Unscharfes Schließen

Oder: Was man aus unscharfen Prämissen schließen kann?

Inhalt

• Linguistische Variable– Begriff, Beispiel

• Unscharfes Schließen– Modifizierungsregeln

• Modifikatoren: sehr, mehr oder weniger, nicht

– Verknüpfungsregeln (Fuzzy Logik): Und, Oder, Implikation und Relationen

– Bewertete linguistische Variable• Qualifizierungsregeln: wahrheits-, wahrscheinlichkeits-

bewerte Ling. Variable, möglichkeits- bewertet

• Variable u, die unscharfe Mengen als Werte annehmen kann

• unscharfe Werte mit Umgangssprache benannt• Mengensystem

T ... Terme von u (linguistische Werte)

U Universum von u (Grundmenge)

G Menge von syntaktischen Regeln (Grammatik)

Menge semantischer Regeln

(ordnet Term unscharfe Menge zu)

• Entwicklung von Grobmodellen

Linguistische Variable

}M~

G,U,{T,u

M~

Linguistische Variable FAHRZEUGANZAHL PRO STUNDE

niedrig hoch

mittlere Anzahl

• z.Bsp:

• formal: u(O) ist Au .. Variable

O .. Objekt

A .. Fuzzymenge

45

4525

5

020

)45(1

)(

x

x

2xx

uniedrig

z.B: FAHRZEUGANZAHL(B169) ist Hoch

Unscharfes Schließen• gegeben ist unscharfes Schlussschema mit u, v ling.

Variablen; A, B unscharfe Werte

u=A Premise | A is true

IF u=A Then v=B oder Implication | If A then B

v=B Conclusion | B is true• wichtig als Gesichtspunkt von Expertensystemen

• sinnvolle Verarbeitung solcher unscharfen Informationen (Verarbeiten von ling. Begriffen in mathematische Beziehungen)

• bestimmte Regeln unterteilt in Modifizierungs-, Verknüpfungs- und Qualifizierungsregeln

Modifizierungsregeln

• modified fuzzy datum definiert als u = mod A• Modifikatoren:

– Standard (Vorschlag von Zadeh) u=C:

• C = sehr A :

• C = mehr oder weniger A :

• C = nicht A : – Verknüpfungen möglich:

• C = sehr sehr A :

• C = nicht sehr A :

A C

2C A

AA -1 C4

C A 2

C -1 A

– sinnvolle Verknüpfungen in Grammatik festlegen• z.Bsp: sehr von mittlere Anzahl oder sehr (niedrig oder

hoch) verbieten

– Festlegung bei sehr und mehr oder weniger häufig nicht akzeptabel:

stimmt

stimmt weniger

stimmt nicht

– Abhilfe: Verknüpfung Modifikator mit Translation

118 )(μNiedrig1118 2 )(μ gSehrNiedri

1118 4 )(μ edrigSehrSehrNi

45

4520

025

)45(1

)(

x

x

20xx

uNiedrig

36

3616

16

020

)36(1

)(

x

x

xx

ugSehrNiedri

Verknüpfungsregeln

• Kombination mindestens 2er Fuzzy-Werte:u linguistische Variable im Universum U

v linguistische Variable im Universum V

• unscharfe Werte: A aus U, B aus V• wichtigsten Kombinationen:

u = A und v = B conjuction

u = A oder v = B disjunction

wenn u = A dann v = B implication

• zylindrische Erweiterung und

B)(yA)(x B)(yA)(x B)(yA)(x

VAA|

UBB|

conjunction

disjunction

implication

• wichtige Operatoren:

UND

T=minimum

T=algebraic product

T=bounded difference

T=minimum in den meisten Fällen beste Wahl

),(),( 'T

')()(

yxyxBABvAu

),(),( '')()(

yxyxBABvAu

)}(),(min{),()()( yxyx BABvAu

)()(),()()( yxyx BABvAu

}1)()(,0max{),()()( yxyx BABvAu

),(),( '')()(

yxyxBABvAu

ODER

• kein Operator festgelegt; Wahl problemspezifisch (sogar möglich eigenen Operator zu entwickeln) nur das Ergebnis zählt

• Bsp:– „u ist ungefähr 2“ in U={1,2,3} und „v ist groß“ in V={1,2,3,4}

)}(),(max{),()()( yxyx BABvAu maximum)()()()(),()()( yxyxyx BABABvAu sum algebraic

)}()(,1min{),()()( yxyx BABvAu sum bounded

– zylindrische Erweiterung von A und B

– T=minimum,

3.00.13.0

3.00.13.0

3.00.13.0

3.00.13.0

'A

0.10.10.1

7.07.07.0

1.01.01.0

0.00.00.0

'B

3.00.13.0

3.07.03.0

1.01.01.0

0.00.00.0

'T

' BA

0.10.10.1

7.00.17.0

3.00.13.0

3.00.13.0

'' BA

maximum

3.00.13.0A

0.1

7.0

1.0

0.0

B

• If ... Then –Operator (Implikation und Relationen)

• If u = A Then v = B Fuzzy-Implikation • Relation

– Zugehörigkeitsgrad– unsch. Relation „ungefähr gleich“

• • bj=sup min{ ai, rij}

b)(a,μR

15.000

5.015.00

05.015.0

005.01

4

3

2

1

:

0.40.30.20.1

eichungefährglR

)X(XR 21 F )X(XBA 21 F

RAB

)},(),(min{sup)( yxmxy RAUx

B

• Beispiel If ... then: – Universum U={1,2,3,4}– unsch. Wert A = „groß“ = {(1,0), (2 , 0.4), (3 , 0.6), (4 , 0.8), (5,1)}

– Relation R = „ungefähr gleich“

– ges. Werte für B mit B=A°R

– für y=3

B= {(1, 0.4), (2, 0.6), (3, 0.7), (4, 0.8), (5, 1)}

17.04.01.00

7.017.04.01.0

4.07.017.04.0

1.04.07.017.0

01.04.07.01

5

4

3

2

1

0.50.40.30.20.1

eichungefährglR

(x,3)}m(x),min{μsup(3)μ RAUx

B

(5,3)}}μ(5),min{μ (4,3)},μ(4),min{μ

(3,3)},μ(3),min{μ (2,3)},μ(2),min{μ (1,3)},μ(1),{min{μsup(3)μ

RARA

RARARAB

0.70.4} , 0.7 , 0.6 , 0.4 , {0sup

}min{1,0.4} 0.7)}, min{0.8, 1}, min{0.6, 7},min{0.4,0. },{min{0,0.4sup(3)μB

– möglicher Schluss: x ist groß

x und y sind ungefähr gleich

y ist mehr oder weniger groß

• unscharfe Relation für If ... then: oder Not (u=A) Or (v=B)

oder

so genannte Lukasievicz-Implikation

)}()(1,1min{),()()( yxyx BABvAu sum bounded

BAR B)(UV)(AR c

),(),( '')()(

yxyxBABvAu

• If v = Ai then u = Bi i = 1,...nn Kontrollsystem

• Relation dafür ist Lösung von• R beschreibbar als

ist kleinste R‘ und R‘‘ umfassende Lösung

nur eine größte, aber mehrere minimale Lsg.• A „minus“ B:

n1,...,iRAB ii RRRRR,R ''''''

''' RR

)()(

)()(

)(

1),(

:B minus""A :R

R yx

yx

yyx

BA

BA

Bdef

• isotonische Implikation

T=minimum

• Lösungskriterium für Gleichung B=A°R

• Beispiel: A=(1; 0.8; 0.6; 0.5), B=(1; 0.3; 0.6; 0.5)

(y)}μt)(x),T(μ:{tsupy)(x,μ BA[0,1]t

B)(vA)(u

(y)}μt)(x),min(μ:{tsupy)(x,μ BA[0,1]t

B)(vA)(u

)()(

)()(

)(

1),(B)(vA)(u yx

yx

yyx

BA

BA

Bdef

113.01

5.06.03.01

5.06.03.01

0R

5.0000

0001

06.03.00

1R

Bewertungsregeln

• Wert A einer linguistischen Variable linguistisch bewerten mit Bewertungsvariable g g(A) ist T

• g|F(U)[0,1] heißt Bewertungsfunktion

• g bewertet alle F(U) mit Grad g(A)=t zwischen 0 und 1 g(A)=T• verschiedene Bewertungsfunktionen denkbar:

– wahrheitsbewertet (truth qualified evaluation)– wahrscheinlichkeitsbewertet (probability qualified evaluation)– möglichkeitsbewertet (possibility qualified evaluation)

• Bsp.: u ling. Variable „Fahrzeuganzahl“, A Wert „Hohe Anzahl“

wahrheitsbewertet „Es ist ziemlich falsch, dass die Strasse eine hohe Fahrzeuganzahl hat“

Truth (hohe Anzahl) ist ziemlich niedrig g A T

A

wahrscheinlichkeitsbewertet

„Es ist mehr oder weniger wahrscheinlich, dass die Strasse eine hohe Fahr- zeuganzahl hat“

Prob (hohe Anzahl) ist moderat

possibilistisch bewertet „Es ist sehr wohl möglich, dass die Strasse eine hohe Fahrzeuganzahl hat“

Poss (hohe Anzahl) ist hoch

• Realisierung– wahrheitsbewertet:

– wahrscheinlichkeitsbewertet:

– möglichkeitsbewertet

(x)μ(A)truthg(A) Ax

)((x)μ(A)Probg(A) AP xdPU

π(x))(x),min(μsup(A)Possg(A) AUx

π

• Übersetzung von g(A) ist t in Fuzzy - Menge C auf [0,1]F(U) durch C(g) := T(g(A))

g(A) ist T C mit C(g) := T(g(A))

• gut bei Teilmengen von [0,1]F(U) : z. Bsp. parametrische Wahrsch.-werte

• Beispiele:

• Gradverteilung

x65

56x55

55x0

110

55-x0

(x)μA

• dargestellt durch:

a) Truth-Bewertung

Übersetzung A(x) nach T(A(x))

C(x) = ziemlich niedrig (A(x)) =

ziemlich niedrig (A(58)) = 0.66667 Truth(58) = 0.3

„Es ist ziemlich falsch dass 58 eine hohe Fahrzeuganzahl ist“Schlussfolgerung: „Die Strasse hat eine mittlere Anzahl von Fahrzeugen/h“

x60

60x57

57x0

03

120

1

(x)μC x

,1x0.5

0.5x0.2

0.2x0

00.3

t-0.51

(t)μ niedrigziemlich

,0.3

0.5t1(t)μmoderat

19.0

9.05.0

5.00

1

4.0/)5.0(

0

(t)μhoch

t

t

t

t

b) Probabilitäts-Bewertung

• Übersetzung C(P) nach T(PROBP(A))

• Dichtefunktion f(x) = ex mit EX; bei erwarteter Fahrzeug- anzahl 56 =1/56

• = A(x)

• „Die Wahrscheinlichkeit das die Strasse eine Fahrzeuganzahl/h von 56 hat ist moderat“

0

λeA dx(x)λxμP(A)

0

Af(x)dxIP(A)

AI

0.34297dx1/56e1dx1/56e10

55)(xdx1/56e0

dx(x)1/56eμP(A)

65

1/56x65

55

1/56x55

0

1/56x

0

1/56xA

47658.0)34297.0()( moderat56/1 PC

• Quellen:– „Einführung in Fuzzy-Methoden“

Hans Bandemer, Siegfried Gottwald

– „Fuzzy Set Theory“H.-J. Zimmermann