Prof. Dr.-Ing. Jörg RaischDipl.-Ing. Christian A. HansFachgebiet RegelungssystemeFakultät IV - Elektrotechnik und InformatikTechnische Universität Berlin

Versuch 4Drehzahlregelung eines Gleichstrommotors

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 2

2 Versuchsaufbau 2

3 Versuchsteil A 33.1 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1.1 Leistungsverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.2 Gleichstrommotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1.3 Massenscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Stromregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.3 Vorbereitungsaufgaben A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Versuchsdurchführung und Auswertung A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Versuchsteil B 74.1 Drehzahlregelung mit Kaskadenstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1.1 Aufbau und Wirkprinzip einer Kaskadenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1.2 Entwurf einer Kaskadenregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.1.3 Kaskadenregelung für die Motordrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Anti-Windup-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2.2 Entwurf einer Anti-Windup-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.3 Vorbereitungsaufgaben B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4 Versuchsdurchführung und Auswertung B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

A Nützliche Scilab-Befehle 14

1 Einführung

In diesem Versuch wird für eine reale elektrische Antriebsstrecke mit permanenterregtem Gleich-strommotor eine kontinuierliche Kaskadenregelung entworfen und anschließend erprobt. Dabeisollen das Wurzelorts- und das Frequenzkennlinienverfahren angewendet werden. Außerdem wirdder sogenannte Windup-Effekt behandelt. Ziel der Versuchsreihe ist der Entwurf einer Regelstruk-tur, die die Drehzahl des Motors bei sprungförmig veränderlichem Lastmoment auf einen konstan-ten Sollwert führt.

Abbildung 1 zeigt den schematischen Aufbau eines drehzahlgeregelten Antriebs, wie er in der Praxishäufig verwendet wird. Die Struktur wird Kaskadenregelung genannt.

DrehzahlreglerSolldrehzahl

StromreglerSollstrom Stellglied

(Stromrichter/Verstarker)

Ankerstrom

Motor

Drehzahl

Getriebe Last

Stormoment

Regeleinrichtung Antriebstrecke

Abbildung 1: Prinzipieller Aufbau eines drehzahlgeregelten Antriebs

Der Entwurf des Kaskadenregelkreises besteht aus zwei Versuchsteilen. Im Teil A wird zunächst ei-ne Regelung für den Ankerstrom erarbeitet. Ziel dieses ersten Teils ist das Verständnis für den Ver-suchsstand und das zugehörige Modell sowie die Anwendung des Wurzelorts- und Frequenzkenn-linienverfahrens für die Auslegung des Stromregelkreises. Die Ergebnisse dienen als Basis für denVersuchsteil B, in dem der unterlagerte Stromregelkreis um eine Drehzahlregelung ergänzt wird.Hier soll das Prinzip der Kaskadenregelung wiederholt und verstanden werden. Schließlich werdenbeide Regler durch eine Anti-Windup-Schaltung weiter verbessert.

Die Bearbeitung beider Versuchsteile soll zusammen in einem gemeinsamen Protokoll dokumentiertwerden.

2 Versuchsaufbau

Die Abbildung 2 zeigt ein Foto des Versuchsaufbaus mit allen wichtigen Bestandteilen. Die Streckebesteht aus einem Leistungsverstärker und einer Gleichstrommaschine. Zur Erhöhung des Träg-heitsmoments ist eine Massenscheibe auf der Welle montiert. Um ein Lastmoment zu erzeugen,kann ein Filzblock über eine Feder gegen die Massenscheibe gepresst werden.

Die Leistung des vom Regler kommenden Stellsignals reicht meist nicht aus, um den Motor direktzu betreiben. Deshalb muss das Stellsignal verstärkt werden. Der dazu vorgesehene Leistungsver-stärker besitzt PT1-Dynamik mit einer sehr kleinen Verzögerungszeitkonstante Tv und liefert einemaximale Ausgangsspannung von 15V.

2

Abbildung 2: Foto des Versuchsaufbaus

Die Ansteuerung erfolgt über eine Datenerfassungskarte. Mit einer Echtzeitanwendung kann dieEingangsspannung des Leistungsverstärkers vorgegeben werden. Ebenso werden die Messwerte an-gezeigt und gespeichert. Als Messgrößen stehen der Ankerstrom i A und die Winkelgeschwindig-keit ω direkt zur Verfügung. Das bei der Messung des Ankerstroms auftretende Rauschen mussbeim Reglerentwurf bedacht werden. Die Winkelgeschwindigkeit wird über einen Tachogeneratorerfasst.

Die Regler sollen in Scilab/Scicos realisiert werden. Am Versuchsstand wird mit den erstellten Scicos-Diagrammen ein echtzeitfähiges Programm erstellt, welches den entworfenen Regler und die realeRegelstrecke zu einem Regelkreis verkoppelt. Die Parameter des Versuchsaufbaus sind in Tabelle 1gegeben.

Gleichstrommotor

Ankerwiderstand RA = 10,6ΩAnkerinduktivität L A = 0,82mHMotorkonstante km = 0,0527NmA−1

Ankerträgheitsmoment JM = 1,16 ·10−6 kgm2

Reibungskonstante cµ = 0,4 ·10−6 Nms

Massenscheibe

Masse Ms = 68gRadius rs = 2,5cm

Leistungsverstärker

Zeitkonstante Tv = 0,2 ·10−3 sVerstärkung V = 3

Tabelle 1: Parameter des Versuchsaufbaus

3 Versuchsteil A

Der erste Versuchsteil beginnt mit der Modellbildung für die Regelstrecke. Als vorbereitender Schrittfür die gewünschte Kaskadenregelung der Motordrehzahl soll danach ein einschleifiger Standardre-gelkreis für den Ankerstrom der Gleichstrommaschine entworfen werden.

3

3.1 Modellbildung

Zur Erstellung eines vollständigen Modells werden die drei Teilsysteme Leistungsverstärker, Gleich-strommotor und Massenscheibe einzeln betrachtet.

3.1.1 Leistungsverstärker

Die am Ausgang des Reglers zur Verfügung stehende elektrische Leistung reicht nicht aus, um denGleichstrommotor zu betreiben. Der deshalb eingesetzte Leistungsverstärker verstärkt die Eingangs-spannung u und liefert am Ausgang die Spannung uv an den Motor. Das PT1-Verhalten des Verstär-kers wird durch die Differentialgleichung

Tv uv (t )+uv (t ) =V u(t )

beschrieben. Die Eingangsgröße u ist die Stellgröße der Gesamtversuchsstrecke und wird späterdurch den Stromregler vorgegeben.

3.1.2 Gleichstrommotor

Für einen permanenterregten Gleichstrommotor kann das in Abbildung 3 dargestellte Ersatzschalt-bild herangezogen werden. Vereinfachend wird angenommen, dass die Ankerinduktivität L A und

ω(t),mM(t)

iA(t)

ui(t)uv(t)

LARA

Abbildung 3: Ersatzschaltbild des Gleichstrommotors

der resultierende Ankerwiderstand RA konstant sind. Aus der angelegten Spannung uv resultiertein Ankerstrom i A . Dieser Strom erzeugt am Rotor des Motors das Motormoment mM (t ) = kmi A(t ),wobei km die Maschinenkonstante des Motors ist. Wenn sich der Rotor dreht, wird eine Spannungui induziert, die man auch elektromotorische Kraft (EMK) nennt. Sie steigt proportional mit derWinkelgeschwindigkeit ω: ui (t ) = kmω(t ).

Durch Anwendung des Maschensatzes kann eine Differentialgleichung für den Ankerstrom gewon-nen werden.

3.1.3 Massenscheibe

Das Motormoment mM beschleunigt den Rotor des Motors und die daran befestigte Massenschei-be. Dem Motormoment entgegen wirken ein von außen einstellbares Lastmoment mL , die motor-eigenen Reibungsmomente mR und mH , sowie das Trägheitsmoment mT von Rotor und Massen-scheibe. Letzteres ergibt sich aus der Winkelbeschleunigung ω und den Massenträgheitsmomenten

4

des Rotors JM und der Massenscheibe JS = 12 MSr 2

S zu mT (t ) = (JS + JM )ω(t ). Das ReibungsmomentmR ist geschwindigkeitsproportional mit mR (t ) = cµω(t ) und wird durch den Reibungskoeffizientencµ bestimmt. Das Haftreibungsmoment mH soll vernachlässigt werden.

Um die Bewegungsgleichung für die Massenscheibe und den Rotor aufzustellen, müssen die angrei-fenden Momente bilanziert werden.

mL(t),mH ,mR(t),mT (t)mM(t)

Massenscheibe

ω(t)

Abbildung 4: Momente an der Massenscheibe

3.2 Stromregelung

Als erster Teil der später im Versuchsteil 2b angestrebten Kaskadenregelung soll ein einschleifigerStandardregelkreis für den Ankerstrom des Gleichstrommotors entworfen werden. Die Abbildung 5zeigt das Blockschaltbild des Regelkreises. Die Regelgröße ist der Ankerstrom i A . Die Stellgröße istdie Eingangsspannung u des Verstärkers. Ziel der Stromregelung ist es, einen vorgegebenen Anker-strom ri einzustellen und Störungen der Betriebsspannung auszuregeln.

Ki GuiiAuri

Abbildung 5: Stromregelkreis

Der Einsatz eines eigenen unterlagerten Reglers für den Strom im Rahmen der Kaskadenregelunghat mehrere Vorteile. Wird bei einer Gleichstrommaschine die Ankerspannung vergrößert, führtdies zu einer Erhöhung des Ankerstromes. Dadurch wird ein höheres Drehmoment erzeugt. DerMotor wird so lange beschleunigt, bis die Gegenspannung im Anker den Ankerstrom wieder ver-kleinert. Die Dynamik des Ankerstroms ist dabei wesentlich schneller als die Dynamik der Motor-drehzahl. Dieser Unterschied kann durch einen gesonderten unterlagerten Stromregelkreis besserberücksichtigt werden.

Außerdem ist die Gegenspannung für kleine Drehzahlen z.B. beim Anfahren des Motors klein, wo-durch der Ankerstrom bei hoher angelegter Spannung sehr hoch werden kann. Um Überlastungenin der Stromversorgung oder im Antriebssystem zu vermeiden, darf der Ankerstrom zulässige Werteder Amplitude und des Anstieges nicht überschreiten. Auch das kann durch einen eigenen Reglerfür den Strom direkt berücksichtigt werden.

Beim Entwurf des Stromreglers darf das Messrauschen des Ankerstromsignals nicht außer Acht ge-lassen werden, da sonst ein zufriedenstellender Betrieb des Reglers nicht gesichert ist.

5

3.3 Vorbereitungsaufgaben A

Benutzen Sie für die Lösung der Aufgaben 4, 5d und 6–8 die Software Scilab. Zur Simulation wirddie aktuelle Programmversion 5 empfohlen. Die Ansteuerung des Versuchsausbaus erfolgt jedochin der älteren Version Scilab 4 mit Scicos. Zur Versuchsdurchführung werden Ihnen entsprechendeScicos-Vorlagen zur Verfügung gestellt, die zu vervollständigen sind. Schreiben Sie ihre Reglerskrip-te so, dass sie leicht zu verändern und korrigieren sind. Eine Reihe nützlicher Scilab-Befehle findetsich in Anhang A.

1. Leiten Sie das vollständige lineare Zustandsmodell für die Regelstrecke her. Stellen Sie hierfürzunächst die Differentialgleichung für den Ankerstrom und die Bilanzgleichung der Drehmo-mente an der Massenscheibe auf. Welche Komponenten hat der Zustandsvektor?

2. Erstellen Sie das Blockschaltbild der aus Leistungsverstärker und Gleichstrommaschine mitSchwungscheibe bestehenden Regelstrecke und beschriften Sie die Signalpfeile mit den zu-gehörigen Größen. Es sollen ausschließlich Summations-, Verstärkungs- und Integratorblö-cke verwendet werden.

3. Der Leistungsverstärker soll nun durch die statische Verstärkung V approximiert werden, daer eine schnelle Dynamik besitzt, die vernachlässigt werden kann. Wie lautet das resultierendeZustandsraummodell? Verwenden Sie dieses Modell für alle weiteren Betrachtungen.

4. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion Gui (s) = I A(s)U (s) zwischen der Eingangsspannung u

des Leistungsverstärkers und dem Ankerstrom i A . Vereinfachen Sie die Übertragungsfunkti-on Gui durch Vernachlässigung sehr schneller Dynamikanteile der Strecke, d.h. Vernachlässi-gung von Polen mit betragsmäßig sehr hohem negativen Realteil. Beachten Sie, dass die sta-tische Verstärkung der Übertragungsfunktion erhalten bleiben muss. Wie lautet die resultie-rende vereinfachte Übertragungsfunktion Gui ? Warum ist diese Vereinfachung zulässig? Ver-wenden Sie im Folgenden die vereinfachte Übertragungsfunktion Gui .

5. Entwerfen Sie einen mit einem PT1-Glied verketteten PI-Regler mit der folgenden Struktur:

Ki (s) = kis − s0,i

s

−s1

s − s1, ki , s0,i , s1 ∈R, ki > 0.

a) Welchen Vorteil besitzt die gewählte Reglerstruktur gegenüber einem reinen PI-Regler?Welche Effekte erwarten Sie für einen reinen PI-Regler im geschlossenen Regelkreis?

b) Wiederholen Sie das Thema “Wurzelortskurve”! Platzieren Sie die Polstelle s1 des Tief-passes anhand von Überlegungen mit der Wurzelortskurve. Ihr Ziel sollte eine möglichstschnelle Reaktion des Regelkreises sein. Begründen Sie Ihre Wahl für s1.

c) Legen Sie nun weiterhin anhand der Wurzelortskurve die Nullstelle s0,i des Reglers fest,sodass bei einer geeigneten Wahl von ki das Potential besteht, einen schnellen Regler zuentwerfen. Begründen Sie Ihre Wahl für s0,i .

d) Die Sprungantwort des geschlossenen Kreises soll nach 0,02s nur noch eine Regelabwei-chung von 5% aufweisen. Bestimmen Sie ki mit Hilfe von Simulationen der Führungs-sprungantwort. Stellen Sie den Verlauf der letztendlich erzielten Führungssprungant-wort grafisch dar.

6. Berechnen Sie die Störübertragungsfunktion I A(s)Du (s) des Regelkreises, die den Einfluss einer

Störspannung du am Eingang des Leistungsverstärkers auf den Ankerstrom i A beschreibt. Si-mulieren Sie die Störsprungantwort. Stellen Sie den Verlauf der Störsprungantwort grafischdar.

6

7. Zeichnen Sie die Amplitudenfrequenzgänge der Sensitivitätsfunktion Si (s) und der komple-mentären Sensitivitätsfunktion Ti (s) des geschlossenen Regelkreises in dem Bereichω = 10−3 r ad

s . . .103 r ads , um das Verhalten der Stromregelung für den gesamten Frequenzbe-

reich beurteilen zu können. Machen Sie Aussagen darüber, für welche Frequenzbereiche derReferenz- und Störgröße gutes Regelverhalten erzielt wird und in welchen Frequenzbereichenauftretendes Messrauschen sich kaum auf die Regelgröße auswirkt.

8. Erstellen Sie ein Blockschaltbild des Reglers aus zwei Integratoren sowie Verstärkungs- undSummationsblöcken. Der PI-Anteil und PT1-Anteil sollen in Reihe geschaltet sein. Die Para-meter ki , s0,i , s1 sollen direkt in die Verstärkungsblöcke eingehen.

3.4 Versuchsdurchführung und Auswertung A

1. Auf dem Laborrechner steht Ihnen eine Scicos-Vorlage mit einem Block zur Ansteuerung derMotorhardware zur Verfügung. Vervollständigen Sie die Vorlage mit dem von Ihnen entwor-fenen Regler und erstellen Sie mit dem Betreuer das echtzeitfähige Programm zur Motoran-steuerung.

2. Nehmen Sie die Führungssprungantwort des Stromregelkreises auf, indem Sie bei eingeschal-tetem Reibmoment den Strom sprunghaft von 0A auf 0,3A erhöhen. Zeichnen Sie zusätzlichdie Größen u und ω auf. Wichtig: Die Bremse muss dabei so eingestellt sein, dass sich dieSchwungscheibe nach dem Sprung nur langsam dreht und nicht mehr beschleunigt. StellenSie den Verlauf aller aufgenommenen Größen für einen relevanten Zeitabschnitt grafisch dar.Beschreiben und diskutieren Sie anhand des Diagramms das Regelkreisverhalten! VergleichenSie das Ergebnis mit dem der Vorbereitungsaufgabe 5d!

3. Nehmen Sie die Störsprungantwort des Systems auf. Schalten Sie hierfür bei konstantem Last-moment (konstante Winkelgeschwindigkeit durch passend eingestellte Bremse!) und einemStromsollwert von 0,3A eine sprunghafte Störspannung von −1V auf den Eingang des Leis-tungsverstärkers. Zeichnen Sie zusätzlich die Größen u und ω auf. Stellen Sie auch hier denVerlauf aller aufgenommenen Größen für einen relevanten Zeitabschnitt grafisch dar. Be-schreiben und diskutieren Sie anhand des Diagramms das Regelkreisverhalten! VergleichenSie das Ergebnis mit dem der Vorbereitungsaufgabe 6!

4. Erweitern Sie das Scilab-Skript, das Sie für die Simulation geschrieben haben, um eine Routi-ne, die es ermöglicht, aus den gespeicherten Versuchsdaten aussagekräftige Plots zu generie-ren. Geben Sie das Skript mit ab, indem Sie es per Mail zusammen mit den Messdatendateienund den Quelldateien für das Protokolldokument an den Betreuer schicken!

4 Versuchsteil B

Ziel des zweiten Versuchteils ist es, den bereits entworfenen Stromregler durch einen äußeren Dreh-zahlregler zu einem Kaskadenregelkreis zu erweitern. Die resultierende Drehzahlregelung soll vor-gegebene Winkelgeschwindigkeiten einstellen und Störungen in Form von Lastmomentänderungenkompensieren. Zusätzlich soll eine Anti-Windup-Schaltung für beide Regler der Kaskadenregelungentworfen werden, um Windup-Effekte und eine Überlastung des Leistungsverstärkers zu verhin-dern.

7

4.1 Drehzahlregelung mit Kaskadenstruktur

Für die Drehzahlregelung elektrischer Antriebe werden sehr häufig Kaskadenregelkreise eingesetzt.Dieser Abschnitt wiederholt zunächst den Aufbau, das Wirkprinzip und den Entwurf von Regelkrei-sen mit Kaskadenstrukur. Am Ende wird die Methode auf das vorliegende Beispiel der Drehzahlre-gelung angewendet.

4.1.1 Aufbau und Wirkprinzip einer Kaskadenregelung

In Abbildung 6 ist das Blockschaltbild einer Kaskadenregelung dargestellt. Neben der Regelgrößey wird eine weitere Systemgröße gemessen und als Hilfsregelgröße ϕ zurückgeführt. Die gesamteRegelstrecke G wird dadurch in zwei Teilstrecken G1 und G2 zerlegt. Auf diese Weise wird ein unter-lagerter innerer Regelkreis bestehend aus dem Streckenteil G1 und dem Regler K1 aufgebaut.

ϕ

G

K2r K1 G1 G2

y

y

u

Abbildung 6: Kaskadenregelung

Die Kaskadenstruktur kann im Vergleich mit dem einschleifigen Standardregelkreis meist ein bes-seres Regelergebnis erzielen. Hierfür gibt es mehrere Gründe:

1. Auftretende Störungen im inneren Streckenteil (vor dem Abgreifen der Größe ϕ) wirken nurabgeschwächt auf die Regelgröße y , da diese schon im inneren Regelkreis ausgeregelt werdenkönnen. Dieser Vorteil wird besonders deutlich, wenn der zweite Streckenteil G2 langsame Dy-namikanteile oder Totzeiten aufweist. Eine Kaskadenregelung kann in diesen Fällen Störun-gen, die im ersten Streckenteil auftreten im Vergleich mit dem einschleifigen Kreis wesentlichschneller ausregeln.

2. Die Hilfsregelgröße ϕ lässt sich durch geeignete Dimensionierung der Regler K1 und K2 be-grenzen.

3. Die Auswirkung nichtlinearer Übertragungsglieder wird von jeder Kaskade aufwärts mehr undmehr eingeschränkt, so dass sich durch den Einsatz einer Kaskadenregelung eine Verbesse-rung der Linearisierung erreichen lässt.

Der Reglerentwurf für die Kaskadenregelung ist durch sukzessiven Entwurf der Teilregler K1 und K2

umsetzbar und dadurch besonders einfach. Ein Nachteil ist der erhöhte Hardwareaufwand, beson-ders durch zusätzlich notwendige Messeinrichtungen zur Erfassung der Hilfsregelgröße ϕ.

8

4.1.2 Entwurf einer Kaskadenregelung

Der Entwurf wird sukzessiv durchgeführt, d.h. zunächst wird ein Regler K1 für den inneren Regel-kreis mit der Regelstrecke G1 entworfen (Abbildung 7). Die Anforderungen an den inneren Kreiskönnen sich von den Anforderungen an den gesamten Regelkreis unterscheiden. Es wird meist ein“ausreichend schneller” Regler gefordert, um auftretende Störungen schnell auszuregeln.

K2 G2

G

r yK1 G1

u

y

ϕ

Abbildung 7: Entwurf des inneren Regelkreises

Anschließend kann die Übertragungsfunktion

T1(s) = K1(s)G1(s)

1+G1(s)K1(s)

des geschlossenen inneren Kreises bestimmt werden. Die Übertragunsfunktion G ′ der resultieren-den Regelstrecke des äußeren Regelkreises ergibt sich damit zu G ′(s) = T1(s)G2(s).

K2

G′

G

T1 G2 yr

Abbildung 8: Entwurf des äußeren Regelkreises

Der Regler K2 kann nun anhand eines einschleifigen Kreises mit der Regelstrecke G ′ entworfenwerden (Abbildung 8). Hierbei müssen die Anforderungen an den gesamten Regelkreis erfüllt wer-den.

4.1.3 Kaskadenregelung für die Motordrehzahl

Der Kaskadenregelkreis mit den für die Regelung der Motordrehzahl relevanten Größen und Be-zeichnungen wird in Abbildung 9 gezeigt. Im Inneren ist der unterlagerte Stromregelkreis aus Abbil-dung 5 zu erkennen, der bereits im Versuchsteil A entworfen wurde. Es soll nun der Regler Kω desäußeren Regelkreises erarbeitet werden.

9

Kω Ki ω

y

u iAGui Giω

rωri

Guω

G′

ω

Abbildung 9: Drehzahlregelkreis mit Kaskadenstruktur

Regler Strecke

R

R

R

r yuuR

Stellgroßenbeschrankung

u

uRumax−umax

Abbildung 10: Regelkreis mit Stellgrößenbeschränkung

4.2 Anti-Windup-Schaltung

In der Praxis spielen Stellgrößenbeschränkungen sehr häufig eine Rolle und müssen beim Regler-entwurf beachtet werden. Wenn ein Regler mit integrierendem Anteil verwendet wird, können uner-wünschte Effekte auftreten, die durch eine erweiterte Reglerstruktur verhindert werden können.

4.2.1 Problemstellung

Bei dem verwendeten Versuchsaufbau liegt wie bei fast allen realen Systemen eine Stellgrößenbe-schränkung vor. Der Verstärker kann am Ausgang höchstens ±15V liefern. Da der Verstärkungsfak-tor V = 3 des Verstärkers bekannt ist, kann diese Begrenzung auf den Eingang u des Verstärkersumgerechnet werden und man erhält die Maximalwerte ±umax =±5V. Überschreitet u am Verstär-kereingang diese Grenzen, erhält man am Ausgang nicht mehr die proportional verstärkte Span-nung sondern nur den konstanten Maximalwert von ±15V. Man sagt dann, das Stellglied geht in dieSättigung. Verallgemeinert liegt das in Abbildung 10 dargestellte Problem vor. Die Sättigung wirddurch die sat-Funktion

sat(uR ) =

−umax , falls uR <−umax

uR , falls −umax ≤ uR ≤ umax

umax , falls uR > umax .

Überschreitet die geforderte Stellgröße uR ihren Maximalwert, so tritt die Nichtlinearität der sat-Funktionin Kraft und führt zu störendem Verhalten. Die entstehenden Effekte bezeichnet man als Windup.Da in der Praxis jede reale Regelstrecke eine Stellgrößenbeschränkung aufweist, können diese Ef-fekte in allen Regelkreisen auftreten, deren Regler einen I-Anteil besitzt.

10

PI-Regler

Anti-Windup-Schaltung

Streckeu yr

k

∫−s0

uR

γ

−

−

uR

u

umax

−umax

umax

−umax

Stellgroßenbeschrankung

Abbildung 11: Regelkreis mit PI-Regler und Anti-Windup-Schaltung

Der Effekt lässt sich wie folgt erklären. Wenn z.B. infolge eines Störgrößenanstieges die vom Reglergeforderte Größe uR den Maximalwert übersteigt, so geht das Stellglied in die Sättigung. Eine wei-tere Erhöhung der Stellgröße bleibt dann ohne Einfluss auf die Strecke, da die Stellgröße nicht überden Begrenzungswert erhöht werden kann. Der Regelfehler r − y bleibt dadurch größer als erwartetund wird durch den vorhandenen I-Anteil immer weiter “vergeblich“ aufintegriert. Der I-Anteil desReglers kann dadurch sehr stark anwachsen. Er wird erst wieder abgebaut, wenn der Regelfehlersein Vorzeichen wechselt. Die Größe u verweilt noch solange in der Sättigung, bis der I-Anteil weitgenug abgebaut ist. Das kann unter Umständen sehr lange dauern und die Regelung für längere Zeitstark stören.

4.2.2 Entwurf einer Anti-Windup-Schaltung

Das Problem entsteht beim I-Anteil des Reglers, der den Regelfehler trotz Stellgröße in der Sättigungweiter integriert. Eine Möglichkeit dies zu unterbinden bietet die nun vorgestellte Anti-Windup-Schaltung. Ziel ist es, den Integriervorgang abzuschalten oder zumindest abzuschwächen, sobalddie Stellgröße in der Sättigung ist.

In der in Abbildung 11 dargestellten Schaltung wird die Differenz zwischen der vom Regler gefor-derten Stellgröße uR und der begrenzten Stellgröße u über einen Faktor γ auf den Integratorein-gang zurückgekoppelt. Die Schaltung wird nur bei Überschreitung der Begrenzung (|uR | > |umax |)aktiv, da ansonsten die Differenz u−uR verschwindet. Bei uR > umax wird die Differenz negativ unddas Eingangssignal des I-Anteils wird verringert. Damit wird dem weiteren Ansteigen des I-Anteilsund damit dem weiteren Ansteigen der Größe uR entgegengewirkt. Bei uR <−umax funktioniert dieSchaltung in analoger Weise. Über den Parameter γ kann eingestellt werden, wie stark die Rückfüh-rung wirkt.

Alternativ bieten sich Anti-Windup-Schaltungen an, die den Integratoreingang bei Überschreitungder Beschränkung fest auf Null setzen. Derartige Schaltungen sollen hier aber nicht weiter betrach-tet werden.

4.3 Vorbereitungsaufgaben B

Führen Sie die Simulationen dieses Versuchsteils in Xcos (Scilab 5) oder Scicos (Scilab 4) durch. Im-plementieren Sie dafür die PI-Anteile der beiden Regler durch Schaltungen aus Integrator-, Verstärker-und Summationsblöcken wie in Abbildung 12 und nicht als Übertragungsfunktionsblöcke.

11

$$\int$$

$$\int$$

−s0

∫

k

Abbildung 12: Struktur eines PI-Reglers

1. Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion G ′ω(s) = Ω(s)

Ri (s) der nun relevanten Regelstrecke, die denunterlagerten Stromregelkreis aus Versuchsteil A enthält.

2. Als Drehzahlregler soll ein PI-Glied

Kω(s) = kωs − s0,ω

s, kω, s0,ω ∈R

verwendet werden.

a) Begründen Sie, warum diese Reglerstruktur sinnvoll ist.

b) Der Reglerentwurf soll nach dem Frequenzkennlinienverfahren durchgeführt werden.Zeichnen Sie dafür zunächst das Bode-Diagramm von G ′

ω.

c) Wählen Sie zunächst das aus der Vorlesung bekannte Entwurfsvorgehen, indem Sie mitder Nullstelle s0,ω des Reglers die langsamste Polstelle der Strecke kürzen. BestimmenSie dann mit Hilfe von Simulationen die Verstärkung kω so, dass der geschlossene Regel-kreis eine Ausregelzeit1 von etwa 0.6 Sekunden aufweist und das Überschwingen einenWert von 20% nicht übersteigt. Rufen Sie sich in Erinnerung, wie die Kenngrößen „Über-schwingweite“, „Ausregelzeit“, „Phasenreserve“ und „Durchtrittsfrequenz“ miteinanderin Beziehung stehen! Stellen Sie den Verlauf der erzielten Führungssprungantwort gra-fisch dar.

d) Bei Sprüngen der Führungsgröße rω von 0 auf Werte bis zu 180 rads soll die Stellgrößen-

beschränkung von −5V < u < 5V nicht verletzt werden. Überprüfen Sie simulativ, ob IhrRegler diese Forderung erfüllt. Falls nicht, korrigieren Sie ihre Reglerparameter, sodassdie Forderung erfüllt wird. Wie lautet die Führungsübertragungsfunktion Tω(s) = Ω(s)

Rω(s)des bis hierhin entworfenen geschlossenen Regelkreises?

e) Berechnen Sie die Störübertragungsfunktion Gmω(s) = Ω(s)ML (s) vom Lastmoment mL auf

die Winkelgeschwindigkeit ω. Simulieren Sie die Störsprungantwort und stellen Sie denVerlauf der Störsprungantwort grafisch dar. Warum ist das Störverhalten des entworfe-nen Regelkreises nicht brauchbar? Was fällt Ihnen auf, wenn Sie die Pole von Tω undGmω vergleichen? Begründen Sie das unerwünschte Störverhalten anhand der Pole vonGmω. Überlegen und erklären Sie, wie die ungünstige Lage der Pole von Gmω entsteht.

f) Überlegen Sie mit Hilfe der Wurzelortskurve, wie die Nullstelle s0,ω des Reglers verscho-ben werden muss, um das Störverhalten zu verbessern. Wählen Sie s0,ω und kω neu,sodass alle vorher genannten Forderungen an das Führungsverhalten weiterhin erfülltwerden. Wie lauten die neue Führungsübertragungsfunktion Tω und die neue Störüber-tragungsfunktion Gmω und deren Pole? Stellen Sie den Verlauf der neuen Führungs-sprungantwort und Störsprungantwort grafisch dar.

1Unter Ausregelzeit wird die Zeit zwischen dem Auftreten eines Sollwertsprunges und dem Eintritt der Regelgröße inein Intervall von ±2% Abweichung um den Sollwert, so dass die Regelgröße nach Eintritt in diesem Intervall verbleibt,verstanden.

12

3. Erweitern Sie Ihre Reglerstruktur in Scicos um eine Anti-Windup-Schaltung nach Abbildung11. Führen Sie die Differenz (u − uR ) auf den Integrator sowohl des inneren als auch desäußeren Reglers zurück. Machen Sie sich mit dem Windup-Effekt durch Simulationen des ge-schlossenen Regelkreises vertraut. Provozieren Sie dazu den Effekt bei ausgeschalteter Anti-Windup-Schaltung (γ = 0) durch einen Störsprung im Lastmoment, der genügend hoch ist,um die Stellgröße u in Sättigung zu bringen. Untersuchen Sie anhand des gleichen Störsprungs,wie die aktivierte Anti-Windup-Schaltung (γ> 0) den Effekt unterdrückt. Dokumentieren SieIhre Untersuchungen mit einigen ausgewählten Plots.

4.4 Versuchsdurchführung und Auswertung B

1. Auf dem Laborrechner steht Ihnen wie im Teil A eine Scicos-Vorlage zur Verfügung. Vervoll-ständigen Sie die Vorlage mit dem von Ihnen entworfenen Regler und erstellen Sie mit demBetreuer das echtzeitfähige Programm zur Motoransteuerung.

2. Verwenden Sie für den äußeren Regler zunächst die Parameter aus Aufgabe 2f.

a) Nehmen Sie die Führungssprungantwort des Drehzahlregelkreises auf. Schalten Sie da-für den Sollwert der Winkelgeschwindigkeit von 0 rad

s auf 150 rads . Nehmen Sie zusätzlich

die Größen ri und i A des inneren Regelkreises auf. Stellen Sie den Verlauf aller aufge-nommenen Größen für einen relevanten Zeitabschnitt grafisch dar. Beschreiben unddiskutieren Sie anhand des Diagramms das Regelkreisverhalten! Vergleichen Sie das Er-gebnis mit der Simulation des Führungsverhaltens aus der Vorbereitungsaufgabe 2f!

b) Nehmen Sie die Störsprungantwort des Systems auf. Betreiben Sie den Motor bei einerWinkelgeschwindigkeit von 150 rad

s und lösen Sie die Rückhaltevorrichtung der Bremseum ein sprunghaftes Lastmoment zu erhalten. Nehmen Sie zusätzlich die Größen ri undi A des inneren Regelkreises auf. Stellen Sie den Verlauf aller aufgenommenen Größen füreinen relevanten Zeitabschnitt grafisch dar. Beschreiben und diskutieren Sie anhand desDiagramms das Regelkreisverhalten! Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Simulation desStörverhaltens aus der Vorbereitungsaufgabe 2f!

3. Untersuchen Sie nun den Regelkreis mit den zuerst bestimmten Parametern aus Aufgabe 2d.Nehmen Sie die Störsprungantwort des Systems wie in Aufgabe 2b auf. Wie äußert sich dasunbefriedigende Störverhalten in der Praxis? Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Simulationdes Störverhaltens aus der Vorbereitungsaufgabe 2e!

4. Testen Sie ihre Anti-Windup-Schaltung mit den Parametern aus Aufgabe 2f. Betreiben Sie denMotor bei einer Winkelgeschwindigkeit von 150 rad

s und halten Sie die Scheibe sehr kurz festum sie danach sofort wieder freizugeben. Wiederholen Sie den Versuch mit deaktivierter Anti-Windup-Schaltung! Nehmen Sie neben der Winkelgeschwindigkeit und dem Ankerstrom dieStellgrößen vor und nach der Beschränkung auf. Stellen Sie den Verlauf aller aufgenommenenGrößen für einen relevanten Zeitabschnitt graphisch gegenüber. Beschreiben und vergleichenSie das Regelkreisverhalten anhand der graphischen Darstellung mit und ohne Anti-Windup-Schaltung!

5. Erweitern Sie das Scilab-Skript, das Sie für die Simulation geschrieben haben, um eine Routi-ne, die es ermöglicht, aus den gespeicherten Versuchsdaten aussagekräftige Plots zu generie-ren. Geben Sie das Skript mit ab, indem Sie es per Mail zusammen mit den Messdatendateienund den Quelldateien für das Protokolldokument an den Betreuer schicken!

13

A Nützliche Scilab-Befehle

Diese kleine Hilfe erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Bei Unsicherheiten sollte zudem im-mer die Scilab-Hilfe herangezogen werden.

• Scilab-Hilfe zum Befehl X

help X

• Definition eines Polynoms über die Nullstellen (in Abwandlung über Koeffizienten)

poly

Beispiel

s=poly(0,'s');

• Definition eines linearen Systems aus den Matrizen des Zustandsraummodells (A,B ,C ) odereiner Transferfunktion

syslin

Beispiel

G=syslin('c',A,B,C);

G=syslin('c',1/(1+s));

• Zustandsraummodell in Transferfunktion umwandeln oder umgekehrt

ss2tf, tf2ss

• Komplexen Frequenzgang eines Systems bestimmen

repfreq

Beispiel (andere Aufrufmethoden siehe Scilab-Hilfe)

repf=repfreq(system,frequenzvektor)

• Amplitude in dB und Phase in aus dem komplexen Frequenzgang bestimmen

dbphi

Beispiel

[db,phi]=dbphi(repf)

Soll die Amplitude linear vorliegen, verwendet man

abs

• Simulation einer Sprungantwort

csim

Beispiel

t=0:0.01:10; //Zeitvektor

u=ones(t); //Vektor gleicher Elementzahl wie t, Elemente alle 1

y=csim(u,t,sys); //sys lineares System

//auch: y=csim('step',t,sys);

• Zeichnen von Wurzelortskurven

14

evans(system)

evans(system,maximaler_verstaerkungsfaktor)

Die Verstärkung eines Punktes auf der Wurzelortskurve gibt der folgende Befehl aus.

k=-1/real(horner(system,[1,%i]*locate(1)))

Der Punkt wird durch klicken auf die Wurzelortskurve ausgewählt.

• Ein Ergebnis von kleinen Koeffizienten “säubern” (Entstehung durch numerische Berechnung)

clean

Anmerkung: Es ist sinnvoll, eigene Routinen zum Plotten zu schreiben. Diese können als Scilab-Funktionen gespeichert und wiederholt verwendet werden. Vertiefende Beispiele und Hinweise gibtes in der Scilab-Einführung des Instituts unter www.control.tu-berlin.de/Teaching:Scilab.

15