Untersuchung der instrumentellen Polarisation von idealen ... · Kapitel1 GrundlagenundMethoden In diesem Kapitel werden die physikalischen Grundlagen und Methoden beschrieben, die

Fakultät für Mathematik und Physik

Untersuchung der instrumentellen Polarisationvon idealen Fabry-Pérot-Interferometern

Diplomarbeit

eingereicht von

Hans-Peter Doerraus Rheinbischofsheim

September 2008

BetreuerProf. Dr. Oskar von der Lühe

Dr. Thomas J. Kentischer

Die vorliegende Version dieser Diplomarbeit entspricht inhaltlich der offiziell Eingereichten.Gegenüber der Orginalversion wurden jedoch einige Tippfehler verbessert, sowie das Layoutfür die Online-Version angepasst.

Hiermit erkläre ich, dass ich die Arbeit selbständig verfasst und keine anderen als die angege-benen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.

Freiburg, den den 9. Juli 2009

(Hans-Peter Doerr)

Inhalt

Einleitung 4

1 Grundlagen und Methoden 71.1 Wellenoptik und Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Dielektrische Dünnfilmschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Ellipsometrie und Polarimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Fabry-Pérot Interferometer 152.1 Historie und Anwendung des FPI in der Astronomie . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Mathematische Beschreibung des idealen FPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Fabry-Pérot Filtergraphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Intrinsische Polarisation des idealen FPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Numerische Rechnungen 383.1 Ziel und Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2 Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Messaufbau 564.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 Durchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Zusammenfassung und Ausblick 61

Literatur 63

A Zusätzliche Angaben 66

B Programmcode 67

Danksagung 70

3

Einleitung

Interferometer, bei denen das einfallende Licht zwischen zwei teilverspiegelten planparallelenFlächen zur Vielstrahlinterferenz gelangt, werden nach ihren Erfindern als Fabry-Pérot-Inter-ferometer bezeichnet.In der Sonnenbeobachtung werden Fabry-Pérot-Interferometer als durchstimmbare Filter

verwendet, die spektral und zeitlich hochaufgelöste, zweidimensionale Spektroskopie von dy-namischen Prozessen auf der Sonne erlauben. Fabry-Pérot-Interferometer weisen dabei einehohe Transmission auf, so daß trotz der hohen spektralen Auflösung noch Belichtungszeiten imMillisekundenbereich möglich sind und damit nachträgliche Bildkorrekturverfahren wie Speckle-Interferometrie angewandt werden können.Für die Beantwortung vieler Fragen der Sonnenphysik ist die Messung von Magnetfeldern,

und zwar sowohl ihrer Stärke als auch ihrer Richtung, von zentraler Bedeutung. Die magneti-schen Feldvektoren können über eine Inversion aus spektral aufgelösten Polarisationsmessungenan geeigneten Spektrallinien rekonstruiert werden. Dazu müssen die Polarisationsmessungenaber mit hoher Präzision erfolgen. Fabry-Pérot-Interferometer basierte Spektro-Polarimeterbieten weiterhin eine bestechende Möglichkeit derartige Magnetfeldmessungen nicht nur punk-tuell, sondern flächenaufgelöst zu betreiben. Abbildung 1 zeigt als Beispiel einige Aufnahmenaus einem Scan durch eine Spektrallinie, bei dem gleichzeitig alle vier Stokes-Parameter ge-messen wurden.Die Planung und Entwicklung von künftigen Fabry-Pérot-Interferometer basierten Spek-

tro-Polarimetern mit höchster polarimetrischer Genauigkeit erfordert die Untersuchung allerAspekte der Entstehung von instrumentell induzierter Polarisation. Polarisationseffekte tretenunter Anderem bei Reflektion und Transmission unter schiefem Einfall auf. Diese lassen sichnicht vermeiden.Abbildung 2 soll die Motivation für die vorliegende Arbeit verdeutlichen. Gezeigt ist die

einfallswinkelabhängige Reflektivität für beide Polarisationskomponenten an einer Breitband-Reflektionsbeschichtung, wie sie zur Verspiegelung von Fabry-Pérot-Interferometern verwendetwerden, sowie ein Detaillausschnitt bis 0.2°. Dies entspricht etwa dem maximalen Einfallswinkelauf ein als Filter benutztes Fabry-Pérot-Interferometer. Der Unterschied der Reflektivitätenist bei diesem Winkel äußerst gering. Allerdings wird der Polarisationseffekt mit der Anzahlder Reflektionen potentiert, so daß sich durch die Vielfachreflektion in einem Fabry-Pérot-Resonator ein wesentlich stärkerer, resultierender Polarisationseffekt ergeben kann.Mit der vorliegenden Arbeit wird erstmals gezielt die durch interne Vielfachreflektion her-

vorgerufene, instrumentelle Polarisation von idealen Fabry-Pérot-Interferometern anhand einesnumerischen Modells untersucht. Sollte sich die instrumentelle Polarisation für bestimmte Mes-sungen als relevant erweisen, kann eine numerische Modellierung zur Kalibrierung verwendetwerden.

4

Einleitung 5

In Kapitel 1 werden zunächst die physikalischen Grundlagen von Polarisation, ihrer mathe-matischen Darstellung, sowie die Methoden zur Berechnung der Reflektionsprozesse an Dünn-filmbeschichtungen besprochen.Kapitel 2 ist ganz dem Fabry-Pérot-Interferometer, der Berechnung seines polarisations-

abhängigen Transmissionsspektrums, sowie seiner Anwendung als durchstimmbares Filter fürsolare Spektrometer gewidmet. Da die Polarisationseffekte von der Konfiguration des Filtersabhängen, werden hier die relevanten Unterschiede dargestellt.Die in Kapitel 2 erarbeiteten Methoden werden in Kapitel 3 in numerischen Rechnungen

angewandt. Es werden die Auswirkungen unterschiedlicher Konfigurationen von Fabry-Pérot-Interferometer mit unterschiedlichen Dünnfilmbeschichtungen berechnet und miteinander ver-glichen.In Kapitel 4 wird schließlich ein Meßaufbau beschrieben, der im Optik-Labor des Kiepen-

heuer-Institus aufgebaut wurde, um die Vorhersagen der numerischen Rechnungen zu über-prüfen.

Abbildung 1: Einzelaufnahmen eines „Full-Stokes-Scans“ durch eine magnetisch sensitive solare Eisenli-nie bei 630.25 nm, aufgenommen mit dem Spektro-Polarimeter VIP@TESOS des Kiepenheuer-Institutsam Teide-Observatorium, Teneriffa. Die dargestellen Bilder zeigen nur einen kleinen Detailauschnit derorginalen Aufnahmen. Reihen von oben nach unten: Gesamtintensität I, Stokes Q, Stokes U , Stokes V .Die dargestellten Grauwerte sind untereinander nicht vergleichbar, da jedes Bild auf maximalen Kon-trast gesetzt wurde. (Die Daten wurden freundlicherweise von A. Tritschler, National Solar Observatory,USA, zur Verfügung gestellt).

Einleitung 6

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Ref

lekt

ivit

ät/

%

Einfallswinkel / °

Reflektivität an Breitband-Reflektionsbeschichtung, p- und s- Komponenten

Rp

Rs

95.47

95.4701

95.4701

95.4702

95.4702

95.4703

95.4703

0 0.05 0.1 0.15 0.2

Abbildung 2: Einfallswinkelabhängige Reflektivität der s- und p-Komponenten. Der Detailausschnittentspricht etwa dem maximalen Winkelbereich des Strahlengangs in dem FPI als Filter betrieben wer-den.

Kapitel 1

Grundlagen und Methoden

In diesem Kapitel werden die physikalischen Grundlagen und Methoden beschrieben, die imweiteren Verlauf der Arbeit benötigt werden. Neben den verschiedenen Möglichkeiten zumrechnerischen Umgang mit Polarisation von Licht stellt für die Bestimmung der Polarisationsei-genschaften von Fabry-Pérot Interferometern die Berechnung der Amplituden-Reflektions- undTransmissionskoeffizienten ihrer Verspiegelungen nach Abschnitt 1.2.2 einen zentralen Aspektdar.

1.1 Wellenoptik und PolarisationDie komplexwertige elektrische Feldamplitude einer linear in x-Richtung polarisierten, ebenenWelle mit dem Wellenvektor |k| = 2πn/λ ist durch

E(x, t) = E0 ei(ωt−kx+δ)ex (1.1)

gegeben. Dabei ist E0 die Ausgangsamplitude der Welle, n der Brechungsindex des Mediumsin dem sich die Welle ausbreitet, und ex der Einheitsvektor in x-Richtung. Die momentaneelektrische Feldstärke der Welle ergibt sich aus dem Realteil

Re (E(x, t)) = E0 cos(ωt− kx + δ)ex (1.2)

von Gleichung (1.1).Beliebige Polarisationsrichtungen werden als Überlagerung von zwei linear in x- und y-

Richtung polarisierten Wellen,

E(x, t) = Ex ei(ωt−kx)ex + Ey e

i(ωt−kx+δ)ey (1.3)

mit festem Phasenunterschied δ = δy − δx dargestellt.

1.1.1 Jones FormalismusDie beiden orthogonalen Komponenten der polarisierten Welle (1.3) können in einem 2 × 1-Spalten Vektor, dem Jones-Vektor

E =[ExEy e

iδ

](1.4)

zusammengefasst werden. Dabei wird die explizite Zeit- und Ortsabhängigkeit von Gleichung (1.1)unterdrückt. Da beide Komponenten selbst harmonische Schwingungen der gleichen Frequenzω darstellen, kann die Feldstärke an jedem Ort und zu jedem Zeitpunkt rekonstruiert werden.

7

Wellenoptik und Polarisation 8

Die Interaktion einer Welle mit einem linearen optischen System wird durch die Multiplika-tion ihres Jones-Vektors E,

Eaus = J · Eein

=[j11 j12j21 j22

] [Ex e

iδx

Ey eiδy

]ein, (1.5)

mit der komplexwertigen Jones-Matrix J des Systems beschrieben. Die Matrixelemente aufder Hauptdiagonalen von J , j11 = axe

i∆x und j22 = ayei∆y geben die Abschwächung ax,y

und Phasenverzögerung ∆x,y der ausfallenden gegenüber der einfallenden komplexen Feldam-plituden für die x- und y-Komponenten an. Die Elemente auf der Nebendiagonalen gebenentsprechend die Transferkoeffizienten von der einfallenden x- auf die ausfallende y- und vonder einfallenden y- auf die ausfallende x-Komponente an.Die Transmission einer linear in 45°-Richtung polarisierten Welle mit einem idealen linearen

Polarisationsfilter in horizontaler Stellung ergibt sich dann beispielsweise zu:

Eaus =[0 00 1

] [11

]=[01

]. (1.6)

Propagation einer Welle durch mehrere optische Elemente wird durch Multiplikation des ein-fallenden Jones-Vektors mit dem Matrixprodukt der die einzelnen Elemente repräsentierendenJones-Matrizen erreicht.Die Intensität I des Jones-Vektors ist proportional zur Summe der Absolutquadrate seiner

Komponenten. In dieser Arbeit werden absolute Intensitäten nicht benötigt, falls nicht andersangegeben, gilt daher immer

I = E2x + E2

y . (1.7)Die Jones-Darstellung enthält die volle Information über die Amplituden und Phasen der

Wellen, und ist daher zur Beschreibung von kohärentem Licht und Intererferenzeffekten ge-eignet. Dabei muss beachtet werden, daß der Jones-Vektor (1.4) in seiner zweikomponentigenForm implizit die Ausbreitung der Welle entlang der z-Achse vorraussetzt. In der vorliegendenArbeit sind die Winkel in allen Rechnungen so klein (ca. 0.004 rad), daß die Näherung alsquasi-parallele Ausbreitung ausreichend ist.Mit der Jones-Matrix Methode können zwar beliebig polarisierte einzelne ebene Wellen, aber

kein partiell polarisiertes oder gar vollständig unpolarisiertes Licht beschrieben werden.

1.1.2 Müller-Stokes FormalismusIm Müller-Stokes-Formalismus wird polarisiertes Licht durch vier Parameter, S0 . . . S3, darge-stellt, die experimentell einfach zugänglichen Größen entsprechen.Diese sind neben der Gesamtintensität I die Differenzen der Intensitäten in unterschiedlichen

Polarisationszuständen (Goldstein 2003),

S0 = I = I(90) + I(0) (1.8)S1 = Q = I(90)− I(0) (1.9)S2 = U = I(45)− I(−45) (1.10)S3 = V = I()− I(), (1.11)

Wellenoptik und Polarisation 9

dabei bezeichnen und rechts-bzw. links-zirkulare Polarisation. Mit den Komponenten desJones-Vektors (1.4) können die Stokes-Parameter einer polarisierten Welle aus

I = E2x + E2

y (1.12)Q = E2

x − E2y (1.13)

U = 2ExEy cos δ (1.14)V = 2ExEy sin δ (1.15)

berechnet werden.Die Stokesparamter werden in einem 4× 1 Spaltenvektor

S =

IQUV

(1.16)

zusammengefasst, dessen Komponenten üblicherweise auf die Gesamtintensität I normiert wer-den. Der Stokes-Vektor ist kein Vektor im Sinne der linearen Algebra. Die Darstellung als Vek-tor erlaubt es aber die Fortpflanzung von polarisiertem Licht mit einem Matrix-Formalismusähnlich zu denen der Jones-Matrizen darzustellen.Optische Elemente werden durch eine 4×4 Müller-MatrixM repräsentiert, und das Produkt

Saus =MSein aus der Müller-Matrix mit einem Stokes-Vektor Sein ergibt den Stokes-VektorSaus nach Durchqueren des Elements. Die Bedeutung der Matrixelemente der Müller-Matrix istähnlich zu der bei den Jones-Matrizen: die Elemente auf der Hauptdiagonalen kennzeichnen dieTransferkoeffizienten der Komponenten des einfallenden auf die jeweiligen Komponenten destransmittierten Stokes-Vektors. Die übrigen Elemente definieren die Wechselwirkung zwischenallen Komponenten untereinander nach folgendem Muster:

I → I Q→ I U → I V → II → Q Q→ Q U → Q V → QI → U Q→ U U → U V → UI → V Q→ V U → V V → V

. (1.17)

Ein nicht polarisierendes Element hat nur Einträge Mi=j = 1 auf der Hauptdiagonalen, undein idealer linearer Polarisator in x-Richtung hat die Müller-Matrix

12

1 1 0 01 1 0 00 0 0 00 0 0 0

. (1.18)

Der Polarisationsgrad G eines Stokes-Vektors wird durch

G =√Q2 + U2 + V 2

I(1.19)

definiert. Daraus folgt auch die wichtige Bedingung

I ≥√Q2 + U2 + V 2, (1.20)

wobei Gleichheit nur für vollständig polarisierte Stokes-Vektoren gilt.

Dielektrische Dünnfilmschichten 10

N 1

N2

xyΦ1

Φ2

p

s

Medium 1

Medium 2

k n

Abbildung 1.1: Zur Reflektion und Transmissionan einer planaren Grenzschicht zwischen zwei Me-dien.

Experimentelle Bestimmung der Müller-Matrix

Für ein beliebiges optisches System kann die Müller-Matrix im Prinzip dadurch bestimmtwerden, daß für vier jeweils vollständig I,Q, U und V -polarisierte Eingangssignale die Stokes-Vektoren S1 . . .S4 nach Durchgang durch das System gemessen werden. Diese bilden dann dievier Spalten

M1 = S1/I1

M2 = S2/I2 − S1

M3 = S3/I3 − S1

M4 = S4/I4 − S1 (1.21)

der Müller-Matrix M (Gerrard und Burch 1975). Die so bestimmte Müller-Matrix enthältimM11-Element die durch das System transmittierte Intensität, ist also im Allgemeinen ver-schieden von 1. Für Kalibrationszwecke wird die Müllermatrix üblicherweise normiert auf dasM11-Element angegeben, d.h. alle Einträge werden mitM−1

11 multipliziert.

1.2 Dielektrische DünnfilmschichtenDie Herstellung von dünnen dielektrischen Schichten stellt heute ein äußerst wichtiges Teil-gebiet der angewandten Optik dar. Mit Dünnfilmschichtsystemen lassen sich neben Anti-Reflexbeschichtungen auch Breitband-Verspiegelungen, sowie Bandpassfilter und Polarisati-onsoptiken herstellen (Macleod 2001).

1.2.1 Reflektion und Transmission an GrenzflächenAusgangspunkt für die folgenden Betrachtung ist die plane Grenzschicht zwischen zwei homo-genen und isotropen Medien mit den komplexen Brechungsindizes N1 und N2 in Abbildung 1.1.Der komplexe Brechungsindex ist definiert als (Macleod 2001)

N = n− iκ, (1.22)


wobei n der normale Brechungsindex und κ der Extinktionskoeffizient des Mediums ist, derüber α = 4πκ/λ mit dem Absorbtionskoeffizient α zusammenhägt. Falls κ von Null verschiedenist, führt dies also zu einer exponentiellen Dämpfung der Welle (1.1) bei Ausbreitung durchdas Medium.Die Einfallsebene an der Grenzfläche wird durch den Wellenvektor k und die Flächennormale

n der Grenzschicht aufgespannt. Die Komponente der einfallenden Welle senkrecht zur Einfall-sebene wird mit s gekennzeichnet und die parallel zur Einfallsebene mit p. Das Snellius’scheBrechungsgesetz,

N1 sinφ1 = N2 sinφ2, (1.23)verbindet den Einfallswinkel φ1 mit dem Winkel φ2 des transmittierten Strahls.Die transmittierten und reflektierten Amplituden im Verhältnis zur einfallenden Amplitude

Ei definieren die komplexen Amplituden-Reflektions- und Transmissionskoeffizienten für die s-und p-Komponenten, und sind durch die Fresnelgleichungen,

ErpEip

= rp = tan(φ0 − φ1)tan(φ0 + φ1)

(1.24)

ErsEis

= rs = − sin(φ0 − φ1)sin(φ0 + φ1)

(1.25)

EtpEip

= tp = 2 sinφ1 cosφ0sin(φ0 + φ1) cos(φ0 − φ1)

(1.26)

EtsEis

= ts = 2 sinφ1 cosφ0sin(φ0 + φ1)

(1.27)

gegeben.Die Phasenverzögerung der Fresnelkoeffizienten bei Reflektion ist 0 wenn |N2| < |N1| und

sonst π.

1.2.2 Transfermatrix-MethodeUm Transmission und Reflektion an einem System aus mehreren Lagen und entsprechend vielenGrenzschichten zu berechnen, muss die Vielfachreflektion der Teilwellen in den einzelnen Lagenberücksichtigt werden und diese alle kohärent aufsummiert werden.Die Berechnung von Dünnfilmschichten kann dadurch vereinfacht werden, daß das gesamte

Dünnfilmsystem als eine Grenzfläche dargestellt wird, die der einfallenden Welle eine effektiveoptische Leitfähigkeit, oder Admittanz, entgegensetzt (Macleod 2001). Die optische LeitfähigkeitY ist dabei als der Quotient

Y = C

B(1.28)

der Tangentialkomponenten des magnetischen (C) und des elektrischen Feldes (B) an derGrenzfläche definiert.Für eine dünne Schicht der Dicke d mit Brechungsindex N , die auf einem Substrat S auf-

gebracht ist (Abbildung 1.2) kann die optische Leitfähigkeit des Gesamtsystems aus Substratund Schicht über das Gleichungsystem[

BC

]=[

cos δ (i sin δ)/ηi sin(δ) η cos δ

] [1ηm

]= C

[1ηm

](1.29)


1

Substrat

Umgebungsmedium

...

q

N1

N...

Nq

Na

Ns

Φq

Φ1

Φa

dq Abbildung 1.2: Ein Dünnfilmschichtsystem. Die qFilme der Dicke dl sind auf auf einem Substrataufgebracht. Der erste Film grenzt an das Umge-bungsmedium, der letzte an das Substrat an.

aus den optischen Leitfähigkeiten ηm des Substrats und η der Schicht berechnet werden. Dabeiist δ die Phasenverzögerung

δ = 2 πλNd cosφ (1.30)

einer Welle der Wellenlänge λ nach Durchlaufen der Schicht unter dem Winkel φ. Die optischeLeitfähigkeit η ist abhängig von Polarisation und Winkel, und für die s- und p-Komponentendurch

ηs = N cosφ (1.31)

ηp = N

cosφ(1.32)

gegeben.Die Matrix C in Gleichung (1.29) heißt charakteristische Matrix oder Transfermatrix der

Schicht. Für ein System aus q Schichten kann die Transfermatrix des Gesamtsystems aus demProdukt [

BC

]= q∏l=1

[cos δl (i sin δl)/ηl

i sin(δl) ηl cos δl

][1ηm

](1.33)

der einzelnen Matrizen berechnet werden. Aus der der Admittanz Y = C/B des gesamtenSchichtsystem wird wiederum der Amplituden-Reflektionskoeffizient r und der Transmissions-koeffizient t mit

r = ηa − Yηa + Y

t = 2ηaηaB + C

(1.34)

berechnet. Dabei ist ηa die nach (1.32) berechnete optische Admittanz des Umgebungsmedi-ums. Die beiden Koeffizienten sind, wie die Fresnelkoeffizienten (1.24), polarisationsabhängigund müssen für die s- und p-Polarisationskomponenten getrennt berechnet werden. Im Gegen-satz zu den Fresnelkoeffizienten kann die Phase von r und t auch von 0 oder π verschiedensein.


Die Intensitäts-Reflektions und Transmissionskoeffizienten des Schichtsystems erhält manaus (1.34) mit

R = |r|2 =(ηa − Yηa + Y

)(ηa − Yηa + Y

)∗(1.35)

T =(Re(ηm)Re(ηa)

)|t|2 = 4ηaRe(ηm)

(ηaB + C)(ηaB + C)∗. (1.36)

Hierbei gilt Energieerhaltung mit R+T +A = 1, wobei die Absorption A für ideale DielektrikaNull ist.

1.2.3 Breitband-ReflektionsbeschichtungenEine einfache Glasplatte reflektiert ca. 4% der einfallenden Intensität. Wird auf die Glasplattezusätzlich eine dünne Schicht des Brechungsindex nl sowie der Dicke d (Abbildung 1.3) derartaufgetragen, daß die an Ober- und Unterseite der Schicht reflektierten Wellen konstruktivüberlagern, erhöht sich die reflektierte Intensität für eine feste Wellenlänge und Einfallswinkel.

na

nl

nm

1

2d

Abbildung 1.3: Zur Funktionsweise von Reflektions-Beschichtungen.Wird die Dicke d und der Brechungsindex nl der dünnen Schicht ge-eignet gewählt, überlagern sich die an den Grenzflächen 1 und 2 re-flektieren Wellen konstruktiv.

Neben der Forderung nach Phasengleichheit der beiden reflektierten Teilwellen, sollte dabeiauch der Brechungsindex in Abhängigkeit von Umgebungs- und Substratmedium so gewähltsein, daß die Amplituden der reflektierten Teilwellen etwa gleich stark sind.Schon mit wenigen λ/4-Lagen lassen sich für eine feste Wellenlänge sehr hohe Reflektivi-

täten erreichen. Diese fallen allerdings abseits der Zentralwellenlänge relativ schnell ab (Ab-bildung 3.2, Kapitel 3). Die Verspiegelungen, wie sie für Fabry-Pérot-Interferometer-basierteabbildende solare Spektrometer benötigt werden, müssen möglichst über den gesamten Wel-lenlängenbereich des sichtbaren Spektrums bis hin ins nahe Infrarote, eine Reflektivität vonetwa 95% aufweisen. Da das Verhalten von Dünnfilmbeschichtungen nur ansatzweise analy-tisch vorhergesagt werden kann, ist man beim Design von effektiven Beschichtungen, nebenviel Erfahrung, auf numerische Rechnungen angewiesen.Die Polarisationseigenschaften, also der Unterschied in Amplitude und Phase der Koeffizi-

enten r und t, hängen dabei stark vom Design der Beschichtungen, der Wellenlänge des Lichtsund dem Einfallswinkel ab.Im Anhang A ist der Aufbau von Breitband-Reflektionsbeschichtungen aus der Literatur

angegeben, die in dieser Arbeit als Grundlage für die numerischen Rechnungen in Kapitel 3dienen.

Ellipsometrie und Polarimetrie 14

1.3 Ellipsometrie und Polarimetrie1.3.1 PolarimetrieEs gibt verschiedene Möglichkeiten die Polarisation von Licht zu messen. Bei astronomischenBeobachtungen werden üblicherweise die Stokes-Parameter gemessen. Diese können im Prinzipdirekt anhand ihrer Definitionsgleichung (1.11) mit vergleichsweise einfachen Mitteln bestimmtwerden. Für hohe Ansprüche an Sensitivität und Genauigkeit sind natürlich wesentlich auf-wändigere Methoden notwendig, die aber hier nicht diskutiert werden sollen. Mit Hinblick aufdie Untersuchung der Instrumentellen Polarisation ist zunächst nur wichtig zu wissen, wie sen-sitiv ein Instrument sein soll, d.h. bis zu welchem Bruchteil noch Polarisation im einfallendenLicht nachgewiesen werden kann; und wie genau es ist, d.h. mit welchem absoluten Fehler diePolarisationssignale bestimmt werden können.Der Unterschied zwischen der Polarisation des Lichts, wie es vom Objekt ausgesandt wird,

und derjenigen die das Polarimeter registriert, wird als instrumentell induzierte Polarisation,Depolarisation und Übersprechen bezeichnet.

1.3.2 EllipsometrieMit Ellipsometrie wird ganz allgemein die Bestimmung des Polarisationszustandes einer pola-risierten Welle bezeichnet (Azzam und Bashara 1979). Gemeinhin ist damit aber eine Methodezur Messung von Materialeigenschaften gemeint, bei der die Einwirkung des Materials auf denPolarisationszustand des von der Probe reflektierten Lichts ausgenutzt wird. Mehr zur Methodefindet sich in Kapitel 4.In der Ellipsometrie wird die Polarisationsänderung bei Reflektion an einem Medium durch

das Verhältnisρ = rp

rs= tan(Ψ)ei∆ (1.37)

der komplexen Amplituden-Reflektionskoeffizienten für die p und s-Polarisation dargestellt.Dabei heißen Ψ =

∣∣∣ rprs ∣∣∣ und ∆ = δp − δs ellipsometrische Winkel und Gleichung (1.37) istdie Fundamentalgleichung der Ellipsometrie. Gleichung (1.37) gilt analog für die Amplituden-Transmissionskoeffizienten.Die Relevanz der Ellipsometrie für diese Arbeit liegt darin, daß die ellipsometrischen Winkel

Ψ und ∆, im Gegensatz zu den Stokes-Parametern, relativ einfach numerisch berechnet werdenkönnen, und sie zudem mit einem vergleichsweise einfachen Messaufbau experimentell bestimmtwerden können. In Kapitel 3 werden Ψ und ∆ für Fabry-Pérot-Interferometer in Transmissionberechnet, und in Kapitel 4 wird ein Messaufbau zu deren Messung vorgestellt.

Kapitel 2

Fabry-Pérot Interferometer

Das Fabry-Pérot-Interferometer (FPI) ist bis heute eines der präzisesten optischen Instrumenteüberhaupt (Römer 2005). Viele Erfolge in der Spektroskopie wurden mit Hilfe des FPI erzielt.Es findet aber nicht nur in der wissenschaftlichen Spektroskopie Verwendung, sondern z.B.auch als Bestandteil von Wellenlängen-Multiplexern in der optischen-Datenübertragung, wobeidurch hochauflösende spektrale Aufspaltung mehrere optische Frequenzbänder über die gleicheGlasfaser übertragen werden können.

2.1 Historie und Anwendung des FPI in der AstronomieIn einer Reihe von Artikeln veröffentlichten die französischen Physiker Alfred Pérot und CharlesFabry ab 1897 das Funktionsprinzip und verschiedene erste Messungen mit einem neuen, vonihnen entwickelten Interferometer, bei dem Licht zwischen zwei teilverspiegelten Oberflächenzur Vielstrahlinterferenz gelangt. Fabry und Pérot verwendeten zunächst eine Glasplatte, de-ren beide äußeren Seiten exakt parallel, und eben poliert und mit einer dünnen Silberschichtzur Reflektionserhöhung beschichtet waren. Als mögliche Anwendung dachten Fabry und Pérot

Abbildung 2.1: Frühes Fabry-Pérot-Interferometer aus dem Jahr 1901 (aus Vaughan (1989))

zunächst an neue, präzisere Eichmaße (franz. Étalon) für absolute Längen- oder Frequenzmes-sungen. Schnell wurde jedoch auch die Bedeutung des Instruments für die Spektroskopie klar(Pérot und Fabry 1899a).

15

Historie und Anwendung des FPI in der Astronomie 16

Abbildung 2.2: Visuelle Photographie des Orionnebels mit überlagertem Interferenzmuster eines FPI(Buisson, Fabry und Bourget 1914), entnommen aus Vaughan (1989)

Das neue Instrument war, trotz seiner Einfachheit, um ein Vielfaches sensitiver als dasbis dato gebrauchte Michelson-Interferometer, da es nicht nur zwei sondern unendlich-vieleTeilstrahlen zur Interferenz bringt. Bereits 60 Jahre zuvor gelang dem englischen AstronomenGeorge Airy die Erklärung der ringförmigen Helligkeitsvariationen, die an dünnen Schichtenbeobachtet werden können. Durch die kohärente Überlagerung der Teilwellen zwischen zweiparallelen Oberflächen kommt es unter bestimmten Winkeln zu konstruktiver Interferenz unddamit zu Helligkeitsmaxima. Diese Arbeit von Airy wurde auch von Fabry und Pérot alsGrundlage verwendet.Hauptsächlich von Fabry selbst wurden FPI sehr bald für astronomische Spektroskopie ver-

wendet, denn es liegt, wie Fabry und Perot in einem Artikel 1899 hervorheben, ein großerVorteil des Apparats in seinen geringen Lichtverlusten und der damit verbundenen Möglich-keit, auch sehr lichtschwache (astronomische) Objekte spektroskopisch zu untersuchen (Pérotund Fabry 1899b). Fabry und Pérot (1902) beschrieben die Anwendung ihres Interferometerszur Vermessung einiger solarer Spektrallinien, wobei sie besonders die Möglichkeit des FPIzur absoluten Wellenlängenbestimmung hervorhoben, daß also keine benachbarten Linien be-kannter Wellenlänge als Referenz mehr benötigt wurden. Mit einer der ersten kombiniertenvisuellen und spektralen astronomischen Beobachtung konnte die Radialgeschwindigkeit desOrionnebels relativ zur Sonne bestimmt werden (Buisson, Fabry und Bourget 1914). Dabeiwurde das Interferenzmuster des FPI über die visuelle Abbildung auf der Photoplatte gespie-gelt (Abb. 2.2) und durch Vermessung der Intererferenzmuster die Dopplerverschiebung einigerLinien berechnet.Neben der Vermessung der Interferenzringe gibt es jedoch auch eine weitere Möglichkeit

mit FPI Spektroskopie zu betreiben: den sogenannten Scanmodus, bei dem die transmittier-te Intensität als Funktion des Plattenabstandes gemessen wird. Allerdings sind die nötigen

Historie und Anwendung des FPI in der Astronomie 17

Abstandsänderungen so gering, dass diese Methode erst mit der Verfügbarkeit von Piezoak-tuatoren, etwa seit den 70er Jahren, zuverlässig funktioniert. Eine weitere Möglichkeit bestehtdarin, den Luftdruck zwischen den Platten zu erhöhen, und die Änderung des Brechungsindexauszunutzen.Ein bestechender Aspekt von FPI im Scanmodus ist, dass das FPI so als durchstimmbares

Filter direkt in den abbildenen Strahlengang eines Teleskops eingesetzt werden kann. Diesermöglicht zweidimensionale Spektroskopie bei vergleichbarer spektraler Auflösung wie mitGitterspektrographen, aber viel höherer zeitlicher Auflösung und Lichtstärke. Es gab einigefrühe Versuche, FPI auf diese Weise als abbildende, durchstimmbare Filter einzusetzen, z.B.PEPSIOS (Mack u. a. 1963). Allerdings wurde die praktische Nutzbarkeit dieser Spektrometerdurch technische Probleme beschränkt.Mit Piezogesteuerten FPI, bei denen der Plattenabstand laufend über sensible Sensoren

gemessen und über einen geschlossenen Regelkreis mit der Abstandsänderung verbunden ist,können Parallelität und Abstand der Platten über vergleichsweise lange Zeiträume stabil ge-halten werden (Ramsay 1966; Hicks, Reay und Atherton 1984). Die Entwicklung von elektroni-schen Bildwandlern wie CCDs ermöglichte es schließlich die Vorteile von FPI basierten Filtern,nämlich hohe spektrale Auflösung bei gleichzeitig hoher Lichtstärke, voll auszunutzen. Einesder ersten Instrumente dieser Art war das TAURUS Spektrometer (Atherton u. a. 1982). EineZusammenfassung der Entwicklung von FPI im Scanmodus findet sich bei Atherton 1995.

2.1.1 Fabry-Pérot Filter in der SonnenbeobachtungAbbildende Fabry-Pérot Spektrometer werden häufig auch als Fabry-Pérot Filtergraphen be-zeichnet. Sie spielen heute in der Sonnenbeobachtung eine große Rolle und werden an denmeisten Sonnenteleskopen eingesetzt. Beispiele sind das GFPI (Göttingen Fabry-Pérot-Inter-ferometer ; Bendlin, Volkmer und Kneer (1992)), TESOS (Telecentric Etalon SOlar Spectro-meter ; Kentischer u. a. (1998)), IBIS (Interferometric BIdimensional Spectrometer ; (Cavallini2006)) sowie das kürzlich in Betrieb genommene CRISP (CRisp Imaging SpectroPolarimeter ;Scharmer u. a. (2008)). Die Möglichkeit vergleichsweise große Gebiete auf der Sonne in kurzerZeit zu spektroskopieren, erlaubt z.B. die Erstellung von Dopplergrammen, die u.A. für diesich in den letzten Jahren stark entwickelnde Helioseismologie von großer Bedeutung sind.Wird ein Filtergraph mit einem Polarimeter kombiniert, können zweidimensionale Polari-

sationsmessungen (2d-Spektro-Polarimetrie) durchgeführt werden. Diese bilden wiederum dieGrundlage für Magnetfeldmessungen bzw. für die Erstellung von Magnetogrammen.Die hohen wissenschaftlichen Anforderungen an zukünftige Fabry-Pérot-Interferometer-basierte

Spektro-Polarimeter wie dasVisible Tunable Filtergraph (VTF) des US-AmerikanischenAdvanc-ed Technology Solar Telescope (ATST) werfen die Frage nach der durch die Instrumente selbstverusachten Polarisation auf. Diese kann und muß durch entsprechende Kalibrierung oder Mo-dellierung der Instrumente aus den Messdaten herausgerechnet werden, da die instrumentellePolarisation oftmals schon größer als die geforderte Genauigkeit ist (Beck u. a. 2005; Keller2003). Ist eine Modellierung nicht möglich, muss die Müller-Matrix des Gesamtsystems, ab-hängig von allen relevanten Parametern, gemessen und diese dann zur Kalibierung verwendetwerden. Die Anzahl der Parameter kann allerdings leicht so groß werden, daß eine Messungkaum in Frage kommt. Eine realistische Modellierung ist daher wünschenswert. Weiterhin kann

Mathematische Beschreibung des idealen FPI 18

Abbildung 2.3: Blick auf zwei der drei piezogesteuerten Etalons des Telecentric Etalon SOlar Spectro-meter (TESOS) des Kiepenheuer-Instituts am Vakuum Turm Teleskop (VTT) auf Teneriffa.

so schon in der Designphase des Instruments auf Polarisationseffekte Rücksicht genommen wer-den.In diesem Kapitel werden die zur Berechnung der instrumentellen Polarisation von idealen

FPI benötigten Methoden vorgestellt. In Kapitel 3 werden diese zur numerischen Modellierungvon idelalen FPI verwendet und daraus deren Müller-Matrix bestimmt.

2.2 Mathematische Beschreibung des idealen FPIDie Berechnung der durch das ideale FPI transmittierten Feldamplitude sowie ihrer Intensitätbildet die Grundlage für die in Abschnitt 2.4 folgende Bestimmung der Polarisationseigen-schaften des Interferometers. Die Herleitung der Amplitudentransmission des idealen FPI wirddaher im folgenden ausführlich besprochen. Mit ideal ist hier perfekte Parallelität und Ober-flächengenauigkeit der Platten bzw. ihrer Beschichtungen gemeint, so daß alle Partialwellendas Interferometer mit der gleichen relativen Phase verlassen. Weiterhin soll keine Absorptionauftreten. Detaillierte Diskussionen der Vielstrahlinterferenz allgemein, sowie des Fabry-Pérot-Interferometers an sich, finden sich bei Born und Wolf (1980), Vaughan (1989) und Hernandez(1988).Abbildung 2.4 skizziert die Herleitung des Transmissionspektrums eines Fabry-Pérot-Inter-

ferometers. Das FPI besteht aus einem transparenten Medium der Dicke d und dem Bre-chungsindex n, welches auf beiden Seiten durch teilverspiegelte Flächen begrenzt wird. AlsFabry-Perot Etalons1 werden beidseitig verspiegelte transparente Platten mit fester Dicke d

1Die Bezeichnungen „Fabry-Pérot Etalon und“ „Fabry-Pérot-Interferometer“ werden heute oft synonym ge-braucht


d

n

r+1

t+1r+2t-1

1 2

t+1r+2

t1t+1t

+2

t+1r+2r-1

t+1r+2r-1t+2

t+1r+2r-1r+2

t+1r+2r-1r+2 t-1

t+1r+2r-1r+2r-1

t+1( r-1r

+2 )

2t+2

Φ0Φi

Et,1=

Et,2=

Et,3=

E0

t+1( r-1r

+2 )

nt+2Et,n=

n

Φ0Φi

d

d'

δ

Et,1

Et,2

Abbildung 2.4: Zur Herleitung der transmittierten Amplitude durch ein Fabry-Pérot Etalon (links),und ihrer Phasenverzögerung (rechts). Die Amplitude Et,n+1 ist gegenüber Et,n um den Faktor r+

2 r−1

abgeschwächt, und ihre Phase um ∆ = 2πλ n(2d′ − δ) verzögert.

bezeichnet. Die folgende Herleitung gilt auch für Luftgefüllte FPI aus zwei verspiegelten Plat-ten, wenn das Trägermaterial der beiden Spiegel vernachlässigt wird, so daß das gesamte FPIals nur aus zwei Grenzflächen bestehend modelliert werden kann. Es wird sich später zeigen,dass die durch diese Annahme gewonnenen Gleichungen in guter Näherung auch für FPI auszwei Platten mit endlicher Dicke gelten.Es gilt die Vereinbarung, dass von links nach rechts laufende Wellen mit einem Plus (+)

im oberen Index gekennzeichnet sind, und solche, die von rechts nach links laufen, mit einemMinus (−). Üblicherweise sind die Platten identisch verspiegelt, zugunsten der Allgemeinheitgeht die folgende Betrachtung aber zunächst von unterschiedlichen Reflektivitäten aus. Diekomplexen Amplituden-Reflektions- und Transmissions-Koeffizienten für die beiden Seiten 1und 2 des Etalons sind damit r±1,2 und t±1,2 (vgl. Abbildung 2.4).

2.2.1 TransmissionsprofilEine von links einlaufende Welle der Wellenlänge λ und Einheitsamplitude E0 = 1 trifft unterdem Winkel φ0 auf das Etalon. Dabei wird der Bruchteil r+1 reflektiert und der Bruchteilt+1 in das Etalon transmittiert. Bedingt durch den Brechungsindex n im Etalon beträgt derEinfallswinkel ab hier jeweils φi. Beim Auftreffen auf die Innenseite der zweiten Oberflächewird von der verbliebenen Welle der Bruchteil r+2 reflektiert und t+2 transmittiert, so daß dererste Teilstrahl das Etalon mit der absoluten Amplitude Et,1 = E0 t

+1 t

+2 nach rechts verlässt,

während der Anteil t+1 r+2 nach links zurück auf die erste Oberfläche reflektiert wird. Die weitere

Verfolgung des Strahls zeigt, das die Amplituden Et,n+1 der nachfolgend durch das Etalon


transmittierten Partialwellen, jeweils um einen Faktor r+2 r−1 gegenüber der vorigen Amplitude

Et,n abgeschwächt werden.Zwischen jeweils zwei Teilstrahlen die das Etalon nach rechts verlassen tritt zudem noch

eine Phasenverzögerung auf, die sich durch die Geometrie und den Brechungsindex n (Abb. 2.4rechts) zu

∆ = 2πλn(2d′ − δ) = 2π

λ2nd cosφi (2.1)

ergibt. Damit unterscheiden sich die Amplituden aufeinanderfolgender Partialwellen die dasInterferometer verlassen um den komplexen Faktor r+2 r

−1 e

i∆. Aus der kohärenten Addition derersten m transmittierten Teilstrahlen erhält man dann die Gesamtamplitude

Et(m) = E0 t+1 t

+2

(1 +

m−1∑l=1

(r+2 r−1 )leil∆

). (2.2)

Die Summe in (2.2) bildet eine geometrische Reihe in r+2 r−1 e

i∆, so daß sich für m = ∞ dietotale transmittierte Amplitude

Et = E0t+1 t

+2

1− r+2 r−1 e

i∆ (2.3)

ergibt. Damit erhält man den effektiven Amplituden-Transmissionskoeffizienten τ des Etalonsmit

τ = EtE0

= t+1 t+2

1− r+2 r−1 e

i∆ . (2.4)

Der Intensitäts-Transmissionskoeffizient T = It/I0 des FPI ist dann das Quadrat des Abso-lutwerts von Gleichung (2.4)

T =

∣∣∣t+1 t+2 ∣∣∣21 +

∣∣∣r+2 r−1 ∣∣∣2 − 2∣∣∣r+2 r−1 ∣∣∣ cosψ

, (2.5)

wobei der Phasensprung durch die zwei Reflektionen an den Spiegeln,

ϕ = arg r+2 + arg r−1 , (2.6)

hier mit der Phasenverzögerung ∆ in

ψ = ∆ + ϕ. (2.7)

zusammengefasst wurd. An Dünnfilm- und Metallbeschichtungen kann ϕ von Null bzw. 2πverschieden sein und ist im Allgemeinen winkel- und wellenlängenabhängig. Allerdings ändertϕ nicht die Form des Transmissionsprofiles, welches nur vom Betrag von r und t abhängt,sondern verschiebt es zu einer geringfügig anderen Wellenlänge. Dies hat den gleichen Effektwie eine sehr kleine Änderung des Plattenabstandes, und es ist auch zweckmäßig ϕ als solchezu interpretieren. Der Phasensprung ϕ entspricht dann der scheinbaren Abstandsänderung

δd = ϕ

2πλ

2n, (2.8)


beträgt also maximal eine halbe Wellenlänge.Mit den bisher bereitgestellten Gleichungen können bereits alle interesanten Eigenschaften

des vereinfachten Interferometeraufbaus von Abb. 2.4 berechnet werden. Bezieht man jedochdie den Resonator begrenzenden Platten – und nicht nur ihre Verspiegelung – mit ein, ist dieAnalyse zunächst komplizierter, da jede Platte für sich als Etalon aufgefasst werden muss.Die Situation ist in Abb. 2.5 skizziert. Die Gesamttransmission einer derartigen Anordnungkann mit einem Matrixformalismus ähnlich zu der bei Dünnfilmschichten berechnet werden(van de Stadt und Muller 1985). Allerdings kann so kein durchstimmbares Interferometerhergestellt werden. Die Plattenabstände d, d1 und d2 müssten ja für jede Wellenlänge, auf diedas Interferometer eingestellt wird, exakt aufeinander abgestimmt werden, was aber hier nichtmöglich ist, da d1 und d2 fest sind. Eine Lösung ergibt sich, wenn man dafür sorgt, dass |t+1a| = 1

1a 1b 2a 2b

r1a+

t1a+

t1a+ t1b

+

t1a+ t1b

+ t2a+

t1a+ t1b

+t2a+ t2b

+t1a+ t1b

+ r2a+ t1b-

t1a+ r1b+ t1a

-

d1d

d2

1

n1 n2n

Abbildung 2.5: Transmission und Reflektion and einem FPI aus zwei Platten, die jede für sich ein Fa-bry-PérotEtalon darstellen. Die Platten sind außen Antireflex und innen Reflektiv beschichtet, so daßsich in guter Näherung die Zwei-Spiegel Situation aus Abb. 2.4 ergibt.

und |r+1a| = 0 wird, und entsprechend |t+2b| = 1 und |r+2b| = 0. Damit fällt die jeweils äußereGrenzschicht beider Platten weg, und es resultiert wieder die oben besprochene Situation ausAbb. 2.4. In der Praxis lässt sich dieser Forderung mit Hilfe von Antireflexbeschichtungen aufden Außenseiten der Platten sehr nahe kommen.Unter der Annahme identischer Verspiegelungen lässt sich Gleichung (2.5) dann weiter

vereinfachen. Die Transmittanz eines Dünnfilmschichtsystems ist in beide Richtungen gleich(Macleod 2001), so daß

∣∣t+∣∣ = |t−|. Für identische Verspiegelungen ist weiterhin r−1 = r+2 = rund t1 = t2 = t. Die Intensitätskoeffizienten sind dann T = |t|2 und R = |r|2. Damit kann (2.5)als

T = T 2

1 +R2 − 2R cosψ(2.9)

geschrieben werden. In der Literatur wird dies oft weiter zu

T = T 2

(1−R)2A(ψ) (2.10)


umgeformt. Dabei ist, mit dem Finessefaktor F = 4R/(1−R)2,

A(ψ) = 11 + F sin2(ψ/2)

. (2.11)

die bekannte Airy-Funktion2. Gelegentlich wird auch Gleichung (2.10) Als Airy-Funktion be-zeichnet.Wenn der Amplitudentransmissionskoeffizient t nach Abschnitt 1.2.2 aus der Transferma-

trixmethode bestimmt wird, muss beachtet werden, dass t dort als derjenige Anteil der ein-fallenden Amplitude definiert ist, der durch die Beschichtung in das Substrat transmittiertwird. Die Herleitung zum Transmissionskoeffizienten des FPI geht aber davon aus, dass t derAnteil der durch die Platte (Beschichtung + Substrat) transmittierten Amplitude ist. GemäßGleichung (1.36) muss t also noch mit dem Faktor

√Re(ηm)/Re(ηa) versehen werden, so daß

Energieerhaltung nach |r|2 + |t|2 = 1, gewährleistet ist.Mit Gleichung (2.1) und (2.11) folgen periodische Transmissionsmaxima für

ψ = 2πm, m ∈ N (2.12)

Dann ist die Transmittanz des idealen FPI gleich eins, und zwar unabhängig von den Wertenvon R und T , sofern keine Absorption auftritt. Die Breite des Transmissionsprofils wird abervon R und T beeinflußt. Für ψ = (m + 1)π/2 tritt ebenfalls Resonanz auf, allerdings ist hierdie Transmission minimal und die Reflektion maximal, da sich dann die reflektierten Wellen –und nicht die transmittierten – konstruktiv überlagern.Aus Gleichung (2.1) und (2.11) wird auch klar, wie mit Fabry-Pérot-Interferometern Spektro-

skopie betrieben werden kann. Im Falle von parallel einfallendem Licht kann das Interferometerdurch geringfügige Variation des Plattenabstands d auf beliebige Durchlasswellenlängen einge-stellt werden (Intererferenz gleicher Weglänge), und so das spektrale Profil der Quelle bestimmtwerden. Bei konvergentem Licht treten Interferenzringe auf, deren Radius bei gegebenem Plat-tenabstand von der Wellenlänge abhängt (Interferenz gleicher Neigung, Abbildung 2.6). DerWinkelradius φp dieser Ringe ist mit Gleichung (2.7) und (2.12) gegeben durch

φp = arccos(

1− pλ

2dn

). (2.13)

DerWinkelabstand zweier aufeinanderfolgender Interferenzringe zur gleichenWellenlänge nimmtsomit mit zunehmender Interferenzordnung p ab.Die Wellenlängendifferenz ∆λ für optimale Transmission zwischen normalem Einfall und

dem im Winkel φ ergibt sich ebenfalls mit (2.7) und (2.12) zu

∆λ = λ(cosφ− 1) ≈ −λφ2

2. (2.14)

Mit Abweichung vom normalem Einfall verschiebt sich das Transmissionmaximum also mitdem Quadrat des Einfallswinkels zu kürzeren, blaueren Wellenlängen hin.

2Nach G. Airy ist auch eine weitere Funktion benannt, die in der Optik zur Berechnung des Beugungsmustersvon kreisförmigen Aperturen verwendet wird (Abschnitt 2.3.1).


12

Φp

MonochromatischePunktlichtquelle FPI Linse Bildebene

p

0

Abbildung 2.6: Fabry-Pérot Interferenzringe. Für monochromatisches Licht tritt Transmission nur unterbestimmten Winkeln φp auf.

2.2.2 KenngrößenMit Gleichung (2.9) bzw. ihren Umformungen lassen sich die charakteristischen Kenngrößeneines FPI berechnen und analysieren. Sie sind für die Analyse der Polarisationseigenschaftennicht von zentraler Bedeutung, werden aber zum Verständnis der weiteren Kapitel benötigt.Für die Herleitung sei daher auf die gängige Literatur verwiesen, z.B. Tolansky (1948), Bornund Wolf (1980) und Vaughan (1989).Der freie Spektralbereich (Free Spectral Range, FSR) gibt die Wellenlängendifferenz δλ zwi-

schen zwei aufeinanderfolgenden Transmissionsmaxima an (Abb 2.7, für die also der Phasen-unterschied zwischen beiden Maxima ψ1 − ψ0 = 2π ist. Der freie Spektralbereich ist gegebendurch:

FSR = δλ = λ20

2nd cosφi. (2.15)

Sei ψ1/2 die Phase bei der die Transmittanz nach Gleichung (2.11) auf die Hälfte abgefallenist, dann muss für ψ1/2 gelten, daß F · sin2 ψ1/2

2 = 1. Für große Werte von F (und damitgroße R) wird ψ1/2 klein, so dass der Sinus durch sein Argument genähert werden kann. Damiterhält man für die Phase bei Halbwertsbreite (full width at half maximum, FWHM):

ψ1/2 = 1−R√R

. (2.16)

Das Verhältnis von freiem Spektralbereich zur Halbwertsbreite wird Finesse FR genannt,und wird mit (2.16) durch

FR = 2πψ1/2

= π

2√F = π

√R

(1−R)(2.17)

ausgedrückt. Der Index R soll darauf hinweisen, dass die so berechnete Reflektions-Finesse nurfür ein ideales FPI mit gegebener Reflektivität R gilt. Die effektive Halbwertsbreite in realenInterferometern wird durch diverse Effekte wie Abweichungen von der Parallelität, Mikrorau-higkeit der Spiegel usw. verbreitert.


0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

499.8 499.85 499.9 499.95 500 500.05 500.1 500.15 500.2

Tra

nsm

itta

nz

Wellenlänge / nm

R = 10%R = 50%R = 90%

0.001

0.01

0.1

1

499.8 499.85 499.9 499.95 500 500.05 500.1 500.15 500.2

Tra

nsm

itta

nz

Wellenlänge / nm

R = 10%R = 50%R = 90%

FSR

FWHM

Abbildung 2.7: Wellenlängenabhängige Transmissionskurven in linearer und logarithmischer Skalierungfür ein ideales FPI mit Plattenabstand d = 1.0mm und für unterschiedliche Reflektivitäten.

Abbildung 2.7 zeigt die Transmissionsprofile eines idealen FPI mit unterschiedlichen Reflek-tivitäten. Der Plattenabstand d beträgt dabei 1.0mm. Neben der geringeren Halbwertsbreitewird mit zunehmender Reflektivität auch der Kontrastfaktor

C = (1 +R)2

(1−R)2, (2.18)

das Verhältnis zwischen der minimalen und maximalen transmittierten Intensität, erhöht (Abb. 2.7).Für spektroskopische Anwendungen ist weiterhin das spektrale Auflösungsvermögen wichtig,

das als VerhältnisR = λ0

δλ= mFR (2.19)


der beobachteten Wellenlänge λ0 zur Halbwertsbreite δλ des Instruments bei λ0 definiert wird.Hierbei istm die Interferenzordnungm = ∆/(2π), und ∆ die geometrische Phasenverschiebungnach Gleichung (2.1).

2.2.3 Reale Fabry-Pérot-InterferometerDas ideale Fabry-Pérot-Interferometer wie es in den letzten Abschnitten behandelt wurde,stellt für viele Zwecke eine ausreichend gute Näherung da. Mit zunehmender Finesse steigtjedoch auch der Einfluß von Oberflächenunebenheiten und Abweichungen von der Parallelitätder Platten. Zudem wird die Transmission durch Streuung und Absorption herabgesetzt.

Geometrische Fehler

Um für einen gegebenen freien Spektralbereich die Finesse, und damit das Auflösungsvermögenweiter zu steigern, müssen nach (2.17) die Reflektivitäten der Verspiegelungen erhöht werden.Dies führt zu einer höheren Anzahl an internen Reflektionen die wiederum zu stärkerer Ver-formung der Wellenfronten führt (Abb. 2.8).

Abbildung 2.8: Eine von links einlaufende, ebene Welle wird beijeder internen Reflektion im FPI stärker deformiert. Dies hat Ein-fluß auf die Abbildungseigenschaften des Instruments.

Im optischenWellenlängenbereich können Oberflächen auf bis zu λ/400 genau poliert werden,d.h. die mittlere Abweichung des Höhenprofils der Oberfläche beträgt nur wenige Nanometervom Sollwert. Komplexe dielektrische Beschichtungen können nicht derart exakt hergestelltwerden. Nach dem Beschichten beträgt die Rauhigkeit bei höchsten Anforderungen noch etwaλ/200 bis λ/150. Bei Reflektivitäten von 95% ist die Intensität dann nach 10 Umläufen, also20 Reflektionen, auf etwa 1/e ≈ 37% abgefallen. Die Wellenfrontdeformation beträgt dabeibereits etwa λ/10. Für beugungsbegrenzte räumliche Auflösung darf diese aber nicht mehr alsλ/15 betragen. Abweichungen von der exakten Parallelität führen ebenfalls zu Wellenfrontde-formationen.Während sich also die Reflektivitätsfinesse FR im Prinzip unendlich steigern lässt, ist die

effektive, oder reale, Finesse F nach oben beschränkt, und kann als Kombination

F =[

1F2R

+ 1F2P

+ 1F2D

]−12

(2.20)

von Reflektivitätsfinesse, der Parallelitätsfinesse FP und der Defektfinesse FD dargestellt wer-den.

Fabry-Pérot Filtergraphen 26

Die effektive Finesse ist also stets geringer als die Reflektivitätsfinesse, und der Beitrag vonOberflächendefekten und Abweichung von der Parallelität kann durch Messung der realen, undrechnerischen Bestimmung der Reflektivitätsfinesse, bestimmt werden.

Absorption

Lichtverluste treten im Resonator sowohl durch Absorption in den Platten, als auch durchStreuung an Verunreinigungen auf. Beides lässt sich im Absorptionskoeffizienten A zusammen-fassen und mit R+ T +A = 1 kann Gleichung (2.10) dann geschrieben werden als

T =(1−A

1−R

)2A(ψ). (2.21)

Absorption verändert also nicht die Breite sondern nur die Höhe der Transmissionsmaxima, undsetzt somit den Kontrastfaktor (2.18) herab. Für reale Interferometer müssen diese Faktorenberücksichtigt werden, um das Instrument an die wissenschaftlichen Anforderungen anzupas-sen.

2.3 Fabry-Pérot Filtergraphen2.3.1 Grundbegriffe der Optik von TeleskopenDie wissenschaftlichen Anforderungen an einen Filtergraphen, wie spektrale Auflösung, Ge-sichtsfeld und Empfindlichkeit (Lichtstärke), beschränken sich teilweise gegenseitig, und be-einflußen daher stark die genaue Konfiguration des Systems. Diese muss wiederum eng andie Konfiguraton des Teleskops angepasst sein, an dem das Instrument zum Einsatz kommensoll. Bevor weiter auf Aufbau und Funktion von Fabry-Pérot-Filtergraphen eingegangen wird,ist es daher zweckmäßig, zunächst einige Grundlagen und Begriffe aus dem Teleskopbau zubesprechen.

Bildenstehung

Die wichtigsten Parameter eines abbildenden optischen Systems lassen sich aus den Abbil-dungsgleichungen der geometrischen Optik,

1f

= 1b

+ 1g,

B

G= − b

g, (2.22)

berechnen. Dabei bezeichnen g und b die Entfernung von Gegenstand und Bild zur Linse mitder Brennweite f , und G und B die Größe von Gegenstand und Bild. Bei einem astrono-mischen Fernrohr ist der Gegenstand soweit entfernt, dass 1/g vernachlässigt werden kannund eine scharfe Abbildung des Gegenstands in der Brennebene (F1) im Abstand f1 von derLinse und mit der Größe B entsteht (Abbildung 2.9). Die Aperturblende (AB) definiert dieEintrittspupille und begrenzt den Durchmesser D und damit die Lichtsammelfläche des Te-leskops. Aufgrund der großen Entfernung zum Gegenstand verlaufen die Strahlen von einem


D

f1

AB/L1 FB/F1

B

g

1

f2

L2Objekt

Abbildung 2.9: Strahlengang in einem astronomischen Teleskop.

Punkt auf dem Gegenstand parallel. Unterschiedliche Punkte auf dem Objekt entsprechen alsoparallelen Strahlbündeln, die aus unterschiedlichen Winkeln auf das Teleskop treffen. Ein 70 cmSonnenteleskop empfängt etwa 500 Watt Strahlungsleistung, von der nur ein Bruchteil durchdie weitere Optik und auf den Detektor geleitet werden darf. Die Feldblende (FB) dient daherzum Ausstanzen eines begrenzten Bereichs des Bildes, deren Druchmesser DF zusammen mitder Brennweite das Gesichtsfeld (Field of View, FOV),

FOV = tan DF

f≈ DF

f, (2.23)

also den Öffnungswinkel des sichtbaren Bereichs auf dem Objekt, definiert. Weitere Linsen(L2. . . ), Spiegel usw. lenken dann das Licht vom Primärfokus weiter auf die Instrumente.

Lichtstärke und Auflösungsvermögen

Die wissenschaftlichen Anforderungen, räumliches Auflösungsvermögen, Gesichtsfeld sowie dieEmpfindlichkeit, bestimmen den DurchmesserD der Eintrittsapertur sowie die effektive Brenn-weite f des Primärfokus. Der Quotient aus Teleskopöffnung D und Brennweite f , heißt Öff-nungsverhältnis, sein Kehrwert

f/# := f

D(2.24)

wird als Öffnungs- oder F-Zahl bezeichnet und oft durch das Symbol f/#, oder einfach mitf/100, für f/# = 100, ausgedrückt.Das Produkt aus der Fläche eines Objekts und dem Raumwinkel, in den es Licht abstrahlt,

wird in der Optik als Etendue oder Durchsatz,

E =∫A

∫ΩdA dΩ, (2.25)

bezeichnet. Bei einem Teleskop ist der Durchsatz in guter Näherung das Produkt aus derFläche der Teleskopapertur und dem Raumwinkel, aus dem die Apertur aus der Entfernungdes Objekts erscheint. Der Durchsatz spiegelt die Energieerhaltung bei der Lichtausbreitung


zwischen Quelle und den Elementen eines optischen Systems wider und ist damit, in einemidealen Instrument, eine Erhaltungsgröße. Soll das Instrument einen hohen Durchsatz, alsogeringe Lichtverluste, aufweisen, legt er den Mindestdurchmesser aller weiteren Pupillenebenenim Strahlengang fest. Sind sie kleiner, fungieren sie als weitere (unerwünschte) Aperturblenden,veringern also den Strahlungsfluss, der von einem Punkt auf dem Objekt zum Detektor gelangt.Die vom Teleskop empfangene Intensität wächst quadratisch mit dem Durchmesser der Öff-

nung, die Intensität in der Bildebene sinkt nach (2.22) quadratisch mit der Brennweite. Um füreine vorgegebene Mindestintensität in der Bildebene die Größe der Abbildung zu verdoppeln,etwa um den benötigten Abbildungsmaßstab für die Pixelgröße eines bestimmten Detektorszu erreichen, ist also auch der doppelte Teleskopdurchmesser notwendig. Die Größe f/# wirddaher auch als Lichtstärke bezeichnet.Die Intensitätsverteilung in der Bildebene, wie sie aus der Abbildung einer Punkt-licht-

quelle resultiert, wird Punktverbreiterungsfunktion (Point spread function, PSF) des Instru-ments genannt. In einem idealen Instrument entspricht die Punktverbreiterungsfunktion demAbsolutquadrat der Fouriertransformierten der Amplitudenverteilung in der Eintrittspupille,

PSF(x′, y′) =

∣∣∣∣∣∣ 12π

+∞∫−∞

+∞∫−∞

Apup(x, y) ei(xx′+yy′) dx dy

∣∣∣∣∣∣2

= |FTApup(x, y)|2 . (2.26)

Dabei sind x, y und x′, y′ die rechtwinkligen Koordinaten in Pupillen bzw. Bildebene. In einemidealen Instrument mit kreisförmiger, gleichförmig ausgeleuchteter Apertur ist die Punktver-breiterungsfunktion durch die Airy-Funktion (Bahner 1967)

I(r′) = I0

[2 J1(q)q

]2(2.27)

gegeben. Dabei ist J1(x) die Besselfunktion erster Ordnung, q = πNA

r′

λ und r′ die radiale Positi-on in der Bildebene. Io ist die Intensität in der Pupillenebene. Für nicht punktförmige Quellenerhält man die Intensitätsverteilung in der Bildebene aus der Faltung der Quellverteilung mitder PSF.Die Winkelauflösung nach Rayleigh bestimmt denjenigen Winkelabstand zweier Punktquel-

len, bei dem das zentrale Beugungsmaximum der einen gerade in das erste Minimum deranderen Quelle fällt (Abb. 2.10). Die Winkelauflösung ist für eine kreisförmige Apertur durch

∆α = 1.22 λD

(2.28)

gegeben. Daraus folgt das lineare Auflösungsvermögen in der Bildebene mit

∆x = 1.22λ f/#. (2.29)

Um dem Nyquist-Shannon’schen Abtasttheorem (Bracewell 2000) zu genügen, darf für beu-gungsbegrenzte Auflösung die laterale Abmessung eines Detektorelements höchstens ∆x/2 be-tragen. Um die räumliche Auflösung nach Gleichung (2.28) auch nutzen zu können, ist alsoein Detektor mit entsprechend dimensionierten Auflösungselementen notwendig, wobei die Ge-samtgröße des Detektors auch an das benötigte Gesichtsfeld angepasst sein muss.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-3 -2 -1 0 1

Inte

nsi

tät

x / π

Quelle 1Quelle 2Summe

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-3 -2 -1 0 1

x / π

Quelle 1Quelle 2Summe

Abbildung 2.10: Querschnitt durch die Airy-Beugungsmuster zweier Punktquellen. Links: nicht aufge-löst, rechts: aufgelöst nach Rayleighkriterium.

2.3.2 Position von Filtern im StrahlengangFür Filter in einem abbildenden Strahlengang kommen zwei Positionen in Frage: in einerPupillenebene oder in einer Fokalebene. Beide Montierungen haben ihre Vor- und Nachteiledie sich in gewissem Sinne komplementär zueinander verhalten.Die Blauverschiebung des Transmissionsmaximums nach Gleichung (2.14) beschränkt in bei-

den Fällen die minimale Öffnungszahl des Strahlengangs. Um ein Überlappen mit höherenOrdnungen zu vermeiden, darf die Wellenlängenverschiebung bei maximalem Einfallswinkelnicht größer als der halbe freie Spektralbereich bei normalem Einfall sein. Also gilt mit Glei-chung (2.14) und (2.15) für den Einfallswinkel

φmax ≈

√λ

2nd, (2.30)

wobei d der Plattenabstand und n der Brechungsindex zwischen den Platten ist.

Kollimierte Montierung

Das FPI befindet sich in der Pupillenebene P. Licht von einem Punkt in der Fokalebene F1wird durch die Linse L1 kollimiert durch das FPI geführt, und durch L2 auf die BildebeneF2 abgebildet (Abb. 2.11). Alle von einem Punkt in in F1 ausgehenden Strahlen werden al-so in einem parallelen Bündel durch das FPI geführt, und verschiedene radiale Positionen inder Bildebene entsprechen verschiedenen Einfallswinkeln auf das Interferometer. Für eine fe-ste Scanposition verschiebt sich somit nach Gleichung (2.14) das Transmissionsmaximum mitzunehmendem radialem Abstand von der Bildmitte immer weiter zu kürzeren Wellenlängen.Dies führt zu einem radialen Wellenlängengradienten durch die Bildebene. Für die Datenaus-wertung müssen die Bilder aller Scanpositionen entsprechend miteinander verrechnet werden.Außerdem muss der Scanbereich entsprechend Gleichung (2.14) größer gewählt werden, was zuetwas schlechterer zeitlicher Auflösung führt.


L1 L2 F2FPI / PF1

Abbildung 2.11: Strahlengang in der kollimierten Montierung

F1 L1 L2 L3 L4 F3P1 FPI / F2 P2

Abbildung 2.12: Strahlengang in der telezentrischen Montierung

Von jedem Bildpunkt wird die gesamte Oberfläche des Interferometers beleuchtet, so daß sichlokale Rauhigkeiten oder Inhomogenitäten stets auch auf die gesamte Bildebene auswirken. DieFinesse des FPI wird entsprechend über die gesamte Bildebene verschlechtert.

Telezentrische Montierung

Das FPI befindet sich in der Fokalebene F2. Licht von einem Punkt in der Fokalebene F1wird durch die Linse L1 kollimiert, und dann durch L2 in das FPI abgebildet. L3 kollimiertwiederum und L4 bildet schließlich in die Fokalebene F3 ab. (Abb. 2.12).Alle von einem Punkt in F1 ausgehenden Strahlen werden also in einem konvergenten Bündel

durch das FPI geführt, dessen Öffnungswinkel durch den Pupillendurchmesser und die Brenn-weite von L2 gegeben ist. In der telezentrischen Montierung wird die Pupille kollimiert durchdas FPI geführt und verschiedene radiale Positionen in der Pupille entsprechen verschiedenenEinfallswinkeln auf das Interferometer. Für eine feste Scanposition verschiebt sich daher mitGleichug (2.14) das Transmissionsmaximum mit zunehmendem radialem Abstand von der Pu-pillenmitte immer weiter zu kürzeren Wellenlängen. Die äußeren Bereiche der telezentrischenPupille werden also mit blauerem Licht beleuchtet, und die Punktverbreiterungsfunktion istals Fouriertransformierte der Pupillenausleuchtung für die blaueren Wellenlängen schmaler alsfür die unter senkrechten Einfall. Die Punktverbreiterungsfunktion enthält im telezentrischenStrahlengang also ebenfalls einen radialen Wellenlängengradienten.Enthält nun das einfallende Licht einen spektralen Gradienten, z.B. aus einer Absorptions-

linie, resultiert dies, von der Bildebene aus betrachtet, in einer radialen Intensitätsvariation


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

norm

iert

eIn

tensi

tät

relative Wellenlänge / pm

Abbildung 2.13: Pupillenapodisation (berechnet) an einer Absorptionslinie durch ein FPI in einemtelezentrischen f/128-Strahlengang (FWHM ≈ 2 pm).

durch die Pupille P2 (Pupillenapodisation). Diese Variation hängt neben der Steigung auchvom Vorzeichen des Gradienten ab, d.h. sie unterscheidet sich je nachdem ob das Interferome-ter auf die blaue oder die rote Seite einer Spektrallinie zentriert ist. Abbildung 2.13 zeigt dieVerhältnisse für ein FPI mit einer Halbwertsbreite von ca. 2 pm in einem f/128-Strahlengang.Zusammen mit der Wellenlängenabhängigkeit der Punktverbreiterungsfunktion können sichleicht unterschiedliche gemessene Intensitäten für gleichweit vom Linienzentrum entfernte Po-sitionen ergeben. Dies wiederum kann bei Dopplermessungen zu künstlichen bzw. falschenGeschwindigkeitssignalen führen (Beckers 1998). Für große F-Zahlen (f/# > 200) kann diePupillenapodisation weitgehend vernachlässigt werden (von der Lühe und Kentischer 2000;Scharmer 2006).Mit Hinblick auf die Blauverschiebung ist der maximale Akzeptanzwinkel, bzw. die minimale

F-Zahl, für eine geforderte spektrale Auflösung dann nach Gleichung (2.14) durch

f/#min = 12

(2 ∆λλ

)− 12

(2.31)

gegeben. Diese Abschätzung ist sehr optimistisch, und gilt nur für ein ideales FPI, bei dem dieeffektive Finesse, und damit das Auflösungsvermögen, nicht durch Oberflächendefekte zusätz-lich herabgesetzt wird.Da das FPI in einer Bildebene steht, werden Verschmutzungen sowie Oberflächendefekte

(bzw. deren Auswirkungen) direkt abgebildet, was zu einer schlechteren Abbildungsqualitätführt. Insbesondere zeigen telezentrisch montierte Filter dadurch oft einen Orangenhaut-Effekt.Andererseits wirken sich lokale Abweichungen von der Idealität auch nur auf jeweils begrenzteGebiete in der Bildebene aus.


2.3.3 FPI im ScanmodusZum Durchstimmen des FPI auf die zu beobachtenden Wellenlängen wird der Plattenabstandüber Piezoaktuatoren verändert. Die benötigte Variaton ε des Plattenabstandes liegt dabeiim Nanometerbereich, während der maximal erzielbare Hub der Piezoaktuatoren bei wenigenMikrometern liegt. Um ein FPI mit Plattenabstand d in Resonanz zur Wellenlänge λc zubringen muss d nach Gleichung (2.1) um

ε = deff − floor(deffλc

)deff (2.32)

verkleinert werden. Dabei ist deff = d+ δd der mit Gleichung (2.8) um die Phasenverschiebungnach Reflektion korrigierte, effektive Plattenabstand.Eine derart exakte Positionierung erfordert einigen technischen Aufwand. Die Halterungen

der Etalons müssen aus Materialien mit niedrigem Temperaturausdehnungskoeffizienten gefer-tigt werden, z.B. Invar Stahl, zudem muss die Temperatur konstant gehalten werden. Außerdemist eine ständige Kontrolle und Korrektur von Abstand und Parallelität nötig.

2.3.4 Multi-Fabry-Pérot InterferometerUm die benachbarten Ordnungen um die Beobachtungswellenlänge zu unterdrücken, müssenentsprechend schmale Vorfilter eingesetzt werden. In der Sonnenbeobachtung ist man in derkomfortablen Situation, dass die Quelle auch bei sehr hohen spektralen Auflösungen noch ge-nügend Intensität liefert, um Beobachtungen mit kurzen Integrationszeiten (Millisekunden)zuzulassen. Die spektrale Auflösung λ/∆λ typischer Filtergraphen in der Sonnenbeobachtungbeträgt bis zu einigen Hundertausend. Bei gegebener Reflektivität und gewünschter Auflösungergeben sich nach Gleichung (2.19) Plattenabstände um einen Millimeter. Der freie Spektralbe-reich ist dabei so gering, dass extrem schmalbandige Vorfilter verwendet werden müssten (ca.0.1 nm Halbwertsbreite). Entsprechend schmale Filter haben aber eine geringe Transmissionvon nur wenigen Prozent, so dass ein Vorteil von FPI, die hohe Lichtausbeute, weitgehendaufgehoben würde.Eine Möglichkeit besteht nun darin, mehrere FPI mit leicht unterschiedlichen Freien Spek-

tralbereichen zu verwenden, so daß die benachbarten Ordnungen um die Zentralwellenlängeweitgehend unterdrückt werden. Das kombinierte Transmissionsspektrum eines solchen Multi-Fabry-Pérot-Interferometers (MFPI) ist dann in erster Näherung das Produkt

Tkombi(λ, φ) = Tpf(λ, φ)n∏i=1Ti(λ, φ) (2.33)

der Transmissionsprofile der n einzelnen Interferometer sowie das des Vorfilters, Tpf(λ, φ), ge-geben. Daraus resultiert zusätzlich zu einem weitaus größeren effektiven Freien Spektralbereichein stark erhöhter Kontrast C sowie eine schmalere effektive Halbwertsbreite (Abb. 2.14). Glei-chung (2.33) gilt nur näherungsweise weil sie Rückreflektionen zwischen den einzelnen FPIaußer Acht lässt. Der Anteil an Intensität, der von einem FPI nicht transmittiert wird, wirdreflektiert. Bei Hintereinanderschaltung mehrerer FPI führt dies dazu, dass Licht in Wellen-längen außerhalb des gemeinsamen Transmissionsmaximums zwischen den einzelnen Etalonshin und her reflektiert und dabei jeweils ein Teil transmittiert wird. Dadurch resultiert ein


gewisser Anteil an Streulicht, sogenannten Geistern. Diese können durch geschickte Wahl derPlattenabstandsverhältnisse minimiert werden. Der sowieso benötigte Vorfilter wird üblicher-weise zwischen zwei der Etalons gesetzt, um so die Geisterreflektionen weiter zu dämpfen.

1e-10

1e-09

1e-08

1e-07

1e-06

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

499.7 499.8 499.9 500 500.1 500.2 500.3

Tra

nsm

itta

nz

Wellenlänge / nm

FPI 1FPI 2FPI 3

FPI 1+2+3

Abbildung 2.14: Nach Gl. (2.33) berechnetes Transmissionsspektrum der einzelnen FPI eines MFPI so-wie ihrer Kombination. Der effektive FSR sowie der Kontrast werden durch geeignete Wahl der einzelnenFSR um ein Vielfaches erhöht.

Das Fabry-Pérot-Spektrometer TESOS des Kiepenheuer-Instituts am VTT auf Teneriffa ver-wendet z.B. drei identische FPI in Reihe mit Plattenabständen von d1 = 1.3mm, d2 = 0.617 d1und d3 = 0.439 d1 (Kentischer u. a. 1998; Tritschler u. a. 2002). Abbildung 2.14 zeigt das berech-nete Transmissionsspektrum eines Triple-FPI Filtergraphen mit diesen Abstandsverhältnissenund für Reflektivitäten der Etalons von 95%.Die Plattenabstände der einzelnen FPI können nur in diskretenWerten verändert werden. Bei

nicht ganzzahligen Abstandsverhältnissen können die einzelnen FPI daher beim Scannen etwasgegeneinander verstimmt sein was wiederum in Intensitätsvariationen resultiert. Diese betragenweniger als ein Prozent, sind periodisch, und können daher z.B. durch einen Fourierfilter ausdem aufgenommenen Spektrum herausgefiltert werden (Tritschler u. a. 2002).Die in Abschnitt 2.2.3 angesprochenen Phasen- bzw. Wellenfrontdeformationen addieren sich

bei Verwendung mehrerer FPI. Für Beugungsbegrenzte räumliche Auflösung muss dies bei derAuswahl und Konfiguration der FPI beachtet werden.

2.3.5 Vereinbarkeit der wissenschaftlichen AnforderungenFabry-Pérot-Filtergraphen erlauben außerordentlich hohe spektrale Auflösungen bei gleichzei-tig höchstmöglicher Transmissivität. Je schmaler aber der Durchlassbereich des Filters wird,desto weniger Intensität gelangt auf den Detektor. Das Dilemma dabei ist, dass nach Ab-schnitt 2.3.1 bei beugungsbegrenzter Auflösung die Intensität für ein Auflösungselement in derBildebene eine Konstante ist, egal wie groß die Teleskopöffnung gewählt wird. Daher müssen

Intrinsische Polarisation des idealen FPI 34

für abbildende Spektroskopie der Strahlengang und die verwendeten optischen Elemente aufDurchsatz optimiert werden, um möglichst wenig Lichtverluste zu erlauben – sprichwörtlichjedes Photon zählt.Die Konstanz der Etendue (2.25) bedingt für ein Teleskop mit Durchmesser D und einem

Gesichtsfeld mit Öffnungswinkel ϑ den Mindestdurchmesser

Dmin = Dϑ· f/# (2.34)

der Etalons in einem Strahlengang mit der F-Zahl f/#. Für einen kollimiert montierten Filterkann f/# im Prinzip beliebig klein gewählt werden – mit den oben aufgeführten Konsequenzenfür die Aufnahme und Interpretation der Daten.Für telezentrisch montierte Filter ergibt sich ein minimaler Wert für f/# durch die geforder-

te spektrale Auflösung, die durch die unter schiefem Einfall verursachte Blauverschiebung (2.14)des Durchlassbereichs begrenzt wird. Für einen Filtergraphen in einem f/250-Strahlengang miteinem Gesichtsfeld von 30 Bogensekunden und einer spektralen Auflösung von 2 pm ergibt daseinen Etalondurchmesser von etwa 200mm für das geplante Advanced Technology Solar Te-lescope mit 4m Öffnung (Hubbard u.a. 2006; Robinson, Balasubramaniam und Gary 2006).Etalons dieser Größe liegen an der Grenze des technisch Machbaren.Die Blauverschiebung hängt nach Gleichung (2.14) vom Winkel φ des Strahls im Fabry-

Pérot-Resonator ab. Verwendet man statt luftgefüllter Etalons ein transparentes Medium miteinem wesentlich höheren Brechungsindex, z.B. ein transparentes Öl (n ≈ 2), könnte der Winkelim Etalon auf

φÖl = nLuftnÖl

sinφLuft ≈1nÖl

(2.35)

verringert werden. Dies würde ein 1/nÖl-mal so großes Öffnungsverhältnis mit entsprechendum 1/nÖl verkleinerten Etalon-Durchmessern erlauben (Gary, Balasubramaniam und Robinson2005).

2.4 Intrinsische Polarisation des idealen FPIIn Abschnitt 2.2 wurde der komplexe Amplituden-Transmissionskoeffizient des idealen Fa-bry-Pérot-Interferometers bestimmt. Es hat sich gezeigt, dass dieser von den Amplituden-Reflektionskoeffizienten der Plattenbeschichtung abhängt. Diese wiederum können mit dem inAbschnitt 1.2 beschriebenen Matrixformalismus aus dem Aufbau der Dünnfilmbeschichtungberechnet werden. Weiterhin sind die so bestimmten Reflektionskoeffizienten polarisations-abhängig, so dass die Transmittanz des idealen FPI ebenfalls polarisationsabhängig ist. Dierechnerische Bestimmung derselben ergibt eine Abschätzung für die Polarisationseigenschaftendes realen FPI, die, bedingt durch Defekt- und Parallelitätsfinesse, stärker ausfallen könnenals am idealen Instrument. Im Folgenden soll die durch die interne Vielfachreflektion unterschiefem Einfall hervorgerufene, intrinsische Polarisation des idealen FPI untersucht werden.

2.4.1 Jones MatrixDie Polarisationstransferfunktion (PTF) eines vollständig polarisierenden optischen Instru-ments kann nach Abschnitt 1.1.1 sehr elegant durch dessen Jones-Matrix ausgedrückt werden.


x

z

y

ϑ

ϕp

sk

n

FPI

Abbildung 2.15: Zur Transformation zwischen x, y- undp, s-Komponenten. Die Einfallsebene wird durch denNormalenvector n der FPI-Oberfläche sowie dem Wel-lenvektor k der einfallenden Welle aufgespannt. Fürkleine Einfallswinkel φ ist p, s um den Azimutalwinkelϑ gegenüber x, y gedreht.

Für ebene Wellen bzw. monochromatisches Licht, welches unter dem gleichen Einfallswinkelauf das FPI fällt, ist die Vorraussetzung der vollständigen Polarisation beim idealen FPI ge-geben, weil keine Absorption, Streuung oder Verformungen der Wellenfronten stattfindet. DieJones-Matrix enthält die Transferkoeffizienten für die x- und y- Komponenten des elektrischenFeldes. Für ein FPI entsprechen diese dem Transmissionskoeffizienten aus Gleichung (2.4),wenn dieser für die s- und p-Komponenten getrennt berechnet wird. Dazu müssen die x- undy-Komponenten der einfallenden Amplitude zunächst in die p- und s-Komponenten an der Ein-fallsebene transformiert werden. Abbildung 2.15 verdeutlicht die Situation. Wenn der Azimu-talwinkel ϑ gleich null ist und der Einfallswinkel φi sehr klein, ist die senkrechte Komponente sparallel zu y und die parallele Komponente p annähernd parallel zu x. Für kleine Einfallswinkelgenügt zur Transformation also eine Rotation um die z-Achse mit der Rotatationsmatrix

R(ϑ) =[

cosϑ sinϑ− sinϑ cosϑ

]. (2.36)

Hieraus kann dann die einfallende Amplitude in Form des Jones-Vektors E in x, y-Darstellungüber [

EpEs

]=R(ϑ)

[ExEy

](2.37)

in die p, s-Komponenten überführt werden. Die Rücktransformation erfolgt analog über

Ex,y =R(−ϑ) Es,p. (2.38)


Damit und mit Gleichung (2.4) kann schließlich die Jones-Matrix in x, y-Koordinaten,

J (λ, λc, φ, ϑ) =R(−ϑ)[τp 00 τs

]R(ϑ)

=[

τp cos2 ϑ+ τs sin2 ϑ τp cosϑ sinϑ− τs sinϑ cosϑτp sinϑ cosϑ− τs cosϑ sinϑ τp sin2 ϑ+ τs cos2 ϑ

], (2.39)

für das FPI aufgestellt werden. Für ein gegebenes FPI hängt J also vom Einfallswinkel φ, demAzimutalwinkel ϑ, der Wellenlänge λ der einfallenden Welle sowie der Zentralwellenlänge λc,auf die das FPI eingestellt ist, ab. Für ansonsten feste Parameter entsprechen die Matrixele-mente J 11 und J 22 den Amplituden-Transmissionskoeffizienten für die x- und y-Komponentender einfallenden Jones-Vektoren, und die Elemente auf der Nebendiagonalen beschreiben dieWechselwirkung zwischen x- und y-Komponenten bei Durchgang durch das FPI.

2.4.2 Qualitatives VerhaltenKonkrete Berechnungen sind aufgrund des hohen Rechenaufwandes für die Transfermatrix-methode für Dünnfilmschichtsyteme nur numerisch möglich (Kap. 3). Qualitative Aussagenkönnen jedoch auch anhand des Transmissionskoeffizienten des FPI (2.5),

τ(λ, φ) = t+1 (λ, φ) t+2 (λ, φ)1− r+2 (λ, φ) r−1 (λ, φ) ei∆(λ, φ) , (2.40)

getroffen werden. Zur Verdeutlichung ist hier die Wellenlängen- und Winkelabhängigkeit vonr, t sowie ∆ explizit angegeben. Zunächst einmal verschwindet nach Abschnitt 1.2 bei senk-rechtem Einfall generell die Polarisationsabhängigkeit von Transmission und Reflektion anGrenzschichten. In diesem Fall ist also auch die Transmission des FPI unabhängig von derPolarisation. Weiterhin ist für Wellen, die die Resonanzbedingung (2.12) erfüllen, auch beischiefem Einfall der Betrag des Transmissionskoeffizienten gleich eins, so dass hier nur ellipti-sche Polarisation induziert wird. Für monochromatisches Licht tritt lineare Polarisation alsonur unter schiefem Einfall bei gleichzeitiger Verletzung der Resonanzbedingung auf.Derart quasi-monochromatisches Licht würde sich aber der spektroskopischen Untersuchung

mit Fabry-Pérot-Interferometern verschließen. Der Durchlassbereich des Interferometers mussfür spektroskopische Zwecke natürlich schmaler als die schmalste zu untersuchende Linienbrei-te sein, also wird die Resonanzbedingung von einem Teil des einfallenden Lichts nicht erfüllt;genaugenommen erfüllt nur ein verschwindend kleiner Teil die Resonanzbedingung exakt. Fürjede von der Resonanz abweichende Wellenlänge ergibt sich aber nach Gleichung (2.40) einanderer, von rp,s und tp,s abhängiger, Amplituden-Transmissionskoeffizient τ , so daß das In-terferometer für Licht endlicher spektraler Breite partiell polarisierend wirkt. Da der Jones-Formalismus nur vollständig polarisiertes Licht behandeln kann, muss dazu auf die Müller-Stokes-Darstellung zurückgegriffen werden.

Kollimierter vs. telezentrischer Strahlengang

Aus der Struktur der Jones-Matrix (2.39) ergeben sich zunächst grundlegend unterschiedlichequalitative Verhaltensweisen von kollimiert und telezentrisch montierten FPI. Die Abhängig-keit der Matrixelemente vom Azimutalwinkel ist für einen festen Einfallswinkel periodisch


in π, damit sind die Polarisationsänderungen für ein telezentrisches FPI punktsymmetrischzur Mitte der Pupille, und punktsymmetrisch zur Mitte des Bildfeldes in einem kollimiertenStrahlengang. In beiden Fällen mitteln sich Polarisationsänderungen also über einen Vollkreisentlang des Azimutalwinkels heraus. Allerdings findet diese Aufhebung beim telezentrisch mon-tierten FPI für jeden einzelnen Bildpunkt statt, da jeder Punkt über einen Strahlkonus mitgleichem Öffnungswinkel geformt wird. Im kollimierten Strahlengang hingegen ergibt sich einbildfeldabhängiger Polarisationsgradient.

2.4.3 Stokes-ParameterUm die für praktische Zwecke aussagekräftigeren Stokes-Parameter zu bestimmen, muss diemit Hilfe der Jones-Matrix berechnete Intensität spektral über den Durchlassbereich des In-terferometers integriert werden. Für paralleles Licht der spektralen, polarisierten Amplitu-denverteilung E(λ), das unter dem Einfallswinkel φ und dem Azimutalwinkel ϑ auf das aufλc zentrierte Interferometer einfällt (Abb. 2.15), ergeben sich die vier zeitgemittelten Stokes-Parameter I,Q, U, V dann mit

I(λc, φ, ϑ) =∫Λ|J (λ, λc, φ, ϑ) E(λ)|2 dλ (2.41)

Q(λc, φ, ϑ) =∫Λ|J (λ, λc, φ, ϑ) E(λ) ex|2 − |J (λ, λc, φ, ϑ) E(λ) ey|2 dλ (2.42)

U(λc, φ, ϑ) = 2∫Λ|J (λ, λc, φ, ϑ) E(λ) ex| |J (λ, λc, φ, ϑ) E(λ) ey| cos δ dλ (2.43)

V (λc, φ, ϑ) = 2∫Λ|J (λ, λc, φ, ϑ) E(λ) ex| |J (λ, λc, φ, ϑ) E(λ) ey| sin δ dλ, (2.44)

wobei J (λ, λc, φ, ϑ) die Jones-Matrix (2.39) des Interferometers ist, ex, ey die Einheitsvekto-ren in x- und y-Richtung bezeichnen, und δ = arg(J ey)− arg(J ex) der relative Phasenunter-schied zwischen der y- und x-Komponente von J ist. Der Integrationsbereich Λ erstreckt sichhier über einen freien Spektralbereich um die Zentralwellenlänge λc des FPI, von λc − 1

2FSRbis λc + 1

2FSR.Damit können für ein FPI im kollimierten Strahlengang die Stokes-Parameter in der Bild-

ebene, oder, für ein FPI im telezentrischen Strahlengang, die Stokes-Parameter in der Pupille-nebene berechnet werden. Um für ein telezentrisches FPI die Polarisation in der Bildebene zuberechnen, muss die Punktverbreiterungsfunktion spektral integriert werden.Diese Integrale können nicht analytisch gelöst werden. Kapitel 3 beschäftigt sich daher mit

der numerischen Berechnung der Stokes-Parameter für verschiedene Konfigurationen von Fa-bry-Pérot-Interferometern.

2.4.4 Müller-MatrixEine beliebige Jones-Matrix kann direkt in eine Müller-Matrix umgerechnet werden. Diesegilt dann aber nur für monochromatisches Licht und ist immer vollständig polarisiert. ZurBerechnung der vollständigen Müller-Matrix des idealen FPI muss daher mit numerischenMethoden nach den Gleichungen (1.21) und (2.41) bis (2.44) vorgegangen werden.

Kapitel 3

Numerische Rechnungen

3.1 Ziel und MethodeEs soll die instrumentelle Polarisation eines idealen Fabry-Pérot-Filtergraphen modelliert wer-den. Dabei sollen telezentrisch und kollimiert montierte Filter untersucht und unterschiedlicheVerspiegelungen verglichen werden. Die berechneten Größen müssen durch Messungen zugäng-lich sein.Zu diesem Zweck wird ein ideales Fabry-Pérot-Interferometer, wie in Abschnitt 2.2 be-schrie-

ben, in einem numerischen Code modelliert. Die Grundlage hierzu besteht in der ebenfallsnumerischen Berechnung der Transmissions- und Reflektions-Koeffizienten an dielektrischenDünnfilmschichten (Abschnitt 1.2). Um auch Phaseneffekte mit einbeziehen zu können, basie-ren die Rechnungen dabei auf der elektrischen Feldamplitude.Die berechneten Größen sind zum einen die ellipsometrischen Winkel Ψ und ∆ nach Ab-

schnitt 1.3.2 und zum anderen die Stokes-Parameter sowie die Müller-Matrix (Abschnitt 1.1.2).Die Ellipsometrie stellt eine präzise und relativ einfach zu realisierende Methode zur Bestim-mung von Polarisationseigenschaften dar, und die Müller-Matrix ist die relevante Größe zurKalibration von Instrumenten.Die meisten der folgenden Rechnungen finden bei einer Wellenlänge von 630 nm statt. Bei

630.25 nm liegt eine solare Eisenlinie die häufig für Magnetfeldmessungen verwendet wird (Stix1989) (siehe auch Abb. 1 auf Seite 5).

3.2 ImplementierungDer Code ist vollständig in der Programmiersprache C geschrieben. Für komplexwertige Opera-tionen, numerische Integration usw. wird die GNU Scientifc Library (GSL)1, eine Open-SourceNumerikbibliothek für C, verwendet. Diskrete Fouriertransformationen (DFT) werden mit derFastest Fourier Transform in the West (FFTW)2 Bibliothek durchgeführt. Um den Code mög-lichst flexibel einsetzen zu können, ist er in verschiedene Programmbibliotheken aufgeteilt, dieihrerseits aus unterschiedlichen Modulen bestehen.

1http://www.gnu.org/software/gsl/2http://www.fftw.org

38

http://www.gnu.org/software/gsl/

http://www.fftw.org

Implementierung 39

3.2.1 ModuleDie Struktur des Codes ist in Abbildung 3.1 gezeigt. Um die Verwendung einfach zu halten,bieten die einzelnen Module ihre Funktionalität jeweils über ein objektorientieres API (Appli-cation Programming Interface) an.

tfmlDünnsicht Filme

fresnelFresnel Brechung

libmultilayer

fpiFabry-Perot Interferometer

filtergraphFabry-Perot Filtergraphen

jonesJones Vektor / Matrix

libfpi

Anwendungen

FFTWGSL

StokesMüller-Stokes Formalismus

Abbildung 3.1: Strukturdiagramm des numerischen Codes

Codebeispiele zur Benutzung der Module finden sich im Anhang B.

Thin-Film Multilayer

Das Modul tfml (Thin-Film Multilayer) implementiert die in Abschnitt 1.2 besprochene Me-thode von Macleod (2001) und bildet die Grundlage aller weiteren Rechnungen. Der Aufbau desSchichtsystems wird dabei über ein Array mit den komplexen Brechungsindizes der Materiali-en sowie der zugehörigen Schichtdicken definiert, und diese dann dem Konstruktor übergeben.Etwa für eine λ/4 Schicht Zinksulfid auf Glas:1 gsl_complex ZnS = gsl_complex_rect (2.30, 0.0);2 gsl_complex glass = gsl_complex_rect (1.0, 0.0);3 double lambda = 500E-9;4 gsl_complex *layers [] = &ZnS ;5 double thicks [] = lambda /4 ;6 tfml_h *ml = tfml_alloc (air , glass , 1, layers , thicks );

Mit1 gsl_complex angle = gsl_complex (0.5 / 128, 0);2 double lambda = 500E-9;3 tfml_recalc (ml, lambda , angle );4 gsl_complex tp = tfml_get_atp (ml);5 double Rs = tfml_get_irs (ml);

Implementierung 40

kann dann die Transfermatrix des Systems für die gegebene Wellenlänge und Einfallswinkelberechnet werden, sowie die Reflektions- und Transmissionskoeffizienten für Amplituden undIntensität abgefragt werdenFür eine gegebene Wellenlänge speichert tfml die Reflektions- und Transmissionskoeffizi-

enten zu unterschiedlichen Einfallswinkeln zwischen, so daß bei einem späteren Aufruf vontfml_recalc() keine aufwändige Neuberechnung der Transfermatrix durchgeführt werdenmuss. Dies beschleunigt z.B. die Berechnung von unpolarisiertem Licht erheblich, da hier übersehr viele einzelne Wellen mit statistisch gleichverteilten Polarisationsrichtungen gemittelt wer-den muss.

Jones-Vektoren und Matrizen

Polarisierte ebene Wellen werden im Programmcode durch Jones-Vektoren dargestellt. Sie sindgemäß Gleichung (1.4) als zweikomponentige komplexwertige Vektoren implementiert, undwerden im Konstruktor in Polarform angegeben, etwa1 jonesv j45 = jonesv_new (1.0, 0, 1.0, 0);

für eine in +45° polarisierte Welle.

Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen

Das stokes-Modul implementiert einfache Datentypen für Stokes-Vektoren und Müller-Matrizen,sowie entsprechende Funktionen für die gängigen Operationen darauf. Mit1 stokesv s = stokesv_new (1, 1, 0, 0);

wird etwa ein vollständig Q-polarisierter Stokes-Vektor erstellt, der dann über1 jonesv lightsource (double lambda) 2 return jonesv_new (1, 0, 1, 0);3

5 double range = 0.5 * fpi_fsr (fpi);6 mullerm m = fpiutil_get_mullerm (fpi , range ,7 inclination , azimuth , &lightsource );8 stokesv_propagate (&m, &s);

mit der Müller-Matrix m eines FPI multipliziert werden kann. Die Müller-Matrix wird dabeiaus der gesamten, über den angegebenen Wellenlängenbereich integrierten Intensität unterAnwendung der Gleichungen (1.21) und (2.41) bis (2.44) berechnet. Als „Lichtquelle“ dientdabei ein Funktionszeiger auf eine Funktion, die für eine gegebene Wellenlänge einen Jones-Vektor zurückgibt. Im Beispiel oben ist dies eine „weiße“ Lichtquelle mit konstanter Intensität.

Filtergraph

Das filtergraph Modul implementiert einige Funktionen eines Filtergraphen, der auch ausmehreren FPI bestehen kann. Das Modul dient hauptsächlich dazu, Funktionen wie etwa dieBerechnung von polychromatischen Pupillen oder Bildfeldern zu kapseln. Die PSF für eineeinzelne Wellenlänge wird dabei nach Gleichung (2.26) aus dem Amplitudenfeld in der Pupille

Resultate 41

berechnet, und diese dann über den Durchlassbereich des Filtergraphen integriert. Die Stokes-Profile für Pupille und PSF werden in FITS Dateien3, einem in der Astronomie gebräuchlichenDatenaustauschformat, gespeichert.

3.3 Resultate3.3.1 Breitband-ReflektionsbeschichtungenDer Aufbau von Dünnfilmbeschichtungen wird von den meisten Herstellern als deren geistigesEigentum betrachtet und ist in der Regel nicht zur Einsicht verfügbar. Dies gilt auch für die fürdiese Arbeit zu Verfügung stehenden Etalons (Kapitel 4). Um die Auswirkung von unterschied-lichen Beschichtungen mit ähnlichen Design-Reflektivitäten vergleichen zu können, werden diefolgenden Rechnungen daher mit zwei unterschiedlichen Breitbandreflektor-Designs aus derLiteratur, sowie zwei einfachen λ/4-Stapeln durchgeführt. Gemeinsamkeiten in den berechne-ten, qualitativen Polarisationseigenschaften für die verschiedenen Beschichtungen sollten dannzumindest auch qualitative Vergleiche mit Messungen zulassen.Beschichtung A (Netterfield, Sainty und Schaeffer 1980) ist ein 13-Lagen-System aus Zink-

sulfid (ZnS, n = 2.3@550 nm) und Kryolith (n = 1.35@550 nm) auf einem Quartzsubstrat(Tab. A.1, Anhang A). Beschichtung B ist ein 21-Lagen System, entnommen bei Macleod(2001) (Tab A.2). Das Hoch-Index Material ist hier ebenfalls ZnS, statt Kryolith wird aberNa3AlF6 verwendet, was den gleichen Brechungsindex wie Kryolith hat, aber etwas robusterist. Die Beschichtungen C1 und C2 sind λ/4-Stapel aus jeweils sieben bzw. neun Schichten ZnSund Kryolith auf Quartzsubstrat.Die berechneten Reflektivitätskurven der vier Beschichtungen sind in Abbildung 3.2 gezeigt.

Beschichtung B deckt den gesamten Bereich des sichtbaren Spektrums mit einer Reflektivitätvon über 90% ab, Beschichtung A erreicht 90% Reflektivität erst ab etwa 550 nm. Die beidenλ/4-Stapel sind um 550 nm zentriert und erreichen Reflektivitäten von mehr als 90% nur übereinen vergleichsweise schmalen Bereich von weniger als ±100 nm. Sie wurden deswegen in dieAnlyse mit aufgenommen, weil sich dadurch die Auswirkung von unterschiedlichen Reflektivi-täten bei ansonsten gleichem (ähnlichem) Aufbau untersuchen lässt.

3.3.2 EllipsometrieDie Polarisationseigenschaften von vollständig polarisierenden optischen Elementen lassen sichkompakt und anschaulich in Form der beiden ellipsometrischenWinkel Ψ und ∆ (Abschnitt 1.3.2)darstellen. Sie können durch Ellipsometer relativ einfach und präzise nachgemessen werden undstellen damit eine gute Möglichkeit zur experimentellen Verifizierung eines numerischen Mo-dells dar.

Beschichtungen

Abbildung 3.3 zeigt berechnete Karten der ellipsometrischen Winkel Ψ und ∆ in Abhängigkeitvon Wellenlänge und Einfallswinkel. Der maximale Einfallswinkel entspricht hier wieder demin einem f/128-Strahlengang. Die Beschichtungen C1 und C2 sind nur von 470 bis 640 nm

3Flexible Image Transport System, http://heasarc.nasa.gov/docs/heasarc/fits.html

http://heasarc.nasa.gov/docs/heasarc/fits.html

Resultate 42

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

400 450 500 550 600 650 700 750 800

Reflekt

ivit

ät

Wellenlänge / nm

Beschichtung ABeschichtung B

Beschichtung C1Beschichtung C2

Abbildung 3.2: Berechnete Reflektivitätskurven der vier für die Rechnungen verwendeten Beschichtun-gen.

aufgetragen, weil ihre Reflektivität außerhalb dieses Bereichs schnell abfällt. Um die kleinenWinkeländerungen übersichtlicher darzustellen, ist jeweils die Differenz arctan(1) − Ψ aufge-tragen, also die Abweichung von dem Winkel bei dem das Amplitudenverhältnis |ρ| gleich Einsist.

Ψ und ∆ liegen für alle vier Beschichtungen in der gleichen Größenordnung. Bei jeder Be-schichtung treten wellenlängenabhängige Schwankungen auf, und mit zunehmendem Einfalls-winkel nimmt wie erwartet auch die Polarisation zu. Zur Verdeutlichung zeigt Abbildung 3.4einen Querschnitt durch die Winkelabhängigkeit bei 630 nm. Der Einfallswinkel geht dabeiweiter als in den Karten aus Abb. 3.3, bis zum maximalen Einfallswinkel in einem f/64-Strahlengang. Hier zeigen sich bereits deutliche Unterschiede zwischen den Beschichtungenund es fallen große Veränderungen von Ψ nicht immer auch mit großen Veränderungen von ∆zusammen.

FPI

Zum direkten Vergleich mit den Beschichtungen zeigt Abbildung 3.5 die berechneten Ellipso-metriekarten bei Transmission für die mit den vier Beschichtungen bestückten FPI. Die FPIwurden dabei auf Resonanz für die auf der x-Achse angegebene Wellenlänge eingestellt. DieWellenlänge der einfallenden Welle ist dann nach Gleichung (2.14) jeweils so gewählt, daß sie12FWHM unter der Resonanzwellenlänge zum jeweiligen Einfallswinkel liegt, da im Resonanzfallnach Abschnitt 2.4 ja keine lineare Polarisation auftritt. Im Vergleich zu einem Reflektions-prozess an den Beschichtungen alleine sind Ψ und ∆ nach Durchgang durch die FPI um einbis drei Größenordnungen größer.Auffallend ist weiterhin, daß die „Hot-Spots“ nicht bei den gleichen Wellenlängen wie bei

den Beschichtungen liegen. Der Grund dafür wird klar, wenn man sich zusätzlich den Verlauf

Resultate 43

Beschichtung A: atan(1) - Ψ [rad]

400

450

500

550

600

650

700

750

800

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

Ein

falls

win

kel /

rad

0

1e-06

2e-06

3e-06

4e-06

5e-06

6e-06

Δ / rad

400

450

500

550

600

650

700

750

800

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

-5e-06 0 5e-06 1e-05 1.5e-05 2e-05 2.5e-05 3e-05 3.5e-05 4e-05

Beschichtung B: atan(1) - Ψ [rad]

400

450

500

550

600

650

700

750

800

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

Ein

falls

win

kel /

rad

0 2e-07 4e-07 6e-07 8e-07 1e-06 1.2e-06 1.4e-06

Δ / rad

400

450

500

550

600

650

700

750

800

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

-2e-05-1e-05 0 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05 5e-05 6e-05 7e-05 8e-05

Beschichtung C1: atan(1) - Ψ [rad]

480

500

520

540

560

580

600

620

640

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

Ein

falls

win

kel /

rad

0 2e-07 4e-07 6e-07 8e-07 1e-06 1.2e-06 1.4e-06 1.6e-06 1.8e-06 2e-06

Δ / rad

480

500

520

540

560

580

600

620

640

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

-1.5e-05

-1e-05

-5e-06

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

Beschichtung C2: atan(1) - Ψ [rad]

480

500

520

540

560

580

600

620

640

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

Ein

falls

win

kel /

rad

0 2e-07 4e-07 6e-07 8e-07 1e-06 1.2e-06 1.4e-06 1.6e-06

Δ / rad

480

500

520

540

560

580

600

620

640

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

-1.5e-05

-1e-05

-5e-06

0

5e-06

1e-05

1.5e-05

Abbildung 3.3: Berechnete Ellipsometrische Winkel der Amplituden-Reflektionskoeffizienten der Be-schichtungen in Abhängigkeit von Wellenlänge und Einfallswinkel.

Resultate 44

0

1e-06

2e-06

3e-06

4e-06

5e-06

6e-06

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007

Einfallswinkel / rad

atan(1) - Ψ [rad]

A B

C1 C2

0

5e-05

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0.0003

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007


Δ / rad

A B

C1 C2

Abbildung 3.4: Berechnete Abhängigkeit der Ellipsometrischen Winkel der Beschichtungen vom Ein-fallswinkel bei 630 nm.

der Reflektivitäten der Beschichtungen mit der Wellenlänge ansieht (Abbildung 3.6). Dabeiist der Betrag von arctan(1) − Ψ aufgetragen, da es hier nur auf die Stärke der linearen Po-larisation ankommt, nicht auf ihr Vorzeichen. Polarisationseigenschaften und Reflektivität derBeschichtung an der jeweiligen Wellenlänge sind in einem gewissen Grad korreliert. Der Ein-bruch bei den C-Beschichtungen kommt daher, dass sie auf 550 nm zentriert sind. Je größer dieReflektivität der Beschichtungen ist, desto häufiger schwingt die Welle im Resonator, bevorihre Amplitude auf einen bestimmen Bruchteil abgefallen ist, und dementsprechend verstärktsich auch die Polarisation. Das ist auch der Grund, warum FPI C2 eine wesentlich stärkerePolarisation zeigt als FPI C1, obwohl die beiden Beschichtungen alleine etwa gleich starkePolarisation zeigen.Abbildung 3.7 zeigt schließlich zur Verdeutlichung noch einen Querschnitt durch die Winkel-

abhängigkeit von Ψ und ∆ bei 630 nm. FPIB ragt hier bei beiden Werten weit über die anderenhinaus, obwohl die Reflektivitäten an dieser Stelle recht ähnlich sind. Dies ist zumindest einHinweis darauf, daß die Polarisationseigenschaften im Allgemeinen mit der Komplexität derBeschichtung zunehmen.

Abhängigkeit von der Verletzung der Resonanzbedingung

Die in Abbildung 3.5 gezeigten Ellipsometriedaten wurden jeweils für diejenige Wellenlängeberechnet, bei der die Transmission durch das FPI schon auf die Hälfte abgefallen ist. DiePolarisationseigenschaften ändern sich aber bei schiefem Einfall mit der Abweichung der Wel-lenlänge der einfallenden Welle von der Resonanzwellenlänge λr, auf die das FPI eingestelltist. Abbildung 3.8 zeigt Ψ und ∆ für alle FPI als Funktion der Abweichung der Wellenlänge zuλr = 630nm. Zur Verdeutlichung, bei welcher transmittierten Intensität die Effekte auftreten,ist jeweils noch die Transmittanz des FPI bei der jeweiligen Wellenlänge aufgetragen. Der Ein-fallswinkel entspricht hier wieder dem maximalen Einfallswinkel in einem f/128-Strahlengang.Die linke Spalte zeigt jeweils die Abweichung von Ψ zu arctan(1), die rechte Spalte zeigt ∆direkt. Während Ψ eine bipolare Änderung mit einer Nullstelle bei der Resonanzwellenlänge λrzeigt, hat ∆ jeweils dicht bei λr ein Maximum.

Resultate 45

FPI A: atan(1) - Ψ [rad]

400

450

500

550

600

650

700

750

800

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

Ein

falls

win

kel /

rad

-5e-05

0

5e-05

0.0001

0.00015

0.0002

Δ / rad

400

450

500

550

600

650

700

750

800

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

-5e-05 0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004

FPI B: atan(1) - Ψ [rad]

400

450

500

550

600

650

700

750

800

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

Ein

falls

win

kel /

rad

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

Δ / rad

400

450

500

550

600

650

700

750

800

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

-0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005

FPI C1: atan(1) - Ψ [rad]

480

500

520

540

560

580

600

620

640

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

Ein

falls

win

kel [r

ad

]

-7e-05-6e-05-5e-05-4e-05-3e-05-2e-05-1e-05 0 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05

Δ / rad

480

500

520

540

560

580

600

620

640

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

-0.00015

-0.0001

-5e-05

0

5e-05

0.0001

FPI C2: atan(1) - Ψ [rad]

480

500

520

540

560

580

600

620

640

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

Ein

falls

win

kel /

rad

-0.00015

-0.0001

-5e-05

0

5e-05

0.0001

0.00015

Δ / rad

480

500

520

540

560

580

600

620

640

Wellenlänge / nm

0 0.0005

0.001 0.0015

0.002 0.0025

0.003 0.0035

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

Abbildung 3.5: Berechnete Ellipsometrische Winkel der Amplituden-Transmissionskoeffizenten der FPIin Abhängigkeit von Wellenlänge und Einfallswinkel.

Resultate 46

0 2e-05 4e-05 6e-05 8e-05

0.0001 0.00012 0.00014 0.00016 0.00018

0.0002

400 450 500 550 600 650 700 750 800 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

| ata

n(1

)-Ψ

| /

rad

FPI A

ΨR

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

400 450 500 550 600 650 700 750 800 0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

Reflekt

ivit

ät

FPI B

ΨR

0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

5e-05

6e-05

7e-05

480 500 520 540 560 580 600 620 640 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96

| ata

n(1

)-Ψ

| /

rad

Wellenlänge / nm

FPI C1

ΨR

0

2e-05

4e-05

6e-05

8e-05

0.0001

0.00012

0.00014

480 500 520 540 560 580 600 620 640 0.91

0.92

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

Reflekt

ivit

ät

Wellenlänge / nm

FPI C2

ΨR

Abbildung 3.6: Korrelation zwischen Reflektivität der Beschichtung und der Polarisation nach Druch-gang durch die FPI.

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007


atan(1) - Ψ [rad]

FPI A FPI B

FPI C1 FPI C2

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007


Δ / rad

FPI A FPI B

FPI C1 FPI C2

Abbildung 3.7: Berechnete Abhängigkeit der Ellipsometrischen Winkel der FPI vom Einfallswinkel bei630 nm.

Resultate 47

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.00015

-0.0001

-5e-05

0

5e-05

0.0001

0.00015

Abw. von λr / pm

FPI A Transmittanz und atan 1 - Ψ [rad]

TΨ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-5e-05 0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004 0.00045 0.0005

Abw. von λr / pm

FPI A Transmittanz und Δ / rad

TΔ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.0008-0.0006-0.0004-0.0002 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008

Abw. von λr / pm

FPI B Transmittanz und atan 1 - Ψ [rad]

TΨ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

Abw. von λr / pm

FPI B Transmittanz und Δ / rad

TΔ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-7e-05-6e-05-5e-05-4e-05-3e-05-2e-05-1e-05 0 1e-05 2e-05 3e-05 4e-05

Abw. von λr / pm

FPI C1 Transmittanz und atan 1 - Ψ [rad]

TΨ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 2e-05 4e-05 6e-05 8e-05 0.0001 0.00012 0.00014 0.00016 0.00018 0.0002

Abw. von λr / pm

FPI C1 Transmittanz und Δ / rad

TΔ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.00015

-0.0001

-5e-05

0

5e-05

0.0001

Abw. von λr / pm

FPI C2 Transmittanz und atan 1 - Ψ [rad]

TΨ

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004 0.00045

Abw. von λr / pm

FPI C2 Transmittanz und Δ / rad

TΔ

Abbildung 3.8: Ellipsometrische Winkel in Abhängigkeit von der Abweichung zur Resonanzwellenlängeλr (630 nm) bei maximalem Einfallswinkel in einem f/128-Strahlengang.

Resultate 48

3.3.3 Stokes-PolarimetrieMüller-Matrix

Nach Gleichung (1.21) kann die Müller-Matrix aus der Messung von vier Stokes-Vektoren be-rechnet werden. Zur numerischen Berechnung kann analog verfahren werden. Dazu werdenentsprechend polarisierte Jones-Vektoren durch das Interferometer geleitet und deren Intensi-täten dann nach den Gleichungen (2.41) bis (2.44) über den Durchlassbereich des Interfero-meters integriert. Während vollständig Q-, U - und V -polarisierte Stokes-Vektoren eine direkteEntsprechung als Jones-Vektor haben, muss für vollständig unpolarisiertes Licht über alle mög-lichen Polarisationsrichtungen gleichverteilt gemittelt werden. Die simulierte Lichtquelle ist beidiesen Rechnungen spektral flach, so daß keine durch wellenlängenabhängige Intensitätsgra-dienten verursachten Effekte auftreten können. Die Müller-Matrix ist damit für ein parallelesStrahlbündel abhängig von Einfalls- und Azimutalwinkel φ und ϑ, sowie von der Resonanzwel-lenlänge λr des FPI.Exemplarisch sind hier die berechneten Müller-Matrizen der vier FPI bei maximalem Ein-

fallswinkel in einem f/128-Strahlengang und ϑ = 11.25° sowie für λr = 630nm angegeben:

MFPIA = 0.0997005

1.0000000 0.0000293 0.0000121 0.00000000.0000293 1.0000000 0.0000000 −0.00009390.0000121 0.0000000 0.9999999 0.00022670.0000000 0.0000939 −0.0002267 0.9999999

(3.1)

MFPIB = 0.0570798

1.0000000 0.0000275 0.0000114 0.00000000.0000275 0.9999997 0.0000008 −0.00057960.0000114 0.0000008 0.9999981 0.00139920.0000000 0.0005796 −0.0013992 0.9999977

(3.2)

MFPIC1 = 0.1235088

1.0000000 0.0000227 0.0000094 0.00000000.0000227 1.0000000 0.0000000 −0.00004100.0000094 0.0000000 1.0000000 0.00009910.0000000 0.0000410 −0.0000991 1.0000000

(3.3)

MFPIC2 = 0.0647885

1.0000000 0.0000300 0.0000124 0.00000000.0000300 1.0000000 0.0000000 −0.00008860.0000124 0.0000000 1.0000000 0.00021380.0000000 0.0000886 −0.0002138 0.9999999

. (3.4)

Der Vorfaktor gibt dabei jeweils das Verhältnis der transmittierten zur einfallenden Intensitätan.Die Relevanz der Matrixelemente ergibt sich mit Gleichung (1.17). Die erste Spalte enthält

die instrumentell induzierte Polarisation, also die Reaktion I → (Q,U, V ) des Instruments aufvollständig unpolarisiertes Licht. Die Diagonalelemente kennzeichnen weiterhin die instrumen-tell induzierte Depolarisation von Q,U und V und die übrigen Elemente das instrumentellinduzierte Übersprechen zwischen den verschiedenen Polarisationsrichtungen.Während die induzierte Polarisation im 10−5-Bereich sehr schwach ausfällt, ist das Über-

sprechen zwischen den Komponenten teilweise erheblich stärker. Der Grund dafür wird klar,

Resultate 49

wenn man sich die monochromatischen Stokes-Parameter entlang des Transmissionsprofils inAbb. 3.9 ansieht. Hier ist zusätzlich noch der gesamte Polarisationsgrad nach Gleichung (1.19)aufgetragen, und die Resonanzwellenlänge λr wurde nach Gleichung (2.14) an den Einfalls-winkel angepasst. Die induzierte Polarisation, also I → (Q,U, V ), setzt sich aus bipolaren,leicht asymmetrischen Signalen zusammen, die bei der Resonanzwellenlänge λr des FPI einenNulldurchgang aufweisen. Integriert über den gesamten spektralen Durchlassbereich mittelnsich diese Signale also fast heraus. Die gleiche Grafik für die monochromatischen Übersprech-koeffizienten in den Abbildungen 3.10 und 3.11 zeigt, daß die Koeffizienten (Q,U)→ V sowieV → U über den ganzen Durchlassbereich entweder nur negativ oder nur positiv sind und hierdaher keine Auslöschung stattfindet.Daraus, daß die monochromatischen Stokes-Parameter über den Durchlassbereich des FPI

nicht konstant sind, ergibt sich eine wichtige Konsequenz: wenn das einfallende Licht einenstarken spektralen Gradienten enthält, z.B. in der Flanke einer Spektrallinie, fällt über eineSeite des Transmissionsprofils mehr Intensität ein als über die andere. Daraus resultiert eineunterschiedliche Gewichtung der Polarisationskomponenten links und rechts von der Resonan-zwellenlänge und damit eine Verstärkung oder auch Aufhebung der induzierten Polarisations-effekte. Eine genauere Untersuchung dieses Effekts erfordert aber eine Anpassung des Codesund findet daher in dieser Arbeit nicht statt.Die bisherigen Rechnungen wurden alle mit parallelem Licht durchgeführt, welches unter

bestimmten Einfalls- und Azimutalwinkeln auf das FPI fällt. Nach Abschnitt 2.3.2 gilt dieseSituation entweder für einen Punkt in der Pupille eines telezentrisch montierten FPIs, oder füreinen Punkt im Bild eines kollimiert montierten FPIs. Die unterschiedlichen Auswirkungen aufdas Polarisationsverhalten beider Konfigurationen sollen daher im Folgenden näher besprochenwerden.

Kollimierter Strahlengang

Abbildung 3.12 zeigt die Abhängigkeit der monochromatischen Stokes-Parameter vom Ein-fallswinkel und der Abweichung zur Resonanzwellenlänge als zweidimensionale Karten. DieAmplitude der Polarisationseffekte ist abhängig vom Einfallswinkel, nimmt also im Bildfeldnach außen hin zu.Für eine radiale Position im Bildfeld kommt es azimutalwinkelabhängigen Schwankungen

die periodisch in π sind, so daß sich die Vorzeichen der Koeffizienten alle 90° umkehren. Ab-bildung 3.13 zeigt zur Veranschaulichung die gleichen Verhältnisse wie Abbildung 3.11, abermit einem um π/2 erhöhten Azimutalwinkel. Dies entspricht dem bereits in Abschnitt 2.4.2anhand der Jones-Matrix des FPI vorhergesagten Verhalten.Aufgrund der Eigenschaften der Fouriertransformation sind die Anteile von Q/I, U/I und

V/I in der Punktverbreiterungsfunktion identisch zu denen in der Pupille, und damit füreinen Bildpunkt eine Konstante. Für die kollimierte Montierung können somit die nach obigemMuster berechneten Müller-Matrizen zur Korrektur von Stokes-Messungen an der jeweiligen,durch Einfallswinkel und Azimut gegebenen, Position im Bildfeld verwendet werden.

Resultate 50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.00025-0.0002-0.00015-0.0001-5e-05 0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. I nach Q

IQ/I

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.0001-8e-05-6e-05-4e-05-2e-05 0 2e-05 4e-05 6e-05 8e-05 0.0001 0.00012

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. I nach U

IU/I

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -5 0 5 10-1e-10

-5e-11

0

5e-11

1e-10

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. I nach V

IV/I

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -5 0 5 10 0

5e-05

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0.0003

Abw. von λr / pm

FPI A Polarisationsgrad

IGrad

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. I nach Q

IQ/I

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. I nach U

IU/I

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -5 0 5 10-1e-10

-5e-11

0

5e-11

1e-10

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. I nach V

IV/I

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

-10 -5 0 5 10 0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

0.0014

0.0016

Abw. von λr / pm

FPI B Polarisationsgrad

IGrad

Abbildung 3.9: Induzierte, monochromatische Polarisation entlang des Transmissionsprofils der FPI beimaximalem Einfallswinkel in einem f/128-Strahlengang und Azimutalwinkel 11.25°.

Resultate 51

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-6e-05

-4e-05

-2e-05

0

2e-05

4e-05

6e-05

8e-05

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. Qein nach Uaus

IU/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-2e-05 0 2e-05 4e-05 6e-05 8e-05 0.0001 0.00012 0.00014 0.00016 0.00018 0.0002

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. Qein nach Vaus

IV/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. Qein nach Uaus

IU/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10 0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

0.0012

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. Qein nach Vaus

IV/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.00015

-0.0001

-5e-05

0

5e-05

0.0001

0.00015

0.0002

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. Uein nach Qaus

IQ/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.0005-0.00045-0.0004-0.00035-0.0003-0.00025-0.0002-0.00015-0.0001-5e-05 0 5e-05

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. Uein nach Vaus

IV/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.001

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

0.001

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. Uein nach Qaus

IQ/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.003

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. Uein nach Vaus

IV/I

Abbildung 3.10: Monochromatische Stokes-Parameter für vollständig Q- und U - polarisierte Eingangs-signale entlang des Transmissionsprofils der FPI. Einfallswinkel und Azimutalwinkel wie bei den Müller-Matritzen (3.1) und (3.2).

Resultate 52

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.0003

-0.00025

-0.0002

-0.00015

-0.0001

-5e-05

0

5e-05

0.0001

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. Vein nach Qaus

IQ/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-5e-05 0 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 0.00025 0.0003 0.00035 0.0004 0.00045 0.0005

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. Vein nach Uaus

IU/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. Vein nach Qaus

IQ/I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0.0025

0.003

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. Vein nach Uaus

IU/I

Abbildung 3.11: Monochromatische Stokes-Parameter für vollständig V -polarisierte Eingangssigna-le entlang des Transmissionsprofils der FPI. Einfallswinkel und Azimutalwinkel wie bei den Müller-Matritzen (3.1) und (3.2).

Telezentrischer Strahlengang

Im telezentrischen Strahlengang ist die Polarisation nicht bildfeldabhängig, da alle Bildpunktedurch einen Lichtkegel mit gleichem Öffnungswinkel geformt werden. Jedoch sollte hier, auf-grund der positionsabhängigen Polarisation in der Pupille, die Punktverbreiterungsfunktioneinen Polarisationsgradienten aufweisen.Zunächst wird die Reaktion von telezentrisch montierten FPI auf vollständig linear in +45°-

Richtung polarisiertes (Stokes U) Licht berechnet. In den Abbildungen 3.14 und 3.15 sind dieseÜbersprechkoeffizienten von U → (Q,U, V ) für FPIA und B in einem telezentrischen Strah-lengang dargestellt. Die obere Reihe enthält jeweils die Intensitäten in der Pupille, die unteredie der zugehörigen Punktverbreiterungsfunktionen (PSF). Die Intensität von Q,U und V istdabei jeweils auf die von I normiert. Für die Pupille entsprechen die Stokes-Parameter denen,die man auch aus den Müller-Matritzen (3.1) und (3.2) für den entsprechenden Azimutal- undEinfallswinkel erhält. In der Punktverbreiterungsfunktion ist der relative Polarisationsgrad inQ weitaus stärker als in der Pupille, was zunächst verwundert, denn er sollte sich ja wie im

Resultate 53

FPI A vollst. Uein nach Iaus

0 0

.000

5

0.0

01

0.0

015

0.0

02

0.0

025

0.0

03

0.0

035


-4

-2

0

2

4

Abw

eich

ung

von λ r

/ p

m

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

FPI A vollst. Uein nach Qaus

0 0

.000

5

0.0

01

0.0

015

0.0

02

0.0

025

0.0

03

0.0

035


-4

-2

0

2

4

Abw

eich

ung

von λ r

/ p

m

-0.00015

-0.0001

-5e-05

0

5e-05

0.0001

0.00015

0.0002

FPI A vollst. Uein nach Vaus

0 0

.000

5

0.0

01

0.0

015

0.0

02

0.0

025

0.0

03

0.0

035


-4

-2

0

2

4

Abw

eich

ung

von λ r

/ p

m

-0.00045-0.0004-0.00035-0.0003-0.00025-0.0002-0.00015-0.0001-5e-05 0 5e-05

FPI B vollst. Uein nach Iaus

0 0

.000

5

0.0

01

0.0

015

0.0

02

0.0

025

0.0

03

0.0

035


-4

-2

0

2

4

Abw

eich

ung

von λ r

/ p

m

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

FPI B vollst. Uein nach Qaus

0 0

.000

5

0.0

01

0.0

015

0.0

02

0.0

025

0.0

03

0.0

035


-4

-2

0

2

4

Abw

eich

ung

von λ r

/ p

m

-0.001-0.0008-0.0006-0.0004-0.0002 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001

FPI B vollst. Uein nach Vaus

0 0

.000

5

0.0

01

0.0

015

0.0

02

0.0

025

0.0

03

0.0

035


-4

-2

0

2

4

Abw

eich

ung

von λ r

/ p

m

-0.003

-0.0025

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

Abbildung 3.12: Monochromatische Stokes-Parameter für vollständig U -polarisierte Eingangssignaleabhängig von Einfallswinkel und Abweichung zur Resonanzwellenlänge λr.

kollimierten Fall weitgehend aufheben. Der Unterschied zur kollimierten PSF liegt darin, daßdie monochromatischen Komponenten die telezentrische Pupille jeweils unterschiedlich undradial ungleichförmig ausleuchten, also auch unterschiedliche PSFs haben. Während also diemonochromatischen Komponeten der Stokes-Signale links und rechts des Transmissionsmaxi-mums in der telezentrischen Pupille an der gleichen Position auftreten, und sich damit teilweiseaufheben, gilt dies nicht für die telezentrische Punktverbreiterungsfunktion.Über die gesamte Pupille oder Punktverbreiterungsfunktion betrachtet heben sich die Polari-

sationseffekte in der telezentrischen Montierung auf. Bei beugungsbegrenzter Auflösung werdenjedoch idealerweise vier Pixel vom zentralen Maximum der PSF beleuchtet (Abschnitt 2.3.1),so daß hier von sehr sensitiven Polarimetern falsche Polarisationssignale detektiert werdenkönnen.Die wissenschaftlichen Anforderungen für das zukünftige Visible Tunable Filtergraph (Hub-

bard u.a. 2006) spezifizieren die geforderte Polarimetrische Genauigkeit mit < 5×10−3. DieserBereich wird von einigen der in diesem Kapitel besprochenden Konfigurationen tangiert.

Resultate 54

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. Vein nach Qaus

IQ/I

Q/I +π/2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.0005

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

Abw. von λr / pm

FPI A vollst. Vein nach Uaus

IU/I

U/I +π/2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. Vein nach Qaus

IQ/I

Q/I +π/2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-10 -5 0 5 10-0.003

-0.002

-0.001

0

0.001

0.002

0.003

Abw. von λr / pm

FPI B vollst. Vein nach Uaus

IU/I

U/I +π/2

Abbildung 3.13: Monochromatische Stokes-Parameter für vollständig V -polarisierte Eingangssignaleentlang des Transmissionsprofils der FPI. Der Azimutalwinkel der gepunkteten Kurven ist π/2 größerals in Abbildung 3.11.

Resultate 55

FPI A Stokes U nach Q,U,V

I

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Q/I

-4e-05

-3e-05

-2e-05

-1e-05

0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

U/I

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

V/I

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.0005-0.0004-0.0003-0.0002-0.0001 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.0004

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

Abbildung 3.14: Übersprechen von Stokes U nach Q,U,V für FPIA in einem telezentrischen f/128-Strahlengang. Jeweils obere Reihe: Pupille, untere Reihe: Punktverbreiterungsfunktion.

FPI B Stokes U nach Q,U,V

I

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Q/I

-4e-05

-3e-05

-2e-05

-1e-05

0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

U/I

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

V/I

-0.002

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0.002

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.0015

-0.001

-0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

Abbildung 3.15: Übersprechen von Stokes U nach Q,U,V für FPIB in einem telezentrischen f/128-Strahlengang. Jeweils obere Reihe: Pupille, untere Reihe: Punktverbreiterungsfunktion.

Kapitel 4

Messaufbau

Um einige der Ergebnisse aus Kapitel 3 experimentell überprüfen zu können, wurde ein Mes-saufbau konzipiert und im Optik-Labor des Kiepenheuer-Instituts aufgebaut.

4.1 Methode4.1.1 Erster AufbauVollwertige und hochauflösende Stokes-Polarimeter waren für den Messaufbau in Freiburg nichtverfügbar. Es musste daher mit den lokal vorhandenen Möglichkeiten eine Messmethode ge-funden werden, die zumindest einige der vorhergesagten Effekte bei größeren Einfallswinkelnnachweisen kann. Um frühzeitig mit Messungen beginnen zu können, wurde der Aufbau zu-nächst als einfaches Stokes-(Q,U)-Polarimeter geplant, noch bevor konkrete Ergebnisse ausder numerischen Analyse in Kapitel 3 vorlagen. Eine Skizze des Aufbaus ist in Abbildung 4.1

He-Ne Laser

L1P FPI

CCD

Raumfilter L2 L3 A

Abbildung 4.1: Skizze des Stokes-(Q,U)-Polarimeter im ersten Messaufbau.

gezeigt. Als Lichtquelle dient ein HeNe-Laser. Das Raumfilter lässt weitgehend nur die zentraleGaußmode des Lasers passieren, so daß der Strahl nach dem Filter frei von den lasertypischenInterferenzmustern ist. Das FPI befindet sich ein einem telezentrischen Strahlengang mit va-riablem Öffnungsverhältnis und die Pupille wird direkt auf die CCD Kamera abgebildet. DerPolarisator P erzeugt linear polarisiertes Licht und mit dem drehbar gelagerten AnalysatorA kann das vom Drehwinkel von A abhängige Transmissionsprofil mit der Kamera vermessenwerden. Die lineare Polarisationsänderung des FPI sollte sich bei Vergleichsmessungen mit undohne FPI bemerkbar machen.FPI und Kamera werden von einem zu diesem Zweck geschriebenen Programm angesteuert,

um das Emissionsprofil des Lasers wiederholt in definierten Schritten abfahren zu können.Mit diesem Aufbau konnten keine Polarisationsänderungen festgestellt werden. Wie sich

herausstellte, weisen die verwendeten Polarisationsf P und A eine zu geringe Extinktion auf,das Verhältnis der transmittierten Intensität zwischen paralleler und gekreuzter Stellung der

56

Methode 57

Filter ist zu gering. Außerdem war eine manuelle, absolute Drehwinkelpositionierung nicht mitder erforderlichen Genauigkeit möglich.

4.1.2 Zweiter AufbauDer zweite Aufbau wurde als Transmissions-Ellipsometer konzipiert. Bevor mit der Beschrei-bung des Aufbaus fortgefahren wird, soll im folgenden Abschnitt zunächst das Prinzip vonPolarisationsmessungen mit Ellipsometern beschrieben werden.

Einschub: Nulling-Ellipsometrie

Nulling-Ellipsometrie kann als eine Methode zur Polarisationsmessung verwendet werden, dieäußerst präzise und gleichzeitig robust gegenüber Intensitätsschwankungen und Polarisationder Lichtquelle ist. Dabei wird ausgenutzt, dass für bestimmte Einstellungen der Polarisati-onsoptik das Signal am Detektor Null, bzw. minimal wird. Aus der relativen Orientierungder Polarisationselemente gegeneinander kann die Polarisation des Lichts bestimmt werden.Die Funktionsprinzip ist dabei das folgende (Abbildung 4.2): Die möglichst schmalbandige

L

P A

C S

D

Abbildung 4.2: Zum Funktionsprinzip eines Ellipsometers.

Lichtquelle (L) beleuchtet durch einen Polarisator (P), gefolgt von einem Kompensator (C),die Probe (S). Das von der Probe reflektierte Licht wird dann durch einen Analysator (A)auf einen Photodetektor geleitet. Diese Konfiguration wird daher auch als PCSA-Ellipsometerbezeichnet. Nach dem Polarisator ist das Licht linear polarisiert, nach dem Kompensator imAllgemeinen elliptisch. Nach Reflektion an der Probe kann durch den Analysator nur dann eineAuslöschung (Nulling) stattfinden wenn das Licht nach der Probe linear und senkrecht zumAnalysator polarisiert ist. Dazu müssen für eine feste Winkelstellung P des Polarisators derWinkel C von Kompensator und Analysator A so lange verdreht werden, bis am Detektor keineIntensität mehr gemessen wird. Aus den Winkeln P,C und A kann dann über die Beziehung(Azzam und Bashara 1979)

ρ = − tanA[tanC + ρc tan(P − C)

1− ρc tan(P − C)

](4.1)

das Verhältnis ρ der komplexen Amplituden-Reflektionskoeffizienten der Probe bestimmt wer-den. Dabei ist ρc das Verhältnis der komplexen Amplituden-Transmissionskoeffizienten auf der

Methode 58

langsamen und schnellen Achse des Kompensators. Für eine ideale λ/4-Platte ist ρc = i. DasVerhältnis ρ definiert nach Abschnitt 1.3.2 über Gleichung (1.37),

ρ = tan Ψei∆,

die ellipsometrischen Winkel Ψ und ∆, welche in Kapitel 3 berechnet wurden. Das obige Mes-sprinzip und Gleichung (4.1) können unverändert auch für Proben in Transmission verwendetwerden.

Realisierung als Transmissions-Ellipsometer

Der gegenwärtige Aufbau ist in Abbildung 4.3 skizziert, Abbildung 4.4 zeigt ein Foto desMessaufbaus. Der Laserstrahl wird zunächst von einer kurzbrennweitigen Linse auf eine sehrkleine Blende fokusiert, dann von der Linse L1 auf ein Bündel von etwa 5mm Durchmesserkollimiert durch die Polarisationsoptik und das drehbar gelagerte FPI gelenkt und schließlichdurch die Linse L2 auf einen sehr empfindlichen Photodetektor fokusiert. Der Detektor ist miteinem digitalen Oszilloskop verbunden. Das Raumfilter kann hier nicht verwendet werden, weildie Intensität des Lasers dadurch soweit herabgesetzt wird, dass bei Kreuzstellung von P und Abereits die Empfindlichkeit des Detektors unterschritten wird. Als Polarisator und Analysator

He-Ne Laser

L1 P FPIC A L2

D

FPI Steuerung

Abbildung 4.3: Skizze des als Transmissionsellipsometer ausgelegten Messaufbaus.

werden neue Polarisationsfilter verwendet, die einen Kontrast von 1:10000 aufweisen.Als Kompensator C dient eine achromatische λ/4-Platte. Diese hat über einen langenWellen-

längenbereich eine nahezu konstante Verzögerung. Kleinere Abweichungen sollten sich kaumbemerkbar machen, da immer bei der gleichen Wellenlänge gemessen wird, und es für denZweck der Messung, nämlich qualitative Vergleiche mit den numerischen Vorhesagen, nur aufdie Messung von relativen Änderungen ankommt. Das FPI ist verstellbar auf einem Drehtischmontiert, um verschiedene Einfallswinkel in einem kollimierten Strahlengang zu simulieren.Das Oszilloskop kann über bis zu 512 Messwerte mitteln. Dies verzögert zwar die Darstellungder Messignale am Bildschirm erheblich, ist aber unerlässlich, um die winzigen Spannungsän-derungen des Photodetektors bei kleinen Winkeländerung des Analysators und Kompensatorsüberhaupt noch im Rauschen nachweisen zu können. Die Winkel von Kompensator und Anal-sysator lassen sich mit Mikrometerschrauben auf etwa 1/20° genau einstellen bzw. ablesen.Änderungen der Winkel im Bereich der Ablesegenauigkeit ergaben bei Tests ein deutlichesSignal am Oszilloskop.

Durchführung 59

Abbildung 4.4: Der Messaufbau im Optiklabor des Kiepenheuer-Instituts. Der Laser befindet sich ganzrechts im Bild, dann kommen Kollimatorlinse, Blende, Polarisator, Kompensator, das FPI, sowie derAnalysator. Der Photodetektor befindet sich unter der Pappabdeckung.

4.2 DurchführungIm folgenden wird der Begriff „Null“ für die Situation verwendet, bei der das Signal am De-tektor null, bzw. minimal wird.Zunächst müssen die relativen Orientierungen von Analysator und Kompensator kalibriert

werden. Dazu wird zunächst, nur mit Polarisator und Analysator, die Null bestimmt, und diesePosition dann für den Polarisator als 0°, und für den Analysator als 90° festgelegt. Danachwird der Kompensator in den Strahlengang eingesetzt und durch Verändern von C wiederumdie Null bestimmt. Diese Position entspricht der 0°-Stellung des Kompensators.Zur Messung wird das FPI für eine feste Wellenlängenposition in kleinen Schritten gedreht,

bis nach Gleichung (2.14) das winkelabhängige Transmissionsprofil durchgefahren ist. Bei jederWinkelstellung des FPI wird die Null festgestellt und aus den so erhaltenen Winkeln für Cund A nach Gleichung (4.1) ρ, und daraus Ψ und ∆, berechnet.

4.2.1 SchwierigkeitenAuch mit dem zweiten Versuchsaufbau konnten bisher keine Ergebnisse erzielt werden. Dieshat mehrere Gründe.

Durchführung 60

Das zunächst verwendete FPI verfügt über keine Plattenabstandskontrolle, es driftet also mitder Zeit von der eingestellten Wellenlänge weg. Die Driftgeschwindigkeit liegt etwa bei einerHalbwertsbreite des Lasers im Zeitraum von wenigen Minuten. Einige Minuten werden aberselbst ohne FPI zum manuellen Finden der Null benötigt. Daß so keine Messwerte gewonnenwerden konnten, stimmt mit den Ergebnissen von Abschnitt 3.3.2 überein, da die Werte vonΨ und ∆ stark von der Position im Durchlassbereich des FPI abhängen.Weitere Versuche konnte mit diesem FPI nicht durchgeführt werden, da das Steuergerät nach

den ersten Tests defekt wurde, und nicht dauerhaft repariert werden konnte. Ein Ersatz fürdas Gerät konnte zwar bei einem Laborgerätehändler in den USA ausfindig gemacht werdenund wurde im Juni diesen Jahres auch bestellt. Leider erreichte uns bis Heute aber weder dasSteuergerät, noch eine Antwort auf wiederholte Nachfragen nach dessen Verbleib.Glücklicherweise befinden sich aber die drei TESOS-Etalons samt Steuereinheiten seit Mitte

September auf dem Schauinsland-Observatorium zur Charakterisierung von Oberflächende-fekten. Ein Etalon konnte für eine Woche in den Messaufbau in Freiburg integriert werden.Allerdings blieben so für die notwendigen Änderungen am Aufbau, Tests und Messungen nurwenige Tage. In dieser kurzen Zeit konnten leider noch keine verwertbaren Messungen durch-geführt werden.

Kapitel 5

Zusammenfassung und Ausblick

Mit der vorliegenden Arbeit wurde erstmals gezielt die instrumentelle Polarisation von idealenFabry-Pérot-Interferometern mittels numerischer Methoden untersucht. Dazu wurden sowohldie Auswirkungen verschiedener Dünnfilmbeschichtungen als auch der Einfluß der Position desFabry-Pérot-Interferometers im Strahlengang auf die instrumentelle Polarisation untersucht.Fabry-Pérot-Interferometer induzieren Polarisationssignale, die bis in den Bereich der ge-

forderten polarimetrischen Genauigkeit von zukünftigen, hochauflösenden Filtergraphen wiedem Visible Tunable Filergraph des kommenden Advanced Technology Solar Telescope reichen.Bei Stokes-Polarimetrie äußert sich die instrumentelle Polarisation hauptsächlich in den Über-sprechkoeffizienten zwischen den Polarisationskomponenten Q, U und V ; hingegen weniger inder induzierten Polarisation I → (Q,U, V ). Die Stärke der instrumentellen Polarisation hängtfür eine gegebene Konfiguration stark vom Einfallswinkel und damit von der F-Zahl des Strah-lengangs ab, in dem sich das FPI befindet. Die Reflektivität der Verspiegelungen hat einengrößeren Einfluß auf die durch das FPI induzierte Polarisation als die Polarisationseffekte anden Verspiegelungen selbst. Mit höherer Reflektivität der Verspiegelungen nehmen im Allge-meinen die Polarisationseffekte des Fabry-Pérot-Interferometers zu.In der telezentrischen Montierung äußert sich die instrumentelle Polarisation in einem Po-

larisationsgradienten durch die Punktverbreiterungsfunktion, so daß bei beugungsbegrenzterAuflösung die einzelnen Pixel unterschiedliche Polarisationssignale messen können. Für die kol-limierte Montierung ergibt sich hingegen ein Polarisationsgradient durch das gesamte Bildfeld.Zur experimentellen Verifizierung der aus der numerischen Modellierung erhaltenen Daten

wurde ein Messaufbau konzipiert und im Optik-Labor des Kiepenheuer-Institus eingerichtet.Da die Messungen mit den zur Verfügung stehenden Mitteln sehr zeitaufwändig sind, konntenhier noch keine Ergebnisse gewonnen werden.

AusblickEine weitergehende Untersuchung der Polarisationseffekte, und vor allem eine experimentelleÜberprüfung, ist wünschenswert.Der vorgestellte Messaufbau ist prinzipiell in der Lage, einige der vorhergesagten Effekte

aufzulösen.Eine aussagekräftige Untersuchung ist mit hochauflösenden Polarimetern oder Ellipsometern

unter Laborbedingungen umsetzbar. Will man sich nicht auf die Herstellerangaben zum Polari-sationsverhalten der verwendeten Beschichtungen verlassen, besteht eine Möglichkeit zunächstdarin, die Beschichtungen der Etalons mit einem Ellipsometer zu vermessen. Dies liefert nebender Kenntnis des Polarisationsverhaltens auch eine Characterisierung der einfallswinkel- und

61

Kapitel 5: Zusammenfassung und Ausblick 62

wellenlängenabhängigen Phasenverschiebung bei Reflektion an den Beschichtungen. Dadurchkann die Positioniergenauigkeit beim Scannen erhöht werden.Da die gängigen Ellipsometer in Reflektion arbeiten, ist eine direkte Vermessung des Pola-

risationsverhaltens des FPI in Transmission nicht möglich. Da die Reflektion an Fabry-Pérot-Interferometern aber ebenfall durch die interne Vielfachreflektion bestimmt wird, kann durchdie ellipsometrische Vermessung des Reflektionsverhaltens zumindest das numerische Modellgetestet werden.

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KonferenzbeitragIm Rahmen der vorliegenden Arbeit entstand ein Konferenzbeitrag zur „SPIE Conference onAstronomical Instrumentation“, Marseille, im Juni 2008:

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Anhang A

Zusätzliche Angaben

Aufbau der zur Rechnung verwendeten Beschichtungen

Nr. Material n Dicke / nm

0 Luft 1.00 01 ZnS 2.30 41.02 Kryolith 1.35 92.03 ZnS 2.30 45.44 Kryolith 1.35 106.05 ZnS 2.30 62.76 Kryolith 1.35 119.07 ZnS 2.30 63.68 Kryolith 1.35 143.09 ZnS 2.30 75.0

10 Kryolith 1.35 143.011 ZnS 2.30 84.012 Kryolith 1.35 156.013 ZnS 2.30 105.814 Substrat 1.46 0

Tabelle A.1: Beschichtung A (nach Netterfield,Sainty und Schaeffer (1980)).

Nr. Material n Dicke / nm

0 Luft 1.00 01 ZnS 2.30 41.602 Na3AlF6 1.35 76.803 ZnS 2.30 51.404 Na3AlF6 1.35 94.305 ZnS 2.30 49.006 Na3AlF6 1.35 94.007 ZnS 2.30 47.908 Na3AlF6 1.35 95.209 ZnS 2.30 58.60

10 Na3AlF6 1.35 147.311 ZnS 2.30 62.2012 Na3AlF6 1.35 120.413 ZnS 2.30 77.6014 Na3AlF6 1.35 129.915 ZnS 2.30 69.1016 Na3AlF6 1.35 153.017 ZnS 2.30 65.4018 Na3AlF6 1.35 155.719 ZnS 2.30 69.6020 Na3AlF6 1.35 179.121 ZnS 2.30 105.322 Substrat 1.46 0

Tabelle A.2: Beschichtung B (entnommen ausMacleod (2001)).

66

Anhang B

ProgrammcodeEllipsometrie an Beschichtung und FPIDie wellenlängenabhängige ellipsometrischen Winkel Ψ und ∆ für Beschichtungen und FPIwurden in Kapitel 3 mit Code nach folgendem Muster berechnet.1 #include <stdio.h>2 #include <gsl/gsl_math.h>3 #include <gsl/gsl_matrix.h>4 #include <gsl/gsl_complex.h>5 #include <gsl/gsl_complex_math.h>6 #include "tfml.h"7 #include "fpi.h"

9 int main ( int argc , char *argv [])10 11 /∗ Brechungs ind i c e s a l l e r M a t e r i a l i e n ∗/12 gsl_complex air = gsl_complex_rect (1.00, 0.0);13 gsl_complex silica = gsl_complex_rect (1.46, 0.0);14 gsl_complex ZnS = gsl_complex_rect (2.30, 0.0);15 gsl_complex cryolite = gsl_complex_rect (1.35, 0.0);

17 /∗ Aufbau der v e r s c h i e d e n e n Besch ich tungen ( ambient −> s u b s t r a t ) ∗/18 gsl_complex *layersA [] = 19 &ZnS ,20 &cryolite ,21 &ZnS ,22 &cryolite ,23 // . . .24 &ZnS25 ;26 double thicksA [] = 27 41.0E-9,28 92.0E-9,29 45.4E-9,30 106.0E-9,31 // . . .32 105.8E-933 ;

35 gsl_complex *layersB [] = 36 // . . .37 ;38 double thicksB [] = 39 // . . .

67

Kapitel B: Programmcode 68

40 ;

42 gsl_complex *layersC [] = 43 // . . .44 ;45 double thicksC [] = 46 // . . .47 ;

49 double fRatio = 128.0;50 double spacing = 1.0E-3;51 double maxangle = 0.5 / fRatio;

53 /∗ t f m l Objek te f u e r a l l e Besch ich tungen a l l o k i e r e n ,54 und f u e r j e d e Besch ich tung e in FPI ∗/55 tfml_h *designA = tfml_alloc (air , silica , 13, layersA , thicksA );56 tfml_h *designB = tfml_alloc (air , silica , 21, layersB , thicksB );57 tfml_h *designC1 = tfml_alloc (air , silica , 7, layersC , thicksC );58 tfml_h *designC2 = tfml_alloc (air , silica , 9, layersC , thicksC );59 fpi_h* fpiA = fpi_alloc (designA , spacing , air);60 fpi_h* fpiB = fpi_alloc (designB , spacing , air);61 fpi_h* fpiC1 = fpi_alloc (designC1 , spacing , air);62 fpi_h* fpiC2 = fpi_alloc (designC2 , spacing , air);

64 FILE *fpi = fopen ("ellipsometry -fpi.dat", "w");65 FILE *coat = fopen ("ellipsometry -coatings.dat", "w");

67 gsl_complex rhoA , rhoB , rhoC1 , rhoC2;68 gsl_complex rhoFpiA , rhoFpiB , rhoFpiC1 , rhoFpiC2;69 gsl_complex angle = gsl_complex_rect (maxangle , 0);

71 /∗ ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ ∗/72 for (double l = 400E-9; l <= 800e-9; l += 0.2E-9)73 74 tfml_recalc (designA , l, angle );75 tfml_recalc (designB , l, angle );76 tfml_recalc (designC1 , l, angle );77 tfml_recalc (designC2 , l, angle );

79 rhoA = tfml_ellipsometry_r (designA );80 rhoB = tfml_ellipsometry_r (designB );81 rhoC1 = tfml_ellipsometry_r (designC1 );82 rhoC2 = tfml_ellipsometry_r (designC2 );

84 fpi_tune (fpiA , l);85 fpi_tune (fpiB , l);86 fpi_tune (fpiC1 , l);87 fpi_tune (fpiC2 , l);

89 /∗ Wel l en laenge so waehlen , dass s i e 0 .5 FWHM unter90 der Resonanzwe l l en laenge f u e r den E i n f a l l s w i n k e l l i e g t ∗/91 double offsA = fpi_blueshift (fpiA , angle)92 + fpi_fwhm (fpiA) * 0.5;93 double offsB = fpi_blueshift (fpiB , angle)94 + fpi_fwhm (fpiB) * 0.5;

Kapitel B: Programmcode 69

95 double offsC1 = fpi_blueshift (fpiC1 , angle)96 + fpi_fwhm (fpiC1) * 0.5;97 double offsC2 = fpi_blueshift (fpiC2 , angle)98 + fpi_fwhm (fpiC2) * 0.5;

100 rhoFpiA = fpi_ellipsometry_t (fpiA , l - offsA , angle);101 rhoFpiB = fpi_ellipsometry_t (fpiB , l - offsB , angle);102 rhoFpiC1 = fpi_ellipsometry_t (fpiC1 , l - offsC1 , angle );103 rhoFpiC2 = fpi_ellipsometry_t (fpiC2 , l - offsC2 , angle );

105 fprintf (coat , "%.9g %.9g %.9g %.9g %.9g %.9g %.9g %.9g %.9g\n",106 l,107 atan (gsl_complex_abs (rhoA)), gsl_complex_arg (rhoA),108 atan (gsl_complex_abs (rhoB)), gsl_complex_arg (rhoB),109 atan (gsl_complex_abs (rhoC1)), gsl_complex_arg (rhoC1),110 atan (gsl_complex_abs (rhoC2)), gsl_complex_arg (rhoC2 ));

112 fprintf (fpi , "%.9g %.9g %.9g %.9g %.9g %.9g %.9g %.9g %.9g\n",113 l,114 atan (gsl_complex_abs (rhoFpiA)), gsl_complex_arg (rhoFpiA),115 atan (gsl_complex_abs (rhoFpiB)), gsl_complex_arg (rhoFpiB),116 atan (gsl_complex_abs (rhoFpiC1)), gsl_complex_arg (rhoFpiC1),117 atan (gsl_complex_abs (rhoFpiC2)), gsl_complex_arg (rhoFpiC2 ));118

120 fclose (fpi);121 fclose (coat);

123 return 1;124

DanksagungBei der Umsetzung des Themas dieser Diplomarbeit waren viele helfende Hände und Köpfe beteiligt,bei denen ich mich gerne für die geleistete Hilfe bedanken will. Zunächst möchte ich mich bei Herrnvon der Lühe für die Vergabe des Themas und die Betreuung, sowie für die Möglichkeit zur Teilnahmean der SPIE Konferenz bedanken.

Thomas Kentischer hat mir bei allen Problemen rund um Fabry-Pérot-Interferometer immer aus derKlemme geholfen, musste mir oft die Grundlagen der Optik erklären und wußte, wenn er mal etwas nichtselbst wußte, immer jemand der’s weiß. Schade dass wir in Marseille nicht die sorgfältig ausgesuchteAbsteige am Alten Hafen bekommen haben, aber es war dennoch ziemlich lustig, oder? Ich danke Dir,Thomas!

Ohne unsere Mechanische Werkstatt hätte der Versuchsaufbau (auch mit funktionierender Steuerein-heit!) nie funktioniert. Für alle kleineren und größeren Anfertigungen („Könnt ihr mir was baschteln,damit ich das hier daaa drauf schrauben kann?“ – „Wir baschteln nix, wir FERTIGEN AN!“) bedankeich mich bei Andreas Bernert, Oliver Wiloth, Alexander Tischenberg und Thomas Keller.

Reza Rezaei und Christian Beck danke ich für sehr erhellende Gespräche bzw. E-Mail-Support zumThema Polarisation. Ihr werdet unten gleich nochmal benannt, aber Sven, Christian, Philippe, Dirk,Torte und Lars: vielen, vielen Dank für das Korrekturlesen, ich hätte nicht gedacht daß man so vieleKommasetzungsfehler machen kann, nicht zu fassen!

Allen Doktoranden und Diplomanden danke ich für die angenehme und sehr lustige Zeit am KIS,es war die beste Zeit meines Studiums – nicht nur wegen der vielfältigen gemeinsamen Feierabendbe-schäftigungen („Zoggä ma noch ä Rund’?“) am KIS. ... Also gut, ich rufe euch mit Namen auf: TorstenWaldmann, Lars Krieger, Pia Zacharias, Sven Bingert, Christian Nutto und Christian Bethge, DirkSchmidt, Adrian Zimmer, Jörn Warnecke, Reza Rezaei, Morten Franz, Philippe Bourdin, und AmelZaatri.

Peter Caligari danke ich dafür, daß er die lange geplante „Solaris 10 Migration“ in die zwei Wochenvor meinem Abgabetermin gelegt hat, so daß ich äußerst effizient Hilferufe von Opfern der Betriebsy-stemumstellung abwehren konnte („Ich kann jetzt nicht, steh’ kurz vor ’nem Durchbruch! Steht allesim Wiki!“).

An dieser Stelle scheint mir eine Warnung an künftige Diplomanden und Doktoranden angebracht,mit der gleichzeitigen Bitte um Entschuldigung für die Verwässerung des Begriffs „Durchbuch“. Desseninflationäre Benutzung hat mit der Zeit zur Ausbildung von Resistenzen geführt, die von Außenstehen-den als mangelnde Interesse ausgelegt werden könnten. Wundert euch nicht darüber, wenn ihr beimMittagessen nach Aussprüchen wie „Leute, ich hatte heute endlich den lang ersehnten Durchbruch!“statt begeistertem Zuspruch bestenfalls ein müdes, mitleidiges Lächeln erhaltet.

Was ein Ende hat, hat auch einen Anfang. Gehen wir also etwas in der Zeit zurück, als sich vier (oderwaren’s mehr?), Grünschnäbel, auf der Ersti-Hütte kennengelernt haben und es seitdem tatsächlich,manchmal mehrmals jährlich, geschafft haben eine spontane Alt-Ersti Konferenz mit Teilnehmern ausmittlerweile dem ganzen Bundesgebiet zu organisieren! Torte, Vroni, Johannes, Robert, Falco, Dominik,Lars und Christof: ich freue mich schon auf die nächste Weinschorle-Paddeltour auf der, wie hieß das?Lahm?

Apropos Wasser: Ich danke Christoph Scheuffelen dafür, daß er mir das Segeln beigebracht hat, wasin den letzten Jahren zu meiner liebsten Freizeitbeschäftigung geworden ist. Ich hoffe sehr, daß derSchneefall am Schluchsee dieses Jahr nicht mal wieder schon im Oktober einsetzt!

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Weiterhin haben viele Dinge und Personen direkt oder indirekt zum Entstehen dieser Arbeit beige-tragen, die hier ohne besondere Reihenfolge aufgezählt werden sollen. Es sind dies: „Die Simpsons“, dieRockkapellen „Pink Floyd“, „Queen“ und „Dream Theater“, Keith Jarrett, asiatische Tütennudelsup-pen unterschiedlichster Hersteller, „Rothaus Tannenzäpfle“, „Ubuntu“, „Inkscape“, „Gnuplot“, LeslieLamport sowie Auctex, der beste aller LATEX-Modi für den Emacs.

Ganz unten, aber nicht zuletzt, möchte ich mich bei meinen Eltern, Eberhard und Eva Doerr bedanken,die mir das Studium ermöglicht haben.

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Untersuchung der instrumentellen Polarisation von idealen ... · Kapitel1 GrundlagenundMethoden In diesem Kapitel werden die physikalischen Grundlagen und Methoden beschrieben, die