Uni Oldenburg: Physikalische Messtechnik (PDF) · PDF filePhysikalische Messtechnik Achim Kittel Energie- und Halbleiterforschung Fakultät V, Institut für Physik Büro: W1A 1-102

Physikalische Messtechnik

Achim Kittel

Energie- und Halbleiterforschung

Fakultat V, Institut fur Physik

Buro: W1A 1-102

Tel.: 0441-798 3539

email: [email protected]

Wintersemester 2005/06

Inhaltsverzeichnis

1. Einfuhrung in die Sensortechnik 21.1. Statische Sensoreigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1. Die Ideale Sensorkennlinie (Soll-Kennlinie) . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2. Reale Sensorkennlinie (Ist-Kennlinie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Einflusse durch Storgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Korrektur von statischen Sensorfehlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Kalibrieren, Skalieren und Modellieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Linearisieren in der Messkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3. Linearisierung und Einflusskorrektur durch das Differenzprinzip . . . . . . 51.2.4. Umkehrung des Wirkrichtung durch Gegenkopplung — Kompensationsprinzip 6

2. Auswertung von Messsignalen 82.1. Einige Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Die vier Schritte der Auswertung einer Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.1. Aufstellung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2. Vorbereiten der Eingangsdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.3. Berechnung des vollstandigen Ergebnisses . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.4. Angabe des Messergebnisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Grundlegende Messverfahren 123.1. Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2. Strommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3. Ladungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4. Messung von Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4.1. Bandbreitenbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4.2. Messung des Spitzenwerts und Gleichstromaquivalents . . . . . . . . . . 17

3.5. Widerstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5.1. Stromfehler- und Spannungsfehlerschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5.2. Messung mit einer Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5.3. Messung durch Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5.4. Messung kleiner Widerstande durch Vierpunktmessung . . . . . . . . . . 21

3.6. Messung von Induktivitaten und Kapazitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6.1. Messung der Zeitkonstanten bei Ein- und Ausschaltvorgangen . . . . . . 223.6.2. Messung von der Resonanzfrequenz in Schwingkreisen . . . . . . . . . . 223.6.3. Messung der komplexen Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.7. Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.7.1. Widerstandsrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

i

3.7.1.1. Wiener-Chintschin-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.7.1.2. Herleitung des Widerstandsrauschen nach Nyquist . . . . . . . 26

3.7.2. Brownsche Bewegung als stochastischer Prozess . . . . . . . . . . . . . . 273.8. Weitere Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.8.1. Schrotrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8.2. Generations-Rekombinationsrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.8.3. Flickerrauschen (1/f-Rauschen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.9. Einfluss eines Filters auf Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.10. Methoden zur Rauschunterdruckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.10.1. Lock-in Verstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.10.2. Die Funktionsweise eines phasensensitiven Detektors . . . . . . . . . . . 313.10.3. Aufbau eines phasensensitiven Detektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.10.4. Rauschreduktion durch Mittelung von repetierlichen Signalen . . . . . . . 343.10.5. Die Methode der Boxcar-Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.11. Methoden zur empfindlichen Messung kleiner Signale . . . . . . . . . . . . . . . 353.11.1. Konzeption des Messaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.11.2. Begrenzung des Messfeldes bei einer Spannungsmessung . . . . . . . . . 373.11.3. Begrenzung des Messfeldes bei einer Strommessung . . . . . . . . . . . . 383.11.4. Begrenzung des Messfeldes bei einer Widerstandmessung . . . . . . . . . 393.11.5. Mogliche Fehlerquellen und ihre Beseitigung . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.11.5.1. Das Spektrum von moglichen Storquellen . . . . . . . . . . . . 453.12. Sensoren fur unterschiedliche physikalische Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.12.1. Sensoreffekte zur Umsetzung mechanischer Großen . . . . . . . . . . . . 453.12.1.1. Piezoelektrischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.12.1.1.1. Die mechanische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . 463.12.1.1.2. Die mechanische Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . 473.12.1.1.3. Der direkte piezoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . 483.12.1.1.4. Der inverse piezoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . 483.12.1.1.5. Kristalleigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.12.1.2. Piezoresistiver Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.12.1.2.1. Einschub: Elektronen im Gitter . . . . . . . . . . . . . 493.12.1.2.2. Beschreibung des piezoresistiven Anteils in Halbleitern 50

3.12.2. Umsetzung magnetischer Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.12.2.1. Messung mit Hilfe einer rotierenden Spule . . . . . . . . . . . . 513.12.2.2. Kernsondenmagnetometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.12.2.3. Hall Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.12.2.4. Gauß Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.12.2.5. Magnetoresistiver Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.12.2.6. Supraleitende Magnetfeldsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.12.2.6.1. Der Josephson-Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.12.2.6.2. Das Superconducting Quantum Interference Device . . 60

3.12.3. Umsetzung von thermischen Großen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.12.3.1. Thermowiderstands-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.12.3.1.1. Thermowiderstands-Effekt in Metallen . . . . . . . . . 643.12.3.1.2. Thermowiderstands-Effekt in Elementhalbleitern . . . 653.12.3.1.3. Keramikwiderstande als Heißleiter (NTC) . . . . . . . 663.12.3.1.4. Keramikwiderstande als Kaltleiter (PTC) . . . . . . . 67

ii

3.12.3.2. Temperatureffekte bei Halbleiterubergangen . . . . . . . . . . . 673.12.3.3. Thermoelektrische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.12.3.4. Pyroelekrische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.12.4. Umsetzung optischer und strahlungstechnischer Großen . . . . . . . . . . 703.12.4.1. Außerer Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.12.4.2. Innerer Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.12.4.2.1. Photowiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.12.4.2.2. Photodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.12.4.2.3. Phototransistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.13. Grundlagen der Magnetischen Kernspinresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.13.1. Klassische Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.13.1.1. Die Blochgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.13.1.2. Kontinuierliche Hochfrequenzeinstrahlung . . . . . . . . . . . . 783.13.1.3. Einstrahlen von Hochfrequenzpulsen . . . . . . . . . . . . . . . 793.13.1.4. Freie Prazession (FID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.13.1.5. Spin-Echos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.13.1.6. T1-Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.13.1.7. Vektordiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.13.2. Sondenkerne zur Bestimmung von lokalen Eigenschaften . . . . . . . . . 823.13.2.1. Chemische Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.13.2.2. Dipol-Dipol-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.13.3. Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.13.3.1. Aufbau eines Spektrometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.13.3.2. Ein hochauflosendes NMR-Spektrometer in der Realitat . . . . 86

3.14. Grundlagen der Rastersondenmikroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883.14.1. Das Rastertunnelmikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.14.1.1. Theoretischer Hintergrund der Rastertunnelmikroskopie . . . . . 903.14.2. Das Rasterkraftmikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A. Operationsverstarker und ihre Grundschaltungen 102A.1. Begriffserklarung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102A.2. Nicht-invertierender Verstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104A.3. Invertierender Verstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.4. Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.5. Subtrahierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106A.6. Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106A.7. Differentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107A.8. Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107A.9. Logarithmischer Verstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108A.10.Instrumentenverstarker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109A.11.Impedanzinverter (negative impedance converter — NIC) . . . . . . . . . . . . . 109

B. Analog/Digital-Wandler und Digital/Analog-Wandler 111B.1. Wandlungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111B.2. Digital/Analog-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

B.2.1. Stromwageverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111B.2.2. R-2R-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

iii

B.2.3. Pulslangenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112B.2.4. 1-bit Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113B.2.5. MASH-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

B.3. Analog/Digital-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114B.3.1. Parallelwandler (Flash-Converter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114B.3.2. Kaskadenumsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115B.3.3. Nachlaufverfahren/Zahlverahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116B.3.4. Wageverfahren (successive approximation register) . . . . . . . . . . . . 116B.3.5. Sagezahnverfahren (single slope integration) . . . . . . . . . . . . . . . . 117B.3.6. Dual-Slope-Verfahren (dual-slope integration) . . . . . . . . . . . . . . . 117B.3.7. Sigma-Delta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

iv

Vorbemerkung

Das vorliegende Skript diente ursprunglich als Notiz oder besser Gedachtnisstutze fur die Vor-lesung. Es ist somit sicherlich kein Lehrbuch und an vielen Stellen zu knapp gehalten, um eineEinarbeitung in ein Stoffgebiet zu ermoglichen. Dennoch hoffe ich, dass ich hiermit eine Hilfe-stellung geben kann, sich auf eine Prufung vorzubereiten oder die eine oder andere nutzlicheInformation zur Verfugung zu stellen.

An dieser Stelle mochte ich mich auch noch herzlich bei Herrn Jens Reemts bedanken, der mitviel Ausdauer und Sorgfalt das Skript Korrektur gelesen hat.

1

1. Einfuhrung in die Sensortechnik

1.1. Statische Sensoreigenschaften

1.1.1. Die Ideale Sensorkennlinie (Soll-Kennlinie)

Ein Sensor bildet eine Eingangsgroße (= Messgroße) x auf ein Ausgangssignal y ab.

y

Ausgangsgröße

x

Messgröße Sensor

Damit ergibt sich fur den Zusammenhang:

y(x) = y0 +∆y

∆x(x− x0) (1.1)

Dabei bezeichnet x0 den Messbereichsanfang, x0 + ∆x das Messbereichsende, y0 den Ausgangs-signalanfang und ∆ydie Ausgangssignalspanne. Die Empfindlichkeit ist durch die Steigung derKennlinie an der entsprechenden Stelle gegeben:

ε(x) =dy

dx(1.2)

Diese Große wird auch als Steilheit bezeichnet und ist bei einer ideal linearen Kennlinie naturlichkonstant.

x0 x0+∆x

y0+∆y

y0

ys

1.1.2. Reale Sensorkennlinie (Ist-Kennlinie)

Der absolute Fehler berechnet sich aus der Differenz von Istwert yi und Sollwert ys:

Fabs = yi − ys (1.3)

2

Wahrend der relative Fehler auf die Ausgangsspanne bezogen ist:

Frel =yi − ys

∆ys(1.4)

Er ist somit dimensionslos. Der absolute Fehler wird oft auf die Eingangsgroße bezogen angegeben,was bei einem linearen Zusammenhang leicht mit Hilfe der Empfindlichkeit ε angegeben werdenkann:

Fabs,x =yi − ys

ε(1.5)

Im Allgemeinen lasst sich der gesamte Fehler in verschiedene Anteile untergliedern:

• Nullpunktsfehler Fnu

• Steigungsfehler Fst

• Linearitatsfehler Fli

Es ergibt sich fur die Ist-Kennlinie yi, die Soll-Kennlinie ys und den absolute Fehler Fabs:

yi(x) = y0i +∆yi

∆x(x− x0) + Fli(x) (1.6)

ys(x) = y0s +∆ys

∆x(x− x0) (1.7)

Fabs = yi(x)− ys(x) = y0i − y0s︸︷︷︸Fnu

+∆yi −∆ys

∆x(x− x0)︸︷︷︸

Fst(x)

+ Fli(x) (1.8)

3

1.1.3. Einflusse durch Storgroßen

Bei einer Messung ergeben sich unterschiedliche, storende Einflusse, wie:

• die Temperatur, wenn nicht gerade die Temperatur gemessen werden soll.

• Luftdruck und Luftfeuchtigkeit.

• mechanische Erschutterung.

• die Versorgungsspannung eines Sensors, eines Verstarkers oder einer Messschaltung.

• elektrische und/oder magnetische Felder (EMV).

• ein und/oder ausgangsseitige Ruckwirkung, z.B. durch Belastung einer Quellen mit endli-chem Innenwiderstand.

1.1.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler

Hier soll nun im Unterschied zu der haufig betrachteten Situation das Fehlerfortpflanzungsgesetznicht fur statistisch unabhangige Fehler betrachtet werden sondern fur systematische Fehler. Seidas Signal S, welches gemessen wird, abhangig von den fehlerbehafteten Großen a, b, c in derForm S = f(a, b, c), so ergibt sich fur den gesamten Fehler bei einer systematischen Abweichung

dS =∂S

∂ada +

∂S

∂bdb +

∂S

∂cdc (1.9)

Sind nur die Betrage bekannt, aber nicht die Vorzeichen der einzelnen Beitrage, so ergibt sich umungunstigsten Fall:

|dS| =∣∣∣∣∂S

∂ada

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∂S

∂bdb

∣∣∣∣ +∣∣∣∣∂S

∂cdc

∣∣∣∣ (1.10)

1.2. Korrektur von statischen Sensorfehlern

Da ein Sensor nie ideal gefertigt werden kann, unterliegen die charakteristischen Sensorparametergewisser Streuungen im Produktionsprozess. Die Genauigkeit kann durch Kalibrierung, Skalierungoder gar Modellierung verbessert werden.

1.2.1. Kalibrieren, Skalieren und Modellieren

Durch Bestimmung eines Messpunktes und Vergleich mit einem anderen Sensor kann ein Punktdes Messintervalls festgelegt werden und somit durch Abgleich auf den richtigen Ausgabewert eineKalibrierung durchgefuhrt werden. Damit ist es moglich, einen Nullpunktfehler zu minimieren.Fuhrt man diese Prozedur fur zwei Messwerte durch, die moglichst weit entfernt von einanderim Messbereich liegen, so spricht man von einer Skalierung. Hierbei wird der Steigungsfehlerminimiert. Fuhrt man die Prozedur fur mehr als zwei Messwerte durch und beschreibt die Ist-Kennlinie durch ein mathematisches Modell, so spricht man von der Modellierung und dabeikonnen auch noch Linearitatsfehler minimiert werden.

4

1.2.2. Linearisieren in der Messkette

Bei diesem Prinzip wird eine der eigentlichen Messwertwandlung nachgeschaltete Linearisierungdurchgefuhrt, indem die Umkehrfunktion der nichtlinearen Funktion des Wandlungsprozesses aufdie vom Sensor gelieferte angewandt wird.

0 1 20

2

4

2 1 00

2

4Sensor

∆pQ

Korrekturglied

yk

Dies wird heutzutage meistens elektronische oder im Rechner geschehen, wurde fruher aber meistmechanisch realisiert, durch mechanische Umsetzung mit z.B. Abrollkurven, Hebelwerk,

Beispiele:

1. Huygens hat durch eine Abrollkurve die Schwingungsdauer seiner Pendeluhren von der Aus-lenkung des Pendels unabhangig gemacht

2. Selbst bei dem exponentielle Zusammenhang zwischen Abstand und Tunnelstrom lasst sichdurch einen logarithmierenden Verstarker wieder eine dem Abstand proportionalen Spannungerzeugen.

1.2.3. Linearisierung und Einflusskorrektur durch das Differenzprinzip

Zwei gleichartige, nichtlineare Sensoren S1 und S2 werden bei einer um einen Arbeitspunkt (x0,ϑ0) herum gegensinnig verschobenen Messgroße x aber gleichsinnig verschobenen Einflussgroßenϑ (z.B. Temperatur) durch das Differenzprinzip linearisiert:

S1

S2 -x

x

y(-x,0)

y(x,0) x ∆y

ϑ

ϑ

Das Differenzsignal ∆y ist linearisiert und weniger stark von der Einflussgroße abhangig als beimEinzelsensor.

5

Entwicklung von y(±x, ϑ) in eine Taylorreihe:

y(x0 ± x, ϑ0 ± ϑ) = y(x0, ϑ0) +(±∂y(x0, ϑ0)

∂xx +

∂y(x0, ϑ0)∂ϑ

ϑ

)+

+12

(±∂2y(x0, ϑ0)

∂x2x2 +

∂2y(x0, ϑ0)∂ϑ2

ϑ2 ± 2∂2y(x0, ϑ0)

∂xϑxϑ

)+ O3(x, ϑ)

(1.11)

Fur das Differenzsignal erhalt man:

∆y(x, ϑ) = y(x, ϑ)− y(−x, ϑ) = 2(

∂y(x0, ϑ0)∂x

x +∂2y(x0, ϑ0)

∂xϑxϑ

)+ O3(x, ϑ) (1.12)

Dies hat zur Folge:

• Empfindlichkeit ist verdoppelt

• nur das gemischt quadratisches Glied bleibt ubrig

• rein quadratische Glieder entfallen

• das lineare Einflussglied entfallt

y(-x,0)+f(ϑ)) f(ϑ)

y(x,0)+f(ϑ) y

x

y(-x,0) y(x,0))

∆y

1.2.4. Umkehrung des Wirkrichtung durch Gegenkopplung —Kompensationsprinzip

Existiert kein Sensor fur eine bestimmte Aufgabenstellung so ist es manchmal dennoch moglich dieinteressante Große zu bestimmen, indem das Wirkprinzip umgekehrt und ein Kompensationsprinzipangewandt wird.

Beispiel: Ein Sensor der eine kraft in einem elektrischen Strom wandelt existiert nicht,

FM → I

6

aber mit Hilfe einer Tauchspule ist es moglich eine Kraft auszuuben.

I → Fk

Die Kompensationskraft wird der Messkraft entgegengesetzt und so lang verandert bis sie derMesskraft gleich ist (z.B. Waage, die den Tauchspulenstrom steuert).

FM → Fk

Uber den Zusammenhang Fk(I) kann aus I die Messkraft bestimmt werden.

M

Is NS

Regel-elektronik

Positions-detektor

Tauch-spule

F

FM

Der Strom Is ist proportional zur Masse, wenn Fk(I) ∝ Is.Beispiel fur einige Anwendungen:

• STM, AFM (im constant current/force mode)

• Hitzdrahtanemometer

• Beschleunigungssensoren

• SQUID-Magnetometer in einer flux-locked loop

7

2. Auswertung von Messsignalen

2.1. Einige Begriffsdefinitionen

Messgroße ist diejenige physikalische Große, der die Messung gilt.

Eingangsgroße ist die Messgroße oder andere Große, die in die Auswertung der Messung eingeht.

Ergebnisgroße ist die Zielgroße einer Messung und der anschließenden Auswertung.

Messabweichung im Messergebnis sind Folgen der Unvollkommenheit einer Messung. Sie lasstsich in zwei Teile aufspalten:

Zufallige Messabweichung kommen durch unvorhersagbare raumliche und zeitliche Verande-rungen zustande. Der Erwartungswert (Mittelwert) der zufalligen Messabweichung istNull.

Systematische Messabweichung besitzen einen bekannten und unbekannten Anteil. Derbekannte Anteil kann bei der Auswertung korrigiert werden. Der unbekannte Anteilbleibt als Unsicherheit bestehen.

Fehler → Abweichung Der Begriff Fehler wurde im ursprunglichen Sinne von C.F. Gauß ein-gefuhrt und ist heute in der Metrologie in Abweichung umbenannt worden. Der Fehler istein qualitativer Begriff fur die Nichterfullung einer Forderung.

Einflussgroßen und Korrektion sind nicht Gegenstand der Messung, beeinflussen diese aber(Umgebungstemperatur, Feuchte, Luftdruck,...).

Messunsicherheit ist ein Kennwert, der zum Messergebnis gehort und die Unsicherheit des Wer-tes, bzw. die Streuung der Werte kennzeichnet. Sie kann durch die Varianz, Standardabwei-chung oder ein Vielfaches davon angegeben werden.

2.2. Die vier Schritte der Auswertung einer Messung

(Werden in DIN 1319-3 genauer beschrieben)

1. Aufstellung eines Modells, das die Beziehung der interessanten Messgroßen zu allen anderenbeteiligten Großen mathematisch beschreibt.

2. Vorbereitung der gegebenen Messwerte und der anderen verfugbaren Daten.

3. Berechnung des Messergebnisses und der Messunsicherheit der Ergebnisgroße aus den vor-bereiteten Daten mit Hilfe des Modells.

4. Angaben des vollstandigen Messergebnisses.

8

2.2.1. Aufstellung des Modells

Das Modell beschreibt den Zusammenhang der interessierenden Messgroße mit allen beteiligtenGroßen Xi (Eingangsgroßen). Dies setzt ein Verstandnis des Experiments voraus.

Zusammenstellung aller relevanter Eingangsgroßen

1. direkt gemessene Messgroßen, z.B. Sensorsignale

2. Korrektionen fur Einflussgroßen, z.B. Temperatur, Druck ...

3. andere bei der Auswertung verwendete Großen, wie Skalierungskonstanten, Naturkonstantenund Kalibrierungsfaktoren.

ModellfunktionHat folgende Form:

Y = f(Xi, ..., Xm) (2.1)

oder implizit:F (Xi, ..., Xm, Y ) = 0 (2.2)

oder durch eine numerische Approximation in Form eines Algorithmus.

2.2.2. Vorbereiten der Eingangsdaten

Mehrmals gemessene GroßenDer Schatzwert wird aus dem Mittelwert der Messungen bestimmt

xi = vi =1n

ni∑j=1

vij (2.3)

Das Maß der Unsicherheit u(x) ist in diesem Fall die empirische Standardabweichung

u(xi) = s(vi) =

√√√√ 1ni(ni − 1)

ni∑j=1

(vij − vi)2 (2.4)

Einzelwerte oder wenig WerteLiegt fur den Wert nur ein einziger Wert xi oder ein gegebener Wert (Literaturwert) vor, so mussdie Unsicherheit aus einer anderen Quelle gewonnen werden:

1. aus der Unsicherheit vergleichbarer vorangegangener Messungen

2. aus der Unsicherheit gegebener oder tabellierter Werte

3. oder durch Abschatzung eines oberen und unteren Grenzwertes

Abschatzung eines oberen und unteren GrenzwertesFur die Abschatzung der oberen und unteren Grenzwerte ai und bi der Einflussgroße xi sowie

deren Unsicherheit u(xi) gilt:

xi =ai + bi

2und u(xi) =

bi − ai√12

(2.5)

9

ai bi xi ai bi xi

die Unsicherheit ist eine Naherung aus der Varianz einer Rechteckverteilung zwischen den Wer-ten ai und bi (keine zusatzliche Information vorhanden). Wechseln die Werte sinusformig zwischenden Werten hin und her ergibt sich

√8 im Nenner.

2.2.3. Berechnung des vollstandigen Ergebnisses

Durch Einsetzen in die Modellfunktion erhalt man das Ergebnis

y = f(x1, ..., xm).

Sind die Werte nicht korreliert, ergibt sich fur die Standardunsicherheit (fruher Fehlerfortpflan-zungsgesetz genannt):

u(y) =

√√√√ m∑i=1

(∂f

∂xi

)2

u2(xi). (2.6)

Diese vereinfacht sich in einigen wichtigen Spezialfallen:

1. die Modellfunktion ist eine (gewichtete) Summe

y = a1x1 + a2x2 + ... + amxm ⇒ u(y) =√

a21u

2x1 + a2

2u2x2 + ... + a2

mu2xm. (2.7)

2. die Modellfunktion ist ein Produkt

y =x1x2

x3⇒ u(y)

y=

√(u2

x1

x1

)2

+(

u2x2

x2

)2

+(

u2x3

x3

)2

. (2.8)

Numerische Bestimmung der StandardabweichungFur die Berechnung reicht es in der Regel aus, die erste Naherung der Ableitung zu kennen

∆if ≈∂f

∂xiu(xi) (2.9)

somit ergibt sich fur die Standardunsicherheit

u(y) =

√√√√ m∑i=1

(∆if)2 (2.10)

mit

∆if = f

(x1, ...., xi +

u(xi)2

, ..., xm

)− f

(x1, ...., xi −

u(xi)2

, ..., xm

)(2.11)

10

2.2.4. Angabe des Messergebnisses

Form der AngabeEs gibt verschieden Formen, das Ergebnis einer Messung anzugeben:

1. y, u(y)

2. y, urel(y)

3. Y = y(u(y))

4. Y = y ± u(y)

5. Y = y · (1± urel(y))

Signifikante Ziffern

• Die Unsicherheit ist auf zwei Stellen genau anzugeben (in manchen Fallen auch auf drei).

• Die Unsicherheit wird grundsatzlich aufgerundet.

• Der Messwert wird auf dieselbe Anzahl von Stellen gerundet

Beispiel:Der Messwert betrage y = 5,493523V und die Unsicherheit u(y) = 0,008017. Es werden derMesswert auf y = 5,4935 und die Unsicherheit auf u(y) = 0,0081 gerundet.

Erweiterte UnsicherheitHierunter versteht man eine erhohte Forderung an den Vertrauensbereich in besonderen Bereichender Technik und Medizin. So wird die Standardunsicherheit mit einem Faktor versehen, um dieerweiterte Unsicherheit zu erhalten:

U = k · u(y) (2.12)

Die Werte liegen dann laut folgender Tabelle mit einer Wahrscheinlichkeit p im Wertebereichy − U ≤ y ≤ y + U :

Grad des Vertrauens p (%) Erweiterungsfaktor k

68,27 190 1,65495 1,960

95,45 299 2,576

99,73 3

11

3. Grundlegende Messverfahren

In diesem Kapitel werden Messungen einiger elektrischer Großen angesprochen, durch die eineinteressante physikalische Große gewandelt wird. So werden hier die Messung einer elektrischenSpannung, des elektrischen Stroms, einer Wechselspannung und eines Wechselstroms, einer La-dung, eines Widerstands, sowie einer Induktivitat und Kapazitat diskutiert. Im Anschluss daranschließt sich die Beschreibung einer Bruckenschaltung an, gefolgt von unterschiedlichen Wand-lerkonzepten, die elektrische Großen in computerkompatible Daten und zuruck wandeln. GegenEnde des Kapitels werden Quellen fur Rauschen angesprochen und Methoden, die Einfluss desRauschens auf die Messung reduzieren, diskutiert. Zum Abschluss werden Methoden und Techni-ken erlautert, die benutzt werden, um kleine empfindliche Signale zu messen und zu verarbeiten.(Details nachzulesen in Referenz [1,2,3,4].)

3.1. Spannungsmessung

Jede beliebige Spannungsquelle lasst sich durch eine ideale Spannungsquelle V0 mit einem in Seriegeschalteten Innenwiderstand Ri und jedes Spannungsmessgerat als ein ideales Spannungsmess-gerat Vm mit einem parallel geschalteten Innenwiderstand Rm darstellen:

Ri

V0 Rm

Spannungsquelle Spannungsmessinstrument

Vm

Fur die gemessene Spannung Vm gilt:

Vm =Rm

Rm + RiVi

Es ist sofort klar, dass eine Verfalschung des Messwertes durch den Messwiderstand vorhandenist, der einen von unendlich verschiedenen Wert aufweist. Eine Mindestforderung ist darin zu sehen,dass das Folgende gelten muss:

Rm Ri

12

Typische Innenwiderstande einiger Spannungsmessinstrumente

Analoges Spannungsmessinstrument 20 kΩ/Volt Vollausschlag

Handmultimeter 20MΩLabormultimeter 1GΩElektrometer 10TΩ = 1013Ω

3.2. Strommessung

Jede beliebige Stromquelle lasst sich durch eine ideale Stromquelle I0 mit einem parallel geschal-teten Innenwiderstand Ri und jedes Strommessgerat als ein ideales Strommessgerat I0 mit einemin Serie geschalteten Innenwiderstand Rm darstellen:

Rm

Strommessinstrument

Ri I 0

Stromquelle

I m

Fur den gemessenen Strom Im gilt:

Im = I0 − Ii =V0

Rm=

RmRi

Rm + RiI0

1Rm

=Ri

Rm + RiI0 =

I0

1 + RmRi

Es ist sofort offensichtlich, dass eine Verfalschung des Messwertes durch den Messwiderstandvorhanden ist, sofern dieser einen von Null verschiedenen Wert aufweist. Eine Mindestforderungist darin zu sehen, dass Folgendes gelten muss:

Rm Ri

Ublicherweise wird heutzutage die Strommessung mit Hilfe eines Spannungsmessinstrumentesbewerkstelligt. Hierbei wird der Spannungsabfall an einem bekannten Messwiderstand mit demSpannungsmessinstrument gemessen.

Rm Vm RM

Stromquelle

Ri I 0

Spannungsmessinstrument

13

Damit ergibt sich fur den Messwiderstand RM :

RM Ri

Um die Bedingung bestmoglich zu gewahrleisten, kann eine aktive Stromsenke eingesetzt wer-den, ein so genannter Transimpedanzverstarker. Dabei wird ein Operationsverstarker eingesetzt.Diese Schaltung besitzt einen nahezu verschwindenden Eingangswiderstand. Der Transimpedanz-verstarker besteht im Wesentlichen aus einem Operationsverstarker und einem Gegenkopplungs-widerstand.

-

+

R I

V

Beschreibung der Funktion:Ein Transimpedanzverstarker setzt einen an seinem Eingang eingespeisten Strom in eine Spannungum, dabei wird der Einspeisepunkt durch die aktive Verstarkung auf dem gleichen elektrischen Po-tential gehalten wie die Masse, die an dem nicht invertierenden Eingang des Operationsverstarkers(OP) angeschlossen ist (weitere Informationen zu Operationsverstarkern und deren Grundschal-tungen sind im Anhang A zu finden).

• Der Eingangswiderstand des idealen OPs ist unendlich es fließt kein Strom in den Eingang(bei hochohmigen Prazisions-OPs liegt der Eingangsstrom im Bereich von 10−15A)

• Erhoht sich die Eingangsspannung am (-)-Eingang gegenuber der Masse etwas, wird derAusgang des OPs negativer.

• Dadurch fließt ein großerer Strom durch den Widerstand R am OP vorbei.

• Es stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem das Potential am -Eingang gleich der Masse ist

Somit ergibt sich die Ausgangsspannung des Transimpedanzverstarkers zu:

V = −IR.

Diese Spannung kann mit einem Voltmeter ausgewertet werden.

3.3. Ladungsmessung

Ladungen sind sehr schwer zu messen, da wie immer beim Messprozess Energie auf das Messsystemubertragen werden muss. Die dabei auftretende, typischen Energien, die hierbei pro Elementarla-dung transferiert werden, sind:

Ee = 1, 6× 10−19 · 0, 1V = 1, 6× 10−20J (3.1)

Die nachfolgende Schaltung verdeutlicht das Messprinzip:

14

Vm

+

- Ri

= Vi

C 2

R1

R2

Quelle

Messverstärker

C 1

S1 S2

Zunachst befindet sich die zu messende Ladung auf der Kapazitat C1, nachdem sie durch Schließendes Schalters S1 auf diese aufgebracht wurde. Durch Offnen des Schalters S1 und Schließen vonS2 fließt diese auf die Kapazitat C2 ab.

Q1 = Q1 + Q2 (3.2)

VC1 = VC2 ⇒ Q1

C1=

Q2

C2(3.3)

Q1 ⇒ Q2C1 + C2

C2(3.4)

Gilt C1 C2 so wird die Ladung, die ursprunglich auf C1 gespeichert war, fast vollstandig aufC2 ubertragen. Der Umladeprozess hat einen Spannungssprung der Große

VC2 =Q2

C2=

Q1

C1 + C2(3.5)

zur Folge, der von dem nachfolgenden Messverstarker verstarkt und anschließend gemessenwird.

3.4. Messung von Wechselspannung und Wechselstrom

3.4.1. Bandbreitenbetrachtungen

Problem:Die Kapazitat der Verkabelung und die Eingangskapazitat des Messgerats bilden zusammen mitdem Innenwiderstand der Quelle (Messobjekt) einen Tiefpass:

+

- Ri

≈ Vi

Vm

C i

R1

R2

Quelle

Messverstärker

15

Beispiel Ein 50Ω-Koaxialkabel hat eine Kapazitat von 100pF/m. Bei einem Innenwiderstand von105Ω der Quelle ergibt sich als Grenzfrequenz:

f0 =1

2πRC=

0, 16105Ω · 10−10F

= 16kHz (3.6)

Eine mogliche Losung, um den Einfluss der Kabelkapazitaten zu eliminieren, ist den Ausgang desMessverstarkers, der als Spannungsfolger verschaltet ist, auf die Abschirmung des Koaxialkabelszu legen. Somit liegt immer das gleiche Potential am Innen- und Außenleiter des Koaxialkabels,die Kabelkapazitat wird also vom niederohmigen Ausgang des Messverstarkers umgeladen.

+

- Ri

≈ Vi

Vm C K

Quelle

Messverstärker

Durch diese Maßnahme erhoht sich die Bandbreite bis in die Nahe von ca. 10MHz.

f

A

f0 ff0

ϕ

90°

0°

45°1

Eigenschaften:

• Die Bandbreite wird durch die Bandbreite des Operationsverstarkers bestimmt.

• Problem: Es entsteht eine Resonanzuberhohung und damit eine Schwingungsneigung

Dies lasst sich sehr leicht mit einem Widerstand RK in der Verbindung zum Koaxialkabel be-heben. Dieser Widerstand fuhrt zu einer Dampfung der Schwingung und verbessert damit denFrequenzgang.

16

+

- Ri

≈ Vi

Vm C K

Quelle

Messverstärker

RK

Hier ist der Frequenzgang mit eingefugtem Dampfungswiderstand zu sehen.

f

A

f0 ff0

ϕ

90°

0°

45°1

3.4.2. Messung des Spitzenwerts und Gleichstromaquivalents

Die einfachste Methode den Spitzenwert einer Wechselspannung zu bestimmen, besteht darin,die Gleichspannung mit Hilfe einer Diode gleichzurichten und dann mit Hilfe einer Kapazitat zuakkumulieren:

Vm Ri

≈ Vi

C

Quelle

R

D

Der eingefugte Widerstand wird benotigt, damit die Ladung, die sich auf der Kapazitat ansammeltabfliesen kann, da dies nicht ruckwarts uber die Diode geschehen kann. Aufgrund der Diodenkenn-linie ergibt sich am Ausgang folgender Zusammenhang zwischen Vm und Vi :

Vi

Vm Spitzenwert

17

• Es wird klar, dass sich ein nichtlinearer Zusammenhang ergibt. Kleine Werte von Vi werdennur verzerrt wiedergegeben.

• Die Diode darf keine große Sperrschichtkapazitat aufweisen, da sonst bei hohen Frequenzenein Großteil der Wechselspannung uber diese koppelt.

+

- Ri

≈ Vi

Quelle

R1 R2

D1 D2

Die Diode D2 sorgt dafur, dass der Ausgang des Operationsverstarkers um die Diodendurchbruchs-spannung hoher liegt als der Ausgang der Schaltung, der auf den Eingang zuruckgekoppelt wird.Somit wird die Durchbruchsspannung der Diode D1 effektiv vom Ausgang abgezogen, weshalb dieSpannung am Ausgang tatsachlich bis auf Null zuruckgeht.

Um eine bessere Mittelung mit dem Kondenstor zu erreichen, bietet es sich an, eine Vollwellen-gleichrichtung durchzufuhren.

Vm

+

- Ri

≈ Vi

Quelle

R1 R2

D1 D2

+

-

R4 R5

R3

wobei 2R1 = 2R2 = 2R3 = R4 = R5 gilt.

Funktionsprinzip:Das Signal wird von einem invertierenden Einweggleichrichter gleichgerichtet und mit doppeltemGewicht auf einen invertierenden Addieren gegeben. Dies lasst sich mit folgendem Bild verstehen:

18

0 5 10 15 20 25 30

-1,0

-0,5

0,00 5 10 15 20 25 30

-1,0-0,50,00,51,0

0 5 10 15 20 25 30

-1,0-0,50,00,51,0

V m

Zeit

V GL

V i

Fur die positive Halbwelle (Vi ≥ 0) gilt:

VGl,n = −R1

R2Vi (3.7)

Die negative Halbwelle wird unterdruckt. Dies lasst sich in folgender Weise ausdrucken:

VGl,p = −R1

R2

Vi + |Vi|2

(3.8)

Diese Spannung wird mit doppelter Gewichtung zum Eingangssignal addiert und invertiert(R1 = R2):

Vm = −(Vi + 2VGl,p) = −(

Vi − 2Vi + |Vi|

2

)= −|Vi| (3.9)

• Vollwellengleichrichtung, dadurch bessere Mittelungsmoglichkeit

• Eigenschaften wie die Bandbreite und Linearitat werden durch die Bandbreite bzw.”Slew

Rate“ des Operationsverstarker begrenzt, was zu Verzerrungen fuhren kann.

Das Gleichstomaquivalent oder der root-mean-square-Wert(RMS-Wert)

Oftmals interessiert der RMS-Wert der Wechselspannung, also der Wert, der als Gleichspannungzur gleichen umgesetzten Leistung fuhren wurde.

Vrms =

√1T

∫ T

0V 2(t)dt (3.10)

Dies lasst sich dadurch erreichen, dass man die Eingangsspannung mit einem Vier-Quadranten-Multiplizierer quadriert, dann mit einem Tiefpass oder Integrator integriert und anschließend miteinem weiteren Vier-Quadranten-Multiplizierer im Ruckkopplungszweig die Wurzel zieht. Mit demzweiten Multiplizierer wird die Ausgangsspannung des OPV quadriert und mit der Eingangsspan-nung verglichen. Genauer gesagt, es wird die Ausspannung solange variiert, bis die Eingangsspan-nung und das Quadrat der Ausgangsspannung gleich sind.

19

Vm

Ri

≈ Vi

R1

+

-

C 1

**y x y

x

Vier-Quadranten-Multiplizierer

Vier-Quadranten-Multiplizierer

3.5. Widerstandsmessung

3.5.1. Stromfehler- und Spannungsfehlerschaltung

Bei der Widerstandsmessung mussen Strom und Spannung durch das Bauteil gemessen werden,dessen Widerstand bestimmt werden soll. Dabei besteht die Schwierigkeit, dass einer der beidenGroßen mit einem Fehler behaftet sein wird:

Stromfehlerschaltung

V0

I

R

Spannungsfehlerschaltung

I

R

Grundsatzlich ergibt sich bei der Widerstandsbestimmung ein gegenuber den Einzelmessungenerhohter Fehler, da sich der Messfehler aus den Fehlern der beiden Einzelmessungen zusammen-setzt.

In einem Multimeter wird der Widerstand mit Hilfe einer Stromquelle bestimmt, die einen Stromdurch den zu messenden Widerstand treibt, und einem Voltmeter, das den Spannungsabfall uberdem Widerstand misst.

3.5.2. Messung mit einer Stromquelle

Spannungs-messinstrument

Rs I 0

Stromquelle

Vm

20

Da das Voltmeter eine bestimmte Spannung fur den Vollausschlag benotigt, wird der Messstromden die Stromquelle liefert erhoht, wenn der Messbereich fur kleinere Widerstande eingestellt wird.

3.5.3. Messung durch Vergleich

Bei dieser Messmethode wird ein unbekannter Widerstand R2 mit einem bekannten R1 verglichen.

R2

R1 Ri

V0

V1

V2

Beide Widerstande werden von dem gleichen Strom durchflossen, aber nur wenn die Innenwi-derstande der Messgerate deutlich großer sind als die Widerstande R1 und R2. Der unbekannteWiderstand R2 ergibt sich aus dem Messergebnis mit:

R2 =V2

V1R1 (3.11)

3.5.4. Messung kleiner Widerstande durch Vierpunktmessung

Diese Methode ist wichtig, wenn man so kleine Widerstande messen will, dass die Kabelwiderstandenicht zu vernachlassigen sind, aber auch wenn eine Probe mit niedrigem Widerstand vermessenwerden soll und Ubergangswiderstande von Probe zu Kontaktmaterial sowie Verkabelungen nichtvernachlassigt werden konnen.

Rm

Rk1

I 0 Vm

Rk2

Rk3

Rk4

I m

Die Kabelwiderstande spielen bei dieser Methode keine Rolle, da die Spannungsabfalle an diesenWiderstanden im Versorgungskreis (I0, Im, Rk1, Rm und Rk2) bei der Messung nicht berucksichtigt

21

werden. Im Spannungsmesskreis (Rk3, Vm und Rk4) wiederum spielen die Widerstande der Kabelkeine Rolle, da der Innenwiderstand des Spannungsmessgerats hoch ist und somit nahezu keinStrom in diesem Kreis fließt, also auch kein Spannungsabfall an diesen Widerstanden auftritt.

3.6. Messung von Induktivitaten und Kapazitaten

Induktivitaten und Kapazitaten lassen sich mit Hilfe von drei grundsatzlichen Messmethoden be-stimmen:

1. Messung der Zeitkonstante bei Ein- und Ausschaltvorgangen

2. Messung von der Resonanzfrequenz in Schwingkreisen

3. Messung der komplexen Impedanz

3.6.1. Messung der Zeitkonstanten bei Ein- und Ausschaltvorgangen

V0

R

Vm C V0

R Vm

L

Wird ein RC-Tiefpass oder ein LR-Tiefpass mit einer Rechteckspannung angeregt ergibt sich imFalle des RC-Tiefpasses beim Einschaltvorgang folgende zeitliche Entwicklung der Spannung amAusgang:

Vout(t) = V0

(1− e−

tRC

)(3.12)

dabei bezeichnet die Spannung V0 die Maximale Eingangsspannung. Im Falle eines LR-Tiefpassesgilt:

Vout(t) = V0

(1− e−

tRL

)(3.13)

Aus diesen Beziehungen lasst sich jeweils die Kapazitat bzw. die Induktivitat aus der Zeitbestimmen die vergeht um eine bestimmte Spannung zu erreichen. Es ist aber leicht einzusehen,dass diese Methode keine allzu große Genauigkeit liefert.

3.6.2. Messung von der Resonanzfrequenz in Schwingkreisen

V0

R

Vm L C ≈

Wird ein Parallelschwingkreis wie in der Darstellung verwendet, lassen sich die Induktivitat oderdie Kapazitat bestimmen, wenn jeweils die andere Große bekannt ist. Fur den Zusammenhang

22

zwischen Amplitude der Ausgangsspannung und der Anregungsfrequenz gilt:

Aout(ω) = A0ω2

0√(ω2 − ω2

0)2 + ω2ω20

Q2

(3.14)

und fur die Phase gilt:

ϕ(ω) = arctan(

1Q

ωω0

ω20 − ω2

)(3.15)

Es ist besser, die Phase zur Messung der Resonanz heranzuziehen, da sich diese deutlich genauerMessen lasst als die Amplitude, somit werden die Resonanzfrequenz und Gute Q = f0/B (einMaß fur die Energieverluste pro Periode; f0 Resonanzfrequenz und B Bandbreite) am Besten ausder Phase bestimmt.

ϕ(ω0) = 0 (3.16)dϕ(ω)

dω

∣∣∣∣ω=ω0

=2Q

ω0(3.17)

3.6.3. Messung der komplexen Impedanz

Fur die komplexe Impedanz gilt im Falle eines Kondensators:

ZC = − i

ωC(3.18)

und im Falle einer Spule:

ZL = −iωL (3.19)

Man bestimmt nun den Zusammenhang zwischen dem Strom und der angelegten Spannung beieiner bestimmten Frequenz und damit die Impedanz. Es gilt:

V (ω) = Z(ω)I. (3.20)

Daraus lasst sich die Kapazitat

C =∣∣∣∣ 1ωZ

∣∣∣∣ (3.21)

beziehungsweise die Induktivitat

L =∣∣∣∣Zω

∣∣∣∣ (3.22)

bestimmen.

3.7. Rauschen

Unter Rauschen versteht man statistische Fluktuationen, wie sie in Vielteilchensystemen auftreten.Beispiele hierfur sind die Brownsche Molekularbewegung oder die Fluktuationen durch Elektronenbeim Stromtransport.

23

3.7.1. Widerstandsrauschen

Es wird ein elektrischer Widerstand betrachtet der an einen Verstarker mit einer zwischen denFrequenzen ω1 und ω2 konstanten Verstarkung angeschlossen ist. Außerhalb dieses Frequenzbe-reichs sei die Verstarkung gleich Null. Die Elektronen andern ihre Position und Geschwindigkeitdurch thermische Fluktuationen, weshalb sie eine EMF erzeugen. Es ergibt sich ein fluktuierenderStrom I(t), eine elektromotorische Kraft EMF und eine fluktuierende Spannung V (t). Uber dieKenntnis der Fouriertransformierten kann mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relation auf die Varianzzuruckgeschlossen werden.

3.7.1.1. Wiener-Chintschin-Relation

Die Wiener-Chintschin-Relation verbindet die Autokorrelation mit dem Leistungsspektrum. Wirdefinieren die Korrelation als das Ensemblemittel einer Funktion y(t):

C(τ) = 〈y(t)y(t + τ)〉 (3.23)

Dabei stellt die Große

C(0) = 〈y(t)2〉 (3.24)

die Varianz der Funktion y(t) dar, wenn 〈y(t)〉 = 0 gilt. Die Funktion C(τ) lasst sich alsFourierintegral schreiben:

C(τ) =∫ ∞

−∞J(ω)eiωτdω (3.25)

J(ω) stellt dabei das Leistungsspektrum oder die spektrale Dichte dar. Die Umkehrfunktion hierzulautet:

J(ω) =12π

∫ ∞

−∞C(τ)e−iωτdτ (3.26)

Diese beiden Gleichungen sind unter dem Namen Wiener-Chintschin-Relation bekannt. Man kannsie leicht beweisen indem man C(τ) von rechts mit e−iω′t multipliziert und uber τ integriert:∫ ∞

−∞C(τ)e−iω′τdτ =

∫ ∞

−∞dτ

∫ ∞

−∞J(ω)ei(ω−ω′)τdω (3.27)

= 2π

∫ ∞

−∞J(ω)(δ(ω − ω′))dω (3.28)

= J(ω′) (3.29)

Die Korrelation C(τ) ist reell und gerade (Symmetrie erster Art). Bei einer Fouriertransformationwurden nur cos-Terme auftreten. In diesem Fall bedeutet dies, dass auch J(ω) reell und geradeist:

C∗(τ) = C(τ) (3.30)C(−τ) = C(τ) (3.31)J∗(ω) = J(ω) (3.32)

J(−ω) = J(ω) (3.33)

24

Damit folgt:

〈y2(t)〉 = C(0) =∫ ∞

−∞J(ω)dω =

∫ ∞

0J+(ω)dω (3.34)

J+(ω) ≡ 2J(ω) (3.35)

Wegen der Symmetrieeigenschaften kann die Fouriertransformation auch als cos-Transformationgeschrieben werden. Es treten also keine sin-Terme auf:

C(τ) =∫ ∞

−∞J(ω) cos(ωτ)dω = 2

∫ ∞

0J(ω) cos(ωτ)dω (3.36)

J(ω) =12π

∫ ∞

−∞C(τ) cos(ωτ)dτ =

1π

∫ ∞

0C(τ) cos(ωτ)dτ (3.37)

Wenn y(t) stationar und ergodisch ist, ist C(τ) zeitunabhangig und das Ensemblemittel kanndurch das Zeitmittel ersetzt werden. Dies gilt immer fur periodische Funktionen, muss aber furstatistische Fluktuationen gefordert werden. Nun lasst sich schreiben:

C(τ) =1

2Θ

∫ Θ

−Θy(t)y(t + τ)dt (3.38)

Wir setzen:

yΘ ≡

y(t) fur−Θ ≤ t ≤ Θ0 sonst

(3.39)

damit ergibt sich fur das Integral:

C(τ) =1

2Θ

∫ ∞

−∞yΘ(t)yΘ(t + τ)dt (3.40)

Durch den Ubergang von y(t) nach yΘ(t) fuhrt man einen Fehler von der Großenordnung τ/Θein, der naturlich fur Θ →∞ verschwindet. Fur die Fouriertransformierte F (t)

y(t) =∫ ∞

−∞F (ω)eiωτdω (3.41)

von y(t) gilt:

C(τ) =1

2Θ

∫ ∞

−∞dt

∫ ∞

−∞F (ω)eiωtdω

∫ ∞

−∞F (ω′)eiω(t+τ)dω (3.42)

=1

2Θ

∫ ∞

−∞dω

∫ ∞

−∞F (ω)F (ω′)eiω′tdω′

∫ ∞

−∞ei(ω+ω′)tdt (3.43)

=1

2Θ

∫ ∞

−∞dω

∫ ∞

−∞F (ω)F (ω′)eiω′tdω′ [2πδ(ω + ω′)

](3.44)

=π

Θ

∫ ∞

−∞F (ω)F (−ω)eiωtdω (3.45)

=π

Θ

∫ ∞

−∞|F (ω)|2eiωτdω (3.46)

Setzt manJ(ω) =

π

Θ|F (ω)|2 (3.47)

25

wird klar, dass J(ω) das Leistungsspektrum von y(ω) ist. Es lasst sich zusammenfassen:Mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relationen lasst sich die Autokorrelation mit der Ruck-transformierten des Leistungsspektrums gleichsetzen.

3.7.1.2. Herleitung des Widerstandsrauschen nach Nyquist

In einem Widerstand entsteht Rauschen durch die thermische Bewegung der Elektronen im Wider-stand, die eine fluktuierende EMF V (t) zur Folge hat. Mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relationengilt, dass kurze Korrelationszeiten, d.h. die Elektronen stoßen schnell hintereinander, eine breitesSpektrum des Rauschens zur Folge haben. Das Spektrum reicht hier also zu hohen Frequenzen.Nyquist leitete sein Theorem analog zu Plancks Ableitung der Schwarzkorperstrahlung ab. Wir be-trachten folgenden Aufbau, der aus einem Sender und einem Absorber von Fluktuationen besteht.

≈ ≈

L

R R

V(t) V(t)

Fur die Uberlegungen geht man von zwei Spannungsquellen aus, die uber eine verlustfreieLeitung der Lange L miteinander verbunden sind. Sie sind durch die Widerstande und die jeweiligenRauschspannungsquellen dargestellt. Die gesamte Anordnung befinde sich im Gleichgewicht, d.h.es wird ebenso viel elektrische Leistung in den Widerstanden absorbiert wie sie emittieren. Damitsind die beiden Abschlusswiderstande analog zum schwarzen Strahler zu sehen. Eine elektrischeWelle V (r, t) = V0e

kr−ωt, die sich mit der c′ = ωk Geschwindigkeit ausbreitet, wird stehende Moden

ausbilden, wenn die Lange der Verbindung ganzzahlige Vielfache der Wellenlange kL = 2πn ist.Damit ergibt sich fur die Anzahl der Moden im Intervall ω bis ω + dω:

∆n =12π

dk =12π

dω

c′(3.48)

Jede Mode besitzt nach Planck die Energie:

ε(ω) =~ω

e~ω

kBT − 1(3.49)

Fur ~ω kT lasst sich die Exponentialfunktion in eine Taylor-Reihe entwickeln mit dem Resultat:

ε(ω) = kBT (3.50)

In jedem Frequenzintervall ω bis ω +dω muss die abgegebene und aufgenommene Leistung gleichsein. Mit der Anzahl der Moden pro Langeneinheit ergibt sich fur die abgegebene bzw. aufgenom-mene Leistung:

P = c′(

12π

dω

c′

)ε(ω) =

12π

ε(ω)dω (3.51)

26

Diese Leistung wird in Form einer Rauschspannung aufgebracht. Dementsprechend muss auch einStrom I = V

2R fließen. Dabei muss der Widerstand zweifach verwendet werden, da zwei fur denStromfluss in Reihe geschaltet sind. Somit ergibt sich fur die elektrische Leistung:

R〈I2〉 = R

⟨V 2

4R2

⟩=

14R〈V 2〉 =

14R

∫ ∞

0J+(ω)dω (3.52)

Und fur die Leistung im Frequenzintervall ω bis ω + dω:

P =J+(ω)

4Rdω =

12π

ε(ω)dω (3.53)

J+(ω) =2π

~ω

e~ω

kBT − 1R (3.54)

Fur die ublichen Frequenzen bis in den Mikrowellenbereich hinein gilt ~ω kT und somit folgt:

J+(ω) =2π

kBTR (3.55)

Betrachtet man das Rauschen in einem bestimmten Frequenzband mit genugend tiefen Frequen-zen, so ergibt sich:

〈V 2〉∣∣ωmax

ωmin= C(0) =

∫ ωmax

ωmin

J+(ω)dω (3.56)

=∫ ωmax

ωmin

J+(0)dω (3.57)

= J+(0)∫ ωmax

ωmin

dω (3.58)

= J+(ω)(ωmax − ωmin) (3.59)

=2(ωmax − ωmin)kBTR

π(3.60)

= 4BkBTR (3.61)

Dabei wurde genutzt, dass die Spektrale Dichte des Rauschens fur kleine Frequenzen als konstantangesehen werden kann und somit gleich der Dichte bei der Frequenz Null ist. B = (ωmax −ωmin)/2π bezeichnet die Detektionsbandbreite bezeichnet.

3.7.2. Brownsche Bewegung als stochastischer Prozess

Wir betrachten einen markoffschen (von Markoff) stochastischen Prozess. Bei einem derartigenProzess yt hangt die Wahrscheinlichkeitsdichte nur von einem Zeitpunkt in der Vergangenheit ab:

f(y, t; y0, t0)dy (3.62)

und sie ist homogen in der Zeit:

f(y, t− t0; y0, t0)dy = f(y, t; y0, t0)dy (3.63)

Außerdem andert sich die Große yt unabhangig in der Zeit:

ytn − ytn−1, ytn−1 − ytn−2, ..., yt1 − yt0 (3.64)

27

fur beliebige tk mit:

tk < tl fur k < l, (3.65)

dabei seien die Anderungen wie folgt definiert:

X := ytk − ytl. (3.66)

Sei die Wahrscheinlichkeitsdichte fur den Zuwachs:

f(X; yl, tk)dX. (3.67)

Die Anderungen werden als unabhangig bezeichnet, wenn sich die Wahrscheinlichkeitsdichte fureine beliebige Anzahl von Anderungen als Produkt von einzelnen Verteilungen darstellen lasst:

f(X1, ..., XZ ; t1k, t1l , ..., t

zp, t

zq)dX1...dXz = f(X, t1k, t

1l )dX1...f(X; tzp, t

zq)dXz (3.68)

Die Anderungen heißen homogen wenn gilt:

f(X; tl − tk, 0)dX = f(X; tl, tk)dX (3.69)

Ein markoffscher Prozess,

1. dessen Realisierungen alle den Anfangsbedingungen genugen

2. der homogene und

3. zeitunabhangige Anderungen besitzt

4. und dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung die Gaußverteilung ist

f(X; t, 0, 0)dy ≡ f(y, t)dy =1√

2πσ2texp

(− x2

2σ2t

)(3.70)

heißt Wienerscher Prozess.Fur die gemittelten Werte gilt dabei

y = 0; y2t = σ2t (3.71)

Es gilt wegen der Unabhangigkeit der Anderungen:

yt − yτ = 0 (3.72)

Die sich ergebende Varianz der Anderungen hat folgende Abhangigkeit:

σ2 = 2D =2kBT

α(3.73)

Die eindimensionale Brownsche Molekularbewegung ist ein Wienerscher Prozess. Nach dem zentra-len Grenzwertsatz ist die Gaußsche Normalverteilung eine Folge von vielen statistisch unabhangi-gen, mikroskopischen Einzelverschiebungen.

28

3.8. Weitere Rauschquellen

3.8.1. Schrotrauschen

Diese Art von Rauschen tritt bei der Emission von Elektronen aus einer Gluhkathode oder Felde-missionskathode auf. Dies hat wiederum seine Ursache in der Quantisierung der Elektronenladung.Durch Messungen der Starke des Schrotrauschens ist es moglich auf die Elementarladung zuruck-zuschließen. Fur den Strom des Schrotrauschens gilt:

I2schr = 2eIa∆v (3.74)

Dabei stellt Ia den Strom durch die Anode und ∆v die Bandbreite dar.

3.8.2. Generations-Rekombinationsrauschen

Dieser Typ des Rauschens tritt durch die spontanen Rekombination von Elektronen und Lochernin Halbleitern auf. Fur den Rauschstrom, der aufgrund von Rekombinationen entsteht gilt:

I2Rek = A(v, T )E2∆v (3.75)

Dabei stellt A einen frequenz- und temperaturabhangigen Faktor und E die Feldstarke, die imHalbleiter herrscht, dar.

3.8.3. Flickerrauschen (1/f-Rauschen)

Dies ist eine haufig zu beobachtende Form von Rauschen, dessen Ursache nicht ganz geklartist. Das Leistungsspektrum von Flickerrauschen fallt mit 1/f ab. Es gab schon einige Versuchedieses Rauschen zu erklaren. Van der Ziel ist der Meinung, es musste eine ganze Verteilung vonProzessen mit unterschiedlichen charakteristischen Frequenzen sein. Die Uberlagerung dieser mitden geeigneten Gewichtungsfaktoren fuhrt dann zu einem 1/f -Abfall. Ende der achtziger Jah-re wurde eine einfaches Modell, das das 1/f -Rauschen produzieren sollte, von Bak, Tang undWiesenfeld vorgestellt. Sie nannten dieses Modell die selbstorganisierte Kritizitat (self organizedcriticality SOC). Sie hatten dabei einen Sandhaufen vor Augen, auf den immer weiter Sand auf-gestreut wird und dadurch immer wieder Lawinen von Sand unterschiedlicher Große abrutschen.Das Leistungsspektrum der Lawinen soll 1/f -Rauschen zeigen.

3.9. Einfluss eines Filters auf Rauschen

Filter verandern eine Rauschspannung anders als eine Signalspannung. Um dies zu verstehen wirdein Rauschen mit dem Spektrum J+(ω) an den Eingang eines Filters mit der UbertragungsfunktionA(ω) angelegt. Damit ergibt sich fur die Signalspannung Js:

JS,A(ω) = A(ω)JS(ω) (3.76)

Wird hingegen eine Rauschspannung auf den Eingang des Filters gegeben, dann ergibt sich:

〈V 2a (t)〉 =

∫ ∞

0|A(ω)|2J+(ω)dω (3.77)

29

f0 0,1f0 0,01f0 10f0 100f0

0,01

0,1

1

A(f)

Es soll nun die Rauschspannungen eines Rechteckfilters mit einer bestimmten Bandbreite gleichder Rauschspannung eines Tiefpassfilters mit einer Bandbreite von ωm bis ωm + ∆ωm sein. Dazusetzt man an:

〈V 2a,m(t)〉 =

∫ ωm+∆ωm

ωm

|Am(ω)|2J+(ω)dω = A2m〈V 2(t)〉∆ωm (3.78)

Fur weißes Rauschen ergibt sich:

∆ωm =1

A2m

∫ ∞

0|A(ω)|2dω (3.79)

Bei einem Tiefpass ist die Ubertragungsfunktion:

|A(ω)| = 1√1 + ω2R2C2

(3.80)

In die vorherige Formel eingesetzt ergibt sich:

∆ωm =1

A2m

∫ ∞

0

1√1 + ω2R2C2

dω =2π

1RC

(3.81)

Die Signalbandbreite eines Tiefpassfilters ist:

ωs =1

RC(3.82)

Somit ist die effektive Bandbreite der Rauschspannung um einen Faktor 2π großer:

ωm =2π

∆ωS (3.83)

Je hoher die Ordnung des Filters wird desto geringer wird der Unterschied in der effektivenBandbreite.

30

3.10. Methoden zur Rauschunterdruckung

3.10.1. Lock-in Verstarker

Motivation fur einen Lock-in Verstarker, einen phasensensitiven Detektor (PSD). Beispiel: Ein10 kHz-Signal mit 10nV Amplitude soll verstarkt werden. Der benutzte Verstarker habe eineVerstarkung von 1000, ein Rauschniveau 5nV/

√Hz und eine Bandbreite von 100kHz. Das Signal,

das sich somit am Ausgang ergibt hat eine Amplitude:

VS = 1000 · 10nV = 10µV (3.84)

Die Rauschspannung bei dieser Bandbreite und dem Eingangsrauschen ergibt sich zu:

VN =√

100kHz · 1000 · 5nV/√

Hz = 1, 6mV (3.85)

Somit er gibt sich ein Signal/Rausch-Verhaltnis:

VS

VN=

10µV

1, 6mV= 0, 006 (3.86)

Wird die Bandbreite reduziert lasst sich das Signal/Rausch-Verhaltnis verbessern. Wird z.B. einguter Filter mit der zentralen Frequenz von 10kHz und einer Bandbreite von 100Hz eingesetzt(dies entsprich einer Gute von G = f/∆f = 10000/100 = 100), verbessert sich die Situation infolgender Weise.

VN =√

100Hz · 1000 · 5nV/√

Hz = 50µV (3.87)

Nun ergibt sich ein Signal/Rausch-Verhaltnis:

VS

VN=

10µV

50µV= 0, 2 (3.88)

Aber auch dieses Signal/Rausch-Verhaltnis macht es unmoglich das Signal zu messen. Mit einemphasensensitiven Detektor ist es moglich eine Bandbreite von 0,01Hz zu erreichen:

VN =√

0, 01Hz · 1000 · 5nV/√

Hz = 0, 5µV (3.89)

Nun ergibt sich ein Signal/Rausch-Verhaltnis:

VS

VN=

10µV

0, 5µV= 20 (3.90)

In diesem Fall ist das Signal also um einen Faktor 20 großer als die Rauschspannung und somitleicht zu detektieren.

3.10.2. Die Funktionsweise eines phasensensitiven Detektors(Lock-in-Verstarkers)

Die Funktion des Lock-in-Verstarkers lasst sich wie folgt beschreiben: Die zu messende Probe wirdsinusformig angeregt, so dass das Messsignal mit dieser Anregungsfrequenz moduliert ist:

Vm(t) = Vm0 cos(ωmt + ϕm) (3.91)

31

Gleichzeitig wird das Modulationssignal dem Lock-in-Verstarker als Referenzsignal zugefuhrt:

Vr(t) = Vr0 cos(ωrt + ϕr) (3.92)

Der Lock-in-Verstarker bildet nun:

Vout =1T

∫ T

0Vm0 cos(ωmt + ϕm)Vr0 cos(ωrt + ϕr)dt (3.93)

=1T

∫ T

0

12Vm0Vr0 cos(ωmt− ωrt + ϕm − ϕr)dt− (3.94)

− 1T

∫ T

0

12Vm0Vr0 cos(ωmt + ωrt + ϕm + ϕr)dt (3.95)

Das Ausgangssignal besteht also aus zwei Frequenzanteilen. Allerdings werden durch die Tief-passfilterung alle Signale herausgefiltert, deren Frequenz hoher als die Grenzfrequenz ist. Auf dieseWeise bleibt nur die Komponente mit der Frequenzdifferenz ubrig sofern, diese Frequenzdifferenzkleiner als die Grenzfrequenz ist, d.h. die beiden Frequenzen nahezu identisch sind.

Vout =1T

∫ T

0

12Vm0Vr0 cos(ωmt− ωrt + ϕm − ϕr)dt (3.96)

≈ 12Vm0Vr0 cos(ϕm − ϕr)dt mit ϕm ≈ ϕr (3.97)

Auf diese weise wird also die Korrelation des Messsignals mit dem Referenzsignal bestimmt. Eswird klar, dass von einem beliebigen Rauschsignal nur der Teil des Rauschsignals mit beruck-sichtigt wird, dessen Frequenz in direkter Nachbarschaft zum Referenzsignal liegt. Das bedeu-tet, man erhalt eine sehr enge effektive Bandbreite des gemessenen Bereichs. Da aber auch diePhasendifferenz zwischen den beiden Signalen eingeht, wird auch eine sich zeitlich andernde Pa-sendifferenz herausgemittelt. Haufig wird nicht nur die Amplitude des Messsignals, sondern auchdessen Phasenlage zum Referenzsignal gemessen. Dies geschieht durch einen zweiten PSD dessenReferenzsignal um 90 gegenuber dem erste verschoben ist.

V1 = Vm0 cos(ϕm − ϕr) (3.98)V2 = Vm0 sin(ϕm − ϕr) (3.99)

Somit ist es moglich beide Anteile des Eingangsignals zu messen und so die volle Information zuerhalten.

32

3.10.3. Aufbau eines phasensensitiven Detektors

rauscharmer Vorverstärker

50/60Hz Bandsperre

100/120Hz Bandsperre

PLLPhasen-schieber

90° Phasen-schieber

Tiefpass- Filter

Tiefpass- Filter

R und ϕ Berechnung

Interner Oszillator

Phase-Locked

Loop

Verstärker

V1

V2

R ϕ

Sinus

TTL

ReferenzSinus oderTTL

A

B

+ -

Phasensensitiver Detektor

Links oben im Bild sind die beiden Eingange des Verstarkers zusehen, dabei wird einer der Eingangenicht-invertiert und der andere invertiert verstarkt. Dadurch ist es moglich die Differenz aus zweiEingangssignalen zu bilden. Dann folgt eine so genannter Bandsperre, dabei handelt es sich umeinen Filter, der es ermoglicht Storungen aus dem Wechselstromnetz (50Hz in vielen EuropaischenLandern und 60Hz in den USA) heraus zu filtern. Dann folgt noch eine weitere Bandsperre fur dieerste Harmonische der Netzfrequenz (100 bzw. 120Hz). Nun wird das Signal nochmals verstarktund auf die beiden Multiplikatoren gegeben (symbolisiert durch den Kreis mit einem Kreuz).

Links auf halber Hohe ist der Referenzeingang gezeigt. Hier wird ein externes Referenzsignalangeschlossen, bei dem es sich um ein sinusformiges Signal handeln kann oder um Logikpegelsignal(TTL —Transistor Transistor Logik, bei dem eine Logische Null durch 0V und eine Logische Einsdurch 5V reprasentiert wird). Das Signal wird auf einen so genannten Schmitt-Trigger gegeben(siehe hierzu Abschnitt A.6, auf Seite 106). Dieser formt aus dem Eingang ein Rechtecksignalmit steilen Flanken, welches auf eine

”Phase Locked Loop“(PLL) gegeben wird, welche ein ge-

nau definierten Sinus mit der selben Frequenz und Phase erzeugt. Dieser Sinus wird auf einenPhasenschieber gegeben, mit dem die Phase um einen beliebigen Betrag geschoben werden kann.Dieses Signal wird zum Einen nochmals um 90 geschoben und dann auf den Multiplizierer undzum Anderen direkt auf den Multiplizierer als zweiter Operand gegeben. Die Produkte werdenjeweils auf einen Tiefpassfilter zur zeitlichen Mittelung gegeben. Anschließend werden beide An-teile am Ausgang zur Verfugung gestellt. Des weiteren kann auch noch eine Transformation vonkartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten (V1, V2 → R,ϕ) durchgefuhrt werden.

Das Gerat besitzt noch zwei weitere Ausgange. An diesen werden ein sinusformiges Signal undein TTL-Signal als Referenzsignale ausgeben, um sie fur eine synchrone Anregung bei der Messungzu verwenden.

33

3.10.4. Rauschreduktion durch Mittelung von repetierlichen Signalen

Bei Signalen, die sich immer wieder Wiederholen, kann eine Rauschreduktion dadurch erzielt wer-den, dass sie mit Hilfe eines Triggersignals mehrfach

”phasenrichtig“ aufgenommen (digitalisiert)

und Messpunkt fur Messpunkt gemittelt werden. Dabei reduziert sich die Rauschspannung mit:

VN ∝ 1√N

, (3.100)

wobei N die Anzahl der aufgenommen Messreihen ist. Allerdings muss dabei bedacht werden,dass dies nicht bis zu einer beliebigen Genauigkeit fortgefuhrt werden kann, da eine Schwankungim Triggerzeitpunkt (Jitter) eine Grenze definiert.

0 2 4 6 8 10

0,0

0,5

1,0

0 2 4 6 8 10-0,50,00,51,01,5

0 2 4 6 8 10

-1012

0 2 4 6 8 10

-2024

0 2 4 6 8 10

0,0

0,5

1,0

nach 10000 Mittelungen

Zeit

nach 100 Mittelungen

nach 10 Mittelungen

Signa+Rauschen (S/N=1)

Rauschreduktion durch Mittelung

Signal

3.10.5. Die Methode der Boxcar-Mittelung

Ist ein Messsignal zu schnell um es digitalisieren zu konnen, besteht die Moglichkeit, wenn sich eingenauer Triggerpunkt definieren lasst, mit Hilfe eines Abtast/Halteglieds (Sample/Hold-Stage) undeinem variablen, triggerbaren Pulsgenerator das Signal dennoch zu messen. Mittels des Triggers

34

wird der Pulsgenerator getriggert, der ein Puls der Lange τ liefert. Am Ende des Pulses wirdder Messwert in dem Abtast/Halteglied gespeichert und uber einen Tiefpassfilter gemittelt. Nacheiner gewahlten Anzahl von Mittelungen wird die Pulslange τ erhoht, bis schließlich der gesamtezeitliche Verlauf des Messsignals abgetastet wurde.

Trigger Pulsgenerator

AHG R

C

Rampengenerator

τ

0 2 4 6 8 10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

y(t)

Zeit

τ

3.11. Methoden zur empfindlichen Messung kleiner Signale

3.11.1. Konzeption des Messaufbaus

Messtechnisch stellen

• kleine Spannung

• kleine Strome

• hohe Impedanzen

sehr große Anspruche an den Messaufbau. Daher ist in diesen Fallen besondere Sorgfalt bei derKonzeption des Messaufbaus geboten, um Messfehler zu erkennen und auszuschließen. In diesemZusammenhang ist es hilfreich sich mit sogenannten Testfeldern die Anforderungen an den Mes-saufbau zu verdeutlichen. Jede Spannungs- oder Stromquelle in einem Messproblem, lasst sich alseine Spannungsquelle mit einem Serienwiderstand auffassen:

35

Ri

V0

Ein Messfeld lasst sich nun dadurch darstellen, dass man in einem doppellogarithmischen Dia-gramm den Kurzschlussstrom Isc uber der Leerlaufspannung V0 aufgetragt. Geraden konstantenInnwiderstands R weisen eine Steigung von Eins in diesem Diagramm auf.

1. Zunachst legt man den Punkt fest (Punkt A im Diagramm unten), der sich durch denKurzschlussstrom und die Leerlaufspannung ergibt.

2. Dann wird die gewunschte Genauigkeit der Messung festgelegt, z.B. 0,1%. Die Genauigkeitdefiniert den Punkt B im Diagramm unten durch den Abstand von Punkt A (drei Dekaden).

3. Das Messfeld ist nun durch die vertikale Line zwischen A und B, der Viertelkreislinie nachlinks bis zur Horizontalen (Punkt C im Diagramm) und der horizontalen Verbindungsliniezwischen A und C begrenzt.

Das Messfeld zeigt nun den minimalen Parallelwiderstand, der zum Erreichen der gewunschtenGenauigkeit notwendig ist, mit dem das Messobjekt belastet werden darf im Punkt B und denmaximalen Serienwiderstand, der sich in der Messleitung befinden darf, in Punkt C.

36

3.11.2. Begrenzung des Messfeldes bei einer Spannungsmessung

Darstellung der fur eine Messung unzuganglichen Bereiche bei der Spannungsmessung:

1. Thermospannungen (Blau) konnen bis in den Bereich von einigen mV hineinreichen. Alsreine Spannungen sind sie naturlich vom Strom unabhangig.

2. Leckstrome (Grun) von z.B. 1nA schaffen ebenso einen unzuganglichen Bereich.

3. Der Quellenwiderstandsbereich (Violett) ist der Bereich, der bei einem Eingangswiderstanddes Messgerats von 10M einen Fehler von 10% oder großer hervorruft.

4. Der letzte Bereich wird durch eine Rauschquelle (Dunkelgrun) unzuganglich gemacht (weißoder 1/f).

37

3.11.3. Begrenzung des Messfeldes bei einer Strommessung

Darstellung der fur eine Messung unzugangliche Bereiche bei der Strommessung:

1. Spannungsabfall (Blau) an dem zur Strommessung benutzen Messwiderstand.

2. Durch induzierte oder generierte (Triboelektritat) Strome (Grun) unzuganglicher Bereich.

3. Begrenzung durch Widerstande (Violett) die parallel zum Eingang des Messgerates liegen(auch Kabelwiderstande).

4. Durch eine Rauschquelle (Dunkelgrun) unzuganglich gemachter Bereich (weiß oder 1/f).

38

3.11.4. Begrenzung des Messfeldes bei einer Widerstandmessung

Darstellung der fur eine Messung unzugangliche Bereiche bei der Widerstandsmessung:

1. Thermospannungen (Blau) konnen bis in den Bereich von einigen mV hineinreichen. Alsreine Spannungen sind sie naturlich vom Strom unabhangig.

2. Durch induzierte oder generierte (Triboelektritat) Strome (Grun) unzuganglicher Bereich.

3. Begrenzung durch Widerstande (Violett), die parallel zum Eingang des Messgerates liegen(auch Kabelwiderstande).

4. Bereich der durch eine Rauschquelle (Dunkelgrun) unzuganglich gemacht wird (weiß oder1/f)

5. Bereich, der wegen eines vorhandenen Messkabelwiderstandes (Gelb) unzuganglich ist.

39

3.11.5. Mogliche Fehlerquellen und ihre Beseitigung

Art der Messung Messbereich Anzeichen furFehler

Wahrscheinliche Ursa-chen

Maßnahmen zur Ver-meidung

Kleine Spannungen < 1µV Offsetspannung Thermospannungen Alle Anschlusse auf dergleichen Spannung hal-ten gekrimpte Cu-Cu-Verbindungen

Storspannungen Magnetische Interferen-zen

Verdrillte Leitungen vonMagnetfeldern entfer-nen oder abschirmen

Kleine Strome < 1µA Offsetstrom Leckstrome in Isolatoren Gute Isolatoren verwen-den, gut reinigen

Messstrom im Messwerk(Bias)

Picoamperemeter oderElektrometer verwenden

Dunkelstrom im Detek-tor

Dunkelstrom unter-drucken oder kompen-sieren

Storstrome Elektrostatische Kopp-lung

Hohe Spannungen undRelativbewegungen derKabel dazu vermeidenAbschirmung

Vibration / Deformation Vibrationen fernhal-ten rauscharme Kabelverwenden

Niedrige Wi-derstande

< 100mΩ Widerstandoff-sets

Kabelwiderstand 4-Draht Methode(Kelvin-Methode)verwenden

Drift Thermospannungen Pulsformige Testsignalemit Offsetkompensation

SchwankendeMesswerte

Magnetische Interferenz Von Magnetfeldern fern-halten oder abschirmenVerdrillte Leitungen ver-wenden

Hohe Widerstande > 1GΩ Ablesung zuklein

Belastungswiderstand(Shunt)

Anschlusse und Kabelmit hoherem Isolations-widerstand verwendenGuard-Techniken ver-wenden

Niedriger Rein des Volt-meters

Spannungsquelle undStrommessung verwen-den

Offsetstrome Offsetstrome bei abge-schalteter Testspannungkompensieren

SchwankendeWerte

Elektrostatische Kopp-lung

Hohe Spannungen in derNahe sowie Bewegungdes Kabels vermeiden

Spannung aus ei-ner Quelle mit hoherImpedanz

> 1MΩ Ablesung zuklein

Belastungswiderstand(Shunt)

Anschlusse und Kabelmit hoherem Isolations-widerstand verwendenGuard-Techniken ver-wenden

Offsetstrome Offsetstrome bei abge-schalteter Testspannungkompensieren

SchwankendeWerte

Elektrostatische Kopp-lung

Hohe Spannungen in derNahe sowie Bewegungdes Kabels vermeiden

Eingangswiderstand Zu geringer Eingangswiderstand Rm fuhrt durch einen Spannungsabfallam Innenwiderstand Rs des Messobjekts zu einer systematisch zu kleinen Ablesung Vm derMessspannung Vs Vm = Rm

Rm+RsVs.

Behebung:

40

Messinstrument oder Vorverstarker mit hoher Eingangsimpedanz wahlen.

Isolationswiderstand Durch Isolationsmaterial mit zu geringem Widerstand verringert sich dereffektive Eingangswiderstand bei der Messung (siehe oben).

Behebung:Sorgfaltige Wahl der Messkabel und Design des Messaufbaus.

Offsetspannung Dazu gehoren alle Spannungen, die in Serie zu der Messspannung liegen. Bei-spiele sind im wesentlichen Thermospannungen an Kontaktstellen und magnetisch induzierte

Spannungen VB = dφdt = d( ~B· ~A)

dt = ~Ad ~Bdt + ~B d ~A

dt .

+

-

+

- +

-

+

- + - + - Vs

VE MF VE MF

Vs Vm Vm

Reduktion des Einflusses durch Thermospannungen:Zweimalige Messungen der Spannung kurz hintereinander (die Temperaturverhaltnisse durfensich nicht andern) mir vertauschten Kabeln.

Vm,1 = Vs + VEMF (3.101)Vm,2 = Vs − VEMF (3.102)

Vm =Vm,1 + Vm,2

2

=(Vs + VEMF ) + (Vs − VEMF )

2= Vs (3.103)

Reduktion des Einflusses durch induzierte Spannungen:

• minimieren der Flache A zwischen den Messkabeln

• Bereiche hoher Magnetfelder vermeiden

• Verdrillen der beiden Messkabel fuhrt zu einer Kompensation, da die Richtung desNormalenvektors der Flache rotiert.

• Betrag und Richtung zeitlich konstant halten indem die Messleitungen fixiert werden.

Offsetstrom Entstehung in den Eingangsverstarkern von Messverstarkern.

Behebung:Minimieren durch die Wahl des Messinstrumentes und bei zeitlich konstanten OffsetstromenKompensation durch eine externe Stromquelle.

41

Kapazitat zur Abschirmleitung Die Kapazitat zwischen Innenleiter und der Abschirmung desMesskabels fuhren mit dem Innenwiderstand des Messobjekts zu einem storenden Tief-passverhalten:

τ = RsCK . Flanken des Messsignals werden verzogert.

Behebung:

Einsetzen einer Guard-Technik, dabei wird die direkte Abschirmung um die Messleitung aufdem gleichen Potential wie die Messleitung selbst gehalten, dadurch muss die Kapazitat derMessleitung nicht von der hochohmigen Quelle umgeladen werden sondern wird von einemniederohmigen Messverstarker umgeladen:

+

- Ri

≈ Vi

Vm C K

Quelle

Messverstärker

Die neue sich ergebende Zeitkonstante stellt die um die offene Schleifenverstarkung redu-zierte ursprungliche Zeitkonstante dar:

τguard,eff =RsCK

Aguard. (3.104)

Ein weiterer wichtiger Vorteil der Guard-Technik ist die Reduktion des effektiven Parallel-widerstands (wie Kabelisolationswiderstande). So kann mit sogenannten Guard-Ringen aufPlatinen der Eingangswiderstand erhoht werden.

Guard-Fläche

Erdschleifen Erdschleifen entstehen durch zu viele und somit uberflussige Verbindungen auf Be-zugspotential.

42

Hi

Lo

Quelle

Messgerät

R ≈

R

V Vm

Erdleitung

Vg

Die in der Erdleitung abfallende Spannung Vg, hervorgerufen durch einen hohen Stromflussin der Erdleitung oder durch induktive Einkopplung, fuhrt zu einem Stromfluss IR durchden Widerstand Rg und damit auch zu einem eventuell nicht zu vernachlassigenden Span-nungsabfall in R. Typische Werte sind IR= 1A und R = 100mΩ. Damit ergibt sich alsSpannungsabfall an R und somit als Bezugspunktsdifferenz 100mV.

Behebung:Erdung des gesamten Aufbaus an einem definierten Punkt

Kapazitiv eingekoppelte Spannungen Jeder ladungstragende Korper kann eine zusatzliche Span-nung durch eine kapazitive Einkopplung eines Stroms in dem Messkreis hervorrufen:

V

C

≈

I

I = CdV

dt+ V

dC

dt. (3.105)

Behebung:Eine um die Messschaltung angebrachte Abschirmung, die geerdet ist, schafft hier Abhilfe.

Rauschen in Strommessinstrumenten Empfindliche Strommessinstrumente bestehen in den mei-sten Fallen aus Strom/Spannungs-Wandlern.

43

-

+

Rf I

Vout Rs

Vs

Dabei ergibt sich fur das Wandlungsverhaltnis

Vout = −IRf = −VsRf

Rs. (3.106)

Es ist meistens Rs < Rfund somit ist auch Vs < Vf . Dies kann zu Problemen fuhren, wennman Rauschen des Srom/Spannungswandlers in die Uberlegung einbezieht. Das Rauschenlasst sich damit beschreiben, indem man sich eine Rauschspannungsquelle angeschlossen anden nichtinvertierenden Eingang vorstellt. Diese Rauschspannung wird dann mit

Vout,n = Vs

(1 +

Rf

Rs

)(3.107)

verstarkt und somit bei kleinen Quellenwiderstanden Rs im Vergleich zu der eigentlichenQuellenspannung Vs starker.

Zu Beachten ist, dass eigentlich zu den Widerstanden Rs und Rf streng genommen nochjeweils eine Kapazitat parallel vorhanden ist, was diese Angelegenheit auch noch frequenz-abhangig macht.

Behebung:

Keithley empfiehlt bei seinen Strommessinstrumenten bei einer Strommessung auf eine Impe-danz der Quelle zu achten, die einen vom Messbereich abhangigen Wert nicht unterschreitet:

Strombereich Minimaler QuellenwiderstandpA 1GΩ. . . 100GΩnA 1MΩ. . . 100ΩµA 1kΩ. . . 100kΩmA 1Ω. . . 100Ω

Triboelektrische Effekte Kabel bestehen aus mehreren Schichten, die bei einer Bewegung ge-nauer Krummung gegeneinander Reiben konnen. Diese Reibung kann, ahnlich der Situation,wenn ein Fell an einem Kunstoffstab gerieben wird, Ladungstrennung zur Folge haben. Diese

44

Art der Ladungstrennung wird Triboelektrizitat genannt. Die entstandene Ladung kann inden Messkreis abfließen oder in diesen Einkoppeln.

Vermeidung:

• Rauscharme Kabel verwenden

• Vibrationen an den Quellen dampfen

• Kabel fixieren

3.11.5.1. Das Spektrum von moglichen Storquellen

Das Spektrum von Storsignalen besteht im wesentlichen aus zwei breitbandigen Anteilen, wieeinem 1/f-Anteil bei niedrigen Frequenzen und einem weißen Rauschuntergrund, sowie eventuelleinzelner Spitzen bei Frequenzen:

log A

log f

1/f

weiß

• der Netzfrequenz und deren Harmonischen

• der Storsignalen von Computermonitoren (Zeilenkippfrequenz)

• von Kaskadenschaltungen zur Spannungsvervielfachung

• von Zerhackern in Schaltnetzteilen

• von Taktgebern in Digitalschaltungen

• von benachbarter Radiosendern

u.a.m.

3.12. Sensoren fur unterschiedliche physikalische Großen

3.12.1. Sensoreffekte zur Umsetzung mechanischer Großen

3.12.1.1. Piezoelektrischer Effekt

Piezoelektrizitat wird die Wechselwirkung zwischen elektrischen Großen wie Polarisation, elek-trischem Feld oder Oberflachenladung mit mechanischen Großen wie Spannung und Dehnung.Piezoelektrizitat gibt es nur in zentrosymmetrischen Kristallen, d.h. in Kristallen mit mindestens

45

einer Spiegelebene. Existiert diese Spiegelebene, so tritt entlang der Normalen zu dieser Ebene keinpiezoelektrischer Effekt auf, da alle mechanische Großen in sich uberfuhrt werden, wahrend alleelektrischen Großen ihr Vorzeichen andern. Somit kann hier kein piezoelektrische Effekt entstehen.

+

+ + -

-

- +

+ + -

- -

Durch die unterschiedliche Verschiebung der Ladung resultiert ein Dipolmoment in dem Kristall.Es konnen vier Effekte unterschieden werden, je nach Richtung der wirkenden Krafte und nachRichtung des sich ausbildenden Piezokoeffizienten.

F

P P

F

F F

Longitudinaleffekt Transversaleffekt

F

F

F

F

P P

Longitudinaler Schereffekt

Transversaler Schereffekt

3.12.1.1.1. Die mechanische Spannung Die mechanische Spannung ist als Kraft pro Flachedefiniert und stellt somit einen Tensor zweiter Stufe dar.

46

x1

x2

x3

σ11 σ21

σ31

σ13 σ23

σ33

σ12 σ22

σ32

A1 A2

A3

Die unterschiedlichen Krafte, welche an den verschiedenen Flachen angreifen ergeben so dieKomponenten des Spannungstensors:

σij =Fi

Aj(3.108)

Dabei stellen positive Komponenten den Druck und negative die Zugspannung. Komponentenmit i 6= jstellen Scherkrafte dar. Im statischen Gleichgewicht gilt σij = σji, da sich sonst einresultierendes Drehmoment ergibt, das zu Drehbeschleunigungen fuhren wurde. Das bedeutet,dass der Spannungstensor ein symmetrischer Tensor ist und sich seine Komponenten auf nursechs verschiedene reduzieren.

↔σ =

σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23

σ13 σ23 σ33

(3.109)

Zur Vereinfachung wird oftmals anstelle der Tensorschreibweise eine Matrixschreibweise gewahltdabei geschieht die Zuordnung wie folgt:

Tensorschreibweise 11 22 33 23;32 13;31 12;21Matrixschreibweise 1 2 3 4 5 6

Damit nimmt die Matrix die folgende Gestalt an: σ11 σ12 σ13

σ12 σ22 σ23

σ13 σ23 σ33

→ σ1 σ6 σ5

σ6 σ2 σ4

σ5 σ4 σ3

(3.110)

Tensorschreibweise Matrixschreibweise

3.12.1.1.2. Die mechanische Dehnung Zur Bestimmung der mechanischen Dehnung betrach-tet man die infinitesimale Verruckung uiin Richtung xj :

eij =δui

δxj(3.111)

Die Verruckung eines Punktes ∆~u im Abstand ∆~x ergibt sich damit zu ∆~u = ↔e∆~xbzw. ∆ui =

eij∆xj . Es ist offensichtlich, dass der antisymmetrische Teil des Tensors 12(eij − eji)eine Drehung

beschreibt, wahrend der symmetrische 12(eij + eji)eine Verformung beschreibt. Deshalb ist der

eigentliche Dehnungstensor↔εder symmetrische Teil des Tensors

↔e :

↔ε =

ε11 ε12 ε13

ε12 ε22 ε23

ε13 ε23 ε33

:=

e1112(e12 + e21) 1

2(e13 + e31)12(e12 + e21) σ2

12(e23 + e32)

12(e13 + e31) 1

2(e23 + e32) σ3

(3.112)

47

Der Tensor↔εhat nun wiederum nur sechs unabhangige Komponenten, weshalb man auch hier

wieder die ubersichtlichere Matrixschreibweise wahlt: ε11 ε12 ε13

ε12 ε22 ε23

ε13 ε23 ε33

→ ε1

12ε6

12ε5

12ε6 ε2

12ε4

12ε5

12ε4 ε3

(3.113)


3.12.1.1.3. Der direkte piezoelektrische Effekt Unter dem direkten piezoelektrischen Effektversteht man das Auftreten einer elektrischen Polarisation~P bei Anwesenheit einer mechanischenSpannung

↔σ:

~P =↔d · ↔σ bzw. Pi = dijk · σjk (3.114)

Es gilt die Einsteinkonvention der Summation uber die doppelt auftretenden Indizes. Die dijkwerdenals piezoelektrische Moduln bezeichnet. Da der Spannungstensor symmetrisch ist kann zwischendijkund dikjnicht unterschieden werden. Es gilt dijk = dikjsomit existieren nicht 27 sondern 18unabhangige Komponenten. Ublicherweise wird anstelle der Tensorschreibweise mit drei Indizesdie Matrixschreibweise mit zwei Indizes verwendet (i=1,2,3). di11 di12 di13

di12 di22 di23

di13 di23 di33

→ di1

12di6

12di5

12di6 di2

12di4

12di5

12di4 di3

(3.115)


Damit ergibt sich fur die Polarisation mit den unterschiedlichen Schreibweisen:Tensornotation: Pi = dijk · σjk (i, j, k= 1...3)Matrixnotation: Pi = dij · σj (i= 1...3; j =1. . . 6)

3.12.1.1.4. Der inverse piezoelektrische Effekt Hierunter versteht man das Auftreten einerDehnung

↔εbei Anwesenheit eines elektrischen Feldes ~E:

εjk = dijk · Ei (3.116)

Es ergibt sich wiederum fur die unterschiedlichen Schreibweisen:Tensornotation: εjk = dijk · Ei (i, j, k= 1...3)Matrixnotation: εj = dij · Ei (i= 1...3; j =1. . . 6)Dieser Effekt wird bei Schwingquarzen zur Definition einer Frequenz ausgenutzt. Mit einem

Schwingquarz als Sensor sind z.B. Schichtdickenmessgerate ausgestattet, welche die Verstimmungder Resonanzfrequenz benutzen um die Massenbelegung des Quarzes und somit die aufgebrachteSchichtdicke zu bestimmen.

3.12.1.1.5. Kristalleigenschaften Die unterschiedlichen piezoelektrischen Moduln konnen denunterschiedlichen Klassen der Effekte zugeordnet werden:

Mit zunehmender Symmetrie der Kristalle nimmt die Anzahl der unabhangigen Komponentenab, weshalb bestimmte Effekte dann nicht mehr beobachtet werden konnen.

48

Longitudinaleffekt d11,d22, d33

Transversaleffekt d12,d13, d21, d23,d31, d32

Longitudinaler Scheref-fekt

d14,d25, d36

Transversaler Schereffekt d15,d16, d24, d26,d34, d36

So sind z.B. die piezoelektrischen Moduln von .α-Quarz

↔d =

d11 −d11 00 0 00 0 0

d14 0 00 −d14 −2d11

0 0 0

(3.117)

mit d11 = 2, 3pC/N und d14 = 0, 67pC/N.

Lithiumniobat besitzt eine relativ großen Koeffizienten d33 = 21pC/N. Haufig werden auchpiezoelektrische Keramiken eingesetzt PbZrO3 und PbTiO3 (Perovskit-Struktur).

3.12.1.2. Piezoresistiver Effekt

Der elektrische Widerstand eines Quaderformigen Korpers ist gegeben durch:

R =ρ · lA

(3.118)

Wird eine Kraft auf den Quader ausgeubt so deformiert er sich, wodurch sich eine Widerstandsande-rung ergibt:

∆R

R=

∆l

l− ∆A

A+

∆ρ

ρ(3.119)

mit ε = ∆ll und ν = − ∆A·l

2A·∆lals Querkontraktionszahl folgt:

∆R

R= ε(1 + 2ν) +

∆ρ

ρ(3.120)

Hierbei hangt nur der erste Term von der Geometrie ab und der zweite beschreibt den eigentlichenpiezoresistiven Effekt. Bei Metallen wird die Widerstandsanderung im Wesentlichen durch dieGeometrieanderung und in Halbleitern in erster Linie durch den piezoresistiven Teil hervorgerufen.

Ursache des piezoresistiven Effekts in Halbleitern ist die Veranderung der Bandstruktur unterDruck und somit die Anderung der Konzentration der freien Ladungstrager. Durch eine Anderungder Krummung der Leitungsbandkante wird die effektive Masse der freien Ladungstrager und somitderen Beweglichkeit verandert.

3.12.1.2.1. Einschub: Elektronen im Gitter Die diskreten Energieniveaus in einem einzel-nen Atom werden zu Bandern, wenn sich eine Reihe von Atomen in einem bestimmten Abstandbefinden, wie dies bei einem Festkorperkristall (Halbleiter) der Fall ist.

49

E E

x x

discrete energylevels split upin different bands

Je nach Anzahl der zur Verfugung stehenden Elektronen werden die Bander besetzt. Das obersteBand, das auf einzelne Atome begrenzt ist wird Valenzband genannt, wahrend das unterste welchesuber alle Atome hinwegverlauft Leitungsband genannt wird. Zwischen diesen Bandern befindet sichdas verbotene Band in dem keine besetzbaren Elektronenzustande vorhanden sind.

E g=E c-E v

E c

E (k)

E v

free elec tron

k

c on duc tio n ban d

valenc e band

energ y gap, band gap

x

Die Krummung der Bander kann als das Inverse der ,,Masse“ (so genannte effektive Masse)der Elektronen interpretiert werden.

Durch das Einwirken einer Mechanischen Kraft wird der Abstand in der einen Kristallrichtungverkurzt und in den anderen Verlangert (oder umgekehrt). Dadurch andern sich die Bander undsomit auch die effektiven Massen der Elektronen.

3.12.1.2.2. Beschreibung des piezoresistiven Anteils in Halbleitern Der spezifische Wider-stand im Zusammenhang mit elektrischem Feld und Stromdichte muss in einem Kristall prinzipiellals ein Tensor aufgefasst werden. Dieser nimmt die Form eines Einheitstensors fur den Fall an,dass die Leitfahigkeit isotrop ist:

E1

E2

E3

= ρ ·

1 0 00 1 00 0 1

j1

j2

j3

(3.121)

Wird auf den Kristall eine Kraft ausgeubt, so wird die Isotropie der Leitfahigkeit gestort und estreten nichtverschwindende Nebendiagonalelemente auf und die Diagonalelemente werden modi-

50

fiziert:

[E1

E2

E3

]= ρ ·

[1 + π11σ1 + π12(σ2 + σ3) π44σ6 π44σ5

π44σ6 1 + π11σ2 + π12(σ1 + σ3) π44σ4

π44σ5 π44σ4 1 + π11σ3 + π12(σ1 + σ2)

] [j1j2j3

](3.122)

Die hauptsachliche Konsequenz besteht darin, dass der Strom nicht mehr in Richtung des herr-schenden elektrischen Felds fließen muss.

3.12.2. Umsetzung magnetischer Großen

3.12.2.1. Messung mit Hilfe einer rotierenden Spule

Die einfachste Methode, ein magnetisches Feld zu erzeugen, beruht auf der Ausnutzung der Glei-chung fur die induzierte Spannung:

Vind = −Nd( ~B · ~A)

dt(3.123)

Bei einem konstanten zu messenden Magnetfeld ergibt sich nur die Moglichkeit:

Vind = −N ~Bd ~A

dt(3.124)

Dies lasst sich z.B. durch eine rotierende Spule realisieren.

3.12.2.2. Kernsondenmagnetometer

Wird ein Material als Kernmatrial in einem Transformator verwendet, dessen Magnetisierungskurvenichtlinear ist, so kann damit ein extern anliegendes Magnetfeld Hm gemessen werden.

Magnetisierungskurve:

B

H

Mogliche einfache experimentelle Realisierung eines Transformators:

51

i(t)

Hm

Vind(t)

Um die Funktion zu verstehen, sei angenommen, dass die Magnetisierungskurve mit folgenderGleichung modelliert werden kann:

B(H) = µ0(H + KH3) (3.125)

Nun wird mit durch einen Stromfluss mit der Frequenz ω das gesamte Magnetfeld H(t) = Hm +H0 sin(ωt) moduliert. Damit ergibt sich fur die magnetische Induktion:

B(t) ≈ µ0[H(t) + KH(t)3]= µ0[Hm + H0 sin(ωt) + [Hm + H0 sin(ωt)]3] (3.126)

Nach Ausmultiplizieren und Anwenden von trigonometrischen Rechenregeln ergibt sich fur dieinduzierte Spannung:

Vind ∝ H0ω

[(1 + 3KH2

m +3K

4H2

0

)cos(ωt) +

+3KHmH0 sin(2ωt)− 3K

4H2

0 cos(3ωt)]

(3.127)

Es ist zu sehen, dass der Term mit der doppelten Anregungsfrequenz proportional zum zu mes-senden Feld ist:

Vind|2ω ∝ 3HmωKH20 (3.128)

Es ist somit auch klar, dass durch eine Erhohung des Modulationsfeldes und der Frequenz dieEmpfindlichkeit in gewissen Grenzen erhoht werden kann.

3.12.2.3. Hall Effekt

Wie allgemein bekannt ist, erfahren bewegte Ladungstrager in einem magnetischen Feld die so

genannte Lorentz-Kraft ~FL = q(~v × ~B

). Diesen Effekt kann man ausnutzen, um das magnetische

Feld zu messen. Dabei wird eine, sich aufgrund der Lorentz-Kraft ergebende, Spannung gemessen,die proportional zum anliegenden magnetischen Feld ist.

52

VH

I 0

Bm

l

b

d

Der Effekt der sich einstellenden Spannung in einer langen Probe wird Hall-Effekt genannt.Die sich ergebende Spannung ist:

VH =RH

dIB (3.129)

Es ergibt sich eine Gleichgewichtssituation, wenn die Lorentzkraft gleich der Kraft durch daselektrische Feld auf den Ladungstrager ist. Das sich einstellende Hallfeld ist:

~EH = −(~v × ~B

)(3.130)

Damit ergibt sich die Hallspannung zu:

VH = −bvxB (3.131)

Hier ist vxdie mittlere Geschwindigkeit der Ladungstrager in x-Richtung. Es besteht folgenderZusammenhang zwischen der Geschwindigkeit der Ladungstrager und der Stromdichte:

jx,n = nqvx (3.132)

nbezeichnet hier die Ladungstragerkonzentration und q die Elementarladung.Mit

jx =I

bd(3.133)

ergibt sich fur die Hallspannung

VH = − 1nq

1dIB =

RH

dIB (3.134)

und somit ergibt sich fur den Hallkoeffizienten im Fall negativer Ladungstrager:

RH,n = − 1nq

(3.135)

B

VH Steigung: RHI/d

53

Durch dieses sich ergebende Hallfeld werden die Aquipotentialflachen des elektrischen Feldesgekippt.

I I

+ + + + + + +

- - - - - - - - - -

E x

E H E

Der Winkel, um den die Aquipotentialflachen gekippt wurden, wird als Hallwinkel bezeichnet,

tan(θH) =

∣∣∣ ~EH

∣∣∣∣∣∣ ~Ex

∣∣∣ =

∣∣∣−(~v × ~B

)∣∣∣∣∣∣ ~Ex

∣∣∣ =∣∣∣∣ vx

Ex

∣∣∣∣ B = µHB (3.136)

wobei µH die so genannte Hallbeweglichkeit ist.

3.12.2.4. Gauß Effekt

Hierunter versteht man die Widerstandsanderung in einer kurzen Probe, die aufgrund einer große-ren effektiven Lange der Probe entsteht, da sich durch ein angelegtes Magnetfeld die elektrischenFeldlinien um den Hallwinkel kippen. Dieser Effekt muss allerdings von dem magnetoresistivenEffekt, der im nachsten Abschnitt beschrieben wird, unterscheiden werden.

R0 = ρl0b0d

(3.137)

Vernachlassigt man den storenden Einfluss des Randes kann man ableiten:

l(θH) =I0

cos(θH)(3.138)

b(θH) = b0 cos(θH) (3.139)

54

Damit ergibt sich fur den Magnetfeld abhangigen Widerstand:

R(θH) = R01

cos2(θH)= R0(1 + tan2(θH)) (3.140)

Mit der Hallbeweglichkeit folgt:

R(B) = R0(1 + K(µHB)2) (3.141)

Wobei der Faktor K der Geometrie der Probe Rechnung tragt. Der Widerstand zeigt folgendeAbhangigkeit von der magnetischen Induktion:

B

R(B)

R0

Der Effekt kann verstarkt werden, wenn man Kontakte mit Fingern aufbringt, die in die Zwi-schenraume des gegenuberliegenden Kontaktes hineinreichen.

3.12.2.5. Magnetoresistiver Effekt

Betrachtet wird eine stabformige Probe, fur die l d gilt. Außerdem weise das Material zweiunterschiedliche spezifische Widerstande ρpund ρs bezuglich der Magnetisierung auf.

B

~E = ~Ep cos(θ) + ~Es sin(θ) (3.142)~j = ~jp cos(θ) +~js sin(θ) (3.143)

~Ep = ρp~jp; ~Es = ρs

~js (3.144)

55

Durch einsetzen ergibt sich:

~E(θ) = ~jρs

(1 +

ρp − ρs

ρscos2(θ)

)(3.145)

Damit ergibt sich fur den Widerstand:

R(θ) =1bd

ρs +1bd

(ρp − ρs) cos2(θ) (3.146)

Hier ist der Widerstand weder von der Große noch vom Vorzeichen abhangig. Durch Formanisotro-pie kann der Widerstand von der Große der Magnetisierung abhangig gemacht werden. Es ergibtsich ein magnetisch anisotropes Verhalten entlang einer magnetisch harten und einer magnetischweichen Achse:

Mx

Hx

+Ms

-Ms

Hc

Mx

Hx

+Ms

-Ms

+Hk -Hk

magnetisch hart magnetisch weich

Entlang der magnetisch weichen Achse gilt fur die Feldstarke Hy < Hk:

My(Hy) = HyMs

Hk, fur Hy < Hk (3.147)

H

j leicht

l

d

b

θ

Ms

Mx

My hart

Weist die Magnetisierung eine Komponente in y-Richtung auf so ergibt sich:

My

Ms= sin(θ) (3.148)

und somit:Hy

Hk= sin(θ), fur Hy < Hk (3.149)

56

durch Umformung erhalt man

1−(

Hy

Hk

)2

= cos2(θ), fur Hy < Hk (3.150)

und somit ergibt sich fur den Widerstand durch Einsetzen in obige Formel:

R(θ) =1bd

ρs +1bd

(ρp − ρs)

[1−

(Hy

Hk

)2]

, fur Hy < Hk (3.151)

R =1bd

ρs, fur Hy > Hk (3.152)

Hy

Hk +1 -1

R

Bilden Magnetfeld und Stromrichtung einen Winkel von 45 so ergibt sich eine Linearisierung.Dies kann durch Aufbringen von leitfahigen Metallelektroden (,,Barber Poles“) im 45 Grad Winkelzur X-Achse erreicht werden.

Barber Pole

Solche Materialien zeichnen sich durch einen großen Magnetowiderstand und eine zur messendenFeldstarke angepassten Anisotropiefeldstarke Hk aus. Es sind in erster Linie binare und ternareLegierungen aus Ni, Fe und Co, wobei Permalloy (Ni/Fe 81/19) eine besondere Rolle spielt, dahier keine Magnetostriktion auftritt.

57

3.12.2.6. Supraleitende Magnetfeldsensoren

Cooperpaare:

zwei Elektronen (Fermionen) wechselwirken uber Phonen (Gitterverzerrung) ⇒ Bosonen

Bosonenwellenfunktion:

Ψ(~r) =√

ns(~r)eiϕ(~r) (3.153)

ns(~r) ist dabei die Cooperpaardichte.

Alle Cooperpaare bilden einen makroskopischen Quantenzustand, der sich durch eine Wellen-funktion beschreiben lasst. Das heißt der Zustand wird nicht nur durch eine reelle Große derCooperpaardichte, wie die Dichte des Wassers bei der Beschreibung des Phasenubergangs vonWasser, sondern zu der korrekten Beschreibung des Zustands benotigt man noch die komplexePhase. Die Koharenzlange ξ ist die charakteristische Lange auf der sich die Cooperpaardichteandern kann.

Der supraleitende Zustand kann durch folgendes Bild als ein Halbleiter interpretiert werden, beidem die doppelte Bindungsenergie der Cooperpaare als Bandlucke gedeutet wird. Die in Cooper-paaren kondensierten Elektronen sind Bosenen und konnen damit auch einen Zustand mehrfachund nicht nur einfach besetzen.

E

N(E)

2∆

Bei einer Temperatur, die von Null verschieden ist werden einige Cooperpaare thermisch aufge-brochen, weshalb ein Teil der Elektronen Zustande oberhalb der Bandlucke besetzten.

Magnetischer Fluss wird aus dem Inneren des Supraleiters verdrangt. Er kann nur noch Off-nungen durchdringen. Aber dieser Fluss kann nicht jeden beliebigen Wert annehmen, sondern er

58

ist quantisiert. Dies hangt direkt mit der Bosonenwellenfunktion zusammen. Geht man auf ei-nem Ring um die Offnung im Supraleiter muss die Phase der Wellenfunktion an jedem Ort eineneundeutigen Wert annehmen.

SL

B

Mit Hilfe der Elektrodynamik lasst sich schreiben:

µ0λ2

∮~js(~r) · d~s︸︷︷︸=0

+∮

~A(~r) · d~s︸︷︷︸=ΦA

=~es

∮gradϕ(~r) · d~s︸︷︷︸2πn~/es

(3.154)

Flußquant: Φ0 =∣∣∣∣ h

es

∣∣∣∣ = 2.0678 · 10−15Tesla m2 (3.155)

3.12.2.6.1. Der Josephson-Kontakt

Sl I Sl

|Ψ|

x

Ψ Ψ

1 2

1 2

Ψ(r) =√

ns(~r)eiϕ(~r) (3.156)

i~∂Ψ2

∂t= E2Ψ2 + KΨ1 (3.157)

i~∂Ψ1

∂t= E1Ψ1 + KΨ2 (3.158)

59

dns1

dt=

2K

~√

ns1ns2 sin(ϕ2 − ϕ1) (3.159)

dns2

dt= −2K

~√

ns1ns2 sin(ϕ2 − ϕ1) (3.160)

dϕ1

dt= −K

~

√ns2

ns1cos(ϕ2 − ϕ1)−

E1

~(3.161)

dϕ2

dt= −K

~

√ns1

ns2cos(ϕ2 − ϕ1)−

E2

~(3.162)

ns,1 = −ns,2 =2Kn

~sin(ϕ2 − ϕ1) → J = JC sin(∆ϕ) (3.163)

~(ϕ2 − ϕ1) = E2 − E1 → ∆ϕ =2eV

~(3.164)

J Stromdichte; JC kritische StromdichteJosephson-Gleichungen

3.12.2.6.2. Das Superconducting Quantum Interference Device

Die Strom/Spannungs-Charakterisitik

Spannung

Strom

Versorgungsstrom

Φ = ( Φ n+1/2) 0

Φ = Φn 0

c

60

Zusammenhang zwischen Spannungsabfall und magnetischem Fluss

Φ0

∆V

∆Φ

Flußquant

Span

nung

magnetischer Fluß

Da der Zusammenhang zwischen in ein SQUID eingekoppelter magnetischer Fluss und dieAnderung der Spannungsabfalls uber das SQUID sich periodisch andert mit der Periode einesFlussquants und ist somit naturlich nicht eindeutig. Das bedeutet, dass die Angabe einer Spannungnicht eindeutig auf einen Fluss abgebildet werden kann. Somit waren nur Anderungen magnetischerFlusse im Umfang unter einem halben Flussquant eindeutig messbar.

Um diesen Nachteil auszuraumen, wird die so genannte flux-locked loop verwendet. Dabeiverwendet man zwei, schon eingefuhrte Prinzipien:

1. ein phasensensitiver Verstarker, um die die Ableitung der Spannungs/Fluss-Beziehung zumessen

2. das Kompensationsprinzip, um den Fluss dem das SQUID ausgesetzt ist konstant gehaltenwird, in dem der externe Fluss durch eine kleine Spule kompensiert wird.

Das mit einem konstanten Strom versorgten SQUID ist dem externen Magnetfeld ausgesetzt. Inder Nahe befindet sich auch noch eine kleine Spule deren Magnetfeld ebenfalls das SQUID durch-dringen kann. Die Spannungsanderungen des SQUIDs werden als Strom durch einen Transformatorund einen Widerstand abgegriffen. Die Spannungsanderungen werden von einem Verstarker ver-großert und mit einer Wechselspannung multipliziert. Außerdem moduliert die Wechselspannungdas Magnetfeld durch das SQUID. Das Produkt der Multiplikation wird zeitgemittelt (tiefpassge-filtert) und einem Ausgangsverstarker zugefuhrt.

61

AusgangSQUID

Strom-quelle

CryoVerstärker

Multiplizierer

Integrator

Trafo

lock-in

Wechselspannungs-quelle

Magnetometer Wir ein SQUID verwendet, um Magnetfelder zu messen lasst sich die Empfind-lichkeit weiter steigern, indem ein so genannter Flusstransformator aus einem supraleitendenDraht benutzt. Wird der Flusstransformator einem magnetischen Feld ausgesetzt, beginntin ihm ein Suprastrom zu fließen, der Proportional zur Gesamtflache des Transformatorsund zum Magnetfeld ist. Durch die Mehrfachwicklung direkt uber dem SQUID wird anddieser Stelle ein uberhohtes magnetisches Feld erzeugt, welches dann vom SQUID deutlichempfindlicher gemessen werden kann.

Gradiometer Ein Gradiometer ist nur auf die Gradienten magnetischer Felder empfindlich. Dasbedeutet, dass der konstante Anteil des Magnetfeldes unterdruckt wird. Die beiden Win-dungen des hier verwendeten Flusstransformators, die raumlich moglichst weit voneinandergetrennt sind, haben unterschiedlichen Wicklungssinn. Wird nun ein homogenes Magnetfeldangelegt, so ist der fließende Suprastrom Null, da der gesamt Fluss Null ist, da

∫~B ·~ndA = 0

(~n ist dabei die Flachennormale der durch den Flusstransformator aufgespannte Flache A).Erst ein vertikaler Gradient in der Vertikalkomponente des Magnetfeldes in unten dargestell-ten Anordnung erzeugt ein Suprastrom.

Voltmeter Wird an den Flusstransformator uber einen Widerstand eine Spannung angelegt sofließt ein Strom durch diesen, welcher wieder ein magnetischen Fluss im SQUID erzeugt, derproportional zur angelegten Spannung ist. Somit lassen sich sehr empfindlich Spannungenmessen.

62

Magnetometer

Gradiometer

Voltmeter

Flußtransformator

Magnetfelder 10−15 Tesla entspricht dem 1011ten Teil des Erdmagnetfeldes

Spannungen 10−14 = 10fV ca. 105 mal empfindlicher als die empfindlichsten Halbleitervoltmeter

Energie die mit einer Anderung des Magnetfeldes verbunden ist:typisch 10−32Joule Anheben eines Elektrons im Gravitationsfeld um einen Millimeter

Die sensitivsten Messgerate erreichen das durch die Unscharferelation gesetzte Limit.

63

100fT

1pT

10pT

100pT

1nT

10nT

100nT

1µT

10µT

Transistor die at 1 m

Biom

agne

tic fi

elds

Envir

omen

tal f

ield

s

Human brain(response)

Human brain (a)

Human eyeFetal heartSkeletal musclesHuman heart

Lung particles

TransistorIC chip at 2 m

Screwdriver at 5 m

Car at 50 m

Urban noise

Earth field

magnetic field

3.12.3. Umsetzung von thermischen Großen

3.12.3.1. Thermowiderstands-Effekt

Bei allen Materialien weist die spezifische elektrische Leitfahigkeit σ eine Temperaturabhangigkeitauf, die zur Bestimmung der Temperatur genutzt werden kann. Fur die Stromdichte durch einMaterial gilt:

~j(T ) = σ(T ) ~E (3.165)

weiterhin gilt fur die Leitfahigkeit:

σ(T ) = qµ(T )n(T ) (3.166)

µ ist die Beweglichkeit der Ladungstrager und n deren Konzentration.Fur nicht-ferromagnetische Metalle erhoht sich der spezifische Widerstand mit T 5 bei tiefen

Temperaturen und nimmt bei Erreichen des absoluten Nullpunkt einen endlichen Wert an.

3.12.3.1.1. Thermowiderstands-Effekt in Metallen Da sich bei Metallen die Anzahl derfreien Elektronen nur sehr wenig mit der Temperatur andert, ist die Temperaturabhangigkeithauptsachlich durch die Anderung der Elektronenbeweglichkeit bestimmt. Bei Temperaturen inder Nahe des absoluten Nullpunkts ist der Widerstand in Metallen nur durch den durch Verunrei-nigungen bestimmten Restwiderstand bestimmt (T = 0). Der Widerstand steigt dann fur kleineTemperaturen proportional zu T 5 an, um dann bei hoheren Temperaturen annahernd linear zusteigen.

1. T → 0 Widerstand konstant

64

2. T klein → Widerstand ∝ T 5

3. T groß → Widerstand ∝ T (Temperaturkoeffizienten im Bereich 3, 5...4, 5 · 10−3/K)

Als Widerstandmaterialien werden meist Edelmetalle verwendet, da diese eine hohe Langzeitsta-bilitat aufweisen. Es kommen Materialien wie Platin, Nickel, Iridium und Molybdan zum Einsatz.

Die Widerstandskennlinie kann in einem Bereich von –200 bis 650˚C wie folgt angegebenwerden:

R(T ) = R0[1 + αT + βT 2 + γT 3(T − 100C)] (3.167)R0 = 100Ωα = 3, 90802 · 10−3(C)−1

β = −5, 802 · 10−7(C)−2

γ = −4, 27350 · 10−12(C)−4 fur T < 0Cγ = 0(C)−4 fur T > 0C

3.12.3.1.2. Thermowiderstands-Effekt in Elementhalbleitern Fur die Leitfahigkeit in halb-leitenden Materialien gilt, da es in diesen Materialien Locher und Elektronen gibt:

σ(T ) = q(µn(T )n(T ) + µp(T )p(T )) (3.168)

Hierbei sind µn und µp die Beweglichkeiten fur Elektronen und Locher und n und p die Ladungs-tragerkonzentrationen. Dies ist so zu interpretieren, dass ein Elektronen und ein Locherstrom fließt.Meist sind in Halbleitern neben den reinen Elementen des Halbleiters auch noch Verunreinigungen(Dotieratome) enthalten. Diese befinden sich energetisch in der verbotenen Zone und lassen sichaufgrund ihrer geringen Abstande zum Valenzband im Falle von so genannten Akzeptor-Atomen(p-Dotierung) bzw. zum Leitungsband im Falle von Donator-Atomen (n-Dotierung) sehr leichtionisieren. Deshalb konnen die abgegebenen Locher bzw. Elektronen schon bei relativ niedrigenTemperaturen zum Stromfluss beitragen. Grob lasst sich das Temperaturverhalten der Konzentra-tion freier Ladungstrager in drei Bereiche unterteilen:

65

1. bei hohen Temperaturen ist die Anderung der Ladungstragerkonzentration durch eine An-regung uber die Bandlucke hinweg bestimmt. Alle Dotieratome sind ionisiert.

2. bei mittleren Temperaturen sind immer noch alle Dotieratome ionisiert. Allerdings sindAnregungen uber die Bandlucke hinweg nicht mehr moglich.

3. Bei tiefen Temperaturen ,,frieren“ die Dotieratome aus. Nun konnen auch sie nicht mehrthermisch ionisiert werden.

Schematische Darstellung der Ladungstragerkonzentration uber der Temperatur

Die Leitfahigkeit in Halbleitern ist etwas komplizierter, da man auch noch die Anderung derBeweglichkeit der Ladungstrager berucksichtigen muss. Bei tiefen Temperaturen nimmt diese erstzu, um dann bei hohen Temperaturen wieder abzufallen.

3.12.3.1.3. Keramikwiderstande als Heißleiter (NTC) Bei diesen Materialien werden La-dungstrager ebenfalls durch thermisch aktivierte Prozesse generiert. Somit nimmt auch hier derWiderstand mit der Temperatur ab. Sie bestehen typischerweise aus zwei und dreiwertigen Me-tallen und Sauerstoff A2+B3+

2 O8+4 die Kristall-Struktur wird Spinell-Struktur genannt. In diesen

Materialien findet Elektronentransport durch so genannten Hopping-Transport (Hupf-Prozesse)statt, d.h. Elektronen mussen immer wieder Barrieren uberwinden. Der Vorgang kann in diesemFall durch Diffusion beschrieben werden:

D(T ) = D0(T ) exp(−WA

kBT

)(3.169)

Mit Hilfe der Einsteinbeziehung ergibt sich fur die Beweglichkeit der Ladungstrager:

µ(T ) = qD0(T )kBT

exp(−WA

kBT

)(3.170)

66

Dieser Widerstand ist stark nichtlinear und wird in erster Linie fur Temperatursicherungen ver-wendet, wobei er parallel zu einem Verbraucher geschaltet wird und diesen kurzschließt, wenn dieTemperatur zu weit ansteigt. Durch Selbstheizeffekte kann der Widerstand immer weiter abneh-men.

3.12.3.1.4. Keramikwiderstande als Kaltleiter (PTC) Kaltleiter bestehen aus Metalloxid-mischkristallen Wie BaO, CaO, SrO und ZrO2. Sie sind ferroelektrisch und meistens ist ihreKristallstruktur eine Perowskitstruktur. Es ergeben sich mikrokristalline Strukturen, bei denen derWiderstand durch die Leitfahigkeit der Korngrenzen bestimmt wird. In den Korngrenzen baut sicheine Verarmungszone durch Sauerstoffatome auf, die als Akzeptor wirken und es resultiert einePotentialdifferenz Ψ0. Die Temperaturabhangigkeit hat somit folgende Gestalt:

R(T ) = R0 exp(

Ψ0

kBT

)(3.171)

Der Widerstand kann sich ohne weiteres um 3 bis 6 Großenordnungen andern.

3.12.3.2. Temperatureffekte bei Halbleiterubergangen

Die Shockley-Gleichung beschreibt einen idealen pn-Ubergang in Halbleitern:

ID(VD, T ) = IS

(exp

(eVD

nkBT

)− 1

)(3.172)

In der Shockley-Gleichung bezeichnet ID den Strom durch die Diode, IS ≈ 10−14A den Satti-gungsstrom, e=1,6·10−19C die Elementarladung, VD die an die Diode angelegte Spannung, n∈[1...2](typischerweise) die so genannte Idealitat, kB=1,38·10−23J/K die Boltzmann-Konstante undT=293K (Zimmertemperatur) die Temperatur.

Die Diodenkennlinie kann zur Temperaturmessung genutzt werden. Durch Umstellen der Glei-chung ergibt sich fur den Fall, dass der Strom durch die Diode deutlich großer als der Sattigungs-strom ID Is:

VD =[nk

eln

(ID

Is

)]T (3.173)

Die Steilheit lasst sich durch den Strom durch die Diode einstellen.Allerdings muss bedacht werden, dass der Sattigungsstrom Is temperaturabhangig ist. Auch die-

se Temperaturabhangigkeit kann zur Temperaturmessung herangezogen werden. Wird die Diodevon einem konstanten Strom in Durchlassrichtung durchflossen, so ergibt sich eine temperaturbe-dingte Anderung der Spannung an der Diode (dVD/dT=2mV/K). In Sperrrichtung verdoppelt sichder Sperrstrom einer Diode, wenn sich die Temperatur der Diode um 10K andert (Boltzmannfaktorvgl. Reaktionskinetik in der Chemie).

3.12.3.3. Thermoelektrische Effekte

Ganz allgemein beeinflussen nicht nur elektrische Felder die Bewegung von Ladungstragern sondernauch Temperaturgradienten, da ein Unterschied der Temperatur an verschiedenen Orten eine un-terschiedliche Diffusionskonstante der Ladungstrager zur Folge hat. So diffundieren Ladungstrageraus Bereichen hoher Temperatur in Bereiche mit niedrigerer Temperatur. Durch Temperaturunter-schiede ergibt sich zunachst ein ausgleichender Diffusionsstrom, der schließlich in einer Spannung

67

im Gleichgewicht resultiert. Somit lasst sich ganz allgemein fur die elektrischen Stromdichten ~jund die Thermostromdichten ~jth schreiben:

~j = σ · ~E + β · ~∇T (3.174)~jth = γ · ~E + ξ · ~∇T (3.175)

σ, β, γ, ξ sind kartesische Tensoren 2. Stufe, deren Koeffizienten magnetfeldabhangig sind. DieseGleichungen lassen sich auch in folgender Form darstellen:

~E = ρ( ~H) ·~j + S( ~H) · ~∇T (3.176)~jth = Π( ~H) ·~j + κ( ~H) · ~∇T (3.177)

Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass die Großen ~E und ~jth durch die experimentell leichtzu kontrollierenden Großen ~j und ~∇T ausgedruckt werden. Dabei hangen die unterschiedlichenTensoren in der folgenden Form miteinander zusammen:

ρ =1σ

, S = − β

σ, Π =

γ

σ, κ = γ · β

σ− ξ (3.178)

Es sind nicht alle 36 Koeffizienten, die hierbei auftauchen voneinander unabhangig. Durch dieOnsager-Relation der Thermodynamik irreversiebler Prozesse ist ein Teil der Koeffizienten mitein-ander verknupft.

ρik( ~H) = ρki(− ~H) (3.179)κik( ~H) = κki(− ~H) (3.180)Πik( ~H) = TSki(− ~H) (3.181)

Somit ergeben sich noch 21 unabhangige Koeffizienten. Aus der ersten dieser Gleichungenfolgt, dass der Longitudinale Magnetowiderstand nur quadratisch vom Magnetfeld abhangen kannρii( ~H2).

Es werden vier unterschiedliche thermoelektrische Effekte unterschieden, zwei longitudinale undzwei transversale. In der oben eingefuhrten Notation lassen sich diese wie folgt formulieren:

Longitudinale Effekte

1. Der Peltiereffekt:

Π =jthx

jx, ∇xT = 0 (3.182)

Der Peltiereffekt beschreibt den Einfluss eines elektrischen Stromes auf einen Warmestrom.

2. Der Seebeckeffekt:

S =Ex

∇xT, jx = 0 (3.183)

Hier wird der Effekts eines Gradienten in der Temperatur auf ein elektrisches Feld beschrie-ben.

Peltier- und Seebeckeffekt sind uber die Thomson-Relation miteinander verknupft

Π = T · S (3.184)

68

Transversale Effekte

1. Der Ettingshauseneffekt:

ε =1

Bz· ∇yT

jx, jth

y = jy = ∇xT = 0 (3.185)

Unter Vermittlung eines magnetischen Feldes in z-Richtung ergibt sich durch ein Stromflussin x-Richtung ein Temperaturgradient in y-Richtung.

2. Der Nernsteffekt:

ε =1

Bz· Ey

∇xT, jx = jy = jth

y = 0 (3.186)

Hier verursacht unter Vermittlung eines Magnetfeldes in z-Richtung ein Gradient in derTemperatur in x-Richtung ein elektrisches Feld in y-Richtung.

Zur Temperaturmessung wird in erster Linie der Seebeckeffekt genutzt. Dabei wird die sicheinstellende Spannung bei Kontakt mit einem Material mit einem anderen Seebeckkoeffzi-enten vermessen.

Thermoelektrische Spannungsreihe

Metall Seebeck-Koeffzient [mV/100K]Sb 4.7Fe 1.7Cd 0.8Cu 0.7Ag 0.65Pb, Al 0.4Hg, Pt 0Ni -1.5Bi -7.3

Thermoelektrische Koeffizienten nach KeithleyMaterialkombination Thermoelektrisches PotentialCu – Cu 0,2µV/KCu – Ag 0,3µV/KCu – Au 0,3µV/KCu - Pb/Sn 1–3µ/KCu – Si 400µV/KCu – Kovar 40–75µV/KCu – CuO 1000µV/K

3.12.3.4. Pyroelekrische Effekte

In manchen unsymmetrischen Kristallen mit polaren Achsen tritt spontan eine elektrische Polari-sation auf. Die temperaturabhangige Anderung dieser Polarisation wird als pyroelektrischer Effekt

69

bezeichnet. Damit resultiert auch eine temperaturabhangige Anderung der Oberflachenladung, diesich durch aufgebrachte Ladungen messen lassen.

Auch hier wird der Effekt als linearer Effekt durch eine Koeffizientenmatrix charakterisiert:

∆~P = ↔pT ·∆~T (3.187)

Fur die Spannungsanderung ergibt sich, wenn man nur eine Richtung berucksichtigt:

|∆V | =pT,x ·A

C·∆~T (3.188)

Dabei bezeichnet A die Querschnittsflache und C die Kapazitat des Pyroelektrikums.

3.12.4. Umsetzung optischer und strahlungstechnischer Großen

3.12.4.1. Außerer Photoeffekt

E = h · ν ≥ ΦA + Φ (3.189)

λG =h · c

ΦA + Φ=

1, 24µm

(ΦA + Φ)[eV ](3.190)

Die Photozelle reagiert fast instantan auf die einfallenden Photonen. Es sind daher Frequenzen bis10GHz messbar. Durch Einfullen eines Edelgases kann man uber Ionisation eine Verstarkung desSignals erreichen, allerdings mit dem Nachteil, dass die Zelle langsamer reagiert, da das Neutralisie-ren der Ionen Zeit braucht (Totzeit, wie beim Geiger-Muller Zahlrohr). Eine deutliche Verstarkungkann durch Einfugen zusatzlicher Elektroden, sogenannter Dynoden, die auf einem Potential zwi-schen Kathode und Anode gehalten werden, erfolgen. Durch Sekundarelektronenerzeugung erfolgtdann die Vervielfachung.

Experimenteller Aufbau beim externen Photoeffekt

I

V

PhotokathodeAnode

70

Kennlinie des externen Photoeffekt

1

2

3

4

5

6

20 100 V/V

I/µA

1000 lx

2000 lx

500 lx

Vervielfachung der Photoelektronen durch einen Photomultiplier

Die aus der Photokathode ausgelosten Elektronen werden durch eine Hochspannung zur erstenDynode hin beschleunigt, beim Auftreffen auf diese Dynode schlagen die Elektronen zusatzlichefrei, dadurch erhoht sich die Anzahl der freien Elektronen. Durch die weitere Verschaltung vonDynoden wird dieser Effekt mehrfach hintereinander ausgenutzt (Verstarkungen liegen im Bereich103 – 108). Somit werden Empfindlichkeiten von 0,1 bis 10A/lx erreicht. Durch Laufzeitunterschie-de weitet sich allerdings der Impuls immer weiter auf, so dass die zeitauflosung darunter leidet(Laufzeit im Bereich 8–135ns, Anstiegszeit 1–10ns). Die Spannungen an den einzelnen Dynodenwird durch eine Widerstandkaskade erzeugt.

Eine Abwandlung des Photomulitpliers ist der Kanalvervielfacher. Hierbei wird die Spannungdurch eine widerstandbehaftete Beschichtung des Kannals kontinuierlich verandert.

71

Kanalvervielfacher

Durch eine parallele Anordnung vieler (104–107), kleiner (∅10 − 25µm) dieser Kanale ist esmoglich eine Ortsauflosung zu erreichen. Ein weitere Effekt dieser Anordnung besteht in einerdeutlich kurzeren Ansprechzeit (1ns bei Verstarkung 108).

Mikrokanalplatten

3.12.4.2. Innerer Photoeffekt

3.12.4.2.1. Photowiderstand Beim Photowiderstand andert sich die Leitfahigkeit des Wider-stands dadurch, dass durch die absorbierten Photonen Elektronen aus dem Valenzband in dasLeitungsband angeregt werden. Damit erhoht sich die Konzentration der frei beweglichen La-dungstrager und der Strom durch den Photowiderstand erhoht sich bei gleichbleibender angelegterSpannung.

I = enµEA (3.191)

Dabei ist e die Elementarladung, n die Konzentration der freien Ladungstrager, µ deren Beweg-lichkeit, E das angelegte elektrische Feld (V/d) und A die Querschnittsfache.

72

Banddiagramm von Halbleitern

3.12.4.2.2. Photodiode Es gibt grundsatzlich zwei Betriebsarten fur eine Photodiode:

1. ohne angelegte Spannung an der Diode. Hier wird der generierte Photostrom uber einenLastwiderstand abgeleitet und der Spannungsabfall an diesem als Messgroße verwendet.

2. Es wird eine Spannung in Ruckwartsrichtung angelegt um die generierten Ladungstrager

”abzusaugen“.

Der spannungslose Fall:Hier besteht der Vorteil, dass durch ein geringeres Rauschen sich eine erhohte Nachweisemp-

findlichkeit ergibt. Der Nachteil besteht allerdings in einer lengsamen Ansprechziet im Bereicheiniger zig Millisekunden.

Prinzipielle Beschaltung des Photoelements Kennline des Photoelements

Reale Beschaltung des Photoelements Ersatzschaltbild

73

Der Fall mit angelegter Ruckwartsspannung:

Wie schon erwahnt kann durch anlegen einer Ruckwarstspannung die Ansprechgeschwindig-keit deutlich gesteigert werden. Außerdem ist es moglich durch eine Lawinenvervielfachung derLadungstrager, eine Verstarkung des Photostroms zu erreichen.

Kennline des Photodiode Prinzipielle Beschaltung des Photodiode

Reale Beschaltung der Photodiode Beschaltung zur Auswertung von Lichtpulsen

Sonderbauformen von Photodioden:

74

Aufbau eines postionssensitiven Detektors (PSD) Prinzipielle Beschaltung des PSDs

3.12.4.2.3. Phototransistor

Aufbau eines Phototranssistors Ersatzschaltbild des Phototransisitors

Kennline des Phototransistors Beschaltung eines Phototransisitors

75

3.13. Grundlagen der Magnetischen Kernspinresonanz

3.13.1. Klassische Behandlung

Im ersten Abschnitt dieses Kapitels soll eine einfache klassische Betrachtung der magnetischenKernresonanz vorgestellt werden, die in der Lage ist, die Physik in einfacher Form darzustellen. Aberwie so oft reicht diese Darstellung nicht aus, um die Einzelheiten der magnetischen Kernresonanzzu verstehen.

3.13.1.1. Die Blochgleichungen

Die Atomkerne besitzen ein magnetisches Dipolmoment, den Spin ~µ. Klassisch wir dies oft mit derRotation eines geladenen Teilchens verglichen, welches das Drehmoment ~J besitzt. Damit ergibtsich der Spin zu ~µ = γ ~J . Der Proportionalitatsfaktor wird gyromagnetisches Verhaltnis genanntund ist eine quantenmechanische, kernspezifische Große. Das diese Erklarung nicht ganz richtigsein kann, sieht man an der Tatsache, dass auch das Neutron, welches naturlich keine Ladungtragt, ebenfalls einen Spin besitzt.

Zunachst betrachten wir uns die Bewegungsgleichung eines Spins im außeren Magnetfeld ~B0,indem wir das Drehmoment berucksichtigen d

dt~J = ~J × ~B0 und ~µ = γ ~J . So ergibt sich folgende

Differentialgleichung:

~µ = ~µ× γ ~B0 (3.192)

oder in Komponentendarstellung, wenn das angelegte außere Magnetfeld nur eine Komponente inz-Richtung ~B0 = 0, 0, B0besitzt:

µx = γ B0µy (3.193)µy = −γ B0µx (3.194)µz = 0 (3.195)

Benutzt man die Definition µ+ = µx + iµy, so lasst sich die Losung der Differentialgleichungwie folgt darstellen:

µ+ = µ+(0) exp(iω0t) (3.196)

mit

ω0 = −γB0 (3.197)

eine mogliche Losung besitzt die Form:

µx = µ(0) cos(ω0t) (3.198)µy = µ(0) sin(ω0t) (3.199)µz = const. (3.200)

Im Laborsystem prazediert ein klassischer Dipol um das Magnetfeld ~B0 = 0, 0, B0 mit einerLamor- Frequenz ~ω0 = 0, 0, ω0

76

Fur die weiteren Betrachtungen ist es sehr nutzlich in das rotierende Koordinatensystem zuwechseln. Somit ergibt sich fur die Zeitentwicklung des magnetischen Dipolmoments, wenn dasKoordinatensystem mit ~ω ≈ ~ω0 rotiert:

d

dt~µ′ =

d

dt~µ− ~ω × ~µ (3.201)

Im Fall des frei prazedierenden Kernspins lautet die Transformationsgleichung mit ~µ = ~µ×γ ~B0 =−~µ× ~ω0 und ∆~ω = ~ω0 − ~ω:

d

dt~µ′ = ∆~ω × ~µ. (3.202)

Nachdem wir bisher nur die Bewegung des Magnetischen Moments in einem konstanten außerenFeld betrachtet haben, soll nun der Fall eines konstanten Magnetfelds in z-Richtung und einemuberlagerten zirkular polarisiertem, magnetischen Wechselfeld in der x/y-Ebene betrachtet werden:

~B(t) = B1 sin(ωt), B1 cos(ωt), B0 (3.203)

Somit ergibt sich mit Hilfe der Transformationsgleichung fur die Prazessionsgleichung

d

dt~µ′ = −γ ~B′ × ~µ (3.204)

wobei das Koordinatensystem mit ~ω = 0, 0, ωrotiert. Das effektive Magnetfeld ~B′ im rotierendenKoordinatensystem lasst sich wie folgt formulieren:

~B′ = 0, B1, B0 +ω

γ (3.205)

~ωeff = −γ ~B′ = 0, ω1,∆ω (3.206)

wobei ω1 = −γB1 gilt. Im resonanten Fall ~ω = ~ω0 sieht der Kernspin im rotierenden Koordi-natensystem ein statisches Feld in y-Richtung, um welches er prazediert. Im Experiment werdennaturlich nicht einzelne Kernspins gemessen sondern ganze Ensembles, die eine makroskopischeMagnetisierung reprasentieren:

~M =∑

i

~µi (3.207)

Fur die makroskopische Bewegungsgleichung der frei prazedierenden Spins ergibt sich:

d

dt~M = ~ωeff × ~M (3.208)

77

und in Komponentenschreibweise lasst sich formulieren:

Mx = −∆ω My + ω1 Mz (3.209)My = ∆ω Mx (3.210)Mz = −ω1 Mx (3.211)

Da die Spins sich in einem Festkorper befinden sind sie in der Realitat naturlich nicht frei, son-dern sie wechselwirken mit dem Gitter. Dies fuhrt zu einer Gleichgewichtsmagnetisierung der Form~M0 = 0, 0,M0. Wird im Experiment ein Zustand ~M(t = 0) 6= ~M0 prapariert, dann wird dieserZustand exponentiell mit der Spin-Gitter-Relaxationszeit T1 dem Gleichgewichtszustand zustreben,wahrend die Komponenten Mx und My mit der Spin-Spin-Relaxationszeit T2 auf Null abfallen.Dieser Vorgang kann durch phanomenologische Dampfungsterme in der Bewegungsgleichung be-schrieben werden:

Mx = −∆ω My + ω1 Mz −1T2

Mx (3.212)

My = ∆ω Mx −1T2

My (3.213)

Mz = −ω1 Mx −1T1

(Mz −M0) (3.214)

3.13.1.2. Kontinuierliche Hochfrequenzeinstrahlung

Zunachst soll der Fall einer kontinuierlichen Hochfrequenzeinstrahlung betrachtet werden. Dies

fuhrt zu einem stationaren Betrachtung der Blochgleichungen ~M0 = 0:

Mx =T2ω1

1 + (T2∆ω)2 + T1T2ω21

M0 (3.215)

My =T 2

2 ∆ωω1

1 + (T2∆ω)2 + T1T2ω21

Mx (3.216)

Mz =1 + (T2∆ω)2ω1

1 + (T2∆ω)2 + T1T2ω21

M0 (3.217)

Somit ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den einzelnen Komponenten der Magneti-sierung und der Frequenzverstimmung:

78

3.13.1.3. Einstrahlen von Hochfrequenzpulsen

Mit Hilfe der Blochgleichungen kann man die Zeitentwicklung der Magnetisierung bei Einstrahlungvon Hochfrequenzpulsen unter den vereinfachenden Annahmen, dass die Einstrahlung resonant~ω = ~ω0 erfolgt und unter Vernachlassigung der Relaxation (T1 = T2 = ∞). Setzen wir an, dass~M(t = 0) = 0, 0,M0gilt, wenn zum Zeitpunkt t = 0 der Hochfrequenzpuls eingeschaltet wird:

~M(t) = M0 sin(ω1t), 0,M0 cos(ωt) (3.218)

und nach dem Ausschalten nach der Zeit tp:

bei ω1tp = π2 (90˚-Puls): ~M(tp) = M0, 0, 0

und bei ω1tp = π (180˚-Puls): ~M(tp) = 0, 0,−M0

Die Verhaltnisse bei einem 90˚-Puls in Vektordarstellung:

79

3.13.1.4. Freie Prazession (FID)

Durch Einstrahlen eines 90˚-Pulses sei die Magnetisierung in den Zustand ~M(t = 0) = M0, 0, 0prapariert worden. Nun Relaxieren die im Experiment gemessenen Großen Mx(t) und My(t) undman erhalt folgende Zeitentwicklung:

Mx(t) = M0 cos(∆ωt) exp(

t

T2

)(3.219)

Mx(t) = M0 sin(∆ωt) exp(

t

T2

)(3.220)

3.13.1.5. Spin-Echos

Wird nach einer Zeit τ nach dem Einstrahlen eines 90˚-Pulses ein 180˚-Puls (Pulslange tp = πω1

τ) entlang der y-Achse des rotierenden Koordinatensystems eingestrahlt, so kann aus den Bloch-Gleichungen abgeleitet werden, dass Mx(τ) sein Vorzeichen wechselt, wahrend My(τ) unverandertbleibt. Man erhalt ein Echo nach einer Zeit von 2τ :

Mx(2τ) = −M0 exp(−2τ

T2

)(3.221)

Mx(2τ) = 0 (3.222)

80

Somit eignet sich die Messung der Echo-Signalamplitude in Abhangigkeit von τ zur Bestimmungder Spin-Spin-Relaxationszeit T2.

3.13.1.6. T1-Messung

Die Spin-Gitter-Relaxationszeit T1 lasst sich messen, indem man zunachst einen 180˚-Puls undnach der Wartezeitτden Momentanwert von Mz(τ)durch einen 90˚-Puls abfragt, indem dieser ineine messbare Quermagnetisierung gewandelt wird. Der Anfangswert der freien Prazission (FID)ist ein Maß fur die teilweise zuruckrelaxierte z-Magnetisierung:

Mz(τ) = −M0

[1− 2 exp

(−τ

T1

)](3.223)

Mx(2τ) = 0 (3.224)

3.13.1.7. Vektordiagramme

Die Vorgange im rotierenden Koordinatensystem lassen sich durch folgende Vektordiagrammeveranschaulichen. Beginnend mit (a) wird durch ein 90˚-Puls die Magnetisierung in die x/y-Ebenegeklappt (b). Dort beginnt sie mit einer freien Prazession. Dabei ergibt sich durch eine Dispersionein Auseinanderlaufen der unterschiedlichen Spins (c). Durch anlegen eines 180˚-Pulses werdendie x-Komponenten ins negative geklappt (d). In der Folge laufen nun die einzelnen Spins wiederzusammen (e), weshalb dann ein Echo gemessen werden kann.

81

3.13.2. Sondenkerne zur Bestimmung von lokalen Eigenschaften

Fur die NMR an organischen Systemen werden bestimmte Kerne, als so genannte Sondenkerneverwendet, die dazu benutz werden, um in einer lokalen Umgebung die Magnetfeldverhaltnisse zuuntersuchen. Hierfur wird wie schon erwahnt das Proton 1H (I=1/2, γ/2π = 42,5759 MHz/T), das Deuteron 2H (I=1, γ/2π = 6,54 MHz/T) und das Kohlenstoffisotop 13C (I=1/2, γ/2π =10,70 MHz/T). Außerdem spielen 14N, 15N, 17O, 19F, 31P und 35Cl eine gewisse Rolle.

Dabei erfahren die Kerne die wichtigsten Wechselwirkungen wie chemische Verschiebung (,,che-mical shift (CS)“) und die Dipol-Dipol-Wechselwirkung (D). Diese sollen im Folgenden etwaserlautert werden.

3.13.2.1. Chemische Verschiebung

Durch die Elektronen in der Atomhulle wird die Wirkung des angelegten Magnetfelds reduziert,indem in der Elektronenhulle Abschirmstrome angeworfen werden.

Allerdings ist auch der umgekehrte Fall denkbar, wie er beim Benzol zu beobachten ist. Hierwird das externe Magnetfeld durch ein induzierter Ringstrom im π-Elektronensystem verursachtallerdings fuhrt das zu einer Felduberhohung im Außenbereich des Kohlenstoffrings und somit aucham Ort der Protonen, die nun ein erhohtes Magnetfeld und somit ein chemische Verschiebung zuhoheren Frequenzen zeigen. Die typische Frequenzanderung durch die Hullenelektronen betragt200ppm, was etwa bei einem Magnetfeld von ca. 7T einer Frequenz von 15kHz entspricht.

82

3.13.2.2. Dipol-Dipol-Wechselwirkung

Durch die Wechselwirkung der Dipole untereinander kann das erfahrene Magnetfeld der einzelnenDipole unterschiedliche sein:

Betrachten werden zwei chemisch gebundene Dipole

so lasst sich leicht verstehen, dass abhangig von der Stellung des Dipols B das effektive Ma-gnetfeld am Ort des Dipols A ist. Es ergeben sich vier verschiedene Konfigurationen in dieserSituation:

83

Es sind nun nur solche Ubergange erlaubt, bei denen eine Spin sich umkehrt, aber nicht mehrals einer. Somit gibt es zwei Ubergange, einer bei einem Flip des Kerns A und einen bei einem Flipdes Kerns B. Somit ergeben sich vier Linien. Die Absorptionslinie des Kerns A ist in zwei Linienaufgespalten, die um die ursprungliche liegen ahnliches gilt fur die Linien des Kerns B:

Bei drei gebundenen Kernen verkompliziert sich die Situation naturlich:

Hierbei ergeben sich folgende unterschiedliche Konfigurationen wenn man den Dipol des Kerns Afesthalt:

Betrachtet man wieder die unterschiedlichen erlaubten Ubergange und ihre zugehorigen Linienergibt sich folgendes Bild:

84

Somit ist klar, dass die recht komplexe Niveauaufspaltung dazu genutzt werden kann, um diechemische Struktur von Molekulen mit Hilfe der Sondenkerne aufzuklaren. Da die Verschiebungwie oben erwahnt linear mit dem Magnetfeld anwachst, die Unterscheidung unterschiedlicherFrequenzen aber durch die endliche Beobachtungsdauer (Relaxationsprozesse) begrenz ist, isteinleuchtend, dass zur Steigerung der Auflosung von NMR-Spektrometer ein hoheres Magnetfeldbenotigt wird.

3.13.3. Experimente

3.13.3.1. Aufbau eines Spektrometers

Die Methoden die bei der Realisierung des Spektrometers zum Einsatz kommen sind uns wohlvertraut. Die Probe ist im linken Teil des Bildes dargestellt allerdings ohne den umgebenden

85

supraleitenden Magneten. Die Probe ist von der Sende- und Empfangsspule umgeben, welche teileines Schwingkreises darstellet, der ein nichtlinearen Verstarker fur die Resonanzfrequenz darstellt,die auf die Anregungsfrequenz des Sondenkerns abgestimmt ist.

Ein Frequenzgenerator (in der Mitte des Bildes dargestellt) liefert das Hochfrequenzsignal, wel-ches mit einem Rechteckpuls multipliziert wird. Diese Hochfrequenzpuls wird verstarkt und aufdie Sendespule gegeben, Diese fungiert gleichzeitig als Empfangsspule und gibt ihr Signal an einenVorverstarker ab. Nach dem Vorverstarker wird das empfangene Signal mit einem Referenzsignaldes Hochfrequenzgenerators multipliziert und Tiefpass gefiltert. Ebenso wird das Signal mit demum 90˚ phasenverschobenen HF-Generatorsignal multipliziert und Tiefpass gefiltert. Diese bei-den Aufbereitungen stellen somit ein ,,Zweiphasen phasensensitiven Detektor“ dar. Damit ist esmoglich das Signal (Realteil) wie auch die Quadratur (Imaginarteil) des Signals zu messen. Beideswiederum wird von einem Computer erfasst und einer weiteren Verarbeitung zugefuhrt.

3.13.3.2. Ein hochauflosendes NMR-Spektrometer in der Realitat

Spectrometer facts

Height: 21 feet

Weight: 16 tons (equal to about 12 Volkswagen New Beetles)

Diameter: 8 feet

Miles of superconducting wire: 180 miles, or enough to stretch from Richland to Seattle

Cost: $7.2 million

Years in development: 9

86

Bore size: 65 millimeters, or about two inches, compared with a narrow-bore magnet’s 51 milli-meter size at room temperature

Magnet’s stored energy: 27 megajoules (equivalent to a 30-ton truck driven at 100 mph)

Power: 21.14 tesla - more than 10 times stronger than the most powerful magnetic resonanceimagers used in hospitals

Liquid nitrogen stored around magnet: 1,000 liters or about 2,800 12-ounce cans of soda pop

Liquid helium stored around magnet: 1,500 liters or about 4,300 12-ounce cans of soda pop

Superconductivity temperature: 2.2 degrees Kelvin, or 270 degrees below zero

Manufacturer: Oxford Instruments of Oxford, England, and Varian Inc. of Palo Alto, Calif.

87

3.14. Grundlagen der Rastersondenmikroskopie

Die Rastersondenmikroskopie gehort sicherlich zu einem der sich am schnellsten entwickelndenBereiche der Physik. Unter dem Begriff Sondenmikroskopie finden sich ganz unterschiedliche Prin-zipien wieder, denen gemein ist, dass eine mikroskopisch kleine Sonde — Tunnelspitze im Falleder Rastertunnelmikroskopie RTM (scanning tunneling microscope STM), eine Spitze im Falleder Rasterkraftmikroskopie RKM (atomic force microscope (AFM) oder scanning force microsco-pe (SFM)), eine magnetische Spitze im Falle eines Rastermagentmikroskops RMM(magnetic forcemicroscope (MFM)), einem winzigen Thermometer im Falle der Rasterthermomikroskops RThM(scanning thermo microscope (SThM)), eine winzige Elektrode im Falle der Rasterelektrochemi-schenmikroskps RECM (scanning electrochemical microscope (SECM), einer dunn ausgezogenemLichtwellenleiters im Falle eines Rasternahfeldmikroskop (near field optical microscope (SNOM))nur um ein paar zu nennen — dicht uber eine Oberflache gefuhrt wird.

FELDER(statisch)

TRANSPORT(dynamisch)

van der WaalsRepulsion

chem. BindungReibungCoulomb

magn. Kraft

TunnelnWärmeleitungNahfeldoptik

NahfeldakustikIonenleitung

Probe

Sonde

MFMSCM

LFM

AFMSTM

SThMSNOM

SNAM

SICM

van der WaalsRepulsion

chem. BindungReibungCoulomb

magn. Kraft

TunnelnWärmeleitungNahfeldoptik

NahfeldakustikIonenleitung

Probe

Sonde

MFMSCM

LFM

AFMSTM

SThMSNOM

SNAM

SICM

88

Aufbau

Abbildung

Funktionsweise RXM

Steuerung+Regelung

Wechsel-wirkung

z

x

y

piezoelektrischeStellglieder (x,y,z)

Sonde Probe

Steuerung+RegelungSteuerung+Regelung

Wechsel-wirkung

z

x

y

piezoelektrischeStellglieder (x,y,z)

Sonde Probe

Probe

Sonde

Probe

Sondegeregelt= Abstand konstant• WW konstant

ungeregelt= Höhe konstant• WW variiert

geregelt= Abstand konstant• WW konstant

ungeregelt= Höhe konstant• WW variiert

3.14.1. Das Rastertunnelmikroskop

Das erste erfolgreiche Experiment zum Nachweis eines abstandsabhangigen Tunnelstromes konnteam 18. Marz 1981 durchgefuhrt werden. Gerd Binnig und Heinrich Rohrer, die das Experimentam IBM Forschungslabor in Ruschlikon (Schweiz) durchfuhrten und das Rastertunnelmikroskopletztlich auch zum einsetzbaren Instrument machten, erhielten hierfur 1986 den Nobelpreis inPhysik.

Heinrich Rohrer Gerd Binnig

89

3.14.1.1. Theoretischer Hintergrund der Rastertunnelmikroskopie

Das Problem der Tunnelvorgangs lasst sich mit Hilfe der stationaren Schrodinger Gleichung be-schreiben. Dabei setzen wir folgenden Verlauf des Potentials an:

90

Bereich I Bereich IIIBereich II

0

V0

V(x)=0für x<0

V(x)=0für x>d

d

V(x)=V0

für 0<x<d

x

V(x)

Somit ergibt sich fur die Schrodingergleichung:

HΨ(x) = EΨ(x) (3.225)~2

2m

∂2

∂x2Ψ(x) + V (x)Ψ(x) = EΨ(x) (3.226)

∂2

∂x2Ψ(x) = k2Ψ(x) (3.227)

wobei fur k gilt:

k =

√2m

~2(E − V (x)) (3.228)

Die Losungen lassen sich nun abschnittsweise ansetzen. Somit ergibt sich fur den Bereich I:

Ψ1(x) = Aeikx + Be−ikx (3.229)Ψ3(x) = Feikx + Ge−ikx (3.230)

da hier das Potential V (x) = 0 ist ergibt sich:

k =

√2mE

~2(3.231)

Im Bereich III wird die Welle nur auslaufen, da es ja nur einen transmittierte Welle gibt, ergibtsich fur Gl. (3.230):

Ψ3(x) = Feikx (3.232)

Im Bereich II wird k nach Gl.(3.228) imaginar da E − V (x) < 0 ist somit ergibt sich:

Ψ2(x) = Ceκx + De−κx mit κ =

√2m

~2(V0 − E) (3.233)

Nun mussen noch die Losungen in den verschiedenen Bereichen stetig und stetig differenzierbarfortgesetzt werden, d.h. fur die Wellenfunktion ergibt sich:

Ψ(x) =

Aeikx + Be−ikx fur x < 0Ceκx + De−κx fur 0 < x < dFeikx fur x > d

(3.234)

91

Damit ergibt sich ein Gleichungssystem mit Hilfe dessen die Koeffizienten bestimmte werdenkonnen:

A + B = C + D (3.235)ik(A−B) = κ(C −D) (3.236)

CeκdDe−κd = Feikd (3.237)κCeκd − κDe−κd = ikFeikd (3.238)

Fur den so gennaten Transmissionsamplitude Γ ergibt sich:

Γ(E) =F

A=

4ikκe−ikaeκd

e2κd(k + iκ)2 − (k − iκ)2(3.239)

Durch quadrieren ergibt sich der Transmissionskoeffizient, der die Transmissionswahscheinlichkeitdarstellt

T = |Γ(E)|2 =∣∣∣∣FA

∣∣∣∣2 =[1 +

(k2 + κ2)2 sinh2(κd)4k2κ2

]−1

(3.240)

=[1 +

4E(V0 − E)V 2

0 sinh2(κd)

]−1

(3.241)

In der Rastertunnelmikroskopie ist die Naherung κd 1 gegeben, dann ergibt sich fur sinh(κd) ∼1/2eκd. Fur den Transmissionskoeffizeineten ergibt sich in dieser Naherung

T =16k2κ2

(k2 + κ2)2e−2κd (3.242)

Fur den Tunnelstrom ergibt sich somit

It ∝ T ∼ e−2d/~√

2m(V0(x)−E) (3.243)

Der Tunnelstrom nimmt also exponentiell mit dem Abstand ab. Setzt man hier die ublichen WerteV0 ≈ 5eV und d ≈ 5A ein, so ergibt eine Verbreiterung der Barriere um 1A eine Erniedrigung desTunnelstroms um eine Großenordnung.

Bereich I Bereich IIIBereich II

0

V0

d x

V(x)

92

Die hier vorgestellte Darstellung stellt eine starke Vereinfachung der tatsachlichen Verhaltnissedar. Eine umfassendere Theorie die auch deutlich realistischer ist, stammt von Tersoff und Hamann.Dabei wird berucksichtigt, dass der Tunnelprozess aus einem Metall in ein anderen Stoff stattfindetund dass es sich bei einem der beiden Objekte um eine Spitze bei dem anderen annahernd umeine Ebene handelt.

Das STM von Binning und Rohrer

93

Die Elektrodenanordnung eines Rohrchen-Scanners, der meisteingesetzten Rastereinheit

Eine 7×7 Rekonstruktion einer Si[111]-Oberflache

94

Herstellung eines Rings von Atomen

95

96

3.14.2. Das Rasterkraftmikroskop

Bei der Rasterkraftmikroskopie (RKM) wird als Wechselwirkung zwischen Sonde und Probe, diezur Abbildung genutzt wird, die Kraftwechselwirkung benutzt. Sie ist somit im Gegensatz zurRastertunnelmikroskopie auch auf nichtleitende Proben anzuwenden. Die RKM wurde 1986 vonGerd Binnig ca. funf Jahre nach dem STM entwickelt. Um die Kraftwechselwirkung zu messenverwendete einen Biegebalken, an dessen Ende eine mikroskopisch kleine Spitze angebracht war.

97

Skizze des Aufbau des ersten RKMs von Binnig

Heutzutage wird die Biegung des Biegebalkens nicht wie in der oberen Darstellung mit Hilfe einerTunnelspitze ausgewertet, sondern mittels eines Lichtzeigers ausgesandt von einem Halbleiterlaserund detektiert mit Hilfe einer Vierquadranten PIN-Diode, die aus vier dicht benachbarten PIN-Dioden aufgebaut ist (siehe Seite 73), oder mit einem positionsempfindlichen Detektors (PSDssiehe Seite 74).

Prinzip des Lichtzeigers

98

Bild einer Rasterkraftmikroskopspitze

Abstandsabhangigkeit der Verschiedenen Wechselwirkungen

RKM das auf einem Uhrenquarz beruht, die Detektion erfolgt durch Resonanzverschiebung

99

durch die Wechselwirkung

Bild einer Rasterkraftmikroskopspitze im Transmissionselektronenmikroskop, um den atomarenAufbau aufzuklaren

100

Bild einer RKM-Spitz aufgebaut aus einem gespaltenem Siliziumeinkristall

101

A. Operationsverstarker und ihreGrundschaltungen

Elektronische Schaltungen lassen sich mit unterschiedlichen kommerziell angebotenen Program-men simulieren. Eine Moglichkeit, sich damit in der Praxis zu beschaftigen, besteht mit einer ko-stenlos angebotenen Studentenversion des Programms PSpice von der Firma ORCAD, die unter [6]zu finden ist. Da ein Operationsverstarker (OPV) heute in vielen Anwendungen bei Messproblemeneingesetzt wird, soll hier kurz auf ihn eingegangen werden. Ein OPV ist ein Differenzverstarker,der die Spannungsdifferenz an seinen beiden Eingangen verstarkt und am Ausgang ausgibt. Erbesitzt einen nichtinvertierenden (+) und einen invertierenden (-) Eingang.

+

-

Nichtinvertierender Eingang

Invertierender Eingang Vo

I o

Vp Vn

Vd Ausgang

A.1. Begriffserklarung

Differenzverstarkung ist die Verstarkung des Eingangsdifferenzsignals des OPVs ohne zusatzli-che Beschaltung — also ohne Gegenkopplung.

Gleichtaktunterdruckung charakterisiert die Reaktion der Ausgangsspannung auf eine Span-nung, die an beiden Eingangen der OPV gleichzeitig angelegt wird — also ohne eine Diffe-renzspannung zwischen den beiden Eingangen.

3dB-Bandbreite bezeichnet die untere Grenzfrequenz des OPVs, bei der die Verstarkung um 3dB(einen Faktor ) zuruckgegangen ist.

Verstarkungs-Bandbreite-Produkt Ein OPV weist eine Frequenzkompensation auf die verhin-dert, dass der mehrstufige Verstarker eine Phasenschiebungen aufweist, die großer als 180ist. Wurde diese auftreten, konnte es zu einer Mitkopplung (positive Ruckkopplung) kom-men, die ein Aufschwingen wegen der damit verbundenen Instabilitat zur Folge haben kann.Aus diesem Grund wird der Frequenzgang gezielt beschnitten. Dies geschieht in solcher Wei-se, dass das Produkt der oberen Grenzfrequenz und der Verstarkung eine Konstante bilden(siehe Abb.), welche als Verstarkung-Bandbreite-Produkt bezeichnet wird.

102

01 0 01 1 01 2 01 3 01 4 01 5 01 601 0

01 1

01 2

01 3

01 4

01 5

01 6

A D

]zH[ zneuqerF

Differenzeingangswiderstand bezeichnet den Widerstand zwischen den beiden Differenzeingangen.

Gleichtakteingangswiderstand ist der Widerstand, der von jedem der beiden Eingange zur Mas-se hin vorhanden ist.

Eingangsruhestrom ist der Strom, der in die Eingange hinein oder aus den Eingangen herausfließt, ohne eine Spannung (Null) an die Eingange anzulegen.

Offsetspannung bezeichnet die Spannung, die am Eingang als Spannungsdifferenz anliegen muss,um die Ausgangsspannung, welche von einer Asymmetrie innerhalb des Verstarkers herruhrt,zu Null zu kompensieren.

Offsetspannungsdrift ist die Anderung der Offsetspannung bei einer Anderung der Umgebungs-temperatur.

Betriebsspannungsdurchgriff bezeichnet die Auswirkung einer Variation der Versorgungsspan-nungen auf die Ausgangsspannung des OPV.

Gleichtaktaussteuerbarkeit gibt den Eingangsspannungsbereich an, innerhalb dessen Spannun-gen gleichzeitig an die Eingange gelegt werden konnen und der Ausgang noch eine korrekteVerstarkung der Eingangsspannungsdifferenz darstellt.

Ausgangsaussteuerbarkeit bezeichnet die moglichen Ausgangsspannungen, die der OPV liefernkann.

Maximaler Ausgangsstrom bezeichnet den maximalen Strom, der dem OPV entnommen wer-den kann. Die meisten OPVs besitzen eine Ausgangsstrombegrenzung, weshalb sie kurz-schlussfest sind.

Ausgangswiderstand charakterisiert den Widerstand des Ausgangs. Wird der Ausgangs als Span-nungsquelle angesehen, ist der Ausgangswiderstand der Innenwiderstand der Spannungsquel-le.

103

Betriebsstromaufnahme gibt den Strom an, den der OPV der Spannungversorgung entnimmt,wenn keine Last am Ausgang des OPVs angeschlossen ist.

Typische Werte zweier Standardoperationsverstarker mit Eingangsstufen, die ausbipolaren und Feldeffekttransistoren aufgebaut sind (Versorgungsspannung ±15V)

Parameter Symbol µA741 (bipolar) TL081 (FET)

Differenzverstarkung AD 10× 5 2× 105

Gleichtaktunterdruckung G 3× 104 2× 104

3dB-Bandbreite (untere Grenzfrequenz) fgA 10Hz 30HzVerstarkungs-Bandbreit-Produkt ft 1MHz 3MHzDifferenzeingangswiderstand rD 106Ω 1012ΩGleichtakteingangswiderstand rGl 109Ω 1014ΩEingangsruhestrom IB 80nA 30pAOffsetspannung VO 1mV 5mVOffsetspannungsdrift ∆VO/ϑ 6µV/K 10µV/KBetriebsspannungsdurchgriff ∆VO/∆Vb 15µV/V 50µV/VGleichtaktaussteuerbarkeit VGl,max 13V 14,5V ;-12VAusgangsaussteuerbarkeit Va,max 13V 13VMaximaler Ausgangsstrom Ia,max 20mA 20mAAusgangswiderstand ra 1kΩ 100ΩBetriebsstromaufnahme Ib 1,7mA 1,4mA

A.2. Nicht-invertierender Verstarker

+

-

Vout Vin

R1

R2

Die Verstarkung des nichtinvertierenden Operationsverstarkers kann dadurch hergeleitet werden,dass man wieder von einem idealen OP ausgeht. Sobald sich die kleinste Differenz zwischen inver-tierendem und nicht-invertierendem Eingang ergibt wird der Ausgang verandert. Ist die Spannungam nichtinvertierenden Eingang großer als die am nicht-invertierenden Eingang vergroßert sich dueAusgangsspannung. Da die Ausgangsspannng uber den Spannungsteiler R1 und R2 auf den in-vertierenden Eingang Ruckgekoppelt wird, betragt die Spannung am nicht-invertierenden EingangV− = R2/R1 +R2. Somit wird sich der Ausgang so lange Verandern, bis V− gleich der SpannungV+ = Vin ist. Somit ist also die Ausgangsspannung um den Faktor R1 + R2/R2 = 1 + R1/R2

großer als die Eingangsspannung.

A =Vout

Vin=

R1 + R2

R2=

R2

R1+ 1 (A.1)

Rin = rD + R2 (A.2)Rout = ra (A.3)

104

A.3. Invertierender Verstarker

-

+ Vout

Vin

R1

R2

Um die Verstarkung des invertierenden Operationsverstarkers herzuleiten, argumentiert man uberden Strom der in den Eingang hineinfließt. Da die Spannung am invertierenden Eingang virtuellauf Masse liegt, ergibt sich fur den Eingangsstrom Iin = Vin/R1. Derselbe Strom muss allerdingsauch uber den Ruckkopplungswiderstand R2 weiter in Richtung Ausgang fließen. Der Ausgangnimmt eine negative Spannung ein, wenn die Eingangsspannung positiv ist, damit der Strom zumAusgang abfließen kann und dennoch die Spannung V− Null bezogen auf die Masse ist. UmdenStrom aber unter dieser Bedingung abfließen zu lassen muss der Ausgang VoutR2 = −VinR1 sein.Damit ergibt sich:

A =Vout

Vin= −R2

R1(A.4)

Rin = R1 (A.5)Rout = ra (A.6)

A.4. Addierer

-

+ Vout

Vin2

R2

RN R1

Vin1

Fur das Verstandnis des Addierers betrachtet man sich die beiden Strome die durch die beidenWiderstande am Eingang R1 und R2 in den Eingang hinein Fließen. Wie beim invertierendenVerstarker diskutiert muss die Summe der Strome auch wieder uber den GegenkopplungswiderstandRN abfließen. Somit ergibt sich die Bedingung V1/R1 + V2/R2 = −Vout. Eswird deutlich, dasseine gewichtete Summe gebildet werden kann, wenn man die beiden Widerstande unterschiedlichwahlt. Selbstverstandlich konnen auch mehr als nur zwei Widerstande am Eingang liegen, um diedie Summe uber mehr Summanden zu bilden.

−Vout =RN

R1V1 +

RN

R2V2 (A.7)

105

A.5. Subtrahierer

RN

-

+ Vout

VinN

R1

RP R2 VinP

Beim Subtrahierer Handelt es sich eigentlich um die Kombination eines invertierenden und ei-nes nicht-invertierenden Verstarker, wobei der nich-tinvertierendeneinen Eingangsspannungsteileraufweist. Das Arbeitsprintip lasst sich am einfachsten Verstehen, wenn man jeweils eine der Ein-gangsspannungen zu Null wahlt. Wird VinP = 0 gesetzt hat man einen invertierenden Verstarkervorliegen, wobei die Verstarkung durch AN = −RN/R1 gegeben ist. Wird dagegen VinN = 0gewahlt liegt stellt sich der Ausgang wieder so ein, so dass V− = V+ ergibt. Daraus folgtV− = VinP R2/(R2 + RP ) = VoutR1/(RN + R1) = V+ und damit ergibt sich fur RN

R1= RP

R2

Vout =RN

R1(VinP − VinN ) (A.8)

im Allgemeinen:

Vout =1 + RN/R1

1 + RP /R2RN

R1VinP −

RP

R2VinN (A.9)

A.6. Schmitt-Trigger

Ein Schmitt-Trigger dient zur Umsetzung eines beliebigen analogen Signals in ein Signal mit zweiNiveaus (in ein digitales Signal). So lasst sich z.B. ein Triggersignal erzeugen, das zum exaktenBestimmung eines Zeitpunkts genutzt werden kann. Somit konnen Zeitabstande fur bestimmteEreignisse bestimmt werden. Durch ein Mitteln eines repetierlichen Signals kann er genutzt werden,in dem diese phasensynchron uberlagerung werden, um eine Rauschreduktion durchzufuhren.

+

- Vout

Vin

R1

R2

Vout

Vin

Vout,max

Vout,min

106

Die Hysterese, welche die Ausgangskennlinie aufweist und die durch die Beschaltung eingestelltwerden kann, verhindert bei einem endlichen Rauschpegel, der geringer als die Differenz der beidenSchaltschwellen ist, dass sofort nach einem Hin- ein Ruckschaltprozess stattfindet.

Vinon = −R1

R2Vout,min; Vinoff = −R1

R2Vout,max (A.10)

A.7. Differentiator

Vout

R

-

+ Vin

C

Auch hier geht man beim idealen OP davon aus, dass kein Strom in den invertierenden Eingangfließt. Somit muss der Strom Iin durch den Kondensator am Eingang ebenfalls vollstandig durchden Ruckkopplungswiderstand abfließen. Somit ergibt sich:

CdVin

dt+

Vout

R= 0. (A.11)

Durch Umstellen resultiert fur die Ausgangsspannung

Vout = −RCdVin

dt. (A.12)

Die Verstarkung kann analog zum invertierenden Verstarker angesetzt werden. Wobei die Impedanzdes

”Eingangswiderstands“, dem Kondensator, Z = 1/iωC betragt

|A| = −iωRC (A.13)

Bei hohen Fraquenzen

f 12πRC

(A.14)

ist die Amplitude annahernd frequenzunabhangig und proportional zu der Ableitung der Eingangs-spannung.

A.8. Integrator

-

+ Vin

C

R

Vout

107

Der Eingangsstrom Iin kann hier nur auf den Kondensator fließen. Auch hier wird der Ausgangso lange abgesenkt, dass wiederum der invertierende Eingang auf virtueller Masse liegt. Somit istdie Ausgangsspannung die negative Kondensatorspannung

VC =Q

C=

1C

(∫ t

0Iin(t′)dt′ + V0

). (A.15)

Da Iin = Vin/R ist, ergibt sich fur die Ausgangsspannung

Vout = − 1RC

∫ t

0Vin(t′)dt′ + V0. (A.16)

Die Verstarkung kann analog zum invertierenden Verstarker angesetzt werden. Wobei die Impedanzdes

”Eingangswiderstands“, dem Kondensator, Z = 1/iωC betragt

|A| = 1−iωRC

(A.17)

Bei niedrigen Fraquenzen

f 12πRC

(A.18)

ist die Amplitude annahernd frequenzunabhangig und proportional zum Integral der Eingangs-spannung.

A.9. Logarithmischer Verstarker

-

+ Vin

D

R

Vout

Hierbei handelt es sich um eine Abwandlung des invertierenden Verstarkers bei dem der Gegen-kopplungswiderstand durch eine Diode ersetzt wurde. Auch hier wird der Eingangsstrom durchdie Ruckkopplungsdiode abgeleitet. Damit muss der Ausgang eine Spannung annehmen um denentsprechenden Strom durch die Diode zu treiben. Es gilt aber nicht das ohmsche Gesetz fur denZusammenhang zwischen Strom und Spannung sondern die Diodenkennlinie:

ID(VD) = IO

(e

qVDkBT

−1)

(A.19)

Damit hangt naturlich die Spannung und somit auch die Ausgangsspannung des logarithmischenVerstarkers uber die Umkehrfunktion vom Eingangsstrom ab:

Vout = −kBT

qln

(Vin

I0R

)(A.20)

Fur Vin > 0, kB ist die Boltzmannkonstante, q die Elementarladung und T die Temperatur (kBTq ≈

20mV).

108

A.10. Instrumentenverstarker

+

- VinN

R1

R2

VinP

-

+

-

+ Vout

R2

R3

R3

R3

R3

Ein Instrumentenverstarker besitzt einen hohen Eingangswiderstand (Rin ≈ rD) und die Aus-gangsspannung ist sehr prazise proportional zur Differenz der Eingangsspannungen :

Vout = (VInP − VInN )(

1 + 21

2πRC

)(A.21)

Er wird fur Messaufgaben eingesetzt, bei denen es auf einen hohen Eingangswiderstand und praziseVerstarkung ankommt.

A.11. Impedanzinverter (negative impedance converter — NIC)

+

-

R1

R3

R2

Vin

Iin

Hier gilt wieder, dass die beiden EingangsspannungenV− und V+ gleich sein mussen. Damit ergibtsich:

Vin = I1R1 = I2R1 → I2 =Vin

R1(A.22)

I1 = I2da kein Strom in den invertierenden Eingang fließt. Da ebenfalls kein Strom in den nicht-invertierenden Eingang fließt gilt:

(R1 + R2)I2 + R3Iin − Vin = 0 (A.23)

setzt man GL. A.22 fur I2 ein und formt sie um, ergibt sich

Vin = −IinR3R1

R2. (A.24)

109

Fur den Eingangswiderstand ergibt sich so:

Vin

Iin= Rin = −R3

R1

R2(A.25)

Von außen gesehen liegt hier ein negativer ohmscher Widerstand −R1 vor. Prinzipiell lassen sichauch negative Induktivitaten und Kapatizitaten bilden indem man einen entsprechende Spule oderKondensator Anstelle des Widerstandes R1 setzt. Eingesetzt wird ein NIC z.B. als Energiequellein Schwingkreisen. Es lassen sich auch die immer vorhandenen ohmschen Lasten durch Parallel-schaltung eines veranderlichen NICs kompensieren.

110

B. Analog/Digital-Wandler undDigital/Analog-Wandler

B.1. Wandlungsfehler

Nullpunktfehler(Offset-Fehler) Diese Art von Fehler bezeichnet die Abweichung der Ausgangs-spannung vom Wert Null im Falle, dass der digitale Wert Null gewandelt wird.

Skalierungsfehler Der Skalierungsfehler bezeichnet die Abweichung des tatsachlich uberstriche-nen Ausgabebereichs der analogen Spannungen gegenuber dem angegebenen Ausgangsspan-nungsbereich.

Linearitatsfehler Dieser Fehler bezeichnet die Abweichung der fur jeden einzelnen Wert ausge-gebenen Spannung von der Geraden durch die beiden Endpunkte, welche durch den großtenund kleinsten gewandelten Wert gebildet wird.

Monotoniefehler Diese gibt an ob und in welchem Maße die Monotonitat des Ausgangssignalsbei ansteigendem digitalen Werten gestort ist.

Skalierungsfehler

Ideale Wandlungskurve

reale Wandlungskurve

Offset-Fehler

Linearitätsfehler

Monotoniefehler

B.2. Digital/Analog-Wandler

Es soll eine kurzer Uberblick uber die unterschiedlichen Methoden gegeben werden, wie einedigital vorliegende Zahl, meist in einem der verschiedenen Binarcodes, in eine mehr oder wenigerkontinuierliche Spannung gewandelt werden kann.

B.2.1. Stromwageverfahren

Hierbei werden mit Hilfe einer Prazisionsspannungsquelle uber Widerstande Strome auf einenAddierer (vgl. A.4 auf Seite 105) gegeben, der die binar abgestuften Strome aufaddiert.

111

-

+ Vout

RN

R3 R2 R1 R0

Vref

Binärwerte

Ri=2iR0

Probleme:

Genauigkeit der Widerstande Bei einem 8-Bit-Wandler werden Widerstande mit einer Genau-igkeit von 1/256 also ca. 0,4%, bei 12-Bit-Wandlern 1/4096 ca. 0,024% und bei 16-Bit-Wandler 1/65567 ca. 0,0015% benotigt. Dies ist technisch nur außerst schwierig zu reali-sieren.

Werte der Widerstande Die Werte der Widerstande weisen eine sehr große Spanne auf. ZumBeispiel werden fur einen 16-bit Wandler Werte uber funf Großenordnungen benotigt, wasbei der Halbleiterfertigung in der Integration große Probleme mit sich bringt.

B.2.2. R-2R-Wandler

Auch hier werden mit Hilfe einer Prazisionsspannungsquelle uber Widerstande Strome auf einenAddierer (vgl. A.4 auf Seite 105) gegeben, allerdings wird hier eine gunstigere Anordnung derWiderstande gewahlt. Daraus resultiert ein entscheidender Vorteil: Fur diesen Typ besitzen dieverwendeten Widerstande nicht so einen großen Wertebereich wie bei dem vorher besprochenenDA-Wandler nach dem Stromwageverfahren.

Vout

-

+

R11

R22 R23 R24 R25

Vref

Binärwerte

R2X=2R1X

R21 R12 R13 R14

Vorteil: Die Widerstanden weisen nur einen Unterschied um einen Faktor 2 auf, dadurch ist diesesDesign kompatibel zu einer Integration in einem Standardprozess.

B.2.3. Pulslangenmodulation

Die vorhergenannten Wandler haben einige entscheidende Probleme

• Beim Umschalten des hochstwertigen Bits (MSB most significant bit) konnen große Storsi-gnale entstehen. Je hoher die Auflosung desto schwieriger ist dieses Problem in den Griff zubekommen.

112

• Die Linearitat macht mit steigender Auflosung Schwierigkeiten.

• Die Kosten steigen deutlich uberproportional mit der Auflosung

Die Probleme konnen umgangen werden, wenn das Ausgangssignal zwischen zwei Werten hin- undherschaltet, dabei die Pulslange moduliert wird und anschließend das Signal gemittelt wird.

V

t

Probleme

Bei starken Pulslangenunterschieden ergeben sich Probleme bei der Genauigkeit der Pulslangen,da die Bandbreite uber einen weiten Bereich definiert sein muss. Außerdem ergeben sich Schwie-rigkeiten beim Filtern; es konnen niederfrequente Storungen auftreten.

B.2.4. 1-bit Wandler

Bei diesem Verfahren wird die Abtastfrequenz um Datenbitbreite vervielfacht und dann auf einenPulsdichtemodulator gegeben und anschließend integriert. Somit werden die einzelnen Bits sukzes-sive ausgegeben, wobei der Pulsdichtenmodulator garantiert, dass eine bestimmte untere Frequenznicht unterschritten wird. Es ergibt sich fur die Auflosung bei einer Oversamplingrate r:

nAufl. = log2(r). (B.1)

Prinzip des Oversamplings:Die Auflosung des DA-Wandlers kann dadurch gesteigert werde, dass man Werte zwischen denDigitalisierungsstufen mit Hilfe einer statistischen Gewichtung annahert, dabei wird entsprechenddem Zahlenwert die Wahrscheinlichkeit der hoher- oder niedrigerwertigen Ausgabe gewichtet.Durch Mittelung der

”verrauschten“ Ausgabe ergeben sich dann die Zwischenwerte. Zur Illustra-

tion wir das Signal eines 3-Bit DA-Wandlers mit Hilfe eines 2-Bit DA-Wandlers mit zusatzlichemRauschen und einem nachgeschalteten Integrator nachgebildet.

1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516012345678Ausgabe eines 3-Bit Wandlers

Zeit1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516

012345678

Ausgabe eines 2-Bit Wandlers mit Dithering

Zeit

Nach einer Tiefpassfilterung entsteht aus der Ausgabe des 2-Bit Wandlers, der verrauscht wurde(Dithering) wieder eine gute Reproduktion des 3-Bit Signals.

113

1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516012345678

Ausgabe eines 2-Bit Wandlers mitDithering und Tiefpassfilterung

Zeit

B.2.5. MASH-Verfahren

MASH steht fur Multi-Stage noise SHaping. Bei diesem Verfahren handelt es sich um ein Pulswei-tenmodulationsverfahren, bei dem die Pulsweite von einem k-Bit Wandler angesteuert wird. Dak klein ist, gibt es noch keine Probleme mit der Genauigkeit. Andererseits konnen hier schon 2kverschiedene Pulsweiten dargestellt werden. Somit ergibt sich fur die Auflosung eines derartigenWandlers:

nAufl. = kWandler + moversampling. (B.2)

Beispiel:Bei einem Pulsweitenmodulator mit 4-Bit, der bei einer Frequenz von 45,1MHz arbeitet (1024-faches Oversampling), ergeben sich bei 44,1kHz eine Auflosung von 14Bit und bei 5kHz ergebensich 17Bit.

B.3. Analog/Digital-Wandler

Auch hier besteht die Hauptschwierigkeit, einen guten Kompromiss zwischen Geschwindigkeit,Prazision und technischem Aufwand (Kosten) zu finden.

B.3.1. Parallelwandler (Flash-Converter)

Vin

Vref

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

Prioritäts-kodierer

0

1

2

3

4

5

6

7

3-Bit Binärwert

1/2R

1/2R

R

R

R

R

R

R

114

Bei diesem Verfahren wird die Eingangsspannung mit Werten, die durch Spannungsteilung auseiner prazisen Referenzspannung gewonnen werden, mit Hilfe von Komparatoren verglichen. Dabeigeben die Komparatoren deren Vergleichspannung kleiner ist als die Eingangsspannung eine logi-sche Eins am Ausgang aus. Die Eingange des Prioritatskodierers invertieren das Signal bestimmendaraus den zugehorigen Binarwert, indem der hochwertigste Eingang der gerade eine logische Einszeigt binar codiert wird.

Logiktafel fur einen Prioritatskodierer

Eingangsspannung Komparatorzustande Dualzahl Dezimal

Vin/VLSB k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 z3 z2 z1 Z

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1

2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2

3 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 3

4 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 4

5 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 5

6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 6

7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7

B.3.2. Kaskadenumsetzer

z4 z7 z8

Abtast/Halte-Glied 5-Bit

ADU parallel

5-Bit DAU

5-Bit ADU

parallel + +

- x32

Vin

Vref

z9 z0 z5 z6 z3 z1 z2

Beim Kaskadenumsetzer werden zwei Parallelwandler eingesetzt, wobei die Summe der Auflosun-gen dann die Gesamtauflosung bestimmt. Es wird der erste ADC (analog/digital converter) zurWandlung der hoherwertigen N1-Bits eingesetzt. Der gewandelte Wert wird mit Hilfe eines DACs(digital/analog converter) zuruckgewandelt und vom Eingangssignal abgezogen. Dabei ist es wich-tig, dass das Eingangssignal analog in einem Abtast/Halteglied (sample and hold stage) zwischen-gespeichert wird. Die um den Faktor 2N1, N1 bezeichnet die Auflosung des ersten ADCs, verstarkteDifferenz wird nun wiederum einem ADC zugefuhrt, um die niederwertigeren N2-Bits zu wandeln.Die Auflosung Nges ergibt sich:

Nges = N1 + N2. (B.3)

Vorteile: Es werden nur (2N1 + 2N2) Komparatoren und nicht 2(N1 + N2) benotigt.

Beispiel: Bei N1=5 und N2=5 werden nur 64 Komparatoren benotigt anstelle von 1024.

Probleme

• Durch eine schlechte Linearitat des ersten ADCs kann es dazu kommen, dass der zweite ADCubersteuert wird, was zu fehlenden Werten (missing codes) fuhren kann. Diesem Problemkann dadurch begegnet werden, dass der zweite ADC mit einem erweiterten Auflosungs-bereich, einem zusatzlichen Bit, ausgestattet wird und die Differenz nur um den Faktor

115

2(N1-1) verstarkt wird. Es ergibt sich eine Redundanz im mittleren Bereich, die auf digitalerSeite korrigiert wird.

B.3.3. Nachlaufverfahren/Zahlverahren

z~ zN-1 z2 z0 z1

Abtast/Halte-Glied Vin

+

- N-Bit Aufwärts/ Abwärts Zähler

N-Bit DAC N-Bit

Bus

Vref

Komparator

Takt auf/ab

Der in dem Abtast/Halteglied (SHS Sample and Hold Stage) gespeicherte Wert wird durch denKomparator mit einem Wert aus einem DAC verglichen. Der Ausgang des Komparators entscheidetob der Zahler aufwarts oder abwarts zahlt. Ist der Zahlerstand zu hoch so liefert der DAC eine zuhohe Ausgangsspannung und der Komparatorausgang wird logisch Null weshalb der Zahler nunabwarts zahlt bis der Zahlerstand einen zu kleinen Wert reprasentiert, dann wird wieder aufwartsgezahlt.

Vorteile:

• Diese Art von Wandler sind schnell.

• Es ist keine aufwandige Steuerlogik notwendig wie bei dem im nachsten Abschnitt beschrie-benen Wandler.

Probleme:

• Der Wandler kommt bei erreichen der zu wandelnden Wertes nicht zur Ruhe, sondernschwankt immer um das LSB.

• Es wird ein DAC mit uberall monotoner Charakteristik benotigt sonst wird er an diesernichtmonotonen Stelle

”eingefangen“.

• Der Wandler braucht im Extremfall bis zu 2NTTakt um einen Wert zu wandeln. Er ist alsobei Sprungen des Eingangssignals nicht in der Lage, diesen schnell zu folgen.

B.3.4. Wageverfahren (successive approximation register)

z~ zN-1 z2 z0 z1

Abtast/Halte-Glied Vin

+

- N-Bit Sukzessives- Approximations-

Register

N-Bit DAC N-Bit

Bus

Vref

Komparator

Der Wandler ist dem im vorherigen Abschnitt sehr ahnlich, allerdings ist der Auf-/Abwartszahlerdurch eine Steuerlogik ersetzt. Dabei wird eine Art Intervallschachtelung durchgefuhrt um denzu wandelnden Wert anzunahern. Dabei wird sukzessive ein Bit nach dem anderen, beginnend

116

mit dem MSB, gesetzt und gepruft. Wenn der Wert aus dem SHS kleiner ist als der durch denDAC gewandelten Wert wird das Bit wieder zuruckgesetzt. Im anderen Fall bleibt es gesetzt.Anschließend wird das nachste Bit gepruft.

Vorteil

• Der Verfahren ist schneller als das Nachfolgeverfahren.

B.3.5. Sagezahnverfahren (single slope integration)

z~ zN-1 z2 z0 z1

Vin

+

-

Zähler

Sägezahn-generator

Vref

Komparatoren +

-

& &

Quarz-Oszillator

Bei diesem Wandler handelt es sich um eine Spannung/Zeit-Umsetzung, wobei die Zeit miteinem Zahler, der von einem Quarzoszillator gespeist wird, bestimmt wird. Ein Sagezahngene-rator liefert einen genau definierten Spannungsanstieg. Bei einem Wert der Sagezahnspannung,die durch den unteren Komparator definiert wird, beginnt der Zahler loszulaufen. Erreicht dieSagezahnspannung die Eingangsspannung, wird der Zahler gestoppt. Je hoher die Eingangsspan-nung, desto langer lauft der Zahler. Die beiden Komparatoren bilden in Verbindung mit demersten UND-Gatter einen Fensterdiskriminator. Der Ausgang des Fensterdiskriminators, der EINSist, wenn die Sagezahnspannung zwischen Masse und Eingangsspannung ist, wird in dem zweitenUND-Gatter mit dem Takt eines Quarzoszillators verknupft und dann auf den Zahlereingang ge-geben. Es kommen somit nur Taktpulse auf den Zahler, wenn die Sagezahnspannung innerhalbdes Fensters liegt.

Vorteile

• Es wird kein DAC und SHS benotigt.

Probleme

• Der Sagezahngenerator muss extrem prazise arbeiten. Das schließt auch eine sehr praziseReferenzspannung ein. Die Sagezahnspannung wird aus einem Integrator gewonnen, der miteiner Kapazitat aufgebaut ist. In die Genauigkeit geht der Wert der Kapazitat linear ein.Dieser weist allerdings starke Alterungseffekte auf, wodurch es sehr schwierig ist, eine hohereGenauigkeit als 0,1

• Der Quarzoszillator muss sehr prazise arbeiten.

B.3.6. Dual-Slope-Verfahren (dual-slope integration)

Die Nachteile des Sagezahnverfahrens werden bei diesem Verfahren weitestgehend umgangen,weshalb es das vorherige vollstandig abgelost hat.

117

z~ zN-1 z2 z0 z1

Vin +

-

Zähler

Schalter Steuerung

Vref

Integrator

+

-

&

R

S3

S1

S2

+

Komparator

C

t Vint t1 t2

t2

Integration von Vin Integration von Vref

Das Wandlungsverfahren besteht aus zwei Phasen. Das Verfahren ist im Bild oben illustriert.In der ersten Phase wird das Eingangssignal mit Hilfe des Integrators uber eine konstante Zeit t1aufintegriert (S1 geschlossen, S2 und S3 geoffnet). Die Ausgangsspannung Vint des Integratorswird dabei negativ und der Betrag ist proportional zur Eingangsspannung. Dabei wird die Zeitdurch eine bestimmte Anzahl von Pulsen aus einem Pulsgenerator bestimmt.

Vint(t1) =1τ

∫ 2

0Vindt = −Vin

τ(Zmax + 1)T. (B.4)

Anschließend wird in der zweiten Phase uber einen Schalter S1 der Eingang abgekoppelt und ubereinen zweiten Schalter S2 die Referenzspannung Vref, welche zur Eingangsspannung invertiertist, auf den Eingang des Integrators gelegt (S3 geoffnet). Nun wird die Referenzspannung solange integriert bis die Ausgangsspannung des Integrators Null ist, was mit dem Komparatorfestgestellt wird. Die Zeitspanne t2 die fur diese zweite Integrationsphase benotigt wird mit Hilfedes Pulsgenerators und einem Zahler bestimmt.

t2 = Z · T =τ

Vref|Vint(t1)|. (B.5)

Die Zeit t2 ist proportional zur Eingangsspannung und somit wird der Zahlerstand als gewandelterWert ausgegeben.

Z = (Zmax + 1)Vin

Vref(B.6)

Parameter, die im vorherigen Verfahren noch kritisch in das Wandlungsergebnis eingegangen sind,wie z.B. die Frequenz des Pulsgenerator und die fur die Integration verwendete Kapazitat, kurzensich in der Abhangigkeit des Wandlungsergebnisses bei diesem Verfahren heraus. Das bedeutet dieGenauigkeiten der Kapazitat und des Pulsgenerators spielen keine Rolle. Damit ist dieses Verfahrengrundsatzlich mit hoherer Prazision zu realisieren.

Eigenschaften

118

• Ergebnis nicht vom Takt abhangig

• Ergebnis nicht von τ = RC ab

• Wenig anfallig gegen Storspannung. Alle Frequenzen 1/t1 mit ihren Vielfachen werden un-terdruckt.

• Referenzspannungsquelle muss die geforderte Prazision haben

• Integrationskondensator sollte keine Spannungshysterese und nur geringe Leckstrome auf-weisen (als Dielektrikum z.B. Polystyrol).

• Wandler ist billig herzustellen

EinsatzDas Verfahren wird in den meisten Multimetern (Hand- und Labormultimetern) mit einer Auflosungvon 3,5 bis 7,5 Dezimalstellen eingesetzt.

B.3.7. Sigma-Delta-Verfahren

(Literatur [7,8])

z~ zN-1 z2 z0 z1

Vin negativ +

-

Zähler 1

D-Register

Integrator

+

-

&

R

Komparator

C

Zähler 2

D Q

Q C R

FET-Schalter

I ref

Bei dem Σ∆-Verfahren handelt es sich um ein integrierendes Verfahren, bei dem die Eingangs-spannung mit einem Strom aus einer Referenzstromquelle ausbalanciert wird. Der Strom von derEingangsspannung wird mit dem Strom aus der Referenzstromquelle addiert und auf einen Inte-grator gegeben. Der Komparator vergleicht den Ausgang mit einem Bezugspunkt, welcher hierMasse ist. Der Ausgang des Komparators wird auf ein D-Flipflop gegeben, welches den Zustanddes Eingangs zwischenspeichert bis ein neuer Taktzyklus beginnt, welcher vom Taktgenerator ab-geleitet wird. Steht an dem Ausgang des D-Flipflops eine logische Eins, so wird der Takt auchauf den Zahler 2 gegeben, der die Pulsdauer des Komparators ausmisst. Der Zahler 1, welcherpermanent mit den Taktpulsen versorgt wird steuert den Ablauf indem er Zahler 2 rucksetzt undden Wert des Zahlers in dem Ausgangsregister, ein D-Register, zwischenspeichert.

Eigenschaften

• Kein Aliasing bei der Umwandlung, da nicht abgetastet wird, außer bei zu niedriger Wahlder Abtastfrequenz

• Prinzipbedingt gibt es keine fehlenden Codes

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• Wandlerverhalte ist absolut monoton und linear

• Unempfindlich gegen steile Flanken, gegen Rauschen und gegen hochfrequente Storungen

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Literaturverzeichnis

[1] Hans-Rolf Trankler, Ernst Obermeier: Sensortechnik, (Springer, Berlin,1998) ISBN:3540586407

[2] Johannes Niebuhr, Gerhard Lindner: Physikalische Meßtechnik mit Sensoren (Olden-bourg,2001) ISBN: 3486270079

[3] Ed.: Joseph F. Keithley: Low Level Measurements Handbook (Keithley InstrumentsInc.,1998)

[4] Othmar Marti und Alfred Plettl: Vorlesungsskrip Physikalische Elektronik und Messtechnik,(Universitat Ulm, Ulm, 2004).http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/PhysikalischeElektronik/Phys Elektr/Phys Elektr.pdf

[5] Paul Horowitz and Winfield Hill: The Art of Electronics, second edition (Cambridge Univer-sity Press, Cambriddge, 1999) ISBN 0-521-37095-7.

[6] Ulrich Tietze und Christoph Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik, achte Auflage (Springer-Verlag, Berlin, 1986) ISBN 3-540-16720.

[7] Ralf Kories und Heinz Schmidt-Walter: Taschenbuch der Elektronik (Verlag Harry Deutsch,Frankfurt, 2000) ISBN 3-8171-1626-8.

[8] PSpice 9.1 Studentenversion herunterzuladen unter:http://www.orcad.com/Product/Simulation/PSpice/download.asp

[9] Beschreibung eines Sigma/Delta-Wandlers des Halbleiterherstellers Analog Device:http://www.analog.com/support/standard linear/seminar material/practical design techniques/Section3.pdf

[10] Beschreibung eines Sigma/Delta-Wandlers von Jim Thompson:http://www.ee.washington.edu/conselec/CE/kuhn/onebit/primer.htm

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Uni Oldenburg: Physikalische Messtechnik (PDF) · PDF filePhysikalische Messtechnik Achim Kittel Energie- und Halbleiterforschung Fakultät V, Institut für Physik Büro: W1A 1-102