Variations- und Eigenwertprobleme zu nichtlinearen Differentialgleichungssystemen höherer Ordnung

Variations- und Eigenwertprobleme zu nichtlinearen Differentialgleichungssystemen hoherer Ordnung

Von HERBERT BECKERT in Leipzig

(Eingegangen om 13.10.1970)

In dcr Arbeit [2] habe ich allgemeine Variationsprobleme beliebig hoher Ordnung und Variablenzahl ( 5 ) iiber durch die Coercive-Ungleichung stark elliptischer Randwertprobleme definierten Teilbereiche 92s,2m,p (4) in SoooLEwschen RLumen untersucht und mittels der klassischen Ein- bettungstheorie Existenz- und Regularitiitssiitze aufgestellt. Solange das Variationsproblem nicht allgemein gelost wird, liegen die Extremalen obiger Nebenprobleme auf dem Rand dieser Teilbereiche. Die erste Variation liefert eine Ungleichung, die man zu einer durchsichtigen Existenztheorie einer allgemeinen Klasse nichtlineltrer Variationsprobleme hoherer Ordnung uusrichten kann (lo), deren LAGRANGESChe Systc-me bivher noch nicht untersuchte, nichtlineare Eigenwertprobleme (1 1), (1 3’) bestimmen. Die Hauptteile dieses Systems werden durch die linearen, stark elliptischen Differentialoperatoren definiert, zugelassen sind im Grunde alle coerciven Rnndbedingungen, also daher neben dem DIRICHLET-Problem die umfang- reiche Klasse der mit den Operatoren komplementiiren Randbedingungen (2’) im Siiine von [I].

Den negativen Teil des Spektrums in (11) bzw. (13’) erfassen wir mit dem Minimumproblem uber 9R8,1m,p unter der Voraussetzung (7), daB das Integral der zweiten Variation keine negativen Werte annehmen kann und die identisch verschwindenden Funktionen keine Extremalen sind (6) sowie gewisse Wachstumsbeschrlinkungen (V2) zutreffen. In diesem Fall durch- laufen die Eigenwerte als stetige, monotone Funlrtion der Losungsnorm 8

die negative Halbachse. Dieses Resultut (Satz 111) kann im wesentlichen aus [2] ubernommen

werden. Das wird im Abschnitt I gezeigt, wo auch die wichtigsten De- finitionen und Hilfsmittel aus [2] und der Literatur zusammengestellt sind. Wir legen die 1)IRICHLETSChen Randbedingungen (2) zugrunde, zu denen sich unserer Problemstellung entsprechcnd noch die freieri Rand- bedingungen (14) hinzugesellen. DaB sich unsere Resultate auf die kom-

312 Beckert., Veriations- und Eigenwertprobleme

plementiiren Randbedingungen (2’) ubertragen lassen, wird im Abschiiitt I niiher ausgefuhrt. Man kann ohne Einschriinkung alle Ergebnisse dieser Arbeit auf den vollen Satz zuliissiger Randbedingungen fur das nicht- linectre System (13’), (74) ubertragen ohne die freien Bedingungen der Variationsrechnung. Das erliiutern wir in Abschnitt IV.

Zur Untersuchung des positiven Spektralbereichs von (1 l), (13’) stellen wvir das Maximuniprobleni (5’) uber 9Xs,2m,p bei variablem s. Da das Va- riationsintegral nicht oberhalbstetig ist, sind in Abschnitt I1 etwas stiirkere Wachstumsbeschriinkungen als beim Minimumproblem einzufuhren. Die Extremalen des Maximumproblems definieren Eigenwertlosungen von (1 1 ), (13‘) beliebiger s-Norm im positiven Eigenwertbereich. Unter den an- sonsteii analogen Voraussctzungen wie beim Minimumproblem existiert in einer hinreichend kleinen Normkugel Ks,, ein eindeutiger stetiger Zweig von Eigenlosungen zu (i 1), (I 3’), die die Maximumprobleme (5’), (10’) eindeutig losen (Satz V).

Im 111. Abschnitt wird unter anderem gezeigt, da13 man die Losungen unserer nichtlinearen Eigenwertprobleme mittels einfacher, klassischer Schritte der Variationsrechnung solange in Richtung wachsender wie fallender s-Norm stetig fortsetzen kann, wie dieselben lokale Extremwerte der zugeordneten Variationsprobleme definieren. Wir geben ein handlichee Eigenwertkriterium (Satz VII) fur einen lokalen Extremwert an. Hieraus ergeben sich bemerkenswerte Fortsetzungssiitze von Lijsungszweigen im GroDen (Satz IX, X). Hiernach fiihrt u. a. die Fortsetzung des Ausgangs- zweiges des Abschnittes I1 stetig bis in den kleinsten nichtlinearen, cha- rakteristischen Eigenwert des Systems (13’) hinein und im allgemeinen durch ihn noch wachsender Norm hindurch. Es ist dabei denkbar, daD noch wveitere charakteristische Eigenwerte sogar hoherer GroDenordnung durch- laufeii werden. Die Greiize fur die ctuf unsere Variationsmethode gegriindete Fortsetzung der Losungen des nichtlinearen Eigenwertproblems (1 i), (13’) liegt bemerkenswerterweise im allgemeinen nicht in einem charakte- ristischen Eigenwert.

Im V. Abschnitt gehen wir auf das klassische Verzweigungsproblem ein, bei dem die erste Variation unserea Varicttionsintegrals (80) im Ur- Rprung von 9Jls,.,m,p verschwindet. Wir zeigen, daD der kleinste Eigenwert des FRicHETschen Differentials von (13’) im Ursprung unabhangig von seiner Vielfachheit Verzweigungspunkt ist.

Im Falle p = 2 besteht zwischen unserer Methode ein enger Zusammen- hang mit der auf das Theorem von LUSTERNIK gegrundeten nichtlinearen Eigenwerttheorie, der Theorie kritischer Punkte schwachstetiger Funk- tionale1) [lo], . . . [13], [25] . . . [29].

1) Die hier engefiihck LitercLt.ur kann netiirlich nicht vollstiindig win.

Beckert, Variations- und Eigenwertprobleme 313

Indem wir uns u. a. auf den Satz 11, die Einbettungstheorie und auf den einfachen Hilfssatz I V in [2] stutzen, konneii wir den ffbergang zu den Lp-Riiumen und so allgemeinen Funktionalen wie ( 5 ) vollziehen und fur die Losungen Fortsetzungssiltze im GroSen angeben.

Bezeiehnungen

L,(FD) sei der HILBERT-Raum aller iiber dem Gebiet B des R“ quadra- tisch integrablen Vektorfunktionen

mit f ( P ) = { f” (P) } , a = 1, 2 , . . . r , P - (21 , x.,, . . . x,,) E 9

mid Lp der bekannte BANACH-Raum der Vektorfunktionen, deren p-te Potenzen uber 9 summierbar sind, und die Norm

1

besitzen.

p, 0 < p < 1 differenzierbaren Funktionen mit der ublichen Norm.

indicesschreibweise :

Pp ist der BANACH-Reurn der Y ma1 H-stetig nach dem Exponenten

Fur Ableitungen hoherer Ordnung verwenden wir die bekannte Multi-

Starke und schwache Konvergenz bezeichnen wir durch + bzw. - und gleichmiil3ige in C’‘ durch 2.

Wl,p bezeichnen die bekannten SoBoLEwschen Rliume uber B summier- barer Funktionen, deren verallgemeinerte Ableitungen bis zur Ordnung I in der p-ten Potenz summierbar sind.

In der ( I , p ) Norm :

ist W,,p ein RANAcH-Raum. Dasselbe t r i f i zu, wenn u ein Funktionen- vektor ist.

314 Beckert, Yariations- und Eigensertprobleme

Fur die Gultigkeit bekannter Einbettungseltze wird fur den Rand S von s9 das Bestehcn einer Kegelbedingung im Sinne von [5] , [17] verlangt. S E Cpsu bedeutet, daki die lokalen Parameterdarstellungm fur S zu C!"" ge horen .

I.

Seien ??nu

LU(uu) = C .;(XI Dbu' OSlbI

a = I, 2 , . . ., r (1) r stark elliptische Differentialoperatoren uber s9 mit hinreichend reguliiren Koeffizienten unter den homogenen Randbedingungen: (2) D' uu (a ) = 0 liings S

Aus Lu(uu) = 0 unter (2) folgc tbU = 0, d. h. die eindeutige Losbarkeit des DIRICHLET-Problems :

0 I y ( 5 ma - 1, a = 1: 2, . . ., T .

(3) LU(UU) = -f" unter (2) fur allef" (Q) E Lp . Den Zusammenhang (3) wollen wir im folgenden durch u" (Q) - f" (Q) abkurzen.

Bei f" (Q), $(x) E CO." und S E C'"""' liegt die Losung u' (Q) E C'?'"", vgl. etwa [I].

Entsprechende Aussagen gelten fur stark elliptische Syst.eme. Fur uns ist die Coercive-Ungleichung (4)

(4)

von entscheidender Bedeutung [6]. (4) gilt fur die Losungen von (1) unter (2) sowie noch unter einer vie1

allgemeineren Klasse linearer Rttndbedingungen. Bei letzteren werden liings S mu lineare Randrelationen hochstens 2 mu - I-ter Ableitmgs- ordnung vorgeschrieben :

II u' ILuJ 5 Kp clrfrl~,, + llUU rgl

I

B j ( ~ , D ~ " ) = ~ b j ~ ( ~ ) D ' u " ( a ) = V ; ( U ) IrlSnj

j = i , 2 ,..., mm,

(2')

welche im Sinne von [I] mit La komplementlr sind. Die unbeschrlnkte Losbarkeit von (3), (2') unter den gleichen naturlichen Voraussetzungen

nj < 2 m , ,

wie beim gewiesen. p = 2:

(4')

I)IRICHLET-PrOblem wird unter anderem h-~ [23], [22] nach- Beweise fur die zugehorige Coercive-Ungleichung (4') im Falle

Beckert, Variations- und Eigenwertproblerne 315

h d e t man in [24], sowie natiirlich dort auch die Bedeutung der auf der rechten Seite auftretenden Normen fur plj". Im homogenen Fall tpU = 0 hat (4') dieselbe Form wie (4). Wir wollen im folgenden immer voraussetzen, dal3 die Losungen der Probleme (3), (2) bzw. (3), (2') eindeutig bestimmt sind. Dam kann man in (4) bzw. (4') den Term IIu" 11; auf der rechten Seite weg- lassen und erhalt aus (4) schliel3lich: -

(4 ) IIU" ll?7t,Q.p 5 K p I / L, (21") I l $ . Diese wichtige Ungleichung bildet den Ausgangspunkt der folgenden Be- trachtungen. I m SoBoLEwschen Produktraum w7ul,p aller Funktionen- vektoren {u" (Q)}

-

w 2 , , , , p = K l n , . p x - * W'lrn,.?,

uJ'(&) E W21,ry,P seien die Teilmengen (ms,2n,,p wie folgt dcfkiert (vgl. [2]):

{urn(&)} E (mn,7m,p - L.(u") = -f", a = 1, 2. . . . . r

untcr D'u"(a) = 0 liings S

0 5 I y I 5 m, - 1 und llfllEp 5 s ,

s > 0 ist eine positive Zahl. I m Falle der Randbedingungen (2') statt (2) sind die obigen Teilniengen

analog definiert. Hierbei gibt iiber das Randverhalten unserer Losungen der folgende Satz AufschluD :

Satz I. Fur u E C- bezeichne @uj, die Einschrankung der iiber 9 + S definierten Ableitung Dpu uuf 8. Man kunn f luis stetig iher ganz W.,lns71 zu einer besch.rcnkten. linearen Abbildung in W2,,, , - IPl,r fortsefzen: die durch die Ungleichung

I I D W , , I l h - 1 - l q , p (4 5 kl llul12nr,p (B) regiert wird.

Als wichtig erweist sich

Satz 11. 9128,2n1,p ist in WZ,lr,p schwachkompukt und in Cj f u r

2 m , - n J p > j , a = l , P , . . . , r kornpakt, vgl. [2], [3].

In [2] wurde iiber '9Xn,,,,,,, das allgemeine Variationsproblem

S(u") = J F ( Q , u u ( Q ) , . . . D"'"u"(&))dVQ-Min T

(5)

betrachtet mit : F ( Q , . . .Om" u"(&)) E C'.

d(&) = 0 sol1 dabei keine Extremale und p geradzahlig sein. Wir be- schranken die Darstellung auf die Randbedingung (2), weisen aber darauf

316 Rerkert, Variations- und Eigen~~ertprobleme

hin, dttl3 sich unsere Ergebnisse auch auf die Randbedingungen (2') iiber- tragen lassen, wenn man beim Regularitiitsbeweis die bisher noch nicht in die Literatur ttufgenommene, doch nicht zu bezweifelnde Annahnie macht, dafi die GREENsche Funktion zu (l), (2') auf dem Rand ihr Singu- laritiltsverhalten nicht wesentlich iindert.

Zuniichst sollen die wichtigsten Resultate aus [2], soweit sie fur unsere Untersuchung eiiie Rolle spielen, zusammengestellt werden. Es seien

v (u", E " ) , f.2 ( E " , E " ) {EU (Q)> E %:!at.p

Abkurzungen fur die Integrale der ersten und zweiten Variation von (5) in der Entwicklung

wenn mit: @(t)= .F(Q,u"(Q) + t ~ ~ ( Q ) , . . . 0 ~ ' " d ED""^) &:! 1 1'

2 - & ( E ' , E = ) = J J J @"(t*) dVQ dt* dt'

0 0 9 (Gal

gesetzt wird, dann machen wir die beiden Voraussetzungen V1, V, :

v, : Q ( E " , E m ) ist nie negativ und verschwindet nur fur E" ( Q ) I --= 0, daher gilt auch:

(7) & ( E " , 5" ) 2 0 .

V,: v w , EU), Q ( E " , r")

1

siiid uber W21,1,p: {u" (Q) } , {Em ( Q ) } E W2nz,p beschriinkte Funktionale. Mittels der HOLDERschen Ungleichung fur drei Faktoren leitet man

leicht iiber die Einbettungssiitze hinweg die hinreichenden Wachstums- beschriinkungen 7 (a, b, c , d) her mit geeigneten Konstanten M,,M,: :

bei beliebig kleinem E > 0.

Beckert, Vsriations- und Eigenwertprobleme 317

Unter Vl , V2 ist Variationsintegral ( 5 ) uber W8,2,n,p schwach unterhalb- rrtetig. Wegen der Schwachkompaktheit von !JR8,2nl,p ergibt sich bekanntlich die Losung von ( 5 ) als Limes einer schwachkonvergenten Minimalfolge. Bei

(8) p > Max n/mQ

wird die Unterhalbstetigkeit von 3 (u") nicht benotigt, weil Q

(9) zutrim. Die gesuchte Extremale {ui (Q)} folgt dann ohne Bezugnahme auf V3 in klassischer Weise. (u",&)} bringt die ersk Variation (11) des gemischtfreien Variationsproblems

u"(&) E c'nu"'(% + S ) , 0 < p < 1

unter den Randbedingungen (2) zum Verschwinden :

(11) V(Ui, 5") - (.fa, d = 0

u," -fi fur alle 5" - y"; Q' EL,. Dabei wird :

gesetzt; vgl. [2] Hilfssatz IV. A ( s ) ist ein riegativer Parameter, der monoton wachsend dss Interval1

- 00 < A(s) < 0 durchliiuft, wenn s von 0 aus monoton wiichst. Die Regu- loritiit von u: (&) hin bis zur beliebig oftmaligen Differenzierbarkeit, ergibt. sich unter der zusiitzlichen Voraussetzung V3 :

' l @ l , ~ l , ~ , Q ' 5 s ~ W 8 ' ~ , b ~ ' ~ , U * , Q * < qtfi*.Q* - m' = m,, = Min m,

1 m,, - - E

Q

= - - - 1

Qtn',=* P n vgl. [2].

u: (&) ist dann Extremale des gemischtfreien Variationsproblems im strengen Sinn.

Bezeichnet

das System der LAQRANQEschen' Differentialoperatoren von (5), so be- friedigt a: (&) offenbar das nichtlineare Eigenwertproblem

(13) -A(S)~L,*(L,(U:(Q)))~-~+D~(U~(&))=O. a = 1 , % . . . , ~

318 Beckert, Variations- und Eigenwertprobleme

im Interval1 - 00 < I < 0 unter deli Randbedingungen des halbfreien Variationsproblems (2) uiid (14) :

Dy[L,(u:(u))]p-l = 0.

O ~ l y l ~ m a - l , u E S .

u",Q) wird in (13) durch I, - 00 < 1 < 0 eindeutig bestimmt.

mit den Normen Sind namlich {u; (Q)}, {u: ( Q ) } zwei verschiedene Eigenlosungen von (13)

Irfirl;p = $ 1 , Ilf211;p = 627

so folgt bei 8i =I= s2 etwa s2 < s1 aus der Monotonic A ( s 2 ) < Widerspruch, vgl. (27'), (61) .

sofort ein

Bei a1 = s2 gilt

( f 8 1 9 f 8 , - f#,) < '3 ( f 8 2 9 f 8 1 - f8L) < daher nach ( 6 ) , (11)

3 (4) = 3 (G),

&(u; - uf, u; - u;) = 0,

u; (&) = U f (Q) -

uiid hieraus weiter :

also :

Satz 111. Das nichtlineare Eigenwertproblem ( 1 l), (13) besitzt unter den Randbedingungen des hulbfreien Variationsproblems ( 2 ) (14) fiir jeden negativen Eigenwert I , - 00 < I < 0 genau eine Losung, wenn ua = 0 keine Extremale von ( 5 ) ist, und VI, V, bei (13) m c h V3 zutreffen.

Existiert eine Extremale {uie (Q)} de8 Variationsproblems ( 5 ) Gber r2m,p ,)nit endlicher Norm s, , dann liegen die Normen der betrachteten Eigenlosungen stets unter s, fiir alle 1, - 00 < I < 0, im anderen Fall wachsen sie monoton gegen + 00, wenn I monoton gegen Null konvergiert.

Dieselben Resultate treffen unter den gleichen Voraussetzungen auch fiir die homogeneii Randbedingungen (2') zu. Die freien Randbedingungen lassen sich in diesem Fall nicht so einfach formulieren. Zum Oberg'tng von (1 I) zu (13) nach dem Regularitiitsbeweis, welcher die freien Randbedin- gungen definiert, brauchen wir nur zu bedenken, daB alle Funktionen mit kompaktem TrBger in 9 zullssig ini Sinne von (2') sind.

11.

Wir wollen in dieser Arbeit unter andereni das Spektrum des Eigenwert- problems ( I l), (13) im positiven A-Bereich untersuchen, indem wir uber ?1JZe,2,n,p statt cles Minimumproblems das Maximumproblem :


(5 ' ) 3 (u") -, Max

{u" (&)I E %,.lnc.p

F E C2 stellen, zunlchst ohne Vorzeichenbedingung fur die zweite Va- riation (7).

Bei ( 8 ) konnen wir offenbar (5') wegen (9) in klassischer Weise losen, wiihrend im Falle (I 5 ) :

p 5 Max n/m, U

an das Integral der zweifen Variation zuslitzliche Bedingungen zu stellen sind. Unter den Voraussetzungen 7 (a b c d) konstruieren wir bei (15) iiber fma,2m,p eine in WzmSp schwach konvergente Maximalfolge

'u; (&I - u: (&I E %,'Lm,p

S(.?(Q)) -+ Max S(~"(&)) = PI

v(u:, uj" - ut) + 0 .

(16) {fl (&)I - {f: (Q)I in L p

a"(&) E ' R , ? m , p * Hierfiir gilt (17)

Urn dies einzusehen, haben wir die uber die HoLDERsChe Ungleichung gewonnenen Wachstumsbeschrlnkungen (7a) zu beriicksichtigen, die auf Grund der aus den Einbettungssitzen folgenden Tatsache :

(18) DB ua (&I E Lql@l,a ; u" (&) E %8,2nZ,p 9

vgl. (7c), hergeleitet wurden und daher nur

benotigen. Wegen (18) darf man annehmen, dal3 von vornherein in der schwachkonvergenten Folge (16) die Ableitungen DB u; schwach in LP,a, gegen 9 u: , 0 5 1 I 5 m, konvergieren: (19) DB u4 - Dp ut in LqlPl,, . Dal3 die nach dem Auswahlsatz voii RIESZ existicrenden schwachen Grenz- wverte von D@ u; in Lqlp,,u mit Dp u: ubereinstimmen, erkennt man leicht iiber den Satz von BANACII-SAKS, wonach eine geeignete Teilfolge arith- metischer Mittel aus obiger schwachkonvergenten Folge stark gegen ui (Q) konvergiert .

Zum Beweis voii 3(u:) = pl in (16) wird noch nach der entsprechenden Entwicklung (6) :

.U

(30) benotigt .

&(u; - uu 8 , u; - uZ) 4 0

320 Beckert, Variations- iind Eigenwertprobleme

Dies wird es erforderlich machen, die Wachstumsvoraussetzungeri (7 b), ( 7 d), welche beim Minimumproblem hinreichten, fur das Maximumproblem zu verstgrken. Nach dem verallgemeinerten Auswahlsatz von F. RELLICH existiert insgesamt eine Teilfolge (t) von (j), so daB fur alle a = 1, 2. . . . , T

und B mit I /? 1 = 0, 1, . . . , ma auf Grund von (18)

(211 Dp ui -+ DB u; in Lq,,, + i , a

zutrifft. Wir wollen daher beim Maximumproblem die Voraussetzung (7 b) durch V i ersetzen, bei welcher an (7 a) festgehalten wird und in (7 b) die Exponeriteii t,,l,ly,,161,~,a~,,. durch

* r ersetzt werden mit :

Die Richtigkeit von (20) fur die Maximalfolge {ui(&)} ergibt sich dann leicht nach Anwendung der HoLDERschen Ungleichung fur drei Faktoren linter Beachtung von (6 a).

Das Maximumproblem (5 ' ) ist also bei Giiltigkeit von Vi fur alle s losbar. Wir wollen an der Voraussetzung (7) in V, festhalten oder zumindest. verlaiigen, daB dort nicht durchweg dic umgekehrte Ungleichung gilt. Denn dieser Fall laBt sich nach Ersetzung von s(ua) durch - s(ua) auf das vorhin diskutierte Minimumproblem zuruckfuhren. Unsere Extre- maleii

erfiillen d a m stets % (&I - .C (9)

(23) weil andernfalls V (u", 5") fur alle 5" (&) E 9Xms,2,n,p verschwindet, was wegen (7) sofort zum Widerspruch fuhrt.

I, fd Id, = s,

Daher gilt: G, (&I * G2 (Q) > 81 * 8 2 .

M'ie in [2] erhalten wir die erste Varitttionsgleichung (11); A(s) ist beini Maximumproblem allerdings stets eine positive Zahl. Die Regularithts- aussageii fur u:(Q) lassen sich wortlich aus [2] ubernehmen. Bei (8) hat 21,"(&) in s9 + S stetige partielle Ableitungen bis zur Ordnung 2 ma - 1 und endliche Ableitungen 2 ma-ter Ordnung. Rekursiv gelangt man unter V 3 zu beliebig hoher Differenzierbarkeit, wenn dies auf F und die Koeffi- zienten von La zutrif€t. Dasselbe gilt bei (15). Unsere Extremelen sind daher Eigenwertlosungen von (13) unter den Randbedingungen (2), (14) mit

Berkert, Variations- und Eigenaertprobleme 32 i

positivem A(s) im Normbereich @ 5 s < 00 und Losungen des gemischt,- freien Maximumproblems (10') M ( u ) -. Max

unter (2), zuniichst in dcrn Sinn, daU {u:(&)} die zu (10') gehorige erste Variation (11) zum Verschwinden bringt. Wir wollen vorerst nuch beim Maximumproblem an der Voraussetzung : - (5) V ( 0 : 5 " ) =I= @

fur geeignete E" (Q) E $9X8,,,,,,, festhalten. obwohl dies nicht uiibediiigt notig ist . Dann folgt, wie beim Minimumproblem: unabhiingig vom Vorzeichen von Q ( E " , E " ) (24) lim 3,(sj) = + 00.

8 , 4 l

Beweis. Sei uzi(&) &f;;(Q) eine Folge von Extremalen mit f S i + 0 in

L,, , also noch (4)

Bleibe im Widerspruch zu (24) A(s,) < 1 < + 03, dann gilt u,"i(&) + 0 in K?,l,.,.

i q , 5") = 3, (s;) (f;: I, p) + 0

5' N p".

T'(0, 5 ' ) - v(u:. , 5") -' V ( 0 , E " ) $; 0 ,

Wir habeii eiiimal :

oder im Widerspruch d a m :

i'(u:i, E " ) - V ( 0 , 5' ) = & ( U i i , E " ) - 0

nach Anwendung der HoLDmschen Uiigleichung fur drei Faktoreii entsprechend (7 b).

1st der Integrand in (5) homogen:

(25) F ( & , t U " ( & ) , . . . tD')I"u"(&)) = t " F ( & , u " ( & ) . . . )?

so genugt es offenbar, sich auf (3Jt , , l , , l ,p zu beschrlnken. Da nach dem vorigen mindestens cine Extremnle iiber YJll,zn,,p von (5') existiert, ist, die Existenz inindestens eines positiven Eigenwerts in (13) gesichcrt. Wenn 3 (u') iiber 9 2 1 , 2 , n , p positiver wie negativer Werte fiihig ist, dann resultiert aus den1 Minimumproblem (5) dir Existenz eines negativen Eigenwertes.

Satz IV. Linter (25), V.; besitzt das nichtlineare Eigenwertproblem (1 1) unter den Randbedingungen (2), (14) mindestens einen positiwen und eineit negatiwen Eigenwert, wenn 3 (u') positive und negative Werte annimmt, sonst rnindesfenv einen positiwen bzw. negativen Eigenwert bei S(uU) 2 0 bzur. 3 ( u 1 ) 5 0 . Unter V3 sind die Eigenlosungen reguldr, sie geniigen (13). 21 Math. Xarlir. 1D71, Url. 49 H. 1-0


M7ir wollen jetzt das Eigenwertproblem ( I 3) mit linearem Hauptteil p = 2 im positiven Spektralbereich unter V, , V;, V:, niiher untersuchen. Nach Division durch 2 A(s) entsteht aus (13) das nichtlineare Eigenwert- system (13') in der iiaturlichen Form:

(13') Lf L" (u") - v ( s ) Ba(ub) = 0 4 I

v ( s ) = - 2 A(s) '

Hierfur gilt

Satz V. Unter den Vmaussetzungen. Vf , V3, V, fur (a) v ( s ) < 0 und V1, Vi , V,; (b): v ( s ) 2 0 existiert eine Zahl b > 0, so daJ alle Za,hlen v im

Interval1 - 00 < v < + einfache Eigenwerte des Eigenwertproblems (13')

unter den Randbedingungen (2), (14) sind. v ( 8 ) hingt stetig von s ab und wandert bei (a) monoton fallend von Null bis - 00, wenn s narmoton wachsend das Interval1 0 5 s < 8, des Satzes I I durchkauft. Wandert 8 im Falle (b ) monoton wachsend entlang des Interval18 ,& : 0 5 a < so, so auch Y (6) das

halboffene Intervall: 0 5 v ( s ) <

I

2 b

I

2 b ' Die eindeutig bestimmten Lomngen sind regulir. Beweis. Der sich auf (a) beziehende Teil folgt aus Satz 111. Mit

F ( Q ) - pa(&)

M ( u i + 5") - Jf(u:) bilden wir nach (11)

Wegen der Coercive-Ungleichung (4), V2: ( 7 b), p = 2 uberwiegt wegen (24) der erste Term gegenuber dem zweiten, solange s in einem hinreichend kleinen Interval1 &: 0 5 s 5 80 liegt. .Daher sind fur jeden uber & definierten Wert A ( s ) die Extremalen {u: (Q)} des Maximumproblems (10') eindeutig bestimmt. Wir konnen weiter so so klein wiihlen, daB dasselbe auch noch fur das Maximumproblem (5 ' ) uber ITJ7,2m,2, 0 5 s 5 so zutrif€t. Giibe es etwa die beiden verschiedenen Eigenwerte Al(3), A? (5) und Lijsungen u; (Q), u;(Q) uber Wml,2n1,2, die

(27) v(u;, 5") - 11 ( 8 ) (fi, 94 = 0 v(u;, 5") -- A,(#) (fi, p) = 0 llfi 112 = Ilf.2 112 = 3

Beckert, Variations- uncl Eigenwertprobleme 323

Wir vertauschen die Indices und erhalteii nach Addition :

I 3

2 2 + _&&; - Uf, u; - uf) + - & ( U ; - u.;, u; - u;) = 0.

Da der zweite Term nach (27) verschwindet, zeig-t der gleiche SchluB wie vorhin die Existenz eines geeigneten Intervalls ,& : 0 5 8 =( so auf, woriiber in (27) ill ( e ) = A2 (R), u; (&) = U: (&) gelten muB. Die Variationsgleichung (27) definiert {u:(Q)} iiber so eindeutig. Das sehen wir ebenfalls &us (28), wenn wir dort ill = i12 setzen.

Die Stetigkeits- und Monotonieeigenschaften fur 1 (e) ergeben sich nach den Eindeutigkeitsbeweisen wie in [2], vgl. hierzu auch (40), (41), (61).

Bei einem nichtlinearen Hauptteil p =t= 2 reicht unsere SchluBweise offenbar nicht ganz aus.

Die nach Satz V jetzt gesicherte Halbgerade vom einfachen Eigen- merte von (13) ergibt sich im positiven Bereich aus den rohen Abschiitzungen in (26), (28), welche sich auf die gesamte Normkugel K,: Ilfll2 5 8 beziehen. Zur Untersuchung der wichtigen Frage, was bei wachsendem- s weiter geschieht, sind lokale Betrachtungen erforderlich.

Wir sagen, der Funktionenvektor :

(29) 4 ( Q ) N f," (&I E (-m.?,n,:!

definiert ein lokales Maximum von (5 ' ) uber K , , wenn s(u:) eindeutiger Blaximalwert in der Kugelkappe

(30) 4: IlfP 5 8 , (f,f,) 2. 8 - E

ist, E > 0 eine hinreichend kleine Zahl. Offenbar besteht :

-

(31 1 i l f - f a i l 5 1 / 2 ~ , ~ E A , .

Es gilt dann: ? I *


Satz VI. Sei (29) eine Losung der Variationsgleichungen ( l l ) , welche uber K , einen lokalen Extremwert des Variatimsintegrals (5 ) , (5') definiert urul

dann existiert unter unseren Voraussetzungen bei beliebig vorgegebenem ep > 0 eine Zahl 6 > 0, 80 daJ f u r jedes s' irn Interval1

Losungen ut. (Q) - f i r (Q) con (1 1) existieren, welche in

(32) schneidet aus den Kugeln K, , K s c k , k > 0 die Kugeln K,. K: iiiit dem ge-

meinsamen Mittelpunkt

raR: Ilf -f,ll 5 e,,

- b + s 5 s' 5 6 + s liegen.

Beweis. Werde 3(u:) = M , gesetzt. Die Hyperebene

E,: ( f s j f ) = s - -E

S - - E

8 f, und den Radien :

- . . .-

E(2 s - E ) , e, = k+----- V S

p: = \I-- E ( 2 S - E ) ,, Y

heraus. Offenbar konnen wir das Variationsproblem (5), (5') wegen der Schwachkompaktheit auch iiber den Kugeln

wie friiher losen. Sind M,, ME,k die zugehorigen Maximalwerte (A!linbnal- werte) des Variationsintegrals (57, dann folgt aus Stetigkeitsgriindeii ZLL

beliebig vorgegebcnem 11 > 0

sofern k hinreichend klein: 0 < k < b(7) gewlihlt war.

K , = E, n K , , K : = E, n K,, ,

(33) 0 5 ME,a - Me < 7,

Auf Grund unserer Annahme ist die Differenz

(34) positiv. Sei M* der Wert von 3(un) im Punkt l/i + k/s f, uuf K6,k. AL~S Stetigkeitsgriinden kann man in (33) b (17) so klein wahlen, daB :

(35) zutrifft. Nach (33), (34), (35) gilt:

M, - Me = d

I J!!* - M,I < 11

M* - M r , k = M* - ill, + M , - M , + ill, - M,,k 2 M , - M E - 1 M" - M , 1 - [ M , - J f F , p 1

d 2

> d - 2 2 > - .

d wenn wir vorher 2 r,~ < - gewilhlt hatten, also:

2

(36)

fur beliebige (u" (Q)} E Ki .

d Ill* - 3(u") > n > 0 -

Bcrkrrt, Variations- und Eigenwertprobleme 325

Nach dieser Vorbereitung stellen wir das Maximumproblem :

3 ( d ) = Max,

(37) uz(&) E A 8 + k : Ilfll' 5 ' + k, (f7f8) 2 - & >

As+k ist schwachkompakt in der &-Norm.

(38)

Die hiernach in A, +k existierende Extremale

G + k (Q) - fs"+r (a ( f 8 + k , f 8 ) > - E .

I l f s+k 1 1 2 = 6 + k

liegt wegen (36) sicher nicht in K:, also:

AnBerdem muB wegen (7) bzw. iinserer Voraussetzung auf Seite 320

zutreffen. Damit sind alle Vorltussetzungen zur Herleitung von (11) erfullt: die

obigen Extremalen in (38) defkieren Losungen der nichtlinearen Eigen- wertaufgabe (I l), (13), welche die entsprechende Ausgangslosung {u: (Q)} im Interval1 s 5 s + k 5 s + 6(q ) fortsetzen. Wir durfen offenbar E und k von vornhereiii 80 klein gewiihlt denken, daD die Kugelkappen 3 A, in einer Kugel rQ0 um f8 liegen mit beliebig klein vorgebbarem Radius e,: (39) r., 3 A,, 8 3 A, * Beim Minimumproblem verlaufen die Schliisse analog rnit dem Unterschied, daD fur ein gewisses k', 0 < k' < S ( q ) der Losungspunkt fs+L' hier auch innerhalb der Kappe Ae+k liegen konnte. Dann w&re mit f,, = fs+,. der Endpunkt der Fortsetzung erreicht, il(s + k') = 0 und { U ; + ~ ( Q ) } Losung von (5) uber W?m,2.

Bisher haben wir die Fortsetzung der lokalen Losung u,"(&) von (5 ' ) in Richtung wachsender Normwerte s betrachtet. In analoger Weise kann man die Fortsetzung nach fallenden Normwerten behandeln. Satz VI ist damit bewiesen.

Wir werden spiiter die Eindeutigkeit und Stetigkeit unserer Fort- setzung in TQs zeigen (Satz VIII).

Sind Iz(s') die im Satz VI konstruierten Eigenwerte in (li), (13), dann gilt : (40) n i t einer beziiglich rQb festen Konstanten H , . Zum Beweis leiten wir wie in [2] (41) her:

I A(%) - A(s ' ) I I H8 e,

(41) I ( 8 ' ) - il ( 8 k )


Man braucht hierzu nur die beiden aus ( I I ) folgenden Variationsgleichuiigen

v ( u t , 7 ui') = "('k) ( f 8 k ' f d )

und

voneinander zu subtrahieren und naheliegend umzuformen. Die Richtigkeit voii (40) ergibt sich jetzt leicht aus (41) unter Beachtung von Satz VI, V2 und (18) nach Anwendung der HoLDERschen Ungleichung fur drei Faktoren auf den ersten Ziihlerterm.

Sachverhalt V,. Fur das Folgende benotigen wir noch die Stetigkeit des Integrals der zweiten Variat'ion Q (6": 5" ) fur feste ('(Q) beziiglich der s-Norm.

v (u,". 3 u;,) = 2 ?. (8') (fa*, f,.)

Die Diffcrenz (42)

Q (UI (Q)) [E", F1 - Q (%(Q)) [ 5 " 7 5'1 (in naheliegender Bezeichnung) geht offenbar mit fi + f2 in L2 gegen Null, falls die Ausdriicke

(43) FDyuu*Ddur (Q , u; (Q) . * * ) - J',yt,a*D6,r (Q: u; (Q) * * * ) die Wachstumsordnungen (7 b, c , d) erfullen, wobei rechts die Aus- driicke P ua durch D" u; - @ u: zu ersetzen sind. Indessen erweist sicli eine derartige Verschlirfung der Voraussetzungen als unnotig. Man kanii nlinilich V 4 direkt aus den Ungleichungen (7 b, c, d) folgern. Das erkennen wir durch sinngerniifle Obertragung der SchliiBweise in [5 ] , [ill auf unseren Fall.

Wir geben im AnschluD an Satz VI eine hinreichende Bedingung an, unter der die Extremale {u: (Q)) - {f: (Q)} von (5') iiber K, ein lokales Maxi- mum dehiert .

Die linke Seite der Entwicklung (G'):

$(u: + h tU) - .3'(u:)

= 2 h A(!,, y ) + 2 & ( E a , F')

5"(&) - f(Q)

h*

- tp sei ein beliebiges Element. mit 11 y I[ = I bleibt nur negativ, solange :

(f,, y ) > 0 -

zutrifft. Andererseits folgt aus der Bedingung

f* + hY Eh',

Beckert, Variations- und Eigenwertprobleine 397

sogleich :

(45) - Z(f,, v) 5 h 5 0. Kritisch fur eiiien lokalen Extremuwt voii S(u") in u'(Q) = u:(Q) siiid offenbar nur R,ichtungen v mit (f,, rp) - 0, weil dann nach (44) auch h -. 0 zu fordern ist. (44) und (45) fuhren sogleich a,uf die hinreichende Bedingung :

welche allerdings nur fur (f,, v) < E bei beliebig kleiner positiver Wahl von E erfullt zu sein braucht. Im Bereich (f,, rp) 2 E wird (44), (45) iin Interval1 :

zutreffen. Hierbei bedeutet Q, eine obere Schranke fur Q(p, 5") uber K , unter [1gj11 = 1, vgl. (7 b, c, d).

Wegen V, kann (46) durch (48) ersetzt werden:

mit :

und (f,, tp) < E bei beliebig klein vorgegebenem E > 0.

Variationsproblems :

(49)

uiiter den Nebenbedingungen

E"(Q) - v/"(Q); II e j II = 1

Wir definieren jetzt ( 8 ) als den groBten Eigeiiwert des quadratisclien

1 Rfax 2 Q (&Q)) (E" , E") = pds) > 0

(49a) IIpII = ' 3 (f8, =

und konnen SO Satz VI I formulieren:

Satz VII. Unter V, definiert die Losung {u:(Q)} - {E(Q)} von (11) ein lokules hfuximum von s(u") in. K,. falls

( 50) I b ( 8 ) > pn(s)

xut rifft. Bei

(61 1 A ( 4 < po(4

existiert keine Kugelkappe vom Typ (30), in dtr 3(ui) ein lokules Muximum u.nnimmt.

338 Beckert, Variations- iind Eigenwertprobleme

Die zu dem quadratischen Variationsproblem (49) unter (49 a) gehorigen LaGx4NGEschen Gleichuiigeii Iauten :

- 2 (8) Lf La ( E " ) + b D, (uf) (6') + t Lf L, (21,") = 0 .

Hierbei bedeutet 6 D, (u:) (to) das lineare FRfiCHETsche Differentialglei- chungssystem von (12) und t eiiie zu 11tp[1 proportionale reelle Zshl. Das folgt leicht uber Hilfssatz IV, [2] in Analogie zur Herleitung von (ll), (13).

Beweirs von Sa tz VII. Offenbar genugt es, nach (46), (47) aus (50), (48) zu folgern. 1st p,(s) der

Waximalwczrt des Variationsproblems (49), wenn man (49a) durch

(52 ) 0 5 (f,l PI s &, IItpII = 1

(53)

ersetzt, so trifft bci hiiireichend kleiner Wahl voii E niit (50) auch noch

1 (8) > P, (8) 2 po (8) 2

und dsnn erst recht (48) zu. In der Tat hat einc, zulkssige Frinktion de8 Vitriationsproblenis (49), (52) die Gestalt :

(7 u ; (Q) + ? J U ( Q ) > - b"> = {7E + y "> ; ?.7= (Q) - YU (Q) q! s + ( y , y) = 1,

( f , , Y ) = 0; hf,) = q s 5 E-

also : (54) Q(4) [q + v', 7 + ~ ' 1

= Q (21:) (u", qb:) q2 + 2 Q (4) (a:, w') 7 + Q (u!) (v", v*).

Bei hinreicheiid klciiiem E ist tier Maximalweit p, (s) des letzteii Ausdrucks sicher beliebig wenig voii p,l (s) verschiedeii.

Daher ist (48) uiid dsniit der erste Teil von Satz VII bewiesen. Ini itndereii Fall (51) existicren fur die gcnannten E-Wertc Elemeiite

( 8 ) Q Z = 7f: + W E ; (P,.f8) = 7 5 8 ,

fiir welche die Fornien (54) bzw. (48) oberhalb 1 (s) bleiben. Aus Stetig- kcitsgruiiden (V,) erhalten wir hierfur (46) mit umgekehrter Ordnung. Die durch (*) definierten Strahlen f, + A tp, h 5 0 schneiden die Kugel K , fur A = - 2 (f,, tp) in Piinkten, in denen das Fuitktional (5') einen groBereii Wert als in {u: (Q)} annimmt. Duher existiert kein lokales Maximum, q. e. d.

IVir wollen noch mit p (s) den groBten Eigenwert des Variatioiisproblems :

1

2 Max - Q (a",(&)) ( E " , E " ) = p(s) (55)

unter der Kebenhedingung :

IIQII = 1, E " ( & ) - e"(&)


bezeichneii ; es gilt naturlich :

(56) P W 2 PO(4 3

wobei im allgemeinen das Ungleichheitszeichen zutreffen wird. Offeiibar fiihrt das Variationsproblem (55) auf das zu unserer nichtlinearen Eigen- wertaufgabe (1 I), (1 3) in {p: ( Q ) } linearisierte FRfiCHETsche Eigenwert- problem mit dem groBten Eigenwert p(s) bzw. mit l / p (s) als den kleinsten positiveii Eigenwert, bezogen auf (13').

Es gilt

Satz VIII. 1st ( 5 ) U : ~ ( Q ) - f,", (&) Losung won (II), (13) zunz Eigenwert A(s,,) > 0 und wird neben Vi, V;, V3, V, noch

(57) A ( S 0 ) - PO(41) = TO > 0 erfullt, dann ist diese Losung bzgl. der s-Norm eindeutig und stetig in einem Intervull: 3d : - 6+s, 5 s 5 so+d - 6 eine hinreichend kleine Z n hl - fortsetzbar. Dabei undern sich die Eigenwerte A (s) stetig, solange noch

(58) tichtig ist, monoton fallend. I m letzteren Full bleiben die so konstr uierten lokulen Extremalen von (5') bzw. ( 5 ) aush lokale Extremalen von (i 0) bzw.

Beweis. Unscbre Losung defhiert nach Satz VII unter (57) ein lokales Maximum voii (5 ' ) iiber KO" und kann daher entlang eines Intervalls s6 iiber Satz VI fortgesotzt werden, so daB die Losungen ui - f: in einer vorher beliebig kleiii vorgebbaren Kugel :

J-(S) > Clb) 2 PO(4

(10').

q,,: Ilf - f8"ll 5 eo verbleiben. Dabei iindern sich die Eigenwerte wegen (41) stetig, ebenso ~ ( s ) und po(s) nach V , . Man beachte liierzu noch die SchluBweise bei (54). Wir diirfen deshalb uiinehmen, daB bei unserer Fortsetzuiig

TO (59) A ( 8 ) - P O ( S ) 2 2' s E 36

erfiillt bleibt, d. h., uiisere Losungen definieren in deli zugehorigen Norni- kugeln lokale Extremwerte von (5'), (5).

Wegen der Beschrknktheit und Normstetigkeit von Q (5") 5") existiert nach (44), (46), (47) und (54) bei (59) offenbar eine Zahl q > 0, so daB liings & das Funktional (57, (5) jeweils im Durchschnitt der Kugeln:

(60) K8 n L,, L, : / I f , - f l l 5 q fur alle s E

einen lokalen Extremwert annimmt. Dabei kann man q als von eo un- abhhgig annehmen. Bei der Wahl 3 oo < q wird jede der Kugeln L, , s E ,&

3 30 Eeckcrt, Yariations- Lnd Eigenwertprobleme

die Kugel Fan, in der alle Kugelkappen A,, s E & liegen, umfassen. Unsere uber Satz V I gewonnene Fortsetzung {E (Q)} ist daher eindeutig bestimmt. Dereii Stetigkeit beziiglich s ergibt sich jetzt leicht aus Satz V I in Ver- bindung mit (60), wonach sich die eindeutige Fortsetzung in beliebiger Nachbarschaft eines jeden Punktes konstruieren laat. Unsere Losungen sind lokab Extremalen des gemischtfreien Variationsproblems (10’): solange (58) zut,rifft. Das folgt sofort aus (26) und (55) in Verbindung init V4. Die Monot,onie von A (s) bzw. Y (s) ergibt sich jetzt nuch [2] ails :

(61) - A(s) llf8il12 + s ( q < - A(:) l l f a l ! ~ + 3(.3 - A(Sd Ilf8P + 3%) 5 - as,) l l f s , l l ~ + 3(u;, , ,

i b ( 4 { l l f a l l ~ - ll f8111?~ < 3CG) - 3(%J < A h ) {llf,Il!! - IIf8, I I?>?

Ib(S) < A(Sl),

also :

oder : s1 < 8 .

Satz VIII ist bcwiesrn. Wegeii der Stetigkeit von A(s) hat mail

Wir beweisen als nachstes

Satz IX. Bleibt stets wahrtnd der Forlsetzung nnch Sutz BI ncnter V1, V.:, V3. V 4 mit einer beliebigen positiven Zahl 7

(63)

erfullt, dann kann der Loszlngssturnm von Sutz V uber dns Interval1 So hinous bis zzc beliebig groJen Xormwerten stetig fortgesetzt werden.

R(s) - pds) 2 7 > 0

Be weis. Entgegen unserer Behauptung besitze unsere Fortsetzung uber Satz VI eine endliche obere Grenze 1, fur die bei s < 1 (63) zutrifft. W’ortlich, wie beim Regularitatsbeweis in [2], folgt aus der potentialtheoretischen Dis- kussion der aus (11) sich fur

r(Q) = da,GB(P,Q); a = 1 , 2 , . . ., r

- @(P, Q) ist die GREENsche Funktion von Lo bezuglich ( 2 ) - ergebenden Relation :

(64) v (u:(&), @(P, Q)) = 2 f W ) die gleichmai0ige Beschriinktheit von:

fa@), - b + B < s < B in C’+(% + 8).

Beckert, I’ariations- und Eipenwertprobleme 331

Wir konnen daher cine geeignete Folge si - 3, a,. < 8 bestimmen, so da13 ins- gesam t.

Iim A(si) = i. s,-i

(65) &(Q) -+E (Q) in C’ t b : i ( Q ) -. zli (Q) in C‘”’‘~

+ Po(ai) * PO($) konvcrgieren. Die Grenzwerte definieren Losungen des Eigenwertproblems (ll), (13) zum Eigenwert 1, fur welchen (63) erfullt bleibt.

Nach Satz VIII existiert eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung

(Q) - E (Q) der soeben konstruierten Losung (65) :

f% (Q) - u; (Q) von (11), (13) uber ein Interval1 Sb : - b+s 5 s 5 B+b in die im Satz 1’1 genannte Kiigel r,, hinein. Offenbar gilt von einer Zahl AT an:

f S i ( Q ) Eq,”, i >Ar, ai < 8 .

fSj (Q) =\ ij (Q) ; Da die Fortsetzung im Kugeldurchsehnitt (60) eindeutig ist, mu0 :

j >A- wie, uberhaupt dann aus Stetigkeitsgrunden

f s (Q) = JJQ) 36 7

zutreffen. 8 war.daher nicht obere Grenze unserer Fortsetzung. Satz IX ist be wiesen.

1 Nach Satz VIII ist v ( a ) = eine monoton mit s wachsende stetige

Funktion, solange (58) erfullt bleibt. Fur einen bestimmten Wert s = s’ kann erstmals :

(66)

2 l (4

W ) = PUS’) > PO(8’)

zutreffen. Dann mundet unser Stamm in s = s’ stetig in eine Losung ein, fur die der Eigenwert charakteristisch wird: A(s’) = ~ ( 8 ’ ) . Wegen (66) konnen wir uber letzteren hinweg nach wachsender Norm stetig weiter fortsetzen. Gelangen wir in den Bereich:

(67)

so brauchen die Ungleichungen (61) nicht mehr zu gelten, weil unsere Losungen nicht unbedingt das gemischtfreie Variationsproblem (10’) im lokalen Sinn maximieren, obwohl letzteres noch fur (5’) zutrif€t. Demit ist auch die Monotonie von d(s) in (61) nicht mehr gesichert. Es scheint vom

~ ( 8 ) > l ( 8 ) > po(s),

332 Beckert, Variations- und Eigenwertproblenie

Standpunkt der allgemeinen Verzweigungstheorie bemerkenswert, daB wir niittels unserer Variationsmethode (bei 06) unseren Losungsstamni zu- mindcst durch den kleinsten auf ihm liegenden nichtlinearen, charakte- ristischen Eigenwert von (13') stetig durchfuhren konnen. Dabei ist es denkbar, daR unsere Fortsetzung auch noch durch kleinere charakteristische Werte pi (6) von (55) hindurchgeht, falls diese oberhalb po(s) bleiben. Wenn der betrachtete Stamm nicht beliebig weit nach iniiner wachsender Xorm stetig fortsetzbar ist, so existiert eine Zahl 8, so < S mit cler Eigtnschaft, daR entgegen (63) fur eine geeignete Folge si -+ B , 80 < si < 8

(68) zutrifft mit

A(SJ - po(s,) - 0

A ( s ) - po(s) > 0, 8 < B .

Wir wolleii aniiehmen, daB p0(s,) in (68) nicht gegeii Null konvergiert, d . h., die Ungleichungen

(69) po(s,) > t > 0 - 1 ( s , ) > t > 0 erfullt bleiben.

Ilaiin beweisen wir

Yetz X. Falls unter V,, V.;, V4 und (69) unser Liisungsstanim nicht beliebig weit nuch wachsender Xorm fortsetzbnr ist, trifft (68) zu fiir si -+ B . Lungs einer Teilfolge si - B konvergieren fij ( Q ) - uu (Q) und l (s j ) gegen eine Eigenwertliisuny u; ( Q ) - fi ( Q ) von ( I l ) , (13) uuf der Kugel K , rnit dem Eigenwert 2 ( B ) = puo(8).

Bei (*) p(B) > po(8) = 1 (8) m u , urnere Yortsetzung in Sutz V I stetig iiber einen oder auch mehrere charukteristische Eigenwerte pus'), s' < 8 hinweg erfolgt sein. Sie miindet eindeutig und stetig in 8 hinein und so evtl. nach .fa& lender Norm weiter. Die Stellen (*) sind miigliche Umkehrpunkte in der Arorm wahrend dcr genannten stetigen Fortsetzung.

Beweiu. Wegen (69) kunn man die SchluWweise in (65) wiederholen, mn den ersten Teil der Behauptung in s = 8 zu bestiitigen. Bei (*) ist A ( # ) nicht charakteristisch. Es macht Schwierigkeiten, mit unserer Variationsmethode die Losungen weiterzufuhren, weil die Grenze der lokalen Losbarkeit erreicht ist.

Wir greifen daher hies auf den ullgcmeinen Fortsetzungssatz der Losungen vollstetiger, stetig differenzierbarer, nichtlinearer Operatoren in Nachbarschaft einer Eigenlosung im nichtcharakteristischen Fall zuruck. Zu diesem Zweck ist das Eigenwertproblem (13) in ein iiquivalentes nichtlineares IntegraJgleichungssystem zu uberfuhren. Entlang dieses hier nicht

Eeckert, Variations- iind Eigenwertprobleine 333

niiher verfolgteii Weges ergibt sich die Existenz einer kleinen offenen Kugel K, um f8(&) und ein Intervall 3, : - E + A ( 8 ) 5 f. 5 E + A ( 8 ) , so daB fur alle hierzu gehorigen Zahlen f. das Eigenwertproblem ( l l ) , (13) eine eindeutig bestimmte Losung

( 70) 8 (&) - u; (a f. E 3e besitzt. f,(Q) E K, hCingt stetig voii 1 ab. Wegen (65) wird von eiiier bestimmten Zahl N , j > N an

gelten. Daher stimmcn zuniichst fur diese A(s,), i,(Q) mit f,(&) in (71) iibereiii

und weiter wegen der Eindeutigkeit, solange A(s) E 3E nebst fa(&) E K, zutreffen. Aus diesem Grunde koiinte die stetige Kurve fa(&), A(s), sj 5 s < S' sich voii der durch (70) definierten nur in deren Endpunkten trennen. Dies ist wegeii der Eindeutigkeit von (70) nicht beliebig oft moglich. Daher ver- 1CiBt fa((?) die Kugel K, von einem Wert sr < s < 8 ab nicht, und die zugehorigen Eigenwerte A @ ) fallen in das Intervall %e. Aus Unitiits- und Stetigkeitsgriinden stimmt diese Kurve mit einem der durch (&) ge- treniiten zwei Teilstiicke von (70) iibereiii. f, (&) wird weiter stetig kings des anderen Teilbogens von (70) uber 1 ( 8 ) = ,uo(d) hinaus fortgesetzt, wobei die Lijsungsnormen s = 8 niclit notwendig iiberschreiten.

Nach Satz V ergaben sich durch die Bestimmung des absoluten Maxi- mums von (5 ' ) uber K 8 , 0 5 s < 00 Losungen von (II), (13) jeder beliebigen +Norm. Die Eigeiiwrte musseri nach Satz VII dann stets die Be- ding ling

(72) erfiilleii.

(73)

(71) f . ( s i ) E 3.z: f8jCS) E

A (4 2 PI, (8)

Falls nicht gerade dort

1(4 = P i ( 4 = P " ( 4 zntrifft, kaiiii man die Extremallosungen des absoluten R%ximums iiber die vorigen Satze fortsetzen. Wenn dabei 1(s) den kritischen Wert ,uo(s) unter- schreitct, definieren die daran anschlieBenden Losungen sicher kein ab- solutes Maximum von (5'). Durch (5') miissen in diesem Normbereich danii neue Eigenwertlosungen defhiert, werden, auf die wieder (72) und das soeben Gesagte zutrifft. Im allgcmeincn werden im s-Raum die Extremalen des absoluten Maximums von (5') ein System disjunkter Kurveiistiicke ( Qj) bilden. An den Sprungstellen macht A (8) (im allgemeinen) einen positiven Sprung, kaiin sich aber auch stetig verhalten. Das erschlieflt man leicht aus (62). Die Eigenwertlosungeii auf jedem Kurvenstiick aus (gj) sind nach wachsender und fallender Norm stetig iiber Satz VIII fortsetzbar, solange


wir im Bereich (50) lokaler Losbarkeit von (5') verbleiben und sicher noch weiter, wenn beim Uberschreiten von ,uu (8) t (8) nichtcharakteristischer Eigenwert ist. Da siimtliche Losungen von (ll), (13) in der Kugel KI, auf dem Ausgangsstamm !i?,, des Satzes V liegen (vgl. den Beweis von Satz V), konnen die Kurvenstucke 2,, 2?, . . . in (2J offenbar nach fallender Norm nicht bis in die Kugel K , , fortgesetzt werden. Es wird also auf diesen puo(s) erreicht und moglicherweise unterschritten. Auf diese Weise wird eine weitere Fortsetzung mit Wachstumsumkehr in der Norm ermoglicht. Dabei ist es denkbar, dab der Zusammenhang eines Teils obiger Kurvenstiicke her- gestellt wird.

IV.

Bisher haben wir die Randbedingungen des halbfreien Variations- problems (10') : (2), (14) zugrunde gelegt. Durch geringfugige Modifikationen konnen auch die klassischen Randbedingungen (74) DY uu(a) = 0, a = 1, 2 , . . . r

0 5 171 5 2mu - 1

einbezogen werden, wobei wir uns auf Satz I stutzen. Hierzu stellen wir fur die uber % + S reguliiren Funktionen u"(&),

welche (74) liings S befriedigen, den Zusammenhang (3) her und schlieben dieselben in der Metrik

I

ab. Da die Klasse der iiberbestimmten Randwertprobleme (3), (74) in die cler wohlbestimmten (2) fiillt, gilt die Coercive-Ungleichung (4). Die Usung des Maximum- bzw. Mininumproblems bezuglich der entsprechend definierten Mengen (Jns,2m,2 kann wie friiher erfolgen. Ein kleiner Unterschied tritt naturgemiib beim Regularitiitsbeweis auf.

(P, &) die passend normierten GREENschen Funktionen cler Operatoren L:L,, 4 mu-ter Ordnung unter den Randbedingungen (74). Ihre Singularitiiten sind maximal vom Typus r 4 m a - n - a mit beliebigem E > 0: [9], [lo]. Wir setzen in der rechten Seite von (11) bei festem a fur y ( & )

ein. Offenbar gilt (75)

bei u: (&) E C"""".

Bezeichnen

v; (&) = L,G"(P, &I; qf (&I = 0, B * a

(ti ( Q ) , L , P ( P , Q ) ) = - (Lu: ( & ) , L G " ( J ' , & ) ) =S(P) = 4 (PI,

Becliert , Variations- iiiid Eigemvertprobleme 335

Uni dies allgemein bei u: (&) E '9Xe,lm,l zu bestiitigen, beachten wir, daI3 durch den Zusammenhang

f,(&) -flm beif: (&) E L, eine beschriinkte, lineare Transformation in L, mit

2 n n - 2 ( 2 m , - E )

> 2 (76) Q =

definiert wird.

tionenfolge mit

dann gilt

1st v; (&) eine reguliire, die Randbedingungen (74) befriedigende Funk-

(77) L,v; (&I - LEU; (&I = - f," (&I in L3 9

(4 v; (&I - L,% (a, L E G " (P, &I) = v; (PI - ( k u : (&I, L,c"(P, 9) ) - 0.

v; (&I - u: (&I in JV?m$.

Andererseits folgt aus (77) und der Coercive-Ungleichung (i) die Kon- vergenz

Also S ( P ) = u: ( P ) , q. e. d .

Weil pp (Q), wie oben gewiihlt, allgemein nicht in L, liegt, diirfen wir es nicht in die Gleichung (11) einsetzen. Wir gehen deshalb von

5" (&) = J G " ( P , & ) X ( P W , E

mit x ( P ) c L?, u fest, aus, wobei

der

Die Wachstumsbeschrankungen V, (7 a) und V3 reichen, vgl. [2], bereits im Falle der GREENschen Funktion des Operators La, also erst recht hier bei der des Operators Lf La BUS, urn das Integral auf der rechten Seite von (78) nach Vertauschung der Integrationsfolge als beschriinktes lineares Funk- tional bezuglich 3: (P) uber L, aufzufassen. Wegen der Eindeutigkeit folgen fur u = 1, 2, 3, . . . r dann ausgeschrieben die Gleichungen

m,

2 O d l Y l 2A(s)21," (PI = J p D y , , ( & , u " , ( & ) , . . . ,o""u:)D~G"(P,Q)dV*. (79)

336 Eerkert, Yariations- und Eigenwertprobleme

Die genannten Vertauschungen in der Integrationsfolge beweist man leicht mittels Approximation durch reguliire Funktionen.

(79) gestattet es, bei Giiltigkeit von Vat (7 a), V3 wie in [2] iterativ die Regularitiit von u; (Q) zu beweisen, indem unter Hinzuziehung der be- kaniiten Einbettungssiitze bei jedem Schritt der Exponent des SOBOLEW- Rttumcs als groBer erkannt wird.

Bei entsprechender Regularitiit von (I), (5 ' ) wird in bekannter Weise die beliebig oftmalig: Differenzierbarkeit von u: (Q) nachgewiesen, indem man in den differsnzierten Gleichungen (79) die Ableitungen der GREENschen Funktion im Argument umrechnet und partiell integriert.

Daniit sind unaere Resultate auch auf die Randbedingungen (74) iiber- tragen. Die Wahl p = 2 fiihrte uns auf die Hauptteile Lf La. Wir diirfen auch beliebige positive, selbstadjungiertc, lineare. elliptische Differential-

opcratoren L: zugrunde legen, indem wir dann von der Quadratwurzel L" ausgehen :

1

1 : - L ~ L = L' = L''L*Y z a z a -

Ohiie Ruckgriff auf die Coercive-Ungleichung (4) kann man sich hier auch auf dic klassischen Einbettungssiitze in aufsteigenden SoBoLEwscheii Riiumen stutzen (verallgeineinerter Auswahlsatz von RELLICH). Dies offiiet einen einfachen Zugang zii den klassischen linearen Eigenwertproblemen der mathematischen Physik.

v. Bishcr wurde vorausgesetzt, da13 ua(Q) = 0 keiiic Extremale des Va-

riatioiisproblems ( 5 ) ist. Im anderen Fall (80) V(0,5") = 0

ist das Minimumproblem ( 5 ) bei (7) nur trivial losbar, und aus den Unitiits- betrachtungen kann entnommen werden. daB unser nichtlineares Eigen- wertprobleni (1 I), (1 3) keine negativen Eigenwerte besitzt. Es ist uber wichtig, das Maximumproblem auch unter (80) zu betrachten, weil bei vielen Anwendungen von der , ,Gleichgewichtslage" u" = 0 Verzweigungen eusgehen. Wir konstruieren bei (80) unsere Extrenialen und cleren Fort- setzung wie fruher. Es besteht nur der Unterschied, daB nicht mehr auf die Limesrelation

lim A ( q ) = 00 ei-n

und deren Koiisequeiizeii geschlosseii werden kann.


Die 'Anwendung der Theorie kritischer Punkte schwachstetiger Funk- tionale auf nichtlineare Eigenwertprobleme bezieht sich im allgemeineii gerade auf das Verzweigungsproblem an der Stelle u = 0. Grundlegend in diesem Zusamnienhang ist der folgende Satz, vgl. [Ill. 1st @(u), @ ( O ) = 0 ein schwttchstetiges Funktional uber einem HILBERT-Raum und gleich- mkBig in einer Umgebung des Ursprungs differenzierbar mit dem voll- stetigen. nichtlinearen Gradienten r, l'(0) = 0. r habe in O die selbst- adjungierte. vollstetige FRiCHETsChe Ableitung B. Dann ist jeder Eigen- wert von B Verzweigungspunkt des nichtlinearen Operators l'.

Im Falle unserm allgemeinen Eigenwertproblems (ll), (13) bzw. (13') beweisen wir zum Schlul3 noch das schwiichere Resultat.

Satz XI. Unter unseren friiheren Voraussetzungen V, , V;, V, ist bei (80) der groJ?te Eigenwert p (0 ) des FRfiCHETSChen Eigenwertproblems (55 ) von (1 3 ) im Ursprung u: (Q) = 0 bzw. der entsprechend kleinste Eigenwert l ip (0) des FREcHETschen Eigenwertproblems (1 3') unabhangig von der Vielfclchheit Ver- zweigungspunkt .

Bei vielen Anwendungen ist bekannt, daB dieser Eigenwert einfach ist. (Satze von JENTZSCH und M. A. RUTMANN.)

Beweis. Definieren pi - (t:), (pz, v k ) = b,k ein volles Eigenlosungs- system von (55 ) zum Eigenwert p (0), welche den 1-dimensionalen Teil- raum ATl aufspannen. Wegen (80) ist. das Variationsproblem

(5') 3 (u*) -+ Max; I I f I I ? 5 s

iiquivalent niit

(81) 1

2 3 (u2) - 3 (0) = -&@a) (u=, u=) 4 Max-

llfll' 5 8 -

Wir benutzen in unserem Beweis entscheidend V 4 . Sei bei

Q EK, : llpll 5 I?

ZlSk die durch 1

j - 1 c l(pl Vj)!' = k < 1 ( 82)

ge kcnnzeichnete Meiige. Ein Lot von z,& auf N , hat hochstens die Liinge l'r- k. Wegen der

Schwachkompaktheit von z l , k kann man das Maximumproblem (55) , mit u: (Q) = 0, uber z i , k in der beschriebenen Weise losen. Istp (0) der Maximal- wert dieses Problems, d a m gilt.

(83) p(O) - p (0 ) = d > 0 . 22 &Lath. N~hr. 1071, Bd. 49 H. 1-8


Nach (V,) existiert offenbar eine Zahl 8, > 0 dcrart, daD gleichmiibig in {P (&)I

fur

zutrif€t. Daher bleibt der Maximalwert j j f von

(85)

fur jedes f : l i f l l2 g sa uber Z,,& unter p (0) + wilhrend der I e r t ,tif von

(85 ) uber N , uber p (0) - - liegt. Bei Ersetzung von rp durch l/grp, 0 < 1s < 1 siiid offenbax k in (82) sowie p (0), p (0), d durch 8 k, sp (0) ,

8 p (0), 8 d und deshalb die rechte Seite von (84) durch 8 - zu ersetzen.

Ilfll’ 5 8a

-&(urn) ( P , PI 1

2 d 4’

I 4

d 4

unter IIrp11’ 5 s lie@ daher unter Der Maximalwert von (85) uber

und uber N , uber 8

Fur 0 (= 8 (= 8, darf man jetzt f jeweils mit rp identifizieren. Man erhlilt aus (86), wenn der Maximalwert von (81) fur llf112 = 8 5 8, uber Ni mit nz,,, und uber Z8,& mit m,,, bezeichnet wird:

d 2 8 - > 0. 2 maSl - (87)

Nach dieser Vorbereitung stellen wir das Variationsproblem (81) unter der Nebenbedingung :

a) I l f I 1 2 5 8 5 8,s 0 5 8 2 8,

welches wie fruher gelost wird. Wegen (87) lie@ die Extremale

u: (&I -f: ( Q ) nicht in Zld,I, also notwendigerweise auf dem Rand von Ks . Sie definiert deshalb eine Losung unseres nichtlinearen Eigenwertproblems (ll), (13). Da fur jedes 8 im Interval1 (88 a) sich mindestens eine Extremale ergibt, erhalten wir, wie behauptet, ein Kontinuum von Liisungen.


Die zugehorigen Eigenwerte A ( s ) streben fur 8 -. 0 gegen p (0), vorausgesetzt, dal3 in (82) k genugend nahe bei eins liegt. Wir subtrahieren (80) von (I I) und erhalten mit verstiindlicher Abkurzung zunZichst

(89) 1..

2 - Q (a:) (u:, a,") = A ( s ) I l f , l 1 2 = A(8) 8 -

Offenbar existiert zu beliebig vorgegebenem E > 0 eine Zahl 6 ( E ) , so daD fur 0 < s < 6 ( E ) die Ungleichungen

(90)

(91) zntreffen. Aus V 4 und (89) schlieDen wir dann auf

(92) A(8) > p (0) - 2 E

fur hinreichende kleine s :

v

Pf r P (0) - E

%,l 2 S ( P (0) - 4 und wie fruher

0 < 8 5 6, ( E ) 5 6 ( E ) oder

lim A(s) 2 p (0). 8 - 4

(93)

Andererseits hat man nach (89)

und nach V 4

~ ( 0 ) - lim A(s) 2 0, 8 4

(94)

also : lim A(s) = p(O) , q. e. d. 8-0

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Variations- und Eigenwertprobleme zu nichtlinearen Differentialgleichungssystemen höherer Ordnung