BECKERT, H. : Solutions and Eigenvalues of Elliptic Systems of PDEs 569

ZAMM Z . augow. Math. Mech. 66 (1985) 11, 569-575

BECKERT, H.

Uber eipen numerischen Zugang zur Losungs- und Eigenwerttheorie von elliptischen Systemen partieller Differentialgleichungen

Die Approximation von Greenschen Tensoren zu selbstadjungierten Randwertprobbmen stark elliptischer Systeme 2m-ter Ordnung uber G c Rn wird durch die Minimalwerte vow Variationsproblemen van oben und mit Hive der Dualitatstheorie durch Maximalwerte von unten abgeschatzt. I m wichtigen Pall 2m 5 n erhalten wir starke Konvergenzaussagen durch Regularisierung und Anwendung der Schauderschen Abschatzungen. Ftir die zugehorigen Eigenwertprobleme ergeben sich weiter neue Abschatzungen in der Approximationstheorie von Eigenwerten.

The approximation of Green’s tensor for setfadjoint boundary value problems of strongly elliptic systems of order 2 m over the domain G c R” i s estimated by the minimal values of variational problems from above and maximal values from below with use of duality theory. In the important case 2 m 5 n we receive new strong convergence results for the Ritz method apply- ing regularisation and the Schauder estimates. For the corresponding eigenvalue problems we derive new estimates in the approximation theory of eigenvalues.

IToab3y~cb *reopHeii ABoiicTnenHocTM, anIlpolicklMauHR T ~ H ~ O P O B I’pma CaMocoiipfixenmix IFpaenbrx npo- 6neM cmnbno 3nnHnTwxecmx cmcTeM nopfinKa 2 m B 06nac~n G c Rn oUeHena cnepxy nocpeacTnoM MHHH- ManbHbix a ~ a s e m i i Bapaunommx npo6ne~ II C H H ~ Y nocpencTBoM MaKcmammix 3 ~ a s e ~ ~ 8 . BaxHoro cnysafl 2rn 2 n M ~ I nonysaeM cMnbmIe pe3ynb~a~b1 o CxoAumocm c n o ~ o ~ ~ w ~ o p e r y n f i p ~ 3 a u ~ ~ II npaMe-

HoBMe ouenm B Teopm annpowmaqm C06CTBeHHblX a~asemi i . HeHMII OUeHOK WayHepa. )CpOMe TOrO, AJIII COOTBeTCTByIoUJHX npo6ne~ 0 C06CTBeHHbiX 3Ha9eHHHX CJlegyIOT

In [2] haben wir einen Zugang zu den Greenschen Tensoren u,i,j(x, y), i , j = I, 2, ... , r , allgeineiner elliptischer Randwertprobleme 2m-ter Ordnung iiber einem Gebiet G c R” auch im erweiterten Sinn aufgezeigt. Dabei wurde u. a. die charakteristische Singularithtsordnung, wenn Pol und Aufpunkt gleichzeitig gegen ein und denselben Itand- punkt streben, iiber die Einbettungstheorie abgeschatzt. I n dieser Arbeit greifen wir den Fragenkreis von [2] wie- der auf und untersuchen die nach deni ltitzschen Verfahren konstruierten Approximationstensoren utj(x, y) c c Mlc c Hk,2(G) bzw. c H,,z(G) genauer.

Die Naherungslosungen uk(x) der Variationsproblenie (4) iiber M r konnen uber die klassischen Darstellungs- fornieln (13) durch den Tensor &(x, y) berechnet werden, was fur die numerische Analysis von Bedeutung ist. Wir zeigen, daR &(x, y) bei festem y c a in der Hyrt, Z(G)-Norm gegen ui,j(x, y) konvergiert und zwar gleichmaDig beziig- lich y c G,

Die durch utj(x, y) definierte Integraltransformation Slc konvergiert iiber Ho,z(G) in der Norm gegen die durch den Tensor ui,j(x, y) definierte Integraltransformation S = L-1. Hierbei kann man bemerkenswerterweise diese Konvergenz niittels der Minimalwerte derjenigen Nebenprobleme abschatzen (17)) (23), welche diese Greenschen Tensoren definieren (Satz 3). Da das Variationsproblem (4) fur 2m 5 n keine endliche untere Grenze besitzt, mu13 man zur Konstruktion von ui,j(x, y) iiber (4) 2m > n verlangen; dann ist der Zusatzterm in (4) ein beschranktes lineares Funktional uber Hm,2(G). Bei 2m 5 n legen wir einen gemittelten Zusatzterm u E ( y ) nach (5) und gemittelte Greensche Tensorenh,,i,j(x, y) = uE,i,j(x, y) bzw. h:,i,j(x, y) = zcti,j(x, y) alsLosungen von (6) zugrunde, die das Ab- solutglied f ( z ) in (1”) in die entsprechend gemittelten Losungen von (1”) transformieren und fur die die gleichen Konvergenzaussagen wie fur utj(x, y), ui,j(x, y) gelten.

Im Palle des Systems der linearen Elastizitatstheorie (m = I, n = 3) wird man mit Vorteil die linearen Funk- tionale s(D u(y ) ) in (0’) als Mittelwerte der Spannungskomponenten ansetzen, die sich durch Mittelbildung der Spannungs-Uehnungsgleichungen ergeben. Der hieraus resultierende Greensche Tensor h,,s,j(x, y) bzw. der entspre- chende Approximationstensor lit j(x, y) stellen uber (11) direkt die gemittelten Spannungskomponenten des be- trachteten Gleichgewichtszustandes bzw. deren Naherungswerte dar. I m allgemeinen wird es geniigen, die Spannun- gen nur in gewisscn interessanten Punkten yl, y2, ... , yl zu berechnen, was zu einer Einsparung von Koeffizienten- bestimmungen des Tensors fuhren kann, vgl. (16) und folgende Bemerkungen. Wir zeigen, daB im Fall 2m n, insbesondere in dein wichtigen Fall von Systemen zweiter Ordnung (m = 1, n = 2, 3) die uber die Greenschen Ten- soren u,,i,j(x, y), hi,$,&, y) iiber Mk konstruierten Ritzlosungen unserer Randwertaufgaben fur k .--, 00, E 4 0 gleichmaBig gegen die exakten Losungen bzw. Spannungskomponenten konvergieren. Hierbei machen wir von den Schauderschen Abschatzungen Gebrauch.

Die Normkonvergenz von 8, gegen S = L-l bei Mk ---f H;,,(G) bzw. ---f Hm,2(G) ermoglicht die Anwendung der Storungstheorie beschrankter selbstadjungierter Operatoren und anderer bekannter Eigenwertabachatzungen, urn die Konvergenz der Eigenwerte von 8 8 gegen die von S nachzuweisen. Der wesentliche Punkt dieses Zugangs be-, steht darin, dalj wir die erwahnte Normabschatzung von S - Sk durch die Minimalwerte der Nebenprobleme (4) zur Eigenwertabschatzung direkt einsetzen konnen. Da die Minimalwerte der die Greenschen Tensoren (4)) (4’)) (6) definierenden Nebenprobleme explizit nicht bekannt sind, ist die Herleitung von unteren Schranken von groBer Wichtigkeit fur die Methode. Moglichkeiten behandeln wir am SchluB mittels der Dualitatstheorie.

Bezeic hnungen : Hm,p(G) sind die bekannten reellen Banachraume uber G c Rn summierbarer Vektorfunk- tionen u(x) = (y, u,, ... , u,), z = (x,, x2, ... , 5,) c G, dx = dx, dx, ... dx,,’ mit verallgemeinerten Ableitungen bis zur Ordnung m, deren p-te Potenzen summierbar sind mit der ublichen Norm, und Cm+”(G) sind die Banachraume der m-ma1 p-H-stetig differenzierbaren Vektorfunktionen u(x) mit der ublichen Norm [ [u( Im+”(G). Wir benutzen die bekannte Multiindexschreibweise und vereinbaren uber doppelt auftretende Indizes zu summieren.

k

570 ZAMM Z. angew. Math. Mech. 66 (1985) 11

A

Wir legen unseren Betrachtungen zunachst das Dirichletproblem des stark elliptischen Systems: 7

j =1

&(,) == aj,i ( ) , x i = l , 2 ,..., r , D%,(o)=O, O S l y l 5 m - 1 , j = l , 2 ,..,, r , o c a G ,

uber eineiri beschrankten regularen Cebiet G c R" zugrunde. Bekanntlich gilt fur die Forrii

unter (1') die Ghrdingsche Ungleichung:

(3) 2 2 B(u, u) 2 C llaIini,z - ~1 l / u \ i o , 2 , c , ~1 > 0 > %(x) c fCh,,(G)

hci hinreichend oft differenzierbareri Koeffizienten. Ersetzt nian den Operator L duruh L + clI, tlann wird die entsprechende Form (3) positiv definit:

w u , a) 2 c I l u l l i , e , u c HL,2(W (3') Wir benutzen iiri Folgenden den wohlbekannten Einbettungssatz.

U(a) f u r l / p - (na - j ) n-l < 0, u n d es yi l t : S a t z 1 : Erfullt das Gebiet G eine schwuche Kegelbedingung im Xinne von L. NIRENBERO, d a n n liegt Hm,p(G) in

llulli (GI 5 cz l l ~ l I r l t , 9 1 (W ; ferner geniigen B ~ u uber einer gleichlnaJliyen II-Uedinguny mit einevi Exponenten 1, 0 < A < (m -j) - nlp fur IBI sj.

Zur Konstruktion dcs Greenschcn Tensors zu (1) tinter den Voraussetzungen

a) U(u, u) > 0 , u(x) c fG,z(G) , woraus riach eirieni Tlieoreiii von HESTENES (3') folgt, und

b) 21r~ - n > 0 lijsen wir die Variationsyrobleriie

H(u, a) - 2u,(y) = d,(y) -t Min , u(x) c H;&,z(G) i = 1, 2, ... , r , (4) niit eineiii beliebigen festen Yunkt y E 8. l(u) = ul(y) ist nacli Satz 1 ein beschranktes lineares Funktional iiber Ht , , z (G) , daher existiert nach bekannten Satzen die eindeutig bestiniitite Losung at,&, y) c H;,,(G) , i = 1, 2, ,.. , r.

Dasselbe gilt fur die verallgeineinerten Greenschen Tensoren ul, ,,](x, y) als Losung der Variationsproblenie :

B(u, u) - lt(uj(y), ... Dh,(y)) = d,(y) - Min , u(x) c H:t,z(G) , i = 1, 2, ... , r ; (4') hierbei sintl Z,(w7(y), ...) Linearkoriibinatiorien der Funktionswerte und Ableitungen bis zur Orclnung 1/31 5 j, j < I t 1 - n/2, 1111 Punkte y c G iiiit beschranlitcn Koeffizienten, woraus nach Satz 1

I W i 2 c3 l lul lnh,2 , c3 > 0 , (4") folgt.

Bei 2m 5 n hat das Funktional (4) in Aribetracht der Singularitatsordnung der Greenschen Funktion p - n 1 1 r fur n gerade uiid fur n ungerade, r = Ix - yI, keinc endliche untere Grenze. Mit

W(&) C c'" , SUplJ W ( X ) C Kl : 1x1 5 1 , W ( X ) d X = 1 Ji,

fuhren wir den bekannten Glattungsoyerator

ein. Bekanntlich bestehen die Satze :

u&) c C" ; llu,(z) - u(z)llm,?, T-, 0 fur E - 0 ; u(x) c fIm,p, p > 1 ,

IluE(x)IIm,P 5 l l ~ ( ~ ) l l r n , P *

B(u, u) - 2uE,$(y) - Min ,

f erner

Wir stellen bei 2m n die Variationsprobleme

~ ( x ) c H L , z ( G ) , i = 1, 2, ... , r , ( 6) und erhalten, da uE, i(y) beschrankte lineare Funktionale definieren, wie friiher die Losungen hE,;,j(x, y).

gene Randbedingungen vom Neumannschen Typ ausdehnen, indem wir Variationsprobleme des Typus : Ohne wesentliche Weiterungen kann man die genannte Konstruktion Greenscher Tensoren auf andere homo-

B(u, u) - A ~ ( u ( o ) ~ ) - 2ui(y) - Min , ~ ( x ) c IIrn,2(G) , i = 1, 2, ... , r , cr c S = aG (7)

BECKERT, H. : Solutions and Eigenvalues of Elliptic Systems of PDEs 57 1

stellen. Hierbei sind die Koeffizienten at(.) in der Randrelation :

so klein zu wlhlen, daB die Konstante c4 nach dern bekannten Randabbildungssatz

I A s ( u ( m -5 c4 l l~ l I2 , J (G) (7") hinreichend klein ist, damit die positive Definititatsvoraussetzung in ( 7 ) nicht verlorengeht. DaB die Nebenproble- me (4), (al), (6), ( 7 ) tatsiichlich Greensche Tensoren definieren, folgt u. a. sofort aus dem Verschwinden der ersten Variation, z. B. in (4) :

niit einer Variation w(x) c H;',z(G). B(ui,j(x, y) , w&)) - wg(y) = 0, i = 1, 2, ... , r , (8)

1st jetzt U(x) schwache Losung des hosnogenen Dirichletproblenis : U(U, U ) - 2df, u)O + Min

u(ui,j(x, Y), %!(a)) - (f'(x), ui,j(z, Y)) = 0

U.i(Y) = (f i (x), Ui,j(%, y)), ,

l i ( U , ( Y ) , .*- > D%(?/)) = (f'(4, UZ,i,j(X, y)), >

U&,i(Y) = (ff(x), h&,i , jk , Y)),

E ( ~ i , j ( z , Y), ..* 9 D'ui,j(x, ?I)) = ~ , i , j ( x , Y) 9

U ( X ) c HL,a(G) , (1")

(8 ' )

(9)

(97

(9")

(lo), (10')

so folgt durch Variation niit u;,j(x, y), i = 1, 2, ... , r :

urid wciter niit w(x) = U(x) in (8) die gewiinschte Darstellungsforrnel:

i = 1, 2, ." , r , der Losung von (1"). In derselben Weise ergeben sich die Darstellungsformeln:

- i = 1, 2, ... , r 9

woraus wir u&,i, j(x, 9) = k , i , j ( x , Y)

entnehnien.

Typs hE, Irn Falle der ersten Randwertaufgabe der linearen Elastizitatstheorie, m = 1, n = 3, kann nian Tensoren des

y) aus Variationsproblenien :

U ( u , u) - ~ ( ( D l u ( y ) ) ~ - Min ,

(f'(4 h e , S A X , d o = a,cs,(y)

U ( X ) c H:b,Z(G) (6') berechnen, wobei der Zusatzterni die geniittelten Dehnurigs-Spannungsoperat,oren der linearen Elastizitat'stheorie bezeichnet. Durch

(11) werden dann direkt die gemittelten Spannungskoniponenten des betrachteten Gleichgewichtszustandes dargestellt. Bei der zweiten Randwertaufgabe der linearen Elastizitatstheorie konstruiert nian analog den zugehorigen Tensor nach (7) uber HI, 2(G) 0 V6. V , bezeichnet hier den sechsdirnensionalen Teilrauin der infinitesirnalen Bewegungen des It3.

Nach der 'llegularitatstheorie elliptischer Systenie sind die konstruierten Greenschen Tensoren fur x # y beliebig oft differenzierbar bei hinreichend oftnialiger Differenzierbarkeit der Koeffizienten und Ilanddarstellungen, fur x = y haben sie die angegebene Singulzritatsordnung.

B

Wenn wir nach deni ltitzschen Verfahren die Nebenprobleme (4), (4'), (B), (6') und (7) uber eineni k-dimensionalen Teilrauiu

losen, erhalten wir die reduzierten Greenschen Tensoren = (Cp~,i(x), Cpz,i(z), ... ~ p k , i ( Z ) ) C Hk,z(G) bzw. Mr C H,,z(G)

(12) k

Utj(X, Y) > U Z , i , h , y) , ... 9 &,j(X> y) *

1st jetzt uk(x) C M K die nach dem Ritzschen Verfahren erriiittelte Losung der Variationsproblenie (1") iiber Mk, dann gilt

S a t z 2: Der reduzierte Greensche Tensor utj(x, y) transformiert das Absolutglied in (1") und f i x ) = Luk(x) in u'(x) nach

Dasselbe trifft auf die iibrigen hier konstruierten Tensoren zu. 'd(y) = (f3(x), eci",j(x, y))o = flkf = (?(XI> Utj(X, y))o == f l k f .

B(Utj(X> Y) 3 uj"(.)) - (f'(4, " t jh y))o = 0

B(u$(x, y), uj"(x)) = u : (y ) ,

(13)

Beweis: Da &(x, y) c Mr, folgt aus der ersten Variation von (1")

(14)

(8")

und weiter &us i = 1,2 , ... , r ,

572 ZAMM - Z. angew. Math. Mech. 65 (1985) 11

die erste Behauptung. Der zweite Teil ergibt sich aus

(PW, &x, Y)), = B ( u W 4 j ( X , Y)) *

Der durch den reduzierten Greenschen Tensor definierte Integraloperator SR in (13) ist uber Ho, 2(G) aymmetrisch ; aus Satz 2 und (1") folgen namlich fur f, v,c Ho,z(G):

(15) I & = Skf = SJ c MI, fur f - f ' < H O , ~ @ M I ,

^v = Sky = Srcp' c M r fur 9 - pf c H o , ~ 0 M I , A h

^vf = (f, ̂v)o = B(v, u) = (9, > also :

(f, X r v ) , = (9 Sldf)o * Man findet leicht fur den reduzierten Tensor die Darstellung:

k

7,5=1 u?,j(x, y) = ,Z d:,s vr,i(y) q 8 , j ( x ) , i , j = ~ 2 , ... , r - ( l ( i )

Wegen cler Syrriinetrie df, = a:, ,. sind k(k + 1) Konstante d , zu bestimmen. Bei Anwendungen genugt es haufig, die Werte einer Losung in einer relativ kleinen Zahl von isolierten Punkten yl, y2, ... , yz zu kennen, die von der Geometrie der Aufgabe her interessant sind. Da im allgemeinen dann 1 < k + 1 ist, fiihrt dies zu einer nicht unbe- trachtlichen Zahl von einzusparenden Koeffizientenbestimmungen.

Wir betrachten jetzt eine aufsteigende Folge von Teilraumen: a k c Mk, c Mk, c ... -+ Hk,z(C) bzw. -+ H,,,(G) und untersuchen die Konvergenz der reduzierten Tensoren (12), wobei wir uns auf u&(z, y) beschranken durfen. Aus

B(&(z, y), &(x, y)) - 2u?i(y, y) = @(y) = Min

B(&(x, y), zL:j(x, y)) - zc:,i(y, y) = 0 ,

B(utj(x, y), &(x, y)) = --dm ,

(17)

(18)

(19) (19 a) uti(y, y) = -di(y) ,

dp(y) 5 d $ ( y ) , Ic, > k l , i = 1, 2, ... , r , (20)

Iim dt(y) = dt(y) , y E G (21)

folgt durch zulassige Variation mit 'u,(x) = &(x, y) c MI, i = 1, 2, ... , r ,

also

k i = 1,2 , ... , r . Die negativen Minimalwerte dt(y) der Nebenproblenie (4) uber MI, bilden eine monoton fallende Folge stetiger Funk- tionen

Wir haben weiter nach dem Folgenden :

k

und daher auch: lim @(y) dy = s d&) dy , i = 1, 2, ... , r .

k - t w 0 G

Nach (24a) konvergiert die Folge utj(x, y) gleichmaoig bzgl. y E in H,,,(G(x)) gegen einen Tensor Gi,j(x, y) :

k-tm lim u:j(x, y) = Ui,j(x, y) in H, ,2 (G(z ) ) . (26) Zu zeigen ist Ui,j(x, y) = ui,j(x, y). Zu diesem Zweck fiihren wir in (8") den Grenzubergang (26) durch:

B(Gi,j(x, y) , Gf(x)) = Gq(y) , Gf(x) c Mr c H i , z ( G ) . ( ," I )

BECRERT, H. : Solutions and Eigenvalues of Elliptic Systems of PDEs 573

Nach Voraussetzung existieren zu beliebig vorgegebenem u(x ) c Hk,z(G) Folgen &f(x) c MI, mit &f(x) -+ u,(z) in H:7,z(G). Da die rechte Seite von (8”’) ein beschranktes lineares Funktional uber Hg,z (G) ist, ergibt sich durch Grenzubergang in (8”’)

~ ( ~ i , j ( x , y), u,(x)> = ~ ( y ) , i = 1,2, ... , r , y E C: , und damit die Darstellungsformel (9), woraus ui,j(z, y) = uL,j(z, y ) folgt.

Die Minimalw.erte der Variationsprobleme (a’), (6), (6’) uber MI, fur die reduzierten Tensoren (12) konvergieren ebenfalls fur k --. 00 monoton fallend und gleichmiiflig gegen die Minimalwerte der Variationsprobleme (a), (6), (6’). Ferner gelten die analogen Abschatzungen (23), (24), (25) und Konvergenzen:

gleichmaWig bzgl. y E G in H,,z(G(x)). Wir fassen die bisherigen Ergebnisse zusammen : S a t z 3: Die Yensoren (12) konvergieren nach (26), ( 2 7 ) gegen die Greenschen Tensoren der Variationsprobleme

(4), (4‘), (ci), (ci‘), wobei diese Konvergenz durch die gleichmafiig konvergenten Minimalwerte der Nebenprobleme (4), (4’), (6), (ti’) uber M k i m Xinne von (24a), (24b) und (25) abgeschutzt werden kann. Nach (25) konvergieren die reduzier- ten Tensoren (12) uber H O , ~ ( G ) in der Operatornorm.

Wir wollen auf einige Konsequenzen fur das Ritzsche Verfahren aufmerksam machen. Im Fall 2m > n folgt wegen der Syinmetrie der Integraloperatoren Xk und X in HO,,(G) aus den Darstellungsformeln (9) und (13) auf Grund von (24a) die wohlbekannte Konvergenz der Ritzlosungen uk(x) c M , gegen die Losung u ( x ) von (I), (1‘) in H:z, 2(G). Entsprechendes folgt sinngemao aus den Darstellungsformeln (Y), (10) des Tensors ul,i,j(x, y). Wenden wir bei beliebigen m und n auf die Darstellungsformeln (9), (Y), (9”) und (11) unter Beachtung von (24a) die Schwarz- sche Ungleichung an, so ergibt sich mit einer leicht angebbaren Konstanten T die Abschatzung

die wir hier fur (9) formuliert haben. In deni fiir die Anwendungen interessanten Fall von elliptischen Systemen zweiter Ordnung (m = 1, n = 2, 3)

konvergieren daher die Ritzlosungen &(y) des Darstellungsproblems (9”) bzw. die gemittelten Spannungen o&&~) in (11) gleichmaSig in CO(G):

d , i ( Y ) 2 %dY) 7 5:,(s)(Y) z o.E,(s)(Y) (29)

gegen die rechten Seiten von (9”) bzw. (ll), d. h. gegen die gemittelten Funktionswerte der Losungen von ( l ) , (1’) bzw. die gemittelten Spannungskomponenten der Losungen des Systems der linearen Elastizitltstheorie in1 Punkt

Wir notieren die bekannten Schauderschen Abschatzungen fur die Handwertaufgaben elliptischer Systerue y € G

die wir fur die dritte Randwertaufgabe und m = 1 forniulieren:

I I ~ ( ~ ) I l ~ + a (0) I L(H1+a, C , &+a) (l l f l la + II~’II1+a(&) + I I v I I z + a ( 4 ) > 0 <a < 1 * (30) Dabei sind auf einer zusammenhiingenden Randkoniponente S; die Randwerte q(o) und larigs der arideren Itanti- komponente X, Neumannsche Randwerte T(a) vorgeschrieben. Die Konstante L hangt im wesentlichen nur von den C1+a-Nornien der Koeffizienten und den C2+”-Normen der ltanddarstellungen ab und ferner von der Elliptizi- tatskonstanten des Systems.

Fur alle I’roblemklassen, fur welche die rechte Seite in (30) etwa unter einer Konstanten A liegen, gilt die Abschatzung :

IUE,i(Y) - .ut(y)l 5 A& loE,(s)(Y) - G(S)(Y)l 5 A& , y E 8. (31) Hieraus folgt in Verbindung niit (29)

S a t z 4: In den1 betrachteten Fall elliptischer Systeme zweiter Ordnung (2m f n ) konvergieren d i e durch die reduzierten Greenschen Tensoren u:, i,j(x, y) bzw. hts) j(z, y ) dargestellten Ritzlosungen uf, i ( y ) bzw. o,$)(y) gleichmaJ?ig in Co(G) fiir k -, 03 und E --* 0 gegen die entsprechenden exukten Losungen der Ausgangsproblevte.

Fur die folgenden Anwendungen auf die Eigenwerttheorie ist es zweckmaWig, irn Fall 2m 5 n statt des Ten- sors u+j(x, y) auch den bzgl. der z-Variablen gemittelten, dann synimetrischen Tensor uE,&, i,j(z, y) einzufuhren. Es gilt nach (5‘)

U E , & , i , j ( X > y) - Ui , j (Z , Y ) fur E - 0 in Ho,z(G x G) , (32)

u:, € , i , j ( X , Y) - % , s , i , j ( z , y) , k - 7 in Ho,2(G x G ) 9 (33)

und nach (27)

also schlieSlich

~ f . ~ , { , j ( z , y) - U ~ , ~ ( X , y ) fur k - 00, E - 0 , in H ~ , ~ ( G x G ) . 38 Z. angew. Math. Mecli., Bd. 6 5 , H. 11

(34)

574 ZAMM . Z. angew. Math. Mech. 66 (1985) 11

c Wir entnehnien aus (19a) die gleichmaoige Konvergenz der Spur des reduzierten Tensors gegen die von U ~ , ~ ( X , y), also (vgl. (16))

= s 2 U&J, y) dy - d t i = s - dk) + 0 , G i = l i = l

W L

1 = 0 2 = 0 i t t i t s = 2 A t , s ( k ) = 1; At, 2% > n. Wegen

00 k

a = O a:O l l u t , J ( ~ , y)/ l i ,z (G X G ) = 2 A: = t2 , l l ~ t j ( x , y)11:,~! (G x a) = 2 A? = t(k)'

rind ( 2 5 ) gilt t (A ) --f t fur k ---t co, genauer: jt(k) - tI 5 (qlc/c)1'Z .

Hierbei bezeiclinet (Ar) das Eigenwertspektrum von ~9 und (1:) dasjenige von f l k .

Zur Ausrichtung der Norniabschatzung

(35)

naeh (25) , (35) fur 2 n ~ > n sowit: dcr Norrtikonvergenz (34) auf dic Eigenwertapproxiniation verwenden wir den hekann t en

ihre Eigcnwwte in fallender GroJenordnuny unter Beriicksichtigung ihrer Vielfachheit, dann gilt

S a t z 5 : Sind 1; und Y, selbstadjunyierte vollstetige lineare Operatoren in dem Hilbertraum €1 und Ail) ,

in:?) -A\.Z)I 5 /ITl - YT2l1 ( ~ 1 . [41).

Wir entnehiiien hieraus unrnittelbar fur Xlc = TI, 8 = T 2 :

S a t z 6: Nach (34), (24') konvergieren die Eigenwerte 1: won XI, gleichmaJig yegen die Eigenwerte won S. Im Falle 2m > n kann man diese Konvergenz nach

abschatzen, wenn die Eigenwerte A?, At von 8, und S nach fallender GroJenordnung unter Beachtung ihrer Vielfachheit angcordnet werden.

Weiter gilt: Ist q > 0 und A, 2 31, > 1, > ... A, 2 q > &+I; Min 1, - A z + l = 2a, dann liegen fur i = 1, 2, ... , s

im Kreis urn At mit einem Radius r k = k) < u Eigenwerte 1: des Operators s k , deren Gesamtvielfachheit gleich der des Eigenwerts ist.

Urn die Abschiitzungen (24'), ( 2 5 ) , (35 ) anzuwenden, mu13 man die Nebenprobleme (4), (4')) (6) bzw. (7) nach unten abschatzen. 'Bekanntlich hat man hierzu zu den komplernentaren (dualen) Variationsproblemen iiberzugehen, vgl. etwa [ 3 ] , [ 5 ] , [GI , [i']. Es geniigt, (4) zu betrachten. Wir erhalten fur u(x) c Hk,z(G) die komplementare Abschat- zung nach unten:

112

H ( u , u ) - 2u,(y) 2 --B(v, v) , (39) woluei v(x) c H,,,, z (G) die Losungsmannigfaltigkeit

durchlauft. Hierbei bezeichnet v,(x) c H m , z ( G ) eine partikulare Losung (40) und { ~ ( x ) } = V den durch

B(w, y) = 0 fiir alle p ( ~ ) c H;*,z(G) (41)

Lw = 0 (42)

definierten Teilrauni von HwL, 2(G), der Losungsmannigfaltigkeit der hoinogenen Gleichung

ohne Kandbedingungen in schwacher Forni. Es gilt bekanntlich fur die Minimalwerte von (4):

d ( ) - Max - B(v, v). (43) - v c v , + v

Der Maximalwert rechts wird fur V,(X) = Z L ~ , ~ ( X , y) angenommen. 1st V , = (wl, w2, ... , w,) c V ein Teilrauni von V , so konstruiert man uber die Losung eines linearen Gleichungssystems nach dem Vorgang von E. TREFBTZ eine

BECKERT, H. : Solutions and Eigenvalues of Elliptic Systems of PDEs 575

Losung des Maxirnumproblems

21 c uo + Vh Max - B(v, v) = s, (44)

&(y) >, ,711 . (45) und gewinnt dann in s , eine untere Schranke

Wenri es auch in1 allgeirieinen gelingt, sich Losungen von (42) zu verschaffen, so kann die Anwendung dieser Methode scheitern an der Berechnung einer partikularen Losung von (40). In1 Falle konstanter Koeffizienten hat man fur diese die Grundlosung.

1st jetxt B,(u, u) eine positiv definite Form, fur die eine partikulare Losung wo(x) c Hm,e(G) von (40) bekannt ist, -

(46) Lsl(vo(.c), rp(x)) - ~ ~ ( y ) = 0 , i = 1, 2, ... , 1' , fur alle y(x) c H&,(G) , y E G ,

niit cbcnfalls definiteni Bz(u, u), dann kann man nach der bekannten Methode der ,,additiven Zerlegungen", welche allgenieiner auch fur endliche Zerlegungen von B(u, u) gultig ist, weiterkommen [3]. Nach Ubergang zum Produkt- rautn H,,z(G) x H,,,z(G) ) v' = (vl, wz) erhalten wir die Abschatzung nach unten:

&(y) 2 Max - ( ~ , ( v 1 , v1) + B,(%?, %I) .

B,(U,, v) f Bz(u2, y ) - yz(y) = 0 ,

~ 2 ( % y ) = 0 7 d.2) c H L ( d (50)

(48 ) v'

Hierbei durchlauft v' = (v,, vp) die Losungsmannigfaltigkeit : i = 1, 2, ... , r , fur alle ~ ( x ) E H;,,(G) . (49)

Spezielle Losungen gewinnen wir, indem wir vl(x) = w&) von (46) in (49) einsetzen. w2(x) ist dann aus

ohrie Randbedingungen entsprechend (41), (42) zu bestimmen. Untere Schrankeri fur d,(y) ergeben sich hiernach wie in (44), (45). DaB die rechte Seite von (48) fur vl(x) = ai,j(x, y) vz(x) = U ~ , ~ ( X , y) ihren Maximalwert d,(y) an- nimnit, folgt leicht aus (49) fur die Wahl:

y ( x ) = %,&, Y) > v1(4 = = uui,3(z, Y) *

Bei der nunierischen Realisierung der beschriebenen Naherungstheorie spielt natiirlich eine vorteilhafte Wahl der Raunie H k eine wesentliche Rolle, worauf wir hier nicht eingegangen sind, vgl. etwa [4]. Man wird sich die Abschat- zungen aus der Theorie finiter Elemente zunutze machen.

Literatur

1 AGMON, is. ; DOUGLIS, A.; NIBENBERG, L., Estimates nearkhe boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfy-

2 BECKERT, H., ifber die Konstruktion Greenscher Tensoren und ihre Bedeutmg fur die numerische Mathematik, ZAMM 66 (1975),

3 HERSCH, J., Une transformation variationelle apparentee a celle dc PRIEDRICHS conduisant a la methode des problemes auxiliaires

4 MICHLIN, S. G., Numerische Realisierung yon Variationsmethoden, Akad. Verlag - Berlin 1965. 5 TREFFTZ, E., Ein Gegenstiick zum Ritzschen Verfahren, Verhdl. d.2. Intern. Kongr. f. Techn. Mech. (Zurich 1926) Zurich 1927,

6 TREFFTZ, E., Konvergenz und Fehlerabschatzung beim Ritzschen Verfahren, Math. Ann. 100 (1928) 503-521, 7 VELTE, W., Direkte Methoden der Variationsrechnung, Teubner Studienbucher (Mathematik), B.G. Teubner Stuttgart IY7(i. 8 VAINIKKO, G., Funktionalanalysis der Diskretisierungsmethoden, Teubner Texte, Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1976. 9 YREHSE, J. ; RANNACHER, It., Eine L'-Fehlerabschatzung fur diskrete Grundlosungen in der Methode der finiten Elemente,

ing general boundary conditions. I; 11, Commun. pure appl. Math. 12 (1959) 623-727; 17 (1964) 35-92.

63-79.

unidimensionnels, Enseign. Math. 11 (1964), 159-169.

S. 131 -138.

Bonner Math. Schriften, Nr. 89 Finite Elemente, 1976, S. 92-114.

Eingegangen am 15. Dezember 1982

Amchrift: Prof. Dr. HERBERT BECKERT, Karl-Marx-Universitat, Sektion Mathematik, Karl-Marx-Platz, DDR-1180 Leipzig

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