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Übungen zur Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden II WS 2011/12, 260109 PUE

Univ. Prof. Dr. Christoph Dellago

1) Berechnen Sie cos (0.6) ohne Verwendung der Winkelfunktionen des Taschenrechners auf 4 Dezimalen genau. Anleitung: Entwickeln Sie cos x an der Stelle x = 0 in eine Reihe und berechnen Sie cos 0.6 mittels einer bis zum 3. Grad entwickelten Reihe. Schätzen Sie mittels des Restgliedes den maximal möglichen Fehler ab. Falls der Fehler zu groß ist, nehmen Sie das nächste Glied der Reihe dazu.

2) Entwickeln Sie

�

ex2 an der Stelle x = 0 in eine Taylorreihe.

3) Beweisen Sie

�

1+ x ≈1+ 12x mittels Taylorreihenentwicklung für

�

x <<1 .

4) Welchen Fehler begeht man, wenn man

�

1+ x durch

�

1+ 12

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ x −

18

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ x 2 ersetzt, falls x= 0.1?

5) Begründen Sie, warum Sie beim Sinus für kleine Winkel auch den Wert des Winkels

verwenden können. Gibt es eine entsprechende Regel auch für den Kosinus oder Tangens?

6) Stellen Sie

�

tan x durch e-Funktionen mit komplexen Zahlen dar.

7) Formen Sie den folgenden Ausdruck so um, dass keine komplexen Zahlen mehr vorhanden sind:

�

i2eix−y + e−ix−y( ) eix − e−ix( ) .

8) Wie ergibt sich aus der komplexen Zahl z und der komplex konjugierten Zahl z* der Real- und

Imaginärteil von z?

9) Beweisen Sie

�

z1 + z2( )* = z1* + z2

* und

�

z1z2( )* = z1*z2

* .

10) Berechnen Sie alle 5-ten Wurzeln von 32: z=

�

325 .

11) Verwenden Sie die Eulersche Formel um zu zeigen, dass gilt:

�

a) sin(3ϕ ) = 3sinϕ − 4 sin3ϕ ,

b) cos(3ϕ ) = 4cos3ϕ − 3cosϕ .

12) Bestimmen Sie sämtliche reellen und imaginären Lösungen der folgenden Gleichungen:

a)

�

x 3 − x 2 + 4x − 4 = 0 b)

�

x 4 − 2x 2 − 3= 0

13) Die in einem Kondensator vorhandene Ladung Q ist eine Funktion der Zeit:

�

Q t( ) = Q0 eit + e−it( ).

Berechnen Sie den durch den Kondensator fließenden Strom

�

I t( ) = dQ(t) /dt.

14) Das Volumen eines Würfels soll eine Genauigkeit von mindestens 3% aufweisen. Wie groß darf die relative Messungenauigkeit der Kantenlänge a maximal sein?

15) Berechnen Sie folgende Differentiale:

a)

�

d x 3 + 3x 2 − 7( ) b)

�

d e−inx( ) c)

�

d 1− x 2( )

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16) Berechnen Sie

�

d sin2α − cos2α( ) und überprüfen Sie durch Nachrechnen mit dem Taschenrechner für

�

α = 66° und

�

dα = 3° .

17) Die Schwingungsdauer T eines Pendels kann man aus der Länge L zu

�

T = 2π Lg

errechnen, wobei g=9.81 ms-2 die Erdbeschleunigung ist. Welchen Fehler erwartet man für die Schwingungsdauer T, falls die Länge L nur mit einer Genauigkeit von 0.05% bekannt ist, d.h. L=1.0 ±0.0005 m?

18) Wie groß ist der Fehler (in %), wenn man statt (1+h) n die einfache Näherungsformel 1 + nh

verwendet, für n = 5 und h = 0.0027 und 0.1.

19) Wie stark ändert sich

�

f x,y( ) wenn sich x um 0.3 und y um 0.7 ändert:

a)

�

f x,y( ) = x 4

8y x = 3, y = 10

b)

�

f x,y( ) = 2 x 3 + y 2 x = 10, y = 10

20) Die Auswertung einer umfangreichen Messreihe, bestehend aus n=100 Einzelmessungen, ergab für die Masse eines Körpers einen Mittelwert

�

m =105 gmit einer Standardabweichung der Einzelmessung von

�

sm = 3g . Die Messwerte sind normalverteilt.

(a) Wieviele Messwerte dürfen wir zwischen 103 g und 108 g erwarten?

(b) Wieviele Messwerte sollten oberhalb 110 g liegen?

21) Bei Parallelschaltung von Widerständen ist der Gesamtwiderstand R gegeben durch

�

R= R1R2R1 + R2

,

wobei R1 und R2 die parallel geschalteten Widerstände sind. Berechnen Sie den maximalen Fehler des Gesamtwiderstandes, falls

�

R1 = 4700 ±150Ω und

�

R2 = 6800 ± 200Ω.

22) Ein Balken von 5 m Länge wird durch zwei 10 m lange Seile gehalten, die an 2 Wänden 15 m voneinander entfernt aufgehängt sind. Um wieviel ändert sich die Höhe des Balkens über dem Boden, wenn die Länge der Seile um 20 cm verkürzt wird?

23) Berechnen Sie grad

�

x 2 + y 2 + z 2 und zeichnen Sie das Feld.

24) Beweisen Sie, dass ein Gradientenfeld grad

�

u x,y,z( ) wirbelfrei ist, d. h. rot(grad u)=0.

25) Beweisen Sie, dass div (rot

�

V )= 0 wobei

�

V =

V x,y,z( ) .

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26) Berechnen Sie grad

�

V x ( ) für:

�

V x ( ) =

x 2 + sin x

ex

x ⋅ ln x

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⋅

x

y

z

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

.

27) Gegeben ist ein skalares Feld

�

V x,y( ) = x 2 − y 2. Berechnen Sie die Komponenten des Normalvektors auf die Niveaulinien im Punkt

�

x,y( ) .

28) Gegeben sei das Skalarfeld

�

A = x 2yz 2 und das Vektorfeld

�

B = (xy,y,z 2) . Bestimmen Sie die

Rotation des Vektorfeldes

�

C = A

B .

29) Bestimmen Sie die Divergenz des Ortsvektors

�

x = x,y,z( ) .

30) Gegeben sind die Feldfunktionen

�

f x,y,z( ) und

�

g x,y,z( ). Zeigen Sie, dass grad

�

f ⋅ g( ) = f ⋅grad ⋅+ gg grad f .

31) Gegeben ist die Feldfunktion

�

f x,y,z( ) und das Vektorfeld

�

µ x,y,z( ).

Zeigen Sie, dass rot

�

f

µ ( )=

�

f rot

�

µ +(grad

�

f )

�

×

µ .

32) Ist das Feld

�

A (x,y,z) = (yz −12xy,xz − 8yz 3 + 6x 2,xy −12y 2z 2) wirbelfrei?

33) Zeigen Sie, dass

�

div grad V (x,y,z)( )[ ] = ΔV (x,y,z) , wobei

�

Δ = ∂2

∂x 2+ ∂2

∂y 2+ ∂2

∂z 2der

Laplaceoperator ist.

34) Berechnen Sie

�

x 2 + y 2( )dxdy0≤x≤7

3≤y≤10

∫∫ und

�

1x + y

dxdyx−2 ≤1

y−10 ≤5

∫∫ .

35) Bei einer laminaren Strömung durch eine Röhre mit rechteckigem Querschnitt stellt sich unter gewissen Umständen eine parabolische Geschwindigkeitsverteilung ein. In diesem Fall ist die

Geschwindigkeit v in einem beliebigen Punkt (x,y)

�

v x,y( ) = v0 1−x 2

b2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ 1−

y 2

h2⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ , wobei

�

v0

die maximale Geschwindigkeit und b und h die halbe Breite bzw. Höhe des Rohres sind. Der Geschwindigkeitsvektor zeigt in die z-Richtung. Welche Maximalgeschwindigkeit tritt auf, wenn durch ein Rohr von

�

0.08 ⋅0.02 m 2 Querschnitt 2 Liter pro Sekunde fließen? Wie unterscheidet sich die Maximalgeschwindigkeit von der mittleren Geschwindigkeit?

36) Ein in der xz-Ebene und der Ebene z = h liegende Draht sendet Strahlung aus. Diese hat im

Abstand

�

ρ vom Draht die Intensität

�

I = I01ρ

und verläuft in Richtung des Abstandvektors.

Berechnen Sie, welche Strahlung durch die Fläche

�

x ≤ a, y ≤ b in der xy-Ebene fließt.

37) Eine punktförmige Lichtquelle strahlt Licht nach dem Gesetz

�

I = I01ρ2

(

�

ρ ist der Abstand

von der Lichtquelle). Wieviel Licht tritt durch eine kreisförmige Fläche vom Radius R im Abstand H?

38) Berechnen Sie

�

u d s mit

u =∫

2y 2 − 3x 2y

4xy − x 3

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

entlang der Kurve

�

x 2 + y 2 =1 in der xy-Ebene.

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39) A sei die Mantelfläche der Halbkugel

�

x 2 + y 2 + z 2 = 4 mit

�

z ≥ 0 und C die kreisförmige

Randkurve in der xy-Ebene. Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes

�

F =

−y 3

yz 2

y 2z

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

durch diese Fläche mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes.

40) Berechnen Sie

�

u d s mit

u =∫

−3x 2y

−x 3 − 2y 3

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

entlang der selben Kurve wie in Beispiel 38).

41) Berechnen Sie

�

gradF0,0( )

2,8( )

∫ d s entlang

�

y = x 3 mit F = x 2 − y 2 .

42) Gegeben ist ein Vektorfeld B

=

�

x 2 − y 2

y − x 2

−z

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

. Berechnen Sie

�

∫∫ B

�

d f . Die geschlossene Fläche

ist der Würfel mit den Eckpunkten (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0) (1,1,0) (0,01) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,1).

43) Berechnen Sie für das Kraftfeld

�

F =

−y 3

−xy 2

z

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

mit

�

r =

x

y

z

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

das Kurvenintegral längs des Weges

�

y(x) = xα (α > 0) von

�

r 0 =

0

0

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

nach

�

r 1 =

1

1

0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

.

44) Berechnen Sie das Kurvenintegral über einen Kreis um (0,0,0) mit Radius R für das

Feld

�

F ( r ) =

cx

cy

cz

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

, wobei cx, cy und cz Konstanten sind.

45) Gegeben ist das Vektorfeld

�

u =

x 3

y 3

z 3

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

. Berechnen Sie

�

u d f

x 2 + y 2 + z 2 = R 2∫∫ .

46) Lösen Sie die Differentialgleichung

�

x ′ y + y 2 = 0 .

47) Lösen Sie die Differentialgleichung

�

′ y = y x .

48) Lösen Sie folgende Differentialgleichung:

�

1+ x 2( ) 1− y 2( ) ′ y + 2xy ⋅ 3− y 2( ) = 0 .

49) Lösen Sie die Differentialgleichung

�

x ′ y − y = x 2 cos x .

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50) Ein Wasserbehälter ist bis zur Höhe von 36 m gefüllt. Aus ihm strömt Wasser aus. Die in der Zeiteinheit ausfließende Wassermenge ist

�

10 h (1/min), wobei h die Füllhöhe ist. Fließt 1 l Wassers aus, so ändert sich der Wasserspiegel um 0.01 m. Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf des Wasserstandes beim Ausfließen des Wassers aus dem Behälter. Anleitung: Im Zeitelement dt fließen

�

10 h dt l Wasser aus. Dadurch ändert sich der Wasserspiegel um dh=.... Beachten Sie, dass die Wasserhöhe mit der Zeit abnimmt.

51) Lösen Sie die Differentialgleichung

�

′ y 2− y

x= x 3 sin x für

�

y π( ) = 0.

52) Lösen Sie die Differentialgleichung

�

y′ + 1sin x

y − cos x2

= 0 .

53) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen:

�

a) y′′ − y = 0

b) y′′+ y = 0

c) y′′+ ′ y + y = 0

54) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung folgender Differentialgleichungen:

�

a) y′′′′+ 4y′′′ + 6 ′ ′ y + 4 ′ y + y = 0

b) y′′′′ − y = 0

55) Finden Sie eine Lösung der Differentialgleichung

�

y′′ − y = 0 , die folgenden Bedingungen genügt:

�

y 0( ) = 0 und

�

′ y 0( ) =1.

56) Finden Sie eine Lösung der Differentialgleichung

�

y′′+ ′ y + y = 0 , die folgende Bedingungen erfüllt:

�

y 0( ) = 0 und y π2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =1 .

57) Ein Zylinder der Masse m und der Querschnittsfläche A schwimmt mit vertikaler Achse in

einer Flüssigkeit der Dichte ρ. Wie groß ist die Schwingungsdauer, wenn man den Zylinder leicht niederdrückt und dann wieder frei gibt. Stellen Sie die Bewegungsgleichungen des Systems auf und vernachlässigen Sie dabei die Reibung.