Uber eine Klasse von Eigenwertaufgaben rnit nichtlinearer Parameterabhangigkeit

Herrn Professor Dr. Karl Maruhn zum 50. Geburtstag gewidmet

Von H.MULLER in Dresden

(Eingegangen am 5 . 3 . 1954)

Es seien I. Problemstellung

A , ( Y = 0 , 1 , . . . , n)

lineare Abbildungen eines (vollstandigen, nicht notwendig separablen) Hilbert- raumes @ (mit den Elementen x; o = Nullelement) in sich mit den weiteren Voraussct zungen

(V,) Die A, (Y = 0, 1 , . . . . n) hind vollstetig; d. h. jede beschrankte Teilmenge W C Q wird von jedem dcr 9, in eine kompakte Teil- menge 59, abgebildet.

(V,) Die A, ( Y = 0, 1 , . . . , n) sind selbstadjungiert ; d. h. fur jedes Ele- mentenpaar x, y E .$ und jedes A , gilt (A,x, y) = (2, A,y).

(V,) Fur A , gilt insbesondere (A,z, x) 5 q(x, x), q < 1 fur jedes x E Q; d. h. die Eigenwerte von (21 - A , ) x = o sind samtlich kleiner als 1.

(Dabei bedeutet wie ublich I die identische Abbildung, und die identisch verschwindende Abbildung bezeichnen wir mit 0 ; also ist I x = x und 02 = o fur jedes x E $.)

Den Gegenstand unserer Untersuchungen bildet die Gleichung

(1) ( P ( I - A,) - J.,-1A, - An-2 A , - . . . - A A , ) x = o

(I - A , - /LAl - $ A , - . . . - p,A,)x = 0,

bzw. die fur J. + 0 durch J.p = 1 ayiiivalente

(1')

wobei A , + 0 , n 2 1. ,,Eigenwert" heil3t jede komplexe Zahl A* bzw. p* fur die die Gleichung (1)

bzw. (1') mit einem x* t $I, x* $: o (dern zugehorigen ,,Eigenelement"), er- fullt wird.

Wir wollen uns in1 besonderen fur die reellen Eigenwerte von (1) bzw. (1') interessieren.

174 Miiller, rfber eine Klasse von Eigenwertaufgaben

11. Einleitung

1. Zu der eben formulierten Aufgabe liegen bereits verschiedene Unter-

Die Behandlung von Schwingungsaufgaben unter Berucksichtigung der suchungen vor.

Dampf ung fuhrt auf eine Randwertaufgabe mit der Differentialgleichung

z ( 0 ) = z ( 1 ) = 0,

der nach Umformung mittels der Greenschen Funktion die verallgemeinerte Integralgleichung

1 1

P ( 4 = +, ( r , Y) P(Y)dY + I+& Y) P(Y)dY 0 0

entspricht, also eine Gleichung der Form (l'), i. a. zwar ohnr die Voraus- setzung (Vz). Dieses Problem untersucht 0. FABER [lll); er leitet jedoch wine Ergebnissc nicht direkt uber die Integralgleichung, sondern mit Hilfe der Differcntialgleichung ab.

N. PIAZZA [2] untersucht bei dsr Integralgleichung 1

0 das Analogon zur Fredholmschen Nennerdeterminante und folgert daraus eine asymptotische Formel fur die Eigenwerte.

C. MIRANDA [3] betrachtet die Integralgleichung

mit den symmetrischen Kerrien H ( z , y) und H,(x, y), wobei H,(.L- , y) zu- satzlich positiv definit ist. Fur diese Aufgabe existieren unendlich viele iiur reelle und diskrete Eigenwerte ; des weiteren werden Entwicklungssiitze auf- gestellt .

D. I?. CHARASOW [4], [5] behandelt die Integralgleichung 772

u ( z ) - s P ( z , y; I L ) u ( y ) d y , wobei P ( z , y ; 2L) =C Pk(x, y )nk .

Die Funktionen Pk(x, y) ( k = 0 , . . . , m) sind samtlich hermitesche Kerne; aufierdem ist fur jede (regulare) Funktion p(z)

k=O T

(Es entsprechen die obigen Voraussetzungen (Vl), (V2), (V,) den fiir die Chara- sowsche Aufgabe gestellten Bedingungen). Das Resultat der Arbeit sind Satze iiber die Verteilung der Eigenwerte und hinreichende Bedingungen, unter denen wenigstens ein reeller Eigenwert existiert. Den genaucn Inhalt dieser Existenzsatze lernen wir weiter unten kennen.

I n einer spateren Arbeit [6] Edrmuliert Charasow wine Aussagen allgenieiner fur lineare Abbildungen.

der Arbeit. l) Die in [ I stehenden Zahlen beziehen sich auf das Literaturverzeichiiis am Ende

Muller, Ober eine Klasse von Eigenwertaufgaben 175

2. Die Gleichungen (1) bzw. (1') stellen offenbar Verallgemeinerungen zur klassischen Eigenwertaufgabe

(21 - A ) x = o bzu. (I - / . A ) z = o

mit selbstadjungiertem A + 0 dar. In letzterem Sonderfall konnen bekanntlich nur reelle Eigenwerte auftreten, und es ist wenigstens ein Eigenwert A* + 0 (bzw. p*) stels vorhanden.

Diese Tatsachen bleiben be; den Verallgemeinerungen (1) bzw. (1') nicht erhalten.

Das Auftret~n nichtreeller Eigenwerte sieht nian z. R. bei der Aufgabe

( P I - A, )% = 0,

wobei A, eine negativ definite Abbildung sein soll, sofort ein. Selbst die Exi- stenz eines Eigenwertes =# 0 iiberhaupt und damit die Existenz eines Eigen- wertes ,u* = A;i fur die Gleichung (1') ist im allgemeinen nicht gesiLhert. So errechnet man leicht, daB z. B. die Aufgabe

(221 - A 9 , - d,).t. = 0

mit den Matrizm

n u r den Ejgenwezt I? = 0 besitzt. Dic Frage nach der Existenz wenigstens eines reellen Eigenwertea fur die

Aufgabe (l'), und dnrnit auch (l), beantwortet D. F. Charasow mit den beiden folgendrri hinreichcndcn Brdinguiigen :

a ) 1st die nnturliche Zahl n i n (1') ungerade, so existiert mindestens ein reeller Eigenwert .

1 ) ) 1st die natiirliche Zahl n in (1') gerade und hat die AbbildungA, ihrerseits wenigsteris einen positiven Eigenwert, so existiert auch fur die Auf- gabe (1') mindestens ein reeller Eigenwert.

Mit diesen beiden sehr schoncn Satzen ist fur einen g r o h n Teil von Auf-- gaben der betrachteten Art die Existenzfrage beantwortet. Wir erreichen nun die vollstandige Beantwortung der obigen Frage durch Aufstellen einer nctwendigen und hinreichenden Bedingung, indem wir das fur die klassisclie, selbstadjungicrte Eigenwertaufgabe bekanntc Extremalprinzip der reellen Eigeh- werte auf die -4ufgaben (1 ) Fzw. (1') in einer erweiterten Form anwendenl).

111. Existenz und Extrcmaleigenschaft der reellen Eigenwerte 1. Wir heweisen den folgenden

Satz: Die Menge der durch

x n [ ( z , " ) - ( A , z , t ) ] - x " - 1 ( A , z , z ) - x " - - 2 ( A 2 2 , z)- . .* - - x ( A , - l z , z)

- (AILX, z) = 0 , z E @ , :E =I= 0 ( 2 )

definicrten x sei mit K bezeichnet.

K erweiPt sich als b e x h r a n k t (s. u.) .

1) Ein Ansatz fur eine Verallgemeinerung des klassischen Extremalprinzipes findet sich in einer Arbeit von W. J. DUNCAN [7].

176 Miiller, tfber eine Klasse von Eigenwertaufgaben

Es sei P 5 K die Menge aller reellen x . 1. (Existenzsatz.)

2. Jeder isolierte Punkt ,Ii E P ist Eigen.wert von ( 1 ) . 3. (Extremaleigenschaft der reellen Eigenwerte.) E s sei P nicht leer und habe

Genau dann besitzt ( 1 ) mindestens einen reellen Eigen- wert A*, wenn P nicht leer ist.

- die untere bzw. obere Crenze 4 bzw. A :

Falls - ,I + 0 , ist 4 sicher Eigenwert von ( 1 ) . Daz gleiche gilt VOSL i. Z u s a t z . Da sich die Eigenwerte von (1') aus denen von (1) nnch Ap = 1

ergeben, wobei jedoch A + 0 sein mu13, lauten die fur (1') entsprechenden Aussagen wie folgt :

1'. Genau dann besitzt (1') mindestens einen reellen Eigenwert p* , wenn P

21. Jeder isolierte Punkt ili E P, Ai + 0 liefert den Eigenwert ,pi = A;'

31. Die von Null verschiedenen unteren bzw. oberen Grenzen /. bzu-.

- - A S X S A , x E P .

nicht nur das Nullelement enthalt.

von (1').

liefern obere bzw. untere Grenzen Elementen p . p bzw. p sind Eigenwert2 von (1').

- = , ~ i = A-i der Menge mit den

I - -

Beweis . (Man vgl. hinsichtlich des Beweisganges F. RELLICH [S].) A. Fur die Menge T a l l e r reellen Eigenwerte A von (1) gilt: Tg P; man

erkennt dies sofort durch Vergleich von ( 2 ) mit (1); also ist die in (1 . ) a n - gegebene Bedingung notwendig.

B. 1. B e h a u p t u n g . K ist beschrankt. Fur x + 0 folgt aus ( 2 ) :

Auf Grund der Voraussetzung (V,) sind die A , beschriinkte Abbildungen:

(3) ( v =; 0 , 1 , . . . , n ) , x beliebiges Element aus @; I (A,z , x ) ] 5 Mv(x, z),

weiterhin folgt aus (V,) :

. , N n

mit - = Mas (M,) wird dann fur I x I 2 1 :

D e f i n i t i o n e n. Wir set zen jetzt n

o=o (4)

und definieren damit die Bilinenrforrn

A, = z n A , + zn-lL4, + . . . + T A , - ~ + 9, = 3 z'An-, (z fe&x Zahl)

( 5 )

(6)

Y(z, Y; z) = P ( X , Y) - ( A X , Y)

@(x; z) = ? ( x , 2) - (A,z, 2) = U(2. 2 ; z).

und die zugehorige quadratische Form

Miiller, tfber eine Klesse von Eigenwertaufgaben 177

2 . B e h a u p t u n g .

~ i i r n = 2m gilt: ~ ( x ; 'I) 2 0, ~ ( x ; i) 2 0 , ~ i i r n = 2 m + 1 gilt: D ( ~ ; ~ ) s o , @ ( . ~ ; X ) Z O ,

d. h. die quadratischen Formen @(x; 4) und @(x; 2 sind stets (semi-) definit.

Man betrachtet die bei festem x in K enthaltenen Wurzeln von @(x; z) = 0;

a) @(z; z) = 0 liefert nur komplexe Wurzeln; dann ist also @(z; z) 4 0 fur alle reellen z; wegen (6), (4) und (V,) wird @(z, z) 3 + cm fur z + 3 CO, also

( 7 )

@(x; 'I) > 0 , @(x; T ) > 0; b) @(x; z) = 0 liefert reelle Wurzeln;

5 bzw. kleinste bzw. grol3te dieser Wurzeln, - also @(z; 2 ) = 0, @ ( z ; x ) = 0;

unter Beachtung von (6), (4) und (V,) erkennt man nun

fur n = 2 m : lim @ ( x ; ( T ) = +m, lim @(z;a) = f c o ,

fur n = 2 m + 1: lim @(z; (T) = -00, lirn @ ( x ; a ) = +m;

wegen ;I 5 ,x und & 5 A ergibt sich somit die Formelgruppe (7).

u+- m O + + W

u+- m o + + m - Zur Vereinheitlichung der folgenden Retracht ungen sei jetzt A* eine der

beiden Zahlen 4 oder f.

(8) D e f i n i t i o n . Es sei

z = A: x - AA* X .

3. B e h a u p t u n g .

Fur jedes x E Q gilt: l l z l l 2 /GI 1 (@(x; A*)].

Aus der oben bewiesenen Definitheit von @(x; A*) und unter Beachtung der Definition ( 5 ) , (6) und (8) folgt in bekannter Weise die Schwarzsche Unglei- chung in der Form: -____

p, Y)/ = IY(S> Y; A * ) l 5 1J@(z: A * ) / l p ( 3 ! , A*)\. Weiterhin gilt nach (6), (4) und (2)

n

n = n I ( : I , y)lA,p +x l j . * l " ~ n - u ( y . Y) s C2(y, Y) ;

also wird, indem wir fur das willkiirliche Element y nunmehr speziell z setzen

(2, 2) = llzl12 t l j l @ ( x ; ].*)I /CI 11211;

falls l l z l i = 0, dann ist infolge (6) und (8) auch @(x; A*) = 0; also folgt in jedeiri Fall die Behauptung.

Math. Nachr. 1954. Bd. 12, H. 3/4. 12

178 Miiller, tfber eine Klasse von Eigenwertaufgaben

4. B e h a u p t u n g . Es gibt eine Folge {x,} mit llz,.ll = 1 , so dafi @(x,,, A*) --+ 0 .

A* ist isolierter Punkt von P; dann gibt es zu A , ein Element x* (IIs*II > 0 ) , so daB @(x*; & ) = 0 ; die behauptete Folge wird dann vom Element x* gebildet : {z*}; wegen (8) und der 3. Behauptung ist dann aber auch z = 0, d. 11.:

n

a=o A$ X* -2 i",A,-a~, = 0 ,

also ist A* ,,Eigenwert" und x* ,,Eigenelement" (vgl. 2.).

A* ist Hiiufungspunkt von Elementen aus P (x , -+ &); die zu {x,} gehorige Folge der {x,}, )1x,,11 = 1 , leistet d a m das Ge- wunschte; denn es ist fur hinreichend grol3es Y

n

5 const \A* - x,I < e , mit E > 0, beliebig,

und wegen @(xv; x,) = 0 gilt also @(x,; &) -+ 0 .

Auf Grund der Vollstetigkeit von AA* nehmen wir aus der eben verifi- zierten Folge {x,} eine Teilfolge {x:} , so da13

AA*& 5 . - Palls 5 = A = A* = 0 , ist A* ein isolierter Punkt von P und somit nach dem vorangehenden Eigenwert von (1).

Anderenfalls definieren wir ein Element x4 durch E = ilqx*;

dann ist unter Beachtung von z, = 2; x, - AA* x, und (8) :

d. h. aber wegen 11z:11-+ 0 (infolge @(xl; A*) -+ 0 und der 3. Behauptung)

I I 1 (& 2, - X* 1 1 = 1 \z: + AL+ 2, - A: X* I I I I 1z:Il + 1 \An, X: - 71: x* 1 1

und

gilt

Da eine der beiden Zahlen & + 0 , ergibt sich

dann folgt aus

scliliel3lich [ h i Beachtunq der Definition (4)]

x:+ "*; I

Z, = A: X: - AA* X:

n

0-0 o = ; j n * ~ * - C A : A n - - o ~ * ,

also iPt A* Eigenwert zum Eigenelement x* + 0. Damit ist der Satz bewiesen.

Die im Zusatz formulierten Aussagen fur die Aufgabe (1') lasseii sich nun- niehr ebenfalls leicht' einsehen.

1 I .

2‘.

31.

Miiller, ober eine Klasse von Eigenwertaufgaben 179

Wenn P nicht nur das Nullelement enthalt, ist mindestens eine der beiden Zahlen A , von Null verschieden; dann existiert aber such mindestens eine der beiden Zahlen p = A-1, = 4-l: die dann Eigen- wert von (1’) sein muB.

Die Richtigkeit der Aussage hierfiir ist klar.

Siehe 1‘.

w -

2. Die beiden hinreichenden Bedingungen D. l?. Charasows als einfache Sonderfalle des Existenzsatzes.

a) 1st der Grad n des Polynoms in I, bzw. ,ti fur die Aufgaben (1) bzw. (1’) ungerade, dann besitzt jede mit einem beliebigen z E @ (x $. 0) gebildete algebraische Gleichung (2) mindestens eine reelle Wurzel x ; wegen A, 4 0 (n 2 1) gibt es sicher solche x , die von Null verschieden sind. Es ist demnach such mindestens eine der beiden Zahlen - A , I, nicht Null, womit nach dem Exi- stenzsatz (einschlieBlich Zusatz) die Existenz mindestens eines reellen Eigen- wertes fur die Aufgaben (1) und (1’) feststeht.

b) Betrachten wir jetzt den Fall eines geraden Grades n und fordern mit Charasow zusiitzlich, daB A , wenigstens einen positiven Eigenwert hat, dann bedeutet das zunlichst, daf3 fur gewisse Elemente x E Q die zugehorigen Formen (A,%, x) positiv ausfallen. Jede zu einem solchen Element x gehorige algebraische Gleichung (2) besitzt aber mindestens zwei reelle Wurzeln, eine negative und eine positive. Man erkennt dies leicht durch Betrachtung des zu demselben z gehorigen Polynoms in z :

@(x; z), vgl. Def. (6).

Es ist @(s; 0) < 0 , andererseits lim @(z; z) = f co, also fur zwei ge-

eignete reelle Zahlen z1 < 0 und z, > 0:

-

r+& m

@(s; TI) = @(z; z*) = 0 .

Daraus folgt schliefllich 4 < 0, i> 0 .

Damit ist die zweite hinreichende Bedingung Charasows bewieoen, sogar in Form einer stiirkeren Aussage, da bei den getroffenen Voraussetzungen stets mindestens z wei reelle Eigenwerte verschiedenerlei Vorzeichens fur die Aufgaben (1) Fzw. (1’) auftreteri.

Beispiele Wir wollen uns das charakteristische Verlialten der reellen Eigenwerte

an vier Beispielen veranschaulichen. Dazu genugt es, die Matrizen-Aufgabe

und aZ (@ die zugehorige Ein- (226 - - i?lz)x = 0

mit zweireihigen (quadratischen) Matrizen heitsmatrix) zugrunde zu legen.

K ist die Menge der Wurzeln von X Z r g - X Z ’ % , F - Ff i? l2g = 0

fur alle dratischen Formen von %] bzw.

+ 0 ; F’%,x bzw. F‘i?12z bedeuten dabei die mit F gebildeten qua-

12*

1 80 Miiller, Uber eine Klasse yon Eigenwertaufgaben

Die numerische Durchfuhrung der Beispiele 1 und 2 verdanke ich den1 Rechenburo a m Institut fur angewandte Mathematik der Technischen Hoch- schule Dresden.

Die Voraussetzungen sind so getroffen, daB die Beispiele 2, 3 und 4 von den Charasowschen Satzen nicht erfaI3t werden.

B e i s p i e l 1 P = K

Eigenwerte: 1, = -2,93987, &== -0,41491, 1.,=+0,72857 i . ,=+f5,6262i

P ( = K ) : Menge aller x , fur die ILI 5 x 2 &, 2, 5 x 5 I . , .

A 1 A2 A3 il.6 I I 1

0 Fig. 1

B e i s p i e l 2

P C K

Eigenwerte : AI = + 1,

P: Menge aller x ,

A2 = + 2,2756 82.

A, 5 x 5 A*. lL3 ,4 = + 0,8621 50 -+ i 1,5273 12

fur die

P -1 0

Fig. 2 Fig. :i (mi l{eis]iieI 3 )

Miiller, a b e r eine Klasse von Eigenwertaufgaben 181

B e i s p i e l 3 P enthalt nur einen (isolierten) Punkt Ai =k 0.

Eigenwerte :

K: Menge aller x = z + i y ,

Al = + 1 , A2, = 4 f i IT. fur die (z + 1 ) 2 + y2 = 4, bei 4 5 x 5 1.

B e i s p i e l 4 P enthalt nur den (isolierten) Punkt Ai = 0. Es ist also A = 0 einziger Eigenmert von (l), so da13 die Aufgabe (1’) keinen Eigenwert besitzt.

Eigenwert : = 0.

K : Menge aller x = x + i y , fur die x2 + ( g b)’ 5 4.

+ ;I

- il Fig. 4

Literatur [l] 0. FABER, Zur Theorie der gediimpften Schwingungen. Arch. Math. Phys., 111. Ser.

[2] K. PIAZZA, Sulla distributione asintotica degli autovalori di una certa equazione integrale. Relat. Soc. Gioeniae Catinensis nat. Sci., 11. Ser. 67, 49-55 (1935).

[3] C. MIRANDA, Sulle equazioni integrali il cui nucleo e funzione lineare del parametro. Atti Accad. naz Lincei, Rend. C1. Sci. fis. mat. natur., VII. Ser. 2, 117-123 (1940).

[4] D. F. CHARASOW, ifber die Eigenwerte von Integralgleichungen, deren Kerne eine ganze rationale Funktion des Parameters sind. Trudy Tbilissk. mat. Inst. Razmadze 14, (1946). [a ------) uber lineare Integralgleichungen mit verallgemeinerten Kernen vom Marty- schen Typus. Trudy Tbilissk. mat. Inst. Razmadze 17, 47-60 (1949).

[B] ~, Zur Theorie der symmetrisierbaren Operatoren, die in Form eines Polynoms vom Parameter abhangen. Doklady Akad. Xauk SSSR, n. Ser. 91, 1285-1287 (1953).

[7] W. J. DUNCAN, Note on a generalization of Rayleigh’s prinziple. Quart. Mech. Appl. Math. 5, 93-96 (1952).

[8] F. RELLICH, Spektraltheorie in nichtseparablen Raumen. Math. Ann. 110, 342-356 (1935).

22, 289-313 (1914).