q l u - w ] 2 .

(A,)

(Ad (Ohne Beschrankung der Allgemeinheit setzen wir aus technischen Grunden voraiis A ( t ) 0 = 0).

P I )

IIA ( t ) - A (4 4l* 5 a llu - 4 . lIA(t) - A @ ) ull* s I t - 81 ?“a ( lu l ) (1 + llull).

llB(t) - B( t ) TJ l l* 5 b IIU - 41. (W I I B ( t ) - B ( s ) u I I * 5 I t - s I ‘b ( l l u l l ) . Dabei seien q, a und b positive Konstanten, ra und rb nichtnegatjve, stetige, nichtfallende Funktionen.

In1 endlichen Zeitintervall [0, TI betrachten wir das Anfangswert- problem

(2.1) Uber die Anfangselemente uo, ul setzen wir voraus

(2.2) UO, U I € V , ( J + 4 0 ) ) U f , B(O) uo E H . Neben (2.1) betrachten wir fur E > 0 das Problem

( 2 . 3 )

und das dazu aquivalente Problem

u” + ( J + A ( t ) ) u’ + B(t ) u = 0, u(0) = uo, u’(0) = ,241.

(21, + E JUJ’ + ( J + A @ ) ) u; + B(t) UE = 0, u.; (0 ) = Uf

u, + (L, + A&)) u1. + BE@) u, = 0, u,(O) = u.0, u m = 261,

U,(O) = uo,

(2.4) init den I/‘ in sich abbildenden Operatoren

L, R, J , A,(t) = R, A ( t ) , B,(t) : R, B ( t ) . Definition 3. Eine abstrakte Funktion t - u ( t ) E V heil3t Losung von

( 2 . I), wenn folgende Bedingungen erfullt Bind :

(1) u E Cl(0, T, P) n C2(0, T, V*) n Cz(0 , T, H ) . ( 2 ) Fur jedes t E [O , TI ist (2.1) (als Gleichung in V * ) erfullt.

clas Problem (2.4) fur jedes E > 0 genau einc Losung 26, E C”0, T, V ) . Satz 1. Unter de*n Voraussetzungen (A,) - (A3) , ( B J , (B,), (2.2) hat

374 Gajewski, ifber eine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen

Satz 2. Unter d e n Voraussetxwngen (A1)-(A3), (B1), (B2), (2 .2) hat das Problem (2.1) genau eine Losung u. u ist fur eine beliebige Nullfolge {q} mit ei > 0 in Cl(0, T, V ) , C"0, T, V*) zcnd CL (0, T , H ) Grenzwert der Folge (uEi> der Losungen von (2.4).

3. Beweise

Sei HE der HILHERT-Raum der Paare U == {x, y>, x, y E V mit dem Skalarprodukt

(UI) U 2 ) q = ( ( X I , + U Y I > Y d L . Xei ME($) € (HE -+ H e ) der wie folgt definierte Operator

Gajewski, Uber eine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen 375

Beweis von S a t z 1. Das Anfangswertproblem (2.4) kann in der Form

(3.1) u: + M,(t) u, = 0, U,(0) = uo = (uo, U I }

geschrieben werden. Wegen Lemma 2 hat (3.1) nach bekannten Ergebnissen uber gewohnliche Differentialgleichungen im BAN,kc~-Raum (z. B. [ I ] ) genau eine Losung U, = {x,, yJ E Cl(0, T, Be). (2.4) besitzt dann genau die Losung u, = x, E C*(O, T, V ) . Q . e. d.

Reim Beweis der folgenden Aussagen werden wir, wo keine MiSverstand- nisse auftreten konnen, das Argument t (bzw. z) bei zeitahhangigen GroBen der Kurze halber fortlassen.

Lemma 3. Mit von E und t unabhangiger Konstante K , = K i ( T ) gilt f u r t E l-0, TI

t

I/ u, (4 11: + II u: ( t ) 11: + II a, ( t ) 112 + j - II u: 11’ dz 5 K?. 0

Beweis. Bezuglieh ((- , . ) ) e multiplizieren wir (2.4) mit x, ( t ) = u,(t) - UO,

integrieren uber t, beachten die Voraussetzungen an A und B sowie die

elementare Ungleichung 2 a b 5 da2 + - b2 und erhalten 1 6

t

0 = ((u:’ + L, u: + A, u: + B, u,, x,)), dz

0 t

376 Gajewski, fiber einr Klasse nichtlinearer Wellengleichungen

Bezuglich ((. , .)), multiplizieren wir (2.4) jetzt mit %I. Nach Integration iiber t erhalten wir mit? geejgneten Konstanten C3 = C3(6,), C4 = C4(6,, 6,)

t

t

0

b 84 oder fur - 8, + - < 1/2 2 2 -

Da.s GRoxwALrsche Lemma (z. B. [ I ] ) liefert

Da.raus, aus (1.4) und (3.3) folgt die Behauptung. Q . e. d. il.k(t)IlP + ll~&(t)l12 5 K’(T)*

Gajewski, ifber cine Klssse nichtlinearcr Wellengleichungen 377

Lemma 4. Mit ‘uon E und t unabhiingiger Konstnnte K , = K , ( T ) gilt

Beweis. Unter Berucksichtigung von Lemma 3 sowie den Voraus- llu,lls 5 KP.

X & ( t ) = u,(t + s) - uL(t) setzungen an A und B erhalten wir mi* der Abkurzung

0 0

1 + ;2 I b & ( Z + 8) - u & V 1 1 2 ) dr.

Naeh Division durch s2 und Grenziibergaiig s - 0 folgt daraus

t 5 c + k”I- lIU,II&dZ.

0

Das GR0”WALLsehe Lemma beendet den Beweis. Q. e. d.

378 Gajcwski, Uber eine Klassc nichtlinearer Wellenglcichungen

Lemma 5. Mit von E und t u?za~hungiger Konstante K3 = K3 ( T ) gilt

l l ' lc l ( t ) l l 5 K.3.

0 = (6 7 4)& + ((LPL. + aPL. + B&U&, d), Beweis. Wir multiplizieren (2.4) bezuglich ((. , .) )& mit u ( t ) und erhalten

2 - ll.u,ll,ll.2l.,ll&+ l lu: l l2 -- abu; l 2 + ( B U , - Bu,, .,) + (Buo, u;,

1 2 - l~cll&ll~:l~& + IlzlLII~ - Ir(l IIU., - 2% 112 + 4 ll.~ll' 2 8,

1 1 - q1u;p - 112 - IIBu"jl; + S , l l u ; p .

id,

Wegen Lemma 3, 4 folgt daraus unmittelbar die Behauptung. Q . e. d. Sei im folgenden {E,} eine Folge mit E, > 0 und ci 7 0.

Lemma 6. Die Polge {uEL} konvergiert stark in C'(0, T , H ) und C" (0 , T, V ) .

+ M

Bew-eis. Wir schreiben zur Abkurzung

uei = ui, u = u . , u.. = U . - u., L. = L A . = A E i , . . . E i 3 23 a 3 % ~i a

Aus (2.4) erhalten wir t

0 = ( U & ) , % j ( t ) ) + Jc- I u:. %,, 12 + (Liui + A,"; + Biui, uLj) 0

+ ( (u;, uij - R,u,)), - ((u.j', u , ~ - Rjuij))j} dz t

Gajewski, Ubcr cine Klasse nichtlinearer Wcllengleichungen 379

Weiter erhalten wir aus (2.4) t

n

t

0

Aus dem GRoNWALLschen Lemma folgt

Iu& - .u,W I + Ilu,(t) - .u#)/I %jL2 0

I % ( t ) - u3 (0 I %S 0

gleichmaBig beziiglich t 5 [0, TI. (1.4) liefert iioch

gleichmal3ig in t . Q. e. d.

Lemma 7 . Die Folge {uJ konuergiert in C’l(0, T, V ) .

Beweis. Mit den schon beim Beweis von Lemma 6 benutzten Bezeich- nungen finden wir aus (2.4)

380 Gajewski, Uber eine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen

O = (u:;, uij) + (L,u; + Aiu; + B,ui, uij) - (Liuj + Ajuj + B . ~ . , z L : . ) = ( u , ~ , u ~ ~ ) + ( J z c ~ ~ + A u ~ 3 3 $3 -Au;+ Bui- Buj,uii)

I , , + ( ( U i , Uij - Rtu;j)), - ( ( U j , uij - E.u:.)). .I 23 3

1 1 - ~

- &K&f + E j 2 ) - q/u$p.

Wegen Lemma 6 folgt daraus sofort die Behauptung. Q . e. d.

Lemma 8. Die Yolge {uEi} konvergiert in Ci(0, T , H ) und C2 (0, T, V*).

Beweis. Wegen Lemma 7 genugt es zii zeigen: {uii} konvergiert in

Fur h E V finden wir mit den schon mehrfach benutzten Bezeichnungen CL(0, T, HfundCo(0, T, V*j.

I (u;;, h) I = I (Liuij+ A,u~ - Aju; + Biui - B j ~ j , h) I - - ~ ( J U , + A u ~ - A u ~ + Bui- Bu,, h ) + ((u,, h - Rih))i

- ((u;, h - ’jh))jI 5 (IIuijII + aiIuijII + bIIuijII 1 1

+ K,(ET+ E ~ ) ) l l h l l ,

d. h. I ~ u ; ; (t)j/* i,i-- 0, gleichmal3i.g in t. Sei h H , {h,} c V , h, -, h in H . WTir finden

I(%ij,h)I 22 i(+ - h z ) l + I(u,j.,hn)I __ &lh - hfA1 + 1 1 U ; l I * l l ~ ~ n l l ~ 3 ~ O ~

gleichm813ig in t. &. e. d.

Beweis von S a t z 2 . Existenz. Sei

u f Ci (0, T, V ) n C, (0, T, H ) n C2 (0, T , V*) das nach Lemma 6 - 8 existierelide Grenzelement der Folge {ue.).

Offenbar gilt U ( O ) = lirn u (0) = uo; ~ ‘ ( 0 ) = Iiin u’ (0) == ul .

i + m i-cc Ei

Wegen der Stetigkeit der Operatoren J , A ( t ) , B( t ) und Lemma 1 finden wir fiir beliebiges h E V

o = Iim + Liui+ Ai’2ci+ Biui, h) = Iim [(u.; , h ) i- m i- 00

+ ((Liu,i + A,,zci + .Biui, Bih))J + Iim [(u”, h) i-m

+ ( J z A ~ + A u ~ + B u ~ , R,h)] = (u” + JZC‘ + Au’ + Bu, h ) , d. h.

u” + Ju’ +Au‘ + BU = 0 .

Gajewski, Uber eine Klasse nichtlinearer T?Tellengleichungen 381

Einzigkeit. Sei v eine weitere Losung von (2.1). Mit der Bezeichnung x = u - v finden wir

t n

0 =J (x” + Jx‘ + Au’ - A v’ + B u - B v , x ) d z 0

0 = I (x“ + J x’ + A u’ - A v‘ + B u - B v, x’) dz

0 t t

b 1 + a (0, (1 z 112 + 6, II x’ 11’)) dz.

oder mit geeigneter Konstante C ,

finden wir aus (3.6)und (3.7) Fur 6, 5 ___ ci + 1

k2 t

lx’(Q12 + Ilz(t)IP 5 c J (Ix’I2 + Ilxll?) dZ. 0

Das GRONwALLsche Lemma liefert x ( t ) = 0, also ZG = w. Damit is6 Satz 2 vollstandig bewiesen.

4. Anwendungen

Seien x und H reelle H-ILBEItT-RLume mit x c H c x”. IVir be- trachten das Anfangsw ertproblem

(4.1) u”+ ( L + A ( t ) ) u ’ + B ( ~ ) u = O , U ( ~ ) = ~ ~ , Z G ’ ( ~ ) = U ~ .

382 Gajewski, uber eine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen

Dabei seien A ( t ) , B ( t ) E ( X - X*) (in1 allgemeinen) nichtlineare Ope- rat>oren, die den Bedingungen ( A , ) - (A:$) und (B l ) , (B,) beziiglich X ge- nugen .

Weiter sei L ein in H selbstadjungierter, positiv-definiter Operator mit in H dichtem Definitionsbereich D ( L ) . Dcr Energierauni V, von L mit dem Skalarprodukt ((u, 8 ) ) ~ = (Lu, u ) ] ~ und der Korm Iluli~ = ((u, u ) ) ~ sei in X stetig eingebettet .

Unter den genannten Voraussetzungen geiiugen die Operatoren A ( t ) , B ( t ) , eingeschrankt auf V,, den-Bedingungen ( A , ) - A 3 ) , (B , ) , (B?) be- zuglich BL.

Die duale Abbildung J L von V L erlialteu IT-ir als AbschlieDung (be- zuglich V,) von L E ( D ( L ) --f V z ) .

Sezten wir noch voraus uO, u, E B L , L u ~ , A (0) u, , B (0) zco E H , dann konnen die Erpebnisse der Arbeit auf das zu (4.1) aquivalente Problem

(4.2) u” + ( J L + d (t))u’ -t B(t ) u = 0. u (0) = u g , u’(0) =

angewendet werden. Als Realisierung von (4.1) erweisen sich, wie wir irn folgeiiden kurz

zeigen, Rand-Anfanpsn ertprobleme fur hyperbolische DiEerentialglei- ch ungen.

(a) der ubliche SOUOT,E\+ -Rauni, H = L,(G), L = (-

Sei G ein beschriinktes Gebiet des R,?. Sei X =

, m 2 12 0,

Als Realisierungen der Operatoren A ( t ) wid B ( f ) kommen elliptische Diffe- reiitia1opes.atoren der Form

in Frage, die unter geeigneten Voraussetzungen an die Funktionen F , die Eigenschaften (AL) , ( A 2 ) , (A,{), (B , ) , (B?) besitzen.

Insbesondere treten Gleichungen der Form (3.1) bei der Beschreibung von Schv inguiigen von Medien mit elastischeu und viskosen Eigenschaften auf. E n sehi- eiiifachcs konkretes Beispiel ist das Problem

U” - k,Au’ - k l / J ~ - k 3 p = 0. ~ ( 0 ) = Z L ~ , ~ ’ ( 0 ) = u,,

ZG = 0 , k j , k,, t k j = COIISC, p = P ( x , , xi, t ) ,

das die Schn ingungen ciner eingespaiinteii Platte aus visko-elastischem (i‘orGTschen1) Material beschreibt.

Gajewski, Ubcr cine Klasse nichtlintarer Wellengleichungen 383

Literatur

[ 11 N. BOURBAKI, Fonctions d'une variable rkelle (ThBorie itlkmentaire). Paris 1961. [2] F. E. BROWDER, Nonlinear functional analysis and nonlinear partial differential

equations. I n Proceedings of the conference ,,Differential equations and their appli- cations", held in Bratislava, Sept. 1966. Bratislava 1969.

[3] H. GAJEWSKI, Zur Approximation nichtlinearer Evolutionsgleichungen dnrch ab- strakte Differentialgleichungen mit lipschitzstetigen Operatoren. Diese Nachr. 48, 377 - 385 (1970).

[4] K. GRBGER, Zur approximativen Losung nichtlinearer Evolutionsgleichungen. Diese Nachr. 49, 375-388 (1971).

[5] J. L. LIONS, Quelques mkthodes de rksolation des problhmes aux liinites non linbaires. Paris 1969.

[6] J. L. LIONS und W. A. STRAUSS, Some nonlinear evolution equations. Bull. Soc. Mat. France 93, 155-175 (1965).