%. angew. Math. Xccli. r%ll . 28 Nr. 6 Jiini 1048 Kleine Mitteilungen 187

KLEINE MITTEILUNGEN Vereinfachtes Verfah ren zur Spannungsberech- nung in dunnwandigen prismatischen Hohl- korpern unter Innendruck.

111 diinnwandigen prismatischen Hohlkrir],ern l)i lden sich bei Innendruck eincrseits rcine Jiingss1~nnn~ngen u , BUS (Bild l), welche im allgcmeinen a h lionslant an. genonimcn werdeii kijnnen und sich aus dcr Glcichung

PF (r =--

.c u 11. crrvchnen. Hierin ist p dcr innere ~Uberdl.uclr, U dor Unifang (Abwicklungslinge der Watid~igsmittclline),

,If F- l l fo -1- Yo (i - zo ) -;- 2, (yo - 1/) P 1 . . . (l),

-+-,[(go-y)? +( . - z0) ' ] I ' * . - S = [ Y o + p ( ~ - - z o ) ] c o s n - [ Z o - t p ( ~ ~ O - ~ ) ] s i ~ i a (2), Q--[J;+p(.z-zz,)]siri a+[Z,+-p (y,-y)] cosa (3).

Die Aufgabe ist d;ther in1 allgemeinen dreifach stii- tiscli unbestiinmt. Die drei statisch Unbestimnitiin itlo, Yo und Zo wcrden zwerkniiinig niittels dcr folgeii- den Substitutionen tlurcli die LLngen yI, z1 und pa orsct z t :

P Jfo = y [(Yl - Yo)z -k (20 - zJZ - a'] . . (4,

Yo = ( z o - zl) . . . . . . . . . . . (j), 2 0 = p (yl - yo) . . . . . . . . . . . ( 6 ) .

l l i l , l 1 . ()ric~'s:chtiitt ciricr i l ~ i i i i i ~ ~ ~ t i i ~ l i ~ c f i Itiilirc ~ t 1 1 v r 111 ii(1n r l nick.

E' die von der Watidiingsniittelliciic eiiigesclilossenc E'ldclie und h dic Wanda tii.rltc. Andcrerseits trctcn Um- fangs- oder Hingspannungen ut nuf, die von der Iiiings- kriift 5' und dcni Bicgeniomerit M (Bild 2) hcrriihren. . I l k ~lcichgewiclitshetl.achtung an einenl durch zwci 1)rnachliarte Achsialschnitte begrcnztern Wandungs- st.reifen u i i t den rechtwitildigcn Koordinateri y z fiihrt auf drei C;leichungcn, welchc die Jkrcdiiiung dcr drci Sp"i~nuiiGsresi"ltantcl1 ( M I?iicgen~oiiidnt, S Liiimga-

%

Itraft, (I Querkraft) des aii beliebiger Stelle gedachten linken Uegrenzungssclmittes erlauben, wenn die GroDen ,!Io, l'o. Yo. hekannt sicd; dic st' stellen die S1 annunps- resultanten dcs als fest vorzustellenden rechten Uegren- zungsscl~nittes dar (Koordinatcn yo, zo, Biegemomelit &lo, Schnittkraft in y-Richtung Yo, Sclmittkraft in z- Richtung Zo). Es ergibt eich

Nach Ninsetzen in ( Ins Gleiciiungssysteln ( I ) , (2), (3) f olgen :

Jf = 5 rk/ I -yJ? + (z-z1)2-Q?J . . . (7),

S = p [ (z - zl) c'os (Y + (y - yl) sin a] . . (H),

Aus tlieser Darstellung geht unniitttlbar folgcnrh~r gco- metriseher Swhverhnlt liervor :

Eti esisticrt cin besondcrer ( ~ u e r s c l i i i i t t s ~ ~ u ~ ~ h t O*, tler als ,,13iegczentrum" der diinnwandigen liiihre hc- zcichnct sri ; er l~esitzt.folgendel':igcnscliaftcn (s.8iltl3) :

1. Das Quadrat des Alxtandes voni I3icg(wwtrum, vt,rniindcrt, urn die Iionstante p", rrgilit nacli ?&itti- pliliation mit tleni halbcn Iktrnge lie;; liiricndrucltc~s

a

I3iltl 3. I3cstiniiiiuiig voi1 Llliigs- u i r i l Qucrlilaft i i i i t l lilic dcs Hirgczentriiins.

das Bic~gcmoment~. Daher sind dir Gclulittputlktc dra Kreises vom Radius g urn das I3icgczcntrunml init tler Waiidurigsniittcllinie znglcich die Alonieri- tcnniillpu~~litc. Andererseits sind die Stellczi der hiichutxn Biegebesnsprurhung durch den griinten Abstand des Icreises von der ~l '~ii idull~smittell inie gckennzeichnct.

2. I)ie Liingskraft, dividicrt durrh dvn Jnnendruclt, erscheint als Liinge des auf die \Vandunpsnormale prnjizierten, vom Biegezentrmn zuin Wandungs- punkt fiihrenden Velttors.

3. Die Querkmft, dividicrt dureli den Innendruck, erschcint als Liinge des glcichen, jcdoch auf die Wandungstangente projizjrrt.cn Vektors.

Aus dieser Darstellung rrkl3i1t sich deinnach auch in einfacher Weise die b(kanntc Tatsache, dalJ die Bie&obeansl~rurliung uni 80 . griilJer wird, je iiiclir der Qucrschnitt yon der Krcisforn nbweicht.

7.. xngew. Math. Mwh. Rd. 2P Nr. (i J i i n i 19IR Klrine Mitteilungen

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Schlie5lich sci noch erwiihnt, da5 US den Bezichmi- gen (8) und (9) auch fiir die GroRe und Iticlitung der rcsultierendenSchnittkraft einfachcGesetzrnii5igkeite11 folgen. Wird der Abstand des jeweiligen Wandungs- punktes vom Biegezentrum mit T* und der Winkel zwischen r* und der M'andungsnormalcn mit p bezeich- net, so folgt (Bild 3):

z-z1 = r* cos (a + p), y-yI = r+ sin (a + /I) (10). Demnach gehen Gleichung (8) und (9) iiber in

s =- p r* COS p . . . . . . . (ll), Q = -pr*sin,!? . . . . . . (12).

21 = p r , . . . . . . . . . (13).

Fiir die G r o h der resultierenden Schni t thaf t folgt demnach

Ibo Richtung ergibt sich senkrecht zum Vektor re. Unter Verwendung von R statt S und Q wird zugleich das Kraftespiel anschaulicher. Wird wie in Bild 4 dcr

---I r -

4 '

Mid 4. Krlftespiel a111 \Viiikclmunl n i t den Seiten c' und 7* bci ICinfiihrung tier rcsultierentlen Schiiittlirhite H unil I?".

rechte Schnitt in einen Momentenullpunkt gelegt,, und die zugchorige resulticrende Schnittkraft n i t H, be- zeicbnet,, SO folgt enhprechend Gleichmig (13) :

H, = p e . . . . . . . (14). Wird der VOII den Radien r* und e begrenztc Hauin

in die Gleichgewiehtsbetrachtung einbezogen, SO zeigt Rich die translative Gleichgewichtsbedingung in an- rjchaulichcr Weise vonselbst erfiillt. I)as Gleichgewicht gegeniiber einer Drchung entsprirht der Bedingung

welcho mit Gleichung (7) identisch ist. Die hochste Beannpruchung entspricht den extre-

mitlen Werten des Radius r*, welche mit r* und r* 111,1, gekennzeichnet seien. Fiir die maximale Span- nung CTgehen sich dann die Formeln:

Es bleibt noch anzugebeii, wie dic Ittltiwli Unbe- stimmten y,, zl, e am einfachfitcn erniittelt werden. Hierzu sci die Pormiindcrungsenergie cines Quer- schnittstreifens (Breito in x-Richtung gleich 1) be- rechnot. Bei Vernachliissigung der Liingskraftenergie folgt:

1:

A = i / g d s . , . . , , (18). 0

Hicriu iat E der als koiiatant vorausgesetzte Elastizi- tatsmodul des Wcrktjtoffes. An Stelle von &/k3 wird zwecknibUig

d s h3

d l = - . . . . . . . . (19)

entsprechend der Intcgrationsvariablen P

mit dem obereii Grenzwert U

eingefiihrt. Die Anwendung des Satzes vom Extremum der Formanderungsenergio fiihrt dann auf die drei Bc- ziehungen :

aus welchen

folgen. Mit Anmendung der Glcichung (7) ergibt sich hieraus :

A d A

U il 11

/ M y d , I . = O , ( M z d A - 0 , j bl ll?. = 0 . (24).

Fiir die weitere Rechnung is t es praktisch, den Ur- sprung des Koordinatensystems y, z in den Schwer- punkt des fiktiven Querschnittes niit der Wandstiirke l/h3 zu legen, d. h. derart, da5 dio Gleichungen

A n 1 y tl,! - 0, J z dl. = 0 . . . . . (25) 0 U

erfiillt sind. Fcrner mogen dieKoordincltenachsen zu- gleich Hauptachsen des Erflatzquerschnittcs scin, so dal3 auch

A l y 1 (17. - - 0 . . . . . . . (26) u

gilt. Die Aubrechmg tlcr Glcicbungen (24) fiihrt dann unmittelbar auf die gesuchten Beziehungen fiir die sta- tiseh Unbestinimten. Werden suniichst Haupttriig- Iieitsmomcnte und Triigheitsradien dcs Ersatzqner- schnittcs aus

3, i? I 2: (27) A rr

0 = z2dJ,, aZ =/yZd?., i t 0 . I , I u 0 f

berechnet, so ergibt sich:

A

,̂ = ..I.- f (y2 - i - z') L tli. . . . .(Z(J),

-1. r ? c1 . . . . . (30).

2 SY

e 2 =~ j' + i' + ( I

I/ 2

Der praktischc Rechnungsgang besteht daher &us

1. Uestixnmung des Schwerpunktes und der Haupt- arhsen dos Ersatzquerschnittes mit dcr Wand.

folgcndcn Einzelsehrittcn:

stiirkc. i p s ;

Kleinc Mi z. augrw. Mllth. Mecll. - Bd. 28 S r . 6 Jim1 1918

. - . - - - ... .

2. Bcstirninung der zugehiirigcn TrSg!icitsmomentc 31, 8 2 und der Trigheitsradial iy, a,;

3. 13crochnung der Koordinaten dos Biegezcntrums aus Gleichung (28) und (29);

4. Bcrechnung des Radius e aus Gleichung (30); 5. Einzeichnen des BicgczentrumsindicQuerschnitts-

figur, Zeichnen des Kreises mit dem Radius e um das Biegezentrum als Mittelpunkt, Bestimmung defi Verlaufes des Biegemomentes entsprcchend

n

-- . \

/ 1‘ ,A I /

-r---+ sr, /’

\/

Bild 6 . Beispiele ZUP Bicgobeanspruchung dimnwandiger Rohren untrr Innendruck rnit Angabe dog Blegezrntrums

0, und des Radius.

Gleichung (16), Ermittlung der groJ3ten und klein- sten Entfcrnung des Kreiscs von dcr Wandungs- mittollinie und Bcrechnung der groI3ten Spannung am Gleichung (16) bzw. (17);

G . Zeichnen dcr normalen und tangentialen Projek- tionon des jowciligcn, vom Biegezentrum zur Wan- dmg fuhrenden Vektors, hieraus Bestimmung des Vcrlaufes der Lings- und Querkraft, entsprechcnd Gleichung (11) und (12).

Einige Anwendungsbeispiele zeigt Bild 5. Dresden. H . Neuber.

Zur nlchtlinearen Elastizitltstheorie.’) Untersucht =den die Beziehungen zwischcn dcm

Spannungstensor und Zerrungetensor (Deformations- tensor) in der nichtlinearen Elastizitatsthcorie. Hierbei wurden immer weitergehende einschrankendc Annah- men gemacht.

A n n a h m e 1 : D e r Korpersei e l a s t i s c h . Zu jedem Zcrrungszustand gchort dann ein cindeutig be- stimmter Spannungszustand. Hicraus folgt, da13 jedem Zcrrungszustand auch eino bcstimmte eindeutigc Zcr- rungsenergie zugeordnet ist, die unabhangig vom Wege

1) Vcranlasaung zii dieser Mitteilling gab (lie kleine Mit- teilung von A. 1’h i I i p p i d I s , 2. angcw. B t h . Yech. 25-27 (1947) 9. 91.

a) &he z. B. A. E. H. Love, Lehrbuch der Elastizittit 1907, 9. 69; dlo Komponente tics T(lusor3 Hind dort, mit und

7t,iz I ~ e z r i c h n ~ t .

.ttc.ilunjien 189 -... -. ~ - ...-. ~

ist. hdornfal ls wiirde man bei einem geschlosscnen ICrcisprozeI.3 Energie vcrliercn, bci den1 umgekehrten Krci sprozel3 Energic gewinn en.

Bei gronon partiellen Ablcitungen der Komponcnten u, v, I!) dcs Verschicbungsvektors erhiilt. man den n l l - gcmeinen Zerrungstensor

E z z , E Z U I E I Z

F Z z , F Z y . C‘ZZ

mit den Komponenten

(7 ) 2) F y / y = ..., F 2 z - Z ...

P y z :-= F y , = . . . Wir wollen am Anfange der Untersuchung diesen all. gemeincn Tensor benutzcn. Flir kleine partielle Ab- lcistungen gchen die Komponenten des Temors bei Ver- nachlihsigung hoherer Glieder uber in die Normalzer- rungen (Dchnungen) und Tangentialzerrungen (halbe Schicbungcn).

Aus dem Tensor (1) finden wir aus einer kubischen Gleichung die Hauptkomponente des Tensors el ’, c p 2 , es3. Die Koeffizienten dieser Gleichung sjnd

. . . ,

-((Ell + &23 + E 3 3 ) = -(%z+ E V U + E Z Z )

E l 1 + E p * E3 3 + E3 3 E l 1 = EZ x f . . . + * * . -((Ezy2+ ... + ...)

&.rr “yz” - Ey y 5: - E Z Z E,,”) *

- E l 1 F 2 2 t-3 3 = - ( E r z &y.y E Z Z + 2 Ezy E U Z E Z X

- Bei einer Drehung dcs Koordinatensystems bleiben

die Koeffizienten invariant. Fiir unsere Untersuchung nehmcn wir diesc Invarianten bzw. eine Kombination derselben:

J , + + cp + E~ = 3 cm

J 3 = ‘1 1 &2 2 ‘3 3 I Sind dio Hauptkompnenten f l 1 , c Z 2 und E~~ des allge- meinon Zerrungstensors gefunden, so folgen daraus die Hauptzerrungen (Hauptdchnnngen) :

I - - F 1 = \ 1 + 2 F l 1 - 1 , € z - ..., F 3 = ... (4.

2Ell=(1+E1)2-l, 2 E Z 2 - ..., 2 F 3 3 = ... (a). oder

Wir wollen nunmehr die mit dcn Zcrrungen verbun- dene Zerrungsenergie betrachten. Hierbei ist die Zer- rungsenergio A jo Volumeneinheit des unverzerrten KBrpers zu nehmen. Erteilt man dem Korper fur be- stimmte drei zueinander senkrechte Richtungen die Hauptsr~rrungen el, E~ und E ~ , so i s t bezogen auf die anfanglicho Vdumeneinheit eine bestimmte Energie vorhanden. Nimmt man dieselben Zerrungen, jedoch fur andere Richtungen, so wird allgemein auch die Zer- rungsenergie eine andere. Man denke z. B. an Holz, das einmal in Fasorrichtung, ein anderos Ma1 scnkrecht dazu gestrcckt wird. Die Zerrungsenergie wird folglicll eine Funktion sowohl der Hauptzerrungen E ~ , c2 und als aucb der Richtungen dicscr Zcrrungen.

A n n a h m e 11: Der Korper sei i s o t r o p. Dann is t die Zerrungsenergie nur eine symmetrische l . . k t i o n der Hauptzerrungen el, cp und e3. Wir kbnnen hierfiir aber auch die Hauptkomponenton des Zerrungstensors