l~ber Funktionen mehrerer Veriinderlicher, die nach jeder einzelnen Ver~nderlichen stetig sind.

Von

Hans Hahn in Bonn.

Ist die Funk~ion f ( x l , x~ . . . . , x,,) stetig naoh jeder einzelnen ihrer Ver~nderliohen bei Festhaltumg aller iibrigen, so ist sie, wie H. Lebesgue gezeigt hat, yon hSchstens ( n - 1)-ter Klasse, und zwar kann sie wirklieh yon (r~ -- 1 )-ter Klasse seinl). Insbesondere ist also jede Funktion f( xl, x,. ), die s~etig ist naoh x 1 bei festgehaltenem x~, und ste~ig naeh x~ bei fest- gehaltenem x 1 yon hSchstens erster Klasse, und mithin nach dem bekannteu Sa~e vo~ R. Baire nut punktweise unstetig. Es l~Bt sioh aber noeh mehr b eJaaupten~): Au~ jeder Geraden x~-~ const. (ebenso auf jeder Geraden x~=oonst..) Hegen fiberall dicht Stetigkeitspunkte yon f ( x~ , x~), d .h . Punk~, in denen f'(x~, x~) stetig ist als Funktion des Punktes (x~', x.~).

Obwohl' nun eine Funktion zweiter Klasse im allgemeinen nieht mehr punktweJse unstetig ist, gilt dies doch noch, wie R. Ba i r e gezeigt hat~), fiir Funktionen f ( x l , ~ , xs) , die naoh jeder der drei Ver~nderliehen stetig sind; auch bier liegen die Stetigkeitspunkte sogar dicht auf jeder Eben~ x~ ~ const. (i ~ 1, 2, 3). Dooh kann es zu den Koordinatenachsen par~llele Gerade geben, deren s~mtliche Punkte Unstetigkeitspunk-te yon f (x~, x , , xs) sin&

Der Beweis, den Herr Ba i re fiir diese Behauptungen gibt, ist wohl auf den Fall n > 3 nicht anwendbar. Im ~olgehden sell aber gezeigt werden, daJ~ analoge Tatsaehen allgemein gelten, was bei de rmi t wachsen- dem n waehsenden Klasse yon f zun~ehst vielleiaht nicht zu erwartea schien: ist die Funktion f ( x l , x~, . . . , x ,) stetig nach jeder ihrer n Ver- ~nderliehen, so ist sie nut punktwdise unstetig, and ihre Stetigkeitspunkte

z] H. Lebesgue , Journ. de m~th. (6) 1 (1905), S. 201. ~) R: Baire , Ann. di mat. (3) 3 (1899), S. 27; E; B. Van Vleok, Am. Trans.

8 (]907), s. 198. s) R. Baire, a. a. O.e), S. 95.

H. I~ahn. t~ber Funk~sionen mehrerer Ver~ndedieher. 307

liegen sogar auf jeder Ma~migf~ltigkeit x~= coast. (i = 1 , 2, . . . . n) dicht. Doch kann es zu den Koordinatenachsen parallele ~Iannigfa-ltigkeiten yon

- - 2 Dimensionen geben, deren s~mtliche Punkte Unstetigkeitspunkte yon f ( x~, x~, . . . , x ,) sind.

Wit be~eichnen die Y[enge a[ler Punkte (zl, x~, . . . , x,) als den ~ , , die M~onge a]]er Punkte (x~, x~ . . . . . x,_~) ats den ~/~-1. Dabei heist der Punkt (xl, x ~ , . . . , x ,_ l ) die Projektion des Punktes (vcl, x, . . . . , as~) in den ~ - ~ .

In bekannter Weise nennen wit eine Punktmenge des ~R, (des ~ - 1 ) o/fen im ~,~ (ira ~ _ ~ ) , wenn ihr Komplement zam ~ (zum ~7~-z) ab- geschlossen ist. U nter einer Umgebung des Punktes a verstehen wit eine of[ene, a enthaltende Punktmenge. Nach dem Vorgange yon R. Baize nennen wit eine Menge yon erster Ka~egorie im ~ (ira ~ _ ~ ) , wenn sie Vereinigung abz~albar vieler im ~ (ira ~R~_,) nirgends dichter Mengen iSt.. Eine Menge, die nieht yon erster Kategorie. ist, heist yon a~e~ter KaSego~ie. ffe~le o/~ene PunkSmenge ist yon zweiter Kategorie.

In bekannter Weise definieren wit die Borelsohen Mengen ~[urah die Festsetzung: B orelsche Mengen ersfer Orc[nung'si-nd die abgc~trIossealen und ottenen Punk~tmengen. Is{ a eine Ordin~lzahl der emten oder zwei~en Zahlklasse, so sincl die Bo~eIsc~e~ ~engen c~-ter O~chlung die Ver- einigungen und Durchschnitte ]Borelscher Mengen geringerer Ms a-ter Ordnung, sofern Sie nicht selhst, von geringerer MS a-~er Ordnung sind.

Ebenso definieren wiZ die Baireschen Fu~k~onen dutch die Fest- setzung: Bairesche Funkt ioaen imtlter Klasse sind die s~etigen Funk- tionen. Ist a eine Ordinalzahl der e~ten oder zwei~en Z ~ e ~ so sincl die Baireschen Funlct~n~n ~-ter Klasse die Grenzflm~ionen konvergent~r Foigen yon Ba[~esohe~ Funk~ionen ge~ingerer ais ~-ter K~as,se, sofern diese Grenzfunktionen nicht selbst yon geringerer "als ~'-ter Klasse sind.

Es gilt der Satz~): Is~ ~B e~ne Borelsohe Menge zwei~er Kategorie, so gibt es eine o//ene Menge ~, derart, daft g~e Menye aller ~oht zu

geh6rigzn Punkte yon 9~ yon erster Kategorie is~. ~n der Tat, ist ~ eine B orelsche Menge, ~so is~ die Funk~on f, ~ e gleich

1 is~ a.nf ~ , spns~ .gleich 0 eine Bairesche Funkt~pn~), u~d mithia ~) punk~- ~reise m~et~g bei ~'er~aohl~,sigung ~o~l~engen erster ~a~egorie. Es :gibt also eine punktweise unstetige Funktion f * , die sioh yon f nut in den Pnnk~en einer Menge ~ ' erster ~ t e g o r i e unterscheiclev, Well f * punch,

~) H. Lebesgue, Jourm de math. (6) 1 (1905), S. 187. ~) H. L e b e s g u e / a ~ a. 0. ~), S. 168. ~) R_ B~ire, Aota math. 30.(190~), S. 27.

Mathematisclx@ Zei~chris EV

808 I-I. ttahn.

weise unstetig, ist auch die Menge ~" aller Unstetigkeitspunkte yon [* yon erster Kategorie, und mithin auch die Vereinigung:

~ - _ _ _ ~ ' ~ " .

Da ~ yon zweiter Kategorie, gibt es Punkte yon ~ , die nicht zu ~ ge- hiire~. Jeder solehe Punkr a ist ein Stetigkeitspunkt yon f* und es ist dort:

f*(a) = f ( a ) = 1. Also gibt es eine Umgebung 9J yon a, in der:

f * + O . Da slob. f and f* nut in einex Menge erste r Kategorie unterscheiden, bildet die Menge aller Punkte von 9/, in denen f = 0, d.h. die nicht zu

geh5ren, eine Menge erster Kategorie, and die Behadptung ist bewiesen.

Satz I: Ist die Fun]ction f (x I, x 9 . . . . , x~) 8tatig nach ~eder einzelnen ihrer Yergnderlichen, ist Z~ irgendein ~ester Weft yon x , und sind e und p Tositive Zahlen, 8o ~st die Menge aller Punkte des ~n-1, in denen:

(1) [ f ( x , , x . ~ , . . . , x . _ ~ , x . ) - f ( x j , x ~ . . . . . x ~ _ ~ , ~ x ~ ) l < = ~ r l x . - ~ . l < e,

eine Borelsche Menge.

In der Tat, seien:

die rationalen ZaMea des IntervaUes I x, -- ~ i < ~, und sei ~ die Menge alle~ Punkte des ~ - 1 , in denen:

(~) ] f ( , ,1 . = , . . . . . =...-,. , . ) - f ( . ~ . , , . . . . . . . . : , . - . . ,c,.) I < , -

Da f and mithLn auch f ( x 1, x , , . . . , x , _ , , r , ) - f ( x 1, x,~, . . . , x , _ , , ~ , ) yon hSchstens ( ~ - - 1 ) - t e r Klasse, ist ~ , gewi~ eine Borelsche Menge. Daher ist auch der Durchschnitt:

~ = . ~ . ~ . . . . . . ~ , . . . .

eine Borelsche Menge. Dieser Durchschnitt ~ aber ist gerade die Menge aller ~ur~te des

~,_~, in denen (1) gilt. In der Tat, jeder solche Punkt gehSrt offenbar zu ~J~. Umgekehrt, gehSrt der Punk-r (x~, x,, . . . , x~_l) zu !)~, so besteht (2) flit atle ~; und da die r, im 'Intervalle ! x , - ~ ~,l dicht sind, gilt wegen der 8te~igkeit yon f nach x, auch (.1). Damit 'ist Satz I 'bewiesen.

Satz I i : Ist die ~'unktion f (x 1, x~, . . . , x~,) stetig nach ]eder ein- zelnen ihrer Yerdnderlichr so gibt es zu ]edem e > 0 in ]eder Um- gebunq ]edes Punktes ( ~ , ~ , . . . , ~,) eine (ira ~ , ) o/]ene Menge, in der Jberall, abgesehen yon einer Menge erster Kategorie, die Ungleichung gilt:

(s) i f ( , , , , , , . . . , =,) - f (~ , , =.,,,..., ~.)} <= ,.

Uber t~'unktionea mehrerer Ver~inderlieher. 309

Wit fiihren den Beweis (lurch vollst~ndige Induktion. Die Behauptung ist richtig f i i r n = 1; denn dann ist f (x~) eine stetige Funktion yon x 1 und es gibt daher zu jedem 51 und zu jedem e > 0 eine Umgebung yon 51, in der i~berall:

! f ( ~ l ) - - f (~ l ) ] < ~.

Angenommen, die Behauptung sei richtig flit Fulaktionen yon n - - 1 Ver- ~nderliohen. Die Funktion f ( x j , x~,. :., x,_~, ~ ) ist eine solche. Be- deutet also U,_I eine beliebig vorgegebene Umgebung yon (51, x~, _. , 5._1 ) im ~ - 1 , so gibt es naoh Annahme in 1I ,- i eine (ira ~ - 1 ) offene Punkt- menge ~ _ 1 , in der, abgesehen yon einer Punktmenge ~,_~, die im ~c~_~ yon erster Kategorie ist, die Ungleiehung bes~eht:

8

Zu jedemPunkte (x~, x~ , . . . , x~-l) gibt es nun, w.eil f aIs Funktion yon x, stetig ist, ein o > 0, so da$:

Sei nun ~(~) die Menge aller Punkte yon $i,,-i, flit die ~eses ~ ~ 1

gew~hl~ werden kann. Dann is~ 9/~_~ die Vereinigung aller ~(~):

~ - ~ = ~ 1 ~ 4 ~ > 4 - �9 .. ~- ~C;~ 4_ . . .

Infolgedessen kSnnen nicht alle ~c,,~ yon erster Kategorie (ira ~ _ ~ ) sein; denn sonst wire es auoh ihre Verein~mg 9/f~_1, im Widerspru~e zur Ta~saehe, da$ eine offene Menge niemals yon erste~ Ka~egorie 'ist.

Sei also ~(~) nic]~t yon erster, und mithin yon zweiter Katego~ie. Nach Satz I i s t ~(') eine Borelsche Menge. Daher gibt es einen offenea Toil ~ - x yon ~ - 1 , so dal] die Menge

aller nich~ zu @(~) gehSrigen Punkte yon ~ - i , yon erster Ka~egorie (ira ~ - 1 ) ist. Daher is~ auch die Ve~einigung:

yon erster Kategorie im [}~- l . Infolgeclessen ist auch die ~engr ~ , albr Punkte des ~ , , deren Proje~ion in den ~c~_~ zu ~ _ ~ gehSrt, yon erste~ Kategorie im ~=.

W b bezeioknen nun mi~ q~ die of~ene ]~enge alle~ ]ener Punk~ des ~ , deren Projektion in den ~ _ l zu ~ _ i gehSrt mid deren ~- te Koor- dina~e ~, der Ungleichung geniigt:

i < i

21"

310 I-I. ttahn.

In jedem nioht zu ~0~ gehSrigen Punkte yon ~ ist dann wegen (4) ~ a (5):

If(x1, x . . , . . . , x,) - f (~ l , x~, . . . , e , ) ! s

und cl~ ~ von ersger Kategorie, is~ Satz II bewiesen.

Sa tz III . Ist die Funktion f ( x 1, x,~,.. . , ~,~) stetig nach jeder ein- ze~en ihrer Ferdnderlichen und .punktweise unstetig als Funktion yon (x 1 , x~ , . . . , x~ ) , so gibt es zu ]edem e > O in jeder Umgebung #des Punktes (~.~, ~ , . . . , ~ ) eine (im ~,,) of/ene Menge, in der i2berall Un- gleichung (3) gilt.

Sei in der Tat 1I~ eine beliebige Umgebung yon (xl, x,~,.- . , x.) im ~ . Nach Satz I I gibt es in l/~ einen offenen Tell 9~, in dem abge- sehe~ yon einer Meng~ ~ ' ers~er Kategorie:

f f (x~, x~,. .... x,~) - - f (x~, x ~ , . . . , Z,,)l s -~-.

Da f plm~weise unstetig, ist auch die Menge ~ " aller Unstetigkeits- punkte yon f yon erster Kategorie. Also ist auch die Vereinigung ~ ' -~ -~" yon erster Kategorie. Und da ~ often, gibt es in 2 Punkte, die nicht zu ~ ' 4- ~" gehSren, d. h. Stetigkeitspunkte (x~, x~, . . . , x~) yon f, in denen:

.r . X v (6) I f ( x ; , x~, . . , , ) - f ( ~ , ~ , . . . , ~ ) i ~ ~. ! P , Da f stetig im Pur~te (xl, x~, . . . , x~), gibt es eine Umgebung dieses

Punktes, in de~:

(7) If(x~, x, , . . . , x , ) - - f ( x / , ~;, . . . , x~)[ __<~.

.(us (6) und (7) aber folgt (3), und Satz I I I ist bewiesen.

Nun gelangen wit zum eigenthchen Ziele dieser Untersuchung:

S a t z IV. Ist die _~unktion f(x~, x~ , . . . , x~) stetig nach ]eder ein. z~lnen ihrer Ver5nderlichen, so i~t sie Tunktweise unstetig al~ l~unl~tion yon (xl, x:, . . . , x.); und zwar gibt es zu ]edem ~,~ eine im ~t~_~ dichte Menge yon Punkten (x~, x ~ , . . . , x~_~) derart, daft f stetig ist im Punkte ( ~ , ~ , . . . , ~ -~ , ~ ) .

Wi~ ~hren den Beweis dutch vollst~ndige .Indul~ion. Die Behaup- hmg ist riehtig flit n = 2, wie zuerst yon R. B a i r e bewiesen wurde. Wit nehmen sie als bewiesen an ~ Fun]~donen yon r~ -- 1 Ver~inclerlichen. MS~ o)(x~, ~ , . . . , ~ ) bezeictmen wit die" Sehwankung (den Unstetigkeits- grad) yon f i m ~ n k t e ( ~ , x~ . . . . . x~). Die Unstetigkeitspuakte yon f sind dann diejenigen, in denen:

~ ( ~ , ~ , . . . , ~ ) > 0.

~ber Funktionen mehrerer Verinderlicher. 311

Wit bezeichnen mit 9/(~) die Menge aller derjenigen Punkte des ~ - l , in denen:

o~ (xl , x~, x . _ l , 5~) > 2

Offenbar ist 9/(~) abgeschlossen. Angenommen nun, die Behauptung y o n Satz IV w~re nicer richtig.

Dann gibt es eine im ~ - i offene •enge ~, so dab flit alle (xl, x~, . . . , x~-i) ~rOn ~ :

( s ) ~ (xl , x~, . . . , ~,_1, 5 , ) > 0.

Daraus schlieBen wir: es kSnnen nicht alle 9/(*) nirgends dicht im ~R~_i sein. Denn die Menge 9i,_i aller Punkte (xl, x~ . . . . . x~-l) des .~ -1 , fiir die (8) gilt, ist die Verein~gung aller 9i(*):

Wiiren alle' 9/~) nirgends dicht, so w~re 9~_ 1 yon ers~e~ Kategorie im 3%-i, kSnnte also -- entgegen unserer Annahme -- nioht den ot~enen T~I ~ enthalten.

Es gibt also ein 9/(~1, das nicht nirgends dicht im ~ - i ist; mindestens ein ~(~) ist also dieht in einer ,(im ~ - l ) offenen Menge ~ - l , und ent- h~il~ dann, well abgeschlossen, alle Punkte yon ~ - l ; mit anderen Worten: es gibt ein ~ > 0 und eine im ~,-1 o//ene Menge ~ - i , ~o daft/i~r atle ( x ~ , x ~ , . . . , x . _ ~ ) , ~ o n ~ - 1 :

(~) ~ (~1, x~: . . . , ~,~_,, ~ , ) => 2 ~.

Nun ist aach Annahme f ( x i , x,, . . . , x~-l, 5,) als Funktion yon (x~, x~ , . . . , x~_~) punktweise unstetig. Es gibt also gewi$ in ~,-1 einen Punkt (51, 5~, . . . , 5~_~), in dem f(z~, x~ , . . . , x ~ , 5,) ~e~ig is~ als Funktion yon (x~, x~, . . . . x~_l)'. Dann abet gibt es aueh eine Umgebung

von U._ 1:

(1.0) j f ( z ~ , ~ , . . . , x , - ~ , 5 , ) - - f ( % , % , . . . , ~ , - ~ , 5 , ) l < ~.

Wit nehmen die Umgebung l~_l so klein an, da~ sie ganz in ~ , - i liegt.

Sei nun ~ - i irgende~ ottener Teil yon l~ - i , uncY sei r > 0 be- lieb~g gegeben. Wi~ bezeichnen mit ~ die Menge aIler Punk~e (x~, x.~,..., x~) des ~ , , deren Projektion in den ~ _ ~ zu ~ - i gehSrt, und flit die

x ' ' . . . x~,_l) ein beliebiger Punl~ yon ~),_~, so gilt Ist ~nun ( i, xs, , zunichst weg~n ,(10):

(.11) I f (x; , x . . , . . . , x,5~, ~ ) - f (% , x t . , . . . , z,,_~, e,)} < ~-.

312 H. Hahn,

Da ferner ~)~-1 ganz in 1I,~-I und 1/~_1 ganz in (E~-I liegt, gilt im , v . . X ' Punkt6 (xl, %, ., ~_~ Ungleiehung (9), und es gibt daher in ~ einen

�9 . Z , ' q Punkt (z~', x~', ., - t , so dab

(12) I f ( z ; ' , x ~ ' , . . . , x g ) - f ( x ; , x ~ , . . . , x ~ _ ~ , z , ) [ > - ~ &

. . . , x"~ als Fun1~ion yon Naeh Annahme ist f ( x l , x~., x ~ - l , . ,

(x~, x~, . . . , x , - 1 ) punktweise unsteVig. Nach 8atz I I I g ibt es also in ~3,-x eine (im ";J~n-l) offene Menge @~-l, so da$ fiir alle (xl, x: . . . . , x~-t) a u s ~ - 1 :

x ' ' ~ - f ' ( x ~ , x ~ , . . x~--1, ~ J i 5-" (13) { f ( x ~ , ' x ~ , x ~ - l , ,, j ., =

Aus (11), (1.2), ( la) mm folg~ f~r alle (z, , a:., . . . , x,~_~) aus ~_~: 2a

I f (a : , , x . ,~ , . . . , z , , _ , , x " ) - f ( ~ , , y.,. . . . . , ~ , - ~ , ~,,)I > -~ �9

Und da in allen Punl~en (x~, x~ . . . . . x ,_,) yon @2-, (10) gil~, so ist welter :

(14) [ f ( x , , x ~ , . . . , x , ~ _ , , z ~ ' ) - f ( ' x , , a ~ , . . . , : ~ , , _ , , 5 , , ) ! > V q .

Wit sehen also: ist ~ > 0 beliebig gegeben, so gibt es in jedem offenen Teile ~ . - i yon 1t~_1 einen offenen TeiI ~n-~, in dessen s~mtliehen Punkten fiir ein der Ungleichung:

gen~endes x~' Ungleichmag (14) erfiillt ist.

D a m m f stetlg, naeh x. ist, gibt es zu jeclem Punkt (x~, x~.,.. . , x~_~) aus I~_i ein ~ > 0, so dab

z )l <_a

I=..- < o.

S e i l/,_~,e die Menge aller jener Punkte yon ll ,_t, in denen dieses ~ ~ 0 gewihlt werden kann, in danen also (15) fiir Ix. -- ~ t < e gilt. Naeh dem eben Bewiesenen ist dann'(fiir jedes 0 > 0) lI ,_,,e nirgends dieht in 1%~_,. Das abet is~ unmSglieh, denn da:

ist, so w/ire ll.-i yon ers~er Kategorie (ira ~ - r ) , was nicht tier Fall ist, da 1~_~ oRen (ira !~_~) ist. Damit is~ Satz IV bewiesen.

Ist d ~ gezeigt, dab eine Funktion f ( x ~ x~, . . . , , ~,~), die nae~a jeder Ve~z~derliZhsn S~etig ist, attf jeder ( n - 1)-dimensionalen Mannig-

f a l g g k ~ x~ == const. (i = 1, 2, . . . n) Stet~keitspunkte besitzt, so erkermt man augenblield, ieh, dab simfliche PunkCe einer ( n - 2)-dimensionalen

Uber Funktionen mehrerer Ver~inderlicher. 313

Mannigfattigkeit x~ == const., xj -~ const. (i, ~"-~ 1, 2 . . . . , n) Unstetigkeits- punkte von f sein kSnnen: in der Tat, sei g(xl, x~) stetig nach x 1 und stetig nach ~ce, abet unstetig als Funktion yon (x~, x~) im Punk'Ce (0, 0). W i t setzen:

f ( x ~ , ~ , . . , , ~ . ) = g ( ~ . ~ . ~ ) ~ ane x~ . . . . , ~ . .

Damn ist f sbetig nach jeder seiner Ve~nderlichen, abet u~s~etig als Funktion yon (xl, x~ . . . . , x~) in allen Punkten der (n -- 2)-dimensionalen Mannigfaltigkeit xl ~--- 0, x,~ = 0.

(Eingegangen am 1. M~rz lg19.)