Über implizite Inklusionen und Bifurkation

Math. Nachr. 128 (1985) 255-270

uber implizite Inklusionen und Bifurkation

Von A. LANQENBACH in Berlin

(Eingegangen am 15.2.1984)

1. Im folgenden sind X , Y BAXACH-Raume, g ( X , Y ) der BmAcH-Raum der linearen beachrankten Operatoren von X nach Y , 2 ein met,rischer Parameterraum mit der Metrik p . Mit 9(u, E ) , @(u, E ) bezeichnen wir die offene bzw. abgeschlossene Kugel in diesen Raumen mit Zentrum u und Radius E . Ferner sind U(zO), V(z0) Umgebungen von a? in X bzw. 9 in 2; mit 2 bezeichnen wir die Potenzmenge von Y . Die Inklusionen formulieren wir mit Hilfe von Operatoren

F : U(xo) x V(z0) -+ Y G: U(xO) X V(zO) 3 Y

K(., z ) : U(Za) + 2' fur alle z E V(zo)

(differenzierbarer Anteil),

(LrpscHITzstetiger-Anteil) sowie

(mehrdeutiger Anteil).

Wir untersuchen Inklusionen der Form

(1.1) w, 2) + G(z, 2) + K ( x , 2) 3 0.

Satz 1. Die Operatoren in (1.1) m6gen folgen.de Bedingungen erfiillen: i) F(x0,zO) + a(#, zo) + K(xo, zo) 3 0. ii) Es existiere die partielle FkzicHET-Ableitung

aF 8X -: U(#) x V(z0) --> 2 ( X , Y ) .

aF iii) Die Operatwen F , - sind stetig i n (zO, zo).

iv) Es gilt die Abscmzung ax

llG(2, 2) - G(s', z')il 5 a 1 1 ~ - x*ll + Be@, 2')

fur (x , z ) , ( x l , 9) E U(x0) x V(zo) mit a , B E 3, a hinreichend klein.

(5, z ) E U(xO) x V(z0) derart, dap die inversen Ahbildungen v) Es gibt Erweitemngen x(., z ) : X --t 2 y , z E V(zO), E(z, z ) = K ( x , z ) fiir alle

mit R, : Y -+ X LnswTz-stet ig sind mit einer LIPscHmz-Konstante von z E V(z0) abhcingt.

L > 0, die nicht

256 Math. Nachr. 128 (1986)

aF vi) Die Abbildung V ( 9 ) 3 z -+ Raw iat stetig in zo fur w = wO:= - (20, 20) 20

Dann gibt es Zahlen r 2 r1 > 0 und a. > 0 derart, dap fur u E [0, ao] zu jedem z E E(z0, r l ) genau ein Element x(z) E @(fl, r ) existiert, we2che.s die Inklusion F(z(z), z) + G(x(z), z ) + K(z(z) , z) 3 0 erfiillt. Die AbbiZdung z: 8(zo , r l ) 3 X ist dabei stetig in z0.

ax - F(x', 2') - G(X", Z").

Beweis. Wir setzen zunachst

aF g(z, z ) := - ( 9 , z O ) (z - f l ) - F(x, 2)

ax

und formen (1.1) iiquivalent um :

aF g(x, z ) - Q(x, z ) + - (20, zo) 201.

ax

Beriicksichtigen wir noch die Bedingung i) in der Form

aF zO) - a(#, 20) + - (xO,ZO) f l ] ,

ax

so erhalten wir schlieBlich die aquivalente Gleichung

aF g(z, 2 ) - G(x, z ) + - (xo, zo) 201

ax (1.3)

=: 20 + T(x, 2 ) =: T,(z, z ) ,

auf die wir den Bmacmchen Fivpunktsafz anwcnden konnen. Zu diesem Zweck nehmen wir z E @(fl, a) , z E 8(zo, a) mit hinreichend kleinem a > 0 an. Zunachst schiitzen wir den Abstand IITo(x, z ) - 2011 ab. Wir finden aus (1.3) mit g(z0, z ) = --F(xO,z)

llT'O(5,Z) - flll = IIW4 z)ll I ~(llg(x, 2) - dX0, zO)ll

+ JIG(% 2) - G(Z0, z0)11) + II%wO - &@ll 5 L 119(x, 2) - g(fl,z)ll + L IIFW, 2) - F ( 9 , zO)ll

+ L(. 112 - XOII + Be(z, zo) ) + /IR:WO - &W. Aufgrund der Bedingung iii) fixieren wir a = r > 0 derart, dab fur alle xl, xa E g(so, r ) und z E @(zo, r )

Langenbach, Uber implizite Inklusionen und Bifurkation 257

gilt. Ferner fixieren wir 0 < rl 5 r so, daB die Abschatzungen

r

8L l l F ( f l 9 2) - F ( f l , zO)ll 5 -

sowie

Folglich gibt es zu jedem z E R(zo, r l ) genau ein s ( z ) E @(8, r ) mit

(1.6) F ( W , z) + G ( W , z) + R ( s ( z ) , z ) 3 0. Wir schatzen nun den Abstand llz(z) - fill mit den bisherigen Festlegungen ab und erhalten

+ L IIF(.o, z ) - mo, zO)ll + lIR,d - m4l + LBe(z, $1 bzw.

8 IlW - 811 5 3 [ L llF(fl,z) - F(zO, zO)ll + ll&d - &@I1 + Lfie(z, zO)l

&.L9-H3+ 0, 9. e. d.

Unter zusatzlichen Voraussetzungen ergeben sich fur die Lijmngen der Inklusion (1.1) nach Satz 1 Stetigkeitseigenschaften. Fur 9, za E s(zo, r l ) finden mit den Fest-

legungen aus Satz 1 und wa := g(x(z2), 2%) - G(z(za), za) + - (8, zO) 20 die Abschiit- zungen

aF ax

I l4Z') - s(z2)11

aF zl) - G(z(zl), zl) - (zO, zo) fl]

g(z(z*) , 2') - G(s(z'), z2) + - (8, 20) 1p aF ax 1 17 Math. Nschr. Bd. 123

268 Math. Nachr. 128 (1985)

oder

+ llnzIu12 - x,,w211 + L&(Z’, 2” ) .

Aus der Abschiitzung ( 1.6) gewinnt man unschwer Stetigkeitsaussagen und lokale Wachstumsabschiitzungcn, die wir im Redarfsfall konkretisieren.

2. Inklusion eines Federstabmodells

Wir betrachten das in der Abb. 1 dargestellte Model1 eines Knickstabes. Im unbe- lasteten Zustand sei der Stab mit dem Interval1 0 5 x = s 5 1 identifiziert. Fur ebene Beulformen des belasteten Stabes findet man die Beschreibung vgl. [l]

Abb. 1

8

(2.1) y(s) = J sin y(a) da,

y’(s) + I j s i n y ( a ) da = M,,

0

8

(2.2) 0 5 s 5 1. 0

(2.3) y’(1) = 0.

In dieser Beachreibung ist 0 I. I = P/EI ein zur Last P proportionaler reeller Para- meter ; H,+, ist ein veranderliches der Ausbeulung entgegenwirkendes Lagermoment, welches wir anstelle der sonst iiblichen Einspannungsbedingung

(2.4) Y(0) = 0 eingefiihrt haben. Zur funktionalanalytischen Beschreibung des Randwertproblems (2.2), (2.3) fuhren wir den SoBoLEwschen HILBERT-RaUm W:(O, 1) mit dem Skalar- produkt

(2.6) 1

(v, Y)l := (v, d o + (v’9 Y70; (v, Y)O := J vb) Y ( 8 ) ds 0


ein. Es gilt Wi(0, 1) C([O, 13) mit, vollstetiger Einbettung, 80 daD die Gleichung (2.2) fur Elemente y E Wi(0 , 1) sinnvoll formuliert werden kann. Man ersieht unschwer, daS fur jede Lijsung y E Wi(0 , 1) der Gleichung (2.2) in Wirklichkeit y E Cw([O, 11) gelten muB, so dell die Randbedingung (2.3) ebenfalls sinnvoll ist. Im HILBERT-Raum Wi(0, 1) schreiben wir das Randwertproblem (2.2), (2.3) als Inklusion

(2.6) y + (1 + 4 Ly + 1.By + K y 3 0

(Lw, Q))1 = -(Y, v)o, mit den Operatoren L, B : Wi(0, 1) -+ Wi(0, l),

(2.7)

fur alle p E Wi(0, 1).

darstellung

(2.8). m E K y H m = M,6; 6 E Wi(0, l ) , ( d , ~ ) ) , = p(0) Vp, E W:(O, 1) .

Zur vollstiindigen Beschreibung benotigen wir noch ein Materialgemtz, welches das Moment M , E 8 mit der Auslenkung y(0) verknupft. Wir denken uns dieses Gesetz durch eine Abbildung

(2.9) g : 8 -+ 2", g maximal monoton, g(0) 3 0, und fordern

(BY, Ql)1 = (Y - sin Y, Q))o

Fur den mehrwertigen Operator K : Wi(0,l) --f 2w:(0-1) schreiben wir in der Graphen-

M , E g(w(0)).

Mit Hilfe geeigneter Testfunktionen laBt sich zeigen, daB die Beschreibungen (2.2) (2.3), (2.10) und (2.6), (2.7), (2.8), (2.10) iiquivalent sind. Die Inklusion (2.6), (2.7) besitzt offensichtlich die Losung y = 0 fur alle Parameterwerte t E 8. Wir auchen nach weiteren Losungen sowie Bifurkationspunkten. Eine besondere Rolle spielen in dieaer Untersuchung die in Wi(0, 1) orthonormierten Eigenfunktionen yk des linearen Anteila der Inklusion (2.6),

(2.11) Sei

(2.12) e&) = zk cos km, 8 E [0, 11, E = 0, 1,2, ... mit z,, = 1, Zk = fi fur k = 1,2, ...

ziehungen

V& + (1 + A&) h& = 0.

Das System (2.12) ist vollstiindiges Orthonormalsystem in L,(O, 1). Wegen der Be-

( e k , ejh = (k%' + 1) (erj ello

ist das System OD

eo (2.13) {Y&I&=O =

ein vollstiindiges Orthonornialsystem in Wi(0, 1). Man kann zeigen, daB der durch die Beziehungen (2.8) -(2.10) definiert,e Operator

K : Wi(0 , 1) --f Zw:(O.l) maximal monoton ist. Diese Eigenschaft legt den Gedanken nahe,

17*

260 Math. Nachr. let? (1985)

Satz 1 uber implizite Inklusionen ahnlich wie in dcr analytischen Bifurkationstheoric fur die Reduktion eines Bifurkationsproblems auf eine endlichdimensionale ,,Verzwei- gungsinklusion" zu nutzen. Man kann dicsen Gedanken auch allgeinein formulieren iind Bedingungen angeben, warm er durchfiihrbar ist. Der groaeren Anschaulichkeit wegen bleiben wir bei unsercni speziellcn Problem.

3. Zwei Beispiele Das Bifurkationsproblem (2.6) besitzt keine ,,verniinftige" Linearisierung. Um

trotzdem cine Vorstellung uber die mogliche Lage von Bifurkationspunkten zu gewinnen, betrachten wir zwei ,,mechanisch" begriindete Beispiele.

3i. Weiehe Lagerung. Sei

(3.1) Wir betrachten das Randwertproblem

(3.2)

Dims Randwertproblem besitzt den Bifurkationspunkt & = 0 mit dem stetigen Zweig = comt. Fur 161 < lo geniigen die Funktionen yo(Ao) E W:(O, 1) auch der Inklusion (2.6). Der Wert 1, = 0 ist damit auch Bifurkationspunkt der In- klusion (2.6) mit der speziellen Materialfunktion go.

go([) = 0 fur 5 E (-to, to) und ein lo > 0.

~ " ( 8 ) + 1 sin y(s) = 0, y'(1) = y'(0) = 0 .

(s) =

3ii. Harte Lagerung. Wir nehmen die Bedingung

gm(0) 2 (-lo, lo) fur ein lo > 0 (3.3)

an und betrachten daa Randwertproblem

(3.4) Mit Methoden der analytischen Bifurkationstheorie kommen wir zu dem folgenden Resultat :

1- = n2/4 ist Bifurkationspunkt dea Randwertproblems (3.4) mit einem nicht- trivialen (analytischen) Zweig ym(l), 1 E V(1,), IIym(A)lll a 0. Es gilt &,(A) (0)

= 1 8l so klein wahlen,

da8 IyL(1) (0)l < to gilt. Dann sind die Funktionen y,(A) E Wi(0 , 1) auch Losungen der Inklusion (2.6). Der Wert 1, ist damit auch Bifurkationspunkt der Inklusion (2.6) rnit der speziellen Materialfunktion gm.

Diem Beispiele legen die Vermutung nahe, daB ,,mittelweiche" Lagerungen Bifur- kationspunkte

y"(e) + 1 sin y(s) = 0, y'( 1) = y(0) = 0 .

1

sin ym(A) (s) ds. Wir konnen daher die Umgebung V(Am) 0

(3.5) 1, E (0, nS/4) hervorrufen konnen.

4. Reduktion der Inklusion des Federstabmodells Die im vorigen Abschnitt behandclten Beispiele legen die orthogonale Zerlegung

( 4 4 Wi(0, 1) = 2(1) + w;

Langenbach, lfber implizitc Inklusioncn und Bifurkation 261

mit

(4.2) w; := (2 E Wi(0, 1); (2, 1)1 = 0)

nahe. Es sei &: Wi(0, 1) -+ @; der entsprechende Orthoprojektor. Der Zerlegung (4.1) genial3 schreiben wir

(4.3) Y ( S ) = B, * 1 + q 4 = B + z(s), s E [O, 11,

niit B deutig bestimmter Lijsungen z(B, 2 ) E I?'; der Inklusion

83 und 2 E I?';. Die Itedoktionsaufgabe bevteht in der Konstruktion lokal ein-

(4.4)

(4.5)

&{(id + (1 + 2.1 L) ( B + 4 + W B + 4 + K(B + .)} 3 0,

die fiir ausgezeichnetc ?. 2 0 den Grenzwert

lim x(B, I ) = 0 B+o

ergeben. Zur Anwendung von Satz 1 auf die Reduktionsaufgabe setzen wir

x := Y := w;, 2 := %, xo := 0, z := B E 8, 2 0 . - .- 0,

F(x , 4 := F%, 4 := &{(id + (1 + 2.) L) ( B + 4 + W B + 4}, G ( x , Z) := 0,

K ( x , z ) := QK(B + x) fur x c wi und B E 83,

wobei iibcr I E 83 spater noch verfiigt werden sol1 und fiir K(x , z ) E 21;: auch die leere Menge 0 als Wert zugelassen ist. Aus (2.9) folgt

i) (4.6) F'(0,O) + K(0,O) 3 0

bei beliebiger Wahl von I E 8. Es gilt fcrner aF2

ax ii) - (2, z ) E B(IQ, @) fur alle (2, z ) E P i x 8, I E 8,

= (v' , 2 ~ ' ) ~ - ~ ( c o s (B + 2) v, w ) ~ fur a11e x, v, w c W i , z E 8, I E 8. iii) Es gelten die Grenzwertbeziehungen

lim Fa(%, z ) = Fa(O, 0) = 0 Z+Z'

und

v) Zur Oberprufung der Existenz der Operatoren R:: #'; + @; legen wir im Pare- mctcrranm cine beliebige Nullumgebung V(zo) = V(0) fest. Die I-Werte schriinken wir jetzt m f das Interval1 [0, n2 - 71 ein, wobei 7 eine beliebige kleine feste positive Zahl ist..

Sei f Wi(0 , 1); mit dem in Wi(0, 1) vollstandigen Orthonormalsystem (2.13) schreiben wir

m & - I k=O &-0 1 + A& f == (f, Y&)l Yk, (id + (1 + 2.) L) f = - ( f , v k ) l vk (4.8)

262 Math. Nachr. 128 (1986)

und erhalten daraus eine Ungleichung speziell fur f E pi:

Wir zeigen nun, da13 die Operatoren

K(., z ) : IPi -+ 2;; fur alle z E ~ ( z o )

maximal monoton sind. Aufgrund eines allgenieinen Ergebnisses [ 31 existieren dann die

Operatoren Rt := [- (0, zo) + K(., z ) ] , R:: @ --f ft:, sind nPscHmzstetig mit der

von z E v($) und 1 E [o, n2 - q] unabhangigen LIPscHITz-Konstante

-1

ax

1 + ?9 (4.10) L := -.

rl

Fur v , w E Pi, mu E K(v, z) , m, E K(w, 2) gilt

(m,l - VlLLr, 21 - w)1 = (JfB+u - MBf,) (B + v(0) - B - 40)) 2 0

fur MB+rr E g(B + v(O)), MBfW E g(B + w(O)), vgl. (2.9), (2.10). Der Operator K(., z ) : f t t --t 2;; ist folglich monoton fur alle z E V(z0). Zum Nachweis der maximalen Mono- tonic ist die Lijsbarkeit der Inklusion

(4.11)

fur rtlle x E schreiben wir

a. h. (4.12)

Aus (4.12) erhalten wir die Beziehung

K(v, z) + v 3 x in pi und beliebige Paranieterwerte z E V(zo) zu zeigen. Mit w := v - x

w + QW + x + w) 3 0,

w = -MQS mit M E g(S + ~ ( 0 ) + w(0)) .

Ilwll: = Ma IlQSll: = --Mw(O),

folglich mu13 die Zahl M der Inklusion M E g(fl + ~ ( 0 ) - M llQS11:) genugen. Wir setzen 5 := ,!I + ~ ( 0 ) - M /@3# und erhalten die Bedingung

(4.13) B + X(0) E 5 + llQ4l; 9(8- Wegen IIQSlll + 0 und der maximalen Monotonie von g : 9l -3- 2w besitzt die Inklusion (4.13) genau eine Losung 5 E 3. Mit der Zahl

l + A > o t - I. l) Die Funktion t -+ - , t > 0, ist differcnzierbar und besitzt die Ableitung t -+ ~

i + t (1 + tY fiir t > 0, wiichst daher streng monoton.

Langenbach, uber implizite Inklusionen und Bifurkation 263

sind dann die Beziehungen (4.12) erfullt, somit ist die Funktion

(4.14) v = x - M Q d

die eindeutig bestimmte Losung der Inklusion (4.11).

vi) Wir haben nun die Stetigkeit der Abbildung z -> RruP in ZO = 0 mit

aFA (4.15) UP := - (0,zo) 0 - P"0,zo) = 0

ax

zu zeigen. Das Element RiO = RiO ist die eindeutig bestimmte Losung v(B, A) der In- klusion

(4.16) (id + (1 + 4 L) v + Q W B + v) 3 0,

lim Ilv(B, A)ll l = 0

w(B, 2 ) E *;, fur die die Grenzwertbeziehung

(4.17) P--to

nachzuweisen ist. A E [0, na - g ] bleibt dabei beliebig fixiert. Die Inklusion (4.16) schreiben wir in der Form

(4.18)

iMit

v + (1 + 1) LV + 4196 = 0, M E g(B + ~(0)). llid + (1 + J.)LII = sup (w + (1 + 4 h, w)1

llwll1= 1

Ilwll1=1 = sup Wll: - (1 + 2,) Ilwll3 4 1

ergibt sich aus (4.18) die Abschatzung

Andererseits folgt aus (4.9) und (4.18)

5 (v + (1 + A) Lv, V)l + M(B + v(0)) = HB d IMI 1 / 4 3

also

unabhangig von 1 E [0, n2 - 7,1].

Die Reduktionsaufgabe laat sich damit vollstiindig losen: Zu jedem I E [0, n2 - 771 gibt es eine Umgebung V,(O). & '3 derart, daI3 die Inklusionen (4.4) lokd eindeutig bestimmte Losungen x(b, A) E I?'; fiir

Fur die Umgebungen V,(O) sowie fur das Grenzwertverhalten der Losungen s(b, I ) in p = 0 geben wir im foigenden einige (bezuglich 1 E [0, ne - g ] ) gleichmal3ige Ab- schatzringen an.

E V,(O) riiit der Eigenschaft (4.5) besitzen.

264 Math. Nachr. 123 (1985)

Lemma 1. Unter den bisherigen Annahmen gibt es ein Po > 0 mit

n UO) 2 (-/9,, poi. ~ E [ O , ~ ' - ~ I

Beweis. Die Umgebungen Va(0) werden drirch die Zahlen r(1) und rl(,?) in Satz 1 bestimmt. Die Zahl r(1) ergibt sich aus der Bedingung

fur 2 E a(0, r(1)) und /? E s(0, r(1)). Aus der Beziehung

((g (0, 0) - - (5, B ) w, w = ?.((1 - cos (B + 4) w, w), ax ) ersehen wir, daB r(1) = rO > 0 unabhangig von il E [0, n2 - 171 fixiert werden kann.

Die Zahlen rl(?.) 5 rO ergeben sich dann aus den Bedingungen

fur B E a(0, rl(jl)). Es gilt aber

F"0, P I = &{(id + (1 + 2 ) L) /9 + A m } = 0

fur alle 1 E [0, n2 - 711 und R{O = 0. Eine von 1. E [0, n2 - r ] unabhangige Abschatzung fur das Element RiO entnehinen wir (4.20). Die Zahl r l ( l ) = ry kann damit ebenfalls unabhangig von 1 E [0, n2 - 171 fixiert werden, g . e. d.

Bemerkung. Dem Beweis von Satz 1 entnehmen wir die Abschltzung

unabhangig von 1 f [ O , $ - 711.

Eigemch f t Lemma 2. Unter den bisherigen Voruussetzungen gibt es Zaklen x , Po > 0 mit der

(4.22) 112(8,4 - R p l l 5 x 1/9IS, IBI 5 P o ,

unabhcingig won 3, E [ O , n z - q].

(4.23)

Beweis. Es gilt nach (4.4) wegen &(id + (1 + 1) L) /9 = 0

S(B, 4 = R;( --IQB(/9 + 4% 4)) mit R; = [Q(id + (1 + 1) L - &K(B + .))I-'.

l + n 2 meinsamen LIPscmTz-Konstante t = - aus (4.9). Es gilt daher

Die Operatoren Ri: @; 3 @; sind LIPYCHITZStetig fur 1 E [0, n2 - 711 mit der ge-

71

Ilx(B, 1) - R;OIll 5 t n 2 Il&B(/9 + 4 / 9 9 1))lll.

2 65

falls l/wllc < 1 ist. Berucksichtigen wir ferner die stetige Einbettung Wi(0, 1) 5 C([O, 11) und die Abschatzung (4.21) mit Ilz(B, A)ill r c1 fur IBI 5 Po, so folgt, falls schon Ilz(B9 A)llc < 1 ist,

11&% 4 - q3lll 5 cz llB + 4 P , w: r C,(ISI + HP, w ~ ) ~ I c , ~ + c ~ ) ~ 1si3 = x 18i3

unabhangig von 1 E [0, n1 - T I ] , g . e. d.

Lemma 3. Fiir die Lhngen z(P, A) der GZeichung (4.23) gilt unter den bisherigen Annahmn

(4.25)

fur A], llZ(B, 1 2 ) - M 1 5 x1 IBI 1h - I.111

E [ O , $ - 171 und geeignete Po, x1 > 0, falls < Po. Beweis. GemaB (4.23) gilt

114% 1 2 ) - 4% M 1

5 ][A;( --I.zQB(B + x(B, 1 2 ) ) ) - R:( --IiQB(B + z(B, Ai) ) ) l l i

+ IIRd'( --3,14?qB + 4 B , 21))) - R;( ---ll&B(B + z(B,A1)))Il1.

Die Elemente yi := R:w, i = 1,2,, sind Tiisungen der Tnklusionen QK(P + y;) 3 w

--> 24': folgt daraus ((id + (1 + A l ) L) y1 - (id + (1 + 1.J L) yz, y1 - y2)1 5 0. Nun ist der Operator (id + (1 + I,) L) : @: -> I?': fur jedes A E [0, n2 - 171 posit,iv definit, vgl. (4.7), (4.9); es gilt dann

- &(id + (1 + Ai l L) yi. Wegen der Monotonie von QK(B + -):

rl llYl - !/*!I: I ((id + (1 + 21) L) (Y1 - YZ),Yl - YZ), 1 + n2 5 147 - 211 llYzllo IlY1 - Yzllo

bzw. 1 + n2

llYa - Y1111 5 - I& - 211 I l ~ Z 1 1 1 . rl

In der Abschatzung fiir

lIY21l1 = p;( --;I1QB(B + 4 B , A1)))lIl

5 IIR$Olli + fin2 llQB(B + 4 B , &))111

benutzen wir die Ungleichungen (4.20), (4.21), (4.24) und die Norm des Einbettungs- operators Wt(0, 1) --t C([O, 13). Insgesamt ergibt sich damit fiir den Term llyz - yllJ1

266 Math. Nachr. 128 (1985)

eine Abschatzung der Form (4.25). Weiterhin erhalten wir

IIR:( --RzQR(B + z(B,&))) - n:( --IiQB(B + 4 B , U))JIi s f, I4 - 111 IlQB(B + z(B, h))lll

+ Jhz IIQB(B + 4% 1 2 ) ) - QB(B + 4% q 1 1 1 .

Wahrend der erste Summand in dieser Schranke wiederuxn von der gewunschten Form

ist, 1a5t sich der zweite fur - z(B, j.l)lll

abschatzen. Wir erhalten daniit wieder eine Abschatzung der Form (4.24), q. e. d.

1 2

< p,, hinreichend klein durch - 11z(B,

Lemma 4. Fur die Lijsungen der Qleichung (4.23) gi l t under den b-isherigen Anmhmen

(4.26) li482,4 - 4% 2)lll 5 XI iBz - 811 fur geeignete Po, xZ > 0, falls /fill , iB21 < Po. Die Konstante x z kann unabhicngig von 1 E [0, n2 - 171 gewcihlt werden.

Beweie. &UE der fur G = 0 prazisierten Ungleichung (1.6) erhalten wir

+ IIR;,~ - R;,wii,)

fur ein wohlbestiniintes w c I?';. Fur den ersten Sumnianden dieser Schranke folgt eine Abschatzung der Form (4.26) aus der Mittelwertformel. Zur Abschatzung des zweiten Summanden setzen wir y, := Rj,w fiir i = 1, 2. Dann gilt

Q ( i d + ( 1 + 1 ) L ) y i + M i Q B = w , i = 1 , 2 ,

fur Zahlen M i E g(Si + y,(O)) und folglich

(4.27)

Aus der Beziehung (4.27) gewinnen wir die Abschatzungen

Q(id + (1 + 2) L) (YZ - ~ 1 ) + ( J f z - Mi) QS = 0.

IM* - MI1 I lQ~ l l l 5 /[(id + (1 + 4 L) (Yz - Y1))Il 5 llYz - Yllll

und

L llYz - YlIIl 5 - iB1 - B21 9 I IQSl I1

also wieder eine Abschatzung der Form (4.26) ergcben, q. e. d.

Bemerkung. Unter der Annahme

(4.28) 0 4 g(5) fur L! =t= 0


sind die Lijsungen x(8, 1) E J$'i der Reduktionsaufgabe (4.4) nichttrivial fur 8 .I. 0. Denn unter der Annahme x(8, A ) = 0 verbleibt fur /? aus (4.4) die Beziehung QKB 3 0 hzw. MQ6 = 0 mit M E g ( B ) , also ,9 = 0, wenn (4.28) gelten SOU.

Lemma 6. Fordern wir zwatzlich zu den bbherigen Bedingungen die Eigenschaft

(4.29) 0 d g(E) f u r E > 0, so erfiilkn die Gsungen x(8, A) der Gkichung (4.23) fur 1 E [0, z2 - 171 und 0 < mit geeignetem Po die Beziehungen

(4.30)

< Po

B + 48, 1) (0) 2 0, 48, 1) (0) < 0. Be wei 8. Wir schreiben die zur Reduktionsaufgabe (4.4) aquivalente Gleichung

(4.23) in der Form

@(id + (1 + 4 L) 48, 2) + AQB(8 + x(B, 4) + QK(B + x(B, 4) 3 0

&(id + (1 + A) L) x(B, 2 ) + MQd = -AQB(B + 4% 4) bzw.

mi t M E g(8 + 4% 2 ) (0)). Durch Skalarmultiplikation mit x(8, 3.) E J$': erhalten wir

5

x 2 8 + x sin (8 + x) = ainB+ 2sin - coe- 2 2

I(x -sin(B+x),x)O1 = 2

X sin -

1 - - IMI;. 2 2 B + x cos - X 2 2 C

-

Mit Rucksicht auf die Abschatzung (4.21) und die stetige Einbet,tung Wt(0, 1) 2 C([O, 11) konnen wir daher ein Po > 0 so wlihlen, daB fur 0 < B < Po noch die Ungleichung

1 zz /(x(8, 2 ) - sin (B + 4% A ) ) , 4% 4 ) o l < 2t ll~(B1A)Il;

268 Math. Nachr. 128 (1985)

erfiiUt ist. Dann gilt

fur 0 < @ < Po und 1 E [0, n2 - 771. R'un ist g: % -> 2% monoton, 0 E g(O), folglich

M(B + z(B, 2 ) (0)) 2 0. Daraus folgt nun z(B, A) (0) < 0 und M > 0, also /? + z(B, 2.) (0) 2 0, q. e. d.

5. Die Losung der Verzweigungsinklusion fiir das Federstsbmodell

Mit den eindeutig bestimmten Losungen s(B, 2.) E @; des Reduktionsproblems gehen wir in die Verzweigungsinklusion ein,

(5.1) (id - &) {(id + (1 + 4 L) (B + 4% 4) + 1 . q + 4 A 4 ) + K(B + 4 B , 4)) 3 0 .

Diese Inklusion konnen wir in der Form 1

(5.2)

(5.3) E T(B, 4

2. J sin (B + 4% 2 ) (8)) ds E g(B + z(B, (0)) 0

bzw.

schreiben. Dabei gilt 1 1

(5.4) J sin (B + z(B,l) (4) ds = J (B + 4% 4 (4) ds + O(IBl3) = B + 0(lBlS) 0 0

mit

(5.5) lo(1~13)) 5 x3 1 ~ 1 3

fur geeignete Konstanten x3, Po > 0, I E [0, n2 - q] und IBI 5 Po. Dabei nehmen wir schon 2 l0(lBI3)I < an, so tlaB die Abbildung

s(B + 4% A) (0))

J sin (B + z(B, 1) b)) ds

2" 1

[0, n2 - q] 3 A: --t T(B, j.) :=

0

beispielsweise fur B E (0, Po) erklart ist. Auf die Inklusion (5.3) wollen wir den Sat,z von KAKUTANI anwenden. Wir nehmen

dazu neben (4.29) die folgende Hypothese an: Es gibt ein Po > 0 derart, daI3 fur B E (0, P o )

gilt.2)

*) Nach dem Sat,z von LEBESGWE ist die monotone Abbildung g: R + 28 fast uberall einwertig und differenzierbar. Nimmt man g(0) = 0 an, so bedeutet die Bedingung (5.6) g'( +0) E (0, d), falls diese Ableitung existiert.


Wir zcigen, daD die Inklusion (5.3) unter den zusatzlichen Annahmen (4.29) und (5.6) fur jcdes B E (0, Po) fur geeignete Po > 0 eine Losung A, E [ O , d - r ] ] besitzt. In diesem Interval1 befindet sich daher auch mindestens ein Bifurkationspunkt der Tnklu- sion (2.6). Zunachst finden wir ein Po > 0 derart, da13 fur /l E (0, Po) und beliebige a E [O , 722 - r ] ]

(5.7) T(B, A) n [O, na - 73 $. 0

gilt. Zu diesem Zweck wiihlen wir Po 80 klein, daD neben (6.6) noch

722 - O < B < B + o(1~13) - n2 - 277

z gilt. Zu jedem solchen @ gibt es ein t E g(B) mit - I n2 - 2 ~ . Fur a(B, A) B -

E g(B + z(B,A) (0)) gilt (t - a(P, A)) (-z(B, A) (0)) 2 0, elso t 2 a(B, A ) 2 0 wegen ( 4 2 3 , (4.30). Setzen wir nun

so ist 5(B, A ) E T(B, A) und 5(B, A ) 5 4 < n2 - r ] . B B + o(i~13) -

Der Graph GT := {(A, 5 ) E [0, ns - .I] x 9l; 5 E T(B, A ) ] ist fur solche P-Werte ab- eine Folge in QT mit den Grenzwert (A , l ) , so ist geschlossen. 1st namlich {(An,

mit der bezuglich 1. partiell stetigen Funktion 1

w(B, A ) := I sin (B + 4 B , A ) (8)) h, (B, 4 E (0, P o ) x [O, n2 - 771, 0

tnv(B, An) E g(B + Z(B, An) (0)) und folglich

(tny(B, An) - a) (B + Z(B, AJ (0) - t) 2 0

(5‘Y(B, 4 - a) (B + N B , A) (0) - c) 2 0

fur alle c E D(g) und alle u E g(5) . Im Grenzwert erhalten wir

und, da g: 3 3 2% maximal monoton ist, (A, E ) E QT. Analog folgern wir die Abge- schlossenheit von T(B, I.) E W fur B E (0, Po) und A E [0, n2 - r ] ] . SchlieBlich ist diem Menge auch konvex ; denn aus

(tiv(B, A) - U) (B + ~ ( p , A) (0) - t) 2 o fur i = 1,2,

5 E D(g), u E g(c) folgern wir fiir a E (0, 1)

((&El I- (1 - a) Ez) y(B, A) - a) (B + 4% 4 (0) - c) h 0, folglich a& + (1 - a ) Ez E T(B, 2) .

der Inklusion (5.3). Der Satz von KAKUTANI [2] liefert nun zu jedem /I E (0, Po) wenigstens eine Liisung

270 Math. Nachr. 128 (1986)

Literstur

[ 11 JOSEPE B. KELLER, Stuart Antman (editors), Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue

[2] S. KAHUTANI, 9 generalization of Brouwcrs fixed-point theorem. Duke Math. J. 8 (1941)

[3] H. BRBZIS, Opbrateurs maximaux monotones. North-Holland 1973

problems, W. A. Benjamin, Inc. Now York, Amsterdam 1969

457 -459

Humboldt- Universitat Sektion MatLmatik DDR - 1086 Berlin Unter den Linden 6

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Über implizite Inklusionen und Bifurkation