Modellprädiktive Regelung nichtlinearer sampled-data Systeme · Problemstellung Stabilität und (Sub–)Optimalität Numerik des Problems Beispiele Zusammenfassung Modellprädiktive

Problemstellung Stabilität und (Sub–)Optimalität Numerik des Problems Beispiele Zusammenfassung

Modellprädiktive Regelung nichtlinearersampled-data Systeme

L. Grüne1 D. Nešic2 J. Pannek1

1Mathematisches InstitutUniversität Bayreuth

2EEE DepartmentUniversity of Melbourne

13. Februar 2006Workshop Mathematische Systemtheorie, Elgersburg


Gliederung

1 ProblemstellungProblemformulierungEmulationDer modellprädiktive Ansatz

2 Stabilität und (Sub–)Optimalität

3 Numerik des ProblemsProblemformulierungNumerische LösungNumerische Probleme

4 BeispieleModellErgebnisse


Gliederung






Gliederung






Gliederung






Problemformulierung

Zugrundeliegendes Modell

Vorgegeben ist ein Kontrollsystem

x(t) = f (x(t), u(t)),

das mit Hilfe eines digitalen Rechners online stabilisiert werdensoll.

1 u ∈ U ist als statisches / dynamisches Zustandsfeedbackzu implementieren.

2 Lediglich zu vorgegebenen diskreten Zeitpunkten kanneingegriffen werden.


Problemformulierung

Zugrundeliegendes Modell

Vorgegeben ist ein Kontrollsystem

x(t) = f (x(t), u(t)),

das mit Hilfe eines digitalen Rechners online stabilisiert werdensoll.

1 u ∈ U ist als statisches / dynamisches Zustandsfeedbackzu implementieren.

2 Lediglich zu vorgegebenen diskreten Zeitpunkten kanneingegriffen werden.


Problemformulierung

Abtastfunktionen

Gesucht wird eine Funktion uT : Rn → U, so dass der Ursprungasymptotisch stabil ist für das System

x(t) = f (x(t), uT (x(tk )))

mit fester Abtast–Rate T > 0.

Dabei bezeichnet man tk = k · T als Abtast–Zeiten, an denenSprünge im Feedback auftreten können.


Problemformulierung

Abtastfunktionen

Gesucht wird eine Funktion uT : Rn → U, so dass der Ursprungasymptotisch stabil ist für das System

x(t) = f (x(t), uT (x(tk ))︸︷︷︸konstant auf[tk ,tk+1)

)

mit fester Abtast–Rate T > 0.

Dabei bezeichnet man tk = k · T als Abtast–Punkte, an denenSprünge im Feedback auftreten können.


Emulation

Emulationslösungen — der einfache Weg

Vorgehensweise:

1 Finde stabilisierendes u(x(t)) für das kontinuierlicheSystem

2 Wähle uT (x(tk )) = u(x(tk )) für t ∈ [tk , tk+1), tk = k · T

↓

Für diese Lösung kann asymptotische Stabilität für hinreichendkleine T gezeigt werden.


Emulation

Emulationslösungen — der einfache Weg

Vorgehensweise:

1 Finde stabilisierendes u(x(t)) für das kontinuierlicheSystem

2 Wähle uT (x(tk )) = u(x(tk )) für t ∈ [tk , tk+1), tk = k · T

↓

Für diese Lösung kann asymptotische Stabilität für hinreichendkleine T gezeigt werden.


Der modellprädiktive Ansatz

Grundlegende Ziele

1 Länge der Abtast–Intervalle vergrößern

2 Referenz-Lösung möglichst exakt “nachfahren“

3 Stabilität der erhaltenen Lösung



Annahmen

Man betrachtet zwei Systeme:

x(t) = f (x(t), u(x(t))), x(t0) = x Referenz–Lösung

ξ(t) = f (ξ(t), vi), ξ(t0) = ξ, t ∈ [ti , ti+1)

mit u(x(t)) ist ein zulässiges kontinuierlichesZustandsfeedback vorgegeben

zudem stabilisiert u(x(t)) das kontinuierliches closed–loopSystem x(t)

Gesucht: digitales Feedback (vk )k∈N



Annahmen









Annahmen









Konzept

Bestimmung eines Feedbacks uT für das ξ–System, dasbei paralleler Betrachtung des kontinuierlichfeedback–gesteuerten x–Systems die geringstmöglicheAbweichung erzeugt

JM(ξ, x , uT )) :=∞∑

i=0

ti+1∫ti

l(ξ(t)− x(t), uT (ti))dt −→ min

⇒ Problem muss auf unendlichem Zeithorizont gelöst werden(HJB-Gleichung)



Konzept

Bestimmung eines Feedbacks uT für das ξ–System, dasbei paralleler Betrachtung des kontinuierlichfeedback–gesteuerten x–Systems die geringstmöglicheAbweichung erzeugt

JM(ξ, x , uT )) :=∞∑

i=0

ti+1∫ti

l(ξ(t)− x(t), uT (ti))dt −→ min

⇒ Problem muss auf unendlichem Zeithorizont gelöst werden(HJB-Gleichung)



Reduktion auf endlichen Horizont

Alternativ:

Bestimmung der Steuerfolge u[0,M−1] aus der Menge derFolgen v[0,M−1] für das ξ–System, die bei parallelerBetrachtung des kontinuierlich feedback-gesteuertenx–Systems innerhalb eines bestimmten (Zeit–)HorizontsH = M · T die geringstmögliche Abweichung erzeugt

JM(ξ, x , v[0,M−1]) :=M−1∑i=0

ti+1∫ti

l(ξ(t)− x(t), vi)dt + F (ξ(tM), x(tM))



Von der Steuerung zum Feedback

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Steuerfolgebestimmen

u0 anwendenu0 angewandt

Verschiebungdes Horizonts

TT

0 H

neue Steuerfolgeberechnen

Grundschema:1 Shift des Horizonts2 Berechnung der Steuerung

auf Horizont3 u0 implementieren

−→ digitales Feedback




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t

T

Horizont

H




TT

0 H








6

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t

T

Horizont

H




TT

0 H






Stabilität

Stabilität

Ziel:

Stabilität des kontinuierlichen MPC–geregelten

sampled–data Systems


Stabilität

Stabilitätsbeweis

Theorem (Grimm, Messina, Teel, Tuna 2004)

Beweis der semiglobal praktisch asymptotischen Stabilität für

exaktes zeitdiskretes sampled-data System

unter den Voraussetzungen

Q und F sind stetig,

U ist beschränkt,

das System ist detektierbar,

die Wertefunktion Vi(ξ, x) ist durch eine Funktion α ∈ K∞nach oben beschränkt.


Stabilität

Stabilitätsbeweis

Theorem (Nešic, Grüne, 2004)

Semiglobal praktisch asymptotische Stabilität kann für das

kontinuierliche sampled–data System mit MPC–Regelung

gezeigt werden, wenn

Detektierbarkeit des exakten zeitdiskreten Systems ausBedingungen an das kontinuierliche System gefolgertwerden kann.


Stabilität

Stabilitätsbeweis

Praxis:

Verwendung von approximierten zeitdiskreten Systemen

aber:

⇒ Rückschluss auf exakte zeitdiskrete Systeme(Nešic, Teel, Kokotovic 1999)

⇒ Schluss auf kontinuierliche Systeme(Nešic, Teel, Sontag 1999 / Nešic, Teel 2004)


Stabilität

Stabilitätsbeweis

Praxis:

Verwendung von approximierten zeitdiskreten Systemen

aber:

⇒ Rückschluss auf exakte zeitdiskrete Systeme(Nešic, Teel, Kokotovic 1999)

⇒ Schluss auf kontinuierliche Systeme(Nešic, Teel, Sontag 1999 / Nešic, Teel 2004)


Optimalität

(Sub–)Optimalität

Theorem (Nešic, Grüne 2004)

Unter standardmäßigen Voraussetzungen an F kann gezeigtwerden, dass das bestimmte Feedback uM invers optimal ist.Insbesondere existiert eine Funktion l ≥ l , für die uM dasFunktional

J(ξ, x , u[0,∞)) :=∞∑

i=0

∫ T

0l(ξ(t)− x(t), ui)dt (1)

minimiert.


Problemformulierung

Problemformulierung

In jedem Schritt ist ein Problem der Form

Optimaler Steuerprozess

Finde u[0,M−1] = arg minv[0,M−1]

JM(ξ, x , v[0,M−1])

auf einem Horizont

[t0, tM ] = [j · T , (j + M) · T ] , j ∈ N

zu lösen.


Problemformulierung

Problemformulierung




JM(ξ, x , v[0,M−1])

Verwendet wird hierbei das Zielfunktional

JM(ξ, x , v[0,M−1]) :=M−1∑i=0

ti+1∫ti

l(ξ(t)− x(t), vi)dt + F (ξ(tM), x(tM))


Problemformulierung

Problemformulierung




JM(ξ, x , v[0,M−1])

unter den Nebenbedingungen

vi ∈ U ∀i ∈ {0, . . . , M − 1}ξ(t) = f (ξ(t), vi), ξ(t0) = ξ, t ∈ [ti , ti+1)

x(t) = f (x(t), u(x(t))), x(t0) = x

ti = t0 + i · T , i ∈ {0, . . . , M}.


Numerische Lösung

Numerische Lösung — Vorgaben

Vorgaben:

Problemstellung macht die Verwendung einesäquidistanten Gitters mit Schrittweite T notwendig

⇒ keine Gitteranpassung möglich

da T möglichst groß gewählt werden soll

⇒ Schrittweitensteuerung innerhalb jedes Teilintervalls nötig


Numerische Lösung

Numerische Lösung — Vorgaben

Vorgaben:

Problemstellung macht die Verwendung einesäquidistanten Gitters mit Schrittweite T notwendig

⇒ keine Gitteranpassung möglich

da T möglichst groß gewählt werden soll

⇒ Schrittweitensteuerung innerhalb jedes Teilintervalls nötig


Numerische Lösung

Numerische Lösung — Umsetzung

Verwendung eines direkten Ansatzes zur Lösung der Folge vonoptimalen Steuerprozessen

Diskretisierung der Zustandssysteme sowie desZielfunktionals

⇒ Optimierungsproblem mit vielen Nebenbedingungen

Integral–Anteil kann dabei mittels Transformation in dasDifferentialgleichungssystem aufgenommen und berechnetwerden


Numerische Lösung

Numerische Lösung — Umsetzung

Verwendung eines direkten Ansatzes zur Lösung der Folge vonoptimalen Steuerprozessen

Diskretisierung der Zustandssysteme sowie desZielfunktionals

⇒ Optimierungsproblem mit vielen Nebenbedingungen

Integral–Anteil kann dabei mittels Transformation in dasDifferentialgleichungssystem aufgenommen und berechnetwerden


Numerische Probleme

Problemfeld Anfangslösung

starke Abhängigkeit derStabilität von denAnfangswerten

verwendet wirdSQP-Verfahren

→ gute Anfangslösung ist stetserforderlich

→ sonst kaum Optimierungmöglich

beobachtbar allerdings:

6

-MPC Schritt

Rechenzeit

typische Entwicklungder Rechenzeiten


Numerische Probleme







6

-MPC Schritt

Rechenzeit



Numerische Probleme







6

-MPC Schritt

Rechenzeit



Numerische Probleme

Problemfeld Horizontlänge

Instabilitäten können für sehr groß gewählte T auftreten

⇒ mittels Verkürzung des Horizonts evtl. vermeidbar

aber: es existiert eine untere Schranke für dieHorizontlänge (aus Stabilitätstheorem)

zudem: längere Horizonte liefern in der Regel bessereErgebnisse

längerer Horizont vergrößert Rechenzeit


Numerische Probleme








Numerische Probleme








Numerische Probleme








Numerische Probleme








Modell

Problemmodellierung

x1(t) = x2(t) + x6(t)x3(t)

x2(t) = −k1

Mx1(t)−

b1

Mx2(t) + x6(t)x4(t)−

mrM2 b1x6(t)

x3(t) = −x6(t)x1(t) + x4(t)

x4(t) = −x6(t)x2(t)−k1

Mx3(t)−

b1

Mx4(t) +

mrM2 k1

x5(t) = x6(t)

x6(t) = −a1x5(t)− a2x6(t) + a1x7(t) + a3x8(t)− p1x1(t)− p2x2(t)

x7(t) = x8(t)

x8(t) = a4x5(t) + a5x6(t)− a4x7(t)− (a5 + a6)x8(t) +1J

u(t)


Modell

Dynamische Regelung

Ausgang des Systems:

ζ(t) := x5(t)−a3

a1 − a2a3

(x6(t)− a3x7(t)

)≈ x5(t)

Ziel:

ζ(t) soll eine vorgegebene Referenzfunktion ζr (t)asymptotisch annähern


Modell

Dynamische Regelung

Ausgang des Systems:

ζ(t) := x5(t)−a3

a1 − a2a3

(x6(t)− a3x7(t)

)≈ x5(t)

Ziel:

ζ(t) soll eine vorgegebene Referenzfunktion ζr (t)asymptotisch annähern


Modell

Dynamische Regelung

Die dynamische Regelung ist dabei gegeben durch

u(t) = g(z(t))

z(t) = h(z(t), v(t)) , z(t0) = z0.

Vorgehensweise:

1 Bestimme ζ(k) = ∂ζ∂tk , k = 0, . . ., bis gilt ∂ζ(k)

∂u 6= 0

2 Auflösen nach u3 Erweitere u um v und setze ein ⇒ ζ(k) = v


Modell

Dynamische Regelung

Die dynamische Regelung ist dabei gegeben durch

u(t) = g(z(t))

z(t) = h(z(t), v(t)) , z(t0) = z0.

Die Funktion v ist dabei aus der Differenz zwischen Ausgang ζund Referenzfunktion ζr sowie den Differenzen der Ableitungengeeignet zusammenzusetzen.


Ergebnisse

Ergebnisse MPC mit dynamischer Regelung

ζr (t) = 1


Ergebnisse


ζr (t) = 1


Ergebnisse


ζr (t) = 1


Ergebnisse


ζr (t) = 1


Ergebnisse


ζr (t) = sin(t)


Ergebnisse


ζr (t) = sin(t)


Ergebnisse


ζr (t) = sin(t)


Ergebnisse


ζr (t) = sin(t)


Zusammenfassung

Fazit:

MPC–Lösungen generell besser als Emulation

Verlängerung der Abtast–Intervalle möglich

Tracking möglich

Ausblick:

Verbesserung der Startlösung

Stabilitätsbeweis des Trackingproblems


Zusammenfassung

Fazit:

MPC–Lösungen generell besser als Emulation

Verlängerung der Abtast–Intervalle möglich

Tracking möglich

Ausblick:

Verbesserung der Startlösung

Stabilitätsbeweis des Trackingproblems

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Modellprädiktive Regelung nichtlinearer sampled-data Systeme · Problemstellung Stabilität und (Sub–)Optimalität Numerik des Problems Beispiele Zusammenfassung Modellprädiktive