Untersuchungen über die Beugung elektromagnetischer Wellen an dielektrischen Zylindern

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1. Ucntersuchungem uber d4e Beugung elehWomagnetischer Wellem

am dielektrischen Zy1,indern; vow Clernecns iSchaefer und B’eZix Grossrnann.l)

Einleitung.

Beugungsprobleme sind bisher fast ausschlieBlich auf Gruncl des Huyghensschen Prinzips in der Kirchhoffschen Formulierung behandelt worden. Aber obwohl dieser Satz an sich vollig streng ist, so kann er doch nur in einem einzigen Falle wirklich streng angewandt werden, namlich dann , wenn das Licht sich u7tggestlil.t ausbreitet, - und in diesem Falle bedarf man des Theorems nicht. Dies liegt daran, daB zu exakten Anwendungen des Satzes die Kenntnis von GroBen gefordert wird, die erst angegeben werden konnen, wenn man die fertige Lasung bereits besitzt. Man ist also gezwungen, eine Reihe von - naherungsweise nach Ausweis der Erfahrung richtigen - Annahmen zu machen, die voraussichtlich das Resultat nicht stark beeinflussen konnen. So nimmt man z. B. hinter einem beugenden Schirme den Lichtvektor von vornherein gleich Null an, so setzt man ferner dafur in der Offnung eines Beugungsschirmes den Wert, der ihm bei ungest6rter Ausbreitung zukommen wiirde, Erstere Annahme ist nahezu erfiillt , wenn das Schirmmttterial vollkommen undurchlassig ist; die zweite Voraussetzung kann als nahezu richtig aner- kannt werden, wenn die Dimensionen der beugenden Offnung

1) Der theoretische Teil ist zum Teil bereits erschienen in den Sitzungsberichten der Berliner Akademie (Mitteilnng vom 21. Jan. 1909), moselbst auch einige experimentelle Resultate angegeben sind. Der experimentelle Teil der Arbeit ist ein Auszug RUS der Breelauer 1naug.-Dissert. von E’elix G r o s s m a n n , die auf meine Veranlassung ausgefubrt wurde. Um Raum zu sparen und urn das Ganze ubersichtlicher gestalten zu kiinnen, sind beide Arbeiten hier vereinigt worden. C1. Schaefer .

458 CI. Schaefer u. F. Grossmann.

grofi gegen die Wellenlangen sind. Zur ferneren Vereinfachung der Forrneln beschrankt man sich auch auf kleine Beugungs- winkcl und nimmt die Schirme als vollkommen scfiwarz an.

Es mu8 als eine erstaunliche Leistung der Kirchhoff- schen Theorie betrachtet werden, daB trotz der vom mathe- matischen Standpunkt am ziemlich einschneidenden Ein- schrankungen im ganzen die Ubereinstimmung zwischen Theorie und Experiment vortrefflich genannt werden mu6. Nur faZZen naturlich alle diejenigzn Erscheinungen aus dem Rahmen der l'heorie heralds, in denen ein Jrlaterialeinflzcp der Beupngsschirme heobachtetl) worden ist. Denn da alle Stoffe von vornherein als schwarz betrachtet wkrden, konnen sie sich optisch in nichts mehr unterscheiden.

Die namliche Bemerkung trifft auch die Untersuchung von Sommerfeldz) und die sichdarananschliefiende von Schwarz- schi ldj) ; in diesen - im iibrigen vollig strengen - Arbeiten wird durch die Annahme unendlich grof3er Leitfahigkeit, d. h. vollkommenen ReflexionsvermSgens der Schirme, jeder Material- einflufi a limine von der Theorie ausgeschlossen.

Dasselbe gilt von den' kiirzlich erschienenen Arbeiten von K. Aichi*) und B. S ieger5) , in denen die Beugung elektromagnetischer Welleu an einem elliptischen Zylinder von unendlich grofiem Leitvermogen untersucht wird.

Im Gegensntze dazu haben sich folgende Probleme ohne die vereinfachende Annahme unendlich grofier Leitfiihigkeit streng behandeh lassen: Ebene polarisierte elektromagnetische Wellen fallen auf eine leitende Kugel [G. Mice)] oder auf einen leitenden Zylinder [v. Ignatowsky'), Seitzs)].

Die Losung ergibt sich hier in Form unendlicher Reihen, die nur dann ausgewertet werden kijnnen, wenn das Verhaltnis

1) Vgl. insbesondere: Du Bois und H. Rubens , Wied. Ann. 49.

2) A. Sommerfeld, Math. Theorie der Diffraktion, Math. Ann. 47.

3) K. Schwarzschi ld , Math. Ann. 55. p. 177. 1902. 4) R. Aichi , Proc. Tokyo Math. Phys. SOC. (2) 4. p. 966. 1908. 5) B. S i e g e r , Ann. d. Phys. 27. p. 626. 1908. 6) G. Mie, Ann: d. Phys. 26. p. 377. 1908. 7) W. v. Tgnatowsky, Ann. d. Phys. 18. p. 495; 1905. 8) W. Sei tz , Ann. d. Pbys. 16. p. 746. 1905; 19. p. 554. 1906.

p. 593. 1893.

p. 317. 1895.

Beugung elektromugnetisclier Ijkllen usw. 457

o / k (0 = Kugel- oder Zylinderradius, 1, = Wellenlange) klein, hochstens etwa ist. In diesem letzteren Umstande ist es begrundet , daS experimentelle Untersuchungen dieser exakt berechenbaren Falle augerst erschwert sind. Denn fur Licht- und Warmewellen laBt sich ein hinreichend kleines Ver- Verhaltnis p / A kaum realisieren; fur elektrische Wellen jedoch, wo diese Schwierigkeit in Fortfall kommt, liegen die Ver- haltnisse insofern ungunstig, als hier die Leitfahigkeit prak- tisch in den allermeisten Fallen als unendlich betrachtet werden darf. Solange nicht die Messungen mit elektrischen Wellen eine ungeheure Verfeinerung erfahren haben, ist an die Kon- statierung eines Mnterialeinflusses bei der Beugung an einem einzehen Zylinder infolge der endlichen, von Stoff zu Stoff verschiedenen Leitfahigkeit nicht zu denken.

Unter diesen Umstanden schien es von Ixteresse, solche Falle zu untersuchen, bei denen der MaterialeinfEup auch im Gebiete der elektrischen Wellen noch gut nachweisbar ist. Es kommt hier vornehmlich in Betracht die Beugung elektromagnetischer Wellen an einem dielektriscAen Zylinder und einer dielektrischen Kugel. Mit dem ersteren Problem beschaftigt sich die folgende Abhandlung, deren wesentliche Resultate auf der 80. Versammlung deutscher Naturforscher und Arzte in Coln 1908 vorgetragen wurden. Fast gleichzeitig wurde das zweite Problem von P. Debye’) in Angriff genommen. Die vorliegende Untersuchung hat naturgemag mit der Deb yeschen manche Beruhrungspunkte, yon der sie jedoch vollig unab- hangig ist.

I. Theoretisoher Teil.

Es moge die Achse des dielektrischen Zylinders, dessen Radius Q sei, mit der z-Achse zusammenfdlen, deren positive Richtung in Fig. 1 nach vorne aus der Zeichnungsebene heraus- ragt; die positive x-Achse zeigt nach rechts, die positive y-Achse nach oben.

Parallel der x-Achse, und zwar in Richtung der ab- nehmenden x (Pfeilrichtung in Fig. l), falle ein ebener polarisierter Wellenzug ein. Hier sind zwei Falle lnoglich: Ent-

1) P. Debye, Munchener 1naug.-Dissert. 1908; Ann. d. Phys. 30. p. 57. 1909.

458 Cl. Schaefei. u. l? Grossmann.

weder ist die elektrische Kraft der ein fallenden Welle parallel der Zylinderachse, oder aber senkrecht zu letzterer orientiert; der erstere Fall ist experimentell dcr interessantere, weshalb im zweiten Teile der Arbeit nur er clem Experiment unter-

Fig. 1.

worfen wurde. Dennoch schien es aus besonderen Griinden, die spater hervortreten werden, zweckmaBig, im theoretischen Teile beide Falle zu behandeln.

A. D i e elektrieche Kraft i s t paral le l der Zylinderachse.

Wir transformieren zunlchst die Maxwellschen Glei- chungen auf Zylinderkoordinaten (r, y , z), die mit den karte- sischen folgenderma6en zusammenhangen:

Berucksichtigt man auBerdem , da6 gemai8 den Bedingungen dieses Falles A die elektrischen Kraftkomponenten GF und GV nicht auftreten kbnnen, sowie da6 alle FeldgriiBen von z un- abhangig sein miissen, da der Zylinder als unendlich lang vorausgesetzt wird, so erhalten wir in der iiblichen Bezeich- nungsweise die Maxwellschen Gleichungen in folgender Gestalt:

x = r c o s y , y = r siiisp, z = z .

Beugung elektromapetischer Wellen USW. 459

Die drei hier fortgefallenen Gleichungen, die Gr, Gv, Q8 ent- hnlten, treten in dem Falle B auf.

Dazu treten noch die Grenzbedingungen der Maxwell- schen Theorie, daB die tangentiellen Komponenten der elektrischen und magnetischen Kraft beim nbergang von einem Medium zum anderen, d. h. an der Oberflache des Zylinders, stetig bleiben mussen. Bezeichnen wir die auf den AuBen- mum beziiglichen GroBen durch den Index 1, die dem Innen- mum entsprechenden mit 2, so folgt demgema6:

12) a) (@*)I = (@A 9 { b) (QJI = ( @ J 2

Statt letzterer Gleichung hat man auch, wie Differentiation nach t und Benutzung von ( lc) ergibt:

Dazu tritt noch eine Bedingung hinzu, die aussagt, daB in unendlicher Entfernung vom Zylinder (r = co) die durch denselben hervorgerufene Storung unmerklich geworden ist, d. h. da6 wir in unendlich groBer Entfernung wieder eine ebene Welle haben. Das gibt im Zusammenhange mit den Be- dingungen der Aufgabe die Gleichung:

Aus Gleichung (1) erhalt man in der bekannten Weise die folgende fur C5 (wie wir jetzt der Einfachheit halber fur Gz schreiben wollen):

(3)

Um zu einer Integration von (3) zu gelangen, setzen wir, unter Beriicksichtigung des Umstandes, daB wir rein periodische Vorgange betrachten,

0. Do

m

wo Q, eine Funktion von r allein bedeutet. Setzt man (4) in (3) ein, so folgt fur Q, die gewohnliche Differentialgleichung:

(5)

4G0

wo k 2 eine Abkurzung von der Bedeutung

CL. Scllaefer u. I{! Grossmunn.

ist. Nehmen wir als AuBenraum das Vakuum, fur den Innen- m u m ein riicht magnetisierbares Medium mit der Dielektrizitat s- ltonstanten E , so folgt fur den AuBenraum:

fur den Innenraum: 4 n ’ e - nP& 1‘ c2

k2z = - -.

Gleichung (5) ist die Besselsche Differentialgleichung, deren Integrale die Besselschen Funktionen erster und zweiter Art vom Argument Rr Hind, die wir mit J , ( k r ) und &,(kr) bezeichnen. Statt Q,, wollen wir eine Funktion K,,, einfuhrei,, fur die Tabellen vorliegen; ihr Zusammenhang ist durch die Gleichung gegeben:

i n 2

Q, = I<m - - J,.

Unter 4, und K, verstehen wir folgende Reihen:

X XS 21 1 J,(.) = 2 . 4 . . * 2 m ( 1 - L ‘ j 2 ~ ~ ~ + n ) + 2 > ( 2 ~ b + 2 ) ( 2 ~ ~ + 4 ) * “ J ’

2 1 1 K, (2) l) = J,,,, (x) . log - + ( 1 + 2 qn + . . . -) J, (N)

YZ

S

0. 00

8

Sind J,, J,’, ri,, K i (wofur Tabellen vorliegen) bekannt, so lionnen beliebig hohe Ordnungen durch einfache Rekursions- formeln berechnet werdene2) Fur sehr groBe Werte des Argu-

1) logy = 0,5772 . . ., die sogen. Mascheronische Konstante. 2) Vgl. z. B. Gray snd M a t t h e w s , Treatise on B e s s e l functions,

p. 13, Gleichungen (16) bis (20).

Beugung ekktroma~netischer Wellen usw. 461

ments (mit betrachtlicher Annaherung sclion fur z = 5) gelten die ,,asymp to tischen Dars tellun gen :

e 1 (7/4 - r/ . i n Q, (x) = All l (.T) - -; 4, ( T ) = - in' + ' 2 (7)

Speziell folgt aus (7) : (7 4 Q, (2) = im Qo (.r) .

Das allgemeine Integral von (5) erhalt man daher in cler Form :

i n (8) bm .r, ( k .) + 0, ( (a 4 - Jm ( k 9

bezeichnen wir die Werte R,r durch p , (AuBenraum), k,r mit p 1 (Innenraum), so folgt aus (6) und (4) fur den AuBenraum:

fur den Innenraum:

Die Koeffizienten am, b m , 04 , 6,; sind durch die Grenz- bedingungen (2 a), (Zc), ( 2 4 bestimmhar. Man erhalt durch einfache Rechnungen: b,, = 1; bm = 2i"; ferner alle a; = 0 ; endlicli erhalt man fur die fur uns wichtigsten Koeffizienten am folgende Gleichung:

und n2 sind die Werte von p1 und p z fur r = !I (an der Zylinderoberflache). F u r m = 0 ist der Faktor 2 auf der linken Seite zu streichen. Eine ahnliche Gleichung erhiilt man auch far die Koefhienten 64 , die nns irn folgenden jedoch nicht interessieren. Wir erhalten also endgultig:

4 62 CI. Schaejkr u. F. Grossmarut.

Diese Reihen sind in dem Falle, daB @ / A klein ist, gut konvergent, so daB man sich auf die ersten Glieder derselben beschranken darf; die komplexen Ausdriicke der Gleichung (1 1) sind natiirlich so zu verstehen, daB die reellen Teile zu nehmen sind. Man kann demgemaB Q, stets suf die Form bringen:

(12) Q, = d c o s n t + B s i n n t ;

bei den Messungen, auf die ich weiter unten zuriickkomme, wird stets der seitliche Mittelwert von Q2, namlich

T

0

gemessen, wo IT eine volle Periode bedeutet. Nach (12) ist dann einfach:

(p = . - A2 + B2 ( 1 2 4 2

Dies werden wir im folgenden benutzen. Wir werfen noch einen Blick auf die Gleichung (lo),

die die Koeffizienten der Reihe (11) definiert. Man erkennt, da6 die am nur abhangen von den GroBen

d. h. nur von der GroBe der Dielektrizitiitskonstante e und dem Verhaltnis ? / A , wahrend Q und il f*ur sich nicht in (10) vorkommen. Halten wir daher das Material, aus dem der Zylinder besteht, fest, so ist die einzige Variable Q/A, Darin ist fiir die ganze Erscheinung nun ein Ahnlichkeitssatz aus-

1) Vgl. dafur z. B. G r a y and M a t t h e w s , 1. c. p. 18. G1.(39)ff.

Betigung eleektromagnetischer llellen usw. 463

gesprochen: Die Koeffizienten a, bleiben dieselben , wenn Zylinderradius und Wellenlange im namlichen Verhaltnis ge- andert werden. Im folgenden werden wir die Konsequenzen dieses Satzes fur die Erscheinungen hervorheben.

U r e i Falle sind es nun namentlich, welche fur eine experimentelle Untersuchung ganz besonders in Betracht kommen, und die daher hier naher diskutiert werden sollen, namlich die Energieverhaltnisse vor dem Zylinder ( y = 0) , hinter dem- selben (y = n) und seitlich von ihm (y=n/2).

Bevor wir zur Untersuchung dieser Falle ubergehen, wollen wir erst den Gleichungen (11) eine fur die Diskussioii geeignetere Gestalt geben.

Gehen wir namlich mit dem MeBinstrument (das uns @ anzeigen soll) nicht allzu nahe an die Oberflache des Zylinders heran - dies verbietet sich in der Tat aus experimentellen, spater genauer zu erwahnenden Griinden l) - , d. h. geben wir p , nicht allzu kleine Werte, so durfen wir fur die Besse l - schen Funktionen Q, mit groBer Annaherung die asymptotischen Darstellungen nach (7) und (7a) benutzen. Wir erhalten dann statt (ll), wenn wir uns gleichzeitig auf die drei ersten Glieder beschranken, was hinreichende Kleinheit von ( ) / A zur Voraussetzung hat: (13) @, = eint ( [a , + ia, cos q - u2 cos 2 y ] Q,(p , ) + eipl cOs “1. Setzen wir hierin noch:

am = a, + ip,,

so folgt bei Beschrankung suf den reellen Teil:

wo zur Abkiirzung gesetzt ist:

(1 5)

rf,=cc, - / 3 , c 0 s y - c 1 2 c 0 s 2 y ,

I/ , = n p - p, . 1 BV = /?, + cc, cosy - p, cos 2 y , I

1) Vgl. weiter unten p. 493.

464 CI. Schaefer u.

Bringt man (14) auf die Form

(16) c r

\ + sinnt -sin(p,coscp) + j + ( ~ ~ c o s v - ~ ~ s i n y ) ] .

Spezialisieren wir dies tuniichst fi ir den Pall cp = 0, d. h. fur die Punkte der x-Achse vor dem Zylinder; wir erhalten nach (15) und (16) den Wert von C5, indem wir dort cosy = 1 setzen; die entsprechenden Werte von Aq und B, wollen wir mit A, und Bo bezeichnen.

1 2 P1

So folgt:

G~ p = O = cos n t [cos p , + dg (A, sin q, + B, cos y ) I + sinnt [- sinp, +

Nach (12:~) erhalten wir fur Wert v:

I

den der Messung zuganglichen

Gleichung (17) besagt, ilaB sich vor dem Zylinder Inter- ferenzstreifen ausbilden, deren Intensitat mit wachsender Ent- fernung von der Zylinderachse abnimmt. Die Lage der Maxima und Minima hangt ab - von der Grol3e der Koeffizienten A, und B,; diese aber sind lediglich Funktionen von E und glh, Daraus folgt: Die Interferenzstreifen verschieben sich sowohl, wenn hei konstantem E sich das Verhaltnis @ / A Bndert, als aueh, wenn bei festgehaltenen Dimensionen g und il das &!aterial des ZyEinders variiert wird. Letzteres Ergebnis ist es nnnientlich , welches iiber die Resultate der alten Beugungs- theorie herausreicht. Eine ahnliche Bemerkung gilt fiir die Intensitaten der Interferenzstreifen ; auch sie hangen von den- sclben GroBen ab. - Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Maxima oder Minima betragt h/2. Zndlich lehrt das Auf- treten des stets positiven Gliedes n / 2 p 1 (Ao2+ Boa) in Glei- chung (1 i'), daB die Intensitiit der Interferenzen ,,unsymrnetrisch': in bezug auf die ,,normale" Intensitat (d. h. diejenige ohne Zylinder) ist.

Beugung elektromagnetischer Wellen usw. 465

I n der Fig. 2 sind fiir einen bestimmten Fall, der reali- siert werden kann (und worden istl)), die berechneten Inter- ferenzerscheinungen wiedergegeben ; dabei ist angenommen :

E = 81 ; A = 24cm;

e, = 0,15 cm ; qIr = 0,34 cm ;

Als Abszissen sind in Fig. 2 aufgetragen die Entfernungen r von der Zylinderachse in Zentimetern; als Ordinaten sind be-

eIrr = 1,21 cm.

nutzt die Intensitaten in Pro- zenten der ,,freientL Strahlung. Man erkennt deutlich die Verschiebung der Maxima und Minima fur verschie- denes ell., die Intensitats- unterschiede der einzelnen Kurven, sowie ihre Asym- metrie beziiglich der Ordi- nate 100 der ,:freien" Inten- sitat.

Fur dieselben Werte Q/A sind auch unter Zugrunde- legung des Wertes E = 25 die Interferenzen berechnet worden; es ist bemerkens- wert, daB die von der Theorie geforderte Abhangigkeit der Lage der Interferenzstreifen vom Material zwar zum Aus- druck kommt, aber ralativ sehr klein ist. Die Verschiebung

Fig. 2.

betragt trotz der erheblichen Differenz in den Dielektrizitats- konstanten nur etwa l/looA. Dagegen ist allerdings der MaterialeinfluB in den Intensitatsverhaltnissen der Interferenzen deutlich zu erkennen und bequem nachweisbar.

Wir gehen jetzt iiber zur Untersuchung des Zustandes seitlich vom Zylinder, d. h. fur 'p = n12.

1) Vgl. weiter unten p. 493. Annalen der Physik. IV. Folge. 31. 31

46 6 Cl, Schnefer u. BI Grossmann.

Fur diesen Fall liefert uns Gleichung (16):

Hierin sind A,,, und B,p die Werte von AT und B, fiir

Fur den der Berechnung zuganglichen Wert von Ki er- 'p = 4 2 .

halten wir demgemag :

Ahnlich, wie vorher, besagt (18), da6 auch seitlich vom Zylinder sich Interferenzstreifen ausbilden; abgesehen von der geanderten Intensitat der Maxima und Minima unterscheiden sie sich nur dadurch von den vorhin besprochenen, daB hier die Entfernung je zweier aufeinanderfolgender Maxima oder Minima gleich il, also doppelt so grog wie im ersten Falle ist.

Wir gehen jetzt iiber zur Untersuchung des Zustandes hinter den Zylinder, niimlich fiir y = n. Hier ergibt Glei- chung (1 6) folgendes :

(A, sin + 23, cos tp)

(A, cos q - B, sin y)] i

A , und B, sind die Werte, die man aus (15) erhalt, wenn dort y = n gesetzt wird. Nach (124 erhalten wir daraus:

oder, da nach (15) I+ = n14 - p1 ist:

Beugung elektromagnetischer Wellen USUL 467

Fiiihrt man darin noch den Wert 2 xrlil fur p , ein, so folgt endlich:

Man erkennt sofort, da6 hinter dem Zylinder keine Inter- ferenzstreifen zustande kommen ; vielmehr ergibt die Dis- kussion von (20a) folgendes Verhalten: der Ausdruck

I 4 (A: + Ec)

ist stets positiv, wahrend die GroBe

dies keineswegs zu sein braucht. Man muE ferner beachten, da6 (20a) nur f u r den Bupenraum silt, d. h. nur fur solche Werte von r, die gro6er als e sind. Man ersieht dann unmittelbar, daB folgende Moglichkeiten vorliegen :

I. d:(Bz+Bz) ist positiv. Dann ist der ganze Klammer- a.usdruck positiv und groEer als 1. Berucksichtigt man, daB bei ,,freier" Strahlung die Ausdrucke mi t A, und B, gar nicht vorhanden sind, d. h. da8 der Klammerausdruck den Wert 1 hat, so erkennt man, dap in diesem Ealle durch das Einbringen des Zylinders in den Strahlengany eine Terstarkung der Strahluny erzeugt wird, die mit wachsendem r sich der Null nahert. Diese Vermehrung der Energie hinter dem Zylinder kommt durch eine eigentiimliche Verteilung der Energie urn den Zylinder herum zustande, auf die wir spater werden einzugehen haben.

Diese Erscheinungsform werde im folgenden Typus (oder Charakter) I genannt.

11. 6 ( h z + B ~ ) i s t neyativ.

Wir schreiben nun (20a) in folgender Form:

468 Cl. Schaefer u. F. Grossmann.

Es kann dann der Fall eintreten, da6 der absolute Betrag des als negativ vorausgesetzten Ausdruckes

so grob ist, da8 bereits fur r = p (d. h. den kleinsten Wert von r, fur den Gleichung (20b) noch gelten kann) die Ungleichung erfullt ist :

Diese Ungleichung ist dann a fortiori fur alle gro6eren Werte von r gultig, mit anderen Worten: die Summe

- (A: 1 + -e) + G ( A , + B , ) 4 r

ist f u r den yanzen Aupenraum neyativ und nahert sich fur wachsendes r asymptotisch der Null.

Der Klammerausdruck in (20b) i'st also stets kleiner als I, was verglichen mit dem Werte fur freie Strahlung ergibt: Hinter clem Zylinder entsteht j e t z t eine Schwachuny (,,Schatten"), die asymptotisch verschwindel.

Wahrend im Falle I die Verstarkung mit wachsendem r stets abnimmt, gilt dies fiir die hier auftretende Schwaohung erst von einem bestimmten Werte von r an; denn im allgemeinen hat der Ausdruck

Jedoch ist folgendes zu beachten:

ein Minimum, in welchem der ,,Schatten" am tiefsten ist. Von da aber nimmt er mit wachsendem r ab. Die Lage des Mini- mums findet man leicht zu:

EY kann sich ereignen, da6 das so berechnete rmin. < g ist. Das bedeutet dann natiirlich, da6 gar kein Minimum auf- tritt, sondern die Schwachung standig mit wachsendem r abnimmt. l)

1) Es ist jedoch hier - und iiberall dort, wo so kleine Werte von v betrachtet werden - wohl :zu beachten, dafl dann die asymptotischen


Zusammenfassend kSnnen wir also sagen, da6 der Typus I1 eine Schirmwirkung des Zylinders darstellt ; alle Punkte der x- Achse hinter dem Zylinder erhalten eine kleinere Energie als im Falle freier Strahlung.

111. d$ (A, + Bn) sei wieder negativ; doch sei fur r = Q *),

d. h. fur die Oberflache des Zylinders

Der auf der linken Seite stehende Ausdruck wird nun mit wachsendem r immer kleiner; es gibt also ein bestimmtes ro, fur welches die Ungleichung in eine Gleichung ubergeht. Fur alle r > r,, gilt die Ungleicbung im umgekehrten Sinne. Wir folgern also :

1. fur r < yo ist der Klammerausdruck (20b) grgper als I ; das bedeutet also eine Perstarkung hinter dem Zylinder ;

2. fur r = ro ist der Klammerausdruck (20b) gleich I ; in diesem Punkte herrscht also die urspriingliche Helligkeit;

3. fur r > ro ist der fragliche Ausdruck kleiner als 1; hier tritt ein ,,Schatten" auf.

Der Punkt r = ro hei6e der ,,Indifferenzpunkt". Seine Lage erbalt man, indem man die Gleichung

nach r,, auflSst, es folgt: To = -(---) 1 A,¶ f Bn2 a .

8 A , + B ,

Die Kurven vom Typus 111 stellen gewisserma6en die Ver- bindung her zwischen den Kurven vom Charakter I und 11.

Man erkennt den Verlauf am besten au0 der graphischen Darstellung in Fig. 3.

Darstellungen der Besselschen Funktionen nicht mehr anwendbar sind und daher die obige Betrachtung streng genommen nicht mehr gilt; man muB dann auf die allgemeinen Formeln zuruckgreifen. I m Texte ist die vereinfachte Darstellung der Kurze halber gewiiblt worden.

I) Vgl. vorstehende Aninerkung.

470 Cl. Schaefer u. I? Grossmann.

Dort sind fur eine Reihe von Werten ( A = 58 cm, E = S l : die lntensitatskurven hinter dem Zylinder gezeichnet, und zwar sind als Ordinaten die Werte von @ in Proz. der freien Strahlung aufgetragen; als Abszissen die Werte von r, d. h. die Entfernungen hinter dem Zylinder. Man sieht, dab ffir r = 0,15 cm, 0,30 cm, 0,34 cm, 0,44 cm und 0,55 cm die Kurven den Typus I besitzen, und zwar steigt die Verstarkung in der

Entfcrnung v. d.2ylinderachz.e.

Fig. 3.

angegebenen Reihenfolge; ebenso gehijrt auch r = 0,70 cm noch dem ersten Typus an; die betreffende Kurve liegt jedoch wieder unterhalb derjenigen fir 0,55 cm. Die Verstarkung passiert also bei wachsendem Q ein Maximum.

Wenn man sich auf sehr diinne Zylinder beschrankt, so dal3 die Reihe (1 1) mit dem ersten Gliede abgebrochen werden darf, kann man sich direkt an den B’ormeln von diesem Ver-


lauf der Erscheinung iiberzeugen, ohne erst numerische Rech- nungen durchzufuhren. Nine leichte Rechnung ergibt :

woraus fur sp = x unter Abspaltung des reellen Teiles folgt: @Z 7 9 GI = cos (nt - p,) + ~ ( E - 1) cos(nt - p l - x/4).1)

‘p=n ;I2 a”% Unter konsequenter Vernachlassigung von Gliedern, die in g / A hoher als von der zweiten Ordnung sind, ergibt sich daraus fur (3, a der Wert: -

Der Klammerausdruck ist groper als 1, und zeigt also eine mit wachsendem Q wachsende Verstarkung der Intensitat hinter dem Zylinder an, wie wir es vorhin schon aus der Figur ab- gelesen haben.

Ein Beispiel des Typus 111 liefert e = 0,72 cm; das Mini- mum, von dem vorher die Rede war, ist in der Figur so flach, daB es kaum wahrzunehmen ist.

Dem Typus I1 (Schirmwirkung) gehiiren die ubrigen Kurven der Fig. 3 an; bei zweien derselben ist das Minimum deutlich ausgepragt.

Ein Blick auf die Fig. 3 kiinnte zu der Anschauung fuhren, dab die Schfittenwirkung, wenn sie erst fur ein he- stimmtes p eingetreten ist, mit wachsendem Q immer groBer wird. Doch ist dariiber a priori nichts auszusagen; vielmehr bedarf es einer numerischen Rechnung, da die Koeffizienten am zu kompliziert gebaut sind, um ohne weiteres eine Diskussion zu gestatten. Da aber der allgemeine Charakter der m6glichen Kurven ein fur allemal festgestellt ist, bedarf man nur der Kenntnis eines einzigen Punktes jeder Kurve. Wenn man so gema6 (20a) oder (20b) die Werte von etwa fur die Ent- fernung r = 10 cm von der Zylinderachse berechnet, so kann man eine Kurve derart zeichnen, daB man diese Werte von ,“

1) Diese spezielle Gleichuiig findet sich in anderer Form schon bei

y = x

Rsyleigh, Phil. Mag. 12. p. 81. 1881.

472 CI. Schaefer u. 2% Grossmann.

als Ordinaten und die zugehijrigen Werte des Zylinderradius Q als Abszissen auftragt. So ist far die Radien von 0,O cm bis 1,5 cm die Fig. 4 berechnet, und zwar fur die Wellenlangen 24 und 30 cm.

Beide Kurven haben denselben Charakter, eine Polye des auf p . 463 ausgesprochenen Ahnlichkeitssatzes.

Die Kurven zeigen fur sehr kleine Werte von Q - in Ubereinstimmung mit dem vorhin Gesagten - ein Ansteigen uber die der Ordinate 100 entsprechende ,,freie" Intensitat; diese Verstarkung passiert ein Maximum; fur einen bestimm ten Wert von Q schneidet jede Kurve die Ordinate 100. Bei noch groBeren Werten von g haben wir dann ein rapides Absinken unter diesen Ordinatenwert ; an bestimmten Stellen folgt dann aber ein periodisches Auf- und Absteigen der Kurven, das noch einer besonderen Untersuchung bedarf. Es wird im

Beugung elektrornagnetischer Wellen usto. 47 3

folgenden gezeigt werden , daB diese Erscheinung mit den Eigenschwingungen des dielektrischen Zylinders zusammenhangt.

Der elektromagnetische Zustand des dielektrischen Zylinders ist charakterisiert durch eine partielle Differentialgleichung und zugehijrige Randbedingungen ; es werden dem Zylinder also im allgemeinen Eigenschwingungen zukommen.

Wenn man diese untersuchen will, so hat man wieder auszugehen von der Differentialgleichung (3) und den Rand- bedingungen (2a) bis (Zc). Dagegen kommt natiirlich die Be- dingung (2d) in Fortfall, da wir ja gar keine ,,erregende" Welle hier haben: Im Gegenteil durfen wir im AuBenraum jetzt gar keine stehenden Wellen haben , sondern nur solche, die vom Zylinder nach auBen fortschreiten.

Wir setzen an, ahnlich wie vorhin:

m

wobei wir es aber noch unentschieden lassen wollen, ob v reell oder komplex ist. Sollte es komplex sein (Y = a + b i), 80

sind fur uns jedenfalls nur positive Werte von b zu brauchen, da wir andernfalls mit der Zeit unbegrenzt wachsende Werte von @ erhalten wurden. Die physikalische Bedeutung von a ware dann die ,,Prepuenz", die von b die ,,DBmpfungskonstante" der betreffenden Schwingung.

Durch den Ansatz (23) folgt aus (3) wieder die Besse l - sche Differentialgleichung (5 ) , deren Lijsungen wir jetzt fur den Innen- und AuBenraum anzusetzen haben. Im Innenraum konnen wir jedenfalls nur dasjenige Integral brauchen, welches fur dae Argument T = 0 endlich bleibt, also nur J,,,(.r). Wir haben so:

m

wenn wir

setzen. Im AuSenraum dagegen ist Jm(x) nicht brauchbar, weil

es Veranlassung zu stehenden Wellen geben wurde, die bei dem hier betrachteten Problem nicht auftreten durfen.

474 CZ. Schaefer u. l! Grossmann.

Wir erhalten demgemaf3 im AuBenraume:

@, = e iVt C Am &,(a,) cos m y , 0, M

ni (25) wenn

gesetzt wird. fl kl'r = yr =

c

Die Grenzbedingungen (2a) und (2 c) fordern dann :

wo El tz die Werte von x1 und z2 an der Oberflache, d. h. fur r = Q sind.

Die Gleichungen (26) sind nun durch von Null verschiedene Werte von A, und B, nur dann zu befriedigen, wenn folgende Determinante verschwindet:

oder wenn kl (27 a) k, Qn'z (li) J, (82) - Jn'z ( t a ) Q, (ti) = 0 *

Die Gleichung (2 7 a) ist aufzufassen als Bedingungsgleichung zur Bestimmung des unbekannten, in El und E2 steckenden v. Da der Index m von 0 bis co lauft, sind unendlich viele Gleichungen (27 a) vorhanden.

Man erkennt nun leicht, da6 El und ta, mithin auch v, nicht reeE1 sein konnen. Denn ware letzteres der Fall, so ware J,' (&) /J, (&J reell, wahrend die Ausdriicke Q;&) und &, (&) komplex sind. Ein Verschwinden des Ausdruckes (27 a) konnte demgema6 nur dadurch hervorgebracht werden, daS der imaginare und der reelle Teil zugleich, d. h. fur denselben Wezt von v verschwinden, wag offenbar unmiiglich ist. Man sieht also, daB ungedampfte Schwingungen - diese wurden ja reellem v entsprechen - iiberhaupt nicht existieren konnen, was physikalisch wegen der Ausstrahlung auch unmittelbar einleuchtend ist. Also miissen El und Ez, und folglich auch v als komplex angenommen werden.

Jede der unendlich vielen Gleichungen (27 a) hat nun unendlich viele Wurzeln, deren reeller Teil jedesmal die Frequenz,


deren imaginarer die Dampfung der Eigenschwingungen be- stimmt.

Die numerische Berechnung der einzelnen Werte ist recht umstandlich und sol1 daher hier unterbleiben. Doch miissen wir jetzt auf den Zusammenhang der Eigenschwingungen mit dem oben erwahnten periodischen Schwanken der Kurven von Fig. 4 naher eingehen.

Zu dem Zweck bringen wir die Koeffizienten a , (vgl. Q1. (10)) auf folgende Qestalt:

Die Anzahl der letzteren ist also ma.

1% Jm (fit 1 Jm' (fi2) - - Jm' (mi) Jm ( ~ 2 )

Ic, - Q,; ( 7 4 Jm (.2) - Jm' (4 Qm b l ) k,

am - 2im ____ k2 - (28)

Ein Vergleich von (27a) mit dem Nenner von (28) la6t erkennen, da6 beide den gleichen analytischen Ausdruck haben, wenn davon abgesehen wird, daB & & homplex, dagegen ntl 7c2

reell sind. Dieser Unterschied liegt in der Natur der Sache, da die erzwungenen Schwingungen j a ungedampft sind. Daraus folgt iibrigens nach dem vorher Entwickelten, daE die Koef- fizienten am niemals m werden konnen, also auch (El immer endlich bleibt. Die Ubereinstimmung der Form des Nenners von (28) und von (27a) berechtigt uns nun dam, die Wurzeln des reellen Teiles des Nenners von (28) als die Prepuenzen der u ? i g e d ~ m ~ f t e ~ Eiigenchwingungen zu bezeichnen , wahrend der reelle Teil von (27a) diejenigen der gedampften liefert. Und zwar sind hier, wie stets, die Frequenzen der gedtlmpften Schwingung kleiner wie die der entsprechenden ungedampften Schwingung.

Urn nun zu einem Urteil uber den Zusammenhang der Eigenschwingungen mit dem erwahnten Auf- und Abschwanken der Kurven von Fig. 4 zu gelangen, sind die ersten Wurzeln fur den Index m = 0 und m = 1 berechnet worden.

Es ergab sich so fur m = 0 angenahert als erste Wurzel: ndl = 0,0955, woraus g,O = 0,365 cm

fur il = 24 cm folgtl); woraus e,,O = 1,776 cm fur die namliche Wellenlange,

als zweite Wurzel: 7cG1 = 0,465,

1) Es geniigt die Angabe von Q fur eine WellenlBnge.

476 Cl. Schaefer u. P. Grossmann.

Fiir m = 1 ergab sich als angenaherter Wert fur die

erste Wurzel: n1 = 0,263, woraus p,' = 1,006 cm folgt.

In der Fig. 4 sind diese Werte auf der Abszissenachse eingetragen und durch die so erhaltenen Punkte Parallelen zur Ordinatenachse gezogen. Man erkennt, daB die Maxima samt- licher berechneter periodischer Stellen sehr nahe mi t diesen Werten zusammenfallen, wodurch der Zusammenhang dieses eigentiimlichen Phanomens mit den Eigenschwingungen evident wird. Man kann demnach das hier behandelte Beugungs- problem auch als einen Fall erzwungener Schwingungen oder, was auf dasselbe hinauskommt, als ein Resonanzproblem auf- fassen. Darin ist ein innerer Zusammenhang mit der Theorie der Dispersion begriindet, auf den am Schlusse des theoretischen Teiles noch naher eingegangen werden soll.

Die im Vorhergehenden angestellten theoretischen Er- wiigungen [vgl. insbesondere die Diskussion der Qleichungen (17), (18), (20), (20a)l lassen noch eine Lucke: da wir namlich die asymptotischen Darstellungen der B e s selschen Funktionen eingemhrt haben - ohne welche eine allgemeine Untersuchung iiberhaupt unmoglich gewesen ware -, kennen wir die Ver- haltnisse erst in einiger Bntfernuny vom Zylinder , wahrend z. B. die Vorgange an der Oberflache des Zylinders noch im Dunkeln sind.

Es sind deshalb bei einer gegebenen Wellenlange (A = 24 cm) fur eine Anzahl von Werten von g (g = 0,21 cm; 0,56 cm; 0,73 cm; 0,99 cm; 1,02 cm) die Betrage von rings um die Oberflache herum berechnet worden; der Winkel 9 hatte dabei naeheinander die Werte

sp=Oo, 20°, 40°, 60°, SOo, 90°, looo, 120°, 140°, 160°, 180°.

Weiter zu gehen ist nicht sotwendig, da das Phanomen zu beiden Seiten der x-Achse symmetrisch verlauft.

Die Werte von G T sind, ausyedriickt in Protenten der ,,freien" Intensitat, in der folgenden Tabelle enthalten und in den Figg. 5 u. 6 dargestellt.

- - rp

00 20 40 60 80 90

100 120 140 160 180


0,21

222 Proz. 223 223,95 225,28 226,9 227,?6 228,60 229,75 23 1,02 831,84 232,12

I 0,56

16,2 Proz

11,l

12,7

e = 0,73

5.06 Proz. 4,32 2,67 1,46 2,18 3,56 5,62

11,39 17,87 22,86 24,90

0,89

1996 Proz. 1766 1178

505 63 0

62 508

1200 1812 2043

1,02

1285 Proz. 1136 760 328 41

41 375 863

1156 1312

091

Ein Blick auf die Tabelle lehrt, daB es sich hier urn handelt ; deshalb ganz verschiedene Grofienordnungen von

478

ist Fig. 6 im f00fachen MaBstabe der Fig. 5 angelegt. Die Kurven in Figg. 5 und 6 sind folgendermaBen erhalten:

Vom Zentrum der Figur aus sind Radienvektoren gezogen, die mit der Richtung der einfallenden Wellen die oben angefiihrten Winkel 4p bilden. Die Radienvektoren sind jedes- ma1 so lang gewahlt worden, als es dem zugehorigen, aus der Tabelle ersichtlichen Werte von von @? entspricht,. Die erhaltenen Punkte wurden dann zu Kurven erganzt.

Cl. Schaefer u. I? Grossmann.

Fig. 6.

Um einen Vergleich mit der ,,freien" Intensitat zu er- moglichen, sei darauf hingewiesen, da0 fur diesen Fall die Kurre ejnen Kreis bildet; der Radius dieses Kreises ist in beiden Figuren als Einheit angenommen. In Fig. 5 ist der innerste Kreis dieser Einheitskreis; in Fig. 6 konnte er wegen der 100 fachen VergroBerung nicht gezeichnet werden; er wiirde


noch den 4fachen Radius des iiuFersten Kreises dieser Figur besitzen.

Die Kurven zeigen besser als jede Schilderung die eigen- tumliche Art der Energieverteilung an der Oberflache des Zylinders. Im besonderen beachte man folgendes: Die Werte von e sind so gewahlt, daS sie mit den Eigenschwingungen (vgl. Fig. 4) in Beziehung stehen: e = 0,21 cm liegt uor, q = 0,56 cm und Q = 0,73 cm hinter dem Maximum der ersten Eigenschwingung ; ebenso e = 0,99 in unmittelbarer Nahe VOT, g = 1,02 in unmittelbarer Nachbarschaft hinter dem zweiten Maximum. Wahrend fur e = 0,21 die Energie rings herum gegen die normale vergrol3ert ist (Fig. 5), ist sie fur q = 0,56 und e = 0,73 sehr erheblich herabgesetzt (Fig. 6), um fur die der zweiten Eigenschwingung unmittelbar benachbarten iibrigen Werte eine ganz enorme GroBe zu er- reichen [Fig. 5). Die periodischen Schwankungen von $" der

Fig. 4 pragen sich demnach auch in den Figg. 5 und 6 deutlich aus.

'p=n

B. Die elektrische Kraf t ist senkrecht zur Zylinderachse.

In diesem Falle treten Ton den elektrischen Kraftkompo- nenten Er und GV auf, wahrend von den magnetischen nur (die der Zylinderachse parallele) $jz vorkommt. Da auBerdem, wegen der unendlichen Ausdehnung der Zylinder in der z-Richtung, alle Differentiationen d / 6' z gleich Null sind , so vereinfachen sich die Maxwell schen Gleichungen zu:

(29)

480

Endlich noch die (2d) analoge Gleichung:

Cl. Schaefer u. I? Grossmann.

Aus (29c) erhalt man in der bekannten Weise folgende Differentialgleichung fur 8 (wie wir jetzt kurz statt 8, schreiben wollen):

(31) em a t % ar= + T T + T ~ ,

die vollkommen mit Gleichung (3) fur (X identisch ist. Des- halb folgt durch die namlichen Ansatze (vgl. Gleichung (4)) auch hier :

E / A a'@ a a @ 1 a @ 1 --=-

da Qm 1 d Q m m 2 dr2 + r e + ( k a - F ) Q m = O ,

wo ka dieselbe Bedeutung wie fruher hat. Ohne weitere Rechnung ergibt sich daher:

wo c,, d,, d i zu Grenzbedingungen sich far die fur Gleichung :

(33) - 2 i" C,

bestimmende Koeffizienten sind. Aus den (30) folgt do = 1, d, = 2 im; ferner ergibt uns wichtigsten Koeffizienten cm folgende

Nach Gleichung (29b) erhalt man nun fur die zur Zylinder- achse senkrechte Komponente (X, die beiden Gleichungen:

1) Eigentlich sollte rechts das Minuszeichen stehen, mit Rucksicht auf Gleichung (2d); doch ist das belanglos.

Beuguny e leh t romapet i sche~ Wellen usw. 481

Beachtet man, daB 000

also 0. m C d , Jm'(pl)cosmy = i ~ ~ ~ c p e ~ p l ~ ~ ~ ~

m

ist, so folgt endlich fur 6,, der Wert:

Diese Qleichung wollen wir noch durch Einfiihrung der asymptotischen Formeln fur Q,' vereinfachen und dann dis- kutieren. Nach (7) und (?a) ergibt sich dann, wenn man sich auf drei Qlieder der Reihe beschrankt , was hinreichende Kleinheit von ~ 1 2 . zur Voraussetzung hat:

Epl = e i n t { [ c o + ~ C , C O S ~ - c z ~ o ~ 2 r p ] Q O ( p l ) -t ic,os 'p e i p 1 ~ o s q ) .

Sc hrei b t man :

und fiihrt die Abkurzungen ein:

cnr = j/* + larn,

yo - 8, cos cp - y* cos 2 y = c,, 8, + y1 cos 'p - 8, cos 2 rp = D, ,

I J!J = n p -PI, (37)

so erhalt man bei Beschrankung auf den reellen Teil: Eql =- cosysin(nt+picoscp)

oder endlich:

(3 9)

Annalen der Physik. IV. Folge. 31. 32

482 CI. Scltarfer u. F. Crossmnnn.

Diese Gleichung st.immt ihrer Form nach im wesentlichen rnit (16) uberein, so daf3 auch die aus dieser Gleichung ge- zogenen Folgerungen der Hauptsache nach auch hier dieselben sind.')

Aus nachher zu erorternden Grunden sol1 jedoch der Fall 'p = rn noch etwas naher besprochen werden. Da der allgemeine Charakter der Erscheinung derselbe ist, wie im Falle A, so geniigt

Eine genauere Diskussion erubrigt sich deshalb.

4

ch, Fig. 7 .

es hier fur unsere Zwecke, nach Analogie der Fig. 4, @ als

Funktion van p / k in einer bestimmten Entfernung (r = 10 cm: fur einige Wellenlangen zu kennen. So ist die Fig. 7 fur il = 24 und 30 cm berechneta), aus der ersichtlich ist, da8

1) Nur fur cp = l r / 2 zeigt sich hier eine Besonderheit, insofern infolge des Faktors cos cp dann das erste Glied der beiden Klammern in (39) in Fortfall kommt.

2) Fur die Berechnung dieser Kurve sind wir Hrn. cand. phil. Gruschke zu Dank verpflichtet.

p=Jz

Beugung elektromapetischer Wellen usw. 453

auch in diesem Falle die Kurven die periodischen Schwankungen zeigen, die schon in Fig. 4 beobachtet wurden. Natiirlich hangen diese Stellen auch hier wieder mit den Eiyenschioin- gungen zusammen. Diese letzteren erhalt man, ebenso wie fruher, indem man die Wurzeln des reellen Teiles des Nenners von c, berechnet. Man erhalt hier die Gleichung (diese ist naturlich eine andere, als im Falle A):

Als erste Wurzel fur m = 0 erhalt man:

und daraus

fur A = 24 cm; als erste Wurzel fur m = 1 folgt:

= 0,263,

($) 1) = 1,005

woraus n1 = 0,420,

(?]I) l) = 1,604

fur die namliche Wellenlange. Beide Werte von g sind in Fig. 7 eingetragen und durch

sie Parallelen zur Ordinatenachse gezogen, die den Zusammen- hang mit den Schwankungen deutlich hervortreten lassen. Auch der Fall B ist daher als Kesonanzproblem charakterisierbar.

Zu den Figg. 4 und 7 sind noch folgende Bemerkungen zu machen, deren erste folgenden Punkt betrifft:

Denkt man sich statt eines einzelnen Zyliuders deren eine Reihe in gleichen Abstanden, senkrecht zur Fortschreitungs- richtung der einfallenden Welle gestellt, wobei die Abstande gegen die Wellenlange groB gewiihlt sein mijgen, so erhAlt man ein Beugungsgitter, dessen Eigenschaften in erster Nahe- rung durch einfache Superposition der Wirkungen der einzelnen Zylinder und der einfallenden Welle erhalten werden konnen. Wir betrachten nun nur diejenigen von den Zylindern ausgehenden Wellen, welche dem Winkel 'p = 7t entsprechen. Werden dieselben durch eine Linse gesammelt, so erhalt man in der Brennebene das sogenannte Zentralhild des Beugungs-

1) Zur Unterscheidung von den friiher berechneten Wurzelwerten e eiugeklammert.

32 *

484 CI. S'chaefer u. li: Grossmann.

gitters. Wie aus dieser Darstellung hervorgeht , entspricht die Helligkeit des Zentralbildes gerade den in den Figg. 4 und 7 eingetragenen Werten von bzw. g, wenn man die

Helligkeiten des Zentralbildes in Prozejiten der urspriiirglichen (ohne Gitter vorhandenen) Intensitat m g t . Man bezeichnet dieses Verhaltnis in der Optik wohl als ,,Durchlassigkeit" des Gitters; wir werden diese Bezeichnung auch auf unsere Werte

bei einem Zylinder iibertragen und erstere durch B,, und letztere durch B, bezeichnen; die Indizes gehen die Lage des elektrischen Vektors zur Zylinderachse an.

Es haben nun insbesondere die Herren d u Bois und Ruben s l) fur Metalldrahtgitter das ,,Durchlassigkeitsverhiiltnis" D , , / D , ala Funktion der Wellenliinge h (oder, was auf dasselbe herauskommen wiirde, von @ / A ) untersucht. Sie fanden hei ihren Gittern - der Radius 4 jedes Zylinders war grop gegen die Wellenlange -, daB im sichtbaren Gebiet der Wert &,,/Dl > 1 war, mit zunehmender Wellenlange (d. b. ab- nehmendem ell.) allmahlich sich dem Werte 1 naherte, diesen Wert bei einer bestimmten Wellenlange (ca. 3-4 p) erreichte, urn dnnn mit noch griil3erer Wellenlange unter 1 zu fallen. Die physikalische Bedeutung des ,,Durchlassigkeitsverhaltnisses't U ,, /BL ist folgende:

1st D , , / D , < 1, so bedeutet das, daB das Gitter von ,,~)araUel polarisierter'' 2, Strahlung weniyer durchlafit, als von ,,senkrrcht polarisierter". z, Umgekehrt wiirde ein Gitter sich gegen die Strahlung einer Wellenlange verhalten, fur die l ~ , , / o ~ > 1 ist. Fur den ,,Inversionspunkt'L ( B , , / B l = 1) wiirde die Stellung der Gitterstabe zur Polarisationsrichtung gleichgiiltig sein. Das erstere Verhalten ( D , , / D , < I ) findet man bei den sogenannten Hertzschen Drahtgittern am starksten ausgepragt; den anderen Fall (B /Dl > 1) fur die d u Bo i s - Ruben sschen Drahtgitter im sichtbaren Gebiet. Unpolarisierte Strahlung wird daher durch ein Hertzsches Gitter iimgehehrt polarisiert, wie durch ein du B o i s - Rubenssrhes. Eine exakte Theorie dieser Umkehr der Gitterwirkung fur den d u Bois-

q = R q = n

und p=lr p=n

1) H. du R o i s u. H Rubens , Wied. Ann. 49. p. 593. 1893. 2) ,,Pardlel" und ,,senkrecht" bezieht sich immer auf die Richtung

des elektrischen Vcktors zur Zylinderachse.

Beugiiny elektromagneiischer Wellen i isw. 485

Rubensschen Fall steht zurzeit noch aus. Es ist unter diesen Umstiinden nun interessant , da6 wir fur einen dielektrischen Zylinder imstande sind, das ,,Durchlassigkeitsverhiiltnis': B ,, /DL zu berechnen. Man hat dazu einfach die Ordinaten der entsprechenden Kurven in Figg. 4 und 7 durcheinander zu dividieren. Das Resultat dieser Division ist in Pig. 8 niedergelegt, wo fur il = 24 und I = 30 das Verhaltnis D l U , als Bunktion von p dargestellt ist.

1 t l

Fig. 6.

Man erkennt daraus, da6 das Phanornen der Inversion auch bei einem ZJjlfndet. auftreten kann, und zwar gibt es viele Inversionspunkte. Man ubersieht. auch sofort, daB hier bei uns diese Inversionspunkte da auftreten werden, wo hinreichend stark ausgepragte Eigenschwingungen vorhanden sind. In unserem FaJle geben alle berechneten Eigenschwingungen Ver- anlassung zu diesem Phanomen, und man kann allgemein sagen, daB an den Stellen der Eigenschwingungen wenigstens Ano- malien in dem Gange des Burchliissiykeitsverhaltnisses B ,, /BL zu erwarten sind.

Ein Blick auf die beiclen Kurven in Fig. 8 zeigt sofort,

486 CI. Schaefer u. E: Grossmann.

da8 die Lage der Inversionspunkte eine Funktion von p i n ist, in dem Sinne, da6 fur gr6Beres il diese Stellen zu groBeren p rucken. Dies ist eine selbstverstandliche Folge des p. 463 ausgesprochenen Ahnlichkeitssatzes. Hier ist der tiefgreifende Unterschied unserer Inversionspunkte und des yon du Bois- R u b ens schen beobachteten. Dieser letztere namlich ist - soweit die Beobachtungen reichen - fur gegebene Wellenlange un- abhangig von der Starke der Drahtzylinder. Dies ist wesent- lich in dem Umstande begrundet, daB im d u Bois -Rubens- schen Falle die Materialkonstanten der Zylinder (Brechungs- exponent v und Extinktionskoeffizient x ) Yunktionen der Jfellen- lange sind, wahrend bei uns die entsprechende GroBe, die Dielektrizitatskonstante E , eine wirkliche Konstante ist. Wahr- scheinlich spielt, worauf du Bois und Rubens schon damals hinwiesen, auch der Umstand eine Rolle, daB die optischen Konstanten der Metalle (v und z) fur 2, = 3 ,u nicht mehr aus der Maxw ellschen Theorie berechnet werden konnen.’)

Die zweite Bemerkung betrifft den 2usammenhan.y mit der allgemeinen Theorie der Dispersion und Absorption. Diese Pha- nomene sind der Maxwellschen Theorie in ihrer urspriing- lichen Gestalt fremd, da sie jedes Medium als kontinuierlich betrachtet. Last man diese Annahme fallen und nimmt in den dispergierenden Stoffen Partikelchen an, die elektrischer Oszillationen fahig sind, so kann man aus der so erweiterten Theorie die Erscheinungen der Farbenzerstreuung in volikommen befriedigender W eise ableiten. Denken wir uns nun folgendes Medium hergestellt : Ins Vakuum werden in regelmaf3iger Snordnung parallele dielektrische , unendlich lange Zylinder eingebettet, in Abstanden, die zwar klein gegen die Wellen-

1) Es mag noch folgendes betont werden: Fur elektrische Wellen und dicke Netallzylinder kann man die Leitfahigkeit als a ansehen. Dann gilt, wie man sich leicht uberzeugen kann, der oben ausgesprochene Ahnlichkeitssatz wieder. Treten also hier auch Inversionspunkte auf - was durch das Experiment gepruft werden kann und von vornherein wahrscheinlich ist -, so muB deren Lage sich mit wacbsendem 1 ebenso zu grijBeren Werten von Q qmchieben, wie dies bei dem dielektrischen Zylinder der Fall ist. - Ubrigens wiirde man zweifellos auch eine Verschiebung des Inversionspunktes im d u Bois - Rubensschen Falle erhalten, wenn man die Gitterdimensionen in erkeblich weiteren Grenzen variierte, was jedoch experimentell sehr schwierig ist.


lange, aber doch so gro6 sein sollen, da6 die gegenseitige Be- einflussung vernachlassigt werden kann : dann rn@ dieses Medium nach der allgemeinen Theorie die 3rscheinungen der Bis- persion und Ahsorption zeigen, da ja die Zylinder Eigen- schwingungen ausfiihren kbnnen.'

Und zwar wird der Brechungsexponent in den beiden Fallen (CE 11 oder QL zur Zylinderachse) verschieden ausfallen : das Medium ist also aicch doppeltbrechend. Beriicksichtigt man endlich, daB j e nach der Richtung des elektrischen Vektors die Eigenschwingungen an verschiedenen Stellen des Spektrums liegen, so hat unser Medium gleichzeitig die Eigenschaft des Dichroismus. Wir konnen dasselbe daher als ein vollstandiges Xodell eines doppeltbrechenden, dichroitischen Kristalles betrachten. l)

Den unendlich vielen Eigenschwingungen entsprechend, wurde die Dispersionsformel unendlich viele Glieder besitzen ; wegen der Konvergenz dieser Reihe ist der Brechungsexpo- nent trotzdem endlich, und man hat hier einen speziellen Fall derjenigen Form der Dispersionstheorie, die von dem einen von uns a) fiir Serienspektren entworfen worden ist.

11. Experimenteller Teil.

Die folgende experimentelle Untersuchung des im theoretischen Teil behandelten Beugungsproblems durfte sich auf den Fall A beschranken, i n dem der elektrische Vektor parallel zur Zylinderachse orientiert ist, da die Formeln im Palle B im wesentlichen denselben Charakter tragen.

Es handelte sich also darum, die Vorgiinge in der Um- gebung des Zylinders fur y=O, y=n/2, y=n zu untersuchen.

A. Anordnung und Methode.

Ein Hertzscher Erreger, der in der Brennlinie eines parabolischen Spiegels aufgestellt war, erzeugte die primaren ebenen

1) Eine ilbnliche Betrachtung ist von Hasenohrl (Wien. Ber. 111. p. 1230. 1902) angestellt worden fur ein Medium, in das lquidistante dielektrische Kugeln eingelagert sind : dieses Medium wird natiirlich dispergierend, aber weder doppeltbrechend noch diehroitisch.

2) C1. Scbaefer , Ann. d. Phys. 28. p. 421. 1909; 29. p. 715. 1909.

488 Cl. Schaefer u. P. Grossmann.

polarisierten Wellen, die dann auf das zylindrische Hindernis fielen. Durch ein an geeigneter Stelle im Strahlengange be- findliches Thermoelement nach KlemenEiE wurde die Grol3e@, die im theoretischen Teile berechnet wurde, beobachtet.

Uber die Anordnuog im einzelnen ist folgendes erwahnens- vert :

Der Erreyer (Figg. 9 und 10) bestand aus zwei gleich langen, an dem einen Ende mit Kugeln von 4,2cm Durch-

a Zuleitung vom Induktor. b Hartgummiring. o Offnung zum Ein- fiillen. d VerschluSstopfen.

Fig. 9. Erreger.

a Zuleitung vom Induktor. b Mikrometerschraubeu. c Aluminiumstifte. Fig. 10. Erreger.

messer versehenen Messingzylindern von 2,l cm Durclmesser und 2,l cm Liinge. Um die Lange des Oszillators und damit die Wellenlauge seiner Grundschwingung variieren zu bonnen, wurden nach einer von dem einen von urn1) fruher ange- wandten Anordnung posaunenartige Ausziige benutzt. Diesc

1) C1. S c h a e f e r , Ann. d. Phys. 16. p.106ff. 1905.

Bewgung elektrornaynetischer Wellen ZISW. 489

waren mit einer Teilung versehen, an der man die Wellen- lange direkt ablesen konnte.

Die Funken gingen nicht i n Luft, sondern in 0 1 uber, und zwar wurde eine Mischung von Maschineno1 und Benzin zu gleichen Teilen verwendet. Um das 0 1 zu halten, war um die beiden Erregerkugeln ein Hartgummiring (6) (Fig. 9) herum- gelegt und mit Schellack an dieselben angekittet. Oben befand sich in dem Ringe eine Offnung (c) zum Einfiillen des Oles, an der Unterseite ebenfalls eine solche (d), durch einen Hartgummistopfen verschliefibar, um den Behalter reinigen zu kijnnen.

Um ein regelmafliges und miiglichst konstantes Funktio- nieren des Erregers zu erzielen, wurde das von M. Laugwi tz l ) empfohlene Verfahren angewendet : An den Erregerkugelri wurden kleine, durch eine Mikrometerschraube (a) in Fig. 10 vom Innern der Metallzylinder her verstellbare Aluminium- stifte (c) angebracht, so da8 die Funken zwischen diesen Stiften uberspringen mubten. Die Endfiachen konnten durch die Ytell- schrauben einander bis auf Bruchteile eines Millimeters ge- nahert werden. Dadurch wurde erreicht, dab die Funken immer an derselben Stelle und in gleicher Lange, namlich zwischen den sehr kleinen Endflachen der Stifte, ubergingen. Die Aluminiumstifte besaBen einen Durchmesser von 1 mm und ragten etwa ebensoweit aus den Kugeln hervor.

Wenn mit dieser Anordnung eine Messung repetiert wurde, so nahm zu Beginn die vom Erreger gelieferte Energiemenge ziemlich gleichma6ig entweder zu oder ab. Nach ein paar ,,ZundungenLL jedoch wurde die Strahlung aufierordentlich kon- stant, und erst wenn dieser Zustand eingetreten war, was durch eine Reihe von besonderen Messungen jedesmal gepruft wurde, wurde mit den definitiven Ablesungen begonnen.

Um ein Urteil iiber die Konstanz der Strahlung zu er- moglichen, lassen wir eine TGbelle folgen, in der eine An- zahl (6) aus dem Beobachtungsjournal willhurlich heraus- gegriffener Ablesungsreihen angefuhrt ist.

1) M. Laugwitz, Phys. Zeitachr. S. p. 378. 1907.

490 CI. Schaefer u. I? Grossmann.

1' a b e 11 e. l)

139 141 138 138 138 137 137 136 136 136

275 274 273 273 272 272 271 270 369 269

1 176 176 176 I 175 177 175 177 175 175 173

107 108 109 109 109 109 108 109 109 109

82,5 81,5 83,O 82,3 83,O 82,O 82,O 82,O 82,5 83,s

0,23

aalranometerausschlgge

109,O 109,O 109,8 109,3 109,O 109,8 109,3 109,3 109,8 109,3

0,09

I

0,36 0,21

Der Erreger befaiid sich in der - horizontal liegenden - Brennlinie eines parabolischen Hohlspiegels von 118 x 200 qcm Offnung. Durch die Hinterwand fuhrten Glasrohrchen fur die Zuleitungsdrahte des Induktoriums. Als solches wurde ein kleiner Induktor von K e i s e r und S c h m i d t mit W a g n e r - schem Hammer benutzt, der durch einen Akkumulator gespeist wurde. Um die Funken an der Unterbrechungsstelle des Hammers nach Moglichkeit zu beseitigen, wurde eine entsprechende Kapazitat parallel geschaltet.

Die Strahlung wurde gemessen durch ein KlemenEiEsches Thermoelement, das auf den Erreger abstimmbar war; es war in Verbindung mit einem hochempfindlichen du Bois- Ru6ens - .when Panzergalvanometer in J u l i u s scher Aufhangung. Der Empfanger war befestigt auf einem horizontal und vertikal verschiebbaren Gestell aus Holz und Hartgummi.

Die Zylinder, deren Wirkung auf den Strahlengang hier untervucht werden sollte, waren verschiedene, mit Leitungs- wasser gefullte Glasrohre von 0,2 bis 3,O cm lichter Weite.

1) Ich fiihre diese Tabelle namentlich aus dem Grunde an, weil der Laugwitzsche Erreger in den ,,Beiblattern" zum Gegenstande einer sbfalligen Kritik gemacht worden ist. Eine Korrespondene mit dem Hrn. Referenten hat mich iiberzeugt , dap die Priimissen seines Urteils azif einem Miflverstiindnisse beruhen. 8 c h a efer.

Beugung elektromagnetischer Wellen usw. 49 1

Die Dicke der Zylinder war - eatsprechend den berech- ncten Fallen -, klein gegen die zur Verwendung kommenden Wellenlangen von 24-58 cm ; ihre Lange betrug etwa 2 m ; obwohl dies keineswegs unendlich gro6 gegen die Wellenlange ist, reicht diese Lange doch aus, da der Empfanger im wesentlichen nur der stijrenden Einwirkung der nahe gelegenen Teile des Zylinders unterliegt, wahrend sich die Wirkung entfernterer Teile nicht mehr bemerkbar macht. Eine Verlangerung bzw. Verkurzung der Stabe um 10Proz. ergab in der Tat - uber- einstimmend lnit obigor Auseinandersetzung - keine Ab- weichung in den Resu1taten.l)

Der Aufbau geschah in Ubereinstimmung mit Fig. 1 nnd ist am besten ersichtlich aus Fig. 11.

a Spiegei. b Erreger. c Zylinder. d Thermoelement. Fig. 11. Aufbau.

Die Zylinderachse fie1 mit der z-Achse zusammen, die x-Achse zeigte mit ihrer positiven Richtung nach dem Erreger hin. I n den Fiillen, die fruher diskutiert wurden (cp = O und cp = m), befand sich der Empfanger naturlich ebenfalls auf der x-Achse. Die positive Richtung der y-Achse, in welche der Empfanger fur y = m i 2 eingestellt wurde., zeigte von der Zylinderachse senkrecht nach oben.

Die Funkenstrecke lag dann auf der r-Achse, der Er- reger selbst parallel zur z-Achse; die Brennlinie des Spiegels ging ebenfalls parallel zur z-Achse durch die Achse des Er-

1) Vgl. hierzu auch G. H. T 11 o m so n , 1naug.-Diss. Straflburg 1906.

492 CI. Schaefer u. 3: Grossmann.

regers. Die Spiegeloffnung stand senkreuht auf der x-Achse, die Resonatoren des Thermoelementes waren stets parallel zur z-Achse gerichtet.

Es ist noch hinzuzufiigen, daB die x-Achse diugoml zum iYimmervierack gerichtet war und sich in einer Hohe von 1,40 m vom Erdboden befand. Dadurch wurde bezweckt , storende Reflexionen von den Wanden und vom FuBboden nach Mog- lichkeit zu beseitigen. Eine Ausmessung des Strahlungsfeldes - ohne Zylinder natiirlich - ergah in der Tat, daB dasselbe vollkommen storungsfrei war.

Zunachst wurde die fieie Strahlung gemessen, dann ein Zylinder in der vorher beschriebenen Weise in den Strahlengang gebracht, die dann vorhandene Energie gemessen, und schlieBlich noch einmal die freie Strahlung untersucht. Bus diesen alternierenden Beobachtungen wurde dann die nach Einschaltnng des Zylinders resultierende Strahlung in Prozenten der freien Strahlung berechnet. Diese Messnngstripel wurden dreimal wiederholt nnd aus den so gewonnenen Zahlen das arithmetische Mittel als Endresultat genommen.

Die Beo6achtungsmethode war folgende :

B. Beobach tungen und Resultate .

Wie schon erwahnt, wurden die Zylinder in der Weise hergestellt , daB Wasser in moglichst dunnwandige Glasrohre eingefiillt wurde. Diese letzteren waren im leeren Zustande vollkommen wirlmngslos. Um das fur den Betrag der Storung inaBgebende Verhaltnis p [A von geeigneter CfriiBe zu erhalten uud dabei gleichzeitig noch die Erscheinungen fur variables il priifen zu konnen, schwankten die Radien der Wasserzylinder in den Grenzen voii 0,l bis 1,5 cm; gleichfalls wurden die Versuche mit zwei verscbiedenen WellenlBngen - 24 cm und 58 cm - angestellt; in einigen besonderen Fallen trat noch eine dritte Wellenlange, 3. = 34 cm, hinzu.

Was den Vergleich der dnrch den Versuch gewonnenen Resultate mit den berechneten Werten angeht, so ist zu be- merken, daB die Bedingungen des Experimentes von denen der Theorie sich insofern unterscheiden, als wir mit gedampften Wellen zu operieren gezwungen sind, wahrend die Rechnung

Beugung elektromagnetischer nkllen usw. 493

ungediimpfte voraussetzt. AuBerdem treten bei der gro Beren Wellenlange und in unmittelbarer Nahe des Zylinders gewisse Abweichungen zwischen den theoretischen und experimentellen Befunden auf, die davon herriihren , dap das Mepinstrument selbst das zu messende Strahlungsfeld andert. Es liegen hier im Prinzip genau dieselben Verhaltnisse vor, wie bei der Messung der elektrischen Feldstarke durch eine Probeladung. AuBerdem hat es an einigen Stellen den Anschein, als ob auch , ,Koppelungenbb zwischen Zylinder und Thermoelement auftraten, wenn sie in groBer Nahe voneinander befindlich sind. In diesen Fallen erleiden die Kurven gewisse Ver- zerrungen, die zum Teil nicht unbetrachtlich sind; jedoch ist diese prinzipiell nicht zu vermeidende Fehlerquelle in groBerer Entfernung des Thermoelementes vom Zylinder ganz gering- fugig.

Fur den Fall y~ = 0 ergab das Experiment folgendes: Die Zylinder wurden in einer Entfernung von 3 m von

dem Erreger in den Strahlengang gebracht; zwischen ihnen und dem Erreger befand sich der Empfanger. Die Resultate sind fur eine Wellenlange h=24 cm und der Wert g=0,15 cm, 0,30 cm, 0,34 cm, 1,21 cm in Fig. 12a-d niedergelegt. - Da fur h = 58 cm sich gleiche Resultate ergeben, so erubrigt sich eine besondere Zeichnung.

Ein Vergleich dieser Kurven mit den fur gleiche Werte von Q und h berechneten von Fig. 2, la& in folgenden Punkten volle Ubereinstimmung erkennen :

1. es sind stehende Wellen vor dem Zylinder vorhanden; 2. die Entfernung von Maximum zu Minimum betragt l44; 3. die Lage der Maxima und Minima stimmt mit der be-

4. die Interferenzstreifen zeigen die von der Theorie ge-

5. die Intensit'At der Interferenzen variiert ebenfalls mit p; 6. die Interferenzen sind in bezug auf die Ordinate

100 Proz. asymmetrisch.

Nur in einem Punkte macht sich der oben erwahnte Ein- fluB der Dampfung geltend, indem die ,,Sichtbarkeit" (im

rechneten uberein;

forderte Verschiebung mit variablem e;

494 CI. Schaefer u. 3’. Grossmann.

Michelsonschen Sinne) der beobachteten Interferenzen geringer ist, als die der berechneten: eine aus der Optik der Interferenz- erscheinungen wohlbekannte Tatsache.

2ylindera;hse.

Fig. 12 a-d.

Entfernung v.d.Zylinderachse.

Fig. 13.

Ber Fall y = %,I2 unterscheidet sich von sp = 0 im wesentlichen nur dadurch, daf3 die Abstande von Maximum zu Minimum der entstehenden Interferenzen nicht 11 4, sondern A / 2 sein sollen. Ein fur einen Zylinder von 1,21 cm Radius und fur eine Wellenlange il = 24 cm ausgefuhrter Versuch bestatigte diese Forderung der Theorie vollkommen, wie aus Fig. 13 ersichtlich ist.

Wegen der geringen Kbhenausdehnung des Hohlspiegels

Beivglrng elekiromagnetischer 3l'ellt.n usw. 495

Katte das Thermoelement eigentlich nicht weiter als 30 em von der Zylinderachse entferat werden sollen; nur bis zu r = 30 om gibt die durch k'reise bezeichnete Kurve der Fig. 13 die Vorgiinge daher richtig wieder; zum Vergleich ist auch die theoretische Kurve hinzugefugt.

Im Falle y = 7t ergab das Bxperiment folgendes: De*r Zylinder befand sich hier in einer Entfernung von

150 cm vom Erreger. Fur die Wellenlange 24 cm ergeben sich die Resultate aus Fig. 14, in der die gemessenen und

beobachteten Werte gleichzeitig eingetragen sind. Wir finden puantitativ nur geringe Abweichungen, die ganz wohl eine Folge der Dampfung der ausfallenden Wellen sein konnen. Diese Abweichungen nehmen mit wachsendem e zu. Qualitativ dagegen stimmen die Ergebnisse mit den von der Theorie ge- forderten volZkommen uberein. Die Kurve fur e = 0,15 cm reprasentiert den Typus I, die fur 0,3 cm den Typus 111, wahrend die ubrigen dem Typus I1 angehoren.

Das hier Gesagte gilt mutatis mutandis auch fur die in Fig. 15a--f dargestellten Verhaltnisse fur A = 58 cm, nnment- lich was den allgemeinen Charakter der Kurven angeht. Wir finden in Ubereinstimmung mit der Theorie:

1. die bei kleinen Stabdicken sich zeigende Verstarkung der Strahlung (Typ I);

2. den Durchgang dieser Verstarkung durch ein Maximum hei grB6er werdendem p ;

496 Cl. Schaefer u. F. Grossmann.

3. den allmahlichen Ubergang zur Schirmwirkung (Typ 11); 4. den Durchgang einzelner Kurven durch die Ordinate

5. das fur die Kurven vom Typus I1 und I11 charakte- cler ,,freien" Strahlung von 100 Proz. (Typ 111);

ristische Minimum.

1057

ro 20 30 40 so 60 w in0

1 = 58 cm, p = O,l5 em, 95 = n, E = 81.

11

b

i. = 68 cm, e = 0,30 em, cp = n, E = 81.

1 = 68 cm, e = 0,44 cm, 'p = n, E = &I.

730

e

71

id

I = 58 em, e = 0,55 em, = n, E = 81.

Fig. 15 a- P.

Eine Bbweichung jedoch tritt bei dieser groBen Wellen- lange auffallend hervor :

Es zeigt sich in den Kurven fur g = 0,74, 0,98 und 1,21 cm in den Abstanden von etwa 10-50 cm von der


Zylinderachse das Auftreten eines Maximums u7id Minimums. Diese Abweichung der Kurven von dem regelmafiigen Verlauf ist ale eine Folge der vorerwahnten gegenseitigen Beeinflussung

130%

720

110

100

SO

80

70

60

*to

30

ao

10 10 20 80 YO 50 6n 70 80 90 ioom.

~ ~ m ~ r r u o l g ~ u n am m.uateare

Fig. 15 f.

von Stab und MeBinstrument aufzufassen: es treten hier offenbar ,,Koppelungen" auf, eine Auffassung, die noch durch besondere Versuche gestutzt werden kann. l)

Es wurden ferner Versuche ausgefiihrt, um @ in der Ent- fernung r = 10 cm von der Zylinderachse als Funktion von p zu messen, und zwar fur die Wellenlangen 24 cm, 34 cm, 58 cm. Die Ergebnisse sind in Fig. 16, gleichzeitig mit den Berechnungen, graphisch dargestellt.

1) Vgl. hierzu die betreffenden Ausfiibrungen in der Dissertation YOU F. Grossmann.

Annalen der Physik. IV. Folge. 31. 33

498 Cl. Schaefer u. 3'. Grossmann.

Ein Vergleich zwischen Rechnung und Beobachtung ergibt folgendes:

1. in Ubereinstimmung mit der Theorie zeigt sich zunachst die Erhebung der Kurve uber die Linie der ursprunglichen Helligkeit bei kleinen Werten von p ;

Fig. 16.

2. die Kurve passiert ein Maximum und schneidet abwarts gehend die Ordinaten 100 Proz.;

3. daran schlieBt sich ein rapider Abfall. Dzmh diese Beobachtungen unter i. bis 3. is t gleichzeitiy die Existenz der ersten E~enschwingung nachgewiesen. Es ist dies der erste Fall, da8 an dielektrischen Kcrpern Eigenschwingungen experimentell beobachtet sind;

4. die Kurven machen dann eine scharfe Biegung nach rechts, nehmen dann aber im Gegensatz zu der Theorie einen mebr horizontalen Verlauf, ohne an den Stellen der hoheren


Eigenschwingungen das von der Theorie geforderte periodische Auf- und Absteigen zu zeigen. Immerhin ist eine gewisse UnregelmaBigkeit an den Stellen , an denen die Schwankung auftreten miibte, nicht zu verkennen.

Trotz vieler Versuche ist es uns noch nicht gelungen, hier bessere Resultate zu erzielen. Dies erkllrt sich auch leicht folgendermafien :

Die Beobachtung an diesen Stellen ist auBerordentlich erschwert, da sich der erwahnte Vorgang nur in einem ganz engen Gebiet, z. B. bei den erwahnten Versuchen mit I = 24 cm in dem Interval1 von 0 = 0,99 cm bis 1,02 cm abspielt. Nur sind aber die im Handel erhaltlichen Glasrohre, die zu diesen Versuchen benutzt wurden, nie nuf I/,,, mm genau zu erhalten, vor allen Dingen nicht in der hier erforderlichen groBen Weite. AuSerdem muB der EinfluB der Dampfung der Wellen sich dahin geItend machen, diese Stellen zu verflachen, aus dem gleichen Grunde, wie dies auch bei den beobachteten Inter- ferenzen in Fig. 12 gegenuber den berechneten in Fig. 2 der Fall ist. Mit ungedampften Wellen sind bessere Resultate zu erhoffen; die diesbeziiglichen Versuche sind in Angriff genommen. -

Fassen wir die Resultate des experimentellen Teiles zusammen, so diirfen wir sagen, daf3 die Ergebnisse des theoretischen Teiles eine weitgehende qualitative und quantitative Bestatigung erfahren haben.

Bres lau , Fhysik. Inst. d. Universitat, im Dezember 1909.

(Engegangen 7. Dezember 1909.)

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Untersuchungen über die Beugung elektromagnetischer Wellen an dielektrischen Zylindern