Math. Xachr. 85,283-302 (19%)

uber Naherungsverfahren zur Losung der nichtlinearen SC'HRdDINGER-GleiChUng

Voii HERBERT GAJEWSKI in Berlin

(Eingegangen a.m 24.7.1976)

In dieser Arbeit befassen wir uns mit der nichtlinearen SCHRODINGER-Gkj- chung

der diinensionslosen Standardform einer Reihe nichtlinearer Wellengleichungen der mathematischen Phpsik (vgl. [ S ] , [9] und die dort zitierte Literatur). ZAKHA- ROV und SHABAT [ill haben zuerst bemerkt, daB diese Gleichung zu jener be- merkenswerten Gruppe nichtlinearer Gleichungen gehort, fur die das CAUCHY- Problem mit Hilfe der inversen Streutheorie exakt gelost werden kann. Dieser Lijsungsweg wurde von GARDNER, GREENE, KRUSKAL und >hum [S] entdeckt und erstnialig zur Losung der KORTEWEG-DE V~~~s-Gle ichung beschritten. Gleichungen der erwlihnten Gruppe zeichnen sich durch weitere Resonderheiten aus. Sie haben sogenannte Solitonenlosungen, stabile Losungen der Form u = = u (x -c t ) und beRitzen eine unendliche Folge von Erhaltungsintegralen. Die Solitonenlosungen der nichtlinearen ScHRoDINaER-Gleichung und eine Liste ihrer Erhaltungsintegrale findet man in [ i l l . Fur das Folgende haben die Integrale

iu,+u,+k Ju\')u=O, i = l - l ,

13edeutung. Irn Unterschied xu den genannten Arbeiten beschaftigen wir uns nicht rnit der

lionstruktion und dem yualitativen Studium exakter Losungen. Vielmehr ist es unser Hauptziel, Verfahren zur approxirnativen Losung der nichtlinearen SCHRO- uIsGER-Gleichung anzugeben und ihre Konvergenz zu beweisen. Wir betrachten liier das Anfangswertproblem bei raumlich periodischen Randbedingungen, das iiwersen Streumethoden nicht ohne weiteres zuglnglich ist. Viele unserer Uber- legungen sind jedoch auf das CAUcHY-Problem bei fur 5 -f +- hinreichend schnell ahklingenden Anfangswerten und auch auf andere nichtlineare Wellengleichungen, ?)eispielsmeise die in [i] betrachtete Gleichung (u -u,)~+ (1 +u) ux=O, iiber- t rag1 Jar.

Die A4rl)eit gliedert sich jn sechs Aloschnitte. Der erste Abschnitt enthalt Bezeichnu ngen und die Zusammenstellung einiger Hilfsmittel. Ein fur das

284 Gajewski, ober Niiherungsverfahren

Weitere grundlegender Existenz- und Einzigkeitssatz wird mit Hilfe des GALER- KIN-Verfahrens im zweiten Abschnitt bewiesen. Dort findet sich auch ein Satz iiber die starke Konvergenz des GALERKIN-Verfahrens, das unter unseren spe- ziellen Bedingungen auch als FOURIERSche Methode gedeutet werden kann. T m dritten Abschnitt wird ein Iterationsverfahren der Form iui, + zlim =f(uj - i) he- griindet. Dieses Iterationsverfahren wird im vierten Abschnitt mit dem GALER- xm-Verfahren kombiniert. Die numerische Realisierung des so entstehendeii Projektions-Iterationsverfahrens erfordert lediglich Quadraturen. Im funften Ali- schnitt weisen wir einige Regularitatseigenschaften der Lomng der nichtlinearen ScHRoDIxaER-Gleichung nach. Diese Eigenschaften nutzen wir im sechsten Ab- schnitt zur Verscharfung der Konvergenzaussagen fur die betrachteten Naherungs- verf ahren .

1. Bezeichnungen, Hilfsmittel

1st z eine komplexe Zahl, so bezeichnen 1x1, Re x bzw. Im x Betrag, Real- bzw. Tmaginarteil von x und 2 die konjugiert komplexe Zahl. Fur eine beliebige positive reelle Zahl definieren wir :

Aus den fur beljebige komplexe Zahlen xi und z3 offenbar giiltigen Abschatzungen

3 2 1 / 2 , / 2 2 1 - lz*j2 22 15 (12I l2+ 1x212) jz1-z*1 , (1.1)

IP,zj-P,zgl slxl-2J

ergibt sich

(1-2)

(1 -3 )

I 1P,z1)2 P&- lP,z2)2 Przal s 3 r z jxi-zql .

1 )PrzpZi-12#z:! s 3 r z I21-ZzI . 1st etwa (x21 S T , so gilt auch

I

Fur ein Gebiet G des R“ bezeichnen wir durch CZ(Cr),Lp(Q) und Hz(G) die iiblichen Riiume auf G definierter komplexwertiger Funktionen (vgl. z. B. [7, 81). Zur Abkurzung schreiben wir :

1

H=L2(0, I), (u, v ) = SU(Z) V(X) dz, l l ~ 1 1 2 = ( ~ , u), V U , VVEH , 0

diu uj=-

d d ’ V q U C H z ( 0 , l ) , U ~ ( o ) = U ~ ( l ) , j = o , 1,. . . ,Z-l],

Gajewski, Uber Naherungsverfahren 285

Wir identifizieren H mit seinem dualen Raum und konnen H somit als Teil- rauin des zu V dualen Raums V* ansehen. Im Einklang damit benutzen wir das Sylnbol(. , .) auch zur Bezeichnung der Paarbildung zwischen Elementen von V* und V. Die Norm in V* bezeichnen wir durch II.II-l. Sei noch LE(V-+V*) die durch

du ax

(Lt t ,h)= - U&&X V U , Vh,EV, u,= ,

a2

d X 2

(1.4) 0 i definierte stetige Erweiterung des Operators --€( V2- V*) .

Lemma 1.1. Far tc~HJ(0, 1) gilt \\~lfj,~,~,~\\u/] (llull+2 Ii*,ll). 13 ewe i s. Durch partielle Integration erhalt man zunachst

1 1

lu(1)12= J S (u,ii+uii,) (8 ) ds+ J lU(8) l ’ds. 0 0

Damit ergibt sich weiter 1

Iu(x)J1= lu(1)li- [ (u,ii+u~,) (8 ) ds X

1 1 1

= f ju (s ) j ’ds+$s (u,ii+uii,) ( 8 ) d8-J(u,a+uaii,) ( 8 ) d S d 0 5

2 1

=((U1I4+ I.9 (U,ii+U~,) (8) d8+ (8- 1) (?@+Uii,) (8 ) d8 0 1:

I

sIlH/p+ J (U,4+UZl8) (8) dSZ11%/J2+2 lJUll IJu,ll - 0

Hieraus ergibt, sich unmittelbar die Rehauptung.

Leniina 1 .?. Ftir beliebiges u E V gilt P,u E V und I\P,ul\ Heweis. Zimiichst, ist wegen (1.1) llPrul[ sI[ulj. l$7eiter gilt fur beliebiges d > O

\full

i ? J /P,.u (X+d)-P,u(x)i2dxs J IU ( Z + ~ ) - U ( X ) I ~ & .

0 0

--luf Grund eines hekannten Lemmas (vgl. z. B. [2], Proposition A. 7 und Corol- laire A. 2) folgt daraus PruEH1(O, 1) und II(Pru),ll S I ~ U , ~ ~ . Damit ist Lemma 1.2 hew iesen.

Lemma 1.3. Der durch die Vorschrift u + ~ P , , u : ~ P,u=A,zt VUEH

definierte Operator -4, gen~gt den Beziehungen

IIAr~~--A,24i s3rz ~ J u - v ) / ~ V U , V V E H , /&?~-~ti,’u’jj~5cr (r+]Ivx]J) ~ ~ u - v / ~ ~ VU, V V E P .

286 Gajewski, Uber Niilierungsverfahren

(Hier und im folgenden bezeichnet der Buchstabe c endliche, positive Konstanten, deren genauem Wert keine Bedeutung zukommt.)

Reweis. Die erste Behauptung folgt unmittelbar aus (1.2). Zum Beweis der zweiten Behauptung bemerken wir zuniichst, dal3 wegen Lemma 1.2 mit u~ V auch A,uE V ist. Seien nun u und w beliebige Funktionen aus V . Mit den Bezeich- nungen w = P,u und x = P p erhalten wir unter Benutzung von Lemma 1.1 und 1.2

1 1

J I ( A , u - A , z J ) , ~ ~ ~ x = Jl(le~l'w-lzj'z),i'dx 0 n

ti

1

S S J ( l W 1 2 Iw,-z,l+lz,l ( I w l + l z l ) IW-Zl)"X

s 9 (.2 llw,-~zll+2r (llw -4 +llwz-~xll) I l~x l l> ' (=(GT (~+11~X11) l l W - ~ I l i ) ' ~ ( C ~ (r+llZJ,Il) ll~-ZJ11,)2 *

n

Daraus ergibt sich unmittelbar die zweite Rehauptung. Sei im folgenden S=[O, TI stets ein beschranktes Zeitintervall und &=Sx

x [0, I]. Es erweist sich als zweckmafiig, neben den bereits genannten Rtiumen komplexwertiger ,,gewohnlicher" Funktionen auch Riiume ,,abstrakter" Funk- tionen zu betrachten. Fur einen BANACH-Raum B bezeichnen wir durch: - b ( S ; B) den RANACH-RaUm der auf 8 stetigen und I-ma1 stetig differenzier- baren Funktionen mit Werten in B, versehen mit der Norm

-C,(S; B ) den Raum der auf S schwach stetigen Funktionen mit Werten in B ; -Lp(S; B ) den RANACH-Raum der (BocHNER-)meBbaren Funktionen rnit

T

-a*(#; B) den Raum der Distributionen uber (0; T) mit Werten in B.

SchlieBlich sei u'=- die Ableitung einer Funktion uE L J ( S ; B ) , verstanden

im Sinne des Raums 9 * ( X ; B).

au dt

Bemerkung 1.1. Offenbar ist L p ( S ; L"(0, l ) )=Lp(&) . Demgemafi werden wir gelegentlich , ,gewohnliche" Funktionen als ,,abstrakte" Funktionen ansehen und umgekehrt.

Gajewski, uber Naherungsverfehren 287

Wir stellen jetzt einige bekannte Tatsachen uher ,,abstrakte" Funkt,ionen zusammen (vgl. z. B. [4, 7, 81):

(1.5) Aus uEL~(X; V ) und u'€L2(S; V * ) folgt uEC(X; H). t 1.6) Aus zcEC,(X; H ) und ucL"(S; V ) folgt u€C,(S; V ) . (1.7) Aus ucC,(S; V * ) und uEL"(S; H) folgt uEC,(S; H ) .

1st (un)cL2(S; V ) eine Folge mit (ui)cL2(S; V*) und , , z ( s ; v )+ l l~~ l l l ~ (s ;~ *~ )~~ '

so ist (u,) in L2(&) kompakt (vgl. TH. 5.1, Chap. I, in [7]).

2. Existenz- und Einzigkeitssatz. GALEaKm-Verfahren

M'ir betrachten das Anfangswertproblem

(2.1) iu'+Lu+k ju,pu=o, u(O)=a,

UEG(X; H)nc,(S; v), U'ECJS; v*) niit beliebigem reellen Parameter k . fjber den Anfangswert a setzen wir his zum Ende der Arbeit voraus (2.2) U E V .

Bemerkung 2.1. Fur u~ V gilt Luc V* und wegen Lemma 1.1 lul2uEHc V*. Deswegen hat (2.1) als Gleichung in Y* einen Sinn.

Bemerkung 2.2. Die Ergebnisse dieser Arbeit lassen sich leicht auf die etwas allgemeinere Gleichung iu' +Lu +P(u) = f bei geeigneten Forderungen an die Funktion F und die rechte Seite f uhertragen.

Bemerkung 2.3. Die in [7] fur die (2.1) ahnliche Gleichung u'-iLu+ ]u12u=O angegehenen Ergebnjsse basieren auf Monotonieeigenschaften des Operators

Wir werden in diesem Abschnitt die Existenz genau einer Losung des Pro- blems (2.1) beweisen. -41s Hilfsmittel dafur benutzen wir das GALERKIX-ver- fahren mit den ,,speziellen Koordinatenfunktionen"

und lassen sich nicht auf (2.1) anwenden.

h,=h, (x)=exp (h iZx ) , Z=O, fl, f 2 , . . . Fur die FommR-Summen

n

a,= C ( a , h , ) h , , n=O, 1 , 2 , . . . , I = - n

des Anfnngswertes a gilt wegen (2.2) unx= a,. Aus der Vollstandigkeit des Systems (hj) im Kaum H folgt daher

(2.3) a,-n (stark) in V .

288 Gajewski, fiber Naherungsverfahren

Definition 2.1. Ala n-te GALERKIN-Naherung der Losung von (2.1) hezeichnen wir eine Funktion der Form

n

I = - n vn=vn( t )= C b y ( t ) h,€Cl(S; V ) ,

die Losung des Problems

(2.4) ( iv ;+Lv,+k 1 ~ ~ 1 2 ~ ~ ~ h,) ( t ) = O , vn(O)=a,, Z=O, & I , . . . , f n

ist.

Bemerkung 2.4. Sei H , die 1ineareHullevon h -n , . . . , h,. Dann kann man wegen L{H,,) c {f?,} die GALERKIN-Gleichungen (2.4) auch in der Form

( i v A + L ~ , + k 1 ~ , 1 2 ~ , , ih+cLh) ( t ) = O VhEH,

schreiben. Daraus ist ersichtlich, da13 bei den von uns benutzten speziellen Koordinatenfunktionen das GALERKIN-Verfahren mit einer von DENDY [3] zur Liisung der linearen SCHR0l)INGER-Gleichung vorgeschlagenen, hinsichtlich der Approximationsordnung optimalen Variante dieses Verfahrens iibereinstimmt.

Lemma 2.1. Zu jedem n = 1, 2 , . . . gibt es gcnau eine n-tc G A L E R K I N ~ ~ ~ C ~ U ~ ~ v,,. Diese genugt den a priori Abschatxungen

( 2 . 5 ) I I ~ n l / c ( s ~ ; ~ ) s c , l l v n l l ~ ( ~ ~ s r n s c f 112

ri=IIanII (I/afi/I+2 (IkI IIanIIh (1 + I ~ I IIaIb+ 12 IIaxnI~?-k IIa,cIiEh,o,,)~) ) . Heweis. Bei (2.4) handelt es sich urn ein System nichtlinearer gewfihnlicher

Differentialgleichungen zur Bestimmung der Koeffizientenfunktionen by. Auf Grund der speziellen Rauart dieses Systems folgt seine Liisbarkeit aus klassischen Resultaten der Theorie gewohnlicher Differentialgleichungen in Verbindung mit den a priori Abschatzungen ( 2 . 5 ) , die wir jetzt mit Hilfe der einleitend angege- benen Erhaltungsintegrale beweisen. Aus (2.4) folgt einerseits

1

( l~v$)~= J dx=2 I m ( i v i + ~ v , + k lv,~? an, ~ J = O , il

d. h.

(2.6) Ilv,(t)ll~ = llanl12 5 llap, Pt € 8

und zum anderen 1

Gajewski, uber Nalierungsverfahren

d. 11.

289

Nun ist wegen Lemma 1.1 und (2.6)

lkl Ikl Ikl - IIvn(t)IGvo,i) 2 iIvn(t)I12 IIvnII&o,l) 2 HanIP (IIanII +2 IIetrrz(t)II) 2

1 s Ilanllh (1 + Ikl llan112) + g l ~ v m ( t ) ~ ~ ~ , 2

also gilt mit von n unabhangiger Konstante c

l l v & ( w ~ Ikl 11%114 (1 + Ikl Ilanl12)+ I2 Il~mlP-k l i ~ 9 J ~ ~ ~ o , l ~ l sc *

Unter Beachtung von (2.6) und (1.9) ergeben sich daraus die Abschlitzungen (2.5).

Remerkung 2.6. 1st k negativ, dann kann offensichtlich

gesetzt werden.

Lemma 2.2. Die Folge (v,) ist in L2(&) kornpakk

Heweis. 6ei gE V beliebig und gn= n

(9, h,) h, die n-te Foumasummevon

g. Unter Ausnutzung der Orthogonalitat der h, finden wir wegen (2.4) und (2.5) fur jedes t c S

I= -n

1(4(t), g)I=I(v;(t), gn)I=I((bn+k Ivn12v,* gn) (t)I sIIvw(t)II IIgnzII + IkI ~i IIvn(t)II IIgnII 5~ Mi 9

cl. h.

(“8) ll4c(s;v*) sc *

Tlaraus und aus (2.5) folgt wegen (1.8) die Behauptung. Wir konnen jetzt den angekundigten Existenz- und Einzigkeitssatz beweisen.

Satz 2.1. Das Problem (2.1) hat genau e h e Losung u. Diese geniigt der Ab- schdtzung

(2.9) l / ~ l I L “ ( * ) S T - J

r2_=ll(-4 (ll41+2 (lkl Ilall’. (If 14 ll4l?+ I2 Il%Ii*--k l l ~ l l ~ ~ ( o , l ~ l ~ 1 ’ 2 ~ *

Beweis. (Existenz) Auf Grund von (8.5) und Lemma 2.2 existieren eine Teilfolge (ai) der Folge (v,) und ein Element u so, da4 gilt (2.10)

(2.11)

(2.12)

ui - u (schwach) in Lz(S; V ) , uj +u (stark) in L*(&), u; - a’ (schwach) in U ( S ; V*) , ~ ~ ( 0 ) +O) (stark) in H .

19 &-Math. Sachr. Bd. 85

290 Gajewski, ober Niiherungsverfahren

Wegen der letzten Beziehung und (2.3) ist u(O)=a. Aus (2.11), (2.5) und (1.9) folgt uCLa(&) und mit (1.1)

2 2 9 11ujI’ uj- I u I 2 i2 s- 4 (c+IIuIIA-(Q+~ I I ~ ~ - ~ I I L ~ ( Q ) - F o *

B s Fiir beliebiges heLz(8; V) ergibt sich daher unter Benutzung von (2.10) und (2.12)

T 1’

f (iu’+~zc+k 1u12u, h) d ~ = lim J (iuj+Luj+k 1uj12uj, h) & = o . d I - - 0

Also gilt (2.1) zunachst als Gleichung in D(8; V*). Nun ist wegen (2.10), (2.12) und (1.5) u€C(S; H) und wegen (2.10) und (2.5) uEL-(S; V). Folglich gilt auf Grund von (1.6) u ~ C ~ ( 8 ; V). Gleichung (2.1) impliziert noch u‘EC,(S; V*).

(Einzigkeit) Sei u eine weitere Losung von (2.1). Dann gilt mit w=u-v

(iw’+Leo+k ( 1 ~ 1 2 u - 1 ~ 1 2 ~ ) ~ W ) ( t ) = O ,

oder 1

(1lw(t)llz)),+2k Im J (lu12u-1~12~) Edx=O . 0

Wegen (1.1) folgt daraus

Mit Hilfe des GRoNwALLschen Lemmas ergibt sich daraus w = 0, d. h. u = v.

leiten. Damit ist Satz 2.1 bewiesen. Schliel3lich lafit sich die Abschlitzung (2.9) in volliger Analogie zu (2.5) her-

Sate 2.2. Die Folge (v,) der GALERKIN-Nuherungen konvergiert in C(S; H)

Beweis. Zunachst folgt aus (2.11) und der Einzigkeitsaussage von Satz 2.1

gegen die L&mlzg u urn (2.1).

(2.13) v,+u in La(#; H) . weiter erhalt man aus u E c,(8; v) unter Benutzung des LEBESGUEschen satzes und der Vollstlindigkeit des Systems (h,) in H fur die Fonma-Summen un=

=

(2.14) u,+u in A’(#; V ) .

Wir setzen zur Abkurzung w, = v, -u, z, =u -u, und erhalhn aus (2.1) und (2.4)

f l

(a, hl) h, die Beziehung l=-n

(llw,112)t+2 ( 4 2 zfl)+2 Im (W,, zn)+k (lv,l2 u,- bl2 w,+zfl)) = 2 Im (iw:,+Lw,+k (Iv,l2v,-lu12u), wn+z,)=O.

Gajewski, uber Niiherungsverfahren 29 1

I)

2 x(3 ll~n112+11%al12))~~ ~ll%---alla+c (Il~UIllL~cs;v,+ll~nll~*,) *

Wegen (2.3), (2.13) und (2.14) folgt daraus die Behauptung.

Folgerung 2.1. Far jedes t €8 gilt

e,(t) --5 u(t) in v und w i ( t ) - u'(t) in V* . Heweis. Fiir beliebiges t € S ist die Folge (wn(t)) wegen (2.5) in V schwach

konipakt. Die erste Behauptung folgt daher aus Satz 2.2. Zum Beweis der zweiten Behauptung sei gE Y beliebig und g,, die n-te FouItIm-Summe von g. Unter Ausnutzung von ( 2 4 , Satz 2.2 und des bereits Bewiesenen finden wir mit der Abkiirzung wn=vn-u fur jedes tCS

~(wi(t), g)I = I(W:(~)? gn+g-gn)I =l(Lw,+k (lv,I~~A-lU/*U.),g*) (t)+(f4%(t),g--gn)l

5 I(h,(t), gn)I + C IIwn(t)II IIgII+W2t)II-i IIg-gnII1-0 - Damit ist Folgerung (2.1) bewiesen.

3. Iterationsverfohren

In diesem Abschnitt begriinden wir das einleitend angekundigte Iterations-

Lemma 3.1. Zu jederra f C La(&; V) existiert genau eine. Liisung der Aufgabe

verfahren. Dazu benotigen wir dm folgende Lemma.

i v ' + ~ v = f , qo)=a, W C L ~ S ; v)nc(s; H ) , ~ ' E L ~ s ; IT*).

Beweis. Durch formale Multiplikahion der Gleichung mit - Lv erhalten wir

(Il~,11*)~+ 2 Im (f, Lv) = - 2 l m (id t Lw - f , Lw) = 0 ,

oder nach Integration iiber t

Unter Benutzung dieser 8 priori Abschatzung verlauft der Beweis von Lemma 3.1 wie der Beweis von Theorem 10.1, Chap. 3 in [8]. 19.

292 Gajewski, gber Naherungsverfahren

Satz 3.1. Sei u die Liisung von (2.1), ein endlichm Parameter und uo€ Lz(S; V ) n C(S; H ) ein beliebiges Startelement. Dann konvergiert die durch (3.1) iui+Luj= -kA,ujT1, uj(0)=a7 + j=1, 2 , . . . , definierte Iterationsfolge (ui) in C(S; H ) gegen u.

Beweis. Wir zeigen zuniichst, daB dw duroh (3.1) definierte Iterattions- verfahren unbegrenzt durchfuhrbar ist. Sei dazu uj-lEL'(S; V ) . Dann ist wegen Lemma 1.3 A , U ~ - ~ €Lz(S; V ) . Also existiert nach Lemma 3.1 genau cine Losung ujcL2(S; V)nC(X; H) von (3.1), die damit zur Weiterfuhrung des Verfahrens geeignet ist.

Wir setzen nun zus Abkurzung wj=ui-u und erhalten unter Beachtung von (2.1), (3.1) und (1.2) fur jedes tEX

(3.2) t

llwj(t)ll~= -2k Im J ( A , U ~ - ~ - A , U , wi) ds 0 t t

5 6 Ik[ r 2 Ilwj-lll \lwill d s S 3 Ikl r 2 .[ ( ~ ~ w j - ~ ~ ~ z + ~ ~ ~ ~ ~ \ 2 ) . 0 0

Mit der zur C(X; H)-Norm offensichtlich iiquivalenten Norm

2 5 (;I [wol:. Daraus ergibt sich die Rehauptung. oder Iwjl: 5;- Iwj-ljA z. . . - 1

Bemerkung 3.1. Speziell kann in Satz 3.1 uo=a und r = r , gewiihlt werden.

Bemerkung 3.2. Satz 3.1 bleibt richtig, wenn man die rechte Seite in (3.1) durch -k lPrui-112uj-l ersetzt. Zum Beweis dieser Tatsache genugt es, im Be- weis von Satz 3.1 den Hinweis auf (1.2) durch einen Hinweis auf Formel (1.3) zu ersetzen.

Bemerkung 3.3. Satz 3.1 bfeibt gultig, wenn man die Iterationsvorsrhrift (3.1) durch

i u ; + h j + k IPruj--112uj=o, uj(o)=a, j = 1 , 2 , . . . , ersetzt. In diesem Fall laBt sich, wie man leicht sieht, die Abschktzung (3 .2 ) zu

Ilwj(t)l]212 Ikl r2 1 ( \ ~ w j - # + ] ~ w j ~ ~ ~ ) ds verbessern. Fur die praktische ReaIisierung t

0

Gajewski, Uber Niiherungsverfahren 293

scheint jedoch (3.1) besser geeignet, weil in jedem Iterationsschritt lediglich eine Gleichung mit konstanten Koeffizienten zu losen ist.

Die Bemerkungen 3.2 und 3.3 gelten sinngemal3 auch beziiglich der in den folgenden Satzen 3.2 und 4.1 definierten Iterationsvorschriften (vgl. jedoch Bemerkung 6.1).

Bemerkung 3.4. Ein Iterationsverfahren der Form iu; +hi= - F(uj-,) hat STRAUSS [ 101 zum Nachweis zeitlich abklingender Liisungen des CAucHY-Problems fur die nichtlineare Gleichung id +Lu + F(u) = 0 benutzt,.

Satz 3.2. Sei v, die n-te GALERKIN-Nuherung von u, r tl\~,ll~~~, und vnO E C(S; H ) ein beliebiges Startelement. Dann konvergiert die durch

0 .

v,,#) = JJ by'(t) h,, 1= --I(

byi(t)=exp (-ic,t) ( (u, h,)+ exp (icls) f - I ( s ) ds), cl=(2nZ)2,

fl"i-'(8)=ikS A,WBj-,(s) h-j &

j = 1, 2, . . . , 1

0 1

0

(3.4)

definierte Folge (vnj) in C(S; H ) gegen v,. Reweis. Offenbrtr ist vnj die Losung des Problems

( i ~ ~ ~ + L v , ~ + k A , . w , , ~ - ~ , I+) ( t ) = O , V,~(O)=CC, , Z = O , & I , . . . , f n . Daraus wird klar, daB Satz 3.2 in volliger Analogie zu Satz 3.1 bewiesen werden kann .

Bemerkung 3.6. Speziell kann in Satz 3.2 U,~=CC, , uncT r =P,, gewiihlt werden.

4. Projektions-Iterationsverfahren

Daa GAtEmm-Verfahren reduziert dae Problem (2.1) auf die Liisung der Systeme nichtlinearer gewohnlicher Differentialgleichungen (2.4). Das Iterations- verfahren (3.1) dagegen fuhrt (2.1) auf die sukzessive Liisung einer Folge hearer SCHRoDINGER-GleiChUngen zuruck. Wir werden jetzt beide Verfahren zu einem sogenannten Projektions-Iterationsverfahren kombinieren, bei dewen nume- rischer Realisierung nur Quadraturen auszufiihren sind.

Satz 4.1. Sei u die Losung von (2.1), (8,) eine beschrankte Folge reeller Zahlen nzit ~ , ~ ~ ~ ~ , l l ~ ~ ~ , und po€ C(8; H ) ein beliebiges Startelement. Dann konvergiert die durch

definierte Projektions-Iterationsfolge (p,) in C(S; H ) gegen u.

294 Gajewski, Uber N&herungsverfahren

oder

Wegen Satz 2.2 und der Aquivalenz der C(S; H)- zur A-Norm folgt daraus

I~,-ZGl~~IPn-v,[n+I~,---U[n=[w,lr+[v,-ZG[~-O fur n--. Damit ist Satz 4.1 bewiesen.

werden . Bemerkung 4.1. Insbesondere kann in Satz 4.1 po=a und s ,=r, gewiihlt

5. Regularitiitsaussagen

Wir weisen in diesem Abschnitt unter ausatzlichen Voraussetzungen an den Anfangswert a einige Regularitatseigenschaften der Losung von (2.1) nach, mit deren Kilfe wir im nachsten Abschnitt die bisher erhaltenen Konvergenzaussagen verstarken.

Satz 6.1. Sei a€ V2. Dann gilt fiir die Liisung u von (2.1)

u E c,(s; v2) n c(s; v) and E CJS; H ) n c(s; v*) . Beweis. Sei wieder v, die n-te GALEm-Niiherung von a. Wir setzen fur

beliebiges 6 =- 0

w( t )=v , (t+6)-v,(t), t € S .

Gajewski, uber XLherungsverfahren 295

Das GRoNWALLsche Lemma liefert dann

(5.2) Il~;llccs;a) =(T) Wegen Folgerung 2.1 ist daher u'<Lw(S; H). Gerneinsam mit u'<Cw(S; V*) be- deutet das nach (1.7) u'EC,(X; H). Damit folgt aus (2.1) Lu<C,(S; H). Diese Reziehung zieht (vgl. (1.4)) u,=Lu, d. h. u,,EC,(S; H) nach sich. Mittels partieller Integration ergibt sich dann fur t @ , he Y

(u#, 1)-u& 0)) h(O)=u,(t, 1) h(l)-u,(t, 0) h(0) i

= f (u,(t) k+%(t) b )

=( -Lu(t)+u,(t),h)=O a

0

Wir setzen darin h= 1 und erhalten u,(t, 0) =us@, 1). Dime Relation impliziert zusammen mit uECw(S; V ) und zc,EC,(i3; H) die Inklusion uEC,(S; V2). Weiter ergillt sich aus uEC,(S; V ) und

die Beziehung u€C(S; 7). Schliefilich folgt u ' ~ C ( 8 ; V*) aus (2.1) und u ~ C ( 8 ; 1'). Damit ist Satz 5.1 bewiesen.

Bemerkung 5.1. Mit von n unabhiingiger Konstante c gilt

Il-wlc(s;a, sc -

ll~~,(t)ll'= - ( i 4 t ) + k Jvn(t)12 v&), Lv,(t)) sic /jLvn(t)ll . In der Tat folgt aus (2.4), (5.2) und (2.5) fur jedes ~ E S

296 Gajewski, uber Niiherungsverfahren

Unter Beachtung von (5.2) folgt daraus mit Hilfe des GxcoNwmchen Lemmas

(5.4) Il48llccs;v)~C(T) *

Wegen Folgerung 2.1 gilt daher u’EL-(X; V) und damit wegen (1.6) u‘EC,(X; V). Aus (2.1) ergibt sich weiter LucC,(B; V), d. h. uEC,(S; V3). Die Inklusion u€C(S; V2) erhiilt man aus ~ E C , ( X ; V2) und der Beziehung

I I t I Il~,e(t)ll~-Il~e,(~)ll*l = 2 I Re J (La’, Lu) dr I *

5 2 It -4 I 1 ~ ’ l l t ” ( S ; V * ) l l~~l l t - (s;V) s 2 It -~lll~’llL=.a(s;V) llJwz-(s;V) -

SchlieBlich folgt u’EC(X; H ) aus uCC(X; V2) und (2.1). Darnit ist Satz 5.2 be- wiesen.

Bemerkung 6.2. Nach dem Muster der Satze 5.1 und 5.2 kann man unter entsprechenden Forderungen an den Anfangswert a weitere Regularitatsaussagen beweisen. Wir haben darauf verzichtet, weil sich diese weitergehenden Regu- laritatseigenschaften nicht in weitergehende Xonvergenzaussagen fur das Itera- tions- und das Projektions-Iterationsverfahren ummunzen lassen. Ausschlag- gebend dafur ist die Tatsache, da13 der Operator A, die Raume V’ fur I=- 1 nicht in sich abbildet.

Gajewaki, ttber Niiherungsverfahren 297

6. Konvergenzaussagen bei reguljiren Anfangswerten

I n dieaem Abschnitt nutzen wir die in Abschnitt 5 bewiesenen Regularitiits- aussagen zur Verscharfung der bisher gewonnenen Konvergenzaussagen aus. Wir behandeln nacheinander das GALERKIN-, dw Itemtions- und dw Projektions- Iterationsverfahren.

Sei wider: u die Losung von (2.1), u, die n-te FomIt-Summe von u, v,, die

Satz 6.1. Unter der Vo~uussetzung a€ Vz gilt: n-te GALERKIN-Naherung von u, w, = v,, - u und x, = u - u,.

(6.1) v,,+u in G(S; V ) , (6.2) vb-tu’ in C ( S ; V * ) .

Beweis. Aus Satz 5.1 folgt

(6.3) u i - 4 in Ls(S;H) undin C(S; V * ) . Damit ergibt sich aus (2.1) und (2.4) unter Beachtung von (5.2), Bemerkung 5.1 und Satz 2.2

t llw,(t)I12=11~~-azI12+2 J (-Im (4, &)+Re ((h,, 2;)

+ k ( 121, I 2 vn - Iu j 2 u, w:, + 2;))) ds 0

~ I l ~ 2 ! n - ~ z l l 2 + ~ (Ilz:llLzcs;a) + II%allL~S;H,) -0 fur n+-. Wegen Satz 2.2 folgt damus (6.1).

Zum Beweis von (6.2) sei gEV beliebig und g,, die n-te FOURIER-SUmme von g. Wir finden aus (2.1) und (2.4) unter Benutzung von Lemma 1.3, (2.5), (6.1) und (6.3)

~twk(t), g)I=i(wi(t), gn)+(w:(t), g-gn)I = li (Lw,(t)+k (l%&(t)lzv,(t)- lu(t)lzu@)), g,)-(xk(t), g-g,)l

sc iiWn(t)iii iig,,iif+iidw-i iig-g,iil s e n Ilglli, mit e,+O fur n+-.

Daraus folgt I I W ~ - U ‘ ~ ~ ~ ~ ~ ; ~ * ) = 1 ~ ~ ~ 1 1 ~ ~ ~ ; ~ . ) s ~ , - c O , und Satz 6.1 ist bewiesen.

Satz 6.2. Unter der Vwatmetzung a€ V3 gilt: (6.4) v,-u in C(S; V 2 ) ,

Beweis. Aus Satz 5.2 folgt

(6.5) v ; 4 in. C ( S ; H ) .

(6.6) U,+U in C(8; V*) und u:-.+u’ in C ( S ; H ) .

298 Gajewski, uber Niiherungsverfahren

Damit ergibt sich aus (2.1) und (2.4) unter Benutzung von (5.4), Bemerkung 5.1 und (6.1) fur jedes tfS

I!wk(t)/l2= -(Re(w:,, 2:) + Im (Lw,+k (Ivnl2v,- 1uI2 P C ) , wL+xi)) ( t )

(llw~llc(s:H) IIz:llc(s;H) + c(llwnllc(s;v) IIW;llc(s;v) + IIwnllc~s;l~~)

xII~;llc(s;~)) sc (II~~llc(s;~~+IIWnllss;n) -0 fiir - w *

Diese AbschLtzung impliziert (6.5).

(6.5) und (6.6) Aus (2.1) und (2.4) folgt unter Beachtung von (5.4), Bemerkung 5.1, Satz 2.2,

IIhn(t)ll*= -((iwi+k (lv,12 v,) - lu12 u), L (w,+zn)) + (Lw,, Lz,)) ( t )

(IIW:IIc(S;H) +c llwnllc(s;a)) llL (w, +z,)llc(s;=) + \lLWn\l C'(S;R) IILxnIIC(S';H) c(! \wi \ \C(S;H) f \\Wn\\C(P;H) + l\x?tllC(S; Vz))

-0 fur n-m.

Wegen (6.1) ist das gleichbedeutend mit (6.4). Damit ist Satz 6.2 bewiesen.

Iterationaver fahren

Satz 6.3. Sei zusdtdich xu den Voraussetxungen von Satx 3.1 a€ V2, u ~ E L"(S; H ) und zco(0)E V2. D a m gilt fur die durch (3.1) definierte Iteratwnsfolge (uj): (6.7) uj+u in, C ( S ; V ) , (6.8) u;-u' in C ( S ; V*) .

iihnlicher Uberlegungen wie beim Beweis von Satz 5.1, da13 fur jedes j gilt

Den Schlussel zum Beweis von (6.7) und (6.8) bildet eine a priori Abschatzung fur IILuilJLls;H), die wir jetzt herleiten. Dazu bilden wir

z j ( t ) = u i ( t + 6 ) - u j ( t ) fur 6r0. \T7egen (3 .1) und (1.2) gilt fur jedes t € S

Ilzi(t)II'=IIxi(o)ll*-2k Im J (~+8)-A,.u+~(s), xi(s))

Reweis. Zunachst uberzeugt man sich, ausgehend von Lemma 3.1, mit Hilfe

ui~c,(s; ra)nc(s; v), u;Ecw(S;H)nc(s; v*) .

t

n t

~lI~j(O)11*+3 lkl r2 j ~ l l ~ j - i l l ~ + l l ~ j l l ~ ~ 0% 0

Unter Benutzung der Voraussetzung a € V' finden wir daraus nach Division durch 6 2 und Ausfuhmg des Grenzubergangs 6 -0 fur fast alle tEB

t

I luj(t) l l2~ll~;(o)ll?+3 Ikl r2 J ~l l~ ; - l l l~+ l l~ ; l l~~ 6% 0

(6.9)

Gajewvski, 'tfber Nihrungsverfahren 299

Fur A=3c folgt daraus

Aus (3.1) und Satz 3.1 ergibt sich daher die gewunschte a priori Abschiitzung

(6.11) ll%llLys;B)=

Zum Beweis von (6.7) setzen wir wj=uj-u. Aus (2.1) und (3.1) folgt unter Reachtung von Lemma 1.3, (6.11) und Satz 3.1

1

1lw~~.t)ll2=2k Im J ( ~ , u ~ - ~ - A , u , hj) da 0

sc ~ [ w j - l ~ ~ c ~ s ~ B ) -0 fur j --, d. h. (6.7). Die Behauptung (6.8) schliel3lich ergibt sich aus der Abschiitzung

ll~U;IIC(S;V*)= " L q f k (ArUj-i-ArU)IIC(s;V*~

4 I ~ j I I C ( . S ; V , t c II~j-i l lqS;H,'O fur j +O0-

Drtinit ist Satz 6.3 bewiesen. Bemerkung 6.1. Die Konvergenzaussagen von Satz 6.3 (und auch die des

folgenden Satzes) lassen sich nicht ohne weiteres auf die in Bemerkung 3.2 genannte Modifikation des Verfahrens (3.1) ubertragen, da im Beweis der a priori Abschatzung (6.11) die Formel (1.2) nicht durch die Formel (1.3) ersetzt werden kann.

Satz 6.4. Sei zwddzlich zu den Vorawaetzungen von Sat2 3.1 a€ VJ, ui€ L"(S; V ) und u,(O)€ V3. Dann gilt far die durch (3.1) definierte Iterationsfokge (uj):

(6.13) u;-tu' i n C ( S ; H ) .

heim Beweis von Satz 5.2, da13 fur jedesj gilt

(6.12) U ~ * U in C ( S ; V 2 ) ,

Beweis. Zuniichat uberzeugt man sich mit Hilfe iihnlicher Oberlegungen wie

ujcc,(s; v3)nqs; vz), ~'Ec, (s ; v)nc(B; H ) . Entscheidend fur den Beweis von (6.12) und (6.13) ist die a priori Abschiitzung

300 Gajewski, vber Niiherungsverfahren

die wir jetzt beweisen wollen. Dazu setzen wir zi(t) = ui (t + 6) -ui(t), 6 SO. Am (3.1) finden wir unter Benutzung von Lemma 1.3 und (6.7)

t I l~~~(t ) l l~=Ij~~, (O) l j2+2k I m 1 (A,ui-, (s+@ --Aruj-&), Lzj(s)) ds

0 t

~11ZiZ(0)112+C J ~ll~j-~ll;+ll~jll3 * 0

Unter Benutzung der Voraussetzung a € V3 finden wir daraus nach Division durch da und Ausfuhrung des Grenzuberganges S -, 0 fur fast alle t € S

t t

Ilu;~(t)l12"Ilu;Z(o)l12+c 0 .f ~ll~;-ill;+ll~;ll~~ d s s c (1 + 0 J~llu;-ill~+llu;ll~) 4% - Wegen (6.9) ist daher

Wie beim Beweis von (6.11) erhalt man daraus die Abschatzung (6.14).

sich unter Benutzung von Lemma 1.3, (6.7) und (6.14) Zum Beweis von (6.12) setzen wir wieder wi=uj-u. Aus (2.1) und (3.1) ergiht

t t

\ILwj(t)l\2= -2k Re (A,.U~-~-A,U, Lwi) d s s c .f llwi-i\\i \]wi\\l ds-O 0 0

fur j+- und damit (6.12).

Die Beziehung (6.13) schliefilich folgt aus der Abschatzung

llw;(t)ll= I W W j + k ( 4 U j - i - &4) (t)lls IlLWjllC(R;H) + c ll~j-illc~~s:7J) in Verbindung mit Satz 3.1 und (6.12). Damit ist Satz 6.4 bewiesen.

Projektions-Iterationsverfehren

Satz 6.5. Sei zusiitxltich zu den Voraussetzungen von Satz 4.1 a€ V2, pic L"(S; H ) undp,(O) € V2. Dann gilt far die durch (4.1) definierte Projektiona-Iterattionsfolge (p,) : (6.15) pn-u in C(S; V ) , (6.16) p ~ + d in C(8; V * ) .

Reweis. In Analogie zu (6.11) leitet man die a priori Abschiitzung

(6.17) lI-hnllccs;a, s c her. Sei nun wieder va die n-te GAtEaKIN-NZiherung yon u und w,=pn-vn. Aus (2.4) und (4.1) folgt unter Beachtung von Lemma 1.3, Bemerkung 5.1, (6.17), Satz 2.2 und Satz 4.1

t

Ijwnz(t)ll2=2k Im 1 LWn) ds jjpn-1-vnlJc(s;Hl+O 0

fur n--- und damit (6.15).

Gajewski, h r Niiherungsverfahren 30 1

Zum Beweis von (6.16) sei gE V beliebig und g,, die n-te FOURIER-SUmme zu g. Wegen Lemma 1.3 gilt

~(wAt ) , g)I =i(w;(t), gn)I = li (Lwn+k (Anpf l - i -Anvn) , 9%) ( t ) ) ~

sc ( I I ~ n l l ~ ~ ~ ; ~ + I l ~ ~ - i - ~ n l l ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ Ilglli - Auf Grund von (6.1), (6.2) und (6.15) folgt daraus (6.16). Damit ist Satz 6.5 bewiesen.

Satz 6.6. Sei zzlsiitzlich zu den Vwaussetzungen von Satz 4.1 a€ V3, pi€ L"(S; V ) und po(0) E V2. Dann gilt fur die durch (4.1) definierte Projelclions-lterationsfolge (PI,) : (6.i8) pn+u in C(S; V z ) , (6.19) ~ L + u ' in C(S; H).

Beweis. In Analogie zu (6.14) leitet man die Abschlitzung

(6.20) IIP:llC(.s;l-, sc

her. Mit w,,=pn-vn ergibt sich

Wegen (5.4), (6 , i ) , (6.15) und (6.20) folgt daraus (6.18). Die Beziehung (6.19) schliefilich ergibt sich aus

IlwL(t)lp=i (Lw,+k (Anpfl-i -A"v,), wi ( t ) )

5~ ( I I ~ n l l ~ ( . s ; ~ + I1~n-i -vnllc(s:HJ

in Verbindung mit (6.18) und Satz 4.1. Damit ist Satz 6.6 bewiesen.

Literatur

[ i ] T. H. BESJAMIK, Lectures on nonlinear wave motion. Nonlinear wave motion (proceedings AMY-SIAM Summer Sem., Clarkson Coll. of Technology, Potsdam, N. Y., 1972), 3-47. Lectures in Appl. Math., Vol. 15, Amer. Math. SOC., Providence, R. I., 1974.

["I H. BKEZIY, Operateurs maximaux monotones. North Holland Math. Studies 1973. 131 J. E. DENDY, Two methods of Galerkintype achieving optimum L' rates of convergence for

[4] H. GAJEWSKI, K. GROCER und K. ZACHARIAS, Kichtlineare Operatorgleichungen und Ope-

(51 C. S. GARDNER, J. M. GREEXE, M. D. KRUSEAL and R. M. MIUBA, Nethods for solving the

[6] T. KAKUTANI, S. SUCIDIOTO and KRYLOV-BOUOLIUBOV-MOPOLSKY method for nonlinear

171 J. 1,. LIONS, Quelques mCthodes de rbsolution des problbmes aux limites non linbaires. Paris

[S] J. L. LIOXV et E. M~CEKES, Problbmes &ux limites non homogikes et applications. vol. I.

first order hyperbolics. SIAM J. Num. Anal. 11, 637 -653 (1974).

ratordifferentialgleichungen. Berlin 1974.

KORTEWEG-DE I'RIES equation, Phys. Rev. Letters 19, 1095 - 1097 (1967).

wave modulation. The Physics of Fluids 17, 1617 -1625 (1974).

1969.

Dunod. Paris 1968.

302 Gajewski, uber NIherungsverfahren

[9] A. C. SCOTT, F. Y. F. CHU and D. W. McLAWaHLIN, The Soliton: A New Concept in Applied

[lo] W. A. STRAUSS, Dispersion of Low-Energy Waves for Two Conservative Equations. Archi f. Science. Proc. of the IEEE Vol. 61, No. 10, Oct. 1973.

Rat. Mech. a Anal. 66, 86-92 (1974).

~BTOMOWJIRQEIH BOJ~H R Heameihsax cpexax, X. 3. T. @, 61,118 - 134 (1971). [11] B. E. 3AXAPOB, A. E. mAGAT, TOqH;LR TeOpm xBYMePHOn C;IMO@OHYCMPOBKH EI O~€IOMepHo8

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