Viele Dimensionen und Quasikristalle[vor]EinfhrungChristoph
Pppe, Redakteur bei Spektrum der Wissenschaft, und Gabriele Zeger,
Physikerin an der Universitt Stuttgart, haben gemeinsam im Rahmen
der Deutschen SchlerAkademie im Sommer 1998 in Annweiler einen Kurs
ber "Viele Dimensionen und Quasikristalle" abgehalten.Die Deutsche
SchlerAkademie ist eine Initiative zur Frderung von besonders
leistungsfhigen und motivierten Jugendlichen. Sie wird gefrdert vom
Bundesministerium fr Bildung und Forschung und vom Stifterverband
fr die Deutsche Wissenschaft. In ihrem Auftrag veranstaltet der
Verein Bildung und Begabung e. V. jeden Sommer sechs Akademien, in
denen sich je 90 Schlerinnen und Schler fr zweieinhalb Wochen
versammeln. In sechs Kursen pro Akademie arbeiten jeweils 15
Teilnehmer an anspruchsvollen Aufgabenstellungen, die "im Niveau
hufig Hochschulstudiengngen in den ersten Semestern
entsprechen".Das mit dem Niveau traf zweifellos auch auf den Kurs
"Viele Dimensionen und Quasikristalle" zu. Nur wird das Thema noch
gar nicht in Anfngerkursen an der Universitt gelehrt - nicht weil
es zu schwer wre, sondern weil es noch relativ neu ist. Der
Akademie-Kurs war auch fr die Veranstalter eine neue und
aufschlussreiche Erfahrung.Um so dankbarer sind sie, dass Florian
Fuchs, einer der Teilnehmer und mittlerweile selbst
Software-Dienstleister, die schriftliche Dokumentation des Kurses
fr den Online-Abruf verfgbar gemacht hat.Schnuppern Sie hinein und
erfahren Sie alles ber ein ungewhnlich anschauliches und
"handgreifliches" Forschungsgebiet! (siehe auch Spektrum der
Wissenschaft 7/99, Seite 14 "Quasikristalle in neuem Licht", nur fr
Heft-Abonnenten online zugnglich) Hinweis: Sollten Sie Probleme bei
der Darstellung der mathematischen Sonderzeichen (z. B. groe
Matrixklammern, Wurzelzeichen) haben, laden Sie sich bitte eine
aktuelle Version Ihres Browserprogramms herunter. [Netscape
Communicator] [Microsoft Internet
Explorer]InhaltsverzeichnisDokumentation1. Einleitung 2. Der
goldene Schnitt und damit verbundene Erscheinungen 3. Zum goldenen
Schnitt und zur Fibonacci-Folge 4. Eindimensionale quasiperiodische
Ketten 5. Vektor- und Matrizenrechnung, rumliche
Koordinatentransformation 6. Verstohlener Blick in die lineare
Algebra 7. Lineare Optimierung 8. Parkettierungen und Muster 9.
Platonische Krper 10. Gitter und Voronoikomplex 11.
Streifenprojektionsformalismus (SPF) und Methode der atomaren
Hyperflchen(AHF)12. Gridformalismus 13. Flips und Random Tilings
14. Matching rules und Wachstumsregeln 15. Selbsthnlichkeit von
Mustern 16. Periodische Kristalle 17. Quasikristalle: Entdeckung,
Materialien, Eigenschaften 18. PostScript-Kurs von 6.1 19.
Gruppenfoto Download DSA Gridmethode.exe (zipped, 16 KB) PS-Dateien
(zipped, 2 KB) Einleitung(Christoph Pppe, Gabi Zeger) Ziel des
Kurses war, die Teilnehmer (Gruppenfoto) mit einer Entdeckung
bekannt zu machen, die vor noch nicht langer Zeit (1984) groes
Aufsehen erregt hat: die Quasikristalle, Festkrper mit einer
Struktur, die es eigentlich gar nicht geben drfte. Es stellte sich
heraus, dass erst wenige Jahre zuvor die Mathematiker, nur dem
fachtypischen Spieltrieb folgend, die theoretischen Grundlagen fr
das Verstndnis der Quasikristalle bereitgestellt hatten: die
nichtperiodischen Parkettierungen, insbesondere die Penrose-Muster.
Fr dieses Verstndnis muss man sich in (zum Beispiel)
fnfdimensionale Rume begeben. Der Weg zu diesem groen Ziel war lang
und ziemlich anstrengend. Aber es gab viele schne Blumen unterwegs,
und wir haben uns auch ein paar kleine Abstecher genehmigt. Das -
zunchst - Aufflligste an den Quasikristallen ist ihre Symmetrie.
Die kann nmlich in einem richtigen Kristall gar nicht vorkommen. Es
gibt Quasikristalle mit acht- und zwlfzhliger, vor allem aber mit
fnfzhliger Symmetrie. Deswegen handelt die Ouvertre von der Zahl,
die im regelmigen Fnfeck allenthalben vorkommt: (tau), das
Verhltnis des Goldenen Schnitts (Stephan Reitmeier). Sie ist so
schn - und so irrational -, dass wir alsbald alle zu Tauisten
wurden. Es trifft sich gut, dass auch eine bedeutende Rolle in der
Folge des alten Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, spielt. Der
hatte seine Fibonacci-Folge mit der Vermehrung der Karnickel
motiviert - ziemlich unbiologisch, aber das strte uns abstrakte
Denker nicht weiter. Wenn man die groen und die kleinen Karnickel
schn brav immer Tochter neben Mutter stellt, entsteht nmlich das,
was man mit Fug als einen eindimensionalen Quasikristall bezeichnen
kann (Denise Dudek). Ihr httet's erleben knnen beim Abschlussabend,
wenn ihr nicht so ungeduldig gewesen wrt ... Steffen Fuchs hat uns
dann in die hochdimensionalen Rume eingefhrt, uns vor allem die
Benutzung der Krcken (Vektoren, Matrizen und so Zeug) erklrt, mit
denen man sich dort mhsam vorantastet. Vorstellen kann man sich ja
nicht mehr viel, auch das Herumgehampel mit rotierenden
Schultischen hilft nur wenig. Und damit man sieht, dass dieser
abstrakte Kram auch mit sehr konkretem Geld zu tun hat, hat uns
Christian Schmaltz etwas zur linearen Optimierung erzhlt: Die
Isoprofitable schneidet die Roggen- und die Weizenachse und
vielleicht noch ganz viele andere Achsen im hochdimensionalen Raum.
Britta Spth hat von einer anderen Seite an das Thema herangefhrt:
Was gibt es fr Pflasterungen der Ebene, und wie kann man einen
berblick ber sie gewinnen? Symmetriegruppen sind ein wesentliches
Hilfsmittel. Eine Dimension hher hat uns Natalie Wood die
platonischen Krper vorgestellt. Nicht weil wir den Raum damit
pflastern wollten, sondern weil die beiden groen , Dodekaeder und
Ikosaeder, meistens ihre Finger im Spiel haben, wenn im Raum etwas
eine fnfzhlige Symmetrie hat. Robert Kremser ist dann mit der ihm
eigenen Furchtlosigkeit in beliebig hohe Dimensionen aufgestiegen.
Wenn da lauter Punkte gitterartig angeordnet sind - wie in einem
echten kubischen Kristall -, und jeder besteht eiferschtig auf
seiner Privatsphre, dann sind diese Privatsphren (offiziell:
Voronoizellen) eben eine Zerlegung (Pflasterung) des Raums, auch
wenn der fnfdimensional ist. Fnfdimensionaler Camembert hat eine
vierdimensionale Schimmelschicht - muss man sich ehmt dran jewhnen.
Wie kommt man nun von der Regelmigkeit des kubischen Gitters auf
diese merkwrdige Quasiperiodizitt? Indem man einen geeigneten
Ausschnitt des Gitters einen geeignet - schn irrational, -mig -
ausgewhlten Schatten werfen lsst. Das ist das
Streifenprojektionsverfahren, das uns Sabine Fischer erklrt hat.
Marina Galovic hat dazu den Formalismus der atomaren Hyperflchen
gebracht. Ist eigentlich genau dasselbe, sagt der Mathematiker.
Hinterher, wenn er's begriffen hat ... Wenn man's begriffen hat,
muss man auch nicht mehr unbedingt in die hheren Dimensionen
steigen. Mit dem Gridformalismus kriegt man quasiperiodische Muster
elegant in dem Raum erzeugt, in dem sie liegen. Florian Fuchs hat
uns das mit einem selbstgeschriebenen Programm eindrucksvoll
vorgemacht. Dann wurde es allmhlich physikalisch. An den Ecken der
Rauten oder Parallelepipede (das ist etwas ganz Schrges) stellen
wir uns Atome vor, und was machen die Atome? Sie flippen rum. Wenn
man nmlich den Streifen vom Streifenprojektionsformalismus ein
bisschen verschiebt oder krummbiegt, tauschen ein groes und ein
kleines Karnickel die Pltze, oder in einem Quasikristall ndert sich
lokal die Anordnung der Bausteine; das luft darauf hinaus, dass ein
Atom ein Stckchen beiseite rckt - flipp. Wenn das viele Atome
machen, knnen sie ziemlich weit durch den Quasikristall (immerhin
einen Festkrper) durchdiffundieren. Christiane Dargatz erzhlte uns
das - und flippte nach Amerika. Aber wenn ein Quasikristall erst
heranwchst: Woher wissen die Atome, wo sie hinsollen? Das wissen
die Physiker auch noch nicht so genau. Aber Dennis Kirchhoff hat
uns die interessantesten Erklrungsversuche vorgetragen. Und wir
haben am vorletzten Tag im Speisesaal einen Quasikristall in zwei
Dimensionen durch Anlagern aufgebaut. Was ist Selbsthnlichkeit?
Wenn man kariertes Papier nimmt, jede zweite (waagerechte und
senkrechte) Linie entfernt und das Ganze auf die Hlfte verkleinert,
kommt dasselbe raus wie zu Anfang. Das ist langweilig; aber diese
Eigenschaft der Selbsthnlichkeit vererbt sich, wenn man es
geschickt anstellt, auf den zweidimensionalen Schatten von
fnfdimensionalem kariertem Wasweiich. Und in dem Schatten - dem
Penrose-Muster und anderen - ist sie auf einmal spannend (Paul
Bruhn). Vor lauter Quasikristallen htten wir fast vergessen, wie
gewhnliche Kristalle aus Atomen aufgebaut sind. Anne Mller-Lohmann
hat uns auf die Sprnge geholfen. Und zum krnenden Abschluss hat uns
Matthias Hullin erklrt, wie echte Quasikristalle so sind und wie
man ihrer Struktur mit Rntgenbeugung auf die Schliche kommt. Da war
doch noch was? Wir haben PostScript gelernt, diese Mixtur aus
Datenformat und Programmiersprache, mit der man so elegant
Selbsthnliches programmieren kann. Und wir wollten die
Penrose-Parallelepipede handgreiflich herstellen, aus Holz. Aus
Pappe haben wir ja allerlei hingekriegt; aber die Kltze! Die dicken
sind ganz ordentlich geworden; aber fr die dnnen hat dann die -
eigentlich sehr edle - Kreissge samt Tisch doch nicht gereicht. Die
Ballade von den Kltzken erzhlt die traurige Geschichte - aber wir
geben nicht auf. Vielleicht knnen wir zum Nachtreffen echte
Penrose-Rhomboeder anbringen. Der Goldene Schnitt und damit
verbundene Erscheinungen(Stephan Reitmeier) In der Mathematik
bezeichnet der Goldene Schnitt eine geometrische Proportion (=
Verhltnis). Definition: "Sei AB eine Strecke. Ein Punkt S von AB
teilt AB im Goldenen Schnitt, falls sich die grere Teilstrecke zur
kleineren Teilstrecke so verhlt wie die Gesamtstrecke zum greren
Teil." Formelschreibweise: M(ajor) / m(inor) = a / M M = grerer
Teil, m = kleinere Teilstrecke, a = Gesamtstrecke Das Verhltnis M /
m hat den Wert (1+5)/2 = 1,618 033 59... und wird im Allgemeinen
(=tau) genannt. Beweis : a / M = M / m mMam = M2Setze ein: a = (m +
M)M / m + 1 = (M / m)2(M / m)2 - M / m - 1 = 0 quadratische
Gleichung fr (M / m) mit zwei Lsungen.Die positive Lsung der
Gleichung ist . Daraus ergeben sich zwei wichtige Formeln fr , die
wir spter immer wieder brauchen: 2 = + 11 / = 1 - Nach so viel
Theorie sind hier zwei einfache Konstruktionsmglichkeiten zum
Selbstausprobieren. 1) Sei AB eine Strecke mit der Lnge a. a)
Errichte das Lot in B mit BC = a / 2. b) Kreis um C mit Radius BC.
Schnittpunkt mit AC ist D. c) Kreis um A mit r = AD. Schnittpunkt
mit AB ist S. 2) Sei AB eine Strecke mit der Lnge a. a) Errichte
das Lot in A mit AC = a / 2. b) Kreis um C mit Radius CB.
Schnittpunkt mit AC ist D. c) Kreis um A mit r = AD. Schnittpunkt
mit AB ist S.Das PentagrammDer Goldene Schnitt selbst tritt am
eindrucksvollsten beim regulren Fnfeck in Erscheinung: Alle Seiten
sind gleich lang und alle Innenwinkel gleich gro, nmlich 108. Die
Diagonalen sind ebenfalls gleich lang und teilen sich paarweise im
Goldenen Verhltnis. Der lngere Diagonalenabschnitt ist so lang wie
eine Seite: Diagonale und Seite stehen im Verhltnis zueinander.
Verlngert man die Seiten, bis sie sich schneiden, so entsteht das
Sternfnfeck, auch Pentagramm genannt. Es ist (bis auf eine
Spiegelung) die 2-fache Vergrerung des Pentagramms, das aus den
Diagonalen des ursprnglichen Fnfecks besteht. Das gleichschenklige
Dreieck, bei dem die Schenkel mal so lang sind wie die Basis, nennt
man goldenes Dreieck. Jede Sternspitze des Pentagramms ist ein
goldenes Dreieck. Das Rechteck mit dem Seitenverhltnis / 1 heit
goldenes Rechteck. Beim regulren Ikosaeder (vgl. Platonische Krper
von Natalie Wood) bilden zwei parallele Kanten jeweils die kurzen
Seiten eines solchen Rechtecks. Zur Historie des Goldenen
SchnittesVon einigen Historikern wird angenommen, dass die
Pythagoreer - Anhnger der Schule des Pythagoras - im 5. Jahrhundert
v. Chr. als erste mit Hilfe des Goldenen Schnittes inkommensurable
Strecken entdeckten. Diese Strecken sind die geometrischen
quivalente der irrationalen Zahlen. Seit der Antike waren Knstler,
Philosophen und Mathematiker vom Goldenen Schnitt fasziniert. Dabei
hatte er in der antiken Welt noch keinen Namen. Erst spter wurde er
dann mit "proportio habens medium et duo extrema" (das heit so viel
wie: "Teilung im ueren und mittleren Verhltnis") beschrieben. Wegen
des sthetischen Eindrucks auf den Betrachter wird er in der
Architektur usw. seit der Renaissance auch harmonische Teilung
genannt. Hippasos, der Sohn des Pythagoras, erforschte als einer
der ersten den Zusammenhang mit dem Fnfeck. Die Pythagoreer maen
ihm geheimnisvolle Krfte und Eigenschaften zu. So wurde auch das
Pentagramm Symbol der Gesundheit und Zeichen der Bruderschaft. Die
symbolische Kraft des Pentagramms wird besonders im Mittelalter
sichtbar. Der Drudenfu galt als Hexenschutzzeichen und wird sogar
in Goethes "Faust" aufgegriffen. Fr die Konstruktion verwendete man
damals den sog. Goldenen Zirkel, ein mechanisches Instrument, mit
dem man den Goldenen Schnitt bestimmen und berprfen kann. Daher
fand er vor allem in Schreinereien Verwendung. Die
Fibonacci-FolgeEine andere enge Verbundenheit mit dem Goldenen
Schnitt zeigt auch die Fibonacci-Folge. Der italienische
Mathematiker Leonardo Fibonacci (1170-1240) wurde in Pisa geboren
und erlernte in Algerien indische Zahlzeichen und arabische
Berechnungsmethoden. Die Zahlen der nach ihm benannten Folge sind
in der Mathematik weit verbreitet und finden sich auch in der Natur
wieder, zum Beispiel beim Wachstum von Blattanlagen. Definition:
Eine Fibonacci-Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied
gleich der Summe aus den zwei vorhergehenden Gliedern ist: 1, 1, 2,
3, 5, 8, 13, 21, usw. Man veranschaulicht diese Folge besonders
gern mit Kaninchen. Man betrachtet dazu die Nachkommenschaft eines
Kaninchenpaares unter folgenden Voraussetzungen: 1) Jedes Kaninchen
wird im Alter von 2 Monaten gebrfhig. 2) Jedes Paar bringt jeden
Monat ein neues Paar zur Welt. 3) Alle Kaninchen leben ewig. In
Formeln: fn+2 = fn+1 + fn oder auch fn = fn-1 + fn-2. Damit lsst
sich ausrechnen, wieviel Nachkommen ein Kaninchenpaar nach einer
bestimmten Anzahl von Monaten hat. Diese Definition ist rekursiv,
weshalb die Voraussetzung f1 = 1 und f2 = 1 zur vollstndigen
Definition ntig ist. Was hat das aber mit dem Goldenen Schnitt zu
tun? Sehr viel, wie ihr bald sehen werdet. Berechnet man den
Quotienten zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder fn+1 / fn , so
merkt man, dass sich dieser immer mehr an = (1+5)/2 annhert. Der
Goldene Schnitt tritt an verschiedenen Stellen in Natur,
Architektur und Kunst auf. NaturHier zeigen die Phyllotaxis
(Blattanordnung) sowie die Verstelungen enge Verwandtschaft mit der
harmonischen Teilung. "Der Goldene Schnitt ist das Grundprinzip
aller, nach Schnheit drngenden Gestaltung im Reich der Natur, (...)
der die vollkommene Realisation erst im Menschen erfahren hat." (A.
Zeisnig) Architektur/KunstDieses Prinzip der Schnheit wurde u. a.
in Bauwerken der Antike umgesetzt. Als Beispiel ist das Parthenon
auf der Akropolis, bei dem sich Vorderfront, Kapitell und Geblk in
ein goldenes Rechteck einordnen, zu nennen (447-432 v. Chr. unter
Perikles erbaut). Die Knigshalle in Lorsch (770 n. Chr.) sowie der
Dom von Florenz sind Anwendungsbeispiele goldener Proportionen.
Trotzdem erlebte der Goldene Schnitt seine Blte erst in der
Renaissance, wo er neben der Architektur auch in der Malerei
verwirklicht wurde. Leonardo da Vinci, Albrecht Drer, Georges
Seurat oder auch Piet Mondrian sind nur eine kleine Zahl derer, die
ihn in ihren Werken verewigten. Mchte man jedoch alles ansprechen,
msste man auch Literatur, Musik, Medizin... und vieles mehr
behandeln, wodurch man erkennt, wie dieses Prinzip doch
jahrhundertelang bewusst oder intuitiv das Leben der Menschen
bestimmte. Literatur A. Beutelspacher, B. Petri: Der Goldene
Schnitt. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996. Ian
Stewart: Sie liebt mich, sie liebt mich nicht. Spektrum der
Wissenschaft, Mai 1996, S. 14. Zum Goldenen Schnitt und zur
Fibonacci-Folge(Christoph Pppe) Ein Experimentalphysiker, ein
theoretischer Physiker und ein Mathematiker werden jeder hungrig in
eine Zelle gesperrt, mit nichts als einer verschlossenen Blechdose:
Hering in Tomatensoe oder so. Am nchsten Morgen sieht man nach, wie
jeder sein Problem bewltigt hat. - Die Zelle des
Experimentalphysikers ist bel zugerichtet: berall Macken in der
Wand vom Aufprall der Dose, von verschiedenen Stellen der Decke
tropft die Soe, aber der Gefangene fummelt glcklich mit dem Finger
den Fisch aus der Dose. - Der theoretische Physiker speist
ebenfalls, aber seine Zelle sieht besser aus. Er hat nmlich zuerst
umfangreiche Flugbahnberechnungen angestellt und dann sein Ziel mit
einem einzigen wohlgezielten Wurf erreicht. - Der Mathematiker
sitzt vor der geschlossenen Dose - und ist ebenfalls glcklich, denn
er sagt: Angenommen, diese Dose wre offen ... Wie beweist man, dass
der Quotient fn+1/fn aufeinanderfolgender Glieder der
Fibonacci-Folge gegen strebt? Gib der Folge der Quotienten zunchst
einen Namen: qn = fn+1/fn. Um zu beweisen, dass qn gegen strebt (in
Formeln: qn fr n oder auch limn qn = ), versuche zunchst, etwas
Brauchbares ber qn rauszukriegen: Bildungsgesetz oder so. Das
einzige, was du zur Verfgung hast, ist die Rekursionsformel fn =
fn-1+fn-2. Munter drauflos: qn = fn+1fn= fn+fn-1fn= 1 + fn-1fn= 1 +
1 qn-1Das ist ein brauchbares Bildungsgesetz fr qn. Jetzt wende das
Fischdosenprinzip an: Angenommen, die Folge qn htte einen
Grenzwert. Dann knnte es erstens nur einer sein (das ist immer so
bei Grenzwerten); nennen wir ihn q. Zweitens msste er die Gleichung
q = 1+1/q erfllen. (Gehe auf beiden Seiten der obigen Gleichung zum
Grenzwert ber.) Das ist eine quadratische Gleichung fr q; eine der
beiden Lsungen ist , die andere -1/ , die scheidet sofort aus, weil
der Quotient nie negativ ist. Also: Wenn die Folge qn einen
Grenzwert hat, kann es nur sein. Hat sie einen Grenzwert? Ja. Das
kann man zum Beispiel beweisen, indem man nachrechnet, was mit den
Differenzen aufeinanderfolgender qn passiert (wieder das
Bildungsgesetz einsetzen, aufn Hauptnenner bringen): qn - qn-1 = 1
qn-1- 1 qn-2= qn-2 - qn-1qn-1qn-2Was sieht man? Die Differenz
wechselt jedesmal das Vorzeichen, wenn n eins grer wird, und vor
allem wird sie mit jedem Schritt immer kleiner, denn was da im
Nenner steht, ist sptestens ab n = 2 deutlich grer als (3/2)2. Also
geht die Differenz gegen null (und zwar mindestens so schnell wie
eine geometrische Folge), und sie wechselt dauernd das Vorzeichen,
dann bleibt der Folge qn nichts brig, als zu konvergieren
(Leibniz-Kriterium). Wenn man ein bestimmtes Glied fn der
Fibonacci-Folge ausrechnen will, hat aber keine Lust, die
Rekursionsformel anzuwenden, weil das fr groe n eine tierische
Rechnerei wird, kann man die Binetsche Formel anwenden: fn = 15(n -
(- )-n)Wie kommt man dadrauf? Wieder Fischdosenprinzip. Ignoriere
vorlufig die Anfangsbedingungen f1 = 1, f2 = 1 und nimm an, du
httest eine Lsung fr die Rekursionsgleichung fn = fn-1+fn-2, aber
in besonders einfacher Form: fn = zn mit vorlufig noch unbekanntem
z (geometrische Folge). Welchen Wert msste dann z haben? Einsetzen:
zn = zn-1+zn-2Die Mglichkeit z = 0 bringt nichts, also dividiere
durch zn-2: z2 = z+1Die kennen wir doch schon! Das ist die
quadratische Gleichung mit den Lsungen und -1/ . Also: n und (- )-n
sind Lsungen der Rekursionsgleichung. Na schn. Aber es gibt noch
mehr. Die Rekursionsgleichung ist nmlich linear. Wenn man eine
Folge, die die Rekursionsgleichung lst, mit einem konstanten Faktor
multipliziert oder zwei solcher Folgen (Glied fr Glied) addiert,
kommt wieder eine Lsung raus: Alles, was die Form an + b (- )-n
hat, lst die Rekursionsgleichung. Jetzt kriegen wir die Fischdose
endgltig auf. Whle a und b so, dass die bislang ignorierten
Anfangsbedingungen erfllt sind: f1 = a+ b(-1/ ) = 1f2 = a2 + b(1/
)2 = 1Zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten a und b, kommt raus
(nach lstiger Rechnerei mit , 2 und so weiter): a = 15, b =
-15Also: fn = 15(n - (- )-n),quod erat demonstrandum. Ziemlich
verrckt eigentlich: Die Formel verknpft lauter irrationale Gren wie
und 5, und heraus kommt fr jedes n etwas Ganzzahliges! Wieso
funktioniert der Trick mit dem Ansatz fn = zn eigentlich? Weil die
Rekursionsgleichung fn = fn-1+fn-2 linear ist, das heit, Lsungen
der Rekursionsgleichung darf man addieren und mit einem konstanten
Faktor multiplizieren. Deswegen kann man nmlich jede Lsung der
Rekursionsgleichung, insbesondere die Fibonacci-Folge selbst, aus
diesen besonders einfachen Lsungen (den Basislsungen)
zusammensetzen. Es mssen halt genauso viele freie Parameter (im
Beispiel a und b) zur Verfgung stehen, wie Bedingungen (im
Beispiel: f1 = 1, f2 = 1) zu erfllen sind. Denn ein lineares
Gleichungssystem ist im allgemeinen genau dann lsbar, wenn es
genauso viele Gleichungen hat wie Unbekannte. Allgemein gilt: Wenn
das Wesentliche, was man in der Hand hat, eine Rekursionsformel
ist, dann ist das Schnste, was man damit machen kann, ein
Induktionsbeweis. Das hat uns Britta eindrucksvoll vorgemacht. Die
Aufgabe lautet: Beweise, dass fkn ein ganzzahliges Vielfaches von
fn ist, oder, was auf dasselbe hinausluft: Jede n-te Fibonacci-Zahl
ist ein Vielfaches von fn. Die Aufgabe steht auf einer von drei
sehr ergiebigen (englischen) Websites zum Thema: Fibonacci Numbers
and the Golden Section, The Mathematics of the Fibonacci series und
Easier Fibonacci puzzles. Beweis durch Induktion (von Britta):
Beweise zunchst eine Hilfsbehauptung: fn = fi+1 fn-i + fi fn-i-1 fr
i = 1,2,..., n-2und zwar ebenfalls durch Induktion. Das Prinzip
ist: Beweise die Behauptung fr den Spezialfall i = 1
(Induktionsanfang); beweise dann, dass man unter der Voraussetzung,
dass sie fr irgendein i gilt, ihre Gltigkeit fr i+1 schlieen kann
(Induktionsschritt). Dann hast du sie fr alle i = 1,2,... bewiesen.
Du hast nmlich einen Aufhngepunkt fr eine Kette bereitgestellt und
eine Anweisung, eine bereits vorhandene Kette um ein Glied zu
verlngern. Damit kannst du beliebig lange Ketten konstruieren.
Jetzt geht's aber los. Induktionsanfang: Die Hilfsbehauptung fr i =
1 lautet fn = f2 fn-1 + f1 fn-2. Aber f1 = f2 = 1, also steht da
nichts weiter als die Rekursionsformel, und die ist offensichtlich
richtig. Induktionsschritt: Es ist zu beweisen (setze i+1 an die
Stelle von i): fn = f(i+1)+1 fn-(i+1) + fi+1 fn-(i+1)-1Forme die
rechte Seite der Behauptung um: ... = fi+2 fn-i-1 + fi+1
fn-i-2trickreich denselben Term einmal addieren und wieder
subtrahieren:= fi+1 (fn-i-1 + fn-i-2) + (fi+2 -
fi+1)fn-i-1Rekursionsformel anwenden: fn-i-1 +fn-i-2 = fn-i und
fi+2 - fi+1 = fi= fi+1 fn-i + fi fn-i-1= fn nach
Induktionsvoraussetzung, denn das ist gerade die Hilfsbehauptung fr
i.Das war's schon fr die Hilfsbehauptung. Jetzt die Behauptung
selbst, zu beweisen durch Induktion ber k. Induktionsanfang: Fr k =
1 ist zu zeigen: fn ist ein Vielfaches von fn. Das ist
offensichtlich richtig. Induktionsschritt: Es ist zu zeigen, dass
f(k+1)n ein Vielfaches von fn ist. Forme f(k+1)n um, indem du die
Hilfsbehauptung fr i = n anwendest: f(k+1)n = fn+1 f(k+1)n-n + fn
f(k+1)n-1Der zweite Summand ist offensichtlich ein Vielfaches von
fn (steht ja da). Der erste Summand ist ein Vielfaches von fn, denn
nach Induktionsvoraussetzung ist f(k+1)n-n = fkn ein Vielfaches von
fn. Also ist die Summe ein Vielfaches von fn. Fertig!
Eindimensionale quasiperiodische Ketten(Denise Dudek) I. Die
Fibonacci-KetteDie Fibonacci-Kette ist ein Beispiel fr eine
eindimensionale quasiperiodische Kette, die auf Fibonacci
zurckgeht. Fibonacci war der grte Mathematiker Europas im
Mittelalter. Sein eigentlicher Name war Leonardo Pisano, das heit
Leonardo von Pisa, benannt nach seinem Geburtsort. Der Name
Fibonacci lsst sich aus dem Lateinischen von filius Bonacci, was so
viel bedeutet wie Sohn des Bonacci, ableiten. Fibonacci war einer
der ersten, die das hindu-arabische Zahlensystem, das bei uns heute
gebruchlich ist, in Europa einfhrten. Bekannt ist er heute vor
allem auf Grund der nach ihm benannten Fibonacci-Folge bzw.
Fibonacci-Kette. Die Fibonacci-Kette besteht aus zwei verschiedenen
Elementen (z. B. L und S). Gestartet wird mit einem Baustein S. Die
Kette wird dann nach folgender Substitutionssequenz aufgebaut: S L
LLS (heit: wird im nchsten Schritt ersetzt durch) Die Gesamtzahl
aller Bausteine im n-ten Schritt ist die Fibonaccizahl fn. Ein
mglicher Aufbau der Kette she wie folgt aus: S f1 = 1L f2 = 1LS f3
= 2LSL f4 = 3LSLLS f5 = 5LSLLSLSL f6 = 8LSLLSLSLLSLLS f7 = 13...
Eine hbsche Mglichkeit, sich die Fibonacci-Kette zu
veranschaulichen, geht auf Fibonacci selbst zurck: die
Vermehrungsrate von Kaninchen, die allerdings einige biologische
Aufflligkeiten aufweisen:a) ihre Lebensdauer ist unendlichb) es
werden nur weibliche Kaninchen geboren (Genmanipulation?)c) die
weiblichen Kaninchen vermehren sich von selbstDoch nun zum
Kaninchenproblem: Ein junges Kaninchen S (small) braucht ein Jahr,
um ein geschlechtsreifes Kaninchen L (large) zu werden. Danach
produziert es jedes Jahr wieder ein junges Kaninchen S, und man
erhlt wieder die obige Abfolge (siehe Bild; das Bild handelt
allerdings von Kaninchenpaaren statt Kaninchen). An dem obigen
Beispiel sieht man auch, dass fr die gesamte Kette folgende
Rekursion gilt: fn = afn-1 + bfn-2 , wobei a = b = 1 . Das heit,
dass jedes fn die Summe seiner beiden Vorgnger ist. Diese Rekursion
stellt eine andere Mglichkeit dar, die Fibonacci-Kette zu erzeugen.
Dabei wird an jede bisherige Kette deren Vorgnger angehngt und
somit die neue Kette gebildet. Bei der Fibonacci-Kette laufen beide
Erzeugungsverfahren auf dasselbe hinaus. Das ist nicht bei allen
Ketten so! Mit diesem Vorwissen lsst sich nun die relative
Hufigkeit der Anzahl der L im Verhltnis zur Anzahl der S fr n
berechnen. Dazu muss man wissen, wie man #(L) bzw. #(S) berechnen
kann (# steht fr Anzahl). Dies erfolgt nach folgender Rekursion:
#(L)n+2= fn + fn-1 = fn+1#(S)n+2= fn-1 + fn-2 = fn(vergleiche den
Beitrag von Stephan Reitmeier). Die relative Hufigkeit ist also im
Grenzwert #(L)#(S)=limn #(L)n+2#(S)n+2=limn fn+1fn= = 1 + 52(fr
Zahlenfetischisten: =
1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135...). Da
sich #(L) und #(S) wie zueinander verhalten, das heit in einem
irrationalen Verhltnis zueinander stehen, kann die Fibonacci-Kette
nicht periodisch sein. II. Die Octonacci-KetteEine andere
eindimensionale quasiperiodische Kette ist die Octonacci-Kette. Sie
heit so, weil sie in oktagonalen Mustern eine Rolle spielt. Fr sie
gilt folgende Substitutionssequenz: S L LLLS Daraus ergibt sich
dann folgender Aufbau: S L LLS LLSLLSL LLSLLSLLLSLLSLLLS
LLSLLSLLLSLLSLLLSLLSLLSLLLLSLLSLLLSLLSLLSL Auch die Octonacci-Kette
kann durch die Rekursion fn = afn-1 + bfn-2 aufgebaut werden, aber
diesmal mit a = 2 und b = 1. Das Verhltnis der Bausteine #(L) /
#(S) geht nun gegen = 1 + 2. Diese Zahl wird auch als Silberne Zahl
oder Octonacci-Zahl bezeichnet. Genauso kann man jetzt fr a und b
beliebige ganze Zahlen einsetzen und so noch eine unendliche Anzahl
anderer Ketten erzeugen, worauf ich an dieser Stelle nicht nher
eingehen will, da im Wesentlichen nur die Fibonacci- und die
Octonacci-Kette von grerer Relevanz sind. Die Fibonacci-Kette lsst
sich gut im zweidimensionalen Punktgitter Z2 veranschaulichen. Ein
Einheitsschritt in x-Richtung stellt dabei ein Element L dar, ein
Einheitsschritt in y-Richtung ein Element S. Nun trgt man nach
diesem Schema die Bausteine der Fibonacci-Kette in dieses Gitter
ein. Dabei wird man frher oder spter feststellen, dass sich der so
dargestellte Pfad einer bestimmten Steigung annhert. Diese Steigung
hat den Wert -1. Es wird also eine irrationale Steigung durch einen
Quotienten ganzer Zahlen approximiert (Bild links). Ebenso lsst
sich auch die Octonacci-Kette darstellen. Die Steigung dieses
Pfades approximiert den Wert -1 (Bild rechts). Vektor- und
Matrizenrechnung, rumliche Koordinatentransformation(Steffen Fuchs)
Was ist ein Vektor?Wenn man ihn abstrakt definieren will, ist ein
Vektor eine einfache Zeilen- oder Spaltenstruktur, die mit Zahlen
gefllt ist. So ist zum Beispiel a = (a1, a2, ...,an) ein
Zeilenvektor und b =
b1b2:bn_
,ein Spaltenvektor, wobei der Unterschied in der Regel erst bei
Matrizenrechnung bedeutend wird. Anschaulich kann man sich einen
Vektor als etwas vorstellen, das nicht nur eine Lnge, sondern - ber
die Angabe der Anteile entlang der Koordinatenachsen - auch eine
Richtung hat. So gibt zum Beispiel c = ( 1, 2, 3 ) einen Punkt mit
den Koordinaten x = 1, y = 2 und z = 3 oder eine Verschiebung um
eine Einheit in x-, zwei in y- und drei in z-Richtung an. Deswegen
pflegt man den Vektorpfeil ber den Buchstaben fr den Vektor zu
machen, jedenfalls wenn nicht von vornherein klar ist, dass es sich
um einen Vektor handelt. VektorrechnungVektoren gleicher Dimension
und gleicher Art knnen komponentenweise addiert und subtrahiert
werden. So ergibt sich zum Beispiel aus a = (10, 20, 30) und b =
(6, 8, 3) die Summe a + b = (16, 28, 33) und die Differenz a - b =
(4,12, 27). Der Betrag eines Vektors a = (a1, a2, ..., an) ergibt
sich nach dem Satz des Pythagoras zu a= a12 + a22 + + an2. Zum
Beispiel ist der Betrag von a = (5,7,13) gleich a= 52+72+132 = 243.
Vektoren knnen auch multipliziert werden, und zwar auf verschiedene
Arten, wobei hier nur das sogenannte Skalarprodukt erwhnt wird. Man
schreibt das Skalarprodukt von a und b als a b oder a b . Die
Vektoren a und b mssen auch in diesem Fall gleich viele Elemente
besitzen. Das Skalarprodukt von a = (a1, a2, , an) mit b = (b1, b2,
, bn) ist a b = a1b1 + a2b2 + + anbn. Das Ergebnis ist also eine
Zahl (ein Skalar) und kein Vektor. Die Schreibweise mit den spitzen
Klammern hat P. A. M. Dirac in die Physik eingefhrt. Er schreibt
einen Zeilenvektor als aund nennt ihn "bra", einen Spaltenvektor
als bund nennt ihn "ket" . Zusammen sind sie - na klar - ein
"bracket" (Klammer). Zeilen- mal Spaltenvektor, als Matrizenprodukt
(s. u.) aufgefasst, ist nmlich dasselbe wie das Skalarprodukt. Eine
einfache Anwendung ist die Formel fr die mechanische Arbeit, wenn
Kraft und Weg nicht parallel sind: W = F s. Eine besondere
Eigenschaft des Skalarprodukts ist, dass es fr aufeinander
senkrechte Vektoren 0 wird. Man kann einen Vektor auch mit einer
Zahl multiplizieren, also Vielfache bilden, indem man jedes Element
des Vektors mit multipliziert. N Vektoren, die linear unabhngig
sind, das heit, dass keiner von ihnen durch Vielfache der anderen
ausgedrckt werden kann, spannen einen N-dimensionalen Raum auf; sie
heien dann Basisvektoren des Vektorraums RN. Jeder andere Vektor
dieses Raumes kann als Linearkombination, das heit als Summe von
Vielfachen der Basisvektoren, dargestellt werden. Zum Beispiel
spannen die blichen Einheitsvektoren e1 =
100_
,, e2 =
010_
,und e3 =
001_
,den bekannten 3-dimensionalen Raum auf. In der Regel versucht
man Basisvektoren eines Vektorraums so festzulegen, dass sie
aufeinander senkrecht stehen (das Skalarprodukt verschiedener
Basisvektoren ist stets 0) und normiert sind (die Lnge jedes
Basisvektors ist 1). MatrizenMatrizen sind rechteckige
Zahlenanordnungen der folgenden Art: A =
a11a21:am1a12a22:am2a1na2n:amn_
,Die Zahlen aij innerhalb der Matrix heien ihre Elemente oder
Koeffizenten, und deren Indizes geben die Zeilen- und die
Spaltennummer (in dieser Reihenfolge) an. Man kann Matrizen in
Zeilen- und Spaltenvektoren zerlegen, indem man sich eine Zeile
bzw. Spalte der Matrix herausgreift. Zum Beispiel ist der i-te
Zeilenvektor Ai = (ai1, ai2, ai3,, ain). Eine wichtige Matrix ist
die sogenannte Einheitsmatrix I =
10:001:000:1_
,Matrizen knnen genau wie Vektoren elementweise addiert,
subtrahiert und mit einer Zahl multipliziert werden, wobei genau
wie bei Vektoren Zeilen- und Spaltenanzahl bereinstimmen mssen.
Wenn man Matrizen miteinander multiplizieren will, so muss die
Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der
zweiten Matrix sein, man kann also zum Beispiel eine (m n)-Matrix
(das heit m Zeilen und n Spalten) mit einer (n p)-Matrix
multiplizieren. Daran sieht man auch, dass die Matrizen bei der
Multiplikation in der Regel nicht vertauscht werden drfen. Falls
man in der misslichen Lage ist, so etwas von Hand ausrechnen zu
mssen, verwendet man am besten das Schema von Falk. Dazu zeichnet
man sich ein Kreuz, trgt die erste Matrix links unten, die zweite
rechts oben ein. |||||
b11b21:bn1b12b22:bn1b1pb2p:bnp_
,
a11a21:am1a12a22:am1a1na2n:amn_
,|||||
c11c21:cm1c12c22:cm1c1pc2p:cmp_
,Das Produkt der beiden Matrizen steht rechts unten; es hat m
Zeilen und p Spalten. Die cij errechnen sich so: cij = nk = 1
aikbkj = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnjFr die Einheitsmatrix I und
eine beliebige Matrix A gilt dabei: I A = A I = A, d. h. Matrizen
bleiben bei Multiplikation mit der Einheitsmatrix unver&ndert.
Wenn man eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren will, wird der
Vektor als einzeilige oder (meistens) als einspaltige Matrix
betrachtet. Deshalb ist es entweder m&glich, einen Zeilenvektor
mit einer Matrix oder eine Matrix mit einen Spaltenvektor zu
multiplizieren. Dabei entsteht als Produkt ein Vektor, der dieselbe
Form wie der Ausgangsvektor hat. |||||
b1b2:bn_
,
a11a21:am1a12a22:am1a1na2n:amn_
|||||
c1c2:cm_
, ,R¨iche KoordinatentransformationDieses Produkt einer
Matrix mit einem Vektor kann man gut auf den dreidimensionalen Raum
anwenden, indem man dreizeilige Spaltenvektoren verwendet und als
Ortsvektoren im Raum interpretiert. Allgemein kann man eine
r¨iche Koordinatentransformation so aufschreiben: xneu = A
xalt + v, wobei xalt der Punkt im alten Koordinatensystem, xneu der
im neuen, A die Transformationsmatrix und v ein zus&tzlicher
Verschiebevektor ist. Beide Koordinatensysteme sind identisch, wenn
A die Einheitsmatrix und v der Nullvektor ist. Einfache
Verschiebungen realisiert man mit A = I und v je nach gewnschter
Verschiebung. Wenn man entlang der Koordinatenachsen strecken,
stauchen und / oder spiegeln will, verwendet man eine Matrix A
=
a000b000c_
,,wobei a die x-, b die y- und c die z-Achse beeinflusst. Wenn a
oder b oder c negativ sind, so wird die entsprechende Koordinate
gespiegelt, bei positiven Werten nicht. Wenn der Betrag grer als 1
ist, wird zustzlich gestreckt, wenn er kleiner als 1 ist, wird
gestaucht. Wenn er gleich 1 ist, bleibt die Koordinate bis auf
evtl. Spiegelung erhalten. Zur senkrechten Parallelprojektion kommt
man, wenn man a oder b oder c auf Null setzt. Fr a = 0 projiziert
man auf die y-z-Ebene (Seitenansicht), fr b = 0 auf die x-z-Ebene
(Frontansicht) und fr c = 0 auf die x-y-Ebene (Grundriss). Wenn
zwei der Werte 0 sind, projiziert man auf die brigbleibende Achse,
und wenn alles 0 ist, findet man anschlieend jeden Punkt im
Ursprung wieder. DrehungDrehen wir zunchst um die z-Achse. (Eine
Drehung um eine beliebig im Raum liegende Achse sieht nur
komplizierter aus, bringt aber keine neuen Erkenntnisse.) Dabei
verndert sich die z-Koordinate des Punktes nicht, sondern nur die
x- und y-Koordinate. Es ergibt sich folgende Matrix: A =
a11a210a12a2200 0 1_
,(die Zahlen a11, a12, a21, a22 kennen wir noch nicht). Aus den
Formeln fr das Produkt von Matrizen mit Vektoren ergibt sich: xneu
= a11xalt + a12yalt undyneu = a21xalt + a22yalt Aus dem Satz des
Pythagoras: x2neu + y2neu = x2alt + y2alt (die Lnge des Vektors
soll bei der Drehung unverndert bleiben) und aus dem Drehwinkel
erhlt man dann die endgltige Drehmatrix Az =
cos - sin0sin cos 0001_
,.Entsprechend ergibt sich fr die Drehung um die x- und y-Achse:
Ax =
1000cos - sin0sin cos _
, undAy =
cos 0- sin010sin 0cos _
,Aus den bis jetzt aufgefhrten Transformationen kann man
smtliche anderen, z. B. Drehschubstreckspiegelungen, durch
Hintereinanderausfhrung zusammensetzen. Dazu fhrt man (in der
richtigen Reihenfolge) die erste Transformation aus, berechnet also
aus den ersten xalt, yalt usw. die ersten xneu, setzt diese in die
zweite Transformation als xalt ein, berechnet wieder die xneu usw.
und setzt das solange fort, bis man die letzte Transformation
durchgegangen ist. Oder, wenn die Transformationen ohne
Verschiebungen sind, multipliziert man die 2. Transformationsmatrix
mit der 1., dann die 3. mit deren Produkt, dann die 4. mit deren,
usw. (Reihenfolge beachten !!) und erhlt eine Transformation, die
alle Teile enthlt. Man braucht dann nur noch diese auf jeden Punkt
anzuwenden. Es gibt zu allen Transformationen Umkehrungen, auer zu
solchen, bei denen danach alle Punkte in einer Ebene - oder gar auf
einer Geraden oder in einem Punkt - liegen, da dabei dann die
Information ber eine Koordinate verloren geht. Diese
Transformationen sind relativ leicht auf hherdimensionale Rume zu
bertragen, da auch dort jede Transformation aus Streckungen,
Spiegelungen, Drehungen und Verschiebungen zusammensetzbar ist.
Verstohlener Blick in die lineare Algebra(Christoph Pppe) Matrizen
spielen eine ungeheuer vielfltige Rolle. Koordinatentransformation
ist eine ihrer wesentlichen Beschftigungen. Auerdem knnen sie sehr
bequem lineare Gleichungssysteme darstellen. Ein allgemeines
lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten sieht
so aus: a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn =
b2:an1x1 + an2x2 + + annxn = bnDabei sind die xj die Unbekannten,
und die aij und die bj hlt man fr bekannt. Dasselbe kann man sehr
viel kompakter in Matrixschreibweise formulieren. Man definiere A
=
a11a21:an1a12a22:an2a1na2n:ann_
,, b =
b1b2:bn_
,und x =
x1x2:xn_
,und schreibt dasselbe Gleichungssystem kurz als Ax = b. Na
schn, aber was hat man davon? Bisher haben wir ja nichts weiter
getan als Abkrzungen eingefhrt. Interessant wird es, die Matrix in
einer anderen Rolle anzugucken, wenn die eine Rolle nichts mehr
einbringt. In diesem Falle ist es die Rolle als lineare Abbildung.
Eine Matrix A macht aus einem Vektor x einen anderen, nmlich Ax.
Sie ist also eine Abbildung (oder Funktion, was dasselbe ist) auf
dem Raum aller Vektoren (in diesem Falle dem Rn), und zwar eine
lineare Abbildung. Wie kann man sich das geometrisch vorstellen?
Jede Matrix bildet den Nullpunkt auf den Nullpunkt ab. Auerdem lt
sie Gerades gerade! Wenn also drei Punkte auf einer Geraden liegen,
dann gilt das auch fr ihre Bilder unter der Matrix. Wieso? Das
liegt an den beiden wesentlichen Rechenregeln fr Matrix mal Vektor,
nmlich A(x + y) = Ax + Ay und A( x) = Ax. Wenn die Gerade, auf der
die drei Punkte liegen, durch den Nullpunkt geht, ist es klar: Dann
sind die drei Vektoren vorher und nachher skalare Vielfache
voneinander. Wenn sie auf irgendeiner Geraden liegen, mu man mit
der Summe von Vektoren argumentieren. Aus einer Kugel mit
Mittelpunkt im Nullpunkt macht eine lineare Abbildung ein Ei. Kein
richtiges: Beide Enden sind gleich stumpf! Das Ei kann lang und dnn
werden wie eine Zigarre oder platt wie ein Smartie. Der richtige
Name ist Ellipsoid. brigens heit jede Abbildung linear, die die
beiden genannten Rechenregeln erfllt. Sie mu nicht auf Vektoren
wirken und auch nicht durch eine Matrix darstellbar sein.
(Allerdings ist jede lineare Abbildung des Rn durch eine Matrix
darstellbar.) Trotzdem kann man mit guter Aussicht auf Erfolg
versuchen, das, was man von Matrizen wei, auf allgemeine lineare
Abbildungen zubertragen. Darber freuen sich besonders die Vertreter
der Differential- und Integralrechnung, denn Differenzieren und
Integrieren sind lineare Abbildungen: Ableitung einer Summe ist
Summe der Ableitungen, einen konstanten Faktor darf man rausziehen,
und mit dem Integral geht das so hnlich. Es gibt eine betrchtliche
Vielfalt an linearen Abbildungen des Rn, sprich (n n)-Matrizen. Die
oben genannten Drehungen, Spiegelungen und Streckungen und ihre
smtlichen Kombinationen sind darunter. Diese Abbildungen sind (wenn
ein Streckfaktor nicht gerade 0 ist) smtlich widerruflich
(invertierbar): Aus dem Bild kann man das Urbild rekonstruieren.
Das heit insbesondere: In der Gleichung Ax = b findet man zum b das
x: Das Gleichungssystem ist lsbar! Es gibt aber auch
unwiderrufliche Abbildungen, zum Beispiel die oben genannten
Projektionen. Wenn eine Abbildung den ganzen R3 zu einer Ebene
(oder zu einer Geraden oder gar zum Nullpunkt) plattschlgt, ist das
nicht rckgngig zu machen. Aus einem Grundriss kann man das Haus
nicht rekonstruieren. Jede Projektion (mit Ausnahme der Identitt)
ist unwiderruflich, aber nicht jede unwiderrufliche Abbildung ist
eine Projektion. Was ist das Wesentliche an einer Projektion? Wenn
man sie zweimal hintereinander ausfhrt, tut sich an dem Bild nichts
mehr. Wenn ich eine Fliege mit der flachen Hand auf die Tischflche
projiziere, ndert der zweite Schlag nichts mehr am Zustand der
Fliege. Grundriss vom Grundriss bleibt Grundriss. Fr eine
Projektion P gilt P2 = P. (Dabei ist wie blich P2 eine
Kurzschreibweise fr PP. Matrixmultiplikation!) Jetzt kommt die
beliebteste (denk-)gymnastische bung der Mathematiker: der
Kopfstand. Wir stellen die Dinge auf den Kopf, indem wir aus einer
Beobachtung eine Definition machen. Aus dem Satz "Wenn P eine
Projektion ist, gilt P2 = P" machen wir "Wenn P2 = P ist, nennen
wir P eine Projektion." Was soll das? Erstens lsen wir uns von der
lstigen Realitt. Die komplizierten Verhltnisse von Licht und
Schatten bei parallelem oder weniger parallelem Lichteinfall waren
gut zur Inspiration, aber wir wollen uns davon nicht einengen
lassen. Zweitens- viel wichtiger: Wir erweitern den Begriff
Projektion auf Rume wie den Rn mit groem n, wo von Licht und
Schatten sowieso keine Rede sein kann. Und pltzlich - hokuspokus! -
bedeutet der Begriff der Projektion nicht mehr das, was uns
vertraut ist, sondern nur noch die Formel P2 = P. Mit der Geometrie
in hochdimensionalen Rumen geht das so hnlich. Wir beobachten im
gewhnlichen Raum: Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen,
ist ihr Skalarprodukt 0. Im Rn ist nicht mehr viel mit Beobachten.
Da definieren wir einfach: Senkrecht ist, wenn das Skalarprodukt 0
ist. Und siehe da, alle angenehmen Eigenschaften der
Rechtwinkligkeit bleiben uns erhalten. Das ist erstmal ungewohnt,
und man wei vor lauter Kopfstand nicht mehr, wo einem der Kopf
steht. (Deswegen bestehe ich ja so penetrant darauf, da die von
Euch formulierten Stze richtigrum stehen - auf dem Kopf oder auf
den Fen, je nachdem, was gerade angesagt ist. Ihr habt gelitten,
aber ich hoffe, nicht umsonst. Verzeiht mir!) Der Gewinn: Auf diese
Weise findet man sich dort, wo die Anschauung nicht mehr hinreicht,
nmlich in hochdimensionalen Rumen, noch einigermaen zurecht - wenn
auch nur mit der Krcke der Algebra. Und da wollen wir ja gerade
hin. Lineare Optimierung(Christian Schmaltz) Eigentlich hat das
Thema mit Quasikristallen nichts zu tun. Aber wir mssen innerhalb
dieses Kurses in hochdimensionale Rume vordringen. Der Ausflug
dorthin ist sehr mhsam, da (wie sich jeder vorstellen kann) das
rumliche Vorstellungsvermgen nicht mehr mitspielt. Um uns diesen
Ausflug etwas schmackhafter zu machen, bringe ich eine Anwendung
mit praktischer Relevanz: lineare Optimierung und insbesondere das
Simplex-Verfahren. Es geht um das Problem, begrenzte Ressourcen
optimal (das heit mit maximalem Gewinn) auszunutzen. Wie sollen
Tabak oder Kaffeemischungen aus begrenzten verfgbaren Rohstoffen
unterschiedlicher Qualitt zusammengesetzt werden? Soll ein Bauer
seine begrenzten Kapazitten eher in Weizen oder Roggen investieren?
Zur Erluterung werden wir nun ein einfaches, fiktives Beispiel
betrachten: Ein Bauer kann Weizen und Roggen anbauen. Fr ein
Kilogramm Weizen werden drei Quadratmeter Ackerland bentigt, whrend
Roggen mit zwei Quadratmeter Platz pro Kilogramm auskommt.
Allerdings muss man fr ein Kilogramm Weizen nur eine Stunde
arbeiten, whrend zur Herstellung eines Kilogramms Roggen zwei
Stunden Arbeit ntig sind. Ein Kilogramm Weizen bringt einen Gewinn
von drei Cent, ein Kilogramm Roggen einen Gewinn von vier Cent.
Wenn man nun 50m2 Ackerland besitzt und die Arbeitskrfte maximal 25
Stunden arbeiten, wieviel Weizen und Roggen soll man dann anbauen,
um den maximalen Gewinn zu erzielen? Um ein solches Problem zu
lsen, muss man zunchst die gegebenen Daten in (Un-)Gleichungen
fassen. Sei x die Menge an Weizen, y die Menge an Roggen (jeweils
in Kilogramm). Fr die Frage des Ackerlandes ergibt sich nun
folgende Ungleichung (die Einheiten wurden weggelassen): 3x + 2y 50
y 25 - 1,5x Die Gleichung y = 25 - 1,5x wird nun in ein
Koordinatensystem eingetragen (Abb. 1): Alle Punkte, die exakt auf
der Gerade liegen, beanspruchen nun smtliches zur Verfgung stehende
Ackerland. Punkte unterhalb der Gerade (schraffierter Bereich)
verwenden weniger Land, als zur Verfgung steht. Punkte aus diesen
beiden Bereichen heien zulssige Punkte. Die restlichen Punkte
entsprechen mehr Ackerland, als zur Verfgung steht, und sind
deshalb nicht zulssig. Natrlich wird nur der erste Quadrant des
Koordinatensystems verwendet, da kein negativer Weizen oder Roggen
angebaut werden kann. (Man kann auch sagen: Die Bedingungen x 0 und
y 0 gehren zum System.) Nun werden nacheinander alle Geraden fr die
restlichen Bedingungen eingetragen. In unserem Fall also die Gerade
x + 2y = 25 y = 12,5 - 0,5x: Die Gesamtheit aller Punkte, die jede
dieser Bedingungen erfllen, heit zulssige Menge (schraffierter
Bereich in Abb. 2). Nun stellt sich die Frage, wie eine zulssige
Menge im Prinzip aussehen kann. Es gibt weder Lcher (Abb. 3) noch
einspringende Ecken (Abb. 4), weil die Geraden, die fr das Loch
bzw. die einspringende Ecke verantwortlich sind, weitere Bereiche
herausgeschnitten htten. Es ergibt sich also ein konvexes Polygon.
Die exakte Form der zulssigen Menge einschlielich der Koordinaten
der Schnittpunkte der Geraden kann aus den in der Aufgabenstellung
gegebenen Informationen berechnet werden. Ein typisches Beispiel
zeigt Abbildung 5. Als nchstes stellt man den Gewinn als Funktion
dar (Gewinn = 3x + 4y) und zeichnet einen Reprsentanten der
Funktion in sein Koordinatensystem ein, zum Beispiel: 120 = 3x + 4y
y = 30 - 0,75x (vgl. Gerade a in Abb. 6) Die entstandene Gerade
nennt man eine Isoprofitable, d. h. eine Gerade konstanten Gewinns.
Sieht man sich den Graph der Gewinn-Funktion a an, bemerkt man,
dass kein Punkt der Geraden in der zulssigen Menge liegt. Fr eine
tiefere Gerade (z. B.: 30 = 3x + 4y y = 7,5 - 0,75x; vgl. Gerade b
in Abb. 6) liegen zwar Punkte in der zulssigen Menge, jedoch ist es
mglich (oder sogar offensichtlich), dass 30 nicht der maximale
Gewinn dieser Aufgabe ist. Die Frage ist also, welches der hchste
Gewinn ist, der in der zulssigen Menge liegt, d. h. dessen
Isoprofitable das Polygon trifft. Bei der Lsung dieser Frage hilft
uns das Eckenprinzip: Der Wert des hchsten Gewinns wird auf einer
polygonalen zulssigen Menge stets (auch) in einer Ecke angenommen.
Daraus folgt, dass der grte Gewinn der Geraden entspricht, die die
zulssige Menge gerade noch in einem Punkt (Gerade c in Abb. 6) oder
einem Geradenstck (siehe Abb. 7) trifft. Rechnerisch kann man
solche Probleme nach dem Eckenprinzip auf folgende Art lsen: Man
berechnet die Eckpunkte der zulssigen Menge, die Gewinne, die zu
diesen Ecken gehren, und whlt die Ecke mit dem grten Gewinn. Statt
des Gewinns kann man auch irgendeine andere Gre optimieren. Man
spricht allgemeiner von Zielfunktion (objective function). Bei
komplexeren Aufgaben ergeben sich allerdings zwei Probleme: Erstens
gibt es bei manchen Aufgaben eine gewaltige Zahl von Ecken, so dass
sehr viele Berechnungen durchgefhrt werden mssen, und zweitens ist
es nicht mglich, die Aufgabe in einer Ebene zu lsen, wenn es sich
um mehr als zwei Produkte handelt, da man fr jedes Produkt eine
Unbekannte und damit eine Raumdimension bentigt. In bestimmten
Fllen kann die Anzahl der Ecken sogar die Anzahl der Sandkrner auf
der Erde bersteigen. Die Rechenzeit steigt ins Astronomische...
Statt eines Polygons ergibt sich im n-dimensionalen Raum ein
Polytop (d. h. ein Ding mit Punkten am Rande des Dings , die durch
Kanten verbunden werden...), das wieder von (n-1)-dimensionalen
Hyperebenen begrenzt wird. Durch hnliche berlegungen wie oben
erkennt man, dass das Polytop konvex ist, d. h. die
Verbindungsstrecke zweier beliebiger Punkte liegt vollstndig
innerhalb des Polytops. Um diese Schwierigkeiten zu berwinden, hat
der amerikanische Mathematiker George Dantzig kurz nach dem 2.
Weltkrieg den Simplexalgorithmus entwickelt. Er ermglicht es, viele
Probleme in Sekunden zu lsen, dessen Lsung sonst mehrere hundert
Jahre gedauert htte. Der Name kommt daher, dass das einfachste
Polytop in n Dimensionen Simplex heit. (Ein 2-dimensionaler Simplex
ist ein Dreieck, ein 3-dimensionaler ein Tetraeder usw.) Der
Simplexalgorithmus funktioniert so: Man nimmt einen beliebigen
Startpunkt und berechnet die Gewinnfunktion fr alle angrenzenden
Ecken. Dann nimmt man unter diesen Punkten den mit dem hchsten
Gewinn als neuen Startpunkt und wiederholt diese Prozedur, bis man
keinen Punkt mehr findet, der einen hheren Gewinn als der letzte
Punkt hat. Da das Polytop konvex ist, handelt es sich um den Punkt
mit dem maximalen Gewinn oder, falls es mehrere Punkte maximalen
Gewinns gibt, um einen dieser Punkte. Dieser Algorithmus ist in der
Praxis schneller, als man theoretisch vermuten wrde. Er erspart den
Weg durch alle Ecken; falls aber zwischen der Start- und der
Zielecke viele kurze Kanten liegen, kommt der Simplexalgorithmus
nur sehr schleppend voran. Wieso ist dieses Polytop eigentlich
konvex?(Christoph Pppe) Aus denselben Grnden wie das Polygon in der
Weizen-Roggen-Ebene. Aber man muss das nachrechnen, um sich zu
vergewissern. Nicht immer sind Ideen aus der Ebene ohne weiteres in
hochdimensionale Rume bertragbar. Wir haben, sagen wir, n Variable
und m Bedingungen. Die sind smtlich von der Form ai1x1 + ai2x2 +
... + ainxn bi oder auch ai x bi (Skalarprodukt!). Dabei ist x =
(x1, x2, ..., xn) der Vektor der Unbekannten und ai = (ai1, ai2,
..., ain) der Vektor der Koeffizienten fr die i-te Bedingung.
Geometrisch ist ai der Normalenvektor fr die Hyperebene (d. h. den
(n-1)-dimensionalen Unterraum), die in dem n-dimensionalen Raum der
xe die (bezglich der i-ten Bedingung) zulssigen von den unzulssigen
Punkten trennt. Insgesamt zulssig sind die Punkte, fr die alle m
Ungleichungen erfllt sind. Ist die Menge dieser Punkte konvex? Eine
Menge heit konvex (Achtung, Kopfstand!), wenn sie mit zwei Punkten
x und y stets auch deren Verbindungsstrecke (das heit die Menge der
Punkte tx + (1 - t)y fr 0 t 1) enthlt. Also: Wenn zwei Punkte x und
y alle Ungleichungen erfllen, gilt das auch fr die Punkte der
Verbindungsstrecke? Nachrechnen! Rechenregeln frs Skalarprodukt
anwenden. ai (tx + (1 - t)y) = t(ai x) + (1 - t)(ai y) tbi + (1 -
t)bi = bi, denn x erfllt ja die Bedingung ai x bi, ebenso y. Man
darf die Ungleichung so einsetzen, weil t und 1 - t beide 0 sind.
Parkettierungen und Muster(Britta Spth) ber Parkettierungen und
Muster haben vor allem Grnbaum und Shephard in ihrem Buch "Tilings
and Patterns" geschrieben. Das Folgende ist vor allem dem 1.
Kapitel aus diesem Buch entnommen. Allgemeine Parkettierungen und
Pflastersteine (Definitionen)Es sollen hierbei nur die
Parkettierungen (engl.: tilings) der euklidischen Ebene betrachtet
werden. Eine Parkettierung der Ebene ist eine Menge von
Pflastersteinen (tiles), die die Ebene ohne berlappungen oder Lcken
bedeckt. Ein Pflasterstein eines Musters muss durch eine endliche,
geschlossene Linie begrenzt sein, die sich weder berschneidet noch
mit sich selbst zusammenfllt. Somit sind die im Bild links oben
gezeigten Formen als Pflastersteine ausgeschlossen. Wenn die
Schnittmenge mehrerer Pflastersteine in einem Muster nur aus einem
Punkt besteht, nennt man diesen Punkt Scheitel oder Vertex
(vertex). Die Anzahl der Pflastersteine, die in diesem Vertex
zusammentreffen, nennt man die Ordnung (valence) dieses Vertex.
Besteht die Schnittmenge zweier Pflastersteine aus einer Strecke
oder allgemeiner aus einem Kurvenstck, so nennt man dieses eine
Kante (edge). Ein Vertex muss aber nicht mit der Ecke eines
Pflastersteins bereinstimmen, und die Kante eines Musters ist nicht
unbedingt die Verbindung zweier benachbarter Ecken. So ist im
Muster links unten im Bild der Punkt C ein Scheitel des
Pflastersteins T3 und B kein Scheitel von T2 oder T. Besteht die
Schnittmenge zweier Pflastersteine aus mindestens einem Punkt,
heien die Pflastersteine Nachbarn (neighbours). In der Abbildung
links unten sind daher die Pflastersteine T1, T2, T3,T4, T5, T6 und
T7 Nachbarn von T. Besitzen zwei Pflastersteine eine gemeinsame
Kante, bezeichnet man die Pflastersteine als aneinandergrenzend
(adjacent ). T2, T3, T4 und T7 im Bild grenzen an T. Einteilung von
MusternUm die Muster einzuteilen, muss man zunchst Folgendes
vorausschicken: 1) Kongruent heien zwei Muster dann, wenn sie durch
eine Kongruenzabbildung (Verschiebung, Spiegelung, Drehung und
Gleitspiegelung) zusammenfallen knnen. 2) hnlich heien zwei Muster,
wenn sie durch eine Kongruenzabbildung und eine Vergrerung oder
Verkleinerung zum bereinstimmen gebracht werden knnen. Nur
scheinbar einfach sind vor allem Muster, die aus vielen Exemplaren
eines einzigen Grundbausteins (prototile) bestehen. Diese
Parkettierungen nennt man einsteinig (monohedral ); wenn
verschiedene Grundbausteine verwendet werden, n-steinig (n-hedral).
Wenn ein Grundbaustein nur eine Parkettierung zulsst, nennt man das
entstehende Muster monomorph. Knnen n verschiedene Muster mit einem
Grundbaustein gebildet werden, nennt man das Muster n-morph. Ein
Beispiel fr ein monomorphes Muster ist im Bild oben rechts gezeigt.
a b c dHingegen knnen die in Abbildung a verwendeten Pflastersteine
unendlich viele verschiedene Muster bilden: Zwischen den dicken
parallelen Linien knnen die Rauten zwei verschiedene Neigungen
gegenber der Linie einnehmen. Da diese dicken Linien unendlich oft
in diesem Muster vorkommen, entstehen unendlich viele (sogar
berabzhlbar viele) Muster. Ebenso wie durch die Form knnen aber die
Anordnungsmglichkeiten auch dadurch begrenzt sein, dass man nur
Parkettierungen zulsst, die eine begrenzte Anzahl von Fnfecken
benutzen. So sind nur noch die in Abbildung b, c und d gezeigten
Muster mglich, wenn man nur eine endliche Anzahl von Fnfecken
zulsst. Abbildungen des Musters und Element des
PflastersteinsMuster weisen auch verschiedene Symmetrien auf. Eine
Symmetrie muss das Muster so abbilden, dass Bild und Abbild
bereinstimmen. Wenn eine Drehung um 2 /n (den n-ten Teil des
Vollwinkels) zu den Symmetrien gehrt, dann gilt das auch fr die
Vielfachen dieses Winkels. Man spricht von einer n-zhligen
Symmetrie. Auerdem sind noch Spiegelungen, Gleitspiegelungen und
Verschiebungen als Symmetrien des Musters mglich. Muster, die
Verschiebungen als Symmetrien haben, knnen darber hinaus nur noch
1-, 2-, 3-, 4- oder 6-zhlige Symmetrien besitzen. Zu den Symmetrien
eines Musters zhlt man auch noch die Identitt. Alle Symmetrien
eines Musters knnen in einer Symmetriegruppe zusammengefasst
werden. Die Ordnung der Symmetriegruppe bezeichnet die Anzahl ihrer
Elemente. Als symmetrisch werden Muster dann bezeichnet, wenn die
Symmetriegruppe nicht nur aus der Identitt besteht. Periodisch
nennt man Muster immer dann, wenn die Symmetriegruppe
Verschiebungen um zwei linear unabhngige Vektoren a und b enthlt.
Zwei Pflastersteine T1 und T2 werden dann als quivalent bezeichnet,
wenn eine Symmetrie des Musters T1 auf T2 abbildet. Wenn k
Pflastersteine quivalent sind, nennt man das Muster isohedral. Gibt
es jedoch k Klassen quivalenter Pflastersteine, nennt man das
Muster k-isohedral. Entsprechend nennt man ein Muster isogonal,
wenn man jeden Vertex mit Hilfe einer Symmetrie des Musters auf
einen bestimmten Vertex abbilden kann. Kann jede Kante auf jede
andere mit Hilfe der Symmetrien des Musters abgebildet werden,
nennt man das Muster isotoxal. Als regulr werden isotoxale,
isogonale und isohedrale Muster nur dann bezeichnet, wenn, wie im
Bild gezeigt, zwei beliebige Pflastersteine mit einem beliebig
markierten Vertex und einer markierten, angrenzenden Kante
aufeinander mit einer Symmetrie des Musters abgebildet werden. Das
Bild zeigt oben ein isotoxales, isogonales und isohedrales Muster
und unten ein regulres Muster. Es gibt nur drei Pflastersteine, die
ein regulres Muster zulassen: das gleichseitige Dreieck, das
Quadrat und das regulre Sechseck. SymmetrienBei Verschiebungen ist
zu beachten, dass alle auftretenden Verschiebungsvektoren
ganzzahlige Linearkombinationen von nur zwei sogenannten
Basisvektoren a und b sind: Jeder Vektor einer
Verschiebungssymmetrie ist von der Form ma + nb mit ganzen Zahlen n
und m. Daher kennzeichnet man bei Mustern die Verschiebungen, indem
man nur a und b einzeln angibt. Wenn zwei Muster (im Wesentlichen)
dieselbe Symmetriegruppe haben, ordnet man sie in denselben
Symmetrietyp ein. Bei den Pflastersteinen, die wie oben definiert
werden, gibt es 7 Symmetrietypen mit nur einer und 19 mit zwei
Verschiebungsrichtungen. Sucht man sich einen bestimmten Punkt in
einem periodischen Muster und bildet diesen mit allen ganzzahligen
Linearkombinationen der Vektoren a und b ab, so ist der abgebildete
Punkt immer in derselben Lage bezglich der dort benachbarten
Pflastersteine. Da ebenso wie der Punkt auch der ganze Inhalt eines
durch Gitterpunkte gebildeten Parallelogramms mit a und b
verschoben wird, muss man lediglich den Inhalt dieses
Parallelogramms wissen, um das ganze Muster zu erschlieen. Ein
Punkt und seine smtlichen Bilder unter Verschiebungen mit ma + nb
bilden ein Gitter. Im Bild ist ein solches Gitter innerhalb eines
Musters gezeigt. Quelle: Branko Grnbaum, G. C. Shephard: Tilings
and Patterns. W. H. Freeman and Company, New York 1987. Kapitel 1
(p.16-56). Gruppen(Christoph Pppe) Wo von Symmetrien die Rede ist,
da ist der Gruppenbegriff meistens nicht weit. Was ist eine Gruppe?
Das Lehrbuch gibt ungefhr folgende Auskunft: Eine Menge G heit eine
Gruppe, falls eine Verknpfung existiert, die je zwei Elementen a, b
der Gruppe ein drittes Element der Gruppe zuordnet, das dann ab
geschrieben wird. Man denkt sich die Verknpfung in der Regel als
Multiplikation, schreibt auch gelegentlich a b statt ab. In anderen
Zusammenhngen denkt man sich die Verknpfung als Addition und
schreibt sie a + b. Das Schne an der Gruppentheorie ist, dass man
sich nicht gro drum kmmern muss, was die Verknpfung eigentlich ist,
solange sie die Gruppenaxiome (Rechenregeln, s. u.) erfllt. Auf die
Weise sieht man Gemeinsamkeiten zwischen Strukturen, die eigentlich
vllig verschieden sind. Weiter im Lehrbuch: "Die Verknpfung ist
assoziativ: (ab)c = a(bc)." Diese Bedingung ist meistens geschenkt.
Es gibt kaum eine Verknpfung, die nicht assoziativ ist. Aufpassen:
Kommutativitt wird nicht verlangt. ab ist im allgemeinen nicht
dasselbe wie ba. "Die Gruppe enthlt ein neutrales Element e, das
heit ea = ae = a fr alle Gruppenelemente a." "Zu jedem
Gruppenelement a gibt es ein Gruppenelement b mit der Eigenschaft
ab = ba = e. b heit das Inverse zu a und wird a-1 geschrieben." Die
einfachsten Gruppen bestehen aus Zahlen: Die ganzen Zahlen mit der
Addition als Verknpfung sind eine Gruppe. Man schreibt natrlich 0
statt e fr das neutrale Element und -a statt a-1 fr das Inverse.
Die rationalen (oder auch die positiven rationalen, die rellen, die
komplexen ...) Zahlen unter Ausschluss der Null sind eine Gruppe
mit der Multiplikation als Verknpfung. Das neutrale Element heit 1,
das Inverse zu a ist 1/a. Das ist schon ganz nett; aber meistens
bestehen Gruppen aus Abbildungen, und die Verknpfung ist die
Hintereinanderausfhrung zweier Abbildungen. Das neutrale Element
gibt's immer, das ist nmlich die identische Abbildung. Damit das
inverse Element existiert, muss die Abbildung widerruflich
(invertierbar) sein. Zum Beispiel sind die invertierbaren (n
n)-Matrizen eine Gruppe. Das neutrale Element ist die
Einheitsmatrix, und die Inverse zu einer Matrix A schreibt man A-1.
Oder: Alle Drehungen in der Ebene um den Nullpunkt bilden eine
Gruppe. Sie ist ganz in der vorigen Gruppe (fr n = 2) enthalten,
denn alle Drehungen sind widerrufliche Matrizen: Sie ist eine
Untergruppe. Alle Abbildungen, die ein bestimmtes Muster invariant
lassen (es mit sich selbst zur Deckung bringen), bilden eine
Gruppe. (Nachprfen! Geht schnell und tut nicht weh.) Aufpassen mit
der Schreibweise: Wenn A und B Abbildungen sind, dann ist AB die
Abbildung "erst B anwenden, dann A". Was soll der Quatsch? Na ja,
man wendet eine Abbildung ja immer auf irgendwas an, einen Punkt x
zum Beispiel. Erst B auf x anwenden ergibt B(x), was man gerne kurz
als Bx schreibt (vor allem wenn x ein Vektor ist und B eine
Matrix). Auf das Ergebnis A anwenden gibt A(Bx) oder auch ABx, also
ist es naheliegend, die zusammengesetzte Abbildung AB zu nennen,
auch wenn es einem erstmal falschrum vorkommt. Es ist eine beliebte
bung, die merkwrdigsten Dinge, zum Beispiel Muster (siehe oben)
oder Kristalle (siehe unten) durch die Gruppe der Transformationen
zu charakterisieren, die das jeweilige Ding unverndert (invariant)
lassen. (Kleine Randbemerkung: So ein Ding kann auch eine komplette
physikalische Theorie sein. Die klassische Mechanik ist invariant
gegenber Translationen und Rotationen des Raumes. Daraus kann man
mit Hilfe der Gruppentheorie so physikalische Prinzipien wie den
Impuls- und den Drehimpulserhaltungssatz herleiten! Das meinen die
theoretischen Physiker, wenn sie das Stichwort "Noetherscher Satz"
fallenlassen.) Ist ein Muster sehr symmetrisch, hat es eine groe
Symmetriegruppe. Bricht man seine Symmetrie, zum Beispiel indem man
den Grundbaustein mit einer geeigneten Macke versieht, ist die
Symmetriegruppe nur noch eine Untergruppe der ursprnglichen. Das
geht runter bis zur trivialen Gruppe, die nur noch aus dem
neutralen Element besteht. Es gibt also eine ganze Hierarchie (so
eine Art Familienstammbaum) von Gruppen und Untergruppen, was einem
sehr zum Verstndnis der jeweiligen Dinge hilft. Die Gruppentheorie
kmmert sich erstmal nicht darum, ob eine Gruppe endlich oder
unendlich viele Elemente hat. Wenn es aber endlich viele sind (zum
Beispiel alle Drehungen um Vielfache von 60 Grad), kann man
ziemlich viele Schlsse aus der Ordnung der Gruppe (das ist die
Anzahl ihrer Elemente) ziehen. Die Ordnung einer Untergruppe ist
nmlich ein Teiler der Ordnung der Gruppe. Das schrnkt die
Mglichkeiten einer Gruppe, Untergruppen zu haben, schon ziemlich
ein. Eine Gruppe, deren Ordnung eine Primzahl ist, hat keine
Untergruppen auer der trivialen! Meistens gilt auch die Umkehrung:
Wenn die Gruppenordnung einen echten Teiler k hat, gibt es auch
eine Untergruppe der Ordnung k. Mit Hilfe der Gruppentheorie kriegt
man so Dinge raus wie, dass es nur 17 kristallographische Gruppen
in der Ebene gibt. Platonische Krper(Natalie Wood) 1.
Besonderheiten und GemeinsamkeitenPlatonische Krper sind vollkommen
regelmige Krper. Ihre Oberflchen bestehen aus gleich groen,
gleichseitigen und gleichwinkligen Vielecken. In jeder Ecke eines
platonischen Krpers stoen genau gleich viele Flchen aneinander. Zu
jedem platonischen Krper gehren drei spezielle Kugeln. Die erste
(die Kantenkugel) berhrt alle Kanten ihres platonischen Krpers
genau in der Mitte. Eine zweite, kleinere Kugel, die sogenannte
Inkugel, ist so in den Krper einbeschrieben, dass sie alle
Flchenmittelpunkte des platonischen Krpers berhrt. Eine dritte
Kugel, die Umkugel, umhllt den platonischen Krper so, dass sie alle
Ecken des Krpers berhrt. Es gibt genau fnf platonische Krper: das
Tetraeder, den Wrfel, das Oktaeder, das Ikosaeder und das
Pentagon-Dodekaeder. Eigenschaften der fnf platonischen Krper:
Krper Tetraeder Wrfel Oktaeder Ikosaeder DodekaederOberflchenanzahl
4 6 8 20 12Oberflchenformgleichseitiges
DreieckQuadratgleichseitiges Dreieckgleichseitiges
Dreieckregelmiges FnfeckEckenanzahl 4 8 6 12 20Kantenanzahl 6 12 12
30 30Flchenwinkel ca. 70 90 ca. 110 ca. 140 ca. 118Es kann nur
genau fnf vollkommen symmetrische Polyeder geben, da eine Ecke im
Raum mindestens drei Flchen verlangt und deren Winkelsumme in den
Ecken des Krpers nicht grer oder gleich 360 sein darf. Beim
Tetraeder stoen jeweils drei gleichseitige Dreiecke aneinander. Da
deren Winkelsumme von 180 noch deutlich unter 360 liegt, existiert
auch die Eckenkonfiguration des Oktaeders, bei dem vier
gleichseitige Dreiecke in den Ecken zusammenstoen, und die des
Ikosaeders, bei dem fnf gleichseitige Dreiecke zusammentreffen.
Eine Ecke, die aus sechs gleichseitigen Dreiecken bestnde, kann es
nicht als Ecke eines platonischen Krpers geben, da deren
Winkelsumme 360 betrge. Genauso verhlt es sich bei den Ecken der
anderen platonischen Krper: Die drei Quadrate, die zusammen ein
Wrfeleck bilden, sind bereits die hchstmgliche Anzahl. Die
Winkelsumme einer rumlichen Ecke, die aus vier oder mehr Quadraten
bestnde, wrde 360 oder mehr betragen. Das ist jedoch nicht mglich.
Die maximal mgliche Anzahl von Fnfecksflchen, die Ecken im Raum
bilden knnen, ist ebenfalls drei. Also ist das Dodekaeder der
einzige vollkommen symmetrische Krper, dessen Ecken durch regelmige
Fnfecke gebildet werden knnen. 2. Polare BeziehungenAlle
platonischen Krper lassen sich so ineinander einbeschreiben, dass
es irgendwie hbsch aussieht, zum Beispiel Ecke auf
Flchenmittelpunkt oder Kantenmittelpunkt. Die Krper knnen jedoch
nicht in sich selbst einbeschrieben werden, auer dem Tetraeder. Bei
manchen Paaren platonischer Krper ist das besonders hbsch. Die
Beziehung zwischen ihnen heit polare Beziehung oder auch Dualitt.
Aus einem Paar dualer Krper muss der eine genau so viele Ecken
besitzen wie der andere Flchen. Die Ecken des einen Krpers liegen
genau auf den Flchenmittelpunkten des anderen, und die Kanten der
beiden Krper laufen immer rechtwinklig bereinander. Es gibt fnf
polare Beziehungen, wobei das Tetraeder eine Ausnahme darstellt. Es
ist zu sich selbst polar, da es genau so viele Flchen besitzt wie
Ecken. 1. Wrfel-Oktaeder-Beziehung(2. Oktaeder-Wrfel-Beziehung)3.
Ikosaeder-Dodekaeder-Beziehung(4. Dodekaeder-Ikosaeder-Beziehung)5.
Tetraeder-Gegentetraeder-BeziehungWrfel Oktaeder Ikosaeder
Dodekaeder Tetraeder6 Flchen 8 Flchen 20 Flchen 12 Flchen 4 Flchen8
Ecken 6 Ecken 12 Ecken 20 Ecken 4 Ecken12 Kanten 12 Kanten 30
Kanten 30 Kanten 6 Kanten3. Durchdringungen platonischer KrperZwei
polar zueinander stehende Krper knnen sich durchdringen. Dadurch
entstehen neue Krper. Drei verschiedene Durchdringungen
platonischer Krper knnen entstehen:1.
Tetraeder-Gegentetraeder-Durchdringung2.
Wrfel-Oktaeder-Durchdringung3. Dodekaeder-Ikosaeder-Durchdringung
Den Raum, der von beiden sich durchdringenden Krpern gemeinsam
beansprucht wird, nennt man Kern. Man muss sich vorstellen, dass
auf allen Flchen des Kerns Pyramidenhtchen sitzen, abwechselnd von
jedem der beteiligten Krper. Der Kern, der bei einer
Wrfel-Oktaeder-Durchdringung entsteht, heit Kuboktaeder. Es besitzt
zwei unterschiedliche Flchenarten, sechs Quadrate und acht
Dreiecke. Den Kern einer Dodekaeder-Ikosaeder-Durchdringung nennt
man Ikosidodekaeder. Es besteht aus 12 regelmigen Fnfecken und 20
gleichseitigen Dreiecken. Bei einer
Tetraeder-Gegentetraeder-Durchdringung entsteht als Kern ein
Oktaeder. Wieder drei neue Krper entstehen, wenn man die
Durchdringungen mit einer neuen Oberflche umhllt. Das heit, auf
jede Kantenschnittstelle wird eine Flche gelegt, so dass die Kanten
der Durchdringung zu den Diagonalen der Hllenoberflchen werden. Das
Rhombendodekaeder ist der Krper, der durch Umhllen der
Wrfel-Oktaeder-Durchdringung entsteht. Seine Oberflche besteht aus
12 Rhomben, und seine Flchendiagonalen verhalten sich wie 1 : 2.
Die Hlle der Dodekaeder-Ikosaeder-Durchdringung bildet das
Rhombentriakontaeder. Es hat eine Oberflche aus 30 Rhomben und ein
Flchendiagonalenverhltnis von : 1. Bei der
Tetraeder-Gegentetraeder-Durchdringung entsteht ein Wrfel als
Hllkrper. Kern HlleWrfel-Oktaeder Kuboktaeder
RhombendodekaederDodekaeder-Ikosaeder Ikosidodekaeder
RhombentriakontaederTetraeder-Gegentetraeder Oktaeder Wrfel4.
UmstlpungenDefinition: Wenn das Innere eines Krpers nach auen
gestlpt wird oder das uere nach innen, spricht man von einer
Umstlpung. Zum Beispiel kann eine Umstlpung bei einem Wrfel
vorgenommen werden. Setzt man auf jede Wrfelflche eine Pyramide
gleicher Hhe, so sind die benachbarten Flchen gegeneinander
geneigt, wenn die Hhe der Pyramide ungleich der halben Wrfelkante
ist. Ist die Hhe nun gleich der halben Wrfelkante, liegen je zwei
benachbarte Dreiecke in einer Ebene. Immer zwei dieser Dreiecke
bilden je einen Rhombus, dessen kleine Diagonale der Wrfelkante und
dessen groe Diagonale der Flchendiagonale entspricht. Der so
entstandene Krper ist das Rhombendodekaeder. Es hat 12 Flchen, 14
Ecken und 24 Kanten. Jetzt kann man sich auch vorstellen, dass die
Pyramiden aus dem Wrfel herausgeschnitten sind. So wird klar, dass
alle Pyramiden zusammen dasselbe Volumen besitzen wie der Wrfel,
aus dem sie herausgeschnitten wurden. Das Rhombendodekaeder besitzt
das doppelte Volumen des Wrfels. Symmetrien der platonischen
Krper(Christoph Pppe) In unserem Zusammenhang interessieren uns an
den platonischen Krpern vor allem ihre Symmetrien, genauer: ihre
Symmetriegruppen (vgl. den Zusatz zum Beitrag von Britta Spth).
Dass sie so schn regelmig sind, uert sich darin, dass es viele
Kongruenzabbildungen gibt, die den jeweiligen Krper mit sich selbst
zur Deckung bringen. Darunter knnen offensichtlich keine
Translationen oder Gleitspiegelungen sein; Mittelpunkt muss immer
auf Mittelpunkt kommen. Eine Gruppe aus Abbildungen, die smtlich
einen Punkt unverndert lassen, heit Punktgruppe. Die
Symmetriegruppen der platonischen Krper sind also Punktgruppen.
Nehmen wir als Beispiel die Symmetriegruppe des Dodekaeders (oder
des Ikosaeders, das ist nmlich dieselbe, wegen der Dualitt). Man
steche eine Achse durch den Mittelpunkt einer Flche und den der
gegenberliegenden Flche. Dann kann man um diese Achse um ein, zwei,
drei ... Fnftel des Vollwinkels rotieren (fnfzhlige Drehachse).
Eine Achse, durch zwei gegenberliegende Eckpunkte gestochen, ist
dreizhlig, und eine durch zwei gegenberliegende Kantenmittelpunkte
ist zweizhlig. Man whle eine Flche aus, halbiere sie durch eine
Gerade von Ecke zu Mittelpunkt der gegenberliegenden Kante und
nehme die Ebene, die durch diese Gerade und den Mittelpunkt des
Krpers liegt. Spiegelung an dieser Ebene ist eine Symmetrie des
Krpers. Von diesen Ebenen gibt es 15 Stck. Diese Abbildungen und
ihre Verknpfungen bilden die Symmetriegruppe des Dodekaeders. Die
gestrengen Regeln der Gruppentheorie erzwingen, dass jede
Punktgruppe, die eine zwei-, eine drei- und eine fnfzhlige
Drehsymmetrie enthlt, bereits die Symmetriegruppe des Dodekaeders
enthalten muss. Wenn man also durch Rntgenbeugung (siehe den
Beitrag von Matthias Hullin) alle drei Drehsymmetrien in einem
Festkrper findet, muss er die Symmetrie des Dodekaeders haben. Und
da das mit einem gewhnlichen Kristall nicht geht (vergleiche den
Beitrag von Anne Mller-Lohmann), wei man: Es muss ein Quasikristall
sein. Gitter und Voronoikomplex(Robert Kremser) Im Abschnitt von
Britta Spth wurden Muster und Parkettierung von Ebenen beprochen.
Dieses Kapitel wird einige neue Begriffe erklren, die zu einer
weiteren Beschreibung periodischer Muster fhren. Der Begriff des
Gitters ist grundlegend fr die Entstehung eines periodischen
Musters. Wenn man in einem Tile, mit welchem man eine Ebene
periodisch parkettieren kann, indem man es in der Ebene verschiebt,
den Schwerpunkt P festlegt und dann mit diesem Tile eine Ebene
periodisch parkettiert, so bilden die Schwerpunkte ein Gitter (bei
diesem Tile, das aus kleinen Quadraten zusammengesetzt ist, ist das
Gitter ebenfalls quadratisch). Das bedeutet, dass man durch zwei
Schwerpunkte eine Gerade ziehen kann, auf der unendlich viele
Punkte des Gitters liegen. Die Strecken von einem Gitterpunkt auf
der Geraden zu einem benachbarten sind immer gleich lang.
Verschiebt man nun diese Gerade auf den nchstgelegenen Gitterpunkt
(der nicht schon auf der Geraden liegt), so liegen auch auf der
verschobenen Geraden unendlich viele Gitterpukte, fr die das
gleiche gilt. Die Streckenlnge zweier benachbarter Gitterpunkte der
Gerade und die Richtung dieser Strecke definieren einen Vektor a1.
Die Verschiebungslnge und -richtung zu einer benachbarten,
parallelen Gerade definieren einen weiteren Vektor a2. Da die
Vektoren a1 und a2 nicht die gleiche Richtung haben, nennt man sie
linear unabhngig (man kann einen Vektor nicht durch den anderen
ausdrcken). Durch ganzzahlige Linearkombination dieser Vektoren
kann man nun das Gitter konstruieren. In drei Dimensionen muss man
noch einen Vektor hinzufgen, um den Raum zu "vergittern". Die
Anzahl der Bildungsvektoren ist gleich der Dimension des Gitters.
Mathematisch beschreibt man ein Gitter d (d = Dimension des
Gitters) als die Menge aller ganzzahligen Linearkombinationen
seiner d linear unabhngigen Bildungsvektoren ai im Raum Rd. Dies
kann man folgendermaen ausdrcken: d = 'di = 1iai
i Z;, wobei ai Rd und det(a1, ..., ad) 0Wenn man sich vorstellt,
dass jeder Gitterpunkt eine "Privatsphre" htte, so sollte der
Gerechtigkeit halber jeder Gitterpunkt genauso viel Platz zum Leben
bekommen wie jeder andere. Diese "Privatsphre" besteht aus Punkten.
Nun kann man sagen, dass dieser Bereich die Menge aller Punkte ist,
die einem Gitterpunkt nher ist als jedem anderen. (Es geht also
erstmal nicht nach Gerechtigkeit zu, sondern nach Habgier! Jeder
Gitterpunkt grapscht sich hastig alle Punkte der Umgebung, an die
er schneller drankommt - weil sie ihm nher liegen - als jeder
andere. Da aber alle Gitterpunkte in genau derselben Situation sind
- daher der Name Gitter -, stellt sich am Ende, o Wunder, doch
Gerechtigkeit ein. In anderen Situationen kommen gerade die Punkte,
die "enge" Freunde haben, schlechter weg als andere. - C. P.)
Diesen Bereich nennt man Voronoizelle. Diese Punktmenge kann man in
folgender Schreibweise zusammenfassen: Die Voronoizelle V(q) eines
Gitterpunktes q d ist definiert als: V(q) = { p Rdp - qp - q fr
alle q d } Die Dimension einer Voronoizelle ist gleich der
Dimension des Gitters, das heit, ein Gitterpunkt im
dreidimensionalen Raum hat als Voronoizelle ein Polyeder. Ein
Gitterpunkt eines n-dimensionalen Gitters besitzt ein
n-dimensionales Polytop als Voronoizelle. Ein Polytop ist die
mehrdimensionale Verallgemeinerung eines Polyeders. Woher wei ein
Punkt, wie gro seine Privatsphre ist? Dazu stellt man sich zunchst
folgendem Problem. In einer Ebene werden zwei Punkte A und B
festgelegt, die nicht aufeinanderliegen. Nun soll die Ebene so
geteilt werden, dass die Punkte der einen Hlfte der Ebene nher an A
liegen als an B (oder hchstens genauso nah) und andersherum. Die
Lsung erhlt man, indem man auf der Strecke AB die Mittelsenkrechte
g errichtet (Bild links). Die Gerade g teilt nun die Ebene, wie
oben gewnscht. Auerdem sind die Punkte auf der Gerade Inhalt beider
Punktmengen. Das heit, die Gerade g ist die Schnittmenge der beiden
"Raumhlften". Wenn man diese Konstruktion auf ein Gitter bezieht,
so muss man die Mittelsenkrechten aller direkt benachbarten
Gitterpunkte konstruieren. Dies wird im rechten Bild dargestellt fr
die Umgebung eines Gitterpunktes. Die Mittelsenkrechten schneiden
einander, und das entstehende Polygon schliet einen Bereich ein.
Dieser Bereich ist die Voronoizelle des dargestellten
Gitterpunktes. Bei den Kristallographen heit sie
Wigner-Seitz-Zelle. Die Gesamtheit aller Voronoizellen eines
Gitters nennt man Voronoikomplex. Bei der Voronoizellenkonstruktion
in der dritten Dimension muss man in der Mitte der Strecke zwischen
zwei Punkten eine senkrechte Ebene errichten, dann schneiden sich
die einzelnen Ebenen und begrenzen somit die Vorronoizellen der
einzelnen Gitterpunkte. In einem zweidimensionalen Gitter werden
die Voronoizellen durch Geraden (eindimensional / Kanten) und
Eckpunkte (nulldimensional / Punkte) begrenzt. Die m-dimensionalen
Oberflchenelemente einer Voronoizelle heien m-Grenzen. In einem
dreidimensionalen kubischen Gitter (Bild unten) sind die m-Grenzen
Quadrate, Strecken und Punkte. Die Voronoizelle selbst ist ein
Kubus (Wrfel). In vierdimensionalen Gittern gibt es 0-, 1-, 2- und
3-Grenzen. Die Gesamtheit aller Eckpunkte der Voronoizellen im
Voronoikomplex ist wieder ein Gitter d*. Man nennt es das duale
Gitter zum ursprnglichen Gitter d. Die Eckpunkte aller
Voronoizellen des Dualen d* bilden wieder das Gitter d. In Formeln:
(d*)* = d. Daher der Name dual. Dual ist, wenn man zweimal dasselbe
macht, kommt das Ursprngliche wieder raus. Das duale Gitter lsst
sich definieren als: d* = {r Rd r, p Z fr alle p d Wie oben erklrt,
stehen die Oberflchen einer Voronoizelle senkrecht auf den Strecken
zwischen zwei benachbarten Gitterpunkten. Nun gilt aber auch, dass
jede eindimensionale 1-Grenze wiederum die Verbindungsstrecke eines
Punktepaares im dualen Gitter ist, da sie zwei Eckpunkte der
Voronoizelle verbindet. Sie steht senkrecht auf einer (d-1)-Grenze
einer Voronoizelle des Gitters. Darum nennt man diese Grenzen auch
duale m-Grenzen. Die Dimension der Grenze, die auf einer 1-Grenze
senkrecht steht, ist um eins kleiner als die Dimension des Gitters.
Allgemein gilt: Die Summe der Dimension einer m-Grenze Pm und ihrer
dualen m-Grenze Pm* ist gleich der Dimension d des Gitters d.
dim(Pm) + dim(Pm*) = dim(d) = dim(d*) = d
Streifenprojektionsformalismus (SPF) und Methode der atomaren
Hyperflchen (AHF)(Sabine Fischer, Marina Galovic)
StreifenprojektionsformalismusDer Streifenprojektionsformalismus
ist eine Methode, quasiperiodische Muster zu erzeugen. Man geht
dabei von einem D-dimensionalen Hypergitter des RD aus, von dem ein
Teilausschnitt auf einen d-dimensionalen Unterraum Rd projiziert
wird. Die Mindestdimension des Hypergitters d ergibt sich aus der
Anzahl der Vektoren, die man bentigt, um die Vertizes des Musters
als ganzzahlige Linearkombination selbiger darzustellen. Je grer D
ist, desto komplizierter wird die Berechnung. Deshalb wird man
generell die kleinstmgliche Dimension verwenden. Der einfachste
Fall beim SPF ist die Projektion des Quadratgitters Z2 in einen
eindimensionalen Unterraum R1. Das zweidimensionale Einheitsgitter
Z2 wird von den beiden Vektoren e1 und e2 aufgespannt. Nun legt man
eine Gerade E der Form y = mx in den R2, wobei die Steigung m
irrational ist. E wird Parallelraum oder physikalischer Raum
genannt. Die Steigung m muss irrational sein, wenn man ein
quasiperiodisches Muster erhalten will. Wenn nmlich m rational ist,
m = p / q mit ganzen Zahlen p und q, dann geht die Gerade E durch
unendlich viele Punkte des Z2, und zwar durch den Punkt (q, p) und
alle seine ganzzahligen Vielfachen. So erhlt man ein periodisches
Muster. Die Zahl q ist die Lnge der Periode, d. h. die Lnge des
Abschnittes, der sich wiederholt. Damit ein quasiperiodisches
Muster entsteht, insbesondere keine Periode auftritt, muss also m
irrational sein. Das bedeutet auch, dass E nur durch genau einen
Punkt des Gitters Z2 geht. Senkrecht zu E steht der Orthogonalraum
E. Nun verschiebt man das Einheitsquadrat W2 des Gitters parallel
zu E und erhlt daraus einen Streifen S. Mit der Projektionsmatrix
projiziert man die Punkte in S senkrecht auf E und erhlt dadurch
ein Muster T. Dieses eindimensionale Muster besteht aus einer
Abfolge von langen und kurzen Abschnitten. Durch die Projektion des
Streifens S auf E erhlt man den Akzeptanzbereich A. Der
Akzeptanzbereich legt fest, welche Punkte auf E projiziert werden.
Dies ist so zu verstehen, dass man zuerst jeden Punkt P Z2 mit auf
E projiziert und prft, ob er innerhalb des Akzeptanzbereiches
liegt. Diese Punkte werden dann auf E projiziert und ergeben das
Muster. Da E durch genau einen Punkt des Z2 geht, bedeutet das fr
den Streifen S, dass genau einmal zwei Punkte genau auf dem Rand
von S liegen. Wenn man beide Punkte projiziert, fhrt das zu einem
Defekt in der Parkettierung. Diesen Defekt kann man aber leicht
vermeiden, indem man den Akzeptanzbereich als halboffenes Intervall
definiert. Verschiebt man den Streifen S in Richtung von E, so
erhlt man eine Parkettierung derselben lokalen Isomorphieklasse.
Das bedeutet, dass man jedes endliche Teilmuster des alten Musters
auch im neuen findet. Hat E die Steigung -1, wobei die Zahl des
Goldenen Schnittes ist, so erhlt man die Fibonacci-Kette. Fr diesen
Fall ergeben sich die folgenden Formeln fr den Vektor z , der E
aufspannt, und die Matrix , die senkrecht auf E projiziert,
entsprechend fr E: z =1+ 21_,z =1+ 2-1_, =1+ 22 1_, =1+ 21- -2_,Um
die Octonacci-Kette zu erhalten, nimmt man einfach die Steigung -1.
Zu den zweidimensionalen Mustern, die man ber den
Streifenprojektionsformalismus erzeugen kann, gehrt auch das
oktagonale Ammann-Beenker-Kramer-Muster, das aus Rauten und
Quadraten gleicher Seitenlnge zusammengesetzt ist (unten links).
Zur Erzeugung dieses Musters bentigt man das vierdimensionale
hyperkubische Gitter Z4. Der Hyperraum R4 wird in zwei Ebenen
zerlegt, den Orthogonalraum E und den physikalischen Raum E ,
welche aufeinander senkrecht stehen. E wird durch z0 und z1, E
durch z2 und z3 aufgespannt. z0 = 12
210-1_
,z1 =12
0121_
,z2 =12
2-101_
,z3 =12
0-12-1_
, Man erhlt jeweils vier Vektoren, die zwar nicht aufeinander
senkrecht stehen, sich aber auch nicht durch ganzzahlige
Linearkombinationen ineinander berfhren lassen. In diesem Fall wird
der Streifen durch Verschiebung des vierdimensionalen
hyperkubischen Wrfels W4 entlang von E erzeugt. Die Projektion des
vierdimensionalen Streifens auf E ergibt den Akzeptanzbereich. Das
oktagonale Muster hat genau sechs Vertextypen, denen verschiedene
Bereiche des Akzeptanzbereiches entsprechen. Der Akzeptanzbereich
lsst sich aus sechs verschiedenen Flchen zusammensetzen, die
jeweils achtmal vorkommen. Die Flche in der Mitte (1) ist die
Schnittflche von genau acht Rauten. Dies bedeutet, dass ein Punkt,
der bei der Projektion auf E in dieser Flche landet, bei der
Projektion auf E einen Vertex ergibt, der von acht Rhomben umgeben
ist. Nehmen wir noch die Flche am uersten Rand (6). Diese ist die
Schnittflche von einem Quadrat und zwei Rauten. Die zugehrige
Vertexkonfiguration 6 besteht aus einem Quadrat und zwei Rauten.
Wie man sieht, kann man im Akzeptanzbereich erkennen, welche
Vertexkonfigurationen im Muster vorkommen und welche nicht. Aus dem
Verhltnis vom Flcheninhalt eines Teilgebietes zum
Gesamtflcheninhalt des Akzeptanzbereiches erhlt man die relative
Hufigkeit fr die einzelnen Vertextypen. Dies wird auch als
Polarenkalkl bezeichnet. Ein anderes zweidimensionales Muster ist
das Penrosemuster. Es bentigt eigentlich nur vier Vektoren, um alle
Verbindungen zwischen den Punkten als ganzzahlige Linearkombination
darstellen zu knnen. Das bedeutet, dass ein vierdimensionales
Hypergitter fr den Streifenprojektionsformalismus vllig ausreicht.
Nun hat man aber erst ziemlich spt herausgefunden, welches
vierdimensionale Hypergitter fr den SPF geeignet ist. Man nahm
zunchst das fnfdimensionale hyperkubische Gitter Z5. Der
fnfdimensionale Hyperraum wird in den dreidimensionalen
Orthogonalraum E und den zweidimensionalen Parallelraum E zerlegt.
Das bedeutet, dass der Akzeptanzbereich ein dreidimensionaler Krper
ist. Um genau zu sein: ein rhombisches Ikosaeder. Die Schnitte
entlang der einzigen Symmetrieachse durch die Eckpunkte des
rhombischen Ikosaeders sind hier zu sehen: Methode der atomaren
HyperflchenEine weitere Methode, quasiperiodische Muster zu
erzeugen, ist die Methode der atomaren Hyperflchen (AHF), welche im
Grunde genommen quivalent zum SPF ist. Wir betrachten wieder den
einfachsten Fall, die Erzeugung eines eindimensionalen
quasiperiodischen Musters. Man geht auch hier von einem
zweidimensionalen Gitter Z2 aus. Genau wie beim SPF werden die
Geraden E und E in das Gitter gelegt. Nun zeigt sich der erste
Unterschied zum SPF: Man hngt an jeden Gitterpunkt eine zu E
senkrechte, eindimensionale Hyperflche an. Die Hyperflchen stellen
den punktgespiegelten Akzeptanzbereich dar, den es fr jeden Punkt
gibt. Der Schnittpunkt einer Hyperflche mit E erzeugt einen Punkt
des Musters. (Ausblick in die Physik: Bei einem Quasikristall kann
man sich vorstellen, dass in jedem Punkt eines quasiperiodischen
Musters ein Atom sitzt. (Es gibt auch dreidimensionale
quasiperiodische Muster.) Es muss aber nicht in jedem Punkt des
Musters ein Atom derselben Sorte sitzen. Wie kriegt man raus, wo
welche Atome sitzen? - Siehe den Beitrag von Matthias Hullin. C.
P.) Die eindimensionalen Hyperflchen kann man in zwei Bereiche
einteilen, die durch den Gitterpunkt voneinander getrennt werden.
Die beiden Abschnitte stellen hierbei zwei verschiedene Atomsorten
dar. Wenn nun eine Hyperflche E schneidet, kommt es darauf an, mit
welchem Abschnitt der Hyperflche E geschnitten wird, weil man auf
diese Weise eines von zwei verschiedenen Atomen erhlt. Der
Gridformalismus(Florian Fuchs) Eine weitere Methode zur Erzeugung
von quasiperiodischen Tilings, die 1981 von dem niederlndischen
Mathematiker de Bruijn entwickelt wurde, ist der Gridformalismus
oder die Gridmethode (engl. grid: Gitter). Diese Methode liefert
eine grere Klasse von Tilings als die geometrischen Matching Rules
(siehe den Beitrag von Dennis Kirchhoff) von Penrose (z. B. auch
das Anti-Penrose-Tiling). Auerdem ist sie einfacher als die
Streifenprojektionsmethode: Bei dieser (siehe den Beitrag von
Sabine Fischer und Marina Galovic) gewinnt man ein Tiling im Raum
Rd durch Projektion aus einem hherdimensionalen Raum Rn. Im
Gegensatz dazu arbeitet die Gridmethode nur im physikalischen Raum
Rd. Deshalb kann auch leicht ein Computeralgorithmus dafr
entwickelt werden, der zudem linear ist, d. h., dass die Rechenzeit
pro Datenelement unabhngig von den verwendeten Dimensionen konstant
bleibt. Die im Folgenden angegebene allgemeine Vorgehensweise
veranschauliche ich mit Hilfe meines Programms "DSA
Gridmethode.exe" (zipped, 16 KB) fr n = 4 und d = 2, wodurch ein
oktagonales Ammann-Beenker-Kramer-Tiling entsteht. Als erster
Schritt muss Rd in Zellen aufgeteilt werden: Gegeben sei ein
"Stern" von n Vektoren ai (i = 1, ..., n) in dem d-dimensionalen
Vektorraum E = Rd. Diese Vektoren heien Grid-Vektoren. Senkrecht zu
jedem Grid-Vektor konstruiert man eine Schar paralleler,
quidistanter (d-1)-dimensionaler Hyperebenen. Die Verschiebung
gegenber dem Ursprung wird mit i bezeichnet. Jede Parallelenschar
heit ein Grid. Alle Grids zusammen heien bei 5 Vektoren Pentagrid,
bei 6 Vektoren spricht man vom Hexagrid usw., bei den hier
verwendeten vier Vektoren also Tetragrid. Das Bild zeigt einen
Stern von vier Ortsvektoren (Zwischenwinkel je 45 Grad) mit den
senkrecht dazu stehenden vier Parallelenscharen (Grids). Dieses
Tetragrid ist regulr, weil sich im Gegensatz zu einem singulren nie
mehr als zwei Geraden in einem Punkt schneiden. So entsteht ein
eindeutiges Tiling, was eventuell auch durch Variation der i
erreicht werden kann. Damit der Computer mit dem so entstehenden
Gitter etwas anfangen kann, bentigt man die Geradengleichungen fr
jedes Grid: x ai - i = ki; i = 1, ..., n; ki Z; x Rd. Mit den
Zahlen ki kann man also die Geraden fr jedes Grid durchnummerieren.
Das n-Grid zerlegt E in verschiedene Zellen. Alle Punkte einer
Zelle liegen in jedem Grid zwischen zwei aufeinanderfolgenden
Parallelen. Indem man fr eine Zelle angibt, zwischen welchen
Geraden jedes Grids sie liegt, kann man diese Zelle eindeutig
nummerieren. Dabei gengt es fr jedes Grid, die Gerade mit dem
hheren Index anzugeben. Fr jeden Punkt x E kann also die Zelle, in
der er liegt, mit einem n-Tupel ganzer Zahlen, das aus einer
Koordinate pro Grid besteht, angegeben werden: ki(x) =x ai - i1 ; i
= 1, ..., n; x Rd. Dabei bezeichnet...1die nchsthhere ganze Zahl.
Damit wird E auf Zn abgebildet, da jeder Zelle ein Vektor-Index
(k1, ..., kn) Zn zugeordnet wird. Im Beispiel hat die Zelle, die im
Bild oben mit dem Mauszeiger angezeigt wird, das
Koordinaten-4-Tupel (1, 1, 1, 0). Im zweiten Schritt (Dualisierung)
wird jeder Zelle anhand ihres n-Tupels ein Punkt von E zugeordnet:
y =ni = 1ki(x) ai EDie so entstehende Punktmenge entspricht den
Vertizes des Tilings und bildet nach Verbindung aller Punkte mit
Abstand 1 einen d-dimensionalen Quasikristall. Jeder Zelle im Grid
entspricht ein Punkt im Quasikristall, jedem Schnittpunkt im Grid
korrespondiert eine Zelle (= Rhombus) im Quasikristall. Fr n = 4
und d = 2 entsteht nach Verbindung der Punkte mit Abstand 1 ein
oktagonales Ammann-Beenker-Kramer-Tiling (links). Nun erhhe ich n
auf 5. Das Pentagrid aus einem Fnfstern von Gridvektoren in der
Ebene bildet ein allgemeines Penrose-Tiling (rechts). Wird die
Penrosebedingung 5i = 1 i = 0 erfllt, ergibt sich ein
Penrose-Tiling im engeren Sinne: ein den Matching Rules fr das
Penrosemuster gehorchendes Tiling (links). Ist 5i = 1 i = 1/2,
bekommt man ein Anti-Penrose-Tiling (rechts). In drei Schritten
kann gezeigt werden, dass es sich bei den entstehenden Tilings
tatschlich um verallgemeinerte Penrose-Tilings handelt.
Entscheidend ist fr diese Tilings, dass entlang eines Wurms zwei
aufeinanderfolgende Rhomben gleichen Typs in der Orientierung
alternieren. Beim binren Tiling (auch ein quasiperiodisches
Rautentiling) ist das nicht der Fall. 1. Die Rhomben entsprechen
denen des Penrose-Tilings: Da sich die Koordinatentupel
benachbarter Zellen in genau einer Koordinate um t 1 unterscheiden,
ist die Kantenlnge der Rhomben gleich 1, da diese ja durch
Verbindung der entsprechenden Punkte entstehen. Auerdem stimmen
auch die Winkel mit denen der Penrose-Rhomben berein, weil die
Koordinatentupel entlang der Gridvektoren aufgetragen werden und
somit deren Winkel (72 und 108, 144 und 36) auch in den Rhomben
wieder erscheinen. 2. Die Rhombenfolgen sind quasiperiodisch: Man
greife sich eine Gerade heraus (zum Beispiel eine Gerade des ersten
Grids) und betrachte die Schnittpunkte
