Untersuchungen zum Lösen eingekleideter Aufgaben

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    16-Mar-2017

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<ul><li><p>Hendrik Radatz</p><p>Untersuchungen zum Losen eingekleideter Aufgaben</p><p>"Columbus entdeckte 1492 Amerika. Wie lange istdieses vor dem 7j!hrigen Krieg geschehen?"</p><p>Aus: Diesterweg, F.A.W. 'Praktisches Rechen-buch'. GUtersloh, 1862.</p><p>The purpose of this study was (a) to examine the addition and sub-traction procedures used by kindergarten- and first-grade-childrenon orally presented problems, (b) to reexamine the research in se-veral countries on different categories of addition and subtrac-tion word problems, and (c) to compare the attitude of childrenK - 6 to word problems in mathematics.</p><p>Die Klagen Uber mangelnde Leistungen der SchUler beim angewandten</p><p>Rechnen in Form des Losens sprachlich eingekleideter Aufgaben*</p><p>sind nicht neu, sondern zahlreich in der Geschichte der Mathema-</p><p>tikdidaktik wiederfindbar. Eine vor kurzem durchgefUhrte Befragung</p><p>nieders!chsischer Grundschullehrer zu verschiedenen Aspekten des</p><p>!1athematikunterrichts (RADATZ et al., 1981) weist auf die Aktuali-</p><p>t!t des Problems hin. Auf die Frage "Bei welchen Inhalten/Themen</p><p>des Mathematikunterrichts in den Klassen 2 bis 4 haben viele SchU-</p><p>ler Schwierigkeiten?" dominiert Sachrechnen/Textaufgaben mit einer</p><p>relativen H!ufigkeit von 83 % aller Nennungen weit vor allen ande-</p><p>ren Themenkreisen des Mathematikunterrichts.- Die in vielen L!n-</p><p>dern fUr dieses Jahrzehnt zugewiesene Priorit!t einer mathematik-</p><p>didaktischen Grundlagen- und Entwicklungsforschung zum I (Word)</p><p>Problem Solving' verdeutlicht gewisse Erkenntnisdefizite, wohl</p><p>aber auch eine Hinwendung auf BedUrfnisse einer schulmathemati-</p><p>schen Unterrichtspraxis.</p><p>Aus der Literatur sind viele mogliche Ursachen fUr Schwierigkei-</p><p>ten beim Bearbeiten von Sachaufgaben bekannt, wie z.B. die Komple-</p><p>xit!t der Aufgabengestaltung, die sprachliche Formulierung, die</p><p>Vertrautheit mit der Sachsituation, bestirnrnte Variablen des Bear-</p><p>beitungsprozesses usf. (vgl. MAIER &amp; SCHUBERT, 1978; BENDER, 1981;</p><p>* Es wird verzichtet, auf die Unterscheidungsdiskussion und dieverschiedenen Definitionsversuche von eingekleideten Aufgaben,Textaufgaben, Sachaufgaben u.a. einzugehen.</p><p>(JMD 3/83, Seiten 205-217)</p></li><li><p>206 Hendrik Radatz</p><p>BREMER &amp; DAHLKE, 1980; PIPPIG, 1977 u.a.). Im Rahmen der vorlie-</p><p>genden Untersuchung sollte der Schwerpunkt gesetzt werden auf drei</p><p>Fragestellungen:</p><p>(1) Bereitet ein unterschiedlich semantischer Hintergrund von ein-</p><p>gekleideten Additions- und Subtraktionsaufgaben auch unter-</p><p>schiedliche Losungsschwierigkeiten?</p><p>(2) welche Fahigkeiten und welche Berechnungsstrategien zeigen</p><p>Kindergartenkinder und Schulanfanger beim Bearbeiten von sog.</p><p>Rechengeschichten?</p><p>(3) Entwickelt sich im Laufe der Grundschulzeit eine veranderte</p><p>Einstellung gegenUber sprachlich formulierten Rechenproblemen?</p><p>Die Anregung zur ersten Fragestellung kam durch den Beitrag von</p><p>GREENO (1979), der im Hinblick auf ein Modell des Bearbeitens von</p><p>Textaufgaben vier grundlegende Voraussetzungen der SchUler dis-</p><p>kutiert: (a) das Verstandnis und die Grundfertigkeiten der arith-</p><p>metischen Operationen (basic facts); (b) Kenntnisse zur syntakti-</p><p>schen Struktur von Gleichungen und Ungleichungen; (c) Vorstel-</p><p>lungsfahigkeit raumlicher Systeme beim Rechnen und (d) Unterschei-</p><p>dungsfahigkeit der semantischen Strukturen, die einer sprachlich</p><p>eingekleideten Aufgabe zugrunde liegen und einer bestimmten Ope-</p><p>ration bzw. Gleichung entsprechen. Gerade zu diesem letzten Punkt</p><p>liegen zahlreiche Untersuchungen aus den letzten Jahren vor (u.a.</p><p>CARPENTER et al., 1981; NESHER et al., 1982; RILEY et al., 1983).</p><p>Die semantische Interpretation der formalen arithmetischen Satze</p><p>in sprachlich gekleidete Rechenprobleme laBt sich in verschiede-</p><p>ne Kategorien gliedern; die vorliegenden Untersuchungen weisen</p><p>auf eine relative Schwierigkeitsstufung der eingekleideten Aufga-</p><p>ben hin. Nachfolgend eine Zusammenstellung von AUfgaben mit zu-</p><p>grundeliegender einfacher Additions-Subtraktions-Simplexstruktur.</p><p>Die eingekleideten Aufgaben zu den an sich einfachen Sachverhal-</p><p>ten unterscheiden sich zu den in der Tabelle aufgelisteten Typen</p><p>noch in weiteren semantischen Beziehungen, wie etwa 'mehr werden'</p><p>(z.B. 1.1.) oder 'weniger werden' (z.B. 4.2.), 'dynamisch' (z.B.</p><p>sind Handlungen enthalten in allen Aufgabentypen des Veranderns)</p><p>oder 'statisch' (z.B. in allen Aufgabentypen des sog. Verbindens</p><p>und des Vergleichens) sowie im Vorhandensein bzw. Nichtvorhanden-</p><p>sein einer Teilmengenbeziehung zwischen den drei t1engen einer</p><p>Additions-Subtraktions-Aufgabe.</p></li><li><p>Ad</p><p>dit</p><p>ion</p><p>s-S</p><p>ub</p><p>trak</p><p>tio</p><p>nsau</p><p>fgab</p><p>en</p><p>(vg</p><p>l.R</p><p>ILE</p><p>Yet</p><p>al.,</p><p>19</p><p>83</p><p>;S</p><p>.1</p><p>59</p><p>f)B</p><p>eis</p><p>pie</p><p>l</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>att</p><p>e3</p><p>Mu</p><p>rmeln</p><p>.L</p><p>uis</p><p>esch</p><p>en</p><p>kte</p><p>ihm</p><p>no</p><p>ch</p><p>ein</p><p>ige.</p><p>Jetz</p><p>th</p><p>at</p><p>er</p><p>8M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.2</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>att</p><p>e8</p><p>Mu</p><p>rmel</p><p>n.</p><p>Dan</p><p>nsch</p><p>en</p><p>kte</p><p>er</p><p>ein</p><p>ige</p><p>der</p><p>Lu</p><p>ise.</p><p>Jetz</p><p>th</p><p>at</p><p>er</p><p>nu</p><p>rn</p><p>och</p><p>3M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.2</p><p>Sch</p><p>wie</p><p>rig</p><p>keit</p><p>sstu</p><p>fe(v</p><p>gl.</p><p>NE</p><p>SHE</p><p>Ret</p><p>al.</p><p>,1</p><p>98</p><p>2)</p><p>Tab</p><p>.1</p><p>:T</p><p>yp</p><p>enein</p><p>gek</p><p>leid</p><p>ete</p><p>rT</p><p>yp</p><p>1.</p><p>VER</p><p>AN</p><p>DER</p><p>N(C</p><p>han</p><p>ge)</p><p>Erg</p><p>eb</p><p>nis</p><p>un</p><p>bek</p><p>an</p><p>nt</p><p>1.1.a+b~x</p><p>1.2</p><p>.a</p><p>-b</p><p>~x</p><p>Vera</p><p>nd</p><p>eru</p><p>ng</p><p>un</p><p>bek</p><p>an</p><p>nt</p><p>1.3</p><p>.a</p><p>+x</p><p>~b</p><p>1.4</p><p>.a</p><p>-x</p><p>~b</p><p>Au</p><p>sg</p><p>an</p><p>gsp</p><p>osit</p><p>ion</p><p>un</p><p>bek</p><p>.1.5.x+a~b</p><p>1.6</p><p>.x</p><p>-a</p><p>~b</p><p>2.</p><p>VE</p><p>RB</p><p>IND</p><p>EN</p><p>(Co</p><p>mb</p><p>ine)</p><p>Vere</p><p>inig</p><p>un</p><p>gu</p><p>nb</p><p>ek</p><p>an</p><p>nt</p><p>2.1.a+b~x</p><p>Rest/</p><p>Teil</p><p>un</p><p>bek</p><p>an</p><p>nt</p><p>2.2</p><p>.a</p><p>-b</p><p>~x</p><p>3.</p><p>VE</p><p>RG</p><p>LE</p><p>ICH</p><p>EN</p><p>(Co</p><p>mp</p><p>ars</p><p>e)</p><p>Un</p><p>ters</p><p>ch</p><p>ied</p><p>un</p><p>bek</p><p>an</p><p>nt</p><p>3.1</p><p>.3</p><p>.2.</p><p>Verg</p><p>leic</p><p>hsg</p><p>r6B</p><p>eu</p><p>nb</p><p>ek</p><p>.3</p><p>.3.</p><p>3.4</p><p>.3</p><p>.5.</p><p>3.6</p><p>.</p><p>4.</p><p>AU</p><p>SGL</p><p>EIC</p><p>HE</p><p>N(E</p><p>qu</p><p>ali</p><p>zin</p><p>g)</p><p>4.1.a+x~b</p><p>4.2</p><p>.a</p><p>-x</p><p>~b</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>at</p><p>3M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.L</p><p>uis</p><p>eg</p><p>ibt</p><p>ihm</p><p>no</p><p>ch</p><p>3M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>dazu</p><p>.F</p><p>ritz</p><p>hat</p><p>8M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.D</p><p>avo</p><p>nsch</p><p>en</p><p>kt</p><p>er</p><p>der</p><p>Lu</p><p>ise</p><p>5M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>att</p><p>eein</p><p>ige</p><p>Mu</p><p>rmeln</p><p>.D</p><p>ann</p><p>hat</p><p>ihm</p><p>die</p><p>Lu</p><p>ise</p><p>5M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>gesch</p><p>en</p><p>kt.</p><p>Jetz</p><p>th</p><p>at</p><p>er</p><p>insg</p><p>esam</p><p>t8</p><p>Mu</p><p>rmeln</p><p>.F</p><p>ritz</p><p>hatt</p><p>eein</p><p>ige</p><p>Mu</p><p>rmeln</p><p>.D</p><p>ann</p><p>sch</p><p>en</p><p>kte</p><p>er</p><p>der</p><p>Lu</p><p>ise</p><p>5M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.Jetz</p><p>th</p><p>at</p><p>er</p><p>nu</p><p>rn</p><p>och</p><p>3M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>at</p><p>3M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>un</p><p>dL</p><p>uis</p><p>eh</p><p>at</p><p>5M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.W</p><p>iev</p><p>iele</p><p>Mu</p><p>rmel</p><p>nh</p><p>ab</p><p>en</p><p>sie</p><p>zusa</p><p>mm</p><p>en?</p><p>Fri</p><p>tzu</p><p>nd</p><p>Lu</p><p>ise</p><p>hab</p><p>en</p><p>zusa</p><p>mm</p><p>en8</p><p>Mu</p><p>rmel</p><p>n.</p><p>Frit</p><p>zh</p><p>at</p><p>dav</p><p>on</p><p>3M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>at</p><p>8M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>,L</p><p>uis</p><p>eh</p><p>at</p><p>5M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.W</p><p>iev</p><p>iele</p><p>Mu</p><p>rmel</p><p>nh</p><p>at</p><p>Frit</p><p>zm</p><p>eh</p><p>r?F</p><p>ritz</p><p>hat</p><p>8M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>,L</p><p>uis</p><p>eh</p><p>at</p><p>5M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.W</p><p>iev</p><p>iele</p><p>Mu</p><p>rmel</p><p>nh</p><p>at</p><p>Lu</p><p>ise</p><p>wen</p><p>iger?</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>at</p><p>3M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.L</p><p>uis</p><p>eh</p><p>at</p><p>5M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>meh</p><p>r.F</p><p>ritz</p><p>hat</p><p>8M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.L</p><p>uis</p><p>eh</p><p>at</p><p>3M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>wen</p><p>iger.</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>at</p><p>8M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>,d</p><p>as</p><p>sin</p><p>d5</p><p>Mu</p><p>rmel</p><p>nm</p><p>eh</p><p>rals</p><p>Lu</p><p>ise</p><p>hat.</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>at</p><p>5M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>,d</p><p>as</p><p>sin</p><p>d3</p><p>Mu</p><p>rmel</p><p>nw</p><p>en</p><p>iger</p><p>als</p><p>Lu</p><p>ise.</p><p>Fri</p><p>tzh</p><p>at</p><p>3M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>un</p><p>dL</p><p>uis</p><p>eh</p><p>at</p><p>8M</p><p>urm</p><p>eln</p><p>.W</p><p>iev</p><p>iele</p><p>Mu</p><p>rmel</p><p>nb</p><p>en</p><p>6ti</p><p>gt</p><p>Fri</p><p>tzn</p><p>och</p><p>,d</p><p>am</p><p>iter</p>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3 3</p><p>2/3</p><p>2/3 3 3 4 4</p><p>1/2</p><p>1/2</p><p>r 0: (Jl (l) ::J ~. ::J CO (l)~ ro 0.</p><p>:(l</p><p>) s .... c: -CO Q) 0- (l) ::J ~ -....I</p></li><li><p>208 Hendrik Radatz</p><p>Eine Reihe von Untersuchungen mit SchUlern im Grundschulalter</p><p>weist hin auf eine bestimmte Schwierigkeits- bzw. Fahigkeitsstu-</p><p>fung der Aufgabentypen (CARPENTER et al., 1981; MOSER, 1981;</p><p>NESHER et al., 1982; RESNICK et al., 1981; RILEY et al., 1983).</p><p>In einem Erklarungsmodell fUr die Schwierigkeiten unterscheiden</p><p>NESHER et al. vier Stufen, die nachfolgend nur skizziert werden</p><p>kannen:</p><p>Stufe 1: Fahigkeit der SchUler, aus den eingekleideten Aufgaben</p><p>die Mengen zu identifizieren und die Operation zu erkennen;</p><p>Zahlstrategien ermaglichen die Lasung (1.1., 1.2., 2.1.).</p><p>Stufe 2: Im Zusammenhang mit Veranderungen muB der Ursache-Wir-</p><p>kungs-Zusammenhang erkannt werden. Die Veranderung wird als Er-</p><p>gebnis einer Handlung bzw. Operation angesehen. Ein eingeschrank-</p><p>tes Verstandnis von Addition/Subtraktion ist vorhanden, das</p><p>Gleichheitszeichen wird interpretiert im Sinne von "ergibt, kommt</p><p>raus": a + b-c, a - b_c. (1.3.,1.4.,4.1.,4.2.) - Vielen</p><p>SchUlern bereiten auch die beiden ersten Vergleichsaufgaben (3.1.,</p><p>3.2.) auf dieser Stufe keine Schwierigkeiten. Sie kannen im Sinne</p><p>einer Veranderung zurUckgefUhrt werden auf 'Anfangszustand - End-</p><p>zustand', d.h. das Verstandnis und der Umgang mit Ungleichungen</p><p>ist nicht notwendig.</p><p>Stufe 3: Die Reversibilitat in Teilmengenbeziehungen wird erkannt,</p><p>das Verstandnis der Klasseninklusion ist notwendig. Die Be-</p><p>ziehungen zwischen den drei Zahlen in einer einfachen Gleichung</p><p>bzgl. Addition/Subtraktion mUssen angewandt werden; z.B. wenn</p><p>a + b = c, dann c - a = b und c - b = a (1.5., 1.6., 2.2., 3.3.,3.4.) .</p><p>Stufe 4: Reversibilitat nicht-symmetrischer Relationen; Umgang</p><p>mit Ungleichungen und Quantifizierung zur Gleichung. Wenn</p><p>a &gt; b, dann a - b = c und b + c = a.</p><p>Absicht der eigenen Untersuchung war, diese Schwierigkeitsstufung</p><p>bei deutschen Kindern im Alter von 5 - 10 Jahren zu UberprUfen,</p><p>ilin eventuelle Besonderheiten aufzuzeigen.</p><p>Gerade im Zusammenhang mit der aktuellen Diskussion des arithme-</p><p>tischen Anfangsunterrichts (u.a. SCHIPPER, 1982) war von besonde-</p><p>rem Interesse, die von Kindergartenkindern und ErstklaBlern beim</p><p>Lasen von Rechengeschichten angewendeten Berechnungsstrategien</p></li><li><p>L6sen eingekleideter Aufgaben 209</p><p>zu analysieren. Beim Losen formaler Additions- und Subtraktions-</p><p>aufgaben werden in diesem Alter die folgenden Berechnungsstrate-</p><p>gien beobachtet (vgl. CARPENTER et al., 1981):</p><p>(1) Zahlmethoden</p><p>Addition : Alles zahlen mit/ohne Hilfsmaterial, Weiterzahlen</p><p>vom kleineren/groBeren Summanden u.a.,</p><p>Subtraktion: zahlendes Wegnehmen mit Hilfsmaterial und Zahlen der</p><p>Elemente der Restmenge, zahlendes Wegnehmen bis (mit/ohne Hilfs-</p><p>material), erganzendes Zahlen, Rlickwartszahlen, rekursives Zahlen</p><p>u.a ..</p><p>(2) Nicht-Zahlmethoden</p><p>.1 die Zahlensatze werden gewuBt bzw. haben sich bereits einge-</p><p>pragt (number facts),</p><p>.2 heuristische Strategien, z.B. das Zurlickflihren einer schwieri-</p><p>gen Aufgabe auf bekannte Zahlensatze bzw. zahlbare Aufgaben, etwa</p><p>5 + 7: 5 + 5 = 10 und 10 + 2 = 12 (heuristic strategies).</p><p>Soli ten Schulanfanger vor der schulmathematischen Erarbeitung des</p><p>Zahlbegriffs, der elementaren Operationen und dem Umgang mit for-</p><p>malen Additions-/Subtraktionsaufgaben bereits in der Lage sein,</p><p>verbale Rechengeschichten zu verstehen und zu bearbeiten, konnten</p><p>daraus m6g1iche curriculare Konsequenzen fUr die Strukturierung</p><p>des arithmetischen Anfangsunterrichts diskutiert werden. Rechen-</p><p>geschichten werden im gegenwartigen arithmetischen Anfangsunter-</p><p>richt nur selten zum Thema gemacht, aus verschiedenen GrUnden</p><p>(mangelnde Lesefahigkeit, enaktiv-ikonisch-symbolisch, Begriffs-</p><p>klarung und formales Rechnen vor Anwendungsaspekten u.a.). Ein</p><p>moglichst frUhes Arbeiten mit Rechengeschichten konnte dann Mog-</p><p>lichkeiten bieten, die arithmetischen Vorerfahrungen der Schulan-</p><p>fanger zu erkennen, die Vorkenntnisse aufzugreifen im Hinblick</p><p>auf eine Begriffsprazisierung der Operationen und nicht zuletzt</p><p>urn die Sachrechenfahigkeit spiralig anzubahnen.</p><p>Der dritte Untersuchungsaspekt betraf die Einstellung der SchUler</p><p>gegenliber eingekleideten Aufgaben. GINSBURG (1977) und jUngere</p><p>Untersuchungen zur Fehleranalyse haben darauf hingewiesen, daB</p><p>!1athematik fur viele Schuler eine Art Regelspiel ist. Nur selten</p><p>"geht etwas nicht", bei Aufgaben im Mathematikunterricht "kommt</p><p>immer etwas raus" bzw. sie sind losbar mit Hilfe bestimmter Re-</p><p>geln oder Techniken. 1m Rahmen der eigenen Untersuchungen hat es</p></li><li><p>210 Hendrik Radatz</p><p>3. Schuljahr</p><p>Kindergarten/1. Schuljahr</p><p>2. Schuljahr</p><p>sich angeboten, den SchUlern der verschiedenen Altersstufen</p><p>nichtberechenbare SJchinformationen bzw. 'Rechengeschichten' an-</p><p>zubieten, urn Hinweise darUber zu gewinnen, ob sich bei den Schu-</p><p>lern im Laufe der Schulzeit ein System von intuitivem und indivi-</p><p>duellem mathematischen Wissen entwickelt, verbunden mit einer</p><p>fixierten Einstellung gegenliber Aufgaben im Mathematikunterricht</p><p>in dem Sinne, daB immer ein Ergebnis errechenbar sein muB. Be-</p><p>mUhen sich Schuler gerade im Mathematikunterricht, Fragen des</p><p>Charakters "Wie alt ist der Kapitan?" zu beantworten?</p><p>Zu den Untek6uchungen</p><p>Die Untersuchungen wurden durchgefUhrt im Laufe der Schuljahre</p><p>81/2 und 82/3. Kindergartenkinder und Schuler der Klassen 1 bear-</p><p>beiteten Rechengeschichten mit/ohne ZehnerUberschreitung im Zah-</p><p>lenraum bis 20. Die Einzelinterviews wurden mit Tonband aufge-</p><p>zeichnet. Ab 2. Schuljahr bearbeiteten die SchUler die Aufgaben</p><p>auf Arbeitsblatter. Die Zahlenangaben in den Aufgaben der einzel-</p><p>nen Typen entsprachen jeweils dem erarbeiteten Zahlenraum der ein-</p><p>zelnen Schuljahre. Aufgabenbeispiele zum Typ 1.1. (dynamisches</p><p>Verandern) ~</p><p>"Monika hat 6 Schllimpfe. Ihre Oma schenkt ihr noch3 Schllimpfe dazu."</p><p>"1m Schulbus sitzen 24 Kinder. In Coppengrave stei-gen noch 7 Kinder zu."</p><p>"Torsten hat bereits 780 Briefmarken gesammelt. Zuseinem Geburtstag bekommt er noch 47 Briefmarken ge-schenkt."</p><p>Verstreut zwischen derart berechenbaren Aufgaben wurden den Schli-</p><p>lern nicht-berechenbare Sachinformationen, sog. Kapitansaufgaben</p><p>angeboten. Beispiele:</p><p>Kindergarten/ "Katja verschickt zum Kindergeburtstag 8 Einladung=n.1. Schuljahr Die Geburtstagsfeier findet in 4 Tagen statt."</p><p>3. Schuljahr "Am 9. Marz fuhren 3 Personen mit einem VolkswagenGolf 360 km weit. Urn 15 Uhr kamen sie am Ziel an."</p><p>5. Schuljahr "Vier Kisten wiegen zusammen 1000 kg. Die beidenschwersten Kisten wiegen gleichviel. Die leichtesteKiste wiegt 100 kg."</p><p>Nur zu Aufgaben des Typs 2.1./3.1. und 3.2. wurden Fragen formu-</p><p>liert. Direkte Bearbeitungshinweise und Hilfen wurden nicht ge-</p><p>geben.</p></li><li><p>l.osen eingekleideter Aufgaben 211</p><p>Ubersicht uber die bearbeiteten Aufgabentypen in den einzelnenUntersuchungen (U) , die Anzahl der Schuler (n) sowie die Prozent-satze der richtigen Bearbeitungen.</p><p>IonM~;:IN..ellu r:: I I I I I I I I I I I I M(IJ</p><p>'JJLJ"1 ::&gt;</p><p>'JJ</p><p>M I ~ ~~ r- M LJ"1 co 'JJ, M</p><p>II , ,~r:: ~ I M I ~ M 0 r- I LJ"1 M N</p><p>0' co 'JJ 'JJ CD CD ~ LJ"1 MLJ"1</p><p>::&gt;on "or; "</p></li><li><p>212</p><p>Vi~ku~~ion einigeA EAgebni~~e</p><p>Hendrik Radatz</p><p>(1) Schwierigkeit der Aufgabentypen:</p><p>Die durchgefUhrten Untersuchungen bestatigen als generelle Tendenz</p><p>die in der Literatur aus den vorliegenden Befunden beschriebene</p><p>Schwierigkeitsstufung der einzelnen Aufgabentypen. Addition im</p><p>Sinne des Veranderns oder Verbindens (a+b=x) fallt den SchUlern</p><p>aller Altersstufen bei eingekleideten Aufgaben am leichtesten,</p><p>wahrend Vergleichsaufgaben die gr6Bten Schwierigkeiten bereiten.</p><p>Ein Unterscheiden der anderen Aufgabentypen nach den Schwierig-</p><p>keitsstufen ist nicht immer eindeutig m6glich. 1m Kindergarten und</p><p>1. Schuljahr fallen deutlich Aufgaben zum Vergleichen (wieviel</p><p>mehr?) gegenUber den Aufgaben des Typs 2.2. abo Eine Ursache dafUr</p><p>kann in dem semantischen Ve r s t.andn i.s des "mehr" bzw. "wieviel mehr"</p><p>bei Kindern im Alter bis zu ca. 7 Jahren gesehen werden, wie auch</p><p>die Diskussion einiger P1AGET-Experimente aufzeigt. Die Frage "wie-</p><p>viel mehr?" war fUr viele Kinder gleichbedeutend mit "wieviel hat</p><p>der, der mehr hat?". Als L6sung wurde dann die gr6Bere der beiden</p><p>genannten Zahlen angeboten. 1m 2. Schuljahr fallt besonders das</p><p>Subtrahieren im Sinne des Veranderns heraus. Auffallig im 3. und</p><p>4. Schuljahr sind die groBen Schwierigkeiten der SchUler beim Be-</p><p>arbeiten der Aufgabe 3.6.</p><p>Beispiel: "1m WinterschluBverkauf hat Firma Hackenspiel 340Strumpfpaare verkauft. Das sind 65 Strumpfpaare wenigerals vor einem Jahr."</p><p>Die Analyse der L6sungsansatze zeigt deutlich, daB die meisten</p><p>SchUler die Sachstruktur in eine falsche mathematische Struktur</p><p>Ubersetzen, namlich in die Gleichung 340-65=x. Der Reiz durch das</p><p>entsprechende "mehr als" in Aufgabe 3.5. wirkt sich nicht ganz so</p><p>stark aus.</p><p>Ein Vergleich zwischen den Schuljahrsgruppen ist wegen

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