2. angew. Math. Mech. Rd. 33 Nr. El9 Aug./Sept. 1953 286 C. Dynamik und Stabilitat

Vereinfachung der Grundgleichungen der elastischen Stabilitat mit Anwendung auf Stabe, Platten und Schalen

Von H. Neuber in Dresden 1. ubersicht

In einer fruheren Arbeil [l] hat der Verfasser nachgewiesen, daB bei Aufstellung dcr Grundgleichungen der elastischen Stabilital unter Anwendung der exakten Rechenverfahrcn des R i c c i - Kalkuls innerhalb der ,,linearen" Stabilitatstheorie insofern eine Unsicherheil besteht,als dieveranderung des Vorspannungstensors wahrend der bei Instabilitat eintre tenden Deformation genaue Aussagen iiber GroBen hoherer Ordnung sowohl bei der Formulierung dcs Elastizitatsgesetzes, als auch der bis zum indifferenlen Gleichgewicht erfolgten Vordeformation crforderlich machen wurde [a ] . Die dieshezugliclicn Groflen sind jedoch so klein, daB sie sich den Meflmethoden entziehen. Andererseits liegen diese Effekte meist auch innerhalb der Her- slellungsgenauigkeit der jeweils zu untersuchenden Bauteile. Aus diesem Grunde konnle VOIII ingenieurmafligen Standpunkt aus von vornherein erwartet werden, dafl sir keinen wesen l - lichen EinfluB fur die kritische Last zur Folge haben. Djese Vermutung 1aOt sich fiir das Hci- spicl der Knickung prismatischer Stabe bei reiner Druckbeanspruchung bestatigen. Hierau\ ergibt sich fur die Theorie der elastischen Stabilitat folgender Sachverhalt : Die Vcranderunfi des Vorspannungstensors wahrend der bei der Instabilitat moglichen Deformation ist bei ejncr Reihe technisch wichtiger Stabilitatsprobleme ohne wesentlichen EinfluB auf die GriiBe der kritischen Last. Die rnit dcr Veranderung des Vorspannungstensors in Zusammenhang slehen- den kleinen GroBen bcteiligen sirh jedoch an der Formulierung der fur indifferenles Gleichge- wicht geltenden linearen Differentialgleichungen und sind fur den Schwierigkeilsgrad der zur Integration erforderlichen Kechnungsgange von ausschlaggebender Bedeutung. Daraus ergibl sich die lohnende Aufgabe, innerhalb der vom Standpunkt der Werkstoffmechanik aus zu er- wartenden Moglichkeiten der Formulierung eine Darstellung zu finden, welche fur eine miig- lichst einfache Integration am vorteilhaftesten ist. In der erwahnten Arbeit des Verfasser s wurden bereits zwei derartige Ansatze diskutiert. In einer weiteren Arbeit des Verfassers iiber das Stabilitatsverhalten von S a n d w i c h platten [3] wird ein weiterer Ansatz verwendel, der gewissen naheliegenden Vorstellungen entgegenkomml.

In vorliegender Arbeit wird ein neuer Ansatz fur den Vorspannungstensor angegeben, welcher die Integration wesentlich vereinfacht. wobei sich die mit den Komponenten des Vor- spannungstensors behafteten Glieder innerhalb der linearen Stabilitatstheorie gegenseilig kom- pensieren, so daljsich d i e G l e i c h g e w i c h t s b e d i n g u n g e n a u f d a s V e r s c h w i n - d e n d e r D i v e r g e n z d e s d u r c h d i e i n d i f f e r e n t e D e f o r m a t i o n g e w e c k - t e n (bzw. mit derselben durch das Elastizitatsgesetz kausal verknupften) 2 u s a t z s p a n - n u n g s t e n s o r s r e d u z i e r e n . Sie gleichen daher formal den D i f f e r e n t i a l g l e i - c h u n g e n d e r g e w o h n l i c h e n E l a s t i z i t a t s t h e o r i e bzw. den G l e i c h g e - w i c h t s b e d i n g u n g e n d e s u n d e f o r m i e r t e n K o r p e r s . Damit stehen aber zur Losung die Verfahren der gewohnlichen Elastizitatstheorie zur Verfugung, insbesonderc im allgemeinen Fall des dreidimensionalen Problems der vom Verfasser eingefuhrtc ,,D r e if u n k t i o n e n a n s a t Z" [4]. Wie nachstehend gezeigt wird, t r i t t der Vorspan- nungstensor dann lediglich noch bei der Aufstellung der Randbedingungen in Erschei- nung. Die Brauchbarkeit der gewonnenen Methode wird zunachst am Beispiel der Knickung druckbeanspruchter prismatiseher Stabe nachgewiesen (Bestatigung der E u 1 e r - last). Ferner wird fur den Fall der Plattenknickung gezeigt, daB sich die allgemeinc Differentialgleichung dieser Problemgruppe mit Hilfe der neuen Formulierung unmittel- bar aus der gewohnlichen Plattentheorie ergibt, wobei sich ubereinstimmung zeigt mit bis- herigen Formulierungen, insbesondere den Arbeiten von K. M a r g u e r r e [5] (Anwendung der energetischen Methode) und F r. A. W i 1 1 e r s [6] (Formulierung als Variationsprobleni rnit zahlreichen Anwendungen). Ebenso lassen sich die verwickelten Differentialgleichungen der Schalenknickung in verhaltnismaBig einfacher Weise aus der tensoriellen Schalentheorie [7] des Verfassers herleiten, worauf a n anderer Stelle noch naher eingegangen werden soll.

2. Darstellung der Grundgleichungen der elastischen Stabilitat mit Hilfe des Ricci- Kalkuls und Aufstellung eines vereinfachten Ansatzes fur den Vorspannungstensor

Mit den kartesischen Koordinaten 5 = Zl; y = z2; z = Z3 allgemein 5,, 5g, Z,, Zn mit k, 1, m, w, = 1, 2. 3) und den kartesischen Komponenten V,, Vl der V , des elastischen Vcr- schiebungsvektors gilt fur die Koordinaten nach der Deformation

* (1) X ' L =3 + V k . . . . . * . . . . . . . . -

C. Dynamik und Stabilitat 287 Z. sngew. Math. Mech.’ Bd. SS Nr. S/O Aug./Sept. 1853

Werden zur Abkiirzung dieselben Bezeichnungen verwendet, die vom Verfasser in den unter Anm. [l] und [7] angefiihrten Arbeiten benutzt wurden, so gilt fur das Gleichgewicht des Span- nungstensors nach der Deformation

Der Spannungstensor nach der Deformation K A p besteht aus dem Vorspannungslensor, der infolge der kleinen Formanderungen des Werkstoffes, wie sie bei Formulierung des indifferenten Gleichgewichtes (entsprechend der ,,linearen“ Stabilitatstheorie) in Betracht gezogen werden miissen, vom ursprunglichen Vorspannungstensor TAP in den etwas veranderten Tensor FAP ubergegangen ist, sowie einem kleinen Zusatztensor, der mit diesen kleinen Formanderungs- gro13en durch das H o o k e sche Elastizitatsgesetz kausal verkniipft ist. Wird der Zusatztensor mit t , ~ bezeichnet, so gilt :

K a p = PP + t A i 4

Fur die exakte Herleitung von TAM ware eine Erweiterung des Formanderungsgesetzes auf GrbBen h8herer Ordnung erforderlich, die sicli den Methoden der MeBtechnik infolge des Hin- zukommens verschiedener Fehlerquellen entziehen. Deshalb wurden in der unter [l] ge- nannten Arbeit des Verfassers bereits zwei heuristische Darstellungen angegeben. Eine weitere Darstellung, welche gewissen Annahmen iiber die Unabhangigkeit von der starren Drehung des Werkstoffteilchens entspricht, findet sich in der unter [3] angegebenen Arbeit des Ver- fassers. Die nahere Untersuchung dieser Ansatze zeigt a m Beispiel des gewohnlichen Knick- stabes, daI3 die kritische Last stets mit der E u 1 e r last iibereinstimmt, d. h. von der speziellen Art der Ansatze unabhangig ist. Der zugehiirige Nachweis macht jedoch bei den erwahnten Ansatzen die Durchfiihrung der Integration der erweiterten Gleichgewichtsbedingungen erfor- derlich, wobei der Vorspannungstensor als Parameter auftritt und dadurch die Rechnung wesentlich erschwert.

Da das Endergebnis offenbar innerhalb gewisser Grenzen von der Art des Ansatzes uber den veranderten Vorspannungstensor unabhangig ist, sol1 hier ein neuer Ansatz aufgestellt wer- den, der fur die Integration besondere Vorteile rnit sich bringt. Zunachst sei ein Restspannungs- tensor r” p eingefuhrt, welcher der Veranderung des Vorspannungstensors Rechnung tragt, so- weit diese nicht unmittelbar mit dem Elastizitatsgesetz in Zusammenhang steht.

KA$ + T ” I v ~ K p v + V P I A ~ Kay = 0 . . . . . . . . . . . (2).

. . . . . . . . . . . . . . - (3).

Dann gilt allgemein : - . . . . . . . . . . . . . TAP = TAP + * (4)

* (5)-

wobei .I.p klein gegeniiber TAP ist, und zwar von derselben Ordnung wie 1”. Aus GI. ( 3 ) folgt nunmehr :

Setzt man diesen Ausdruck in die Gleichgewichtsaussage (2) ein, so iolgt mit Riicksicht auf die Tatsache, daI3 der Vorspannungstensor im undeformierten Korper im Gleichgewicht war, d. h. die Bedingung

erfiillt, unter Beschriinkung auf Glieder erster Ordnung :

Wie eine kurze Rechnung bestatigt, bedeutet diese Gleichung das Verschwinden der Diver- genz eines Hilfstensors fp:

wobei

wird. Mit Bezug auf die anfangs dargelegten Gedankengange, kann iiber den Tensor y A @ inner-

halls gewisser Grenzen frei verfiigt werden, ohne die Endergebnisse zu beeinflussen. Derjenige Ansatz verdient hierbei besonderen Vorzug, der eine Vereinfachung der Rechenmethode herbei- fiihrt. Der einfachste diesbeziigliche Ansatz ist offenbar der, fur den

. . . . . . . . . . . . RAP = TAP + t a p + T A P .

. . . . . . . . . . . . . . . Thq,= 0 * (6)

(7).

frl, = 0 * (8)

- (9)

. . . . . . . . . t”/, + rQqn + VIVA T P V + VjAV I”* = 0

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . = t A P + T A P + vA/v T F V + V p I v TAv - VI

d. h.

wird, denn in diesem Falle liefert G1. (8): P P I , = 0 . . . . . . . . . . . . . . . * (12)

21’

2. angew. Math. Mech. Bd. 33 Nr. 8/B AugJSept. 1853 C. Dynamik und Stabilitat

- -_ 288

t,, == -- P l , , y + ( l - - ~ j d F + 2 a Q ? , , ,

2 G V 8 = - F 1 , . 2 G V , = - Fl , , + 2 a @y

v, = 0

also eine Bedingung, welche mit der Gleichgewichtsbetrachtung des u n d e f o r m i e r t e n K 6 r p e r s im Einklang steht. Da der Zusatztensor durch das H o o k e sche Elastizitatsgesetz mit den Ableitungen des Verschiebungsvektors linear verknupft ist :

' . . '

gilt fur das so entstehende Integrationsproblem die gewohnliche Elastizitatstheorie und damit der vom Verfasser aufgestellte Dreifunktionenansatzs [4]. Die jeweiligen Randbedingungen sind allerdings fur den Tensor K A p zu formulieren, bzw. da der Vorspannungstensor vor der Deformation T a p bereits die Randbedingung erfullt, fur die Tensorsumme tap + Y A P .

3. Nachweis der Methode am Beispiel der Knickung des druckbeanspruchten prismatischen Stabes

Urn die Brauchbarkeit des Ansatzes nachzuwcisen, sei als Beispiel der druckbeanspruchte prismatische Stab betrachtet. Wird angenommen, dafl es sich um eine diinne Platte handelt, so kann ebener Formanderungszustand vorausgesetzt werden, und der Dreifunktionenansatz reduziert sich infolge der Abhangigkeit von nur zwei Koordinaten auf zwei Funktionen. Wird gemal3 Bild 1 die x-Koordinate in Richtung der Plattenmittelflache (zugleich Druckrichtung) angenommen, so gilt fur den Dreifunktionensatz [4] das Gleichungssystem (mit @$ = 0 ; QZ == 0):

n3 f ny n y nyyl n x 1 1 1 1 E J 1

tzv = C - [- 1 + (a - 1 ) c] Goy - - c- Bin- cos-

ndy "Y nY\ nx [- 1 + a c] 6in- - c- Goy - sin - 1 1 1 I 1

n ( n y n y ny\ nx 1 1 1 1 1 J 1

2 G V z = C - -Bin--c-Gof- cos-

, . . .

Entsprechend der zu erwartenden Knickdeformation sei gesetzt : n y nx

Qo= CGin-sin- 1 1 n n y n x

Q,= Cc-Goy-sin- 1 1 1 ( * " . * . . .

ny ny . nx F = c ( Gin- "1" + c-~o~:) 1 1 s'n 1 Nach Einsetzen in das Gleichungssystem (14) ergibt sich :

[l + (2 - a) c] Bin

2OV,=C- n f [l 1 1

. . . (14).

. . . (15)

. . . (16).

. . . (17).

Durch den harmonisehen Charakter der Ausgangsfunktionen sind gemal3 dem Drei- funktionenansatz [4] samtliche Elastizitatsgleichungen (Gleichgewichts- und Kompatibilitats- bedingungen) von vornherein erfullt, so da13 nur noch die Randbedingungen in Betracht zu ziehen sind. Diese lauten:

t,, + r,, = 0 , t,, + rZv = 0 . . . . . . . . . . . (18).

2. sngew. Math. Mech. C. Dynamik und Stabilitat 289 Bd. 33 Nr. 8/9 AugJSept. 1953

Entsprechend (Gl. (1 1) ergibt sich hieraus :

t y y = O , t,, - Vy,, T,, = 0 . . . . . . . . . . . (19).

Hierbei wurde beachtet, daB entsprechend den eingeleiteten Druckkraften in der 2- Richtung (Bild 1 ) fur die Komponenten des Vorspannungstensors die Beziehungen gelten :

T, ,#O, T,, = T,, = T,, = T,, = T, , = 0 . . . . . (20).

Die in den G1. (19 enthaltenen Aussagen fur den gewahlten Ansatz ergeben sich durch Einsetzen der entsprechenden Ausdrucke aus dem Gleicliungssystem (1 7). Hieraus folgen unter Umgehung der Zwischenrechnung die beiden nachstehenden Bedingungsgleichungen :

. . (21). I - Gin y + (a Gin y - y Eof y ) c = 0

(g - 1 ) goy y + {[a - 1 + q(1 - 2 a)] go! Y + (p - 1) Y 6 in y} c = 0

Es handelt sich dabei um zwei Gleichungen fur die Konstante G, die nur dann eine nicht- triviale Losung besitzen, wenn die Determinate verschwindet. Hieraus folgt :

[ q ( ~ ~ - 1 ) + 1 ] 6 i n ( 2 y ) + ( q - l ) 2 y = O . . . . . . . . . (22).

Die Auflosung nach q liefert :

. 2 y - Gin(2 y ) . . . (23).

rn i~ = 2 y + (a - 1) ~ i n ( 2 y>

Wird noch beachtet, daB der Quotient 122 = q der Vordehnung des Werkstoffes entspricht und in- folgedessen aul3erordentlich klein gegenuber 1 ist, so folgt, daB y sehr klein sein wird. Es ist daher nach diesem Parameter zu entwickeln und man erhalt bei - Beriicksichtigung des ersten, von Null verschiedenen Gliedes die Obereinstimmung mit der E u 1 e r schen Knickspannung der Platte :

2 6

(24). nz ha E T,, =- . . . . 12(1 -$)P

Damit ist die Brauchbarkeit des Verfahrens fur den gedruckten prismatischen Stab nachgewie- sen. Es sei nochmals darauf hingewiesen, daB samt- liche Differentialgleichungen aus der gewohnlichen Elastizitatstheorie entnommen werden konnen, bzw. nach bekannten Methoden, insbesondere mittels des Dreifunktionensatzes, integriert werden konnen. Vor allem tr i t t der mit dem Vorspannungstensor in Zu- eammenhang stehende Parameter erst bei For- mulierung der Randbedingungen auf.

4. Anwendung auf die Theorie der Plattenknickung Die sinngemaBe Anwendung auf die Plattentheorie fuhrt dazu, daB die Differential-

gleichungen der gewohnlichen Plattentheorie auch fur die Plattenknickung Gultigkeit behalten. Allerdings mu13 das an der Plattenoberflache angreifende Kraftesystem hierbei vollstandig (d. h. sowohl die Normal- wie auch die Tangentialkomponenten der Oberflachenkrafte) beriick- sichtigt werden: In tensorieller Form ergibt sich das zugehorige Gleichungssystem aus der allgemeinen Schalentheorie des Verfassers [7], wenn der Krummungstensor b"0 der Schalen- mittelflache vernachlassigt wird. Dann gilt die Gleichgewichtsbedingung :

Mafl/ap + mala + p = 0 . . . . . . . . . . . . . (25).

Der Tensor der Biegemomente steht hierbei in folgendem Zusammenhang mit den Ableitungen der Verschiebung senkrecht zur Platte :

Z. angew. Math. Mech. Bd.33 Nr. 8/9 AugJBept. 1953 C. Dynamik und Stabilitat

- 290

Nach Einsetzen dieses Ausdruckes in G1. (25) ergibt sich folgende Differentialgleichung fiir die Plattendurchbiegung :

Wi;$ + ?hala + p = o na G h3 -___-- . . . . . . . . . .

m - 1 6 (27).

Fur die Koniponenten des Spannungstensors an der Plattenoberflache gilt unter Voraus- setzung konstanter Plattendicke und bei Vernachlassigung von Gliedern hoherer Ordnung [7] GI. ( 8 5 ) ! )

I 8 3 = - in6 . . . . . . . . . . . . . . . (28).

Im Falle der Knickung der Platte unter einem Vorspannungstensor mit zweidimensiona-

1 h

len Komponenten, d. h. mit

lauten die Randbedingungen fur die Plattenoberflache : T o 3 = O , T 3 3 -0 . . . . . . . . . . . . . (29).

283 + 7 6 3 = 0 , t33 + 9.33 = 0 . . . . . . . . . . . (30). Unter Beachtung der GI. (11) ergibt sich hieraus:

(31). L

Hei Beachtung von Gl. (28) folgt :

Nach Einsetzen in G1. (27) ergibt sich, wenn gleichzeitig beachtet wird, da13 die Platten- = h IT"@ WJp . . . . . . . . . . . . . . (32).

oberflache unbelastet sein sol1 ( K 3 3 = p = 0):

I-Iierbei ist zur Abkurzung . . . . . . . . . . . . . . . ()I;=d - (34)

gesetzt. G1. (33) steht jn Ubereinstimmung mit den bisherigen Formulierungen des Problems der Plattenknickung, insbesondere den Untersuchungen von K. M a r g u e r r e mit Hilfe der cnergetischen Methode [5] und den zahlreichen Arbeiten von Fr. A. W i 11 e r s , wobei die Plattenknickung als Variationsproblem aufgefal3t ist und auf diese Weise die Anwendung auf kompliziertere Falle der technischen Praxis ermoglicht wurde [6].

Die dargelegten Gedankengange fiihren auch zur Formulierung einer vereinfacliten Stabilitatstheorie der elastischen Schalen, woriiber in einer spateren Arbeit bericlitet werden 5011.

Schrifttum [l] N e u b e r , H.: Die Grundgleichungen der elastischen Stabilitat in allgemeinen Koordinaten und ihre Inte-

[21 S. ebenda, Anmerkung 3 auf Seite 325. [3] N e u b e r , H.: Theorie der Druckstabilitat der S a n d w i c h platte I u. 11. Z. angew. Math. Mech. 32,

113 N e u b e r , H.: Ein neuer Ansatz zur Losung raumlicher Probleme der Elastizitatstheorie. Z. angew. Math. Mech. 14 (1934) S. 203-212; ferner ,,Kerbspannungslehre" Berlin, 1937.

[5] M a r g u e r r e , K.: uber die Behandlung von Stabilitatsproblemen rnit Kilfe der energetischen Methode. Z. angew. Math. Mech. 18 (1938), S. 57-73.

[6] W i 1 1 e r s , F r. A. : Die Beullast abgestufter Kreisplatten. Z. angew. Math. Mech. 19 (1939), S. 206-210; Die erste Variation der Formanderungsarbeit ausgebeulter ebener Platten. Z. angew. Math. Mech. 20 (1940), S. 118 his 121 ; Die Stabilitat yon Kreisringplatten. Z. angew. Math. Mech. 23 (19431, S. 252-258.

[7] N e u b e r , H.: Allgemeine Schalentheorie I und 11. Z. angew. Math. Mech. 29 (1949), S. 97-108 u. 142-146

gration. Z. angew. Math. Mech. 23 (1943), S. 321-330.

S. 325-337; 33, S. 10-26.

Nicht eingegsngen sind Referate der folgenden Vortriige: H. C r e m e r , Ober die algebraischen Stabilitatskriterien, E. A. D e u k e r , Die strenge Losung der Eigenwertaufgabe fur den Kippstab, J. F a d 1 e , Der homogene, innerlich statisch unbestimmte Parallelfachwerk-

1). G r a f f i , Uher den Reziprozitatssatz in der Dynamik der elastischen Korper, E. P e s t e 1 , Zur Schwingungsdampfung der rotierenden Welle in Gleitlagern.

trager,