EINFÜHRUNG DIFFERENTIALRECHNUNG

Marcus Dokulil

Inhalt

Differenzenquotient Differentialquotient 1. u. 2. Ableitung Kurvendiskussion

NullpunktExtremstellenWendepunkt

Newtonsches Näherungsverfahren

Differenzenquotient

Formel

k= =

Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Steigung bzw. die mittlere Änderung der Formel in einem bestimmten Intervall pro Einheit an.

Δy

Δx

y2 – y1

x2 – x1

Beispiel

Δy

Δx

y2 – y1

x2 – x1k1= =

11-9

10-8= =

2

2= 1

23-19

14-12k2= =

4

2= 2

Betrachten wir die Tagestemperatur in Wien

Differentialquotient

Formel

Steigung der Sekante:k= = Steigung der Tangente:k=

Der Differentialquotient ist definiert als Grenzwert eines Differenzenquotienten in einem Intervall

Δy

Δx

limΔx0

(Steigung der Sekante)

(y+Δy)-y

(x+Δx)-x

Beispiel

y=x²; x=1Steigung der Sekante: k= =

k= = = =

k=Δx+2

Δy

Δx

(y+Δy)-y

(x+Δx)-x

x y=x²

1 1=1²

1+Δx (1+Δx)²

(1+Δx)²-1

1+Δx-1

1+2Δx+Δx²-11+Δx-1

Δx²+2Δx

Дx

Δx*(Δx+2)Δx

Steigung der Tangente:= 2+0 = 2

limΔx0

(2+Δx)

1. u. 2. Ableitung

Formel für Potenzen

y= a*xn y‘=a*n*xn-1

y‘‘= a*n*(n-1)*xn-1-1

Die Ableitungen benötigt man für die Kurvendiskussion. Wobei man beachten muss, dass y‘ gleich der Steigung der Tangente ist.

Beispiel

y=x7

y‘=7*x6

y‘‘=7*6*x5

Man muss beachten, dass die Ableitung von x 1 ist und dass die Ableitung der „normalen Zahlen“, wie z.B. 5, 0 ist.

y=x²+3x+5y‘=2*x1+3*1+0y‘‘=2*1+0

Kurvendiskussion

Beispiel Nullstellen

y= x³+4x²+4x Nullstelle/N: y=0 x(x²+4x+4)=0 x=0 und0=1x²+4x+4 quadratische Funktion

1x2= = =

x1= = -2 x2 = = -2

a b c

-b +/- √b² - 4*a*c

2*a

-4 +/- √4² - 4*1*4

2*1

-4 +/- 0

2

-4 + 0

2

-4 - 0

2

N1 (0/0), N2 (-2/0)

Beispiel Extremstellen

y= x³+4x²+4xExtremstellen: y‘=0 undMinimum/Min y‘‘ > 0Maximum/Max y‘‘ < 0

y‘=3x²+4*2x+4y‘‘=3*2x+4*2*1

0=3x²+4*2x+4 quadratische Funktion

1x2= = =

1x2 = = - 0,67 da der Wert unter der Wurzel 0 ist,

gibt es nur eine Lösung!

y(- 0,67)= (- 0,67) ³+4*(- 0,67)²+4*(- 0,67)=-1,19

y‘‘(- 0,67)=3*2*(- 0,67)+8=4 < 0 MIN

MIN (-0,67/-1,19)

-b +/- √b² - 4*a*c

2*a

-8 +/- √8² - 4*3*4

2*3

-8 +/-0

6

-8 + 0

6

Beispiel Wendepunkt

y= x³+4x²+4xWendepunkt: y‘‘ =0

y‘=3x²+4*2x+4y‘‘=3*2x+4*2*1 = 6x+86x+8=06x=-8x=-1,33 in y einsetzen: y=(--1,33)³+4(-1,33)²+4*(-1,33)=-0,59W(-2/0)

Wie sieht diese Funktion aus?

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4

-2

0

2

4

6

8

10

y

y

Nullstelle

NullstelleMinimum

Wendepunkt

Newtonsches Näherungsverfahren

Formel/Beispiel

xn+1= xn -

Beim Newtonschen Näherungsverfahren wird die Tangente in der Nähe der Nullstelle bestimmt und die Nullstelle der Tangente als Näherungslösung der Nullstelle der Funktion verwendet

y (xn)

y‘ (xn)

Beispiel

x³=3*(x+1); Beweis, dass X0= 2,1 die Nullstelle ist:x³=3*(x+1) /-x³ 0=3*(x+1)-x³ y=x³+3x+3y‘=3x²+3

X1=2,1- = 2,1

2,1³+3*2,1+3

3*2,1²+3

VIELEN DANK FÜR IHRE

AUFMERKSAMKEIT