Math. Naehr. 73, 1i1-183 (1976)

Uber einige Klassen von singularen Operatoren und ihre Beziehungen zu singularen Integraloperatoren

Von CHRISTIAN MEYER in Karl-Marx-Stadt

(Eingegangen am 29.11.1974)

In dieser Arbeit werden gewivse Iilassen von singularen Operatoren betrachtet , deren Studium mittels eines algebraischen Schemas auf das von Systemen singularer Integralgleichungen zuriickgefuhrt wird. Derartige' Operatoren sind zum Beispiel die singularen Integraloperatoren mit CARLEMANscher Verschiebung oder mit Konjugation, sowie der durch die TRIcoMI-Gleichung erzeugte Operator. Wir ordnen dem von uns betrachteten Operator K jeweils einen neuen Opera- tor Wzu, der mit einem gewissen algebraischen Operator J 1) kommutiert unddessen Einschrankung auf einen bezuglich J invarianten Teilraum zu K aquivalent ist. Der Operator W wird mit Hilfe bekannter Ergebnisse uber Systerne singularer Integralgleichungen studiert. Die entwickelte Methode gestattet es, auch dann Aussagen zu treffen, wenn das zugeordnete Sys6em nicht normalen Typs ist.

1 . Algebraische Operatoren

1.1. Lineare algebraische Operatoren. Seien X ein reeller oder komplexer BANAcRraum und J : X -X ein linearer algebraischer Operator mit P ( J ) ~ 0 . Dabei setzen wir voraus, da13 die Wurzeln iij ( j = I , . . . , n; n 2 2 ; n-Grad des Polynoms P(1)) der Gleichung P(A) = 0 ungleich Null, paarweise verschieden und, wenn X ein reeller Raum ist, ebenfalls reel1 seien.

Hilfssatz 1.1 [ll]: Der Raum X la,& sich in die direkte topologische Summe

X = COXi mit X i = {x E X : Jx = Aix) zerlegen. Dabei hnt jedes Element xE X die

x E Xi, wobei I der identische Operator Darstellung x = xi mit xi = g__- im Raicm X ist.

Der BANACHraum Y sei stetig in den Raum X eingebettet. Mit Yj bezeichnen wir die linearen abgeschlossenen Unterraume Y j = {yc Y : J y = l i y } des Raumes Y .

n

j= i n

(k*; k = i J - y ) A j - A k j = i

1) Der lineare (additive) stetige Operator J : X -X heiBt linearer (additiver) algebraischer Operator, wenn ein Polynom P(2) existiert, so daU P ( J ) = O .

172 Meyer, Uber einige Klassen

Hilfssatz 1.2. 1st J ( Y ) c Y , dann erweist sich der Operator J als stetig im n

j=i Raum Y , und es gilt Y = c@ Yi.

B ew ei s. Wjr zeigen die Abgeschlossenheit von J in Y . Sei (yk};=, eine Folge von Elementen aus Y mit (Iy - yt\/ - 0 und I(z - JyJ ys 0 . Wegen der stet’igeii Einbethng von Y in X gilt IIy -yJ x z 0 und I/z - J y J xz 0. Da J in X stetig ist, ergibt sich J y = z , d. h. der Operator J ist, abgeschlossen und folglich nach dem Satz iiber den abgeschlossenen Graphen auch stetig in Y . Die Einschrankung von J auf Y erfiillt somit die Voraussetzungen des Hilfssatzes 1.1, uiid es gilt die zweite Behauptung.

Wir betrachten nunmehr folgendes Operatorenschema : Sei W : X - Y ( Y C X ) ein liriearer stetiger Operator, fur den

(1.1) J W = W J gelte. J sei hierbei der oben eingefiihrte lineare algebraische Operator. AUS (1 . l ) folgt W ( X j ) c Y j , und wir definieren Urj= W,,\-.: X i - Yj.

Satz 1.1. Is t der Operator it‘ ein @-Operator‘) (bzw. @+-, @--Operator, normal auflosbar, stetig linksinvertierbar, stetig rechtsinvertierbar), dann sind die Operato- ren W j (j= I, . . . , n) @-Operatoren (bzw. @+-, @--Operatoren, nmmal auilosbar, stetig linksinvertierbar, stetig rechtsinvertierbar). Unter der Voraussetzung J ( Y ) c Y gilt auch die Umkehrung : Sind alle Operatoren Wi ( j = 1, . . . , n) @-Operatoren (bzw. @ +-, @ --Operatoren, normal auflosbar, stet,ig linksinvertierbar, stetig rechtsinvertier- bar), dann hat der Operator 11’ di’e entsprechende Eigenschaft.

Beweis. Sei Y’= Y , x . Yn das topologische Produkt der RBuiiie Y, , . . . , Y,&. Nach Hilfssatz 1.1 existiert fur jedes Element X E X die eindeutige

Darstellung x = xj (xjc X i ) , und wir definieren den Operator W’ : X - Y’ durch

W’x=(l~Vixi, . . . , Wnxn). Der Operator W’ ist genau dann ein @-Operator (bzw. @ +-, @--Operator, normal auflosbar, st’etig linksinvertierbar, stetig rechts- invertierbar), wenn alle Operatoren Wj (j= 1, . , . , n) @-Operatoren (bzw. @+-, @ --Operatoren, normal auflosbar, stetig linksinvertierbar, stetig rechtsinvertier- bar) sind. 1st der Operator T Y ein @-Operator (bzw. @+-, @--Operator, normal auflosbar, stetig linksinvertierbar, stetig rechtsinvertierbar), dann hat der Operator W” die entsprechende Eigenschaft. Gilt J ( Y ) c Y , so sind die Raunie Y und Y’ isomorph, und die Umkehrung der vorherigen Ausssge ist richtig.

Satz 1.2. Es se i J ( Y)c Y. Ist der Operator 11.’ ein. @-Operator, dann gilt ind IF’=

I-&-..

1

n

j = i

11

= z i n d Wj. j = l

~ ~

2) Wir nennen den Operator W normal auflosbar, aenn im W’ abgeschlossen ist. Der normal auflosbare Operator W heiDt @+-Operator (@--Operator), wenn dim ker W < - (codim im W-= -). 1st W sowohl @+- als auch @. -Operator, so heiBt It’ @-Operator, und wir nennen die Zahl ind Lt’ = =dim ker W - codim im W Index des Operators If‘.

Meyer, tfber einige Klassen 173

1.2. Additive algebraische Operatoren. Der Operator J : x' -X sei ein additiver algebraischer Operator im komplexen BANAcHraum X mit P ( J ) E 0, wobei die Wurzeln izi ( j = 1, . . . , n, ; n s 2) des Polynoms P(1) ungleich Null, reell und paar- weise verschieden seien. Der BANAcHraum Y sei stetig in den Raum X eingebettet, und fur den linearen stetigen Operator W : X + Y gelte J W = W J . Jeder komplexe R.aum X ist offensjchtlich auch ein reeller Raum.. Letzteren bezeichnen wir mit X,. Mit Hilfe dieser Uberlegungen erhalten wir aus Satz 1.1 den

Satz 1.3. Is t der Operator W ein @-Operator (bzw. @,-, @--Operator, normal auflosbar, stetig linksinvertierbar, stetig rechtsinvertierbar), dann haben alle Opera- toren W j : X,-Y,, (j=l, . . . , n; X r j = { x € X , : Jrc=ljx}; Y r j = ( y ~ Y , . : Jy=I,y}) die entsprechende Eigenachaft. Unfer der Bedingufhg J ( Y)c Y gilt auch die Um- kehrung.

1% nehmen im weiteren an, J erfiille zusatzlich die Voraussetzungen J2 - I = 0 und J ( p z ) = p J z ( ~ € 3 , p beliebige komplexe Zahl).

Bemerkung 1.1. Wegen der Gultigkeit der Beziehungen IC =-~-- + i o ~ - Jx+z J r - z J x + x 2 (*Jzix)

und x = z ( - z) _ _ ~ - - -__ kann der Raum X als komplexe lineare Hiille der

Elemente des Raunies X,, mit' j = 1 oder j = 2 dargestellt werden. Eine entspre- cliende Aussage gilt fur mi W', ker W und unter der Voraussetzung J ( Y ) c Y auch fur den Raum Y. Auf Grund dieser Bemerkung konnen wir aus den Siit,zen 1 .1 und 1.2 folgenden Satz ableiten.

- ( * 2 ) 2

Satz 1.4. Unter der Voraussetzung J ( Y)c Y gilt: Is t der Operator Wi ein @- Operator (bzw. @ +-, @--Operator, normal auflosbar, stetig linksinvertierbar, stetig rechtsinvertierbar), dann hat der Operator W, die entsprechende Eigenschaft und umgekehrt. Ist einer der Operastoren Wl oder W 2 ein @-Operator, so gilt ind w'= = ind Wl = ind W2.

Bei den Aussagen des Satzes 1.4 ist, zu beachten, daB I.Y ein Operator im koinplexen BANACHraunl ist', die Operatoren JV, und ni2 aber in reellen Raumen TV i rken .

2. Eine Methode zur Faktorisierung singularer Integraloperatoren

Die folgende Methode der Faktorisierung singularer Integraloperatoren ist der Arbeit [I21 von B. SILBERMANN entnommen. Der Einfachheit halber sei in diesem und in den weiteren Abschnitten r der Einheitskreis in der komplexen Zahlen- ebene. MiD AS'(^^ bezeichnen wir den linearen stetigen Operator

174 Meyer, Uber einige Klassen

1111 Kaum L&(T)3). \Yegen der besseren cbersicht werden wir fiir S,,, nur S schreiben. Aus dein Zusamnienhang wird ersicht lich sein, in welchein Raum der Operator S wirkt. Gleiches gilt fiir den identiwhen Operator I . Sei V = A P +

+ BQ P = - (I +AS), Q = I - P: d ( t ) , B ( t ) C E(kxk l (T) 4 ) ein singularer Integralopera-

tor. Bekanntlicli [I] ist die Bedingung

(2.1)

fur tcr und pc[O, 13 hinreichend und notwendig dafiir, daB der Operator V ein @-Operator im Raum LTk,(r) ist. Hierbei sind

1 1

( 2

det V(t, p) = 0

A ( t + 0 ) + ( 1 -f,(P)) hp(PCd) ( B ( t f O ) - B ( t ) ) h,(p) (-4 ( f + 0 ) - L4 ( f ) ) ( 1 -fp(P)) B ( f + 0) +f,(P) B(t)

p = 2 ~ -.-_____

und h,(p) ein fixierter Zweig der \Vurzel I j ,(p) (1 -fp(p)). 1st die Bedingung (2.1) verletzt, so heifit I' Operator nicht normalen Typs. Die nachfolgende Methode stellt eine Moglichkeit dar, wie der Operator V unter diesen Umstanden studiert werden kann. Wir nehmen an, die Matrixfunktionen A(t ) und B(t) gestatten folgende Darstellungen :

bei zwei Matrixfunktionen R,, R4EC(kXE,(r) init PR,P= R,P und QR,Q= R4Q existieren mogen, so da13 QR,R,Q= R,R,Q und PR,R4P= R,R4P gilt.

1. A( t )= (R ,C) ( t ) , B( t )= (R&) ( t ) mit RI , R2EC(,x,,(r)5), C, D€E(kxk)(r), WO-

11. A = R?RLC,+T,, B=R,R,D2+T4, C=R,CI+Ti, D = R,D,+T,

(Cj, Dj€E(,,, ,(r), T i E C , k x , ) ( r ) ; j = 1, 2 ; i = 1 , 2 , 3, 4)

init P T , P = T , P ( i = i , 2 ) uud&TiQ=TiQ ( i = 3 , 4). Unter diesen Voraussetzungen lkI3t sich der Operator V zerlegen in V = V , .' Tr2

mit V'I=PRlPi-QR2Q und V 2 = PCP+QDQ+PK3D,Q+QR4C2P+T, wobei T = - PR3Q (QC,P+QD,Q) -QR4P (PD,Q+ PCZP) bekanntlich ein vollstetiger Operator itn Rauin L&,(r) ist.

Satz 9.1. Der Operator T I erfulle die Voraics.$etzwzgerL I und II, und eN gelte dim ker VI -= m. Da.?t.n ist der Operator V : L$, (r ) + L ( L = im Vi). erklart, stetig und genuu d m m e.in @ --, @ - - ode, @-Operator, we7m der Operator V 2 im Raum L&(r) die entsprechende Eigensehujt hat. Der R a t m L zuurde dabei mit der Faktornorrn

~ ~

J) L;n.,(r)-B.is.~cHraiini aller k-dimensioiio1e.n \'elitorfunktionen iiiit Elementen %us LP(r). 4 ) E'(k ,k,(T)- I i lasse aller stiickweise stetigen JIat,risfunktionen der Ordnung ( k X k ) . Ohne

Einschrlnkung der dllgemeinheit lionnen wir annehmen, daO die liriksseitigen Grenzwerte ange- nommen Terden.

2) C(k :,k,(T)-Klasse aller stetigen Matrixfunktionen aus E(k ;<k-)(T).

Meyer, Uber einige Klassen 175

IYir fuhren einige Bezeichnungen ein : H p ( f ) - R,auin aller auf f holderstetigen Funkt,ionen init deli1 Exponenten

Lpk)(T; ( U i , nj):==,) - BANACHraum dler Vektorfunktionen f ( t ) cL$.(T), die auf cii jeweils ni-mal ( i = 1, . . . , 1) im Sinne von SOBOLEW differenzierbar sincl, und. deren Ableitungen bjs zur q t e n dem Raum L$)( U i ) angehoren ( lJi sind offene zu- sammenhlngende Mengen in der Topologie der Kurve T; vgl. auch [9]). C(axk,(T; (ti, v ~ ) : = ~ ) - Klasse aller Matrixfunktionen A ( t ) ~ C , , , , ) ( T ) , fur die zu- sammenhlngende Unigebungen U ( t i ) c T der Punkte tiEr (i= 1, . . . , 2) exi- stieren, so daB ,4(t) auf U(t i ) jeweils ni-mal stetig differenzierbar ist. Analog wird die Klasse E(kx,)(T; (ti, ni)"i1) erklart. I m Falle n i = O fur alle i = 1, . . . , m, (m-=Z) sei E(kxb)(T; ( t i , ni)~=,)=E(ax,,(T; (ti, ni)f=,+!). AuBerdeni

p (o<p-= 1).

gelte E(kxk)(T; (ti, 0)%=,) = E ( k x k ) ( U .

3. Systeme singuliirer Integralgleichungen mit CARLEmANscher Verschiebung

Sei a( t ) eine Abbildung der Kurve T auf sich, die die Orientierung beibehllt und folgende Bedingungen erfullt :

a) Es existiert ~ ' ( t ) c H " ( r ) . b) Es gilt ~ ( 2 ) i t fur alle tcr. c) Fur eine gewisse naturliche Zahl TL 2 2 gilt an(t) = t , wobei a,(t) = aLv1( u ( t ) ) (i =

= I , . . . . n) mit ao(t) zt. LVir definieren im komplexen BANAcHraum L&(T) den h e a r e n stetigsn

Operator (DJ) ( t ) = f ( a ( t ) ) uncl betrachten folgende singularen Integraloperatoren mit CARLEMANscher Verschiebung :

( j = 1 , . . . , n) im Raum LTh)(T), wobei Lj die Wurzeln der Gleichung 1"- 1 = 0 und H , = A , + Bi8 die singularen Integraloperatoren mit A,(t) , B,(t)~E,,,,,(r) sind.

Das Ziel unverer Untersuchungen ist es, hinreichende und in gewissen Fdlen auch notwendige Kriterien dafiir anzugeben, dafi die Operatoren K j ( j = 1, . . . , n) in bestjmmten Paaren von BANAcHraumen Q-operat'oren sind. Die entsprechen- den Resultate werden in den Satzen 3.1 und 3.2 dargelegt'. Um sie formulieren zu konnen, ist es notwendig, uns vorher mit einigen Tatsachen vertraut zu machen, die Gegenst'and der Hilfssat>ze 3.1 und 3.2 sind. Das Studium der Operatoren K j fuhren wir auf die Untersuchung eines gewissen Operators it.' im R8auin L:iz,k)(f) zuruck, der sich als Suinme eines singularen Integra'loperators V und eines voll- stet'igen Operators T darstellen lafit. Wir werden die Operatoren Ki (j= 1, . . . ~ n) genau dann Operatoren nicht norinalen Typs nennen, wenn V ejn Operator nicht normalen Typs ist (vgl. Abschnitt 2).

176 Meyer, Uber einige Kleasen

Den Operatoren K j ( j = 1, . . . , n) ordnen wir den Operator Ty = V + T mit

A n p i D ,AJY- ' D',A,D;-' * - * D:-1An-2D,

Ai D,A2D:-' D',AaDz-' * . * Dz-'A@, 1 v = ( - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 1 T=( - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A, D,A,D:-' D ~ A m 2 a p--? . . . D: - ' A - @,

B ~ - ~ D,B&;-' D:B;D:-~ . . D:-~B,-~D, B, DEBID:-' D',B.,D:-? * - D:-'B,-,D,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - +( B1 D,B,D; - I D', B,D: -? . - . D: - l B,,D, und

'0 D,Bi (SDY-' -D,"-'S) . . - D:-lBN-i (SD,-D,S) 0 D,B, (SD;- ' -D;- 'S ) . . . D;-'B,-, (SD,-D,S)

0 D,B, (SD:-' - D;-'S) * * * DZ-IBn (SD, - D,S)

zu. Mit J wird der lineare algebraische Operator 0 0 * - * 0 D , D, O i b

(3.1) J = 0 D, - . .

(.-;-.:;;; 1) bezeichnet. Offensichtlich sind die Operatoren TI' und J linear und stetig irn Rauni LTn.B)(T), und es gilt I T - J = J I I - und J"-I=O. I\'ir schreiben T I in der

Form V = A P + BQ P = - (1 +AS): Q = I - P und nehmen an, F' sei eiii Operator

nicht norrnalen Typs, wobei gelte: ( : )

1) 4 w q 3 L . k x n . k ) ( R t , , 17Zl 1 B ( t ) f E(n.kXn.k , (r; f , , m,) ( m i , m 2 ~ 0 ganzzahlig; t,, f2cT).

2 ) det A(t) habe in1 Punkt f, eine Sullstelle der Ordnung 1111,

Hilfssatz 3.1. E s qilf det A(t)=det L4(~i ( t ) ) ltnd det B(t)=det B(cti(t)) (i=

Beweis . Wir zeigen die Behauptung fur 2 und det A ( t ) . Die restlichen

det B(1) habe im Punkt f, eine Kullstelle der Ordnung m',.

=o, . . . , ?L-1).

Falle werden analog bewiesen.

Meyer, uber einige Klasseii 177

Aus diesem Hilfssatz und den speziellen Strukturen von A ( t ) und B(t) ergeben sich die Aussagen:

l') A(t)cE(m.kxn.k)(r; (ai( t l ) , B(t) cE(m.kxn.k)(T; (a i ( t2 ) , m2)?zOl)01).

2') det A(t) hat in den Punkten ai(ti) Nullstellen der Ordnung ml, det B(t) hat in den Punkten ai(tz) Nullstellen der Ordnung m2 ( i = O , . . . , 12-1).

Die Matrizen A(t ) und B(t) lassen sich wegen 1') und 2') in folgender Form darstellen (vgl. [8], Kapitel 8): A(t ) = R,(t) C( t ) und B(t) = R2(t) D(t) mit

62 n.k R2(t)=L(t) * n{dj, ( t - a i ( t z ) ) }j,l=i 3

i =O

wobei C(t ) , D(t)cE(mkxwkJT) dj,= fur j = l ; n i l 2 O , ganzzahlig, i = O , . . . ,s t ;

mi1sO, ganzzahlig, i = O , . . . , s2 ; 1=1, . . . , n - Ic . Hierbei ist s1 (bzw. s2) die

kleinste kahl aus der Menge (0, . . . , n- 1} init ~ ~ , + ~ ( t ~ ) c { a ~ ( t ~ ) , . . . , a8,(tl)} (bzw. ae ,+i ( t z )~{aO(t2) , . . . , a,,(tz)}). F ( t ) und L(t) sind polynonliale Matrizen ent-

1 sprechend in ~- bzw. t , fur die det F ( t ) = det L ( t ) = 1. Weiterhin gelte 3 nil = m,

und

1 ( (" J-+l

n k

n.k t 1 = i mil = m2. AuBerdein seien nachfolgende Bedingungen erfullt :

D(t)CEcn,kxn,kJr; (ari(tl), ti):::) mit Ei=max n, und qi=max m, .

und 11 = max qi .

1 =1 n--l 3. C(t ) cE(n.kxn.k)(T; ? l i ) i = O ),

1 I

4. Bj( t )EE(kxk) (r ; (ari(tl), t)~::, (ai(tz), y ) : ~ , )

5. a ( t ) cC( r ; i a j ( t l ) , t+2):z,, (ai(t2), 7+2):1~) .

( j = o , . . . , n-1) mit t = m a x ti 2

Hilfssatz 3.2. Par d e n Operator V gelten die Darstellungen I u n d I I des Ab- schnittes 2 m i t R,= R4=I u n d TI= TZ=O. Folglich la@ sich V in d a s Produkt V = V1 - V 2 m i t Vi=PR,P+QR2Q u n d V,=PCP+QDQ+PD2Q+QC2P zer- legen.

Beweis . Die Aussagen dieses Hilfssatzes erhalten wir aus der Darst~ellung (3.2), sowie der Voraussetzung 3), wenn wir fur T2 und T4 gewisse Hermit'sclie Interpolationspolynommatrizen verwenden uncl die in [8] bewiesenen Teilbitrkeits- eigenschaften benutzen.

Sei f i ( t ) cLTn.k)(T) die durch die Gleichung

(3.3) &(t) = (f(t), A y f ( a & t ) ) , A y f ( C 1 2 ( t ) ) , . . . , Ajf(.,Jt)))

( f ( t ) c L T k ) ( F ) ) definierte Vektorfunktion. Die Menge Lj={f(t)CL$,(r): f j ( t ) c L ) ( j = 1 , . . . , n) init L = i m V1 ist in der Norm I l f l l L j = I l f j l l L ein komplexer BANACH- 1 2 Math. Nachr. Bd. 73

178 Meyer, uber einige Klessen

rauiii. Aufierdeni bildet der Operator Ki den R'aum L$,(F) in Lj ab. Folglich ist es iiioglich, den Operator K j von Lrk,(r) nach Lj wirkend zu bet'rachten.

Satz 3.1. Ist V 2 e i n @-Operator i m Raiim L&g,(r), dann sind die Operatoren K j ( j = 1, . . . , n ) @-Opera.foreiL von LT',(r) nach Li. Auperdem gilt L$.(r; ( U(cri(t,)), ti)::;, ( U(a i ( t2 ) ) , qi);!:,j')cLj (j= 1, . . . , 9 2 ) , wobei die H e n g e n U(cr , ( t , ) )cr (bzw. U ( a i ( f , ) ) c F ) gewisse ziisammenhangende Umgebungen der Punkte ui( t , ) (bzw. ai (h) ) sind. Bevor wir diesen Satz bemeisen, forniulieren mir noch einige dazu notwendige Ergebnisse.

Hilfssatz 3.3. Der Operator TI,= D,SDz-' -S ist aollstetig im Raum L&(T). Ziiiter der Vorumsefzzing 5 ) bilrlef T,, d e n Ra.um L & ( r ) collstetig in eineiz Raum cles TypsLs. ,(r; ( C ( x i ( t L ) ) , ti):;.:, ( U(czi(t2)), ?ii):l1,') crb, wobeidie Mengen U(czi(ti))c cT (bzw. [ : ( z i ( f 2 ) ) c r) ziisaniiibe)2ha?Lge?Ede Vwbgebungen der Punkte ai(t,) (bzw. z i ( t2 ) ) s i n d .

Hilfssat'z 3.1 ([lo]). Es gilt diiii ker V1 = 0. Hilfssatz 3.5. Es gil t

L&.kl(T; (C(a,(t,) j, ti)!:;, ( t ; (a i ( f2) ) , vii)::i)cL, ,wobei die Mengen U(cci(ti))c I' bzw. C( a i ( t 2 ) ) c I' beliebige zasamm.enhangende b7mgebungen der Punkte ai(ti) bzw. ai(t,) sin.d. Die Einbettung ist stef.ig. Der Beweis des Hilfssatzes 3.3 erfolgt wie bei den entsprechenden Aussagen in [7], untl Hilf;.ssatz 3.5 wird wie Satz 2 aus [lo] bewiesen.

Beweis v o n S a t z 3.1. \Vir setzen S=LT,,,,(r) und Y = L und benutzen die Bezeichnungen des Abschnittes 1.1, wobei der Operator J durch die Be- ziehung (3.1) definiert werde. Aus der Definition der Norm in L ergibt sich die stetige Einbettung von I' in S. Jedes rjESj ( S j = ( x E X : J : L : = @ } ) hat die Form ri=fi(f), wobei f j ( t ) durcli die Beziehung (3.3) bestiinnit werde. Wir erklairen den linearen stetigen und stetig invertierbaren Operator Pi f j =f, wobei f ( t ) die fj(t) erzeugende Funktion ist. Unniittelbar iiberzeugen wir uns davon, da13 Kj f = = PjWjP7:If ( Wj= Aus den Voraussetzungen 4) und 5 ) und den Hilfs- satzen 3.3 und 3.5 folgt die Vollstetigkeit des Operators T von LTn.k,(r) na'ch L. Die Aussagen unseres Satzes ergeben sicli nunniehr aus den Satzen 1.1 und 2.1, den Hilfssatzen 3.4 und 3.5, sowie bekannten Satzen uber @-Operatoren.

Bemerkung 3.1 (vgl. [l]) : Der Operator B2 ist genau danii ein @-Operat'or in L&,g)(r ) , wenn det V,(t, p ) + O auf T X [0, 11 mit

JT2( t , p ) =

1st' das erfiillt, so gilt

ind V,= - 1

27r [arg det (D ( t + O ) D ( t ) ) - l . det V,(t, p)]&.

Die IiurvedZZ wurde in [l] eingefiihrt.

Meyer, ifber einige Klassen 179

Bemerkung 3.2. Sind A ( t ) , B(t), C,(t) und D2(t) aus C(n,kXn.k)(I'), dann ist der Operat'or V 2 genau dann ein @-Operator in L&)(r), wenn det C(t ) * det D(t ) =i= 0

auf r. 1st das erfullt, so gilt ind V 2 = - ~- [arg det D(t)-1 - det C(t)],. 1

2n Bemerkung 3.3. I m Falle n,il = ma = 0 fur alle 1 = 1, . . . , 12 * k und i = 0, . . . , si

(bzw. s2) setzen wir F ( t ) - L ( t ) = I . Es ergibt sich sofort X = Y = LTWk)(r) und L j = L $ , ( r ) (j= 1, . . . , n). Dabei sind die Bedingungen 1) -4) offensichtlich erfiillt. Der Operat'or T ist nach Hilfssatz 3.3 vollstetig in LTmE)(r) ohne zusatz- liche Bedingungen an cc(t).

Satz 3.2. Ist V ein @-Operator in L&)(r), dann sind die Operatoren Kj ( j = 1, . . . , n) @Operatoren in L&(r). Ist tmgekehrt einer der Operatoren Ki (j= 1, . . . , n) ein @-Operator in L&(r) , dann ist der Operator V ein @-Operator in

L7n.k)(T). Far d e n Index gilt ind K j = - ind V (j= 1, . . . , n).

Der Beweis dieses Satzes ergibt sich auf Grund der Bemerkung 3.3 aus Satz 3.1 und einigen zusatzlichen Betrachtungen, wobei wir benutzen, da13 alle Operato- ren Ki (j= 1, . . . , n) gleichzeitig @-Operatoren (mit gleichem Index) in L$.,(I') sind oder nicht. Die Aussagen des Satzes 3.2 sind in der Literatur bekannt (vgl. [2], [3], [4]), wahrend Satz 3.1 unserer Meinung nach neu ist. Alle Behauptungen dieses Abschnittes lassen sich sinngemafi ohne Schwierigkeiten auf kompli- ziertere Kurven als den Einheitskreis ubertragen, auch in dem Fall, wo cc(t) die Orientierung der Kurve andert.

1 n

4. Systeme singularer Integralgleichungen mit Konjugation

Sei J ^ der durch die Gleichung (Jj) ( t ) =fx definierte additive stetige Operator im komplexen BANAcHraum LFk)(r). Wir betrachten im reellen BANACHraum L;"o,( r) folgende singulare Integraloperatoren mit Konjugation :

Kl=H,+J^H1 und K2=Ho-J^H, , wobei Hi=Bi+B,S (A,( t ) , B , ( t ) cEoxk , ( r ) ; i = 0 , 1) . Seien W = V'+T' mit

0 J^B,J ̂(J^SJ^+S) 0 fBJ(J^,SJ^+S)

V '=( A. JA,J ) J + ( B o - J B I J ^ ) f l und T'= A , J^A,J ̂ B, -J^B,J

der lineare stetige und

der additive algebraische Operator im komplexen BANACHraum L$&)(r) . Offen- sichtlich gilt J ? - I = 0 und J W = W J . Wir stellen den Operator V' in der Form

(An+&) ( t ) ( A I - B I ) ( t ) ( ( A B I+ I ) ( t ) (An-&) ( t )

V' = ,4 P + BQ =

180 Meyer, Uber einige Klassen

dar. Dabei ergibt sich

(4.1)

14% nehmen an, der Operator V sei nicht nornialen Typs, und A ( t ) erfiille die Bedingungen : 1. A(t)EEob,2k)(I’; to, m ) (t ,)~r; rnsO ganzzahlig). 2. det A ( t ) habe im Punkt to eine Nullstelle der Ordnung m. Folqlich existiert fur A ( t ) die Darstellung (vgl. [8]):

det A ( t ) =det B ( t ) .

I 2L. \

wobei C ( t ) EE(2kX2k) ( r ) ni 2 0 ganzzahlig niit 7bj = m , und F ( t ) eine polynoiniale 1 j = i 1

Matrix in -! niit det F ( t ) = 1 ist. Aus den Beziehungen (4.1) und t = (tET) und I f

der speziellen Struktur von A ( t ) erlialten wir mj 2k B(t)= R 2 ( t ) D(t) init R 2 ( t ) = L(t) - {bjL (t-tt,,) ) j , L = i ,

und L ( t ) eine polynoiniale Matrix in t Init det L ( f ) = 1 ist. AuBerdein sei folgende Bedingung erfullt : 3. C(t )EE(2kXlk) (T; to, 6) mit E = max yCj.

i

Hilfssatz 4.1. Der Operator V‘ lapt si.ch in das Prodickt V‘= V,V, ?nit V , =

= PR,P+QR,Q und V 2 = P C P + Q D Q + PD,Qi-QCzP zerkgeii (vgl. Abschnitt 2) .

Hilfssatz 4.2. Der Operator T ist endlichdimensionul wnd bildet in L = iin T’, a,b.

Satz 4.1. Id V., e i n @-Operator i n Lrlk,(r), d a m ist de,r Operator K j ( j = 1, 2) e i n @-Operator von qk,(r) in deib reellen BANscHrUum L j = { f E Lf(k) : ( f ( t ) , ( - i)j+’fi))EL}, wobei die N o r m in, Lj durch d ie B e x k h m z g /I f(t)llL,=l1( f ( t ) , ( - l)j+‘f~))ll1. eingefuhrt wird . Ist e iner der Operutoren K j : Lr(k)(I‘) -Lj@-Ope- rator, d u n n id 8, @-Operutor in L&)(r) . F u r den Indes: gilt ind K l = ind K , =

=ind V2. Aziperdem ist LSk)(I’; to, 0 c L i f u r j = 1, 2.

Bemerkiing 4.1. Die Aussage des Satzes 4.1 bleibt richtig, wenn wir fur V ? den Operator T” und fur die Raunie Lj den Raum L:(k)(T) setzen. Diese Be- hauptung wurde hereits in [6] niit Hilfe anderer Nethoden bewiesen.

Meyer, Uber einige Klassen 181

5. Die Tmcom-Gleichung

Wir bertrachten im Raum D [ O , 13 die folgenden beiden linearen stetigen Operat oren

0 1

0

wobei ?(z) und d(x) auf dem Interval1 LO, 11 stiickweise stetige Funktionen sind. Die Gleichung ( K , f ) (x) = p(x) heifit TRIcoMI-Gleichung (vgl. [5]). Den Operato- ren Kt und K 2 ordnen wir den singuliiren Integraloperator

r im R8aum L?(T) zu. Die stiickweise stetigen Funktionen c ( t ) und d ( t ) werden auf folgende Weise gebildet .

IE(i:+t) t c ( 1 3 1

t? ( 17i1 c ( t ) = fur

i (1 - t ) l i ( 2i (1 - t ) - ( 1 -1 + t )

t E ( 1 3 1 fur

tg( 1Ti1 i (1 - t )

d ( t ) =

2i ( 1 - t ) - ( l + t ) --I Hierbei sei (1 , i] das Bogenstiick des Einheitskreises, das entgegen dem Uhr- zeigersinn die Punkte 1 und i verbindet, wobej der Punkt t = 1 ausgeschlossen wird.

Mit u ( t ) bezeichnen wir die Funktion u(t) =v- . Wir nehmen an, der Ope-

rator IF sei nicht normalen Typs, und fur die Funktion a ( t ) = c ( t ) + d ( t ) gelte die Darstellung :

i ( 1 - q - 1 2 (1 - t ) - t

(5.1) = ( t ) 0 1 (4 1 1 m + s

mit r l ( t ) = t - t (t-tt,)"+' ( t ~ - - t,) ( n , m ~ O , ganzzahlig; @ ~ r , s - = l ; t o + l , t O = k i ;

t = ?L + 1 - [l - r] 6)) ; 171 = t + m + 1 - [1 - s], 1;)2 = 1 - [1 -?-I, alp) E q r ; ( to , 1111, (u(to),

%I)). _.__ __

6 ) Mit [r] bezeichnen wir den ganzen Teil der reellen Zahl r.

182 Meyer, ffber einige Klassen

Setzen wir b(t)=c(t)--d(t) , so ergibt sich b ( t ) = a ( u (t+O)). Aus (5.1) erhalten wir somit die Darstellung

wobei b ( t ) = ri( 7 4 ) ) al( ( t + 0)) = r d t ) b, ( 1 ) ,

ITir fiihren folgende Bezeichnungen ein :

L=im (rlP+r2Q) ( I + S ) , Q = I - P

L,=(f(z)EL?[O, 11: f,(t)EL} (j= 1, 2 ) : wobei

t E ( C i ]

t T ( lTi] f iir i (1 - t )

2i ( 1 - t ) - ( l + t ) - i ( l - t ) - ( l + t ) --) und

Der Rauni L ist rnit' der Faktornorrn versehen ein B A N A C H r a u i n . Die Norm im Raum Li (j= 1 , 2 ) erklaren wir durch 1 1 f / I L j = [ I fj l lL, womit dieser ebenfalls zu einem B A N A C H r a u m wird. Es 1iiE13t sicli zeigen, drtl3 der 0perat.or Iij in Lj abbildet

Satz 5.1. Ist dei Operator IT: L?(r)+L e i u @-Operator (bzzo. sletig links- invertierbar, stetig rechtsinvertierbar), dann s i r d die Operatoren Aj : L2[0, 11 - -, Lj ( j = 1, 2) @-Operatoren (bxw. stetig liizksinvertierbar, stetig rechtsiiz~ertierbar). Sind umgekehrt beide Operatoreib K j (j= 1, 2) @-Operatoren (bzw. stetig links- inverfierbar, stetig rechtsincertierbur), c l a m hat der Operator TV di.e entsprechende Eigenschaft. Azcaerdem gilt L?([O, 11; .c, t ] , ) cL j (j= 1, 2 ) .

(j= 1, 2).

Satz 6.2. Der Operator IP: L?(r) -L .ist ge.naii d a m e i n @-Operator, zcenn

( 5 . 2 ) ( 1 - ,u) (t + O ) bl( t ) + p a , ( [ ) 6 , ( t + 0 ) =I= 0

f u r tcr scnd p € [0, 11. Is t d i e Bedingung ( 5 . 2 ) erfiillt, d a m gilt

ind K , + ind K2

Satz 5.3. Unter den Voraussetzuizgen, dap die Beziehung (5.2) gilt, und ind IV = 2m' (m' beliebig ganzahlig), ist ind Ki = ind h', =m'.

Meyer, Uber einige Klassen 183

Zum Beweis dieser drei Satze benutzen wir die in LIZ] formulierten Ergeb- nisse. Dort wird unter anderem ein zu W Lhnlicher Operator betrachtet. Die an- gewandten Methoden lassen sich auf den Operator W ubertragen, und wir er- halten insbesondere die Aussagen des satzes 5.2. $lit Hilfe des linearen alge-

1 braischen Operators (Jf) ( t ) = -.-------f(u(t)) zerlegen wir den Raum U(r) in

z ( l - t ) - - t die direkte tolopogische Sunime der Raume

Xi={f(t)EL2(I'):(Jf)(t)=;lif(t)}(j=l, 2) mit A L = l und A,= -1 .

Weil J ( L ) c L und J W = W J erfiillt sind, 1aBt sich auf die Operatoren W' und J der Satz 1.1 anwenden, wobei X=L'(r ) und Y = L sind. Man kann weiterhin zeigen, daB die Einschrankung W j = WIzri : Xi -. Yi ( Yi = ( f ( t ) E L : (Jf) ( t ) = A j f ( t ) } , j = 1 , 2 ) des Operators W die gleichen Eigenschaften wie der Operator Ki : L2[0, 11 +Li besitzt, weil ein linearer stetiger und stetig invertierbarer Operator Pi existiert mit PiWjP;'f= Kif . Der Beweis der ersten Aussagen des Satzes 5.1 folgt nunmehr sofort aus Satz 1 .1 . Die letzte Aussage des Satzas 5.1 wird wie ejne analoge in Satz 3.1 bewiesen. Fur deli Beweis des Satzes 5.3 sind einige zu- satzliche Betrachtungen uber den Index notig.

Die Aussagen der Satze 5.1 - 5.3 wurden unserer Meinung nach in der Literatur bisher nicht veroffentlicht.

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DDR - Karl-Marx-Stadt Techniache Hochschule Bektion Mathematik Reichenhainer Straje 41