Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem

V e r s c h l t r f u n g d e r A b s c h l t t z n n g b e i m T e i l e r p s ~ b l e m .

VoQ

J. G. vsn der Corput in Freiburg (Schwelz).

Es be~eielme T (~t) die Ansthl der Teiler der positiven gsn~en Zaid s , r (z). die summst~rische F a n . o n

C ~ i e Eulersche Konstante, R(x) die Funktion

R(z) ~- : (z ) - z l ogz - (2C - l)z

(~ber Dirichlets Ergebnis

i~ (z)---- o (~/~) war erst Voronoi ~) 1908 hinausgekommen, indem er

bewies. Bis jetzt hat man ]~(~)[ nicht sob&tier kSnnen, so daft. dis Ab~h~mmg

(x~ o),

(z > 0).

nseh ob6n sbsekStaen

U unabhingig yon z) RI~)- o ( ~ (x < io~, welche i~h in dieser Note bewsis~ were, nm iJt.

Aus der (mit elementsrsten M/t~]n beweisbsrsn) Relation t)

4 0 J . G . van der Corput.

e~gibt sich, da~ es

(1)

geniigt, die Beziehung

abzuleiten. Der Beweis dieser Beziehung stiitzt sich aui zwei allgemeine Siitze (Satz 1 und Satz 2); den ersten Satz beweise ich mittels einer eigenen MethodeS), den zweiten mittels der Weylschen Absch~itzungs- methodet). Um den Beweis zu verstehen, braucht der Leser diese Methoden nicht zu kennen.

B e z e i c h n t m g : x ~ y bezeichne, daft es eine Konstante K gibt mit der Eigenschaft

(2)

x :>- y bezeichne y ~ x und x ~-~ y bezeichne, dal~ x ~>- y und auch x - ~ y ist. Wir werden sagen, daft x ~ y in bezug auf ~ ist, wenn es eine nut yon s abhiingige Zahl K mit der Eigenschaft (2) gibt; da~ x ~ : y in bezug auf

und t i s t , wenn es eine nur yon ~ und t abh~ingige Zahl K gibt, fiir die (2) gilt.

Hilfssatz 1: Fa//s a "~ n ~ b definiert, reell

1 , 1 A

w > l , a < b , A < B , f ( n ) im Intervall und dif/erentiierbar"), f ' (n) mono~on") und

ist, dann ist

(3) b

Beweis . Ohne BeschrtLnkung der Allgemeinheit kSnnen wir f ' ( n ) monoton nicht- abnehmend voraussetzen, da sonst f (n ) dutch -- f ( n ) ersetzt werden kann.

(3) iindei~ sich nicht, falls f ( n ) durch f (n ) + gn (g ganz) ersetzt wird; denn A , B , ~ werden dann bzw. durch A-}-g , B ~ g , r~ -g ersetzt, wiihrend f ( n ) -- ~n denselben Wert behiilt. Ohne Beschriinkung der Allgr meinheit k6nnen wir also 0 ~ A < 1 voraussetzen. Dann ist

(4) ~1 < f'(a) __< f'(b) < B w'l

8) j . G. van tier Corput, ZaTdentheore$i~cJb Absvhdtzu~gen [ Mathematische Annalen, 94 (1921), S. 58.=-79 ].

) W e y l ~ .! . . _, * H. , A~.~" - = - - : - - " " ~. ' ~ ""~ .... ~ . . . . "" Mathematische Anna]en 77 (1916), S. 818-862 u n d M a t h e m a t i a c h e Zeitochrift 10 (1921), S. 88-101.

6) Ia.den. F,n~k~k,n Oventuell, nu~ eim~tis. e) D. h. flir ~ve i bvliebige Punkte ~ u n d ' n p des abgeschlossea,en Intervalles

( a , b ) ist ( n ' - n ) ~ ( n ' ) - f ( n ) ) entwede'r stets :>0, oder stets ~ 0 .

Versch~rfung de r Absch/ i tzu.g beim Teilerproblem. 41

Falls flit m

gesetzt wird, ist

ganz > B

1 Z , . ( u ) = 2~,:

m

~ ,t: 0

(s)

b m b

Q V = ~ t i

m b

e<,,_<:.~ .B<, ,< : , , , , = 1 ,,

b

- - - Z f 6 8 : ~ i ( f ( u ) - t , e ) d , ~ o< __~,

b

o<;K~ , b

: f f'O,) + 2 2~i .~<"N" " f'(~)-"

m b

- Z-'2,,+," ~ f;~;fr"~

d e ~'tl i f { u ) - s, u)

Die

wegen

zweite Summe in (5) ist

e2~if(b) e-2~Ivb e2~f(a) 2 ~i 2 t,

o<.g_~

der Monotonie yon

f'7' B < , ~ ~ - (b )

u n d schliel~lich die let~te

,~-~_~, ( f (b)+,)

f ' (~) und wegen (4)

_ . < ~ . + f f,(b~ ~, 3 ; ( , - f ' ( b ) )

f'(~)+l - - w + log(1 § f' (b)) < w + tog(2 + B)',

Suture, in (5) ist

< ~ + J;(f'(bl+~-) !

-- 1 + log(1 + f' (b)) < w + log(2 + B).

ist die dritte Summe in (5)

42 J . O . v a n d o r C o r p u t .

Wenn man diese Ergebnisse in (5) einsetzt, finder man b b

2~i f zm(u)e ~ f ' (u)du- Z : ez:i{f{u)-''u)du~ w -~- log(2 + B). a O<,(.B

Da bekanntlich ; ~ ( u ) beschriinkt ist, und, falls u nicht ganz ist, der Beziehung

geniigt, tolgt hieraus

~ , f ( ~ - c.~- 1 )

1 l i r a z ~ ( u ) = u - [ u ] -

b

e'-~"r(")f ' (u)du--o<,<~Z f :='~r,.,-.',,,du -<w + log(2 + B).

Nach der Eulerschen Summenformel ist

b

,< . r'(u~ ~., a

b b

o < , < : ~ o

(3) im Fslle A - - . 0 bewiesen. Falts 0 < A < 1 ist, zweit~n. Mitt~lwert~atz an, and fanden dann wegen (4)

b b d e ~ n ~f(u)

f e'~t'fCto d.---- . f 2ztif.:(u) "~ W, a

~o: dall die linke Seite yon (3.) "dtmn

. < w + log(~ +.::B~..~, + I0g(2 + ~ - A)

is•. H.i.ermit; ist Hilfs~ata: 1, .vollsffm~g. b.ew.iesen;

H i l i s sa t z 2 . E# s~i..a<ib,.:f(4} ira.I~ervedl'a < u~__ b de/inimr$, ree~ und zweinml dif/erenfiieebar$~; f " ( ~ ) : ~ ) ~ d ~ ' ~ , ~ 5 0ddr b ~ n d i g ~ - co, wo o~eine vo~"r #na~Ma~ige:~odtive ZaM :ea~e~et. Dditn i8$

b :e',,'f(.) d~.~ ~ ; a

Hiermit ist wenden wit den

Verschiirfung der Absoh~tzung beim Teilerproblem. 43

1 Beweis. Ist die Wegliinge b--a~=~-~, so ist die Behauptung

1 trivial, da das Integral dann absolut _ ~ ist.

Andern~alls schneiden wit yon dem Ende, wo [ f ' (u ) l am kleinsten

I ab; dessen Beitrag zum Integral ist absolut ist,-ein Stiick der Liinge V--~

~--~_. Auf der verbleiberiden Strecke ist f ' ( u ) bes~ndig zu- oder ab-

1 nehmend, von festem Vorzeichen und absolut gr61]er sis ~ . - = = V~o.

~,'r

Nach dem zweiten Mittelwertsatz ist fiir diese Strecke

1 ~dr 2~f(u).~ 1.

womit der Hilfssatz bewiesen ist.

Satz 1. Es sei a ~ b, f ( ~ ) im In~ervaU a ~ n ~ b de/iniert, re, ell d" "" s " -:7" - - und dreimal ~]/erentnerbar ), f (n) ~ passtiv oder ~tet~ negativ,

a -- Min ( f ' (a ) , f ' (b)), f l--- l tIax(f ' (a) , f ' (b)) , '~o da~ zu ]edem J, im IntervaU a ~_ ~ ~ fl die Zahl z~, eindeutig bestimm~ i~ durvh die Be- ziehungen f ' (n,) -- ~, a ~ m ~ b. Es aei im Ilttervall a ~_~ u ~ b

(~) ~f~ g If"(n)l ~ f,, I f" (~)1 g_f~,

wo f s , f, u~d ~ (5 > O) yon n umzbhg~ig 8ind. D a ~ i~t

+ #~ e2#i( f(~t , )- ~,nr)

Z | - 6 - -

-< ~ + log(2 + (b ~-a) f,) + (b - a ) Vf,

in bezug auf 5, wo da~ + - ode)" - - -Zdchen benutzt w~rd, ~e navhdem f " ( n ) ~te~s positiv ode)" ste~ negativ i~t.

Beweis . Im Beweis dieses Satses werden wir alle Beziehungen mlt dem Zeichen ~ in bezug &ut 8 nehmen. Nach (6) ist im IntervaIl a ~ n ~ b

1 1

f,,(,,) "~. ~"

Bekanntlich ist, falls g eine Zahl -~ 0-bezeidmet,

(7) f +, f , + , . + , , 0 0

44 J.G. van der Corput.

WO

negativ ist; falls r eine positive Zahl darstellt, ist

(9)

(s)

das -+- -oder - -Zeiehen angewandt wird, je naehdem ~ positiv oder

f 1 fde ~ute 1 e ~''~~ d u - - 2 ~ e 3 -~ -< r~

~r T

(8) tolgt im F a l l e r ' < 0 < r

+-~__~ ~

j f " 1 (1 trl~7- ) - i

r'l

Aus (7) und

f e~,iu, e d u e __ v'le]

r p T

also im Falle a < n~ < b b-n, . :,_j f e~ut f " (n, ,) d~ e - 4

VI f"(n,,) i a l~ n j ,

Jetzt werden wir die Ungleichung

(10) Z ( ~ - l n ; - ~ - - - ,~+~<,,<~-~

beweisen. Falls die Summe

Da f ' (n ) stetig ist, vorausgesetzt wird, gibt

ao a < b o < b ,

wo das obere, bzw.

1 k [b l f"(n,) - n,

1 1 ( i -~., a ) "< f~ ,b-,,,, + ~}-a)-

links nieht leer ist, #-1 f (~-~-~ -J n~,la) dr.

a + l

und beim Beweis yon (10) es zwei Zahlen a o und b o

~)</ , fog (2 + ( b - ~)f~)

ist die Summe kleiner als

I f ' ( b ) - f ' (a ) [ > 1 mit der Eigensehait

f ' (ao) = f ' (a) =i= 1, f ' (bo) = f ' (b) ~= l ,

das untere Zeichen benutzt wird, je nachdem f ' (a ) kleiner oder grSller als f'(b) 1 -~ l f ' ( a o ) - f ' ( a ) f ~ (ao - -a ) f~ , a l s o 1

a o _ a ~ f ,

Wegen f' (n,) = r ist

alBo [ ~-~7,

ist; dann ist naeh (6)

1 = ] f ' ( b ) - f ' ( b o ) ] < (b - - bo)f. , . ,

und 1 < f o . b--b o

=lf"(n.)l<f~, fl-- 1 bo b

n , n~,----a - - b ~ S n - - n--a a + l a ao

= f~ l o g b - a b - a b - bo + f' log h i : a < 2 f, log (2 + (b - - a ) f , ) .

Hiermlt ist (10) bewiesen.

Versohiirfung der Absch~tzung beim Teilerproblem. 45

(11)

(14)

(12)

Aus (9) und (10) ergib~ sich b - - ~ t ,

�9 { f . ~ 8~..~i(f(nv)-,,n,,) ~=iu f (",,)du

,~+~<~-~ ~ t - - n v

Nach Hilfssa~z 1 mit w ~-3 ,

-<

e- ~ }-<log(2 +(b--a) f , . Vff"r I

A ~ - a - - { , B 13-F z b

~ e2:,if(n) - - 2 Ie2.~i(f(n)-,'n) d n

3 + log(3-F f l - er log (2 -4-(b -- a ) h ) ,

und hieraus folgt b

�9 ~ Y e - - ~ , " e~ ( f (n ) - "n )dTb

e T ~ , e +T 57 . . . . . . . . . . . e _ _ - ~<,.<,+u V:/"(n,,)l ~_~<:.gz~ Vlf"(n,.)l

1 -<~/f~ + log(2 + (b -- al f~.);

denn nach Hilfssatz 2 mit f ( n ) - v n start f (n) und mit oJ = t~ f~ is~ b

j 1 e 2:' i(f( ')-~') d n -< r

a

so dab die linke Seite von (13) gleich der linken Seite von (12) ist, ver- 1 mehrt um eine beschriinkte Anzahl yon Gliedern - < ~ .

Vi,, Es geniigt zu beweisen

b-n~,

2 f { e~:~i (ftn'~+u)-r('+u') - e~"i(fta")-"a"+�89 a+~<,,<fl-9 a-n~

(13)

denn die Behauptung folgt aus weisen, geniigt es, die Beziehung

b - t t ~

(15)

(I3) , (14) und (11). Um (14) zu be-

f {e~,~i(f(n.+u)-,.(n,,+u)) e~.i(f(,,,.)-,.s.+�89 ~ a -- n~,

abzuleiten; denn arts

< X i/~ ist.

(15) folgt, dab die linke Seite yon (14)

<(~-~)~/~'--<Cb-~)r~ [/~ (b-~)~f,-Z, v?:,'- ", f: =

46 J . O . v a n der Cot 'put.

Ungleichung (15) ist trivial, falls ~ :> ~ e __ ~ f~ ist; denn dann ist nach Hilfssats 2 mit f ( n v + u ) - - r ( m + u ) s t a r t f(u) and mit co=~f~

b-,n v

e~:~i(f(n"+u)-"ln"+U)) du-~-~...~ , a - ~,,

naeh Hilfssatz 2 mit f ( n , ) - ~,n,--}-~u2f "(m) statt f(u) und o9= If"(n~)I b - a u

f e2~ i f f l n , , ) - , n ,+ �89 1 1 f/~ -<

~ - - $ t v

Beziehung (15) ist auch im Falle t'a = 0 evident; denn dann ist f"(n) stets Null, also wegen v = f'(n~)

1 ~ u -- . f ( n , + u ) - - v u = f ( m ) + - ~ f (m),

so dal~ die linke Seite yon (15) vemchwindet. W i t diirfen also o < f : < # f : voraussetzen.

1 Es. werde 1 = ~/f_~f, gesetzt. Fiir eine Zahl n~ mit der Eigenschait

a ~ n~ ~ b gelten die Beziehungen - - n , , + ! =

If'(n, + l ) - ~,- lf"(n,)l = If'(n,, + l).- i f (n , ) - lf"(m)l 1 l~ = ~ lf"(n,+Ol)] mit 0 < 0 < 1

1 1 1 - - ~ ~ = ~ ~f (n~)l,

woraus folgt

( i 6 )

F~r

> zztf(n,)l>- �9

O ~ u ~ l und a < n , , . ~b iat

e l ~ i (f(#~,+ul-~'lnv+u)) __ e ~ t ( f l n r ) - ~ n r + � 8 9 ' ' (n~,))

(~t~t (f (#~ + u ) - f ln,l .- ,s~-�89 s# f " Os, D - - 1

1 1 2 "" " --f(m)+u~,+r~u~f"(n,-{-Olu)--f(~)--vu--~u f (n,) mit 0 < 0 t < l 0a -~usf'*'(a,, -FO, u)..<la fs mit 0 < 0 2 < 1 .

Fal ls b - - n,; < l i s t , ist also

< z, f,.< "o " V f ~ "

Verschiirfung der Abschiitzung beim Teilerproblem. 47

Falls b -- n , :> 1 ist, ist

(~7) l

f { e2.~ i , f(m.+u)- ~ (.. + u))

0

Im Intervall l _ ~ u g b n~

abnehmende Funktion yon u,

b - n v

'~ 2 ~ i l 1

ist [ f ' (n , + u ) - ~,J eine monoton

welche nach (16). ~ - ist, also

b - u v dv2=i(f(nv+u)-Vinv+U)) ~ ~

nicht-

f ' (n~ + u) -

Weiterhin ist

(19)

b - n 3, b - n~,

f de'i~'f''("~) e ~iuzf''(nv) du ---- ,, . - 2 n i u f (n~) l l

I ~ ~/~.

Aus (17), (18) und ('19) ergibt sieh

b - f$~

o

- - e 2='( f(n~')- '~ 'n~'+�89 f ( # ~ ' ) ' ) d u - ~ yfr

Auf dieselbe Art beweist man die entsprechende Beziehung mit den Grenzen n~ -- a und 0, stat t 0 und b -- n,.. Hiermit ist (15), also Satz 1, vollst~indig bewiesen.

Satz 2. Es 8ei a O; es werde Q = 2 ~ geaetzt. Es sei g ---- (91, g~, . . . , gq) ein Gitterpunkt ira q-dimensionalen Raum; es sei ag die kleinste ganze Zahl

1 1 ~_ a--~(g, +g~ +. . . +g,) + ~(]g, [ + Ig~I + . - . + Ig~ I),

und e8 sei fig die grSflte ganze Zahl

1 1 _~ b - ~(~, + g, + . . . + g,) - ~ (Ig~l + ig,] + - . - + tg, r).

Falls % < fig ist, werde im IntervaU % ~ ~ ~ pg gesetzt

(20) { ~, (,,) -- f(~ + g~ + ... + g,) -~v't'(~ + g,+ ... + g~.-~)

+ If(N + g~ + ... + g~_,)- ... +(- I),-'Z f(~v + g,)

48 J.O. van der Corput.

die lethe Eeite ist die algebraische Summe yon

1 l + q + ~ q ( q - - 1 ) + . . . + q + 1---- 2 q

(~tiedern, und jedee dieeer Olieder is$ im Intervall ag ~_ ~, ~_ fig de/iniert.

Es eel H > O und [i~r [9[ =']all + . : . + [ gq l s H - -1 und G - - f l , gg~...tgq + 0 sei die positive Zahl Ug so gewdhl$, daft /i~r jede~ a und jede~ fl mi~ der Eigenscha/t % ~= a < fl ~ fig die Beziehung

gil$. Unler dieaen Vorausseizungen ist

(22) ~eS~i f (a) .~H _~_ b-a ~ / (b -a ) Q-l Ig ]d .H-1

G,I:0

Beweis . Es werde I ~ H < � 8 8 a) vorausgesetzt, da die Be- hauptung sonst trivial ist; wegen H ::> 1 iindert (22) sich nicht, falls H duroh die gr6~te gaffe Zahl ~ H ersetzt Wird, so dab wir H ganz voraus- ~etzen diirfen. D a n n let wegen fig ~ b -- H und ag ~ a ~ H

(23) f i g - - % > 2H,

~nd dana gibt es mindestens eine ganze Zahl ___ a und <: b -- H + 1. Falls h+H--1

iSh= Z e z~f(") (a ~ h ~ b - H + 1; h ganz) u=h

~gese~t wird, ist 1

a ~ n ~ b a<~h'~b-H+l

geniigt also zu. beweisen

X Z v,, a <~agb-H4, ' l Igl~_H-1

O:kO ,so daft wit nut die Ungleichung

-~q(b a)~ a)"- l (2H)~ ~ 4 < ~ a ' ~ b - B + 1 Igl <~,B'- 1

G4,,O

~bzuleiten. brauchen. N~ch der Schwarzschen Ongleichung ist

. .

Ug

Versch~irfung der Absch&tzung beim Teilerproblem. 49

so dal~ es geniigt za zeigen

(94) ~ iZ,,i+~:~(b-~)(~n)+-'+(~H) +-+ ~ u~. a<h_<b-n+t l~l__<B-x

G~O Es ist

h+H-1 h+H-t '(t)

Z Z Z ~=h "=a Ig~ I ~ - ~ "

(t~ wenu die Samme ~ erstreckt wird fiber alle ganzzahligen n mit der

Eigenschaft h ~ n _< h H- H -- 1, h _~ n H- gx _~ h H- H -- 1; n du~chl~uft also H - - i g ~ l konsekutive ganze Zahlen. Falls f (n + - g ~ ) - f(n)--f~ (~) gesetzt wird, ist also

(1)

I'S'~l +'= Z Z e- '" , '" ) .

Nach der Schwarzschen Ungleiehung folgt hieraus (I)

I IZ+'"""'I' und hierin ist

(1) (t) (i) (9)

Z X e'n'(fx(~+YI)-fl(#))' la, I-<~-1-1g~I '+ n p n

(~)

wenn die Summe Z erstreckt wird fiber }t

Eigenschair da~ n, n Jr g~, n ~ gs und n ~ gl ~- g9 zwisehen h ~ H- 1 (Grenzen inkl.) liegen; in diesex Summe durchl/itfft H -- i g~ I -- ]ggl konsekutive ganze Zahlen. Fails

f~ (n)-~ f~ (n + gg) -- fl (n)= f( nH-gx +g,)-- f (n +g~)- f(n n c g~)H- f ( . ) gesetzt will , is$ also

alle ganzen Zahlen n mit der

h und n also

Auf dieselbe Art werden wir jetzt die Ungleichung (r

(ms) I&I'~_~ (2n) ~ Z Z + '"'r'("

ableiten aus der entspreehenden Ungleichung mit q - 1 statt q, also aus (~-i)

(26) I-S~, I-+~ ~ (2 H) +~--+ Z . Ze,-,r,-~c-,;

Mathematlsche Annalen. 87. 4

(2}

Ig~l+Ig, I~-I n

50 J . G . van der Corput.

(w) hierin ist fiir 1 ___< w ~ q die Summe _~ erstreckt fiber alle ganzzahligen n mit der Eigensehaft

1 1 1

1 -4- ~ ([g~l § § I ~,~l) < 7~ + H - 1,

(w) so dal~ die Summe Z erstreckt wird fiber H - - I g ~ l - [ g ~ i - . . . - i g ~ I konsekutsive ganze Zahlen; ferner ist fiir 2 ~ w ~ q gesetzt

(2~) f~(n)=f ,_~(~+g~)-f~_~(~) , amo f~(~)=z~(n). Da die Summe

weniger als (2H) ~-1 angewandt auf (26),

Z Ig= )+lg, l+...+lgq-xl~H-x

Glieder enth/ilt, gibt die Schwarzsche Ungleichung,

(q-l)

n

(28) ISh[ Q ~ ( 2 H ) r q-1 ~ X~ Ig~ I+lgs I + . . .+ laq_ ~ I < ~ - 1

und hierin ist

(39)

(q--l~ (q--l) (q--l)

(q) = Z Ze2zt i ( fq_t {~t+gq)~-fq_ l {n))

l a e l ~ . u - I ox I - . . . - l aq - x I n

Da der letzte Exponent dureh 2 ~tif~ (n) aus (g s) u~d (29).

Aus (25) und (27)"ergibt sich

ersetzt werden kann, folgt (25)

i (q) Z Is t Z

(80)

L I g l _ _ _ u - 1 % ~ _ ~ , g h

falls h in der Summe ~ 1 alle ganzzahligen Werte duzchliiuft mit den Eigens~aften h

(31) a s ~ _ b - 1 t + 1 ,.mad,.

_ ~ ( g l + . , . + g ~ ) - ~ l g l < ~ + ~ ( g l + . . . + g $ + � 8 9 h durchliiuft also eine Anzahl konsekutiver Zahlen. Es ist stets E 1 ~</~.

h

Versch~rfung de r A b s c h g t z u n g be im Te i le rprob lem. 51

Die Anzahl der Gitterpunkte g mit ~gl ~ H - - . 1 und G = 0 ist ~ q ( 2 H ) q-~ und fiir diese Gitterpunkte ist

also

(33)

e ~ :" i'~ g (') ~_, l ..~ ( b -- a ) H ,

~.~ ~_.j'~ e ' "ag '~) ~ 1 -~ q(b -- a ) ( 2 H ) q. Ig;<~-i %<,,<#g k

G = O ~

(31) ist ~iquivalent mit

1 1 % - - l g l s + . . . - + - g q ) - g t g l ~ f l g - H + 1,

also iiquivalent mit 1 1 , n - & + ~ - 1 < n - h + ~(g, + . . . +g~) + ~tg < ~ - ~ + tgt

und (32) ist ~quivalent mit

1 1 g l e n - - h + 2- ( g ~ . j r . . . . . - k g q ) + . - ~ i g l ~ H - 1,

Hieraus folgt

(34) ~_,Vl=Min(H,n--t~g~-Igl- 4-1)-Max(lg[,n-flg+H-1). h

Falls

A - - % - + - H - I - [ g [ , B = f l g - H - 4 - 1 + I g I

gesetzt wird, ist wegen (23) A < B, und aus (34) folgt, dab ~ 1 den h

Wert H -- [gl, n -- % + 1 oder" fig -- n -{- 1 hat, je naehdem A ~ n < B, n ~ A oder B ~ n ist. Die Summe ~ 1 ist also im Intervall A < n ~ B

h konstant, in den Intervallen ag ~ n ~ A und 2 __< n ~ fig eine monotone l~unktion yon n. Wegen I f l _ J l l~ H gibt die partielle Summation, auf

h

(21) angewendet, falls tgl ~ H ~ 1 und G -~ 0,

(85) Z <HU .

an, (3o), (83) D e f i n i t i o n .

(]c.~, l~), . . . , (k=, l=), deren Anza~t und deren Wertz ge~etz~ w~rden, e~n~ E x , p ~ t e n ~ y s t e m b ~ , wen~

_ ~ (36) o < k , = 2 o__<.z~=< _4

und (85) folgt (24), womit der Satz bewiesen ist.

Wir werden sagen, daft die Zahlenpaare (kl, l~), kons~mt voraus-

(1s m)

4*


ist, u n d e s zu ]ed.er positiven Zahl s zwei nur von s abhdngige Zahlen r . u n d c (r ganz ~ 3, 0 ~ c ~ �89 gibt, derart, daft stets die Ungleichung

X--T k

, = ,

in bezug au/ s ~nd t gilt, wenn die/olgenden Voraussetzungen er/i~llt sind"

(38) t~ .O , l ~ a l;

f (n ) ist im Intervall a ~ n ~ b definiert, reell, r-mal di~erentiierbar~), und /i~r a ~ n ~ b , O ~ p ~ r - - 1 ist

(39) I f ( ~ + l ) ( n ) - - ( - - 1 ) P y s ( s - ~ l ) . . . ( s ~ - p - - l ) n -~-p

< cys(s-~- 1) . . . ( s + p - - 1 ) n - ' -p . ~)

Das Zahlenpaar (0, 1) bildet ein nxponentensystem; 4enn nach (38) ist die linke Seite yon (37) absolut ~ b ~ ta =: t z~ ~.

Aus Hilfssatz 6 ergibt sich, welche Bedeutung diese Definition fiir das Teilerproblem hat.

Hi l f ssa tz 3. Es sei a <: b, f (n ) im Intervall a g n ~ b definiert, reell und zweimal diZ~erentiierbarS), I f ' ( b ) - f ' (a) i < 2, f " (n ) stets ~ o) oder stets ~ -- w, wow eine yon n unabhdngige positive Zahl bezeichnet. Dann ist

a ~ n_~b

Beweis. Es werde Hilfssatz 1 angewandt mit

w ~ 3 A-----Min(f ' (a), f ' (b)) ~ B = M a x ( f ' ( a ) f '(b))~, 2 ' ~ 2"

Die Summe b

enth~lt wegen B - A < 3 hSchstens drei Glieder, und ein etwa vorkom- mendes Glied hat nach Hilfssstz 2, mit f ( n ) - ~,n statt / (n), einen

Wer t -~ 1_. Es ist also

~ e~.~ff(n~ ~ 3 1

Hil fssa tz 4. Falls N und P positive ganze Konstanten, un (~_ O) und v~ ( ~ O) (1 ~ n ~_ 1V, 1 ~_ p ~_ P) Konstanten bezeichnen, A,~ und

~) Ftir p=O bezelchne 8 ( 8 - { - 1 ) . . . ( a + ~ 1) die Zshl 1.

Verscli/irfung der Absch/ i tzung beim Tei lerproblem. 5 3

B,~ (1 <__ n <__ N; I <__ p <= P) po~itiv sind, gibt as ein positives H mit d e c Eigenscha/t

N P N P un+vp,

( 4 0 ) ZA.H""-9~'BpH-%<ZZ V A i P " ; ' . n = l :p=l n = l p=I

Beweis. Falls eine (oder mehrere) der Zahlen u,, niimlich u,, gleich :Null ist, en~h/ilt (40) links ein Glied A,, rechts P Glieder A,. (n = r, I ~ P ~ P). Ohne Besehriinkung der Allgemeinheit k6nnen wir also diese Werte yon n aufler Betraeht voraussetzen k6nnen. Dann k6nnen gemeinheit voraussetzen

0 < ul < =.~ =<.. . =< u~;

Falls gesetzt wird N

lassen, so dal] wir alle u. positiv wir ohne Besehriinkung der All-

o < v, < % < = . . . < v~.

P

ist

A (H) = . ~ A , , H '~" , B ( H ) = . ~ B p H - " p , n = l ~=1

2' B(m.

Wenn die linke Seite yon (40) fiir H----L m6glichst klein ist, isg

u~d

also

umd

2 uR A ( L ) + 2-'I B<L)> A(2L) + B(2L)~_ A(L) -1- B(L),

(2 " ~ - 1)B(L) ~_ (1 -- 2 -" ' )A (L)

(2 u ~ - I ) A ( L ) ~ (1 -- 2 - " ) B ( L ) , woraus iolgt

A (L) ~ . B ( L ) .

Falls A,,L"" ( l = < a _ ~ N ) , bzw. BpL-"# (l__<fl_~P) ia t als die andern GIieder yon A.(L),

A, L u" ~--r A (L) und

Hieraus /olg~

nieht kleiner bzw. yon B(L) , dann ist

Bp L-'# ~-..r .B ( L ) .

Ua + vB .... ~ f

A,, L u" ~.,r B D L -'D , also L ~--r

daft eli0 linke 8eite yon (40) fiir H - L den Wert hat u a + ~ D . N P u.+vp . .

' A ~ P . B ua ~ �9 u. V - < X Z V. e% n = l 7)=1


H i l f s s a t z 5. Es sei t > O, l ~ a l . Falls die Zahlenpaare (k r, lj,) mit k v > 0 (1 ~ p <= m) ein Exponentensystem bilden, ist

a < n 0 Beweis . Falls ~ ( u ) -= u -- [u] --

1 + - -

f ~' ' 1 H H v 2 ( u - ~ - v ) d v - - ~ c h e ~h=iu mit c h ~ ~ und c , , ~ F ,

0 h = - m

wo der Strich bezeichnet, dal3 das Glied mit h = 0 weggelassen wird. Dann ist 1

4 - - - H

(41) H'..~Y' f ( x ) , 2 ' ' 1~-r -~ ~"h~i y ~ + y d y i _ ~ Ichi. e ~l" a ~ n < b 0 h = - ~ a < n < b

Nach Hilfssatz 3 mit f (n) - h x ist in den Gliedern mit ih lx <a"

i hX. _ 1 1 :~ ~ , ~ - - 1 ' 1 ~ i h l ~ -" ~' (42) e n ..< ~_ x - a ,

l 'ih!x

agn~b / b~

wenn im Beweis dieses Hilfssatzes alle Ungleichungen mit dem Zeichen-~ ~in bezug auf ~ genommen werden. In den andern Gliedern ist i h lx > a" und dabei sind die bei der Definition eines Exponentensystems genannten Voraussetzungen (38) und (39) erfiillt, falls gesetzt wird

1 -2 y s = 2 , r-----3, c : g , y = lhlx , z = l h l x a , f ( n ) - -

Da die Zahlenpaare (kv, lp) (1 ~ p "< m) ist also in den Gliedern mit ]h lx_> a ~

(43) . h $ m m

ein Exponentensystem bilden,

a ~ n ~ b ~ = 1 p= l

Aus (42) und (43) ergibt sieh, dab in

2 :t i h z ra

Z ~ -;--< Z I h I ~ ' ~ , ' ~ - ~ + I h t -~ a ~ _ . 0 folgt hieraus, dal~ die reehte Seite

Verschirfurtg der Absohigzuag b3im Teilerproblem. 55

' ~ 1 H

" { ' i 1

2,=i I h l ~ H I h t > H h : - : o

-< ~ Hk" x~ a ~ - ~ -F z -~ a ~

ist. Da fiir jedes Zahlenpaar u i und u, > u~ die Ungleichung

gilt, ist H

b--a+l f x

0

H

also wegen b -- a + 1 -~ a,

' - ~ : x - ~ a } a

.~.Sb ,=i

Nadi dem vodgen I-Iilfssa~ze ist (lie letzte Seite bei geeigne~ ge-

wihltem positivem H wegen k~ > 0

i + ~ / ~ _ ~--2 Z--Vx-~a ~-~' +~-~a ~

womit der I-Iilfssatz 5 bewiesen ist.

t t i l f s s a t z 6. Falls die Zahlenpaare ( k~, l~) mit 0 < k~ < 1 o (1 1 ist, dann ist

Beweis . Naoh dem vorigen I-Iilissatze mit t = 2 ist wegen 0 < b o < l~ loR tv

91oggJ

"SN h=o I+

) v - 1 7 ~ , ~ ( ~ , - ~ , ' h--.:O 1,1) =1

+ - ~ j ~ - - < Z ' ~ / ~ " "+ ~�88

56 J .G . van der Corput.

H i l f s s a t z 7. E a s e i r ganz ~ 3, 0 < a < b , f ( n ) im Intervall a ~ n < b r-real di/]erentiierbarS), f " (n) < 0, a = f ' (b ) , f l = f ' ( a ) , 8o daft a < fl iat und z~ ]adam ~, im Intervall a _~ v ~ fl die Zahl n,. ein- deu$ir bestimrat ist dutch die Beziehungen f ' ( n , ) = v, a ~ n,. ~ b. Es

1 1 werde q~(v )= -- f (n , ) + vn~ gesetzt. " Es sei O < 7 < ~z, s = -o > 0 '

y > O, ~ = y ~ Dann gibt es eine positive; nu t vor~ r, 7 und s ab- ]uingige Zahl c < ~ ~, derart, daft aus

(44) !f(l'+l)(n ) - ( - 1)pva(s + 1 ) . . . (s + p - 1) n-,-1, I

< c y a ( 8 + l ) . . . ( s + p - 1 ) n - , - ~ ')

(giil|ig flit a l l e n > a und ~ b, alle ganzen p :> 0 vnd ~ r - 1 ) /olgt, daft im Intervall ~ ' ~ v ~ fl auch q~(v) r-real di]/erenfiierbar "~) ist und die Ungleichung

(45) Jq~(v*~'(v)--(--1)~'tta(o+l)...(a+p--1)v-~ < r , l o ( a + l ) . . . ( o + p - - 1 ) v -~-* :) ( O ~ p s

erliillt.

Beweis. Es m6gen ~a, a.~, . . . , e~ Zahlen bezeiclmen, welche zwar von allen Parametera abhiingen diirfen, aber absolut genommen kleiner sind als eine nut yon r, a und c abhiingige positive Zahl, welche sich mit e bei gegebenen r und s der Null n~ihert. Aus (44) folgt

(46) f ' ~ ' + ~ ( n ) = ( - - 1 ) ~ ( l + e , ) y e ( 8 + l ) . . . ( 8 + p - - 1 ) n - ' - p

( a s 0 ~ p < r - - l )

mit

(47)

lal[ < ~, und es geniigt zu beweisen

9 , v + , ) ( v ) = ( - - 1)~'(1 + a.)~?a(o + 1 ) . . . ( o + T- - 1)v

( a s 0~_ p ~ r - - 1 ) ;

denn c < { so w~ihlen, dal3 l a i r < ~, ist,

Wegen (46) ist

(48) v--~- f ' ( m , ) - - - ( 1 + a t ) U r i C " , also 9~'(v) - - n , ---- (1-{- a s ) r / v - ~ ,

so dab (47) im Falle p - - 0 sehon bewiesen ist. Ferner ist naeh (46) und (48)

dann k6nnen wir die nur yon ~, r und 7 abhiingige positive Zahl so daft (45) aus (.47) folgt.

1 1

= = t " ' d n,,

l + e , .__ l + , s a ysn~ - ' - t ys (,~v-~) - ' ' i

1+, , fl: 4_ ~)r lov_o_, . _ _ ~ ~ - a t . _

�9 e 1 . _ e _ l v l + a

Verschgrfung der Absehgr beim Teilerproblem. 57

womit (473 auch" im Falle p-----1 bewiesen ist. Um (47) in den Fgllen 2 ~ p __< r -- 1 zu beweisen, setzen wir ~ , ~-- ~/v -~

Y X~7 l .-$ F ( N ) = 1 _ a

je nachdem s 4 = 1 oder s - - 1 ist. also nach (46) fiir 0 ~ p __< r - - 1

(4~)

Falls

oder 2' (N) ---- y log N (N > 0),

Dann ist nach (48) n, = ( 1 - F e s ) N , ,

f'~'+:) (n,.) = (1 + q ) F ~'+" (n,) = ( ~ + ~,)~"+') ( ~,.).

gesetzt wird, ist

allgemein

~ ( , ) = - ~ ( ~ , ) + , ~ v , (~__< ,_<Z)

~(, ' ) ---- -- f ( m ) + ~n.,

1

~ " (~) = f , , ( , , . ) '

fiir 2 ~_ p ~ r - -1

r = - F ( ~ , ) + , ~ V , , v'(~) =~ , ,

1 ~" (~) = ~,(N~),

(wie man leiehf~ mittels einer vollstgndigen Induktion beweist) bei geeignet gewghlten Koeflizienten w%. % ..... %_~ (welche nut yon den Parametern ul, u ~ , . . . , u~-i abhiingen),

i f , , ( , ~ ) } ~ , _ ~ .... =,_, fc='+')(n,) r162 +'~(n,)

(5~) r = {~,,(~,)1~, .... n - , ""

falls die Bummen 2~ eretreckt werden fiber alle positiven ganzen Zahlen u~, u~, . . . , u~_ , , welche < : p sind und deren Summe uz 4 - u ~ 4 - . . . 4- u~_~ - ~ 2 p - - 2 ist. hue (50) und (49) folgt

~ l ~ + ~ (v) = [~ , , , (~v , , ) }~_ ~

und hieraus folgt, mit Riicksicht auf (51)

" Z I F"(-~,)I =p-~

t ~v"(iV,)l=p -~

- - (y.~,-1)2~,-1 ,~, Y p-~hV''~'-I! '( '~+'~ +" ' - ' )

__ % ~ , y_j, N~,+I___ % y-l, N ~''+,, 1

= . . / , ( , , § ( , , ) ---- ~ ~-'~' (~ ~,-~ e.. ~ ~-"-~'---- e,~

I wu,. % ..... , , _ , i' i ~'~'§ (y,) ~ , ~ + , ) ~ , ) . . . ~ n - ~ §

l~ '~=,+'~ (.~,) ~'~§ (zr ~ '~-~ § (2v,) I


wegen ~'(~) = v~-' , also

~v(,+') (v) = (1 + e,,) @('+~) (~)

- - ( - - 1 ) ' ( l + q , ) ~ o ( o + l ) . . . ( o + p - - 1 )v -" - ' .

Hiermit ist (47), also Hilfssatz 7 bewiesen.

Hi l f ssa tz 8. Fall8 die Zahlenpaare (zp, 2v) mit ~r>_> ~ (1 <__p ~/~) ein Exponentensystem bilden und gesetzt wird

1 lv ~v @ 1 2 1 (52) b = 2 , 2' = ~ ( l ~ p ~ / ~ ) , k,+~-- b, l,,+~=-~,

dann bilden auch die Zahlenpaare kv, lp (1 < p =</~ + 1) ein Expo- nentensystem.

Beweis. Wegen (36) ist 1 0 <~___<~,

also nach (52) 1

0 <

1 < Jtp < 1 ( l~p__</~) ,

0 = 3, 0 < c < �89 gibt, derart, dab die Ungleichung (37) mit m = / ~ 1 in bezug auf s und t aus den genannten Voraussetzungen (38) und (39) folgt; wir setzen also (38)und (39) voraus, indem wir sp~iter fiber r u n d c verfiigen werden. Im Beweis dieses Hilfssatzes werden wir alle Ungleichungen mit dem Zeichen -~ in bezug auf s und t nehmen. Ohne Beschr~inkung der Allgemeinheit kSnnen

1

wir b > 2 s voraussetzen; denn sonst ist wegen (38) die linke Seite yon 1

(37) < ; b < 2 ~ z } a �89 Nach (39)is t

1 f , 1 n_s_ 1 f,, n _ S _ i ( 5 3 ) - f f y n - ' < ( n ) < 2 y ~ -s u n d - ~ y s < - - ( n ) < 2 y s ,

also f" (n) < 0, 0 < f '(b) ,~ f' (a). Es werde gesetzt

1 - - ~ o Y~ ~ - ~ a-~ z = 4 t " f ' (b)---a, f ' ( a ) = f l , s '

(53) 1 1 1 - ~ y b - ' < a < 2 y b -s, ~ z = - ~ y a - s < f l < 2 z .

Hieraus folgt

(54) a-~z; 2 - ' ~ < b < 2 ~ , also 1 < ~ : a

und fl 2 y a - s

a <, 1 - s -ff y b

4 t s - - ~ , also O < a < f l < a ~ .

Versch~irfung der Absch~tzung beim Teilerproblem. 59

Die Zahl n~ ist im Intervall a ~ ~ fl eindeutig bestimmt dureh die Beziehungen f ' (m) -~ ~, a ~ n~ ~ b. Es werde ffir a ~ ~ ~ fl gesetzt q~ (~,) = - - f (n , , ) ~ ~, n~. Wit warden vorHiufig ~ ~> 1 voraussetzen. Dann ist

o ~ 0 , v ~ 0 , l ~ e c , ~ a v , ~ ? ~ 0 , ~ = ~ a - a ~ l .

Da die Zahlenpaare (~p, ~r) (1 ~ T ~ /~) ein Exponen~ensystem bilden, gibt es dann nach der Definition eines Exponentensystems zwei nur ~ron o, also nut yon s abh~ngige Zahlen ~ und 7 (~ ganz :>3, 0 < 7 < ~ ) , derart, da6 aus

<55) {,~+~)(,,>-(-i)",7o(o+ 1) . . (o+~, - ,),,-,,-,,{ ,) < 7r/o(~ + 1 ) . . . (o+p- - 1)~'-"-~'

( ~ ~ ~ ~ fl, 0 % p ~ # -- 1) flit jades Paar Zahlen %, flo mi ta % a o <: flo ~ fl folgt z

Z r ,?,; a o ~ , ~ 0 ~=1 "

diese Ungleichung bezieht sioh a u f a und ~, also nut s und ~. Die letzt~e Ungleichung gilt auch im Falle a < 1; denn falls die linke Seite nieht verschwindet, ist av > fl :> flo ~ 1, so da6 dann wegen ~ :> 0 und ;ll :> 0 die linke Seite von (56) absoht

___,8 < ~ < ~ _ ~1+~, t ' " ' ,~, int.

Es werde r = ~ gesetzt. Nach Hilfssatz 7 kSnnen wit c, nut yon r, ? und s. also nur von a abh~ingig, so w~ihlen, da~ aas (89) Beziehhng (55), also auch (56) folgt. Mit Riicksieht auf (54) ergibt sich aus (56)

~t

f " (n) > 0, so da~ f" (n) eine monotone Fuaktion Nach (39) ist von n i s t ; wegea

~,, , / f ' (~ ) - = f " ( m ) < o dn,, dn,,

ist n, eine monotone Funktion yon ~. Hieraus folgt, dab ........ 1 ....

eine monotone Funktion yon ~ bezeictmet, und zwar eine Funl~ion

1 z - { a { , so da~ die partielte Summation, auf (57) angewendet,

gibt

~'~'~f(",~-'",) z_ � 8 9 ~ ,,,, 5-r e ~ ~ Z a - - Z z~-~ a~p ,,<,_<:p ~ / l f " ( " , ) l ~,=l ,,=~

wegen ( 5 2 ) .


Naeh Satz 1 ist dann .u

.'2 X e ~ ' i f ( " ) " ~ -~z~at'-~ 1 ~_log(2_+_z~ra~)@z.~ar.

a ~ * K b p-----1 ~/Z a - 1

"~ ~ z k" aZ~, .+. z~ a �89 la----1

wegen z > 1 und a ~ > l . Hiermit is$ (37) mit m ~ / ~ + l , also der ttilfssatz bewiesen.

H i l f s s a t z 9. Das Zahlenpaar (~, �89 bildet ein Exponentensystem. Beweis. Wie schon bei der Definition eines Exponentensystems

bemerkt wurde, bildet (0, 1) ein Exponentensystem. Falls im vorigen Hilfssatze ~ = 1, x 1 ~-- 0, 2~----- 1 gesetzt wird, findet man das Exponenten- system (~, �89 (2, ~). Da z > 1 vorausgesetzt wird, ist

z�89 a �89 ~- z~ a~- ~ 2z�89 a �89

so dai] das Zahlenpaar (�89 �89 allein schon ein Exponentensystem bildet.

H i l f s s a t z 10. Falls die Zahlenpaare (~p,~p) ( l ~ p ~ / ~ ) ein Exponentensyetem bilden, q eine konstante ganze Zahl > 0 bezeichnet, und gesetzt wird

= % i v = l - 1 ,t. ( 1 % p ' ~ / ~ ) , Q = 2 a, k v Q ( q x v + l )' Q @ Q(q~v+I) = --__

1 (58) kt,+~=O, l~,+~: 1 2Q+q'

dann bilden die Zahlenpaare ( kv, lv) (1 ~ p g tt q- 1 ) ein Exponenten- system, und zwar mit lv ~ ~

Beweis. Wegen (36) ist

also nach (58)

1

1

0 ~ ) . v ~ 1,

1

(1 __< p=<,) ,

Wir mfissen zeigen, da~ es zu jeder positiven Zahl a die nur yon s ab- hiingigen Zahlen r und c (r ganz ~ 3, 0 < c < �89 gibt, derart, dal~ (37) mit m ~ p + 1 aug den genannten Voraussetzungen (38) und (39) folgt; wit setzen also (38) und (39) voraus, indem wit sparer fiber r und c ver- ifigen werden. Ohne Beschriinkung der Allgemeinheit kSnnen wir beim Beweis b - a~> 1 voraussetzen, da sonst die linke Seite von (37) absolut ~ 1 ist.

Es werde gesetzt o ~ s + q, z ~- t. Die im Beweis dieses Hilfssatzes vorkommenden Ungleichungen mit den' Zeichen ~ und ~--~ beziehen sich

VersohKrfung der Absohiitzung beim Teilerproblem. 61

auf s und t, wir k6nnen auch sagen auf o und T, da q konstant vorausgesetzt wird.

Da die Zahlenpaare (%, ~r) (1 ~ p ~ tt) ein Exponentensystem bilden, gibt es zwei nur yon o, also nur yon s abhiingige Zahlen ~ und

1 (o ganz ~ 3, 0 < y < ~), derart, dall stets die Ungleichung It

~,,<~ ~=I

gilt, wenn die folgenden Voraussetzungen erfiillt sind:

l ~ a < f l < a T , 7 > 0 , C = ~ a - ~

(~) ist im Intervall a ~ v < fi definiert, reell, e-real diiterentiierbar6), und fiir a ~ v ~ f l , 0 ~ p ~ 0 - - 1 ist

(60) I ~o(v+~)(~) - ( - 1)P ~ o(o + 1) . . . (o + V _ 1 ) , - ~ [

< r~o (o+ 1 ) . . . ( o + ~ - 1),-~-,. ,) Wir setzen r = Q - f - q + l und wir wenden Satz2 an. Da f (~ )

-+-q-~ l-real differentiierbar ist, ist nach (20) such A(~) im Int.-vail % ~ ~ _< fig ~ -+- q + l-real differentiierbart). Aus (27) orgibt sioh mittels volls~ndiger lnduktion

/d/, ,, ~ , ( , , ) = ~ d ~ . . . f a~f(')( , + ,~, + ... + ,~,),

0 0 0

also fiir 0 < ~ ~ 0 - - 1 im Intervall % ~ ~ ~ p~

, (,,) = du~ du.~.., fdu, f ('+'+')(,,+ u, § +u , ) , 0 0 0

also nach (39)

I zl~+~)(v)--(--1)~+'(l+O~)ys(s-f-1):.. (61) ~ _ gq

+ + . . . + u

Wir w~,hlen jetz~ c (0 < r < ~), nux yon s a b . ~ g , so clal~ fiir alle nicht-negativen ganzen p ~ 0- 1 und she 0~ und 0~

(l~+o~ ~).(1 +o,~ ) - ' - ' - ' = ~ +O.r ist. Bei unserer Anwendung yon Satz 2 setzen wit H ~ a ~ voraut. Au~

(t + O~c).(,, + u~ § . + ~,)-'-'-' = (i + % o).(i +~ , : ) " ' - ' , , - ' - , - , : ( i ~" o, v),-'-,"',

62 J . G . van der Corput.

Dann ist nach (61) flit 0 _~ p ~ r -- 1 im Intervall % ~ v _< fl~

(-- 1)qZ~t+z)(v)~-( - 1 ) ~ ( l + 0 , ~ , ) y s ( s + l ) . . . ( s + p + q - - 1)Ov- ' -~-q .

Falls gesetzt wird

~(v) = ( - - 1)~Aa(v),

ist also fiir 0 ~ p _ < ~ l

~ = y s ( s - + - l ) . . . ( s + q - - 1 ) G , 7)

im Intervall ag __< v ~ fig

q~(p+'} (v) ---- (-- 1)~(1 -k-O,y)~lo(o-q- 1 ) . . . ( o + p - - 1)~ -~ :)

so dab (00) gilt fiir jedes Zahlenpaar a, fl mit der Eigensehaft % ~ a < fl ~ fig. Es werde r = ~/. a - ~ gesetzt. Wegen a ~ a < a t ist a ~-~ a, also

:,-~ y G a - ' -q ==- z G a-q.

Wit werden jetzt zwei Fi~lle unterscheiden, je nachdem ~ ~ 1 oder > 1 ist.

1. Es sei $ ~ 1 . Es ist im Intervall a < v < f l

1 ~ol 3 3 0 < ~ , , - o < ( v ) < ~ ~ , - o = < ~ < 2.

Nach Hilfssatz 3, mit , statt a, fl statt b, q~ (v) statt f(n), ist wegen a-.<a und a > 1

Z e~i~("l"<~- �89189 + 1 -.<2~-�89 ~ z- �89 ~-q+�89 < G -~ a ~+�89

so da~ in Satz 2 Ug durch den letzten Ausdruck ersetzt werden kann. Dann ist

- < a lgl <H-x IgI_<R-1 z<g,<R-1

0 ~ 0 0 . 0

also nach Satz 2

(62) Z e2nif(n)'< 1-71-~- ~ ~ -�89 Q+�89189 a~n ac ist; denn die linke

Seite yon (62) ist dann absolut < b < at < t -H.

ist,

2. etfiillt,

Hilfssatz 4 besagt, dab bei geeignet gewiihltem positivem H die rechte Seite yon (62)

1 1 1 1 - - - - 1-- 2 Q +----q 1 - - - - - - k?, + 1 al~t_t_ 1

- < a ~+l_{_a ~ 2 a ~ + ~ = 2 z

so daJl (37) in diesem Falle bewiesen ist.

Es sei ~ > 1. Dann sind alle fiir (59) notwendigen Bedingungen also p ~t

a<,<_# n=a n=l

Versch~fung der Absch~tzung beim Teilerproblem.

Wir k6nnen in Satz 2 ~ ~ 0 ist

also

SO

U# duzch den letaten Amdruck ersetaen;

~ o ' , . < / 2 . , ~, ) < ~ ' ' + " a=bo

P

~x~ v, <,~'s '" , +') ,', a~,-'",, lol_~z-, ~,=a

0-1,o

daft Satz ,~,, unter deT Voraussetzung H < ac, gibt

w e g e n

(s3) , ~ < - < b ~-~ + X ~(-~'' '

diese Ungleichung ist wiederum im t~alle H ~ ar evident. Wegen ~ ~ 0 besagt Hilfs~tz 4, dal~ bei geeignet gew~hltem ped-

tivem H die rechte Seite yon (63)

ist, womit der Hilf~at~ vollst~dig bewiemn ist. Hilfssatz 11. Fa~ die ~ ~ m c e

~z~onentenay~em bilden, und #eset~ wird

(x2,,4) (11~..~,u) e~ ein, tonstu..~e ~ gabd > 0 b~ieAm~,

I I 4 i Q=2L 4=~-~+~(q.,+~), z ffi~+---n--- q(~,,,+i)

k ~ + , = Max ' ~ s Q + q '

da~n bilden aucl, die ZMden~are ( 4 , 4 ) (1 ~ p ~ p + 1) nentensyaSem.

Beweis. bilden

f ~ ~ ..... ~ _

P ~r ---~ O,

1 ein Exponentensystem mi~ ~ ~

bilden dann aueh die Zaldenpaam

Da die Vommmmmgen des vorigen ttiltm~ee erteltt Bind, die Zahlenpa~e

(k,, z,) (t ~ , s i) ~ 8 ein Ex_~>-

nentensystem.


Hil fssa tz 12. Die Zahlenpaare (1, 4) und ( 4 , 5 ) bilden ein Ez~onentensys~em.

Beweis. Da nach Hilfssatz 9 das Zahleapaar ( l , �89 ein Exponenten- system bildet, kSnnen wir den vorigen HiIfssatz mit q = 1, /~ = 1, ( ~ , , 2 ~ ) ~ ( � 8 9 anwenden. Dann ist

1 1 1 1 2 1 1 2 2

~ 1 = 2 2 + ~ 2 +1)~---6; 1 1 - - 2 + ( I 2 ~ + 1 ) - - ~ 3 '

( 2 1 1) 2 l, 1- t:.., = Max ~-, 2 5 = 5 ; ----"F"

Hilfssatz" 13. Die Zahlenpaare bilden ein Exponentensystem.

Beweis. Wir wenden Hilfssatz 11 den Zahlenpaaren

( ~ , ~,) = , ~ ,

5 18 4

an mit q = l , /~---2 und mit

welche naeh dem vorigen Hilfssatz ein Exponentensystem bilden.

I I 4 ll =g "3Vz(I+6) =-7;

1 4 18 /. = ~ ~ 2(4+ lo) = 2-~;

1 18 = g .

l 1 4 2 bi=2 2 § =V;

1 1 5 5 b2= 2 2 -~- 2(4+I0)= 2-8;

(21 i) 2 bs=Max -~,~ ~ =~-;

Dann ist

und , ~ , ~ bilden ein Ex~onenSensyetem.

Beweis. Wir wenden Hilhsatz ] 1 an mit den Zahlenpaaren

�9 2 4 I~)= , ( ~, . ~) = ~ . ~ . ( ~,. @ .

welche .naoh dem 1 1

1 1 18 /% = ~ - 8 + 8(15+28)

1 .1 5 ~'~s = 2 s + s ( m + 1o)

' \8-~' 844/ ' ' 176'

=3, / t - - 3 und mit

IL ~ = Max (2 2 1 ) .17 , ~ ;

vorigen Hilfssatz ein Exponentensyst~em bilden. 4 4 3 ~1 �9 1 2

+ 8 ( 6 + 7 ) =~o4' ~ + s ( 6 + 7 ) --i04; !147 I 5 177 =844' Is =Y+s(15+~8) =~;

=178; t, = ~ + s ( i ~ $ i6) ~ ~ ; I l, = i.

D a n n is~ 54

Verseh~irfung der Absohiitzung beim Teilerproblem. 65

B e w e i s v o n (1).

' 104' I-~ ; (147 177'~.

(~.~, l~) = 344' 34:4 J'

, 7 6 , ;

( 1 7 1 9 )

Wir wenden die Hilfss~itze 6 and 14 an. Dann ist

lcl +/ i 43 4- 54 97 83 . 9 ( 1 + k l ) - - - - - 2 ( l o 4 + 4 8 ) = 2 ~ < i6b'

+ l~ 147 + 177 1(~2 38 2 (1 +k~) = 2(344+ 147) ---- 49-i "~ 100;

"~a + ls 71 + 92 163 33 2 ( 1 + k a ) = 2 ( 1 7 6 + 7 1 ) = 4 ~ "~1-~;

k~ + 14 17 + 19 la 83 2 (1 + ~,) = 2 (38----+ 17) = ~-~ < 10o"

U t r e c h t , den 23. O~ober 1921.

(Eingegangen am 24. 10. 1921.)

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Verschärfung der Abschätzung beim Teilerproblem