Ober monofokale Kegelschnitte. ERRARD SCHMIDT zum 76. Geburtstag gewidmet.

Von KARL STRUBEUKER in Karlsruhe.

(Eingegangen am 6.4.1950.)

I. Fragestellung. In zwei kiirzlich erschienenen Darstellungen beantworteten 0. EMERSLEBEN~)

und TH. POSCHL 2, unabhllngig voneinander und mit verschiedenen Methoden die Frage nach der Hullkurve der monofokalen Ellipsen (Ellipsen rnit gemein- sarnern Brennpunkt S), die die feste Achsenliinge 2a haben und durch einen festen Punkt PI hindurchgehen. Sie bewiesen den folgenden Satz samt angefugten Erganzungen .

Sat *. Die #char der 001 rnonofokulen Ellipsen cf rnit dern feden B r e n n p n k t 8', wetche durch den festen (von XI verschiedenen) Punkt Pf gehen und die feste Achsen- liinge 2a haben, begitzt a b Hullkurve wieder eine Ellipse h' rnit den Brennpunkten S und Pf und der Hauptachsenliinge 4 a - r, falls XfPf = r gesetzt wird (vgl. den Grundrip in Fig. 4).

Erganzung 1. Die von Sf verschiedenen Brennpunkte T f der E l l ipen cf liegen dabei auf einem Kreise t' urn PI voni Radius 2 a - r .

Erganzung 2. l e t H f der Beruhrpnkt der Ellipse cf rnit der Hulbllipse h', so liegen die Punkte P f , T f , H f stets auf einer Qeraden.

Es ist der Zweck dieser kurzen Zeilen, diesen bemerkenswerten Satz durch einfache Mittel der darskllenden Geometrie zu beweisen. Wir werden dabei die auftretenden ebenen Figuren in anschaulicher Weise durch einfache Raurnfiguren ersetzen und; wie in vielen ahnlichen Fallen, sehr vie1 ubersichtlichere Zusammen- hiinge erhalten als bei bloB zweidimensionaler Betrachtung. Eine Frucht des ent- stehenden besseren raumlichen Uberblicks ist z. B. die Vervollstiindigung der von Emersleben angegebenen Aufzllhlung der moglichen Scharen monofokaler Hyperbeln (gemeinsamen Brennpunkts Sf) durch einen festen Punkt P' mit fester Hauptachsenliinge 2 a , als deren Hullgebilde h' nicht blol3 Hyperbeln (in1 Grenzfall : Qeraden) mit den Brennpunkten Sf und Pf auftreten, sondern (was Emersleben offenbar entgangen ist) auch Ellipsen mit den Brennpunkten Sf und P f .

1) 0. EMEHSLEBEN, Geometrisoher Beweis einer Enveloppeneigenschaft monokonfokaler

8) TH. POSGHL, Einfuhrung in die analytische Mechanik. Karlaruhe 1949, S . 2 G 2 6 . Ellipsen mit gleich langer groDer Acbse. Math. Nachr., Berlin 3 (1949), 62-70.

Strubecker, tfber monofokele Kegelschnitte. 37

Wie schon 0. Emersleben und Th. Poschl gezeigt haben, kommt man zu der in Rede stehenden Ellipsenschar durch eine wichtige Frage%i!ellung der Yechanik, namlich durch die Rage nach allen moglichen komplanaren Keplersche? Bahnen d , die sich ergeben, wenn bei festem Zentralkorper oder Kern Sf (uberwiegender Masse H) ein Planet oder Teilchen (der Masse m = 1) in dem /at vorgegebenen Punkt PI nach allen rnoglichen Richtungen rnit derselben Ge-schu$ndigkeit v startet. Das Teilchen hat dann niimlich wegen der Konstanz von v an der $telle Pr auf allen Bahnrichtungen dieselbe kinetische Energie und ebenso wegen SIP1 = T = const dieselbe potentielle Energie, somit auch fee& &twm&nergie. Also haben nach dem Energiesatz alle Pr mit derselben Geschwindigkeit passierenden Teil- chen auf ihren Bahnen zuniichst dieselbe Gesamtenergie h; fiir EUipsenbahnen ist dabei h < 0 . Weil im Bohrschen Atommodell die zultissigen Elektronenbahnen durch gewisse feste Werte der Bahnenergie (Energiequanten) gekennzeiohnet sind, konnen unsere Keplerschen Bahnen als die durch den Punkt P' mogljchen Elektronenbahnen festen Energieniveaus aufgefaSt werden.

Nun haben aber weiter alle Keplerschen Bahnen gleicher Energie Haupt- achsen gleicher Liingo 2a. Also sind die Keplerschen Ellipen (Bohrschen Ekk- tmnenbahnen) fester Energie h < 0 durch PI identisch mit den mono@akn Ellipen durch P' derselben Achenknge 2 a.

Diese wichtige mechanische Bedeutung unseres geometrischen Problems rechtfertigt es, auf den Satz nochmals mittels neuer Methoden einzugehen und ihn- zu vervollstiindigen.

Zuvor sol1 jedoch unter Heranziehung einfachster Mittel der hoheren Geo- rnetrie, vor allem isotroper Elemente, an einige Siitze der daretellenden Gfeometrie erinnert werden.

2. Der Satz yon Dandelin und einige seiner Verallgemeinerungen. Es sei x ein Drehkegel (Fig. l a ) oder ein Drehzylinder (Fig. l b ) und a, eine

Kugel, die ihn liings eines &ekes el beriihrt. Eine beliebigeEbene eschneidet dann x nach einem Kegelschnitte c,, und a naoh einem Kreise k , wobei der Kreis k den Kegelechnitt co doppelt beriihrt (in jenen beiden Punkten C, in denen die Ebene e den Beriihrkreis sl trifft).

WZihlt man insbesondere als Ebene t: eine Tangentenebene z der Hugel a, (Beriihrpunkt F,), so zerfiillt der Schnittkreis k von z mjt a, in das iaotrope Er- zeugendenpaar der Kugel. Der Schnittkegelschnitt c der Ebene z mit dem Regel (Zylinder) x wird dann von den isotropen Geraden des Beriihrpunktes Fl von z mit a, doppelt beriihrt (in den Schnittpunkfen von z rnit dem Rreise q). Der Beriihrpunkt F, der Kugel al mit der Kegelschnittsebene z ist somit ein Brenn- punkt des Kegelschnittes c; dies beweist (vgl. Fig. l a und 1 b) den

Satz I ($atz von bandelin, 1822). Ist x ein Drehkegel oder Drehzylinder uncE t eine betiebige ihn nach einern regu2iiren Kegelschnitte c schneidende Ebem, e$nrE ferner 0, und a, die beiden z beruhrenden und x liings eina Krekes s1 bzw. s3 be- riihrend eingeechriebenen Kugeln, so sind die Beriihrpunk$e Fl und Fg der Kugeln a, und uz mit zdie Brennpunktedea Kegelschnittes G . Die BchniltgeracEen fl -[zel] und fa = [zsz] eind dabei als Polaren der Brennpnkte Fl und F , die Leitgeraden des Kegebchnitte c .

38 Strubecker, tfber monofokde Kegelechnitte.

Offenbar kann man bei wortlich gleichlautendem Beweis den Satz sofort auf die ebenen 8chnitte beliebiger Drehfhhen zweiter Odmunq euadehnen. Man erhiilt so (Fig. 2) folgenden

Fig. l a . Fig. Ib.

Fig. 2.

Satz IT (Erste Verallgemeinerung des SatzeF von Dandelin). let x eine be- lieebige Drehfrilclle zweiter Ordnung und 7 eine beliebige sie nclch einent reguldiren Kegelschnitt c echneidende Ebene, Sind ferner a, und tr2 die beiden z beruhrenden

Strubecker, %r monofokale Kegelschnitte. 39

und x langs eines Kreism sl bzw. 8, bertdhrend eingmcbiebenen Kugeln, 80 sin& die Be- r i i h r p n k Fl und Fa der Kugeln a, und g, m i t z B r e n n p u n k t e &a Kegehchnittes c . Die Schnittgeraden ft = [ ta i l sind d h i wieder die Leitgeraden dee Kegelschnitta c .

Bemerkung 1. Die z beriihrenden und der Fliiche x liings eines &ekes be- riihrend eingeschriebenen Kugeln ol und g, sind nicht immer reell; sie konnen auch konjugiert komplex sein. Ihre Beriihrpunkte Fl, Fa mit der 3EbeDez sind dann die komplexen Brennpunkte (Nebenbrennpunkte) des Kegelschnittes c in z.

Bemerkung 2. Eine Kugel u kann eine Drehflliche zweiter Ordnung x auch liings eines Nullkreisa (isotropen Erzeugendenpaares) beriihren. Dies ist dann und nur d a m der Fall , wenn die Kugel a Schmieghqel in einem XcheiteE A der Fliiche x ist (vgl. Fig. 2).

Wir wollen nun, um ein weitera Gegemtiick &a ii'atzm von findelin zu erhalten, an die Stelle der Kugel 0 ein (aufrechtes) Drehpwabobidz setzen, das dem Kegel x liings eines Kteises k eingeschrieben ist und die Ebene z in einem Punkt T be- riihrt (Fig. 3). (Der Kegelschnitt c = [zx] ist dann notwendig eine E l l i p e oder Hyperbel). Dann siad die Erzeugenden tl, t, des Paraboloids in T Tangenten des Kegelschnit.ts c und ihre Grundrisse t:, tl beriihren den GrundriB cf des Kegel- schnitts c. Diese Tangenten t:, ti sind nun wieder iaotrope Qeruden; es gilt niimlich der

Sat2 111. Die Erzeugenden tl, t, eines aufrechten Drehparaboloide z projizieren sich irn ck.undpip als isotrope aeraden t:, ti .

Beweis. Das Drehparaboloid x hat nlimlich die Fernebene w als Beriihr- ebene und schneidet sie nach jenen beiden Tangenten il , i, des absoluten Kegel- schnitts i , die den Fernpunkt Z seiner Drehachse zmit den absoluten Punkten J1, J, der zu z normalen GrundriBebene n verbinden. Alle Erzeugenden 6 , ta des Dreh- paraboloids schneiden daher die isotropen Ferngeraden il und i,, und ihre Projektionen ti, ti aus dem Punkte 2 auf n gehen daher durch die absoluten Punkte J1 oder J , von n; d. h. die Grundrisse t i , ti der Erzeugenden tl , t, des Drehparaboloids z sind isotrope Geraden, was zu beweisen war.

Bemerkung. Ersetzt man etwas allgemeiner die Tangentenebene z des Dreh- Faboloids durch eine beliebige Schnittebene E , so erhiilt man genau so den

Satz IY. Die Gmndrisse der ebenen ii'chnitte e i w au f rechn Drehparaboloids sind Kreise. Die Pole der ebenez ii'chnitte bezziglich des Drehpraboloide liefern dabei im &undriP die Bittelpunkte der Kreise.

Aus unseren Oberlegungen ergibt sich daher f i i r den GrundriB cf des Schnittes c der Ebene z und des Kegels x die folgende einfache Konstruktion dm einen Brenn. p n b s T f .

SatzV (Gegenstiick des Satzes von Dandelin). Der (aufrechte) Drehhgel werde von der (weder zur Kegeluchse z noch zu einer Tangentenebene prallden) Ebene t nach einer Ellipse oder Hyperbel c u r n Ghndr ip cf geachnitten, und es sei n daa (eindeutig bestimmts) die Ebene t beriihrende und dem Drehkqel x Unga eines Kreises k beruhrend eingeschriebene Drehparabo lo id (Fig. 3). Dam iat der&d- rib T f des Beriihrpnktes T des Drehpraboloids mit der ii'chnittebene z der eine B r e n n p u n k t dea t7rtmdrisse.s cr dea Kegebchnittes c, den. t aus dem Kegel x aus- schneidet.

40 Strubecker, abe r monofokale Kegelschnitte.

Satz VI (Ergiinzung). Der andere Brennpnk t Sf des Grundrisses ct des Kegel- schnitta c = [zx] ist (auch irn Palle der Parabel!) bekanntlich mit dem GrundriB Xt des Kegelscheitels S identisch.

Die letzte Aussage folgt daraus, dal3 die isotropen Geraden j i , j ; von S den scheinbaren Urnrip des Kegels x fiir lotrechte Sehstrahlen z bilden (die lot- rechten Tangentenebenen des Kegels x sind niimlich die isotropen Ebenen durch

Fig. 3.

die Regelachse z). Da die Projektion cf jedes regularen ebenen Schnittes c des Kegels stets die zugehorigen beiden (hier isotropen) scheinbaren Umril3er- zeugenden j:, ji beriihrt, ist Sf in jedem Falle Brennpunkt von c', gleich- giiltig, ob es sich bei cf urn eine Ellipse, Hyperbel oder Parabel handelt. In Fig. 3 sind auch die zu den Brennpunk- ten T!, Sr gehorigen Leitgeraden f l y , ,

f s eingetragen. Mit wortljch den gleichen Uber-

legungen wie Satz V beweist man all- gemein den f olgenden

Satz VII (Gegenstuck zur Verall- gemeinerung des Satzes von Dandelin). Es sei c der (reguullire, nicht parabolische) Kegetschnitt, nach dern die (nicht bt- rechte) Ebene z die aufrechte (nicht zylin- drische) Drehfliiche xweiter Ordnung Q: schneidet. Sind dann n1 und n, aufrechte D r e h p a r a b o l o i d e, welche der Dreh- fliiche q~ liings Kreisen kl, k, beruhrend eingeschrieben sind und welche die Ebene z in P u n k k n T, und Tz beriihren, so sind die Grundrisse T{, Ti dieser Beruhr-

p n k t e die B r e n n p u n k t e des &undrisses c' des Kegelschnitts c = [zq]. Die (;rruncErisse der Schnittgeraden f i = [ z k J und f a = [ zkJ sind dabei als Polaren der Brennpunkte T:, Tt die Leitgeraden des Kegelschnitts c'.

3. Losung des Problems dureh Abbildung der monofokalen Ellipsen auf die Ebenen des Raumes.

Die darstellende Geometrie liefert mehrere Mogljchkeiten, die oo3 mono- fohlen Kegebchnitte ct einer GrundriBebene auf die m8 Ebenen z des Raumes ab. zubilden. Am einfachsten lrann dies mit Hilfe des Satzes VI geschehen, indem man den gemeinsamen Brennpunkt Sf der Kegelschnitte als Grundrip der Spitze 6' eines (sonst beliebig gewkihlten) aufrechten Drekkegels x deutet und die Kegel- schnitte c' als Grundrisse von ebenen Schnitten c dieserr Drehkegels. Da der Kegel x und der projizierende Zylinder von cf die isotropen Ebenen der Kegelachse z ds gemeinsnme Tangentenebenen haben, beriihren sich die beiden Flachen in

Struberker, Uber monofolrale Kegelschnitte. 41

zwei Punkten, und ihre Schnittkurve vierter Ordnung zerfallt in zwei (zur hori- eontalen Symmetrieebene des Kegels symmetrische) Kegelschnitte c, deren einer in Fig. 3 dargestellt ist.

J e nach der Steigung der Ebene z entstehen als Schnitte Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln. Uns interessiert zunachst der Fall der Ellipsen c1 und c ; fur ihre Dar- stellung reicht bereits ein Halbkegel aus. Fiir Byperbeln, zu deren Darstellung man den Doppelkegel benotigt, gelten sonst die gleichen uberlegungen .

Betrachten wir zuerst die m2 monofokalen Kegelschnitte d durch einen festen Punkt PI. Ihnen entsprechen durch unsere Abbildung, wenn wir Pf als Grund- ria des Kegelpunktes P auffassen, die ma Ebenen des Biindels P bzw. deren Schnitte c mit dem Kegel x .

Es folgt der

Satz VILI. Die m2 monotokalen KegeEschnitte el, die durch den testen Punkt Pt der Ebene gehen, gehoten im Raume zu den 032 Ebenen eines Bundels, demen Schei- tel P auf dem Kegel x Eiegt (und PI als clrrmndrip hat). Da zum Grundrip PI zwei Kegelpunkte P gehoren, hat man die Wahl zwischen zwei sokhen Ebenenbundeln.

Uns interessieren unter den monofokalen Kegelschnitten durch PI jene, deren Hauptacke AIB’ die feste Ltinge 2 a hat. Es wird sich zeigen, daB deren Ebenen im Raum einen bestimmten Kegel zweiter Ordnurcg a mii dem Scheitel P umhiillen.

Es ist zweckmiiBig, zuerst allgemin nach allen monofokalen Kegelschnitten (Ellipsen, Hyperbeln) zu fragen, deren Hauptachse AIB1 die feste Lange 2 a hat (Fig. 3). Die Ebenen z dieser Kegelschnitte umhiillen eine DrehflSiche mit der Kegelachse x als Drehachse. Da die gioBen Achsen A B der Kegelschnitte c in den Metidianebenen des Kegels x liegen, geniigt es wegen der Drehsymmetrie, nach der Hullkurve jener Sehnen A B des Kegelmeridians zu fragen, deren Grund- riB AfB1 die feste Lange 2 a hat. Wegen der Bedingung AIB1 = 2 a = const bilden die Hauptscheitel A , B der Kegelschnitte auf den Meridianerzeugenden des Kegels x iihnliche Punktreihen, und ihre Verbindungen [A B] umhiillen dahei eine ParabeE mit der Hauptaehse z , welche die Konturerzeugenden des Kegeis in jenen Punkten U, V beriihrt, die von z den Abstand 2a haben.

Es folgt der

Satz IX. Die monofokalen Ellipsen und Hyperbeln cf haben dann und nur dann die f a t e Hauptachsenliinge AIBf = 2 a , wenn die ihnen durch den Drehkegel x im Raume xugeordneten Ebenen z Tangentenebenen eines Drehpraboloids n sind, das zum Kegel x koaxial ist und ihm kings des Parallelkreises Jc vom R d i w 2a beruhrend eingemhrieben ist.

Wieder gibt es, wegen der zweideutigen Beziehung von PI zu P zwei (spiege- lige) aolche Drehparaboloiden; es geniigt aber wie oben, das nach unten ge6ffnete zu wiihlen.

Je nachdem (Fig.3) dabei der Beriihrpunkt T der Tangentenebene z des Paraboloids z zwischen dem Beriihrkreise k und dem Scheitel S des Kegels x liegt oder nicht, erhiilt man als GrundriB CI des Schnittes c = [ t x ] eine Ellipse oder eine Hyperbel der festen Achsenliinge AIB1 = 2 a . Nach den Satzen VI und V ist dabei der feste Brennpunkt XI der GrundriB des KegelscheitelsX der

42 Strubecker, f i e r monofokctle Kegelschnitte.

bewegliche Brennpunkt TI aber der GrundriB des Beruhrpunktes T der Schnitt- ebene z mit dem Paraboloid z.

Es steht uns frei, als GrundriBebene I7 stets die Ebene des Beriihrkreises k von Paraboloid und Kegel zu wiihlen.

Fragen wir nun nach den monofokalen Kegelschnitten c', die sowohl durch den festen Punkt PI gehen als auch die feste Achsenliinge 2a haben, und ihrem riiumlichen Bilde, sofolgt aus den Satzen VIII und 1X zusammen (vgl. Fig. 4 und 6, in denen der Punkt P im Hauptmeridian des Kegels x angenommen ist) der

Satz X. Die 001 monofokakn Kegelschnitte cI der festen Achsenkiqe 2a durch den Punkt PI gehiLren im Raume zu den 00 1 Beriihrebenen z , die mun aus den beiden Kegelpnkten P vom h n d r i p PI an jenes Drehpraboloid n legen kann, das dem Drehkegel x langs seines Parallelkreises k vom Radius 2 a beruhrend eingeschrieben werden kann. Diae Beriihrebenen z zcmhiillen die beiden Tangentenbgel zweiter Ordnung Q, die man aus den beiden Punhq P an den Kegel x legen kann.

Die Beruhrpunkte T der Ebenen z mit dem Pnraboloide n liefern im Grund- riB die von Sf verschiedenen Brennpunkte Tt unserer monofokalen Kegelschnitte. Der Ort dep Beriihrpunkte T ist ein ebener Schnitt t von n (Schnitt von n rnit der Polarebene von P); dessen Gmndrip t r (Ort des zweiten Brennpunktes TI) ist daher nach $at2 IV ein Kreis t' urn PI, der den Beriihrkreis k (Mitte XI, Radius 2a) des Paraboloids n und des Kegels x beriihrt (wenn die Ebene von k als GrundriB- ebene gewlhlt ist).

Es folgt &us Satz I X (vgl. Pig. 4 und 6) der

Sat2 XI. Es gibt fiir SIPf= r < 2a j e eine Schur von col monofokakn Ellipstn undoolmonofo7cakn Hyperbeln, furSIPf = r = 2aeineSc~arundfurSS'Pr=r>2a zwei 8chren von 00 monofokalen Hyperbeln rnit festem Brennpnkt &I, die durch den festen Punkt PI gehen und die fate Aclieenliinge 2 a haben. Die zweiten Brenn- yunkte TI dieser Kegelschnitbchuren liegen jeweila auf Kreisen um den festen Punkt P', die den Kreis vom Radius 2a um SI beruhren.

Es ist nun auch sehr leicht, die HuUkurve It' z. B. dieser monofokalen EUip sen cr anzugeben. Da die Ebenen z der Ellipsen c im Raume den Tangenten- kegel u aus P an x umhiillen, ist die Hiillkurve h' der monofokalen Ellipsen cI

der GrundriB der $chnittkurve h des Kegels cr rnit dem Grundkegel x . Weil u und x sich l h g s der gemeinsamen Eizeugenden [SP] beriihren, ist die Schnitt- kurve h ein Kegelschnitt, dessen aufriBnormale Projektion den Beriihrpunkt A der Konturerzeugenden [S PI der Kegel rnit dern Paraboloid x und den Schnitt- punkt der beiden anderen Konturerzeugenden [PB] und [SB] der Kegel 0, x verbindet. Die Hulllcurve hr ist daher ebenfalls eine Ellipse mit den Xcheiteln A1 und B', deren Brennpunkte XI und PI sind. S ist Brennpunkt von h! als Grund- riB der Spitze des Drehkegels x durch h. DaB auch PI Brennpunkt von hl ist, kann man so einsehen: Wenn man die Erzeugenden des Drehparaboloids x rnit dem Punkte P verbindet, so erhiilt man ca Ebenen, welche den Tangenten- kegel u an das Paraboloid n aus dem Punkte P einhullen. Unter diesen.Tangenten- ebenen von u kommen die lotrechten Minimalebenen ,ul, pa durch P vor (als Pro- jektionen der Erzeugenden von n in jenem Punkte E , der init P auf einem Durch- rnesser von n liegt). Diese Minimalebenen pl , p2 beriihren dwher die Ellipse h

Strubecker, tfber monofokale Kegehchnitte. 43

auf u und (weil sie lotrecht sind) &uch den GrundriB hf von 1. Also ist der Grund- Ti13 Pf von P (d. h. der feste Punkt aller Ellipsen unserer monofokalen Schar) ebenfalls Brennpnk t der Hiillellipse h!.

Dabei ist (Fig. 4) S f A = BfP = 2a , folglich ist, wenn wir SfPf = z setzen, die Hauphcbenliinge der Hiillellipse

S f A f + P f A f = 2 a + ( 2 a - r ) = 4a-rr .

Zusammenfassend folgt der

Satz X I I . Die Schar der ool monofokalen Ellipsen cf mit dem fe-sten Brenn- pun& Sf, welche durch den festen Punkt Pf g e k n und die feste Acheenliinge 2a haben, baitzt als HiiUkurve hf wieder eine Ellipse mit den Brennpnkten Sf und Pf und der Hauphcitsen2iinge 4a - r , wenn wir SIPr = r setzen. Ferner liegen die von 8' verachiedenen Brennpnkte T f der E l l ipen CI de-r Monofokalschar auf dem Kreise t f , den man um den gemeinsamen Punkt Pf mit dem Radius 2 a - r ziellcen kann .

44 Strubecker, tfber monofokale Kegdschnitte.

Die das Paraboloid n in den Punkten T beriihrenden Tangentenebenen des Kegels a schneiden aus dem Grundkegel x Ellipsen c aus; diese Ellipsen c urn- hiillen die Ellipse h und beriihren sie in jenen Punkten H, in denen die Kegel- erzeugenden [PT] von (I auf h treffen. Daraus folgt schliefilich im GcundriB:

Satz XI1 (SchluB). 1st T' der Beruhrpnkt einer Ellipse c' mi8 der HiillelJipe hf der Monofokalscb, so liegen die Punkte P', T', H' auf einer Qeraden.

Damit sind alle in 1 angekundigten SLtze durch einfache Uberlegungen der darstellenden Geometrie bewiesen.

4. Der Fall der monofokalen Hyperbeln. Die Uberlegung ist im Falle S P f = r < 2a genau dieselbe fiir die Schar

der monofokalen Hyperbeln rnit dem gemeinsamen Brennpunkte S, die durch den festen Punkt P' gehen und die feste Hauptachsenliinge 2a haben. Man hat dann nur (Fig. 5) , bei festgehaltenem Paraboloid z, an die Stelle des bisherigen Punktes P (GrundriB PI) den lotrecht dariiberliegenden Punkt P des anderen Kegelmantels zu nehmen. Die m1 Hyperbeln cf ubertragen sich dann auf die m1 Hyperbeln c des Kegels x , die von den Ebenen z ausgeschnitten werden, die nian aus dem neuen Punkte P beriihrend an das Paraboloid 3t legen kann. Diese Tangentenebenen z beriihren das Paraboloid n in den Punkten T einer Ellipse t , deren GrundriB tr wieder die zweiten Brennpunkte Tr der nionofokalen Hyperbeln trligt. Der Ort tr dieser Brennpunkte TI ist daher ein K r ~ i s mit der Mitte PI vom Radius 2a + i . Die Hyperbeln c umhiillen auf dem Kegel x wieder eine Ellipse h, namlich den Schnitt des Kegelsx mit dem Tangentenkegel a, den man aus P an das Paraboloid n legen kann. Aus den gleichen Griinden wie vorhin sind der gemeinsame Brennpunkt S und der gemeinsame Punkt Pf der Hyperbeln wieder die beiden Brennpunkte der Hullellipse, deren Hauptachse jetzt die Liinge

PA' + 8'A' = (2a + r ) + 2 a = 4 a + r hat. Beriihrt dj0 Monofokalhyperbel ct die Hiillellipse ht im Punkte H', so liegt

wieder Ht rnit dem festen Hyperbelpunkte Pr und ihrem zweiten Brennpunkte TI auf einer Geraden.

Zusammenfassend folgt so schliefilich der

Satz XIIL Die Schar des. col monofokalen Hyperbeln cr mit dern festen Brenn- punkt S', welche durch den festen Punkt P' gehen und die feste Achsenlange 2 a haben, besitzt, falls X'P' = r < 2 a ist, als H i i l l k u r v e h' eine E l l i p s e mit den B$enn- punkten 8' und P' und der Hauptachenlanp 4 a + r . Die von S' verschiedenen Hyprbelbrennpunkte T' l i qen dabei auf einem Kreise t' um P' *om Radius 2 a +- r . 1st H' der Beriihrpunkt einer Hyperbel c' mit der Hiillellipse h', so liegen die Punkte PI, TI, H f auf einer Geraden.

Wir haben noch die Fiilla Sf Pf = t 2 2a zu erledigen, deren Beschreihring bei Emersleben nur unvollst&ndig geleistet ist. Zum Beispiel ist nur die Moglichkeit erwiihnt, daR die nionofokalen Hyperbeln cf durch Pr mit der festen Achsen- liinge 2a einen Ast einer Hyprbel hf mit den Brennpunkten S und P' und der Achsenliinge 4 a - r einhullen (wobei die Brennpunkte IT' der Scharhyperbeln c' einen Kreis tf um P' voni Radius r - 2 a beschreiben). Der eingehiillte Hyperbel-

Strubecker, Ober monofokale Kegelschnitte. 45

ast h1 umgibt dabei nach Emersleben den Punkt PI, wenn r > 2a > List, und

er umgibt den Punkt St, wenn f > 2 a > 0 ist; fiir 2 a = artet die Hull. hyperbel h' in die Streckensymmetrale von X I P I aus.

2 r

Die (schon durch unseren Satz XI11 belegte) Moglichkeit, daB monofokale Hyperheln mit festem Brennpunkt r4I und mit fester Achsenliinge 2 a , die durch einen festen Punkt PI gehen, auch eine Ellipse urnhiillen konnen, ist in der Auf- ziihlung von Emersleben nicht erwiihnt. Man. kann den vouStiinCligen Sachverhlt init unserer riiumlichen Deutung des Problems leicht uberblicken und erhiilt so die in untenstehender Ubersicht zusanimengefaBten Moglichkeiten. Da in 8'

46 Strubecker, .tfber monofokale Kegelechnitte.

der Zentralkorper unserer Keplerschen Bewegungen hg, nennen wir in dieser Aufziihlung den um rs' liegenden Hyperbelast den perihelischen Ast, den anderen den aphelischen. Der Punkt PI (bzw. HI) heiI3t perihelisch oder aphelisch, je nachdem er auf dem perihelischen oder aphelischen Ast der Hyperbeln cf liegt.

Satz XTV. ffbersicht uber die Hullkurven der monofokalen Hyperbelscharen mit dem faten Brennpnk t S' und der festen Achsenliinge 2 a durch den festen Punkt P' (im AbstcGnd S'P' = r von 8').

r beliebig. Der Punkt P' liegt auf den Hyperbeln c' der numofohkn 8caar perihelisch: Die HuUkurve h' der Hyperbeln cr ist dann stek eine E l l ipe , die vom aphelischen Ast der Hyperbeln cf umhullt wird und deren Hauptmhse die LLinge 4 a -f r hat, uGhrend der Ort des zwziten Brennpnktes Tr ein Kreis t f um P' vom Radius r -+ 2 a i8t (vgl. Satz X I I I ) .

Fall 2 2a < r. Der Punkt P' lie@ auf den Hyperbeln cr aphelisd. Die Hiill- kurve hr der HypeTbeln c' ist dann stets eine Hyperbel (oder im Brenzfall cine Gerade), deren Hauptachse die Ltinge 14a - r1 hat, wiihrend der Ort des zweiten Brenn- punkla TI eine Kreis 6' um P' vom Radius r - 2 a id. Dabei gilt:

a) Fur 2 a < r < 4 a id die Hullkurve hf eine Hyperbel. Dieschar der Hyperbeln besteht aus zwei Teilscharen (mil stetigem thrgang) . Bei der einen Teilachar be- ruhrt der aphelische Ast von c' den aphelischen A8t von h', bei der a d w e n beriihrt der' perihelische Ast von c' den perihelischen Ast v m h'.

@) F6r r = 4a vereinigen sich der perihelische und aphelische A8t der Hull- &rue zu einer Geraden hr, ea enhteht a h Hullkurve hr die Streckemymmetrale von 8'P'. Die Schar der Hyperbeln c' bateht dabei aus zwei stetig zusamnhdingen- den Teilscharen. Bei deer einen Teilschar beriihrt der aphelische A8t v m C' das apheliache Ufer der Hiillgeraden h', bei der anderen beruhrt der perihelische Ast von c' das perihelische Ufer von h'.

y) Fur r > 4a ist die Hiillkurve h' wieder eine Hyperbel. Die Schccr der Hyper- beln GI besteht wieder aus zwei Teilscharen (mit stetigem obergang). Bei der einen Schar beriihrt der aphelische Ast der Hyperbeln cf den perihelischen A8t von h', bei der anderen beruhrt der perihelische Ast von GI den aphelischen Ad von h'.

Man kann auch, wie wir zum Schlusse erwiihnen wollen, den hier ausgeschlosse- nen Fall der Parabeln durch einen festen Punkt Pf , deren Brennpunkte T' auf &em Kreise tf urn Pf liegen und die denselben unendiich femen Brennpunkt S (d. h. dieselbe Achsenrichtung) haben, mit analogen Mitteln der darstellenden Geometrie behandeln. Darauf sol1 aber hier njcht mehr eingegangen werden.

Fall