Member of theCenter for ComputationalEngineering Science

Entwurf nichtlinearer dynamischer Systeme mit Methoden der

konstruktiven nichtlinearen Dynamik

Martin Mönnigmann und Wolfgang Marquardt

Lehrstuhl für Prozesstechnik

RWTH Aachen

1/31

Übersicht

• Nichtlineare Systeme und Verfahrenstechnik?• Etablierte Methoden zur Analyse

verfahrenstechnischer Systeme• Grenzen der Analyse• Normalenvektor-Methode• Ablauf der Optimierung • Zusammenfassung und Ausblick

2/31

Beispiel: Industrielle Herstellung von Ammoniak

Morud & Skogestad, AIChE J., 1998

Daten aus industrieller Anlagetemperature [°C]

time [min]

Nichtlineares Modell ),( pxfx =&

100500300

500

350

400

450

temperature [°C]

time [min]

• erste industrielle Nutzung 1916 (BASF)

Großindustrieller Produktionsprozess

• Produktion heute über 100 MillionenTonnen pro Jahr weltweit

3/31

• Chemische ReaktorenBilous & Amundsen (1955), van Heerden (1958), Aris & Amundsen (1958),Razon & Schmitz (1987), Altimari et al. (2004), …

• DestillationskolonnenPetlyuk & Avet'yan (1971), Michelsen & Villadsen (1979), Kienle & Marquardt (1991), Jacobsen & Skogestad (1991), Bekiaris et al. (1993),Kienle et al. (1994), Li et al. (2004), …

• ReaktivdestillationPisarenko et al. (1987), Jacobs & Krishna (1993), Nijhuis et al. (1993), Ciric & Miao (1994), ...

• Chemische Reaktoren und Trennapparate mit Rückführung von Stoff und EnergieBildea & Dimian (1998), Kiss & Bildea (2002, 2003), Zeyer et al. (2003), Balasubramanian et al. (2003), Bildea et al. (2004), Schmidt & Jacobsen (2004)

Nichtlineare verfahrenstechnische Systeme

4/31

Übersicht

• Nichtlineare Systeme und Verfahrenstechnik?• Etablierte Methoden zur Analyse

verfahrenstechnischer Systeme• Grenzen der Analyse• Normalenvektor-Methode• Ablauf der Optimierung• Zusammenfassung und Ausblick

5/31

Systemklasse

Systemklasse

Differential-algebraische Systeme

xpzx nnnnRRRRf →××:

zpzx nnnnRRRRg →××:

glatt

glatt, überall lokal nach den z auflösbar

0)0(),,,( xxpzxfx ==&

),,(0 pzxg=

Vereinfachte Systemklasse

Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen

xpx nnnRRRf →×: glatt0)0(),,( xxpxfx ==&

),,( pzxhy =

),( pxhy =

np> 1, np≈ 10nx> 1, nx≈ 100

6/31

Analyse durch Lösungsfortsetzung

Methoden und Werkzeuge:

• Simulation= numerischeIntegration von 0)0(,),( xxpxfx ==&

• Lösungsfortsetzung von ),(0 pxf=

ix

- Sattel-Knoten-Verzweigung =>

ex. Eigenwert

- Hopf-Verzweigung =>

ex. Eigenwerte

0=λ

0)Re(,, =∈ λλλ C

• Detektion von kritischen Punkten

• Überwachung der Stabilität),( )()( eqeq

x pxf0)Re( <λ ∀Eigenwerte λ von=> (x(eq), p(eq)) stabil

ix

7/31

Zwei-Parameter-Fortsetzung

Fortsetzung mit Hilfe erweiterter Systeme:• Sattel-Knoten-Verzweigung:

10

,),(0

),(0

−=

∈=

=

vv

Rvvpxf

pxf

T

nT

xx

• Hopf-Verzweigung:

vu

vvuu

uvpxf

vupxf

pxf

T

TT

x

x

=

−+=

−=

+=

=

0

10

),(0

),(0

),(0

ω

ω ix

ix

Analyse von mehr als 2 Parametern?In verfahrenstechnischen Modellen np>2

8/31

Hierarchie von Bifurkationspunkten

jx),(0 pxf=

10

,),(0

),(0

−=

∈=

=

vv

Rvvpxf

pxf

T

nT

xx

Sattel-Knoten (1)

10

),(0

,),(0

−=

=

=

vw

wpxf

wwpxfv

T

x

xx

T

10

,),(0

),(0

−=

∈=

=

vv

Rvvpxf

pxf

T

nT

xx

Kuspe (2)

stationäre Lösung (0)

9/31

),(0 pxf=

Hierarchie von Bifurkationspunkten

10

,),(0

),(0

−=

∈=

=

vv

Rvvpxf

pxf

T

nT

xx

Sattel-Knoten (1)

10

,),(0

),(0

−=

∈=

=

vv

Rvvpxf

pxf

T

nT

xx

),(0 pxfvip

T=

Isola (2)

10

),(0

,),(0

−=

=

=

vw

wpxf

wwpxfv

T

x

xx

T

10

,),(0

),(0

−=

∈=

=

vv

Rvvpxf

pxf

T

nT

xx

Kuspe (2)

10

),(0

,),(0

−=

=

=

vw

wpxf

wwpxfv

T

x

xx

T

10

,),(0

),(0

−=

∈=

=

vv

Rvvpxf

pxf

T

nT

xx

geflügelte Kuspe (3)

),(0 pxfvip

T=

L

L

L L

stationäre Lösung (0)

10/31

Direkter Nachweis/Ausschluß von Singularitäten

Problem:

Beweis der Existenz/Nichtexistenz derLösung eines nichtlinearen Gleichungs-systems nötig, z.B. Kuspe

10

,),(0

,),(0

−=

=

+=

vw

wwpxfv

vwpxf

T

xx

T

x γ

10

,),(0

),(0

−=

=

=

vv

vpxf

pxf

T

T

x

33 +xn Unbekannte

21,,,,, ppwvx γ

jx

z.B. mit Intervall-Newton-Verfahren möglich, aber nur für kleine Systeme

Idee (Gehrke & Marquardt, 1997):(i) Finde Singularität höchster Kodimension(ii) entfalte Punkte niedrigerer Kodimension

11/31

Umfassende Bifurkationsanalyse oft unmöglich

Schwierigkeit in technischenSystemen: np>10, oft np>>1

• Analyse bis Kodimension≈ 3

• Bereits für Kodimension= 3Interpretation schwierig

Flut von Diagrammen

Abhilfe: Wiederholte Analyse

• Anhäufung von Diagrammen• Interpretation von Diagrammen

nötig• unter Annahme von Mindestzahl

m Punkten entlang jeder Achse:pn

mn = Gitterpunkte

12/31

Umfassende Bifurkationsanalyse tatsächlich nötig?

Umfassende Einsicht für Ingenieuroft zweitrangig

• Exotisches Verhalten für Betrieboft unerheblich/unerwünscht

Typisches Ziel des Ingenieurs:optimale Auslegung, optimaler Entwurf

• Suche nach gewünschtemVerhalten im Vordergrund

• Einstellen des gewünschten Verhaltens z.B. durch Regelung

viele Diagramme imNachhinein überflüssig

13/31

Übersicht

• Nichtlineare Systeme und Verfahrenstechnik?• Etablierte Methoden zur Analyse

verfahrenstechnischer Systeme• Grenzen der Analyse• Normalenvektor-Methode• Ablauf der Optimierung• Zusammenfassung und Ausblick

14/31

Konstruktive Methoden?

Information im Prinzip durch Analyse verfügbar:

Aufgabe aus Sicht des Ingenieurs:optimaler Anlagenentwurf

Finde Anlagen-Parameter und Arbeitspunkt, so dass

• Kosten minimal

• Sicherheit und Qualität gewährleistet

Nichtlineare Programmierung:

),(max,

pxpx

φ

),(0 pxf=

),(~

0 pxf≤

... BduWie Informationen

verwerten?

15/31

Übersicht

• Nichtlineare Systeme und Verfahrenstechnik?• Etablierte Methoden zur Analyse

verfahrenstechnischer Systeme• Grenzen der Analyse• Normalenvektor-Methode• Ablauf der Optimierung• Zusammenfassung und Ausblick

16/31

stabil

instabilxi

p1p2

2α

1α

1

1

2p

1p

Normalenvektor-Ansatz

2p∆

1p∆

piii nipp ,,1,/ K=∆=α• Skalierung => Parameter dimensionslos

• kürzester Abstand entlang Normalen(Dobson, J. Nonlin. Sc., 1993)

• Parameter sind mit Unsicherheit ∆pi

behaftet

• Normalenvektor ist eindimensional

17/31

• Bifurkationen/Singularitäten beliebiger Kodimension• Regularität des Normalenvektor-Systems folgt aus Regularität des erweiterten Systems• lineares Anwachsen der Gleichungszahl in nx und np

• Ausgangs-/Zustandsbeschränkungen

Einfaches Ableitungsschema (Mönnigmann & Marquardt, JNS, 2002)

Ableitung der Normalenvektor-Systeme

12 +xn

23 +xn

33 +xn

1+xn

12 ++ px nn

erweitertesSystem

Normalenvektor-System

Dobson, JNS, 1993

Sattel-KnotenHopf

Kuspe

Isola

Ausgangsbeschränkung

M MM

22 +xn

12 ++ px nn

46 ++ px nn

44 ++ px nn

12 ++ px nn

222 ++ px nn

25 +++⋅ pxxp nnnn

18/31

19/31

Gütefunktion

Normalenvektor r(i) zur kritischen Grenze i

Abstand zwischen stationärem Punkt und Grenze i

stationärer Punkt (x(eq), p(eq) )

Nichtlineare Optimierungsaufgabe mit Normalenvektoren:

Optimierung mit Normalenvektoren

Kk

Ii

l

nrl

rl

rxF

xf

x

i

p

ii

iieqi

iiii

k

eqeq

eqeq

lx ieqeq

∈

=

≥

≥

+=

=

=

)(

)(

,,1

0

),,(0

),(0

,max

)(

)()(

)()()(

)()()()(

)()(

)()(

,, )()()(

K

αα

α

α

αφα

• Stabilitätsgrenzen (Hopf- und Sattel-Knoten-Verzweigungen)• kritische Punkte höherer Kodimension (z.B. Kuspe, Isola)• Zustands- und Ausgangsbeschränkungen• Schranken aus Bedingungen an Eigenwerte

Typen kritischer Punkte:

20/31

Beispiel: Stabilität und Zustandsschranke

residence time [min]

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 50 100 150 200

20

40

60

80

100

120

140

160

180temperature

0 50 100 150 200residence time [min]

stable

unstable

optimal

saddle

node

Hopf

conc. of in

itia

tor

[mol/l]

Robuste Stabilität

20

40

60

80

100

120

140

160

180temperature

0 50 100 150 200residence time[min]

stable

instable

optimal

saddlenode

Hopf

temp.constr.

residence time [min]0 50 100 150 200

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

conc.o

nof In

itia

tor

[mol/l]

Robuste Stabilität und Zustandsschranke

21/31

Kritische Punkte von Kodimension 2

22/31

Beispiel Kodimension 2

Optimierung

• maximiere Menge von Produkt B pro Zeit

• Robustheitsnebenbedingung:Vermeide Hysterese bei Veränderung derVerweilzeit

23/31

Übersicht

• Nichtlineare Systeme und Verfahrenstechnik?• Etablierte Methoden zur Analyse

verfahrenstechnischer Systeme• Grenzen der Analyse• Normalenvektor-Methode• Ablauf der Optimierung• Zusammenfassung und Ausblick

24/31

Optimierung ohne vorgeschaltete Analyse

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ��

��

����

ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ����

����

??

?Interessante Fälle:• Zahl der Parameter np≥3

• Analyse wegen np≥3 mühselig bis unmöglich

• Unbekannt, ob und wo kritische Grenzen existieren

Idee: Detektiere kritische Punkte bei der Optimierung mit Testfunktionen der numerischen Bifurkationsanalyse

Bisherige Beispiele:• wenige Parameter np≤3

• Lage kritischer Grenzen bekannt

residence time [min]

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 50 100 150 200

co

nc. o

f in

itia

tor

[mo

l/l]

25/31

Detektion kritischer Grenzen bei der Optimierung

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ

��

��

����

ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ����

����

??

?

Lage kritischer Grenzenunbekannt

Kritische Grenzen währendder Optimierung detektieren

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ��

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ��

1

2

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

����

������

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ1ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

��

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ ��

2

1

(i) (ii)

Mehrfache Detektion falls mehr als eine kritische Grenze existiert

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

��

��

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

2

1

(a)

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

��

��

ÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇÇ

(c)

2

1

(i) (ii)

26/31

Optimierung mit Detektion kritischer Grenzen

(i) Initialisierung

(ii) Aktualisierung kritischer Grenzen

(iii) Optimierung

(iv) Detektion kritischer Grenzen

(v) Rigorose Suche

Robustes Optimum gefunden

Neue Grenze?

Neue Grenze?

ja

ja

nein

nein

Bemerkungen:

Detektion kritischer Punkte:• nur am nominalen Arbeitspunkt• Verletzung im Robustheitsgebiet möglich

α2

α1

Rigorose Suche:• Intervall-Newton-Verfahren• in der Praxis Suche auf dem Gitter

27/31

Integration von Prozessentwurf und Reglertuning

HDA Prozess (Douglas, 1988)

Prozessmodell• 8 Grundoperationen• 5 PI-Regler• großes Modell:

- nx ≈ 100- nz ≈ 370- np=12

• keine Information über Existenzkritischer Grenzen

compressorpurge

purge

mixer

heat exchanger

furnace

tolueneH2

TC

TC

TC

LC

PC

fuel

flash splitter methane

benzene

diphenyltolouene

reactor

28/31

Ergebnisse HDA

2.0

2.1

2.2

2.3

benzene prod. rate [kmol/min]

3.6

3.7

3.8

3.9

–1.20

–1.15

–1.10

–1.05

–4.00

–3.90

–3.80

–3.70

3.6

3.7

3.8

3.9

4.0

4.1

4.2

30 60 90 120 150 180

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

����������� �� [kJ/min]

������������� [kJ/min] ������������ [kJ/min]

0

���������� [kJ/min] ���������� [kJ/min]

30 60 90 120 150 1800time [min] time [min]

30 60 90 120 150 1800

30 60 90 120 150 1800

30 60 90 120 150 1800

30 60 90 120 150 1800

Analyse des Ergebnisses hier mit Sprungantwort

• am optimalen Arbeitspunkt

• Erhöhung der Toluol-Zuflussrate um 10%

Optimierung

• minimiere Kosten bei fixer Produktionsrate

• Kosten=Investitionskosten für Anlage+Betriebskosten+Eduktkosten

• Robustheitsnebenbedingung:Abklingzeit < 30 Minuten für alle Punkte im 12-dimensionalen Robustheitsgebiet

29/31

• Erweiterung auf kritische dynamische Punkte

- Erste Anwendungen unter Berücksichtigung schneller Störungen (Gerhard et al. 2005)

• Integration von Prozess- und Regleroptimierung

- Kristallisationsprozesse mit autonomen Schwingungen (Grosch et al., 2003)

- Hydrodealkylierung von Toluol (Mönnigmann & Marquardt, 2004)

• Reglertuning

- Reaktor mit nicht modellierter Dynamik (Hahn et al. 2003, Gerhard et al., 2004)

- Fahrzeugmodelle mit unsicheren Reibungskoeffizienten (Gerhard et al. 2004)

Anwendungen

• Prozessentwurf für Modelle mit unsicheren Parametern

- Kontinuierlich betriebene Fermentation (Mönnigmann & Marquardt, 2002)

- Vinylazetat-Polymerisation (Mönnigmann & Marquardt, 2003)

Normalenvektor-Methode inzwischen auf unterschiedlicher Probleme angewendet:

30/31

α2

α1

α2

α1

xi

α1

Erweiterung auf kritische dynamische Punkte

• Zustandsschranken für transiente Systeme

• Schranken jetzt Funktionder Zeit

• Kritische Grenze ähnelt Kodimension-2-Fall

• Aufspaltung in Parameterbereiche mit gewünschtem und unerwünschtem Verhalten

Normalenvektor-Ansatz kannangewendet werden

t

31/31

• Normalenvektor-Methode erlaubt Einbindung in die Optimierung

- Optimierung auch für np>3

Zusammenfassung

• Analyse-Methoden sind etabliert, aber stoßen an Grenzen

- nicht praktikabel, viele Parameter zu analysieren

• Erweiterungen

- zeitdiskrete Systeme

- transiente Systeme

• Analyse hilft bei der Optimierung/beim Entwurf oft nur indirekt

- Analyse-Methoden erzeugen Einsicht

- viele Diagramme stellen sich als überflüssig heraus

32/31

33/31

34/31

Outlook

Constructive Nonlinear Dynamics: from science to engineering

• a unifying framework for the treatment of parametric uncertainty in process and control system design

• computationally feasible even for large-scale processes

• necessary extensions

– transient critical boundaries

– fast inputs

• further development of software

– large-scale problems

– part of process modeling environments

35/31

Software besser motivieren: hoehere Ableitungen sind noetig

36/31

Grazing bifurcation

37/31

Uncorrelated uncertainties

Parameterization of Uncertainty

∆p1

∆p2

p1

p2

p2

p1

General case

38/31

Approximated robustness box • Ellipsoid overestimates

parametric uncertainty• Kreisselmeier-Steiner function

underestimatesparametric uncertainty

• Biegler, Rooney (2001)

∆α2

∆α1

α1

r

α2

specialization and approximation

Parameterization of Uncertainty

Robustness manifold

• arbitrary connected smooth manifold• r normal to both, the critical and the

robustness manifold• high computational effort

rα2

α1

... a deterministic rather than a stochastic setting

39/31

40/31

41/31

42/31

43/31

Extension to Performance

Re

Im

Re

Im

Robust performance• decay rate

specified by user

Re

Im

Robust stability• saddle-node bifurcation• Hopf bifurcation

Simultaneous plant optimization and controller tuning

Robust performance• decay rate specified• frequencies specified

44/31

45/31