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UBER UNENDLICHE ALGEBRAISCHE ERWEITERUNGEN

BEWERTETER Ki3RPER

yon Wolfgang Krull in Bonn

Fast alle bekannten S~itze fiber endliche algebraische Erweiterungen bewerte- ter K6rper (~) lassen sich mfihelos auf den Fall unendlicher Erweiterungen fiber- tragen. Nur bet der Charakterisierung des Quotienten Gt/G ~ von Tr~igheits-nach (erster) Verzweigungsgruppe ergeben sich Schwierigkeiten; doch lassen sich diese, wie gezeigt werden soil, mfihelos fiberwinden, wenn man nur den einschl~igigen Satz schon im endlichen Fall zweckm~issig formuliert. Wir gehen so vor, dass wir zun~ichst noch einmal kurz den Mechanismus beschreiben, auf dem der Ubergang yon endlichen zu unendlichen Erweiterungen beruht. Dann wenden wir uns, ohne die trivialen Ubertragungen explizit durchzuffihren, sofort dem allein inte- ressanten Hauptproblem zu. Der Einfachheit halber beschr~inken wir uns auf abz~ihlbar unendliche algebraische Erweiterungen. Bet fiberabz~ihlbaren Erweiterun- gen wird die Ausdrucksweise umst~indlicher, weil man Cauchy-Filter an Stelle von konvergenten Folgen setzen muss. lm fibrigen ~indert sich nichts wesentliches.

Es set 17o c R1 c 172 c . . . eine Oberk6rperkette, bet der jeder R~ einen sepa-

rabeln Normalk6rper fiber 170 darstellt. /? = tfl 17~ set der VereinigungskSrper aller R~. Mit G~ mSge die Oalois-Oruppe von 17 fiber 1?t bezeiehnet werden, mit Ft die (endliche) Oruppe von 17i fiber Ro, die sich mit der Quotientengruppe Go/G t

(~) Die Theorie der Oalois'schen endlichen Erweiterungen bewerteter K6rper, wie sie zuerst in den Arbeiten: M. DEUaING, Vmzweigungstheorie bewerteter KOrper, Math. Ann. 105, 277 - 307 (1931); W. KaULL, (3atois'sche Theorie bewerteter KOrper, Sitzungsber. Miinch. Acad. Wiss. 1930, 225-238; W. KaULL, AIIgemeine Bewertungstheorie, J. reine, angew. Math. 167, 160-196 (1931) entwickelt wurde, wird im folgenden als bekannt vorausgesetzt. Hinsichtlich der Theorie der Triigheits- und Verzweigungsgruppr die in dieser Note im Vordergrund steht, vgh aueh W. Kavt, L, Verzweigungsgruppen arithmetischer K6rper, Math. Ann. 121, 446-466 0950) w 5.

UBER UNENDLICIdE AL(;EBRAISCHE ERWEITERUNGEN BEWERTETER KORPER ] ~ 5

identifizieren l~sst. A, B , . . . bzw. A/, B i , . . . seien Automorphismen aus G O bzw.

F/. Eine Folge A~ ,A2 , . . . m6ge vertri~glich heissen, wenn ffir jedes i der Auto-

morphismus A/+~ eine Vortsetzung von A t auf R/+~ ist. Jede vertrfigliche Folge

A~, A2, . . . definiert als �9 Grenzwert �9 einen eindeutig bestimmten Automorphis-

mus A aus G o, und umgekehrt k6nnen auch alle A e G o in eindeutiger Weise

als (irenzwerte vertr~glicher Folgen dargestellt werden. (i) Bedeutet ferner U jeweils eine Untergruppe yon F/, so soll die Orappenfolge U1, U 3 , . . . vertriiglich

genannt werden, wenn 1. jeder Automorphismus Ai+ x e U/+~ eine Fortsetzung

eines A i e U~ bildet, und wenn es gleichzeifig 2. zu jedem A i e U~ mindestens

eine Fortsetzung At+ ~ e U/~_~ gibt. Die Menge aller vertr/iglichen Folgen AI, A 2 , . . . (A i e Ui) , die man aus einer vertdiglichen Oruppenfolge U~, U2, . . . ableiten

kann, bildet eine abgeschlossene Untergruppe U yon Go, also eine solche Unter- gruppe, die im Sinne der Oalois'schen Theorie einem K6rper zwischen R o und R

zugeordnet ist. Umgekehrt kann jede abgeschlossene Untergruppe yon G O eindeuiig in der

angegebenen Weise gewonnen werden. Es ist zweckm~issig, U-- - lira U/ als den

Grenzwert der Folge /_/i, U., , . . . zu bezeichnen. 1st U - - l i r a U/ der Unterk6rper

L yon /? und U/ der UnterkSrper Li von R~ zugeordnet, so hat man

Ri n Ltq. 1 : L/ , L --- u L i ( i - - 1, 2, . . . ) . i

Es sei jetzt B eine (allgemeine Exponenten-)Bewertung (-2)yon R und B l (i = 0, 1, 2, . . . ) die dutch B induziede Bewertung yon R/. Mit L bzw. m bzw.

K bzw. IV (L i bzw. /7// bzw. K i bzw. IV/) m/Sge der zu B (Bi) geh/3rige Bewer-

tungsring bzw. sein maximales Primideal bzw. der Restklassenk6rper L/m (L//m i)

bzw. die zugeh/~rige Wertgruppe bezeiehnet werden. Die Zerlegungs- bzw. Tr~ig-

hefts- bzw. (erste) Verzweigungsgruppe G~ bzw. G t bzw. G v (F~/ bzw. Fti bzw.

Fv/) vorl B (Bi) fiber R o werde in iiblicher Weise definiert. Dann hat man, wie

sehr leicht einzusehen, G~ "-- lira F~/, G t : lira Ft/, Q .-~ lim F~/ (:~) und auf

Orund dieser Orenzwertbeziehungen iibertragen s ich- mit der im Einleitungs-

(~) Die Theorie der Oaloisgruppe eines fiber seinem Grundk6rper abzShlbar unendlichen Normalk6rpers wird als bekannt angenommen. Der Kfirze haiber vermeiden wir im Text aile spezifiseh topologischen Termini und begnfigen uns mit der Betrachtung yon ,vertr/igliehen Folgen,.

(~) Also eine beliebige Bewertung im Sinne der auf Seite 1 unter (~) zitierten ,Ailge- meinen Bewertungstheorie ,.

(3) Der ffir die Relation G z = lira Fzl entscheidende Nachweis, dass zu jedem A i e Fxt eine Fortsetzung Ai+ ~ e Fzi+~ existiert, kann in einfacbster Weise wohl so erbracht werden:

' " _ (i) Es sei .F~)~_ 1 die Zerlegungsgruppe yon Bi§ x fiber Bi; nit. 1 sei ihre Ordnung. Bedeutet dann

166 W O L F G A N G K R U L L

abschnitt hervorgehobenen Ausnahme - die bekannten, die Oruppen Fzi, Fa, Fvz und

die zugeh6rigen K6rper /?zi, /~'a, Rvi betreffenden S/itze sofort auf die Oruppen

Gz, O t, G~ und ihre zugeh6rigen K6rper R~, Rt , Rv (i).

Es set jetzt yon vornherein R o "- Rt, also G o - - G t. Mit H i bzw. H m6ge

die multiplikative Oruppe aller yon (o) verschiedenen L i - bzw. L - Hauptideale

aus R i bzw. R bezeichnet werden, die zu der (allerdings additiv anstatt multiplikativ

geschriebenen) Wertgruppe W~ bzw. Wvon B i bzw. B isomorph ist. Wit k6nnen

und wollen, w o e s praktisch erscheint, t-I i mit der Gruppe H~ aller L - Hauptideale

aus R mit zu R i geh6riger Basis identifizieren. Die H i bilden dann eine

Obergruppenkette mit der l--liille H. Unter H bzw. H i verstehen wit die

Quotientengruppe H / H o bzw. H i / H o. In H" hat jedes Element endliche Or-

nung, es l~sst sich also H eindeutig als direktes Produkt yon prim~ren, zu paar-

weise verschiedenen Primzahlen geh6rigen Faktoren Ht, k darstellen: H = rI Hpk k

Entsprechend hat man natiidich ftir jedes i eine (31eichung H -~ I-I Ht,ki, und

es wird, wie sofort zu sehen: Hpk = Y HPk~" Bezeichnet man ferner mit H~ die

Oruppe aller L-ldeale mit zu R~ geh6riger Basis, (bzw., wo es zweckm/~ssig

erscheint, die (3ruppe aller Lv -Ideale a u s / ~ (L~ = L n R~)), so gilt fiir H v --- H ~ / H o

der - fiir endliche Erweiterungen bekannte, auf unendliche Erweiterungen wegen

R = v Rvi, H-vk --- y /~k~ sofort ausdehnbare - Satz:

Hat K die Charakteris t ik o, so ist stets R "-- Rv, H = H~; hat dagegen K

die Charakteris t ik p, so ist H~ - - rI Hpk , fa l ls H - - - rI Hpk. (~) ~**a p

lm iibrigen brauchen wir noch die (ebenfalls sofort yon dem bekannteu

noch nt§ 1 bzw. n i die Ordnung yon Fzi+l bzw. Fz;, so hat man, wie leicht aus den ffir Zerle-

gungsgruppe und Zerlegungsk6rper giiitigen Siitzen zu ersehen, stets hi+ 1 ---- n; n~;~_ 1 . Da nun ersichtlich jeder A +1 ~ Fzi r Portsetzung eines A; E Fzi ist, und da zu jedem A i ~ Fzi entweder

o oder genau u~;~l Fortsetzungen Ai+ 1 a Fz;+l exisfieren, folgt aus der gewonnenen Ordnungs- relation sofort die gewiinschte Behauptung. In genau der gleichen Weise kann der Fall der Triigheits- und Verzweigungsgruppe erledigt werden.

(i) Einzelheiten k6nnen wit uns hier schon deshalb ersparen, weft es ich im wesentlichen um bekannte Dinge handelt. (Mindestens fiir den Fall der unendlichen algebraischen Zahlk6rper). Der 0bertragungsmechanismus an sich dagegen musste scharf herausgearbeitet werden, da wir ihn fiir unsere Behandlung yon Triigheits- und Verzweigungsgruppe brauchen.

(2) im endlichen Fall weiss man: Bet Charakteristik p yon K hat jedes Element aus Hv

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endlichen auf den unendlichen Fall iabertragbare) Bemerkung: Bildet man zu R, statt zu R den VerzweigungskSrper tiber /?o, so erh~ilt man immer den ganzen

KtSrper /?., symbolisch: (R.). = R,.

Unter einem Charakter der beliebigen, ausschliesslieh aus Elementen endli- chef Ordnung bestehenden Oruppe r verstehen wir wie tiblich (~)einen Homo- morphismus H von r auf eine Untergruppe der (im KSrper aller algebraischen Zahlen gebildeten) Oruppe aller Einheitswurzein. Wir k/Snnen dann G, bzw. die Quotientengruppe Gt/G" in gleichm~issig ffir endliche und unendliche Erwei-

terungen gfiltiger Weise kurz so charakterisieren:

Die Tri~gheitsgruppe G t i s t homomorph, der Quotient Gt/G v yon Tri~gheits-

gruppe nach Verzweigungsgruppe ist isomorph zur Charakterengrttppe der

Hauptidealquotientengruppe Hv --" H,/Ho"

Zum Beweis unserer Behauptung, mit deren Formulierung das Hauptziel der vorliegenden Note erreicht ist, setzen wir lest: ~, (~,... bzw. a, b , . . . seien belie-

bige Elemente ~ o aus R bzw. /?o; s bedeute stets eine Einheit aus L , ~ die

zugeh6rige Restklasse aus K. Mit ~a, ~a, usw. m6ge das Bildelement bezeichnet

werden, in das ~, ~ usw. durch den Automorphismus A tibergeftihrt wird. Auf Orund der Voraussetzung R o - - / ? t erh~ilt man dann sofort die folgenden For-

meln und S~itze: 1. ~a ___~- ffir jedes A. - 2. ,4 - - ~ . ~ . . 3. (a ~)a ___ e (a ~), falls

~ a - - - ~ . _ 4 . ~ i - - - ~ , falls ~ A - - - e i . ~ , (~Z)a = ~ ( a ~ ) . - 5. Falls a A . I ~ i~ ,

[~A E2 ~,(%~)A----e3 (0g~), dann e I e ~ : a z . - 6. Falls ,4 __ el ~, B __ e~ a,

a('4B) : e 3 ~, dann a t e~ = e 3. - 7. Da ~ ( a , ) - - ~ ffir hinreichend grosses n, wird

~" gleich dem Einheitselement von /{ ffir hinreichend grosses n, falls ~'~ : e ~. - Aus 1. bis 7. ergibt sich unmittelbar:

Jedem A entspricht eindeutig ein Homomorphismus tI von / / a u f eine Oruppe von Einheitswurzeln aus K, und zwar so, class zum Produkt AB der Homomorphismus t t O zugeordnet ist, falls H zu A und O zu B gehSrt. Da ferner die mulfiplikative Oruppe aller Einheitswurzeln aus K stets isomorph auf eine Oruppe von Einheitswurzeln aus dem KSrper aller algebraischen Zahlen abgebildet werden kann, l~isst sich unser vorl/iufiges Resultat auch so formulieren:

Gt ist homomorph zu einer Untergruppe C" der Charakterengruppe C yon It.

eine durch p teilbare Ordnung, wiihrend bei jedem Element aus H / H v die Ordnung eine p- Potenz ist. Daraus folgt dann in der Tat sofort unsere auf den Fall der Charakteristik p be- ziigliche Behauptung.

(i) Also im Sinne der Dualit~itstheorie Pontrjagins.

1 6 8 W O L F G A N G K R U L L

Zerlegen wir ferner, falls K Charakteristik p besitzt, J~ direkt in der Form

H --- H v X Hp (vgl. oben), so muss, da es in K ausser dem Einheitselement keine

p - te Einheitswurzel gibt, ffir jedes A der zugeh6rige Charakter Hal le Elemente

aus Hp auf 1 abbilden. D.h. abet, es ist C' zu ether Untergruppe C~ der

Charakterengruppe Cv von H~ isomorph, und wit k6nnen dementsprechend in dem

,,vorl~iufigen Ergebnis" C~, C v an Stelle von C', C se tzen. - Schliessstich ist, wie

unmittelbar aus der iiblichen Definition zu ersehen, die Verzweigungsgruppe G,.

nichts anderes als die Oruppe aller der A, die bet dem Homomorphismus Gt----~ C'~ auf den Einheitscharakter abgebildet werden. Es ist also G t / G v zu C~,

isomorph, und wir haben zum Beweise unseres Hauptsatzes nur noch zu zeigen, dass C~ mit der vollen Charakterengruppe Cv von H~ zusammenf~illt. Dabei v0ie-

derum diirfen wir unter Beriicksichtigung von (/?~)r - - R v die Untersuchung nach

R, verlegen, d.h. wir diirfen weiterhin nicht nut R o - - R t sondern auch R = R,.

annehmen.

Wir bilden nun f/Jr jedes i neben F i die Charakterengruppe D t yon H i. Dann

wird in genau der gleichen Weise Cv - - C - - lim Di, wie wit G t / G ~ ---- G : lira F~

haben. Ausserdem ist wegen R~ : R, t?vi - - R~ {~) nach den fiir endliche Erwei-

terungen gfiltigen Sfitzen durchweg F i --- Fti/F~i zu H t - - Hvz isomorph, und

daraus folgt wetter die lsomorphie von F i zur vollen Oruppe D~--D~l , wei|

eine endliche Abelsche ( iruppe stets zu ihrer Charakterengruppe isomorph ist. Betrachten wir wetter den lsomorphismus Fz+t ~ - ~ Dl+~, so ergibt sich aus der

Art, wie dieser (auf Orund der oben angegebenen Formeln und S~itze 1. bis 7.) hergestellt wird, sofort, dass der isomorphismus F~ ~ D i aus/:z+~ < > Di+ l durch

eine (auf beiden Seiten vorzunehmende) Quotientengruppenbildung hervorgeht, oder, umgekehrt formuliert: Fi+ ~ ~ Dt+ ~ ist stets eine Fortsetzung yon

F, - , ~ Dt C~).

Wir gewinnen daher aus den Abbildungen Fz ~ D~ durch Orenzfibergang

(i) Rv i bezeichnet natiidich den Verzweigungsk6rper yon R i fiber Ro, Dvi die Charakie-

rengruppe yon ~'vt usw. - Man beachte, dass unter unseren Voraussetzungen F i :-- Fti und Fvt

die Einheitsuntergruppe yon F i wird. (2) Diese Fortsetzungsm6glichkeit der Isomorphismen F i ~ . ~ D i ist der springende Punkt.

Der Isomorphismus Fi+ 1 ~ Hi§ kann keine Fortseizung yon F i ~ Hi sein, da /-~ eine

Untergruppe yon //iq-1, Ft dagegen eine Quotientengruppe yon Ft+ 1 darstellt.

UBER UNENDLICHE ALGEBRAISCHE ERWEITERUNGEN BEWERTETER KORPER ~ 6 ~

einen Isomorphismus Gt/G v : G : lim F~ < > lim D t : C - - C v , womit der

Beweis des Hauptsatzes abgeschlossen ist. Natfirlich wird auch bei einer endlichen algebraischen Erweiterung die Verzwei-

gungstheorie durchsichtiger, wenn man die Orundeigenschaften von Gt und

Gt/G ~ in der hier angegebenen Fassung ausspricht. Eine wesentliche Abkfirzung

der Beweise dfirfte allerdings nicht erzielt werden. Insbesondere l/iuft bei dem entscheidenden Schluss auf die Isomorphie von GtfO v zu der vollen Charakteren-

gruppe C v der ktirzeste Weg wohl nach wie vor fiber die Nachrechnung der

Ordnungsgleichheit yon Gt/G v und H v (i).

Bonn, Februar 1952

(~) Im ganzen braucht man im endlichen Fall zun~ichst die oben zusammengestellten For- meln und Siitze 1. bis 7. Dann den in fiblicher Form zu fiihrenden Beweis, class nut bei Primzahlcharakteristik p die Gruppe (~v yon der Einheitsgruppe , verschieden sein kann, und

dass O vim Falle (~v :1: s stets eine p-Oruppe ist. Daraus folgt leicht die Zerlegung H = R v ),~ Bp

und (Rv) v-- Rv. Schliesslich ist - die Isomorphie einer endlichen Abelschen Oruppe zu ihrer

Charakterengruppe als bekannt vorausgesetzt- nur noch die im Text genannte Ordnungsgleichheit zu zeigen, und hier fiihrt die Rechnung des Beweises yon Satz 12 (S. 461/02) der in Anm, (i). $eite 1 an letzter $telle genannten Arbeit sehr rasch zum Ziel.