Results in Mathematics Vol. 17 (1990)

0378-6218/90/040296-11$1.50+0.20/0 (c) 1990 Birkhauser Verlag, Basel

Uber N. I. Dubrovin's Ansatz zur Konstruktion von nicht vollprimen Primidealen

in Kettenringen

Martin Schroder, Duisburg (FRG)

Abstract

In zahlreichen Arbeiten wird seit wehr als zwei Jahrzehnten das Problem ange­sprochen, inwieweit Kettenringe nicht vollprime Primideale enthalten kannen. FUr eine positive Antwort, wie sie N. I. Dubrovin's Arbeit [7] enthalt, fehlt leider bislang ein vollsta.ndiger Beweis. Die vorliegende Arbeit belegt im Gegenteil durch ein Bei­spiel, daB der sehr allgemeine· Ansatz von Dubrovin, nicht vollprime Primideale zu konstruieren, nicht in jedem Kontext trigt. Die Frage, inwieweit Modifikationen zur Konstruktion der genannten Ideale fiihren kannten, IIJ.Ufi offen bleiben.

1 Zur Problemstellung

Eine der aktuell zentralen Problemstellungen im Bereich der Kettenringe ist die immer noch offene Frage nach der Existenz von nicht vollprimen Primidealen.

Dabei verstehen wir unter einem Links- (Rechts-) Kettenring einen nicht notwendig kom­mutativen Ring mit 1, des sen Links- (Rechts-} Ideale durch Inklusion linear geordnet sind. Ringe, die sowohl Links- als auch Rechts-Kettenringe sind, bezeichnen wir als Kettenringej sie sind somit naheliegende Verallgemeinerungen von Bewertungsringen im Sinne von Schil­ling ([16]). Ein zweiseitiges Ideal P eines Ringes R heiBt prim oder auch Prim ideal, falls fur zweiseitige Ideale A, B mit AB ~ P stets A ~ P oder B ~ P folgt. Gilt diese Implikation analog elementweise, folgt also aus ab E P stets a E P oder b E P, so heiBt P vollprim.

Die oben aufgeworfene Frage wurde an vielen Stellen in der Literatur mehr oder weniger explizit angeschnitten. Bereits in einer Arbeit von E. C. Posner [14] aus dem Jahre 1963 wird indirekt die Moglichkeit angedeutet, daB solche Ideale existieren, ohne daB explizit ein Beleg dafiir ersichtli'ch ist. Eine Modulklassifizierung von B. Osofsky ([15]) ist nur bis auf die (offene) Existenz von Ringen vollstandig, die neben anderen Eigenschaften ein nicht vollprimes Primideal besitzen. Desgleichen stoBt eine modultheoretische Arbeit von V. K. Goel und S. K. Jain [10] aus 1978 ebenfalls auf dieses Problem wie auch eine explizite Herausstellung dieser Fragestellung in [11] und [12].

Schroder 297

Bereits 1974 wurde diese Frage aber auch von G. Tomer in geometrischem Gewand entdeckt, siehe [17], und 1976 als ringtheoretisches Problem in [3] formuliert. Eine verbandstheoreti­sche Kennzeichnung der Umgebung von nicht vollprimen Primidealen wurde schliefilich in [2] gegeben. Nichtsdestoweniger steht eine positive oder auch negative Antwort aus. Inso­fern wurde N.!. Dubrovin's Ankiindigung eines entsprechenden Beispiels zunachst mit groBer Aufmerksarnkeit registriert. DaB jedoch auch dieser Beitrag vorerst keinen Losungsvorschlag enthiilt, wird irn folgenden dargelegt. Mehr noch, das hinsichtlich der Beweissicherung unbe­friedigende Verfahren wird in der von Dubrovin formulierten Version durch die Angabe eines Gegenbeispiels als falsch nachgewiesen werden. Ob Modifikationen oder Einschrankungen dieses Ansatzes eventuell doch ein viel gesuchtes Beispielliefern konnten, bleibt weiterhin fraglich. Bevor wir uns diesem Konstruktionsverfahren widmen, erwahnen wir noch die folgende Begriffsbildung.

Unter einer rechtsgeordneten Gruppe (G, :5r) verstehen wir eine mit einer linearen Ordnungs­relation :5r versehene Gruppe G, die das Rechtsmonotoniegesetz erfullt, d.h. a :5r b impliziert ac :5r bc fur alle c E G. Gleichwertig mit dieser Definition, und vielfach handlicher, ist die Angabe eines sogenannten vemllgemeinerten Positivkonus P von G, der die Rechtsordnung a :5r b via ba-l E P induziert. Der verallgemeinerte Positivkonus P ist durch die drei Eigenschaften PP ~ P, P np-l = {I} und P Up-l = G charakterisiert . Entsprechend bezeichnen wir eine rechtsgeordnete Gruppe auch durch (G, P). Zu jeder linearen Rechts­ordnung :5r auf G gehOrt eindeutig eine lineare Linksordnung :51 und umgekehrt, gemaB a :51 b {:} a-1b E P <===} b-l :5r a-I. Erfullt eine lineare Ordnungsrelation :5 auf G sowohl das Rechts- wie auch das Linksmonotoniegesetz, so heiBt :5 bekanntlich eine (beidseitige) Anordnung der Gruppe G. Der zugehOrige Positivkonus P erfullt dann auBer den drei oben genannten zusatzlich die Eigenschaft: cPc-1 = P fur aIle c E G. - Fur einen veraIlge­meinerten Positivkonus bezeichnen wir im folgenden mit P+ die Menge P\{I} der strikt positiven Elemente.

N. I. Dubrovin's Konstruktion eines nullteilerfreien Kettenringes mit einem Primideal, das nicht vollprim ist, basiert auf dem folgenden von ihm genannten sehr allgemeinen Konstruk­tionsprinzipl (vgl. [7], Theorem 1, p. 438):

Satz 1.1 (Konstruktionsprinzipl) Sei P der Positivkonus einer rechtsgeordneten Gruppe G und K ein kommutativer Kiirper, demrt daft der Gruppenring KG in einen Schiefkiirper D eingebettet ist. Dann existiert in D ein Kettenring R, welcher den Halbgruppenring K P = K[P] enthiilt und folgende Eigenschaft (1) hat:

(1) Zu jedem r E R, r =t 0, gibt es eindeutig bestimmte Elemente g1> g2 E P mit r R = glR,Rr = Rg2.

Insbesondere wird behauptet, daft man R als Vereinigung

R= U An neN

einer aufsteigenden Folge Ao ~ Al ~ ... ~ An ~ ... von K -Algebren erhiilt, welche mit

lBisher ohne vollstandigen Beweis

298 Schroder

Ao := K[P] beginnt und induktiv gemiifl An+1 := An[{s-l I sEAn \In}], n = 0,1"", innerhalb D gebildet wird. Dabei ist I n das von P+ = P\{I} in An erzeugte Ideal, und fur n = 0,1, ... wird die Giiltigkeit von

(2)(i) An = K e I n

(2)(ii) P+ ~ I n

(2)(iii) Zujedema EAn,a=lO, existiereng1,g2 EP unds1 ,s2 EAn\Jn mita=glsl =S2g2

behauptet. (A us der Giiltigkeit von (2) fiir aile n E 1N folgt die Giiltigkeit von (1).)

Bemerkung 1.2 Fiir einen beliebigen Ring R mit Einselement und eine rechtsgeordnete Gruppe (G,P) fiihrt Dubrovin folgenden Begriff ein (vgl. [7], Definition 1, p. 438).

Es sei Rein Ring mit 1 und (G, P) eine rechtsgeordnete Gruppe, ferner II. : P ---+ Rein Monomorphismus des Monoids (P,.) in das multiplikative Monoid (R, .). Dann heiflt der Ring R zu (G, P) assoziiert , wenn zu jedem r E R, r =I 0, eindeutig bestimmte 2

Elemente 91,g2 E P mit rR = lI.(gl)R und Rr = RII.(g2) existieren.

Der wichtigste Fall ist dabei derjenige, wo (P, .) ~ (R, .) und II. die Identitat ist, wie er auch bei obigem Satz 1.1 vorliegt. In jedem Fall folgt, daB Rein nullteilerfreier Kettenring ist, wobei die Rechtsideale (Linksideale) von R bijektiv und inklusionserhaltend den Gruppen­Rechtsidealen (Gruppen-Linksidealen) von P entsprechen, d.h. den Teilmengen 11 ~ P mit der Eigenschaft 11 . P ~ 11(P . 11 ~ 11). Dieses sind die Teilmengen 11 von P mit der Eigen­schaft i E 11, i $J j ~ j E 11(i E 11, i ~r j ~ j E 11), d.h. die upper sets bzgl. der linearen Ordnung ~, (bzw. ~). Au6erdem entspricht hierbei der Verband der zweiseitigen Ideale von R bijektiv (allerdings nur) einem Teilverband des Verbandes der zweiseitigen Gruppen­Ideale von P, und wichtige Eigenschaften von IdeaIen des Ringes R, wie z.B. prim oder vollprim, iibertragen sich bijektiv von entsprechenden einfachen Eigenschaften der zugehOri­gen Gruppen-Ideale und lassen sich an diesen ablesen. Fiir unsere Zwecke ist die oben in Satz 1.1 gegebene explizite Darstellung, ohne die Sprech­weise R ist zu (G, P) assoziiert, vorteilliafter .•

Urn das Vorgehen von Dubrovin bei seinem Beweis (Beweisversuch) der Eigenschaft (2) fUr aile An, n E 1N, zu verdeutlichen, benutzen wir wie Dubrovin die folgende formale Sprechweise (vgl. [7], p. 439). Sei (G,P) eine rechtsgeordnete Gruppe, K ein kommutativer Korper. Fiir eine K-Algebra A mit Einselement mit K P ~ A sagen wir A erfiillt die Eigenschaft (*) genau dann, wenn folgendes gilt:

A enthiilt ein maximales Ideal J (notwendig das von P+ erzeugte Ideal), so daB die folgenden drei Eigenschaften (*.1), (*.2) und (*.3) gelten

lIn [7) ist die Forderung der Eindeutigkeit, die iibrigens zu p(P+) ~ J(R) aquivalent ist, versehentlich fortgelassen (J( R) = J acobson-Radikal von R).

SchrOder

(*.1) A=KffiJ

(*.2) P+ ~ J

299

(*.3) Fiir jedes r E A,r =I 0, existieren Elemente 91192 E P und S1l82 E S:= AV mit r = 9181 = 8292.

Das Bestehen von (*) ist fiir Ao = K[P] offensichtlichj und daB (*) fiir aIle oben beschrie­benen An, n = 0,1, ... , gilt, solI nun mit Induktion gezeigt werden. Den Induktionsschritt wird man zunachst intuitiv dadurch zu beweisen versuchen, daB man nur die Eigenschaft (*) von An benutzt, um daraus dieselbe Eigenschaft (*) fiir An+l zu zeigen. Auch Dubrovin versucht, den Induktionsschritt auf diese Weise zu fiihren, indem er versucht, die Giiltigkeit der folgenden allgemeineren Aussage (3) zu beweisen:

(3) Sei (G, P) eine rechtsgeordnete Gruppe, K ein kommutativer Korper und A eine in einen Schiefkorper D eingebettete K -Algebra mit K P ~ A, so daB A die Eigenschaft (*) erfiillt. Dann erfiillt auch die in D gebildete K -Oberalgebra AI := A[ {8-1 I 8 E A V}] die Eigenschaft (*).

Die Ubedegung in [7] zum Beweis von (3) beruht auf vier Lemmata. In der Tat kann damit die Eigenschaft (*.1) fiir AI hergeleitet werden, wahrend (*.2) trivial ist. Jedoch der Nachweis von (*.3) fur AI ist problematisch: Dubrovin benutzt sein Lemma 3 ([7], p. 439), dessen Beweis liickenhaft ist.

Nach vielen Versuchen, den Beweis von (3) auf andere Weise zu erbringen, entdeckte der Autor nun, daB die Aussage (3) selbst falsch ist. Das wird hier durch ein Gegenbeispiel gezeigt, siehe Abschnitt 4.

Erwahnenswert ist, daB in diesem Gegenbeispiel die rechtsgeordnete Gruppe G sogar eine (beidseitig) angeordnete Gruppe (G,:5) ist, so daB es also selbst in dem Spezialfall einer beidseitig angeordneten Gruppe (G, P) keinen Beweis von 1.1 auf die oben beschriebene naheliegende Weise gibt.

2 Ein Sonderfall

Ein wichtiger, durch vollstandigen Beweis gesicherter Sonderfall von Satz 1.1liegt vor, wenn der Gruppenring KG ein Rechts-Ore-Ring bzw. Links-Ore-Ring ist. (Zum Beispiel, wenn G das semidirekte Produkt von zwei torsionsfreien abelschen Gruppen ist, ist fiir jeden Korper K der Gruppenring KG stets Ore. Fiir weitere Beispiele von K-Ore-Gruppen3 G vgl. Albrecht-Tomer [1].) Sei KG Rechts-Ore und in irgend einen Schiefkorper D eingebet­tet. Dann gelten fiir jeden verallgemeinerten Positivkonus P von G die folgenden Aussagen. (Wenn KG Links-Ore ist, gelten analoge Aussagen. Was Beweise anbetrifft, vergleiche Du­brovin [6] und Albrecht-Tomer [1].)

3Eine Gruppe G heiSt K- Ore, falls K[ GJ die Ore-Bedingung erfiillt, vg\. [8].

300 Schroder

(4) Die in Ao = K[P] mit Jo = K[P+] gebildete Menge So = Ao Vo ist Rechts-Ore-Menge von Ao. Deshalb ist A I(= Ao[{S-I Is E So}]) = {ys-I lYE Ao,s E So}.

Uber die fUr alle x E K[G] giiltige Faktorisierungseigenschaft (d.h. 3g,g' E G3s,s' E So : x = gs = s'g') - und mit der daraus bei Betrachtung von X-I folgenden Eigenschaft V(g, s) E G x S0 3(g},SI) E G X So: gs-I = S1 Ig1 - erhii.lt man aus (4) die folgende Aussage (5):

(5) Jedes r E A},r =f 0, hat Darstellungen r = gIUI = U2g2 mit g},g2 E P und UI = SIS2"\U2 = S3S4"\S; E So(i = 1,2,3,4), also U},U2 Einheiten von AI.

Wegen (5) gilt:

Zu jedem rEA}, r =f 0, existieren eindeutig bestimmte g}, g2 E P mit r Al = gIAI und AIr = A Ig2,

so da.J3, wegen der auf G gegebenen Rechts- und Linksordung, Al schon der Kettenring R mit allen in Satz 1.1 behaupteten Eigenschaften ist. Wir erwahnen, daB hier Al = A2 = ... = An fUr aIle n ;::: 2 gilt.

3 Ein Hauptlemma

Sei K := Q der Korper der rationalen Zahlen und G := G{,'1 die freie Gruppe in ~ und '1]. Das Einselement von G{,'1 bezeichnen wir mit 1. Bekanntlich kann man G{,'1 anordnen, und insbesondere konnen wir hier eine Gruppenanordnung ~ von G{,'1 mit 1 < 'I] < ~ wahlen. Es sei P := {t E G{,'1 I 1 ~ 'Y} der zugehorige Positivkonus. Wie leicht zu sehen, ist bei der gewahlten Anordnung die Menge {~n In E IN} konfinal in (G{,'1' ~), d.h. zu jedem 'Y E G{,'1 existiert ein n E IN mit 'Y ~ ~n. Uber der linear angeordneten Gruppe (G{,'1'~) bilden wir den Malcev-Neumann-Schiefkorper Q( (G{,'1)) der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten aus Q. Dieser hat die kanonische Bewertung

va:

mit den Eigenschaften

Q((G{,'1))

a

G{,'1 U {co} {Min a:uppa

va(ab) = va(a) .va(b)

fiir a =f 0 fiira=O

va(a + b) > Min (va(a),va(b)).

In Q((G{,'1)) sind der Gruppenring Q[G{,'1] und der von Q[G{,'1] innerhalb Q((G{,'1)) erzeugte Teilschiefkorper enthalten. Den letzten bezeichnen wir mit Q(G{,'1). Von dem Element

b:= (1 + '1])(1 - ~tI(l + 1/)

Schroder 301

aus Q(Ge.'l) zeigen wir zunachst, daB b algebraisch frei iiber dem Teilring Q[Ge.'ll ist, in dem folgenden allgemeinen Sinne:

Definition 3.1 Ein beliebiges Element b aus einem Ring RI heiflt frei tiber einem Teilring R2 von RII wenn b keine nichttriviale Gleichung der allgemeinen Form

(1) (1) (1) (1) } ao + aI.I xaI.2 + a2.1 xa2.2 + ... (n) (n) (n) 0 ... + a I•I xaI.2 x ... aI.n+I =

(n) (n) (n) + ... + ak.I xak.2x ... ak.n+I

mit Koejfizienten a~J) E R2 und x := b erfiillt.

Zum Beispiel ist b E Rl frei iiber R2 , wenn bei einem Homomorphismus A von dem Zwi­schenring R2[bl das Bild A(b) frei iiber A(R2) ist und AIR. injektiv ist. Dies liegt sicher dann vor, wenn das Bild A(R2[b]) in einer freien Potenzreihen-Algebra Q{{x,y,z)) (in den drei unabhangigen freien Erzeugenden x,y,z) liegt, wobei A(R2) ~ Q{{x,y)) c Q{{x,y,z)) und A(b) = z und AIR. injektiv ist.

Lemma 3.2 b = (1 + 17)(1 - etl(1 + 17) E Q(Ge.'l) ist frei tiber dem Teilring Q[Ge.'ll von Q(Ge.'l)·

Beweis: Der freie Gruppenring Q[Ge.'1l hat bekanntlich viele nicht isomorphe Quotienten­schiefkorper (vgl. [9l, [4l u.a.), aber da Q[Ge.'ll spezielI ein fir ist ([5]), existiert zu Q[Ge.'7l ein universal field of fractions U 2 Q[Ge.'ll in dem scharferen Sinne, daB die Einbettung Q[Ge.'ll __ U ein Anfangsobjekt ist in der Kategorie aller Q[Ge.'ll-Schiefkorper (das sind be­liebige Schiefkorper K mit einem Homomorphismus IL : Q[Ge.'ll __ K) und Spezialisierungen als Morphismen (siehe [5]). Das bedeutet: Zu jedem Homomorphismus IL : Q[Ge.'7l -t K in einen Schiefkorper K existiert eine Spezialisierung A von U in K, d.i. ein Homomorphismus

A : lAo -- K von einem lokalen Teilring lAo ~ U mit Q[Ge.'ll ~ lAo, so daB A IQ[Ge.'ll = J-! und der Kern von A das maximale Ideal von lAo ist. Wie J . Lewin in [13l gezeigt hat, ist U fUr den freien Gruppenring Q[Ge.'7l bis auf Isomorphie gerade der von Q[Ge.'ll erzeugte Quotien­tenkorper in dem zu einer (beliebig gewahlten) Anordnung von Ge.'l gebildeten Potenzreihen­schiefkorper Q«Ge.'l)) nach Malcev-Neumann.

Sei u : Q(t) -+ Q(t) der durch u(t) = t3 bestimmte Monomorphismus des kommuta­tiven Funktionenkorpers Q(t). Q(t)[[x,u]] sei der Schief-Potenzreihenring alIer (Rechts­)Potenzreihen ao + xlal + x2a2 + .. ',ai E Q(t), mit der Vertauschungsregel ax = xO"(a) fiir a E Q(t)j dies ist bekanntlich ein Rechts-Ore-Bereich, sein Quotientenschiefkorper sei hier mit lC bezeichnet.

Q(t)[[x,u]] enthalt die freie Potenzreihenalgebra Q((x,y,z)) = Q((x,xt,xt2)) in den drei unabhangigen freien Erzeugenden x, y := xt und z := xt2. Dies erkennt man folgendermaBen: Ein beliebiges Element a aus Q((x,y,z)),Q((x,y,z)) ~ Q(t)[[x,u]] mit y = xt und z = xt2, ist eine formale Summe a = Er(iI •.... i n )il i2 ••• i n mit r(i, •...• i n ) E Q, wobei iiber aIle endlichen Folgen (iI, "', in) mit n E 1N und it, "', in E {x, y, z} = {xtO, xtI, xt2} summiert wird. Also ist

302 Schroder

wobei sich die Indexfolgen in der ersten und zweiten Darstellung von a aufgrund

bijektiv entsprechen. In Q(t)[[x,O'll gilt nun

und wegen Vb"', Vn E {O, 1, 2} kann man aus

riickwarts alle Koeffizienten r(IIt .... :lln) zu allen endlichen Folgen (V., "',vn),n E IN", und damit auch aIle r(ilo .... in ) zu allen entsprechenden (i., .. " in) eindeutig ablesen. Daraus folgt die obige Zwischenbehauptung.

Da Ge." freie Gruppe in e,." ist und 1 - x und -1 + xt Einheiten von Q(t)[[x,O']] sind, wird durch

I:e -+ I-x

1 :." -+ -1 + xt

ein Q-Algebrenhomomorphismus

I: Q[Ge."l-+ Q(t) [[x, 0'11

bestirnmt. Wegen

und

1(.,,-1) = (-1 + xttl = -1-xt _(xt)2 - ...

-1 - xt1 _ x2t4 _ x3t13 - •••

gilt 1(~[Ge.'1]) ~ ~((x,xt}) C Q(t)[[x,0']] C K..

Wie man zeigen kann, ist 1 injektiv. Man kann z.B. mittels Koeffizientenvergleich direkt nachrechnen, daB die I-Bilder

(mit Vb V2, ••• E 7l\{O}) aller Elemente von Ge." linear unabhangigiiber Q sind.

Nach Vorangehendem ist unser innerhalb von Q((Ge.,,)) gebildeter Quotientenkorper Q(Ge.71 )

ein universal field of fractions von Q[Ge."l. Deshalb existiert insbesondere zu dem Homomor­phismus 1 : Q[Ge.711 --t Q(t)[[x, 0']] C K. ein lokaler Teilring U:J von Q( Ge.ll) mit UJ 2 Q[Ge.1l1 und ein Homomorphismus

Schroder 303

so daB oX I ~[Ge.'11 = 1 und der Kern ked. = Mo das maximale Ideal von Uo ist. Es folgt nun

bE Uo und oX(b) = xt2 •

Denn aus oX(1 - e) = 1(1 - e) = x of 0 und der Lokalitat von Uo mit Mo = ked und Uo 2 Q[Ge.'11 folgt (1 - e)-I E Uo und damit b = (1 + ,,)(1 - etl(1 + ,,) E Uo, ferner

oX(b) = (1 + 1(,,))(1 - 1(e}}-I(1 + 1(,,)) = xt . X-I. xt = xt2 •

Insgesamt haben wir einen Homomorphismus oX mit

A(~[Ge.'1]) ~ ~{{x,xt}} = ~({x,y}},A(b) = xt2 = z und A I ~[Ge.'11 injektiv.

Da ~{{x,y,z}} eine freie Potenzreihenalgebra in x,y,z ist, folgt mit der Lemma 3.2 voran­gehenden Bemerkung: b ist frei iiber ~[Ge.'11. Damit ist Lemma 3.2 bewiesen. _

4 Das Beispiel

Nun sei

D:= ~((Ge.'1))(T)

die Schiefkorpererweiterung von ~((Ge.'1)) mit der zentralen Unbestimmten T. Innerhalb D betrachten wir zunachst den Teilring Q[Ge.'1Hb+Tl. Seine Elemente r sind endliche Summen der Form

r = Ec1:)(b + T)c~i)(b + T) .. ,c~:_I(b + T)c~J i

mit c~i) E ~[Ge.'11. Nach Umformen (wegen T E Zentrum von D) erhalt man

mit gewissen Ausdriicken .A,,(r) E ~[Ge.'1Hbl ~ Q(Ge.'1)' speziell

.Ao(r).= Ecii)bc~i)b .. ,c~!_lbc~J. i

Da b frei iiber ~[Ge.'11 ist (Lemma 3.2), gilt fiir alle r E ~[Ge.'1][b + Tl die Aquivalenz:

(6) r of 0 {::=} .Ao(r) of O.

Hiermit beweist man den folgenden

Satz 4.1 Die in D eingebettete ~-Algebra

A := {r E Q[Ge.'1][b + Tli vG( .Ao(r)) ~ I}

304 Schroder

erfullt alle drei Eigenschaften (*.1), (*.2) und (*.3) bezuglich K = ~ und der angeordneten Gruppe (G,::;) = (Ge,'1' ::;). Dabei ist J = {r E A I va(.Ao(r)) > I}. Jedoch die in D gebildete Q-Oberalgebra

A' := A[{S-l Is E S:= AV}]

erfiillt nicht die Eigenschaft (*.3) bzgl. (G, ::;).

Beweis: DaB J := {r E A I va(.Ao( r) > I} ein Ideal von A ist, ist leicht zu sehen.

Die Eigenschaft (*.2) ist trivialerweise erfiillt.

Zum Nachweis von (*.1) fiir A ist wegen Q n J = {OJ nur A = ~ + J zu zeigen. Dazu sei rEA mit r ¢:. J, also va(.Ao(r)) = 1. Die Potenzreihendarstellung von .Ao(r) in Q((GC'1)) hat die Form

.Ao(r) = a1 ·1 + a"n/1 + ... + a'YI + ...

mit 1 < 11 < ... < 1< ... in (Ge,'1'::;) und at,a'YP'" E Q, mit a1 =I o. Wegen a1 E ~ ~ A gilt zuniichst r -a1 E A mit .Ao(r -a1) = .Ao(r) -at, also va( .Ao(r -ad) = va( a'Yl 11 + ... ) > 1, d.h. r - a1 E J, und wir haben r = a1 + (r - a1) E Q + J bewiesen.

Urn die Giiltigkeit von (*.3) fUr A zu zeigen, sei r E A\{O} gegeben. Nach (6) gilt auch .Ao(r) =I 0, und daher va(.Ao(r)) = 9 mit einem 9 E P. Wir bilden r = g(g-lr) und r = (rg- 1)g und zeigen: g-lr E S = AV und rg-1 E S, woraus die Giiltigkeit von (*.3) fUr A folgt.

Zuniichst liegt mit r auch g-lr bzw. rg-1 wieder in ~[Ge''1][b + T]. Ferner folgt aus r = .Ao(r) + A1(r)T + ... + A,.(r)T" die Darstellung

g-lr = g-l .Ao(r) + g-l A1(r)T + ... + g-l A,. (r)T"

bzw. rg-1 = .Ao(r)g-l + A1(r)g-lT + ... + A,.(r)g-lTn,

d.h. es folgt .Ao(g-lr ) = g-l.Ao(1") bzw . .Ao(rg-1) = .Ao(r)g-l und daher va(.Ao(g-lr)) = g-l . va(.Ao(r)) = 1 bzw. va(.Ao(rg-1)) = va(.Ao(r)) . g-l = 1, womit g-lr E S und rg-1 E S gezeigt ist.

DaB fiir A'die Eigenschaft (*.3) nicht gilt, wird klar durch den Nachweis, daB TEA' gilt und in jeder Zerlegung T = 9 . s mit 9 E P und sEA' das Element s stets in dem von P+ erzeugten Ideal JI von A' liegt. Zuniichst folgt fiir beliebiges n E 1N aus

die Identitiit

b (1+,.,)(I-et1(1+,.,)

= (1 + ,.,)(1 + e + e + ... + e"-l )(1 + ,.,)

+(1 + ,.,)C(1 - et1(1 +,.,)

Schroder 305

(7)

mit den Abkurzungen

rn:= (b+ T) - (1 + .,,)(1 + e + e + "'+C-I )(1 +.,,)

und r~ := (1 + .,,)C(l - etI(l + .,,).

Hierin ist e-nrn EA. Denn offenbar ist e-nrn E Q[Ge''1][b + T] und e-nrn = Ao + AIT mit Al = e-n und Ao = e-n(1 +.,,)en(1-et I(l +.,,); wegen vG(Ao) = 1 folgt e-nrn EA. Ferner gilt e-nr~ E A'. Denn in der Zerlegung

e-nr~ = e·-n(l + .,,)C . (1 - 0-1 • (1 +.,,)

liegen die Faktoren e-n (1 +." )en und (1 +.,,) in A, wahrend der Faktor (1 - e)-I in A' liegt.

Zusammen ergibt sich wegen (7) die Aussage:

(8) Fur alle n E IN gilt e-nT E A'.

Speziell fUr n = 0 haben wir: TEA'.

Sei nun T = 9 . seine beliebige Zerlegung von T mit 9 E P und sEA'. Wegen der Konfinalitat von {en I n E IN} in (Ge.'1' ~) existiert nI E IN mit 9 < enl , also g-Ienl E P+. Dann folgt

s = g-ICl ·e-nlT

mit g-Ienl E P+ und e-nlT E A' (nach (8)), d.h.

s E p+ . A' ~ J' .

Damit ist Satz 4.1 bewiesen. _

Bemerkung 4.2 Ubrigens folgt mit (8) sogar, dafJ fur jedes 9 E Peine Zerlegung T = 9 ·a' mit a' E A' existiert, was indirekt auch der Eigenschaft (*.3) widerspricht.

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(14) Posner, E.C.: Left valuation rings and simple radical rings. Trans. Amer. Math . Soc. 107 (1963)3, 458 - 465.

[15) Osofsky, B.1.: Noncommutative rings whose cyclic modules have cyclic injective hulls. Pacific J. Math. 25 (1968), 331 - 340.

(16) Schilling, O.F.G.: The Theory of Valuations. Math. Surveys No.4; Providence (R.I): Amer. Math. Soc. 1950.

(17) Tomer, G.: Eine Klassifizierung von Hjelmslev-Ringen und Hjelmslev-Ebenen. Mitt. Math. Sem. GiefJen 107 (1974).

Fachbereich Mathematik Universitat Duisburg

D-4100 Duisburg 1

Eingegangen am 27.Marz 1990