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Kegelschnitte
Mathematik I � ITB
Kegelschnitte
Prof. Dr. Karin Melzer
10.11.08
Prof. Dr. Karin Melzer Mathematik I � ITB
Kegelschnitte
KreiseEllipsenHyperbelnParabelnÜbersicht
Kegelschnitte: Einführung
Wir betrachten Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln.
Literatur: Brücken zur Mathematik, Band 1 � Grundlagen,�Analytische Geometrie�
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Kegelschnitte
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Kreis
De�nition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort allerPunkte, die von einem Punkt M (Mittelpunkt) den selben Abstandr haben, heiÿt Kreis. r heiÿt Radius des Kreises.
Gleichung in Mittelpunktsform:
Aus dem Satz des Pythagoras folgt:
I Kreis um Nullpunkt mit Radius r :
x2 + y2 = r2
I Kreis mit Mittelpunkt M(x0/y0)und Radius r :(x − x0)
2 + (y − y0)2 = r2
Aus dieser Form lässt sich der Mittel-punkt direkt ablesen.
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Beispiel: Mittelpunktsform
I Gesucht: Kreis um O, der durch den Punkt P0
(2|3
2
)geht.
Koordinaten müssen x2 + y2 = r2 erfüllen (Punktprobe):
4 +94
= r2 ⇔ r2 =254
, also x2 + y2 =254
I Gegeben: Kreis K mit x2 + y2 = 169 Welche der Punkteliegen auf/innerhalb/auÿerhalb von K?Punkt liegt
A(11|7)B(5|12)C (−8|10)D(−13|0)
Lösung: Punktprobe
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Kreis
Allgemeine Kreisgleichung:
De�nition: Jede Gleichung der Form
Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 mit A 6= 0
stellt einen Kreis dar.(Evtl. ist der Kreis ausgeartet mit r = 0 oder r2 < 0).
Ineinander Umwandeln der Kreisgleichungen:
MittelpunktsformAusmultiplizieren−→
←−quadrat. Ergänzung
Allg. Kreisgleichung
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Ellipsen
De�nition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort allerPunkte, für die die Summe der Entfernungen von zwei festen PunktenF1 und F2 konstant ist, heiÿt Ellipse.
Bezeichnungen:M MittelpunktF1,F2 BrennpunkteS1, S2 HauptscheitelS3, S4 Nebenscheitela = MS1 = MS2 groÿe Halbachseb = MS3 = MS4 kleine Halbachsee = MF1 = MF2 Brennweite
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Ellipsen
Eigenschaften: Die Ellipse ist
I eine geschlossene Kurve,
I symmetrisch zur Hauptachse (F1F2) und
I symmetrisch zur Nebenachse (Mittelsenkrechte von (F2F2))
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Ellipsen
Gleichung in Mittelpunktsform
I Die Ellipse mit Mittelpunkt O, BrennpunktenF1(e|0),F2(−e|0) und konstanter Abstandssummer1 + r2 = 2a (Bezeichnungen s. Graphik) hat die Gleichung:x2
a2+ y2
b2= 1, e2 = a2 − b2 (da z. B. F1S3 = a)
I Die Ellipse mit Mittelpunkt M(x0|y0), Halbachsen a, b undSymmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen hat dieGleichung:(x−x0)2
a2+ (y−y0)2
b2= 1
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Allgemeiner Verschiebungssatz
I Übergang von einer Ellipse mit Mittelpunkt O zu MittelpunktM(x0|y0) erhält man mit dem
allgemeinen Verschiebungssatz:Ersetzt man in einer Kurvengleichungx durch (x − x0) undy durch (y − y0)
so wird die Kurve um x0 in x-Richtung und um y0 iny -Richtung verschoben.
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Ellipsen: Bemerkungen
I Für a = b = r ergibt sich jeweils eine Kreisgleichung
I Der Flächeninhalt einer Ellipse ist A = πab
Übergang von einem Kreis zur Ellipse: Ellipsen entstehen durchDehnung bzw. Stauchung eines Kreises.Z. B. Streckung des Einheitskreises in x- und y -Richtung:
I Einheitskreis: x2 + y2 = 1
I Strecken in x-Richtung mit Faktor a⇔ ersetze x durch 1
ax
I Strecken in y -Richtung mit Faktor b ⇔ ersetze y durch 1
bx
I x2 + y2 = 1 wird zu x2
a2+ y2
b2= 1
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Hyperbeln
De�nition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort allerPunkte, für die die Di�erenz der Entfernungen von zwei festen Punk-ten F1 und F2 konstant ist, heiÿt Hyperbel.
Bezeichnungen: (vgl. Ellipse)M MittelpunktF1,F2 BrennpunkteS1, S2 Scheitela = MS1 = MS2 groÿe Halbachsee = MF1 = MF2 Brennweiteb =
√e2 − a2 kleine Halbachse
Konstante Di�erenz der Entfernungen: |r2 − r1| = 2aSymmetrische Kurve aus zwei Ästen. Symmetrieachsen: Hauptachse(= (S1, S2)) und Nebenachse (= Mittelsenkrechte von (S1, S2))
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Hyperbeln
Gleichungen in Mittelpunktsform:
I Hyperbel mit Mittelpunkt O,Brennpunkten F1(e|0),F2(−e|0)und konstanter Abstandsdi�erenz2a hat die Gleichungx2
a2− y2
b2= 1 mit e2 = a2 + b2
Für groÿe |x | und |y | nähert sichdie Hyperbel den Asymptoten mitder Gleichung y = ±b
ax .
I Hyperbel mit Mittelpunkt M(x0|y0), Halbachsen a, b undSymmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen hat die
Gleichung (x−x0)2a2
− (y−y0)2b2
= 1
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Hyperbeln: Bemerkung
I Die Hyperbel mit der Gleichung
−x2
a2+
y2
b2= 1
heiÿt konjugiert zur Hyperbel x2
a2− y2
b2= 1. Ihre Hauptachse
ist die y -Achse, sie ist in Richtung der y -Achse geö�net.I �Für groÿe |x | und |y | nähert sich die Hyperbel den
Asymptoten mit der Gleichung y = ±bax .� Daraus folgt: für
a = b ergeben sich die Winkelhalbierende y = ±x alsAsymptoten.
I Hyperbeln mit senkrechten Asymptoten heiÿen rechtwinklige
oder gleichseitige Hyperbeln.
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Hyperbeln: Beispiel
Beispiel 1: Wie lautet die Gleichung der Hyperbel mitM(3| − 4), a = 6, b = 5, die in Richtung der y -Achse geö�net ist?
Lösung: −(x − 3)2
36+
(y + 4)2
25= 1
Beispiel 2: Wie lautet die Gleichung der Hyperbel durch P(4|2)mit den Asymptoten y = ±2
3x?
Lösung: Asymptotenschnittpunkt M = O, also wähle Ansatz
x2
a2+ y2
b2= 1
Punktprobe: 16
a2− 4
b2= 1
Asymptotensteigung: ba
= 2
3⇔ b = 2
3a
}=⇒
a2 = 7, b2 = 28
9und damit x2
7+ 9y2
28= 1
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Hyperbeln: Allgemeine Hyperbelgleichung
Mittelpunktsform ausmultiplizieren, nach den Variablen x und ysortieren und die Koe�zienten umbenennen.
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Parabeln
De�nition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort allerPunkte, deren Abstände von einer festen Geraden l und einem festenPunkt F gleich sind, heiÿt Parabel.
Bezeichnungen:l LeitlinieF BrennpunktS Scheitel = Berührpunkt der
Tangente parallel zu l
p Halbparameter = Abstand Fl
Die Parabel ist eine symmetrischeKurve; Symmetrieachse ist dieParabelachse (SF ).
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Parabeln
Gleichung in Scheitelform
I Die Parabel mit Scheitel O undBrennpunkt F
(p2|0
)hat die
Gleichung:
y2 = 2px , (p > 0)
I Weitere Lagen der Parabel mit S = O:y2 = −2px nach links geö�netx2 = ±2py nach oben/unten geö�net
I Die Parabel mit Scheitel S(x0, y0) und Parameter 2p nachrechts bzw. nach links geö�net hat die Gleichung:
(y − y0)2 = ±2p(x − x0), (p > 0)
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Parabeln: Bemerkungen
I Die Gleichung (x − x0)2 = ±2p(y − y0) für nach oben (nach
unten) geö�nete Parabeln löst man üblicherweise nach y aufund schreibt sie in der Form
y − y0 = a(x − x0)2
{a > 0 : nach oben geö�neta < 0 : nach unten geö�net
I Zwischen a und p besteht die Beziehung p = 1
|2a| .
I y − y0 = a(x − x0)2 lässt sich umformen in
y = a2x2 + a1x + a0 mit
a2 = a
a1 = −2ax0a0 = ax2
0+ y0
Parabeln sind also Bilder von Polynomen vom Grad 2.
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Parabeln
Allgemeine Parabelgleichung: (Achsen parallel zuKoordinatenachsen)
By2 + Cx + Dy + E = 0B 6= 0,C 6= 0
}Parabel mit Achse || zur x-Achse
Ax2 + Cx + Dy + E = 0A 6= 0,D 6= 0
}Parabel mit Achse || zur y -Achse
Ineinander Umwandeln der Parabelgleichungen:
ScheitelformAusmultiplizieren−→
←−quadrat. Ergänzung
Allg. Parabelgleichung
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Kegelschnitte: Zusammenfassung
Allgemeine Gleichung 2. Grades ohne xy -Glied:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0(A,B,C ,D,E ∈ IR,A 6= 0,B 6= 0)
Fälle:1. A = B Kreis
2. A · B > 0,A 6= B Ellipse
3. A · B < 0 Hyperbel
4. A = 0;B,C 6= 0 Parabel mit Achse || zur x-Achse5. B = 0;A,D 6= 0 Parabel mit Achse || zur y -Achse
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