Quantenmechanik I

Jens Kortus Jens.Kortus@physik.tu-freiberg.de

TU Bergakademie Freiberg

Literatur: Fließbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer Verlag Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Quantenmechanik Teil 1 und 2 Feynman, Vorlesungen über Physik Greiner, Theoretische Physik, Quantenmechanik (Band 4) ....

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Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei.Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständigzu überprüfen.

Hinweise und Anregungen bitte an: Jens.Kortus@physik.tu-freiberg.de

Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen dieBilder von http://de.wikipedia.org/ oder wurden selbst erstellt.

mailto:Jens.Kortus@physik.tu-freiberg.de?subject=Vorlesung%20QM-Ihttp://de.wikipedia.org/

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Notwendigkeit der Quantentheorie: Stabilität der Atome (positive und negative Ladungen) Aufbau der Elemente ( -> Periodensystem) chemische Bindung, Moleküle Festkörper Spektroskopie (Farben -> Emission + Absorption, Laser)

Anwendungen Messtechnik (NMR, ESR, Squids) Medizin (Kernspintomographie, Laser-Skalpell) Genetik (Faltungen von Proteinen, Erkennung von Basen) Chemie (theoretisches Verständnis von Bindungen und Reaktionen)

Zukunftsträume (aber schon theoretisch möglich) atomares Konstruieren (STM -> Atome bewegen) Vorhersage der Eigenschaften von Materialien Moleküldesign am Computer (Pharmazie, Farbstoffe)

Motivation

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Xenon auf Nickel (110)

http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/atomo.html

Carbon Monoxide on Platinum (111) Iron on Copper (111)

Kanji characters for atom

IBM Almaden STM Image Gallery

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1. Grundlegende Experimente1.1 Das Plancksche Strahlungsgesetz (Hohlraumstrahlung)

Wärmestrahlung (z.B. Eisen mit wachsender Temperatur strahlt) IR (Wärme) -> Rot -> Gelb -Weiß

Messungen der Strahlung zeigen, dass die Strahlung unabhängig vom Material ist.

T

Ofen

Strahlung eines 'Schwarzen Körpers'(Schwarz, da das Loch im Ofen bei T=0 nicht strahlt.)

Welche Frequenzen treten mit welcher Intensität auf?

Rayleigh-Jeans Gesetz klassische Elektrodynamik (Dipolstrahlung) und Statistik (Gleichverteilungssatz)

Im thermischen Gleichgewicht entfallen auf jeden Freiheitsgrad der Bewegung die Energie kT/2.

Berechnung der Energie des elektromagnetischen Feldes in einem Hohlraum Zerlegung der Strahlung in stehende Wellenjede Welle hat Energie kT (kT/2 elektrisch, kT/2 magnetisch) , k=Boltzmann Konstante abzählen der Anzahl der ebenen Wellen [v + dv]

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Würfel mit Kantenlänge a stehende elektrischen Wellen haben Knoten an den Wänden stehende magnetische Wellen haben Bäuche an den Wänden

α

y

x

x cos=n1/2y cos =n2 /2z cos=n3/2

Stehende Wellen bilden sich, wenn die Kantenlänge a ein ganzzahliges Vielfaches von x, y, z ist.

λ/2

n1=2a cos n2=

2a cos n3=

2a cos

wegen cos2cos2cos2=1n1

2n22n3

2=2 a 2=2a c

2 =c= c2a n12n22n32

Alle Frequenzen zwischen 0 und v liegen innerhalb einer Kugel mit Radius 2av/c.Da es nur positive n gibt, erhalten wir (für a>>λ), das die Anzahl der Frequenzen 1/8 eines Kugelvolumen entspricht.

N =18

43

2ac3

d N =4 a32

c3d

spektrale Energiedichted =2kT d N ~T 2 d

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T

2T

nur korrekt für kleine Frequenzen oder große Wellenlängen (ν=c/λ)-> UV Katastrophe: Intensität bei kleinen λ -> ∞Klassische Physik liefert ein falsches Ergebnis!

Rayleigh-Jeans Gesetz ω ~ T ν2

Radio IR Licht UV Röntgen

Wiensches Strahlungsgesetz

~3 e−

T =h/k

nur korrekt für große Frequenzen oder kleine Wellenlängen korrekt wäre ein Mix aus beiden Gesetzen

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Plancksches Strahlungsgesetz (1900)

Interpolation zwischen diesen beiden GesetzenInterpretation: Atome verhalten sich wie harmonische Oszillatoren, die nur diskreteEnergien annehmen können.

E=hv (n+ ½) = ћω (n+½)Die Oszillatoren können nur Energien aufnehmen oder abgeben, die einem ganzzahligenVielfachen eines elementaren Energiequantums sind.h=Plancksches Wirkungsquant = 6.626 10-34 Js ћ=h/2π

~3

ehkT−1

großeh /kT≫1:~3e−hkT

klein e x=1x...:~2kT

Max Karl Ernst Ludwig Planck* 23. April 1858 in Kiel † 4. Oktober 1947 in GöttingenNobelpreis 1918

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Sichtbares Licht hat Wellenlängen zwischen 400-700nm.Dies entspricht einer Energie von hv=2 ... 4 eV ~ 3 104 K.Die Oberflächentemperatur der Sonne beträgt 5800K.

http://www.webgeo.de/beispiele/rahmen.php?string=1;k_304;1

http://www.webgeo.de/beispiele/rahmen.php?string=1;k_304;1

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1.2 Stabilität von AtomenErnest Rutherford 1st Baron Rutherford of NelsonAugust 30, 1871 – October 19, 1937Nobelpreis Chemie 1908

Streuung von α-Teilchen (He2+) an Atomen in einer Goldfolie

+

Einige der α-Teilchen wurden rückwärtsgestreut. Daraus kann man schließen, dass schwere positiv geladene Zentren in der Goldfolie existieren.

Nach klassischen Vorstellung umkreisen die Elektronen auf Planetenbahnen den Kern.Bewegung auf Kreisbahnen ist eine beschleunigte Bewegung. Nach der klassischen Elektrodynamik: jede beschleunigte Ladung strahlt. Energieverlust würde zu einem Zerfall der Kerne nach ca. 10-8 – 10-10 s führen.

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1.3 Photoelektrischer Effekt

Metallplatte im Vakuum mit UV-Licht bestrahlt Es existiert für jedes Metall eine Mindestfrequenz, unterhalb derer keine Elektronen beobachtet werden. keine zeitliche Verzögerung (v

min

proportional zur Frequenz v des Lichtes. Zahl der Elektronen proportional zur Intensität

Erklärung durch Einstein 1905

Licht = Teilchen der Energie E=hv (Photonen) Jedes Photon schlägt ein Elektron aus dem Metal. hv

min entspricht der Bindungsenergie des Elektrons im Metall

(Austrittsarbeit). Zahl der Elektronen ist proportional zur Anzahl der Photonen (Intensität). Kinetische Energie ist proportional h(v-v

min)

Albert Einstein* 14.3. 1879 Ulm † 18. 4. 1955 PrincetonNobelpreis Physik 1921

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1.4 Welle-Teilchen Dualismus

a) Wellencharakter von LichtInterferenz und Beugung von Licht (Huygens 1678)

Christiaan Huygens

* 14. April 1629 in Den Haag † 8. Juli 1695

Beugung am Einfachspalt Beugung und Interferenz am Doppelspalt

Lichtwellen sind elektromagnetische Felder, Felder lassen sich addieren (überlagern).Er= E1 E 2

Die Intensität entspricht der Energiestromdichte ~ |E|2. Intensitäten lassen sichnicht überlagern. (Bild ist nicht Summe der Einzelbilder.)

I= E r⋅E r=∣ E r∣2=∣ E 1 E 2∣

2≠∣ E1∣2∣ E 2∣

2

b) Teilchencharakter von Licht -> siehe photoelektrischer Effekt

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Materiewellen: de Broglie 1924 (Dissertation)

Anwendungen: Elektronenmikroskop, Strukturuntersuchungen durch NeutronenbeugungQuantenoptik, Quantenkommunikation, Quantencomputer, Quantenteleportation ...

Anwendung des Welle-Teilchen-Dualismus, der zu dieser Zeit nur für Photonen bekannt war, auf jegliche feste Materie. Allen Teilchen, Atomen, Molekülen, Materie können Welleneigenschaften zugeordnet werden.

Die Wellenlänge (de-Broglie-Wellenlänge) beweglicher Teilchen mit Impuls p ist gegeben durch

= hp

Wellen: Amplitude und Phase, Ausbreitungsrichtung, Schwingungsrichtung (Polarisation), Wellenlänge leicht messbarMateriewellen: Ausbreitungsrichtung in Bewegungsrichtung, de-Broglie Wellenlänge Phasengeschwindigkeit nicht messbar

Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie * 15. August 1892 in Dieppe, Normandie† 19. März 1987 in LouveciennesNobelpreis Physik 1929

Unteilbarkeit von Teilchen: es werden immer ganze Elektronen beobachtet, im Gegensatz zu Licht (reflektierter und gebrochener Strahl).

z.B. Elektronen mit 10 keV kinetischer Energie haben λ=0.12Å (harte Röntgenstrahlung).

14http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/Flash/Histogram.html

Doppelspaltexperiment mit klassischen Teilchen

nur 1 offen nur 2 offen beide offen

Doppelspaltexperiment mit Wellen

Wie sieht das Bild für Elektronen aus?

Bilder von David M. Harrison, Dept. of Physics, Univ. of Toronto http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/DoubleSlit.html

http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/Flash/Histogram.htmlhttp://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/Flash/Histogram.html

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Wellencharakter von Teilchen (Elektronen)

1927 Elektronenbeugung an einem Ni-Kristall (Davisson & Germer)1961 Doppelspaltexperiments mit Elektronen Claus Jönsson, Tübingen, Zeitschrift für Physik 161, 454 (1961)

Das von Jönsson durchgeführte Experiment wurde im September 2002 in einer Umfrage der englischen physikalischen Gesellschaft in der Zeitschrift "Physics World" zum schönsten physikalischen Experiment aller Zeiten gewählt. http://physicsweb.org/articles/world/15/9/2

Elektronen zeigen Teilchen- oder Welleneigenschaften genau wie Licht.

http://physicsweb.org/articles/world/15/9/2

16"Wave-particle duality of C60" Markus Arndt et al., Nature 401, 680-682, 14.October 1999

Welle-Teilchen Dualismus von C60

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Auf Grund des Wellencharakters der Materie können wir den Zustand eines physikalischen Systemes durch eine Wellenfunktion ψ(r,t) beschreiben. Das Betragsquadrat |ψ(r,t)|2=ψ*ψ ist die Wahrscheinlichkeitsdichte für denNachweis von Teilchen am Ort r zur Zeit t.

2. Materiewellen und Wellengleichung für freie Teilchen2.1 Begriff Wellenfunktion

Die Wellenfunktion ψ(r,t) ist eine komplexe skalare Größe, da keine Polarisationwie bei elektromagnetischen Wellen beobachtet wurde.

Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zur Zeit t am Ort r im Volumenelement d3r zu finden:

w(r,t) d3r =|ψ(r,t)|2d3r=ψ*ψ d3r.

Wahrscheinlichkeitsdichte w(r,t) =|ψ(r,t)|2=ψ*ψ

Für ein einzelnes Teilchen muss gelten: ∫w(r,t) d3r =∫|ψ(r,t)|2d3r=∫ψ*ψ d3r=1Normierung: Erfüllt ψ(r,t) nicht diese Bedingung, kann es immer normiert werden.

r ,t = ∣ r , t ∣2

∫∣ r ,t ∣2 d3r

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Wellenfunktion ψ(r,t)

Wahrscheinlichkeiten sind positiv definite Größen. Nur das Betragsquadrat besitzt einedirekte physikalische Bedeutung. Die Wahrscheinlichkeitsamplitude (Wellenfunktion) selbst ψ(r,t) nicht.Für viele gleichartige Teilchen (Photonen) ergibt sich eine Intensitätsverteilung durch Superposition der Wellenfunktionen und Berechnung des Betrages der resultierenden Wellenfunktion. |ψ(r,t)|2 = groß -> viele Teilchen |ψ(r,t)|2=0 kein Teilchen

Materiewellen sind keine spezifischen physikalischen Eigenschaften, sondern können alsstatistisches Verhalten interpretiert werden. Der Nachweis durch einen Einzelprozeß zeigt immer nur den Teilchencharakter.

Materiewellen können als Wahrscheinlichkeitswellen interpretiert werden.-> statistische Interpretation der QM

In der QM kommt es zu Interferenz wenn Alternativen existieren, die zum gleichenMessergebnis führen. Wird durch die Versuchsdurchführung eine der Alternativenausgeschlossen verschwindet die Interferenz.

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Wir suchen eine Gleichung, aus der die Wellenfunktionen für Teilchen bestimmt werden können.

Die Schrödingergleichung kann nicht streng aus ersten Prinzipien abgeleitet werden.Wir versuchen die Schrödingergleichung in Analogie zu Lichtwellen auf Grund des Welle-Teilchen Dualismus plausibel zu machen.

Welle-Teilchen Dualismus ist experimentell sehr gut gesichert alle Teilchen mit festem Impuls haben eine Wellenlänge (de Broglie 1924) QM als allgemeine Theorie sollte die makroskopisch korrekte klassische Mechanik als Grenzfall enthalten. (Hamilton-Jacobi Theorie: Wirkungswellenkonzept)

Motivation zur Schrödingergleichung

20

2.2 Lichtwellen (Wiederholung aus der ED)

Wellengleichung aus Maxwellschen Gleichungen der ED für elektrische Feld

E r , t = 1c2

∂2

∂ t 2E r , t = ∂

2

∂ x 2∂2

∂ y2∂2

∂ z2

Lösung durch Ansatz für ebene WellenE r , t = E0e

i k⋅r− t

ist eine Lösung falls ω=c k allg. Lösung:Wellenvektor k zeigt die Ausbreitungsrichtung der Welle (Coulomb F=e Re E)

E r , t =∭d3 k E 0 k ei k⋅r− t

z.B. k || x-Achse E(x, t)=E0 cos(k x -ωt)

Periode τ : E(x,t+τ)=E(x,t) -> ωτ = 2π ω = 2π/τ = 2π v Wellenlänge λ: E(x+λ,t)=E(x,t) -> kλ = 2π k = 2π/λ aus ω=c k -> 2π v = c 2π/λ -> v λ = cInterferenz: E werden addiert (Superpositionsprinzip), da die Maxwellschen GL. lineare DGL sindIntensität: ~ Energiestromdichte (Poyntingvector) ~ |Re E|2

∣Re E1Re E2∣2=∣Re E1∣

2∣Re E2∣22 Re E1⋅Re E2

Intensitäten (Bilder) addieren sich nicht!

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Einschub aus der Relativitätstheorie

ED ist eine relativistische Theorie (c=Lichtgeschwindigkeit) eine analogerelativistische Wellengleichung führt zur Quantenelektrodynamik. E=mc2

E2 = m2c4 = p2 c2 + m0

2c4 Energie und Masse wachsen mit dem Impuls (Geschwindigkeit).Übergang zur klassischen Mechanik ergibt sich für kleine p (c>>|v|)

E=m02c4p2c2=m0c21 p2c2m02c 4~m0c2112 p2c2m02c4 =m0c212 p2m0 1x ~112 x ...Licht m

0=0 Photonen haben keine Ruhemasse, aber einen Impuls

-> E2 = p2 c2 E = |p|c p=|p|

E = hv = ћω = ћ c k = p c -> p= ћk ( p = ћk )

E = ћω Energie eines Photonsp = ћk Impuls eines Photons

Damit lassen sich auch jedem Teilchen mit festem Impuls eineWellenlänge zuordnen.

da k=|k|=2π/λ p= ћk = ћ 2π/λ = h / λ de Broglie 1924

22

2.3 Relativistische Gleichung für Materiewellen (Klein-Gordon Gleichung)

In Analogie zur ED und ebenen Wellen als Lösungsansatz suchen wir eine Gleichungfür Materiewellen (Teilchen), für die ψ(r,t) eine Lösung ist.

r ,t =0ei k⋅r− t

Auf Grund der experimentellen Befunde zum Welle-Teilchen Dualismus fordern wiraußerdem, das die Energie und Impuls Beziehungen für Licht gelten sollen.

E = ћω Energiep = ћk Impuls

Wir starten von der relativistischen Gleichung mit m0≠0: E2 = m2c4 = p2 c2 + m

02c4.

Einsetzen der Energie und Impuls Beziehungen und Multiplikation mit ψ(r,t) gibt: ℏ22=ℏ2c2 k2m0

2c4

−ℏ2∂2∂ t 2

=−ℏ2c2m02c4

Klein-Gordon Gleichung 1926 (für m0=0 bekannte Gleichung für Licht)

− 1c2∂2∂ t 2

=m0

2c2

ℏ2

∂∂ t =−i

∂∂ x j

=i k j

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2.4 Nicht relativistische Gleichung für Materiewellen (Schrödinger Gleichung 1926)

Wir starten von der klassischen Mechanik, fordern aber die Gültigkeit des Energie und Impuls Beziehungen für Licht auf Grund des Welle-Teilchen Dualismus.

r ,t =0ei k⋅r− t

Es gilt also E = p2/2m, E = ћω , p = ћk

ℏ=ℏ2k 2

2m

i ℏ∂∂ t=−ℏ2

2m

∂∂t =−i

∂∂ x j

=i k j

Für ein Teilchen in einem externen Potential U(r) erhält man eine Verallgemeinerung durch die klassische Hamiltonfunktion H = p2/2m + U(r), die die klassische Gesamtenergie desSystemes beschreibt.

i ℏ∂ r ,t ∂ t

=−ℏ2

2mr ,t U r r , t

Schrödingergleichung: Axiom, nicht streng herleitbar

Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger * 12. August 1887 in Wien-Erdberg† 4. Januar 1961 in WienNobelpreis Physik 1933

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Kohärenzlänge = Länge des Wellenzuges

In Wirklichkeit hat man es nicht mit unendlich ausgedehnten Wellen (ebene Wellen),sondern immer mit Wellenpaketen zu tun. Damit es zu Interferenz kommen kann,muss die Kohärenzlänge l

c groß gegenüber der Messapparatur sein.

z.B. realistische Zeiten für die Abstrahlung eines Photons von einem Atom betragenτ~10-8s. Damit ergibt sich eine Kohärenzlänge l

c=c*τ ~ 3m des Wellenpaketes.

2.5 Wellenpakete und Kohärenzlänge

Ein Gaußsches Wellenpaket ist eine Welle, die mit einer Gaußfunktion moduliert ist (Multiplikation der Wellenfunktion mit einer Gaußfunktion). Eine Besonderheit liegt darin, dass die Fouriertransformation einer Gaußfunktion (und damit die Frequenzverteilung) wieder eine Gaußfunktion ergibt.

ψ ψ*ψ

25

3. Wellenfunktion, Schrödingergleichung und Operatoren

Der Zustand eines QM Systemes wird durch eine Wellenfunktion beschrieben.ψ(r,t)=Wellenfunktion=Zustandsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ein Elektron am Ort r zur Zeit t zu finden istdurch das Betragsquadrat der Wellenfunktion gegen.

r , t =∣ r , t ∣2

∫∣ r , t ∣2 d3r=

*r ,t r ,t

∫*r ,t r , t d3r

Für eine große Anzahl von gleichartigen Teilchen entspricht w(r,t) einerIntensitätsverteilung -> statistische Interpretation der QM.

Die Wellenfunktion kann durch Lösung der Schrödingergleichung erhalten werden.

i ℏ∂ r , t ∂ t

=H =−ℏ2

2m r , t U r r ,t

H = Hamiltonoperator (Operator: Funktion -> Funktion)ergibt sich aus der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik.

26

Beispiel freies Teilchen in einem großen Volumen V

frei = es wirken keine Kräfte -> potentielle Energie U(r)=0Schrödingergleichung

i ℏ∂ r , t ∂ t

=H =−ℏ2

2m r , t

Lösungen sind ebene Wellen:

r ,t =0ei k⋅r− t mit Nebenbedingung ℏ=ℏ

k 2

2mi ℏ−i=

−ℏ2

2m −k 2 ℏ=

ℏ2 k 2

2m

Normierung der Wellenfunktion

∫ *d3 r=∫0*e−i k⋅r− t 0e i k⋅r− t d3 r=∫ 0* 0 d3 r=0*0∫d3 r= 0* 0V=1∣0∣=

1V

Lösung ist also eine ebene Welle mit fester Energie E = ћω und Impuls p = ћk mit Ausbreitungsrichtung k || p und Gruppengeschwindigkeit (Teilchengeschwindigkeit)

v g k =ddk

=ℏ km=v

An welchem Ort finden wir das Teilchen? |ψ(r,t)|2 = 1/VDie Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist für alle Raumpunkte gleich.

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3.1 Operatoren und Messwerte

Impulsoperator: der klassische Impuls p wird durch den QM Impulsoperator pop

ersetzt

pop=ℏi ∂∂ x , ∂∂ y , ∂∂ z =ℏi grad=ℏi ∇

pop2 = pop⋅ pop= ℏi ∇ ⋅ ℏi ∇ =−ℏ2∇⋅∇=−ℏ2=−ℏ2 ∂

2

∂ x2 ∂

2

∂ y2 ∂

2

∂ z2 Ortsoperator: der klassische Ort r wird durch den QM Ortsoperator r

op ersetzt

r -> rop

= Multiplikation mit rFunktionen U(r) -> U

op(r) Multiplikation mit Funktion

Index op wird in Zukunft weggelassen !

Die Reihenfolge der Operatoren ist im allgemeinen nicht vertauschbar!

x p x r , t =x p x r , t =x ℏi ∂ r , t ∂ x p x x r , t = p x x r , t = ℏi ∂∂ x x r , t =ℏi r , t x ∂ r , t ∂ x

x p x− p x x r , t =−ℏir , t

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Eigenwerte von Operatoren entsprechen physikalischen Messwerten

A) Meßwerte des Impulsoperators für eine ebene Welle

Eigenwertgleichung aus der Algebra

a11 a12a21 a22 x1x2= x1x2 A x= x

pop=ℏi

grad=p p=ℏk nach de Broglie

r , t =0ei k⋅r− t

QM: Operator Funktion = Zahl Funktion

B) Messwerte des Hamiltonoperators für freies Teilchen

H op=−ℏ2

2m=

pop2

2m

H op=pop

2

2m=

ℏ2 k 2

2m=E

Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die möglichen Messwerte der EnergieC) allgemein: beliebiger Operator A einer physikalischen Messgröße

Eigenwertgleichung A=aEigenwerta=möglicher Messwert

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In der klassischen Hamiltonfunktion H=p2/2m+U(r) werden klassische Größen wie Ort und Impuls werden durch Operatoren ersetzt.

3.2 Formale Quantisierung eines physikalischen Systems

pℏi ∂∂ x , ∂∂ y , ∂∂ z =ℏi grad=ℏi ∇

E i ℏ ∂∂ t

Durch diese Ersetzung erhalten wir eine lineare partielle DGL für die Wellenfunktion ψ(r,t).

i ℏ∂ r ,t ∂ t

=H

Linerare GL: wenn ψ(r,t) eine Lösung ist, dann ist auch a ψ(r,t) LösungNormierung der Wellenfunktion ∫|ψ(r,t)|2d3r=∫ψ*ψ d3r=1

Anmerkung: Die Wahl der klassischen generalisierten Koordinaten für ein gegebenes System ist im allgemeinen nicht eindeutig. Die Reihenfolge von q und p ist in der klassischen Mechanik willkürlich. Der Hamiltonoperator ist damit nicht eindeutig.Die Mehrdeutigkeit verschwindet, wenn die Ersetzungsregeln nur auf kartesische Koordinaten angewandt werden. Zusatzregel pq -> (qp+pq)/2

Schrödingergleichung

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3.3 Stationäre (zeitunabhängige) Zustände

Wenn der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt, kann man von derzeitabhängigen Schrödingergleichung zu einer zeitunabhängigen übergehen.

i ℏ∂ r ,t ∂ t

=H =−ℏ2

2m r , t U r r , t

Lösungsansatz: Separation der Variablen r , t =e−i t r

Einsetzen in die Schrödingergleichung gibt

ℏe−i t r =E e−i t r =H e−i t r

Übrig bleibt der zeitunabhängige Teil der Schrödingergleichung H ψ(r) = E ψ(r) deren Lösung ψ(r) gibt. Die Lösungen ψ(r) heißen stationäre Zustände, da

Die vollständige zeitabhängige Lösung der Schrödingergleichung ist ψ(r,t) = e-iωt ψ(r)und damit zeitabhängig.

w r , t =*r ,t r ,t =ei t*r e−i tr =*r r =w r

zeitunabhängig ist. Stationäre Zustände haben eine feste Energie.

31

3.4 Wahrscheinlichkeitsstromdichte

∂∂ t

* =∂*

∂ t*

∂∂ t

i ℏ∂ r ,t ∂ t

=−ℏ2

2mr ,t −i ℏ

∂ r , t *

∂ t=−ℏ2

2m r ,t *

Schrödingergleichung und deren komplex kongugiertes

∂∂ t

* = ℏi 2m [

*−* ]

Definition der Wahrscheinlichkeitsstromdichte (Achtung )

j r ,t =ℏ

i 2m [*r , t ∇ r , t − r , t ∇ *r , t ]

damit kann man eine Kontinuitätsgleichung formulieren∂∂ t

w r ,t divj r , t =0

die zeitliche Änderung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem bestimmten Volumenist gleich dem Wahrscheinlichkeitsstrom durch die Oberfläche des Volumens.(Teilchenerhaltung analog zur Ladungsstromdichte der ED)

∇=grad

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4. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ergebnis eines einzelnen Experiment ist im allgemeinen nicht im voraus berechenbar,jedoch lassen sich statistische Aussagen über viele Experimente treffen.Definitionen:Physikalische Größe: A (Energie, Impuls ...)Messwert dieser Größe: a (alle möglichen Werte für Messung von A)Wahrscheinlichkeit w(a), dass das Messergebnis a auftritt

w a= limN∞

N aN

N=Anzahl der MessungenN a =Anzahl der Messungen mit Ergebnis a0≤w a≤1 ∑

aw a=1

Messwerte in der Physik sind häufig kontinuierlich (z.B. Ort) und nicht diskret.w(a) ist dann eine Wahrscheinlichkeitsdichtew(a)da= Wahrscheinlichkeit, dass der Messwert im Intervall [a-da/2,a+da/2] liegt

∑∫ ∑ w a∫w ada

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Mittelwert einer Größe A heißt auch Erwartungswert

〈 A〉=A=∑aa w a

4.1 Mittelwerte (Erwartungswerte)

Mittelwert einer Funktion f(A)

〈 f A〉=∑a

f a w a 〈 f A 〉=∫af a w a da

Welches Experiment ist genauer?

0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

Messungen0 2 4 6 8 10 12

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

Messungen

34

4.2 Mittlere quadratische Abweichung = Schwankungsquadrat = Unschärfe

Mittelwert der Abweichung vom Mittelwert ist ungeeignet〈A−〈 A 〉〉=〈 A 〉−〈 A 〉=0

A=〈 A−〈 A〉 2〉

A 2=〈 A2−2 A 〈 A 〉〈 A 〉2〉=〈 A2〉−2〈 A 〉 〈 A〉〈 A 〉2=〈 A2〉−〈 A 〉2

A=〈 A2〉−〈 A〉2

Viele physikalische Größen haben im allgemeinen ∆A≠0.-> Messungen liefern jedesmal ein anderes Ergebnis(Heisenbergsche Unschärfe ∆x∆p≥ћ/2)

In wichtigen Sonderfällen wie z.B. stationären Fällen kann die Unschärfe Null (∆A=0) werden.

Die Aufgabe der QM besteht oft in der Berechnung der möglichen Eigenwerte (Messwerte) a einer physikalischen Größe A und derer Wahrscheinlichkeiten w(a).

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5. Einfache Beispiele

5.1 Teilchen in einem Kasten mit unendlich hohen Wänden (zunächst nur 1D)

0 L

UU = 0 für 0 ≤ x ≤ L = ∞ außerhalb

i ℏ∂ x , t ∂ t

=H x , t =−ℏ2

2m∂2 x , t ∂ x 2

U x x , t 1D Schrödingergleichung

gesucht werden die stationären Zuständen (Lösungen mit fester Energie) Hψ=Eψ.

−ℏ2

2m∂2 x ∂ x2

U x x =E x

Endliche Energien nur möglich, wenn ψ(x)=0 außerhalb des Kastens. Randbedingung für die Lösung der obigen Schrödingergleichung im Intervall zwischen 0 ≤ x ≤ L ist also ψ(0)=ψ(L)=0.Die Gleichung besitzt viele Lösungen ψ

n mit verschiedenen Energien E

n.

−ℏ2

2m∂2n x ∂ x2

=En x n x =ansin k n x n x =bncos k n x

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Die Randbedingungen schränken diese allgemeinen Lösungen ein.aus ψ(0)=0 -> alle b

n=0, da cos(0)=1

aus ψ(L)=0 -> knL= nπ, da sin(nπ)=0 -> k

n= nπ/L

n x =an sin nL x n=1,2,3, 4, ...a

n aus Normierung der Wellenfunktion

1=∫0

L

n*ndx=∫

0

L

an2 sin2

nL

x dx=an2∫

0

L 121−cos

2n L

x dx=an2 12 [ x− L2n sin 2n L x ]0

L

=an2 L2

cos2=cos2−sin2=1−2sin2

sin2=121−cos2

an=2L

x/L x/L

ψ ψ*ψ

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Abstand zweier Energieniveaus

En1−E n=ℏ2

2m2

L2n12−n2=ℏ

2

2m2

L22n1

für L groß: sehr kleine Energieabstände, praktisch alle Energien kontinuierlich erlaubtfür L klein: nur diskrete Energiedifferenzen erlaubt (-> scharfe Spektrallinien)

En x =−ℏ2

2m∂2n x ∂ x2

=ℏ2

2m nL 2

ansin nL x En=

ℏ2

2m nL 2

=ℏ2k n

2

2m

Zur Berechnung der Energien setzen wir die Lösung für ψn(x) in die Schrödingergl. ein.

Auf Grund der Randbedingungen sind nicht alle Energien oder Impulse erlaubt. Die diskreten Energieniveaus sind die messbaren Energieeigenwerte. Sie sind ein qualitativ neues Ergebnis der QM.

Die Unschärfe der Energie im Zustand ψn beträgt ∆E

n=0.

An=annA2n=A An=A an=an

2n

38

En1−E n=ℏ2

2m2

L2n12−n2=ℏ

2

2m2

L22n1

E = hv = ћω = ћ c k = h c /λ

Absorptionsspektren von aromatischenRingmolekülen zeigen mit zunehmenderMolekülgröße eine Verschiebung zu größerenWellenlängen (kleineren Energien).

Elektronen in π-Bindungen sind schwachgebunden und können näherungsweise alsTeilchen in einem Kasten der Länge des Moleküles betrachtet werden.

Absorptionsspektren von aromatischen Ringmolekülen

Haken&Wolf, Molekülphysik und Quantenchemie, S.259

39

5.2 Teilchen in einem 3D-Kasten mit unendlich hohen Wänden

L1

L2

L3

−ℏ2

2m ∂2

∂ x2 ∂

2

∂ y2 ∂

2

∂ z2 x , y , z =E x , y , z Randbedingungen, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Kasten 0 ist.

0, y , z = L1, y , z =0 x ,0 , z = x , L2, z =0 x , y ,0= x , y , L3=0

Lösungsansatz: Separation der Variablen ψ(x,y,z)= ψ(x) ψ(y) ψ(z)

n1n2n3 x , y , z =2L1 sin n1L1 x 2L2 sin n2L2 y2L3 sin n3L3 z E n1n2n3=

ℏ2

2m2n12L12n2

2

L22

n32

L32

Sommerfeld-Modell der Metalle: Erklärung der elektrischen Leitfähigkeit mit QM

40

5.3 Tunneleffekt

U0

U0

kinetische Energie kleiner U0

kinetische Energie größer U0

klassische MechanikReflexion, Streuung

Quantenmechanik: gesucht seien Zustände mit fester Energie

I II III

0 L

I: − ℏ2

2md 2

dx 21 x =E1 x 1 x =A1e

i k 1 xB1e−i k 1 x E=

ℏ2

2mk 1

2

II: − ℏ2

2md 2

dx 2 2x U 02 x =E2 x 2 x =A2e

i k 2 xB2e−i k 2x E= ℏ

2

2mk 2

2U 0

III: − ℏ2

2md2

dx23 x =E 3 x 3 x =A3 e

i k 3 xB3e−i k 3 x E=

ℏ2

2mk 3

2

(Allgemeiner Lsgsansatz für DGL 2.Ordnung-> siehe Mathematik)

Da die Energie gegeben ist und konstant in allen Bereichen (Energieerhaltung)

k 1=k 3=1ℏ2m E k 2=

1ℏ 2m E−U 0

k2 für E

41

Randbedingungen: Wellenfunktion soll stetig sein

1 0= 2 0dd x 1 0 =

dd x 2 0

2 L = 3 L dd x 2 L =

dd x 3 L

I II III

0 L

4 Gleichungen für 6 Unbekannte, weitere Bedingung aus Normierung der Wellenfunktion-> eine der Konstanten ist völlig frei -> durch Experiment beschriebenz.B. Teilchen kommen nur aus Bereich I (von links) aber nicht aus III (von rechts) B

3=0

I II III

0 L

A3 entspricht einem Anteil, der klassisch verboten ist.

Bestimmen der Unbekannten aus den Randbedingungen und den allg. Lösungen

A1B1=A2B2 A1k 1−B1k 1= A2k 2−B2k 2A2e

i k 2 LB2e−i k 2 L=A3e

i k 1 L A2k 2ei k 2 L−B2k 2e

−i k 2 L=A3 k 1ei k 1 L

42

b) E

43

k 1=k 3=1ℏ2m E = 1

ℏ 2m U 0−E

sinh L=12e L−e− L ≈ 1

2eL falls L≫1 sinh2 L≈ 1

4e2 L

D=∣A3A1∣2

=4 k 1

22

k 1222 sinh2 L4k 1

22≈

16k 122

k 1222

e−2 L

Für Festkörper typisch U0-E~5eV,

für ein Elektron ergibt sich dann:L=1Å : e-2κL ~ 0.1L=2Å : e-2κL ~ 0.01L=10Å : e-2κL ~ 10-10

Je größer die Masse, desto kleinerist D.

44

Beispiele für den Tunneleffekt

qualitatives Verständnis der chemischen BindungBeim Tunnelprozess wird die Gesamtenergie abgesenkt -> Bindungsenergie

Benzolring: Kollektives Tunneln aller Doppelbindungen -> alle C-C Bindungen gleich lang

Radioaktiver α-Zerfall

α-Teilchen können aus dem Potentialtopf auf Grund der Kernkräfte hinaustunneln.

1/r

45

6. Hilbertraum und lineare Operatoren (mathematische Grundlagen QM)

6.1 Hilbertraum

Raum = mathematisches Konstrukt: Vektorraum

a) Der lineare komplexe Raum ist die Menge von mathematischen Objekten mit folgenden Eigenschaften:

1. ψ und φ seien Elemente der Menge, dann ist ψ±φ auch ein Element.2. Es existiert ein Element 0 (Nullelement) mit ψ+0=ψ, ψ-ψ=0.3. Wenn ψ Element der Menge ist, dann ist auch λψ (λ= komplexe Zahl) Element.

David Hilbert * 23. Januar 1862 Königsberg† 14. Februar 1943 Göttingen

46

Beispiele für Realisierungen

I. Menge der komplexen 3D Vektoren a=(ax,a

y,a

z) mit a

x=Re a

x + i Im a

x

a, b seien Vektoren, dann ist a±b=(ax±b

x,a

y±b

y,a

z±b

z) ebenfalls ein Vektor

a + (0,0,0)=a Nullvektor (0,0,0) λa=(λa

x,λa

y,λa

z) ist ebenfalls ein Vektor λa

x = Multiplikation zweier komplexer Zahlen

II. Menge der Wellenfunktionen (Zustandsfunktionen) aus der Lösung der Schrödingergl. ψ(r,t) und φ(r,t) seien Lösungen der Schrödingergleichung, dann ist auch ψ±φ Lsg. Funktion identisch Null ist Lsg. der Schrödingergleichung λψ(r,t) ist auch eine Lösung

III. weitere mathematische Mengen (z.B. Matrizen)

47

Der Hilbertraum ist ein linearer komplexer Raum, für den zusätzlich ein Skalarprodukt mit folgenden Eigenschaften definiert ist: (ψ,φ) = a = komplexe Zahl (Mathematik: a ist endlich) (ψ, λφ) = λ(ψ,φ) λ = komplexe Zahl (φ,ψ) = (ψ,φ)* = a*

=> (λψ,φ) = (φ,λψ)* = [λ(φ,ψ)]* = λ*(φ,ψ)* = λ*(ψ,φ)

(ψ,φ1±φ

2) = (ψ,φ

1) ± (ψ,φ

2)

=> (ψ1±ψ

2,φ) = (ψ

1,φ) ± (ψ

2,φ)

(ψ,ψ) ≥ 0 und reell, endlich (ψ,ψ) = 0 falls ψ = 0

Def. der Norm („Länge“):

ψ, φ sind orthonormal, falls

b) der Hilbertraum der Physiker

,=∥∥

,= 0 ≠1 =

48

c) der Hilbertraum (der Mathematiker)

zusätzliche Forderung nach Vollständigkeit für Mathematik sehr wichtige Forderung, aber jeder komplexe Vektorraum kann vervollständigt werden

z.B., Vervollständigung der rationalen Zahlen durch irrationale Zahlen Grenzwerte müssen im Raum enthalten sein

z.B. Menge der reellen Polynome vom Grad N,bilden einen linearen Raum, Skalarprodukt

Es ist

sin = Grenzwert eines reellen Polynoms für N -> ∞

Mathematisch strenge Definition eines Hilbertraum:Ein linearer komplexer Raum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt Hilbertraum.

f N x =∑n=0

N

an xn

f N , f M ≝∫0

2

f n⋅ f m dx

sin x=x− x3

3 ! x

5

5 ! ⋯ =∑

n=0

∞

an xn

49

Basis im Hilbertraum

Es gibt Sätze von Elementen des Hilbertraumes, i=1, 2,..., die orthonormiert

und vollständig sind. Die Vollständigkeit bedeutet, dass jedes Element alsLinearkombination der Basis ausgedrückt werden kann.

i , j=ij

=∑iaii

Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus den Definitionen des Skalarproduktesherleiten.z.B. erhält man die Entwicklungskoeffizienten a

i aus:

i ,= i ,∑ja j j =∑

ji , a j j =∑

ja j i , j =∑

ja j ij=ai

50

Beispiele für Realisierungen:

komplexe Vektoren mit

reelle Vektoren mit Skalarprodukt

a ,b=a x* bxa y

* b yaz* bz ∥a∥=∣a x∣2∣a y∣2∣az∣2

,=〈∣〉=∫*r ,t r , t d 3r

Die Lösungen der Schrödingergleichung (Wellenfunktionen)sind Elemente eines Hilbertraumes mit dem Skalarprodukt (Metrik)

,=∫* d3r=∫**d 3r= ,* ,=∫*d 3r=∫*d 3r ,=∫ *d 3r=∫**d 3r=*∫*d 3r ,1±2=∫*1±2d 3r=∫*1d 3r±∫*2 d 3r= ,1± ,2

Dirac Schreibweise für das Skalarprodukt bra = engl. bracket= Klammer

Paul Adrien Maurice Dirac * 8. August 1902 Bristol † 20. Oktober 1984 TallahasseeNobelpreis Physik 1933

51

Vergleich N-dimensionaler Vektorraum mit Hilbertraum

Vektorraum Hilbertraum a Vektor ψ {e

n} Basis {φ

n}

ei·e

j=δ

ij Orthonormierung = δ

ij

a = ∑ ai e

i Entwicklung ψ=∑ a

i φ

i

a

i = e

i·a a

i =

a·b = b·a Symmetrie Skalarprodukt = <

ψ | φ>*

Die Elemente des Hilbertraumes für die Quantenmechanik sind normierbare Funktionen, die Dimension des Hilbertraumes ist unendlich. Die Basis im Hilbertraum ist durch ein geeignetes vollständiges orthonormales System von Funktionen gegeben.

52

1. Schwarz'sche Ungleichung

Beweis: siehe Übung(reelle Vektoren = Länge des Vektors a)

2. Dreiecksungleichung

Beweis: siehe Übungreelle Vektoren = Länge a

∣ ,∣∥∥∥∥= , ,

∥a∥=ax2a y2a z2∣a⋅b∣=∣a⋅b⋅cos∣a⋅b ∣cos∣≤1

∥∥∥∥∥∥

∥a∥ab

a

b

6.2. Mathematische Eigenschaften

b

a

53

6.3. Lineare Operatoren im Hilbertraum

Def: Ein Operator bildet ein Element des Hilbertraumes auf ein anderes ab.

Matrix im Raum der 3D Vektoren

Translationsoperator

Operator muss nicht explizit bekannt sein, nur seine Wirkung.

Inversionsoperator

Einstein: Summation über doppelten Index (EinsteinscheSummenkonvention)

A=

a xx a xy a xza yx a yy a yza zx a zy a zz bxb yb z =

c xc ycz aijb j=ci

x1, y2, z3

∑j=1

3

aijb j=ci

∂∂ x=

T x , y , z = xa , yb , zc

P r = −r

54

Def: ein Operator A heißt linear, falls gilt:

Gegenbeispiel: Multiplikation mit

im Allgemeinen ist z.B. A = px, B = x

Def: Die Verknüpfung der Operatoren A und B in folgender Form: AB – BA =[A,B] = C (anderer Operator) heißt Kommutator.

A 1122=1 A 12 A2

A= ,A = ,

∥∥2

AB≠B A

[ x , p x]=i ℏ[ x , p y ]=0

[ x , x ]=0 [ p x , p x]=0

55

Def: Inverser Operator („rückgängig machen“)B ist zu A invers, falls AB = BA = 1 gilt.B = A-1 (Schreibweise nicht 1/A

, p

x-1 -> Integration)

AA-1 = 1

z.B. = Integration

Def: Adjungierter OperatorB heißt adjungierter Operator zu A, falls gilt

∂∂ x

∂∂ x −1

, A=B ,=A* ,

1 A12 A2*=1

* A1*2

* A2*

AB*=B* A*

B=A*

, A B=A* , B=B* A* , , AB=AB * ,AB*=B* A*

A**=AHausaufgabe

56

Def: selbstadjungierter (hermitescher) Operator Operator A heißt selbstadjungiert, falls A* = A. Alle physikalisch sinnvollen Operatoren sind selbstadjungiert.

Def: Unitäre OperatorenDef: Operatur U heißt unitär, falls gilt U* = U-1 UU* = U*U = 1

Das Skalarprodukt ist bei einer unitären Transformation invariant. (ändert sich nicht, wenn auf Elemente des Hilbertraumes angewandt)(Uψ,Uφ) = (ψ,φ) (U*Uψ,φ) = (ψ,φ) BeweisBeispiel: Translationsoperator Tψ(x) = ψ(x+a) der Ort x wird um a verschoben

,=∫−∞

∞

dx*x x

T ,T =∫−∞

∞

dx*xa xa

=∫−∞

∞

dy* y y

y=xady=dx

57

Fourier-Transformation F[ψ(x)] = ψ(k)(Fφ,Fψ) = (φ,ψ) Norm bleibt erhalten Beispiele für selbstadjungierter Operatoren:

1)

Ortsoperator ist ein selbstadjungierter Operator (y, z ebenfalls)-> r ist ein selbstadjungierter Operator

2)

, x=∫ d3r *r xr =∫ d 3r xr *r = x ,

〈∣p x〉= ,ℏi∂∂ x=∫ d 3r*r ℏi

∂∂ xr =

partielle Integration

∫dx f x ddx g x =

= f x g x∣ −∫dx ddx f x g x

0, falls ψ* und/oder φ im ∞ verschwindet.

=∫d 3r ℏi ∂∂ x r *

r = ℏi ∂∂ x ,=〈 p x∣〉

=∫dy dz* x , y , z x , y , z ∣x=−∞x=∞ −∫d 3r ℏi ∂∂ x * r r

58

px=ℏi∂∂ x

ist ein selbstadjungierter Operator (py,p

z ebenfalls)

p=ℏigrad ist ein selbst adjungierter Operator

Bemerkungψ, φ seien ebene Wellen, z. B. r =ei

k 1⋅r r =eik 2⋅r

≠0 für r∞

, ℏi ∂∂ x =∫ d 3r e−i k1⋅r ℏi ∂∂ x ei k 2⋅r=∫d 3r e−i k 1⋅r ℏi i k 2

x e ik 2⋅r

=ℏ k 2x ∫ d 3r e−i k 1− k 2⋅r

=ℏ k 2x 23 3 k 1−k 2

59

ℏi ∂∂ x ,=∫ d 3r ℏi ∂∂ x e i k1⋅r *

e ik 2⋅r

=∫ d 3r ℏ k 1x ei k 1⋅r *eik 2⋅r

=ℏ k 1x∫ d 3r e−i k 1⋅r e i k 2⋅r=ℏ k 1x∫ d 3r e−i k 1−k 2⋅r

=ℏ k 2x 233 k 1−k 2

0 für ≠0 für

3k−k ' =k 1≠ k 2k 1= k 2

, px = p x , px ist selbstadjungiert

-> ist selbstadjungiertp

Völlig analog lässt sich dies für py und p

z zeigen, so dass die Komponenten

des Impulsoperators selbstadjungiert sind.

60

Messgrößen werden durch selbstadjungierte Operatoren dargestellt.

A n=ann

6.4 Eigenwerte und Erwartungswerte von hermiteschen Operatoren

http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/PictDisplay/Hermite.html

Charles Hermite * 24. Dezember 1822 Dieuze (Lothringen)† 14. Januar 1901 Paris

Die Lösung der Eigenwertgleichung für einen Operator A liefert die Eigenwerte an

und Eigenvektoren φn.

Wenn A ein hermitescher Operator (ψ,Aψ)=(Aψ,ψ) ist gilt:

〈n∣An 〉=〈n∣ann 〉=an 〈n∣n 〉〈 An∣n 〉=〈ann∣n 〉=an

*〈n∣n 〉

an=an*

Die Eigenwerte hermitescher Operatoren sind immer reelle Zahlen.

61

Die Eigenvektoren hermitescher Operatoren bilden eine Basis im Hilbertraum.

〈m∣An〉=〈m∣ann 〉=an 〈m∣n〉〈 Am∣n〉=〈amm∣n〉=am

* 〈m∣n 〉=am 〈m∣n〉

Aus der Differenz dieser beiden Gleichungen ergibt sich für hermitesche Operatoren:

0=an−am 〈m∣n〉

Daraus folgt für verschiedene Eigenwerte an≠a

m, das die Eigenfunktionen zu

verschiedenen Eigenwerte zueinander orthogonal sind (Skalarprodukt ist Null).

Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren (Entartung), lassen sichimmer Linearkombinationen dieser Eigenfunktionen bilden, die orthogonal sind(Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren).

Durch Normierung der Eigenfunktionen erhalten wir eine orthonormierte Basis im Hilbertraum, mit der sich alle Zustände ausdrücken lassen.

62

b , Ab=b ,c =∑ibi

*∑kaik bk=∑

i∑kbi

*aik bk

Ab ,b=c ,b=∑i∑

ka ikbk

*bi=∑

i∑kaik

* bk*bi

=∑i∑kaki

* bi*bk aik=aki

*

Spezialfall: reelle Matrix muss symmetrisch sein, damit alle Eigenwerte reell sind.

Im Hilbertraum der komplexen Vektoren ist die Matrix A hermitesch, fallsfür alle Elemente gilt a

ik=a

ki*. In diesem Fall besitzt A nur reelle Eigenwerte.

Für komplex konjugiert und transponiert wird statt * oft † geschrieben. A*=A†

b=b1,b2,... , bn

A b=c ∑ka ik bk=ci

b ,b =b⋅b=∑ bi*bi b ,c =∑ bi*ci

63

6.5 Erwartungswerte hermitescher Operatoren

An=ann

Ein hermitescher Operator A habe bekannte Eigenwerte und Eigenfunktionen.

Ein beliebiger Zustand eines physikalischen Systemes kann als Linearkombination in derBasis der Eigenfunktionen von A dargestellt werden.

=∑ici i=∑

ici ∣i 〉

Der Erwartungswert für die Messung der physikalischen Größe A in diesem Zustand ist:

〈 A〉= , A =〈∣A 〉=〈∣A∑icii 〉=∑

ic i 〈∣Ai 〉=∑

ic i 〈∣ai i 〉=∑

ic iai 〈∣ i 〉=

=∑iaic i 〈∑

jc j j∣i 〉=∑

i∑jc j

*aic i 〈 j∣ i 〉=∑i∑jc j

*ai c i ij=∑iai c i

*c i=∑iai∣c i∣

2

Es ergibt sich der Messwert ai mit der Wahrscheinlichkeiten |c

i|2.

64

Jede physikalische Messgröße kann durch einen hermiteschen (selbstadjungierten)Operator dargestellt werden.

Die Eigenwerte dieses Operators sind immer reelle Zahlen und entsprechen den möglichen Messwerten der physikalischen Größe.

Die Eigenfunktionen jedes hermiteschen Operators bilden eine Basis im Hilbertraum,so dass jeder beliebige Zustand als Linearkombination der Basiszustände ausgedrücktwerden kann.

Die Messung einer physikalischen Größe im Zustand ψ liefert immer einen Eigenwert, der mit der Wahrscheinlichkeit |c

i|2 auftritt. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus

dem Anteil von ψ für den entsprechenden Eigenzustand (Basiszustand).

Ist das System in einem Eigenzustand wird der entsprechende Eigenwert als Messwert ohne Schwankung (Unschärfe = 0) gemessen.

6.6 Hermitesche Operatoren und Messung

65

7. Die Heisenbergsche UnschärferelationA*=A, B*=B seien 2 hermitesche lineare Operatoren (= physikalische Größen)

1)

da für beliebige komplexe Zahl z gilt:

2) Schwarzsche Ungleichung

quadrieren dieser Gleichung

da ψ, φ völlig beliebige Vektoren sind, können wir diese ersetzen

da es selbstadjungierte Operatoren sind und wegen 1)

∣A , B∣ ≥ 12∣A , B−A , B*∣ = 1

2∣A , B−B , A∣

= 12∣ ,[A , B ] ∣

= 12∣ , AB− , B A∣

∣z∣=Re z 2Im z2 ≥ 12∣z−z*∣ = 1

2∣2 i Im z∣ = ∣Im z∣

∥∥ ∥∥ ≥ ∣ ,∣ ∥∥ = ,

, , ≥ ∣ ,∣2

A , BA , AB , B ≥ ∣A , B∣2

, A2 , B2 ≥ 14∣ ,[A , B ] ∣2

66

A, B sind hier beliebige Operatoren, die wir ebenfalls ersetzen können durch andereA A−〈 A〉 , B B−〈B〉

A2 = ,A−〈 A〉2

,

, A2 ⋅ , B2 ≥ 14∣ , [A , B ] ∣2

[A−Zahl , B−Zahl ] = [A , B ] − [A , Zahl ] − [Zahl , B ] [Zahl , Zahl ]

A2 B 2 ≥ 14∣ ,[A , B ] , ∣

2

≥ 14∣〈[A , B ]〉∣2

A B ≥ 12∣〈[A , B ]〉∣

HeisenbergscheUnschärferelation

da

, A−〈 A〉2 ,B−〈B〉2 ≥ 14∣ ,[A−〈A〉 , B−〈B〉] ∣2

Unschärfe der Messgröße A im Zustand ψ, falls derZustand ψ nicht normiert ist. Wenn ψ normiert ist,dann ist (ψ, ψ)=1.

67

A B ≥ 12∣〈[A , B ]〉∣

Heisenbergsche Unschärferelation

Die Unschärfe ist ein Maß für die Abweichung von Messwerten von ihrem Mittelwert.

Die Heisenbergsche Unschärferelation bestimmt die untere Grenze für das Produkt der Unschärfe zweier Messgrößen. Diese untere Grenze wird durch den Kommutatorder entsprechenden Operatoren für die Messgröße bestimmt.

Die Unschärferelation gibt die quantenmechanische Unbestimmtheit in der Messungvon physikalischen Größen an. Falls die Operatoren kommutieren [A,B]=0, dann sindbeide Messgrößen simultan messbar.

68

z.B.

Alle Operatoren A, B, die miteinander vertauschen [A, B] = 0 , liefern reproduzierbare Messung

≥ wieviel größer (oder auch ob =), hängt vom speziellen Zustand (ψ) abz.B. Ebene Welle: besitzt einen scharfen Impuls: Δp

x = 0

-> Δx = ∞Der Ort ist völlig unbestimmt. Spalty Δy endlich -> Δp

y endlich

Δy Δp

y = 0

Δy = ∞

Sind exakt bestimmte Orte mit Δx = 0 möglich?-> Δp

x = ∞ unmöglich

[ x , p x] = i ℏ

x⋅ p x ≥ℏ2

y⋅ p y ≥ℏ2

z⋅ pz ≥ℏ2

A B ≥ 12∣〈[A , B ]〉∣

69

Nullpunktsschwingungen der AtomeBemerkung: ΔE.Δt ≥ ћ/2 kann nicht bewiesen werden, da t kein Operator ist.Relativitätstheorie -> (p

x,p

y,p

z,E/c) (x,y,z,ct) -> ΔE.Δt ≥ ћ/2

Δt = τ Lebensdauer eines Zustandes. I Unschärfe von Spektrallinie entspricht Verbreiterung

Harmonischer Oszillator:

In klassischer Mechanik ist jede elliptischeBahn möglich. Koordinatenursprung x = p

x = 0

bedeutet Ruhelage.

U = 0 und px = 0 ist in der Quantenmechanik unmöglich, da dann Δx = Δp

x = 0 sein

müsste. Es gibt also eine minimale Energie, die Nullpunktsbewegungen entspricht.

x

px

xU = k

2x2

E =px

2

2m U

x

px

Emin =12ℏ = km

+E

70

x

E

8. Der lineare harmonische Oszillator (1D)

klass.:

gilt näherungsweise für alle Schwingungen, falls die Auslenkungen klein genug sind(ähnliches Potential ≈ ähnliche Kraft) U H z.B. H kann in x-, y-, z-Richtung schwingen

Alle 12 Atome: 3*12 Freiheitsgrade 3 Translationen + 3 Rotationen -> 36 – 6 = 30 mögliche Schwingungen (30 gekoppelte lineare näherungsweise harmonische Oszillatoren)

= km = 2 f (Frequenz)k = 2m

m größer -> ω kleiner (deuterierte Moleküle)U = k2x2 =

2m2

x2

71

Quantenmechanik:Wir suchen stationäre Zustände (also mögliche Energien) der stationären Schrödingergl., ist zu lösen H n x = E nn

H n= −ℏ2

2md 2

dx 2n

m2

2x 2n=Enn

= m/ℏ x n x = n

0 = a0 e−2

2

1 = a1 e−2

2

⋅⋅⋅

n = e−2

2 [a0a1a22...an

n]

a j2 =2 j−n

j1 j2a j

n x ~ e−m

2ℏx2

H n x⋅mℏ Energieeigenwerte E n = n12 ℏ

eingeführt:

Hermitesche Polynome Hn(y)

H n = −1n e y

2 d n

dy ne−y

2

72

Statt Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung wählen wir eine geschickteLösungsmethode, bei der nur algebraische Gleichungen gelöst werden müssen.

Wir definieren zwei neue Operatoren A und A+, um den Hamiltonoperator auf eine möglichst einfache mathematische Form zu bringen. Aus Gründen, die (hoffentlich)später klar werden:

Vernichtungsoperator

Erzeugungsoperator

A ist keine Messgröße, da A ≠ A+ (nicht selbstadjungiert)wir kennen [x, p

x] = i ħ , [x, x] = [p

x, p

x] = 0

A = m2ℏ x ip x2ℏmA*=A= m2ℏ x − ipx2ℏm

[A , A+ ] = [m2ℏ x , m2ℏ x ][ i p x2 ℏm ,−i px2ℏm ][m2ℏ x ,−i p x2ℏm ][i p x2ℏm ,m2ℏ x ]=−i

2ℏ[ x , p x ]

i2ℏ[ p x , x ]=

−iℏ[ x , p x]=

−iℏ

i ℏ=1

73

x=2ℏm 12 AA+p x=2ℏm −i2 A−A

+

x 2=ℏ

2m A2AA+A+ AA+ 2

p x2=−ℏm1

2A2−AA+−A+ AA+ 2

Wir drücken jetzt den Hamiltonoperator mit Hilfe der Operatoren A und A+ aus.

H =p x

2

2m

m2

2x 2 A = m2ℏ x ip x2ℏm

A = m2 ℏ x − ip x2ℏm

Einsetzen in den Hamiltonoperator ergibt zusammen mit

H = −ℏ4 A2−AA+−A+ AA+ 2

ℏ4A2AA+A+ AA+ 2=

ℏ42 AA+A+ A

=ℏ22 A+ A1=ℏ A+ A1

2

[A , A+ ]=A A+−A+ A=1

74

Durch die Umformungen haben wir das Problem der Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für den harmonischen Oszillator auf die Lösung eines Eigenwertproblemes für einen neuen Operator zurück geführt.

N=A+ A Besetzungszahloperator

N ist hermitesch N+ = (A+A)+ = A+ (A+)+ = A+A = N -> reelle Eigenwerte

N ∣n 〉 = n∣n 〉

∣n 〉 = n sei ein normierter Eigenzustand

N = A+ A A+∣n 〉=A+1A+ A ∣n 〉=A+ 1N ∣n 〉=n1 A+∣n 〉=n1

also ist A+|n> = ζ ein Eigenzustand von N mit Eigenwert (n+1)

= A+∣n 〉

_ = A ∣n 〉

N _=A+ A A∣n 〉=AA+−1 A∣n 〉=AA+ A−A ∣n 〉= AN−A ∣n 〉==A N−1∣n 〉=n−1 A ∣n 〉=n−1 _

AA+−A+ A = 1

75

Genauso lässt sich zeigen, dass ein Eigenzustand von N mit Eigenwert n-1 ist.Mit A+ klettert man von n um 1 zum Eigenwert n+1, mit A steigt man um 1 hinab.Hochklettern ist kein Problem, wohl aber das Absteigen, da

kein Eigenwert von N darf negativ werden!Der Ausweg: Es gibt einen Zustand

, der von Aφ

0 = 0 vernichtet wird.

φ0muss von Null verschieden sein (||φ

0|| = 1).

Im Zustand φ0 hat N den kleinstmöglichsten Eigenwert n = 0.

〈n∣N∣n〉 = 〈n∣A+ A∣n〉 = 〈An∣An〉

n , N n = n , A+ An = An , An ≥ 0

A∣n 〉

∣0 〉 = 0

Die Schwingung des harmonischen Oszillators im Zustand |n> besteht aus n Schwingungs-quanten (Vibronen), die alle die Energie ћω besitzen. Der Hamiltonoperator H beschreibt damit ein System solcher Schwingungsquanten gleicher Energie (ћω), bei dem sich n ändern kann. Der Operator N fragt die Anzahl der Vibronen im Zustand |n> ab(Besetzung). Die Anwendung von A+ (A) auf den Zustand |n> erzeugt (vernichtet) ein Schwingungsquant.

H=ℏ A+ A12=ℏN1

2

76

Die Grundzustandswellenfunktion φ0(x) (Wellenfunktion des Vakuumzustandes |0> )

A0 x = A ∣0 〉 = 0

m2ℏ x ℏ2m ddx 0 x = 00 x = c0 e

−m2ℏ

x 2

ddx0 x = c0−mℏ x e

−m2ℏ

x2

= −mℏ x 0 ℏ2m mℏ = m2ℏNormierung

1 = ∫−∞

∞

dx 0* x 0 x = c0

2 ∫−∞

∞

dx e−mℏ

x2

q = mℏ x dq = mℏ dx= ∣c0∣

2 ℏm ∫−∞∞ dq e−q2

c0 =4mℏ

77

Die übrigen Eigenfunktionen durch wiederholtes Anwenden von A+

1 =12 − dd 0 = mℏ

14 12 − dd e

−2

2

⋅⋅⋅

n =1

n ! 2n − dd n

0

Hermitesche Polynome

H n = e x

2

2 x− ddx n

e− x

2

2 = −1n ex2 d n

dx ne−x

2

n =1

n ! 2n mℏ 14 e

−2

2 H n n = 0, 1, 2, . . .

78

Damit kennen wir die Eigenwerte, die Eigenvektoren von N = A+A können wir konstruieren durch

diskret, nicht entartet mit äquidistantem Abstand ћω (da wir von n = 0 starten und immer +1 dazugeben n = positive ganze Zahl)

1 = A+0

⋅⋅⋅

n =1n !

A+n0

E n = ℏn12

A+∣n 〉 = n1 ∣n1 〉

A∣n 〉 = n ∣n−1 〉

E0 =12ℏ

Nullpunktsenergie

unmöglich

E0 =12ℏ x p x =

ℏ2

79

Die berechneten Eigenfunktionen φn haben genau n Nullstellen.

IR-Absorption zwischen Zuständen verschiedener Parität (Dipolauswahlregeln)

~ 〈n∣x∣m 〉 = ∫n* xmdx

n=0 -> n=1 starker Übergangn=0 -> n=2 verboten (gleiche Parität) n=0 -> n=3 möglich, aber schwächer als Übergang nach n=1

Integral mit symmetrischen Grenzen von einer ungeraden Funktion ergibt Null.

80

Jedes schwingungsfähige System (Moleküle, Festkörper) ist näherungsweise ein Systemgekoppelter harmonischer Oszillatoren. Durch Transformation in „Normalkoordinaten“ kann man immer ein System ungekoppelter harmonischer Oszillatoren erhalten.

Nullpunktsenergien sind immer vorhanden und können die Stabilität beeinflussen (Verringerung der Bindungsenergie), sie tragen zur Gesamtenergie und damit auch zurBindungsentalphie bei.technische Nutzung z.B. in Isotopenfraktionierung13C reichert sich in anorganischen Verbindungen weniger an, als in Verbindungen biogenen Ursprunges.

Bestätigung der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.

Die Quantisierung von Feldern in der Quantenelektrodynamik beruht auf Erzeugungs-und Vernichtungsoperatoren, und damit auf den Eigenschaften des harmonischen Oszillators.

Bedeutung des harmonischen Oszillators für die Physik

81

9.Systeme mit zwei Zuständen

9.1 Ammoniak (NH3)

Die H-Atome bilden ein gleichseitiges Dreieck. Die energetisch günstigste Lage des N ist nicht in der Ebene der H-Atome, sondern es existieren zwei Lagen über und unter derH-Ebene mit gleicher Energie. Ammoniak hat natürlich viele Zustände, wir betrachten als Modell nur zwei Zustände, die den Lagen des Stickstoffatomes entsprechen.

Dipolmoment d∣1 〉∣2 〉

82

Wir bezeichnen mit |1> den normierten Zustand mit N über der Ebene der H-Atome und |2> den gespiegelten Zustand. Die Energie in diesen beiden Zuständen ist gleich.

〈1∣H∣1〉=〈2∣H∣2〉=E 0

Die Wahrscheinlichkeit, dass NH3 spontan den Zustand von |1> nach |2> wechselt sei:

〈1∣H∣2〉=〈2∣H∣1〉=V

Ein beliebiger Zustand ist eine Linearkombination der beiden Basiszustände.

∣ 〉=c1∣1 〉c2∣2 〉

Was ist die Energie in diesem Zustand? Lösung der stationären Schrödingergleichung!H ∣ 〉=E ∣ 〉

Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren wir von links mit den Basiszuständen.

Diese beiden Zustände sind verschieden, so dass =0. Somit bilden sie eine Basis.

〈1∣H∣ 〉=〈1∣H c1∣1〉〈1∣H c2∣2〉=c1 〈1∣H∣1〉c2 〈1∣H∣2〉=c1E 0c2V〈2∣H ∣ 〉=〈2∣H c1∣1〉〈2∣H c2∣2〉=c1 〈2∣H ∣1〉c2 〈2∣H∣2〉=c1V c2E 0

83

Das Ganze natürlich auch für die rechte Seite:

〈1∣E∣ 〉=〈1∣E c1∣1〉〈1∣E c2∣2〉=E c1 〈1∣1〉E c2 〈1∣2〉=E c1〈2∣E∣ 〉=〈2∣E c1∣1 〉〈2∣E c2∣2〉=E c1 〈2∣1〉E c2 〈2∣2〉=E c2

Damit erhalten wir folgendes Gleichungssystem für die Koeffizienten c1 und c

2.

c1E 0c2V=E c1c1Vc2E 0=E c2

Eine mathematisch völlig äquivalente Form in Matrizenschreibweise ist:

E0 VV E 0c1c2=E c1c2Die Lösung der Eigenwertgleichung liefert die Energie und die Koeffizienten c

1 und c

2.

Es gibt nur nicht verschwindende Lösungen, wenn die Determinante Null ist.

E0−E VV E 0−E c1c2=0

det E 0−E VV E0−E =E 0−E 2−V 2=0

84

Die entsprechenden Eigenfunktionen lauten

∣+ 〉=∣1 〉∣2 〉2

∣- 〉=∣1 〉−∣2 〉2

Wenn V positiv ist, dann ist der Zustand mit „-“ der Grundzustand, da dessen Energieam kleinsten ist. Die Energiedifferenz zwischen den beiden Zuständen beträgt 2V.

E +=E 0VE-=E 0−V

Damit erhalten wir zwei Lösungen für die Energie

2V=ℏ=h f

Elektromagnetische Wellen dieser Frequenz können Übergänge zwischen diesen beiden Zuständen bewirken. Für NH

3 beträgt diese Frequenz f=23.87012 GHz (λ=1.2559 cm) und definiert den

Frequenzstandard für die Mikrowellentechnik. Gasförmiges NH3 absorbiert

Mikrowellen dieser Frequenz sehr stark.

85

Der Zustand |1> entspricht: Dipolmoment d in Richtung des elektrischen Feldes F.Der Zustand |2> entspricht: Dipolmoment gegen die Richtung des elektr. Feldes.Damit ändert sich die Energie des Zustandes |1> um -F*d und |2> um +F*d

9.2 Stark Effekt: Ammoniak (NH3) im elektrischen Feld

E 0−F d VV E0F d c1c2=E c1c2

det E0−F d−E VV E 0F d−E =E0−F d−E E 0F d−E −V 2=E 0−E 2−F d 2−V 2=0Die Energien ergeben sich wieder aus der Determinante gleich Null.

E + F =E 0V 2F 2d2 E- F =E 0−V 2F 2d 2

86

Für kleine Felder ändern sich die Energien quadratisch, für große Felder linear. Dieses Phänomen ist als linearer und quadratischer Stark-Effekt bekannt. Selbst für elektrische Felder von 10 kV/cm bleibt man im Bereich des quadratischenStark-Effekts. Atomar gesehen sind dies also schwache Felder.

E +F =E 0V 2F 2d 2 E-F =E 0−V 2F 2d 2

87

9.3 Qualitatives Verständnis chemischer Bindungen

E +=E 0−V , ∣ + 〉=∣1 〉∣2 〉2

E-=E 0V , ∣ - 〉=∣1 〉−∣2 〉2

E0, ∣1 〉 E0, ∣2 〉

Wir betrachten zwei Protonen und ein Elektron (H2

+). Die Basiszustände entsprechen Elektron beim ersten Proton bzw. zweiten. Bringen wir die Protonen zusammen, existierteine kleine Wahrscheinlichkeit, dass unser Elektron von einem Proton zum anderen hüpft (tunnelt). Allerdings ändert sich V -> -V (Vorzeichen Coulombpotential), so dass der symmetrische Zustand dem Grundzustand entspricht.Dadurch erniedrigt sich die Energie des Elektrons. Das Elektron wird alsozwischen den beiden Protonen hin und her springen.

bindend

antibindend

88

Wieso hat dieser Zustand eigentlich eine niedrigere Energie?

Die Gesamtenergie des Elektrons setzt sich wie in der klassischen Mechanik auskinetischer und potentieller Energie zusammen. Das Elektron möchte ein kleines Coulombpotenzial haben, da dies negativ ist. Allerdings wird es es dadurchauf einen kleinen Raumbereich eingeengt. Wegen der Unschärferelation führt dies zueinem Anwachsen des Impulses und damit der kinetischen Energie (positiv).Wenn zwei Protonen da sind, existiert einfach mehr Platz zum ausbreiten für das Elektron. Es kann sich ausbreiten und dabei seine kinetische Energie verringern und gleichzeitig die Vorteile einer niedrigen potentiellen Energie genießen.

rE

0

89

10. Drehimpulsoperatoren

klassische Mechanik: L = r×p

Lx = ypz − zp yL y = zp x − xpzLz = xp y − yp x

Quantenmechanik: L = r× ℏi ∇ p ℏi gradLx =

ℏi y ∂∂ z − z ∂∂ y

L y =ℏi z ∂∂ x − x ∂∂ z

Lz =ℏi x ∂∂ y − y ∂∂ x

90

Bei Drehungen ändert sich nicht der Abstand r vom Ursprung--> günstige Kugelkoordinaten (r, φ, )

x = r sin cosy = r sin sinz = r cos

z

x

y

r

φ

Wir müssen also die Ableitungen nach x, y, z durch entsprechende Winkelableitungenausdrücken. (Mechanik, Elektrodynamik, Umschreiben des Laplaceoperators)

∂∂

= ∂ x∂

∂∂ x

∂ y∂

∂∂ y

∂ z∂

∂∂ z

= −r sin sin ∂∂ x r sin cos

∂∂ y 0

= − y∂∂ x

x ∂∂ y

= x ∂∂ y

− y∂∂ x

Lz =ℏi∂∂

91

Wir wollen die Eigenwerte von Lz bestimmen:

Lzr , , =ℏi∂∂

=

Ansatz: r , , = 0r ,⋅eiℏ

ℏi∂∂

= 0r ,ℏii ℏ

eiℏ=

Eine Drehung um 2π sollte nichts am Messresultat ändern, d.h. φ und φ + 2π sollten das gleiche Ergebnis geben

eiℏ= e

iℏ2

= eiℏ⋅e

iℏ

2

1

iℏ

2 = i 2m = m ℏ m = 0, ±1, ±2, ...

L zm = ℏm m

ћm: Eigenwerte von Lz

Ψm = Ψ

0(r, ) eimφ : Eigenfunktionen von L

z

92

Ist im Eigenzustand Ψm auch L

x, L

y scharf messbar?

[Lx, L

y] ausrechnen. Nur wenn diese Kommutatoren Null sind, lassen sich

gleichzeitig Lx bzw. L

y scharf messen.

[ Lx , L y ] = [ y p z − z p y , z p x − x pz ]= y pz − z p y z px − x p z − z px − x p z y pz − z p y

= y p z z px − y z p z p x x z p z p y − x p z z p y= y pz z − z p z p x x z p z− p z z p y= y [ p z , z ] p x x [ z , p z ] p y= − y [ z , p z ] p x x [ z , pz ] p y

i ℏi ℏ

= iℏ x p y − y p x = i ℏ L z

[ Lx , L y ] = iℏ L z[ Ly , L z ] = i ℏ Lx[ Lz , Lx ] = i ℏ L y

Die Drehimpulskomponenten sind nicht gleichzeitigscharf messbar!(Vektor L keine feste Richtung.)

= y p z z px − y p z x p z − z p y z p x z p y x p z − z p x y p z − z px z p y− x pz y p z x pz z p y

93

Eigenfunktionen von Lx und L

y sind nicht die von L

z. Falls L

z in einem Zustand einen festen

Wert besitzt, werden Messungen von Lx oder L

y von Messung zu Messung verschieden sein.

L2 = Lx2 L y

2 Lz2

[ L2 , L z ] = [Lx2 , Lz ] [L y2 , Lz ] [ Lz2 , Lz ]

0= Lx

2 Lz− Lz Lx2 Ly

2 Lz− Lz L y2

= Lx [ Lx , Lz ] [ L x , L z] Lx L y [ L y , Lz ] [ L y , Lz ] L y= − i ℏ L x L y − i ℏ L y Lx i ℏ L y Lx i ℏ L x L y = 0

L2 und Lz sind gleichzeitig scharf messbar (haben gemeinsame Eigenfunktionen)

Lx Lz Lx− Lx Lz Lx L y Lz L y− L y Lz L y

Wenn A Ψ = a Ψ und B Ψ = b Ψ gilt: A B Ψ = A (b Ψ) = b A Ψ = b a Ψ B A Ψ = B (a Ψ) = a B Ψ = a b Ψ (A B – B A) Ψ = (b a – a b) Ψ = (a b – b a) Ψ = 0

Zahlen

[A , B] = 0(Umkehrung gilt ebenfalls)

94

Eigenwerte von L2 sind gesucht:L2 = ≥ 0

da , L2 = , Lx2 , L y2 , Lz2 = Lx , Lx L y , L y Lz , Lz

http://www.physik.tu-freiberg.de/~wwwth/lehre/Quanten1.html(Längere sture Rechnung)

L2 = −ℏ2 [ 1sin ∂∂ sin ∂∂ 1sin2 ∂2

∂2 ]L2 enthält Ableitungen nach und φ -> λ und m sind nicht völlig unabhängig,da L2 nur von , φ abhängt -> Produktansatz

r , , = f r Y lm ,

Differenzialgleichung mit diesem Ansatz lösen (Nolting: Quantentheorie 2)L2Y lm , = ℏ

2 l l1 Y lm ,

L z Y lm , = ℏ m Y lm ,

mit l = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .m = −l ,−l1 , . . . , 0 , . . . , l ∣m∣ ≤ l

http://www.physik.tu-freiberg.de/~wwwth/lehre/Quanten1.html

95

Y lm , = Kugelfunktionen (sphärische Harmonische)

Y lm , = 2 l14 l−m !lm ! P lm cos ei mL

z

Legendre-Polynome (zugeordnete) l+m

P lm x = −1

m

2l l !1−x2

m2 d lm

d x lm x2−1l siehe Messiah, Nolting

s-Zustandl = 0 Y 00 , =14

l = 1 Y 10 , = 34 cos Y 1±1 , = ∓ 38 sin e±il = 2 Y 20 =

12 54 3cos2−1 Y 2±1 = ∓ 158 sin cos e±i

Y 2±2 =14 152 sin2 e±2i

Alle sphärischen Harmonischen für m≠0 sind komplex!

10.1 Sphärische Harmonische (Kugelwellenfunktionen)

96

historische Namen für Spektren

l = 0 s-Zustand sharp m = 0l = 1 p-Zustand prinzipal m = -1, 0, 1l = 2 d-Zustand diffuse m = -2, -1, 0, 1, 2l = 3 f-Zustand fundamental m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3l = 4 g-Zustand

l = 0 ψ(r, ,φ) = ψ(r) kein Drehmoment, völlig rotationssymmetrisch

halbklassisches Bild für L2 und Lz

L liegt auf einer Kugel

mit Radius

ℏ l l1L2ℏ2 l l1 ∣L∣ℏ l l1

Lz

Lz = 0

Lz = ℏ

Lz = −ℏ

l = 1, Radius ℏ 2

Lz fester Wert, aber kleiner als die Projektion des Radius´ auf L

z

Lx, L

y haben keine festen Werte

97

Warum haben wir soviel Zeit mit L2 verbracht?

= ∂2

∂ x 2 ∂

2

∂ y2 ∂

2

∂ z2= ∂

2

∂ r2 2

r∂∂ r− 1

r2 ℏ2L2

11. Das Wasserstoffatom

H = p2

2U r

U r = − e2

40 r

μ = Masse (statt m, da m später als Quantenzahl verwendet wird)

p2

2= −ℏ

2

2 = −ℏ

2

2 ∂2∂ r2 2r ∂∂ r − 1r2ℏ2 L2Wir suchen wieder die stationären Lösungen H ψ = E ψ

[H , L2]=[H , Lz ]=[L2, L z ]=0

Der Hamiltonoperator kommutiert mit Lz und L2, aus diesem Grund muss die Lösung

die uns schon bekannten Winkelfunktionen enthalten.

98

nlmr , , = f nl r Y lm ,

= [−ℏ22 ∂2 f nl r ∂ r 2 2r ∂∂ r f nl r U r f nl r ] Y lm ℏ22 1r2 ℏ2 ℏ2 l l1 f nl r Y lmEnlm f nl r Y lm ,

Ansatz:

Die Differenzialgleichung für fnl(r) hängt von l ab, aber von keinem Winkel.

Enlm f nl r = −ℏ2

2 ∂2 f nl r ∂ r2

2r∂∂ r

f nl r U r f nl r ℏ2 l l12 r2 f nl r keine Abhängigkeit mehr von m -> E

nl

Wir suchen eine Lösung für ein gebundenes Elektron, fnl(r -> ∞) = 0

fnl(r) = Potenzreihenansatz

Einsetzen in Differenzialgleichung -> a, b, ... bestimmbar -> Lösung

= e−anl r [bnl cnl r dnl r2 . . . ]

Für eine normierbare Lösung muss die Reihe endlich sein, was eine Bedingung fürdie erlaubten Energien darstellt (siehe Mathematica H-Atom.nb).

99

Speziell für U r = − e2

40 r

Enl = E n = −1n2

E 0 von l unabhängig

E0 =e2

401

2a0= 13,6 eV = 1 Ry

a0 =ℏ2

40e2

= 0,529177⋅10−10 m Bohrscher Radius

Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3, . . .Nebenquantenzahl (Orbitalquantenzahl) l = 0, 1, 2, . . . , n-1Magnetquantenzahl m = -l, . . . , 0, . . . l(diese Betrachtung gilt auch für 1 Elektron in He+, Li++, . . .in U(r) ändert sich e2 -> Z e2

Im Allgemeinen hat man für die Energie eine n- und l-Abhängigkeit, für das Coulombpotenzial erhält man zufällig nur eine n-Abhängigkeit der Energie.

En = −Z 2

n2E0

100

n = 1 l = 0 s - Zustand m = 0 1 Zustand

n = 2 l = 0 s - Zustand m = 0 4 Zustände l = 1 p - Zustand m = -1, 0, 1

n = 3 l = 0 s - Zustand m = 0

l = 1 p - Zustand m = -1, 0, 1 9 Zustände l = 2 d - Zustand m = -2, -1, 0, 1, 2

Jeder Zustand kann mit 2 Elektronen besetzt werden! Die Ursache dafür ist der Spin.

n = 1 K – Schale 2 Elektronen

n = 2 L – Schale 8 Elektronen

n = 3 M – Schale 18 Elektronen

101

11.1 Radialwellenanteil wasserstoffartiger Atome

n=1l=0

n=2l=0 l=1

n=3l=0 l=1 l=2

fnl(r) f

nl(r)

fnl(r)

r2fnl(r)2r2f

nl(r)2r2f

nl(r)2

x-Achse ist bei allen Bildern r in Einheiten des Bohrschen Radius a0.

Die radialen Anteile haben n-l-1 Nullstellen und können auch negativ werden.

102

l = 1 Y 10 , = 34 cos Y 1±1 , = ∓ 38 sin e±i

11.2 Konstruktion reeller Winkelfunktionen

Alle sphärischen Harmonischen für m≠0 sind komplex!Durch Linearkombinationen der Kugelwellenfunktionen, lassen sich die entsprechendenrein reellen Orbitale konstruieren.

p x=12Y 1−1−Y 11=

12 38 sin e−i ei = 34 sin cos= 34 xr

p y=i2Y 11Y 1−1=

i2 38 sin−ei e−i= 34 sin sin= 34 yr

p z=Y 10= 38 cos

l = 0 Y 00 , =14

s-Wellenfunktion ist kugelsymmetrisch (keine Winkelabhängigkeit)

p-Wellenfunktion

103

p-Orbitale l=1

s-Orbital l=0

Alonso/Finn: Quantenphysik

104

l = 2 Y 20 =12 54 3cos2−1 Y 2±1 = ∓ 158 sin cos e±i

Y 2±2 =14 152 sin2 e±2i

entsprechend werden d-Orbitale konstruiert

m=0 d z 2−r 2= 516 3 cos2−1 = 516 3z2−r2r 2m=1 d xz = 154 sin cos cos = 154 xzr 2m=1 d yz = 154 sin cos sin = 154 yzr2m=2 d x 2− y2= 154 sin2 cos 2 = 154 x 2− y2r2m=2 d xy = 154 sin2 sin 2 = 154 xyr2

d-Wellenfunktion

105

d-Orbitale l=2

Alonso/Finn: Quantenphysik

106

f-Orbitale l=3

m=0

m=±1 m=±2 m=±3

Noch mehr Plots und Animationen von Orbitalen und Dichten für Atome: http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/https://www.ptable.com/#Orbital

http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/https://www.ptable.com/#Orbital

107

Zusammenfassung

keine Planetenbahnen es existieren gebunden Zustände mit negativer Energie

En = −Z 2

n2E0 E 0=13.605 eV

nlmr = Z 3a03 2n2 n−l−1!nl ! 2Z rna0 l

Ln−l−12l1 2Z rna0 exp−2Z rna0 Y lm ,

Die vollständige Lösung der Wellenfunktion hängt von 3 Quantenzahlen n, l und m ab.

Die Wellenfunktion ist orthonormiert: ∫d 3 rn ' l ' m '* r nlm r = n ' n l ' l m' m

Für jedes l existieren 2l+1 Zustände. Der Entartungsgrad eines Zustandes n beträgt

M n=∑l=0

n−1

2 l1=n2

Der Grundzustand n=1 ist nicht entartet, der erste angeregte Zustand n=2 ist vierfachentartet (2s und 3 2p Zustände gleicher Energie).

Lösungen zu positiver Energie entsprechen Streuung (Wirkungsquerschnitte)

108

für optische Übergänge gelten Dipolauswahlregeln mit

l = ±1 m = 0, ±1

0 1 2

n = 1

l

En/E

0

n = 2

n = 3

s p d

Spektrallinien

Bei einem Elektronenübergang, z.B. 2p-> 1s wird ein Photon emitiert bzw. absorbiert.Die Energie dieses Photons entspricht der Energiedifferenz der beteiligten Niveausmit n

2 > n

1 zwischen denen der Übergang stattfindet..

E=ℏ=2ℏ=2ℏ c /1= E2 ℏ c

= Z2 e2

4 a0ℏ c 1n12 − 1n22 =RH 1n12 − 1n22 Es werden Serien von Spektrallinien beobachtet (n

1=1 Lyman, n

1=2 Balmer).

RH=Rydberg Konstante

109

11.3 weitere Näherungen

Statt der Elektronenmasse, müsste man eigentlich die reduzierte Masse nehmen.

1= 1me

1M Kern

≈ 1me

Aus diesem Grund findet man einen Isotopeneffekt für optische Spektren. Nachweisvon Deuterium 1932 aus Messung der Rydbergkonstanten R

H/R

D=0.99973.

Feinstruktur: relativistische Korrekturen (Spin-Bahn Kopplung, Dirac-Gleichung) Aufspaltung von p, d und f-Zuständen. Hyperfeinstruktur: Wechselwirkung des Kernspin mit Elektronenspin Lamb-shift: Wechselwirkung mit dem Vakuum (Quantenelektrodynamik) führt zur Aufspaltung (5μeV) von 2s

1/2 und 2p

1/2 ,die auch relativistisch noch entartet sind.

Feinstrukturkonstante

=40 ℏ2

me2≈ 1/137

Fließbach:Quantenmechanik

110

12. Teilchen in einem Magnetfeld

v

r

M

Klassische Theorie: Ladung Q auf einer Kreisbahn entspricht einem Strom in einer Leiterschleife -> magnetisches Dipolfeld

Die klassische Wechselwirkungsenergie eines magnetischen Moments M mit einem Magnetfeld B

Magnetisches Moment M= Strom x Fläche

Q v2 r r2=Qm v2m r= Q2m r pM= Q

2mr×p= Q

2mL

E=−M⋅B

111

Entsprechung in der QM

Ersetzen der klassischen Größen durch entsprechende Operatoren:

Für ein Elektron mit der Ladung Q=-e und Masse me

Bohrsches Magneton B=eħ/2me=9,27 10-24 J/T

Zusätzlicher Term: Hamiltonoperator, der die Wechselwirkung eines Elektrons mit einem Magnetfeld beschreibt:

M=−e2me

L=−e ℏ2me

Lℏ=− B

Lℏ

H=−M⋅B=BℏL⋅B

112

12.1 Der normale Zeeman-Effekt

[ohne Einschränkung der Allgemeinheit B=(0,0,Bz)]

Eigenfunktionen von Lz sind auch Eigenfunktionen von H ohne Magnetfeld, da [H0,Lz]=[H0,L2]=[L2,Lz]=0 (siehe Wasserstoffatom)

Lz=m ħ mit m=-l, -l+1, ...,0, ...,l

Energieniveaus ergeben sich dann als:

Enlm=Enl + m B Bz

(Wasserstoffartiges Atom im Magnetfeld mit U(r)=U(r))

H=H 0BℏL⋅B=H 0

B Bzℏ

Lz

113

Der normale Zeeman-Effekt

(2l+1) entartete Zustände mit m = -l,…+l

(2l+1) Zustände mit unterschiedlicher Energie

m = 0

m = -1

m = +1

E3d

B=0 B0

m = -2

m = +2B Bz

Enlm=Enl + m B Bz

Aufspaltung in 2l+1 Niveaus durch Magnetfeld

Daher kommt der Name Magnetquantenzahl für m.

z.B Atom mit d-Elektronen (d -> l=2)

114

Anzahl der Spektrallinien

m = 0

m = -1

m = +1

E3d

B=0B0

m = -2

m = +2

m = 0

m = -1

m = +1

E2pl=1

l=2

ΔE

ΔEΔE+μBB ΔE-μ

BB

Auswahlregeln: Δl=1, Δm=-1, 0, 115 mögliche Kombinationen, 9 Übergänge wegen Dipolauswahlregeln3 messbare Spektrallinien, da die Niveaus gleiche Energieabstände haben

115

13. Der Spin

Experimentelle Fakten:

Normaler Zeeman-Effekt ist die Ausnahme: Meist sieht man den anormalen Zeeman-Effekt (Aufspaltung beobachtet, für die es keine „normale“ Erklärung gab – wegen Spin).

Feinstruktur von Alkalispektren: Die gelbe D-Linie des Na ist ein Dublett, sollte aber nur eine Linie sein.

Stern-Gerlach Versuch

Bilder und Informationen zum Stern-Gerlach Versuch entnommen aus Physics Today Dezember 2003: Friedrich und Herschbach, "Stern and Gerlach: How a Bad Cigar Helped Reorient Atomic Physics"

http://www.physicstoday.org/vol-56/iss-12/p53.html

http://www.physicstoday.org/vol-56/iss-12/p53.html

116

13.1 Stern-Gerlach Versuch (1921/1922)

In einem inhomogenen Magnetfeld wirkt eine Kraft auf ein magnetisches Moment, da F = - grad E

Auf Teilchen mit verschiedenem m wirken unterschiedliche Kräfte, so dass man eine Aufspaltung des Teilchenstrahles erwartet.

F=∇ M⋅B=∇ − Bℏ Lz Bz =−m Bd B zdz

117

Stern-Gerlach-Versuch

Aufspaltung in genau 2 Strahlen bei Ag, keine Aufspaltung bei Ag+.Das ermittelte Moment für Ag beträgt 1 B.

Otto Stern17.2.1888 Sohrau

†17.8.1969 Berkeley

Physik-Nobelpreis 1943

W. Gerlach 1.8.1889 Biebrich am Rhein

†10.8.1979 München

Postkarte 8 February 1922 an Niels Bohr

118

Phipps and Taylor, Phys. Rev. 29, 309-320 (1927)  The Magnetic Moment of the Hydrogen Atom

Problem: Aufspaltung in zwei Strahlen

l=0 -> 1 Strahl

l=1 -> 3 Strahlen

l=2 -> 5 Strahlen

Beobachtet wurde Aufspaltung bei Alkali-Atomen, Ag, Cu,H

Stern-Gerlach-Versuch für Wasserstoff

Erwartung:

Aufspaltung des Teilchenstrahles in 2l+1 Strahlen

keine Aufspaltung für Atome im s-Zustand, z.B. Wasserstoff (n=1,l=0, m=0)

119

13.2 Erklärung des Stern-Gerlach-Versuchs

Erklärung 1925 durch Uhlenbeck und Goudsmit nach einer Idee von Pauli:

Elektronen besitzen ein permanentes magnetisches Moment = Spin

Goudsmit Uhlenbeck Pauli

In Analogie zum Drehimpuls definieren wir Spinoperatoren mit Spinquantenzahlen s und ms.

Identische Kommutatoren zu L:

Lz Y lm ,=m ℏY lm ,L2Y lm ,=l l1ℏ

2Y lm ,

s=12, −s≤ms≤s ms±

12

S=S x , S y , S z

S z s ,ms=msℏ s ,m s=±12ℏ s ,m s

S 2 s ,ms=s s1ℏ2 s ,ms=

34ℏ2 s ,ms

[S x , S y ]=i ℏS z [ Lx , L y]=i ℏ Lz

http://images.google.co.uk/imgres?imgurl=w3.hep.uiuc.edu/~leigh/class/spin/mugs/Uhlenbeck.jpeg&imgrefurl=http://w3.hep.uiuc.edu/~leigh/class/spin/mugs/mugs.html&h=232&w=190&prev=/images%3Fq%3Duhlenbeck%26svnum%3D10%26hl%3Den%26lr%3D%26ie%3DUTF-8%26oe%3DUTF-8http://images.google.co.uk/imgres?imgurl=www.childrenofthemanhattanproject.org/HF/Photos%2520-%2520Men/goudsmit.jpg&imgrefurl=http://www.childrenofthemanhattanproject.org/HISTORY/H-06f.htm&h=851&w=540&prev=/images%3Fq%3Dgoudsmit%26svnum%3D10%26hl%3Den%26lr%3D%26ie%3DUTF-8%26oe%3DUTF-8%26sa%3DN

120

13.2 Pauli-Matrizen

Mögliche Darstellung von S mit Hilfe von Pauli-Matrizen σ = (x,y ,z):

Diese Matrizen erfüllen die entsprechenden Kommutationsregeln (Hausaufgabe :-).

Die Wellenfunktion lässt sich dann durch einen Vektor mit zwei Komponenten (Spinor) ausdrücken.

z=1 00 −1 x=0 11 0 y=0 −ii 0 S=ℏ2

=1r ,t 102r ,t 01 = 1r , t +2r ,t -

121

Quantitative Analyse der Experimente

Der Gesamtdrehimpuls ergibt sich durch Vektoraddition des orbitalen Moments und des Spins J=L+S. Das Gesamtmoment ist allerdings nicht proportional zu J, sondern ergibt sich als:

Für ein Elektron ist der Landé-Faktor g =2 (Dirac-Theorie), die Quantenelektrodynamik liefert g=2.00231930437... 2 (1+/2 + ...).

M=− e2me

L− emeS = − e

2meLg S

Mit dieser Darstellung wird auch der Hamiltonoperator zu einer Matrix

H=H 0 00 H 0 eB2m Lz 00 Lz em ℏ2 B 1 00 −1

122

Anormaler Zeeman-Effekt: Spin-Bahn + Zeeman

Quantenzahlen mj (j-j Kopplung) wichtig für Elemente mit großer Ordnungszahl.

j = 3/2

j = 1/2

j = 1/2

mj = 1/2mj = 3/2

mj = –1/2

l = 1mj = –3/2

mj = 1/2mj = –1/2

mj = 1/2

mj = –1/2

Spin-Bahn Zeeman

s = 1/2

l = 0 s = 1/2

H SO=S⋅L

123

13.4 Vollständiger Satz von Quantenzahlen für das H-Atom

Um einen Zustand des H-Atoms zu beschreiben, benötigen wir die Hauptquantenzahl n, Nebenquantenzahl l, Magnetquantenzahl m und die Spinquantenzahl ms.

Die Spinfunktionen sind unabhängig von Ort und Zeit. Sie repräsentieren einen inneren Freiheitsgrad, der keine klassische Entsprechung besitzt.

Hamiltonoperator für ein H-Atom im Magnetfeld:

H = H 0BℏB⋅Lg S

n l mm sr = Rnl r Y lm ,ms

1/2 = 10 −1/2 = 01

124

13.5 Elementarteilchen

Nicht nur Elektronen haben einen Spin, sondern auch Neutronen, Protonen, Positronen usw.Teilchen mit halbzahligem Spin nennt man Fermionen, die mit ganzzahligem Spin Bosonen.

Fermionen: e, n, p, e+ (s=1/2), - (s=3/2)

(alle Materie besteht aus Fermionen)

Bosonen: Photon (s=1), Graviton (s=2)

(alle Wechselwirkungen vermittelt durch Bosonen)

Auch Spin aus vektorieller Addition einzelner Teilchen möglich

(z.B. Atomkerne: s=3/2 Zustand von 57Fe)

125

13.6 Spin und Statistik: Pauli Prinzip

Bosonen können einen Einteilchenzustand mehrfach besetzen und werden durch symmetrische Wellenfunktionen beschrieben.

Fermionen werden durch antisymmetrische Wellenfunktionen beschrieben, sie können einen Einteilchenzustand nicht doppelt besetzen.

Pauli-Prinzip: Teilchen können nicht in allen Quantenzahlen gleich sein.

Wichtige Folgerungen daraus: Verständnis des Periodensystems

126

14 Aufbau des Periodensystemes14.1 Atome mit mehreren Elektronen

0 1 2

n = 1

l

En/E

0

n = 2

n = 3GrundzustandH (1s)1

He (1s)2

Li (1s)2 (2s)1

oder (1s)2 (2p)1

Be (1s)2 (2s)2

(1s)1 (2s)1 (2p)1

(1s)2 (2p)2

Irgendwas stimmt noch nicht!

Bessere NäherungJedes Elektron spürt die Coulombanziehung des positiven Kerns mit Kernladungszahl Z und den Einfluss von Z-1 anderen Elektronen, die sich um den Kern bewegen Potenzial U(r) ist nicht mehr das Coulombpotenzial

En=−1n2

Ry

127

Rechnungen nur noch näherungsweise möglich E

nl statt E

n , E

nl wächst (im allgemeinen) mit l an.

0 1 2

n = 1

l

En/E

0

n = 2

n = 3

Entartung für l wird aufgegeben. (Entartung für m bleibt.)

Li (1s)2 (2s)1 eindeutige Konfiguration

Bis Ar ( Z = 18) ist das Periodensystem normal.Aber: E

3d ≈ E

4s

3d – Zustände können energetisch über und unter den 4s – Zuständen liegen.ebenso 4d über/unter 5s, 5d über/unter 6sanomale Besetzung bei Nebengruppenelementen (Wertigkeit kann wechseln)4f (Lanthanide) bzw. 5f (Aktinide) zeigen anomales Verhalten.

Vielteilcheneffekte und relativistische Korrekturen geben das korrekte Resultat.

128

Aus Orginalarbeit 1869 von Mendelejew zum Periodensystem

Clemens Winkler, Prof. der

Chemie an der Bergakademie Freiberg, entdeckt 1886 das Element Germanium aus dem Mineral Argyrodit aus der Grube Himmelsfürst bei Freiberg.

129

l=0 (s) l=1 (p)l=2 (d)

l=3 (f)

see e.g. Ptable.com

https://www.ptable.com/

130

15. Vielteilchensysteme (Bosonen und Fermionen)

bisher: 1 Teilchen sei im Zustand ψ

um den Ort des Teilchens zu messen, Detektor bei r

wenn Detektor das Volumen dV besitzt

Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen den Detektor aktiviert: dW = |ψ(r)|2 dV

15.1 unterscheidbare Teilchen

zwei verschiedene Teilchen A, B (z. B. Elektron + Neutron)

zum Nachweis benötigen wir zwei Detektoren, die bei rA und rB stehen sollen.

Wahrscheinlichkeit, dass beide Zähler gleichzeitig ansprechen

dW = |ψ(rA, rB)|2 dVA dVB

Wahrscheinlichkeit, ein A-Teilchen bei rA zu finden

dWA = dVA ∫|ψ(rA, rB)|d3 rB

131

Summation über alle möglichen Orte rB für Teilchen B, da Teilchen B irgendwo sein kann

Analog: Wahrscheinlichkeit, nur ein B-Teilchen im Volumen VB zu detektieren:

dWB = dVB ∫|ψ(rA, rB)| d3 rA

mit Spin sehr ähnlich

ψ(rA, rB) -> ψ(rA,sA, rB,sB)

Soweit begrifflich einfach = unsere klassische Vorstellung

2T : , , ,

dW A = dV A ∑sA∑sB∫∣ r A , sA , rB , sB∣ d 3 rB

132

15.2 Zwei identische Teilchen (Elektronen)

statt A, B nummeriere ich die Elektronen mit 1 und 2

bei r1 steht Detektor 1 mit dV1

bei r2 steht Detektor 2 mit dV2

Wenn beide Detektoren ansprechen, wurde sowohl bei r1 und bei r2 ein Elektron nachgewiesen.

Hat nun das erste Elektron den Zähler bei r1 und das zweite bei r2 ausgelöst oder umgekehrt?

Diese Frage kann man prinzipiell nicht beantworten, da Elektronen wirklich identisch sind.

Das Problem besteht darin, dass die Werte ψ(r1, r2) und �