Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 1 Begriff der Zufallsgröße Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:

Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006

1

Begriff der Zufallsgröße

Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt:

Beispiele: • Punkte beim Werfen zweier Würfel• Zeit beim Warten auf den Bus• Ja= 1 nein = 0

Formal Abbildung:

:X

Im Beispiel:

4)2,2(

3)1,2(

3)2,1(

2)1,1(


2

Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten Zufallsgröße

Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen

benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Sie ist definiert als .)()( xXPxf

36/3)4(

36/2)3(

36/1)2(

0)1(

XP

XP

XP

XPIm Beispiel:


3

Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße

Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt

man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine

Zufallsgröße definiert als )()( xXPxF X

36/)321()4(

36/)21()3(

36/1)2(

0)1(

XP

XP

XP

XPIm Beispiel:


4

Erwartungswert und Varianz diskreter Zufallsgrößen

sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen

Werten .

Dann sind der Erwartungswert und die Varianz

wie folgt definiert:

)(

)())(()))((()(

)()(

1

22

1

XVar

xXPXExXEXEXVar

xXPxXE

x

n

iii

n

iii

nxx ,...1

X

)(XE )(XVar


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Beispiel: Einfacher Würfel

5.36*6

15*

6

14*

6

13*

6

12*

6

11*

6

1)( XE

7.19.2

9.2)5.36(*6

1)5.35(*

6

1)5.34(*

6

1

)5.33(*6

1)5.32(*

6

1)5.31(*

6

1)(

222

222

X

XV


6

Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen

Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen Konstanten

a und b):

)()(

)()(2 XVarbXbaVar

XEbaXbaE

X


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Binomialverteilung: Idee

Frage:

Wenn man aus diesem Bestand zufällig n Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß hiervon m Tiere erkrankt sind?

• insgesamt N Tieren

• davon sind M erkrankt

• und (N-M) nicht erkrankt

Betrachtet wird ein Bestand mit


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Binomialverteilung: Formal

iX

erkranktnichtTiergezogenestesifalls

erkranktTiergezogenestesifallsX i ,0

,1

n

iiXXmitmXP

1

?,)(Frage:

ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen

Dann gilt:

PN

MXP i )1(


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Binomialverteilung: Definition

mnm PPm

nmXP

)1()(

Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen

0-1-Variablen , heißt binomial-verteilt mit

Parametern n und P, kurz X~Bin(n, P)

Es gilt

n

iiXX

1


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Binomialkoeffizient: Definition

))(...21()...21(

)...21(

)!(!

!

mnm

n

mnm

n

m

n

Beispiel

Die Größe

1062

120

)321()21(

)5...21(

2

5

heißt Binomialkoeffizient.


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Binomialverteilung: Anwendungen

• krank vs. gesund

• schwarzbunt vs. braun

• Niedersachsen vs. Bayern

• Grenzwert überschritten vs. unterschritten

• Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich

Die Binomialverteilung kann stets angewendet werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial skalierte Merkmale mit nur zwei Merkmalsausprägungen vorliegen


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Binomialverteilung: Beispiel

Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P = 1/10

gezogene Stichprobe n = 5

• Hormonuntersuchung bei Kälbern

0729.0729.001.010)9.0(1.02

5)2(

329.0656.01.05)9.0(1.01

5)1(

591.0591.011)9.0(1.00

5)0(

32

41

50

XP

XP

XP

etc.


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14


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Binomialverteilung: Eigenschaften

• Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere

E(X) = n P

Beispiel: E(X) = 5 0.1 = 0.5

• Varianz

Var(X) = n P (1-P)

Beispiel: Var(X) = 5 0.1 0.9 = 0.45


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Stetige Zufallsgrößen

b

adxxfbXaP )()(

• Darstellung durch Dichtefunktion f


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:

dxxfbFXPb

)()(b)(

Verteilungsfunktion stetiger Zufallsgrößen

-4 -2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

Dic

hte

b


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a b

Stetige Gleichverteilung


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Stetige Gleichverteilung

]);([~ baGX

)(1

)(

1)(

axab

xF

abxf

für

für

12

)()(

2)(

2abXVar

baXE

bxa

bxa

Beschreibung: X ist eine Größe zwischen a und b, kein Punkt wird bevorzugt

Beispiel: a=0, b=10, Wartezeit auf S-Bahn


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Erwartungswert und Varianz stetiger Zufallsgrößen

Ist stetig mit Dichtefunktion , so definiert man:xf

dxxfXExXEXEXVar

dxxxfXE

)())(()))((()(

)()(

22

X


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Erwartungswert von linear transformierten Zufallsgrößen

Für eine Zufallsvariable X gilt (mit beliebigen Konstanten a und b):

)()(

)()(2 XVarbXbaVar

XEbaXbaE


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Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern , kurz X~N , falls sie die folgende Dichtefunktion besitzt:

2,

2

2)(

2

1exp

2

1:)(

x

Xf X

2 und

Erwartungswert Varianz 2)( XVar

Normalverteilung: Definition

)(XE


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3210-1-2-3

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Dichte der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)

3210-1-2-3

1.0

0.5

0.0

Verteilungsfunktion der Normalverteilung (müh=0, sigma=1)

Normalverteilung


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Normalverteilung

);(~ 2NX

dtexF

sfunktionVerteilung

dtexf

tx

x

2)(5,0

2)(5,0

2

1)(

2

1)(

Beschreibung: „Glockenkurve“


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Anwendung der Normalverteilung

Die Normalverteilung dient als Verteilungsmodellin vielen praktischen Fragestellungen, z.B. bei

• Metrische Größen einer Population• Summen und Durchschnitte von Zufallsgrößen• Natürliche Variabilität• Messfehler


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Schwankungsbereiche der Normalverteilung


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Beispiel zur Normalverteilung

Bei 250 Katzen wurde der Creatinwert im Blut gemessen:

Studie:Judit Zapirain Gastón et al. Prävalenzen des felinen Herpesvirus-1 felinen Calicivirus und von Chlamydophila felis in Mehrkatzenhaushalten


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Quantile der Normalverteilung: Beispiel

• P (X > 20)

• P (5 < X < 20)

• P (-2 < X < 15)

Es sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit =10 und =5.Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

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Vorlesung Biometrie für Studierende der Veterinärmedizin 09.11.2006 1 Begriff der Zufallsgröße Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als Zahlen dargestellt: