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des Raumes behandelt werden. Dis Vorziige der Schefferssehen Bticher: grol~e Sorgf~ltigkeit des Aufbaues und Klarheit der Darstellung sind bekannt.

Radakovic.

S. Pincherle~ Gli elementi della teoria delle funzioni analitiche. ]?arte prima, Bologna, Nicola Zanichelli, 1922 (XVII+401 Seiten).

Mit diesem Buch setzt der Verfasser die Publikation seiner Vorlesungen fort, welche frtiher in dem gleichen Verlag erschienen sind, verfolgt damit in erster Linie didaktische Ziele und gibt eine Einftihrung in die moderne Funk- tionentheorie, bei der in diesem ersten Bande die Ausgangspunkte yon W eier- stral~ und Cauchy in erster Linie zur Geltung kommen, aber auch der nach Morera benannte, vonder Integraleigenschaft ausgehende, erSrtert wird. Der ]_~i e m ann sche Gesichtspunkt soll erst in einem zweiten Bande mehr zur Geltung kommen. Dabei ist es infolge der sehr konzisen Darstellung, welche doch nichts Wesentliehes tibergeht, mSglich geworden, auf dem engen Raum dem Leser aul~er dem klassischen Stoff, den eindeutigen Funktionen und ihrer Darstelhng nach Weiers t ra f l und M i t t a g - L e f f l e r , einer Skizze der elliptischen Funktionen auch noch einen Abri~ der Theorie der erzeugenden Funktionen und ihrer Be- stimmenden im Sinne yon Lap l a ce, der hypergeometrischen Funktionen und der E ulerschen Funktionen (Gamma- und Betafunktionen) zu geben. Auch die wiehtigsten 8i~tze tiber Fakult~ttenreihen nach L a n d au kommen zur Geltung.

Doch mSgen einige Bemerkungen gestattet sein. Der Verfasser nennt eine Funktion einer komplexen Veri~nderlichen ,monogen", wenn sie einen Differen- tialquotienten hat, und ftihrt diese Benennung auf Cauchy zurtick, der jedoch hieftir den Ausdruck ,,synektiseh ~' gebraueht. Monogen wird meines Wissens yon W e i e r s t r a l t in dem Sinne gebraucht, daft die Funktion aus einem einzigen Element (einer Potenzreihe) dureh analytische Fortsetzung erzeugt werden kann, so dab es z.B. ein zu beweisender Satz ist, da$ eine irreduzible algebraische Gleichung eine monogene Funktion definiert.

Die Fassung des Satzes 3 auf Seite 202, welche besagt, da$ eine Potenz- reihe yon zwei Ver~nderlichen identisch verschwindet, wenn sie ftir eine Punkt- menge verschwindet, welche x = 0, y = 0 zur Hitufungsstelle hat, ist augenschein- lieh unrichtig und wohl nur ein Lapsus calami.

Zu der Auseinandersetzung des Puiseuxsehen Verfahrens sei dem Refe- renten gestattet, zu bemerken, da~ sieh die pr~Lzise analytische Fassung im be- wu~ten Gegensatz zur Konstruktion de~ Parallelogramms bei Newton sowie tiber- haupt die Reihenentwicklung, allerdings nur av~gedeutet, bei L a g r a n g e (1776), Oeuvres IV, pug. 301 findet, in einer Abhandlung, deren Titel diesen Inhalt zu- nachst nicht vermuten la~t, namlich: 8ur l'usage des fractions continues dans le calcul int~grale. Aueh in R i e m a n n s ges. Werken und in dem Bericht yon Br i l l und N6 the r ist statt dieser die Abhandhmg aus Bd. III, pug. 5, yon 1768, angeftihrt, welche nur einen speziellen Fall behandelt.

Druek und Ausstattung des Werkes sind vorztiglich, der Stoff reiehlich und die Darstelhng bei aller Knappheit klar und iibersichtlich. Dem zweiten Band kann man mit Interesse entgegensehen. Wirtinger.

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I . Pringsheim~ u iiber Funktionenlehre. Erste Abteilung: Grundlagen tier Theorie tier analytisehen Funktionen einer komplexen Veriinder- lichen. (B. G. T e u b n e r ~ Sammlung yon Lehrbtichern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften, Band XL, II, 1). B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1925. XV und 624 S. Preis M 28'--.

Dieses Buch ist die erste Abteilung des zweiten Bandes yon P r in g s h eim s, Vorlesungen tiber Zahlen- und Funktionenlehre (der erste Band wurde in Bd. 28 dieser Zeitschrift besprochen). Es handelt sich um eine sehr sorgfaltige und sehr ausftihrliche Darstellung der Grundlagen der Funktionentheorie, bei der im Sinne yon Weiers t ra l~ der Begriff der Potenzreihe in den Vordergrund geschoben ist, w~thrend der Integralbegriff, als nicht hinl~nglich elementar, vSllig vermieden wird; an Stelle tier Integration tiber eine geschlossene Kurve, die sich seit Cauehy in der::Funkti0n~nthe0rie s o fruchtbar erwiesen hat, trltt eine gewisse Mittel-

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wertbildung aus den Werten, die eine Funktion auf der Peripherie eines Kreises annimmt. Aufierdem unterscheidet sich die vorliegende Darstellung der Funk- tionentheorie yon anderen dadurch, dal~ yon der trigonometrischen Darstellung der komp]exen Zahlen erst sehr spat Gebrauch gemacht ~,ird, ngmlich erst nach- dem die Funktionen sin x, cos x, ex in systematischer Weise eingefiihrt wurden; denn mit Recht erklart es der Verfasser far ausgeschlosses, die auf elementar- geometrischem Wege gewonnenen trigonometrischen Funktionen ohne weiteres in die Funktionentheorie zu ~bernehmen. Da der Referent das vorliegende Bach vor kurzem an anderer Stelle sehr eingehend gewfirdigt hat (G6tting. Gelehrte Anzeigen, 1926, S. 2~8--258), darf er Sieh hier wohl mit diesen kurzen Angaben begnfigen, denen nur noeh die Verslcherung beigefggt werde, dal~ es sich am eine sehr interessante, aul]erordentlich systematisehe Darstellung handelt, wie dies bet einem Autor vom Range P r i n g s h e i m s ja selbstverstandlich ist. 0-ber den Inhalt mSge die Angabe der I(apitelt~berschriften orientieren. I. Reelle Verander- liche and Funktionen (enthalt such einen Beweis des Jordansehen Kurven- satzes). II. Funktionen einer komplexen u IlL Rat(onale Funk- ti0nen einer komplexen Vergnderliehen (enthglt vieles, was gew6hnlieh in der Algebra behandelt wird). IV. Potenzreihen. V. Begriff und allgemeine Eigen- sehaften der monogenen analytischen Funktion einer Veranderliehen. VI. Die e!ementaren ganzen und gebrochenen transzendenten Funktionen (handelt yon ex, sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x, cosec x; ein Paragraph ist dem :~achweis der Transzendenz yon e and 7:. gewidmet). VII. Umkehrung yon Potenzreihen und eIementare Umkehrungsfunktionen (hier finder insbesondere die Mehrdeutigkeit der Potenz bet nieht ganzzahligen Exponenten sorgfgltigste Erlauterung).

Ha~zs Hahn.

A. Kneser~ Lehrbuch der Variationsrechnung. Zweite, umgearbeitete Auflage. VII und 397 S. Vieweg, Braunschweig 1925. i'reis M 22'--.

Die erste Auflage dieses Buches ist im Jahre 1900 ersehienen und ~ar far die Weiterentwicklung der Variationsrechnung yon grol3er Bedeutung; denn dieses Buch war das erste, das sich systematisch auf den Boden der Weier- s t r al~ schen Theorie stellt~ die damals tier 0ffentlichkeit nur in sehr beschranktem Ma~e dureh nieht immer ganz authentisehe ~achschriften yon Vorlesungen zu- g~nglich war. Die Neuauflage ist was Auffassung und Anlage im groi~en an- langt, unge~ndert geblieben; im einzelnen abet hat sie sich sehr betrhchtlich verandert; auch ist tier Umfang um 86 Seiten gewachsen. Es ist nicht mSglieh, so verlockend es auch wgre, hier auf die Details aller dieser Ab~nderungen ui~d Zus~tze einzugehen; sie k6anen nur ganz allgemein charakterisiert ~verden. Wahrend in der ersten Anflage al!e auftretenden Funktionen als regular ana- lytisch voransgesetzt waren, werden nun nur die ftir die Giiltigkeit der Resultate wesentlichen Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften vorausgesetzt. Es wird ein wenig auf die Invarianz gewisser Bildungen eingegangen (w 4). Es wird neben der bekannten Transversalitht eine allgemeine Transversalitht eingeffihrt (w 10), die vielfaehe Anwendungen gestattet, z. B. bet der Rotationsflgche kteinsten Widerstandes mit ebener Stirnfl~ehe; bet Minimumsaufgaben, wo die gesuchte Kurve sttLekweise mit ei!~er gegebenen Kurve zusammenfallen mu~ (S. 68, 386); bei Aufgaben mit unstetigem Iategranden (S. 385), wie z. B. dem Fermatsehen Prinzip der 0ptik (S. 140). Die J a c o b i - H a m i l t o n s c h e Methode und der Zu- sammenhang mit den partiellen ~Differentialgleiehungen wird viel eingehender and durehsichtiger behandelt als in der ersten Auflage (w167 23, "24, 25, 33, 38, 44). Bet der Behandlung des Extrems yon Integralen~ welche zweite Ableitungen der Unbekannten enthalten, wird ngher auf R a d o n s invariante Schreibweise eingegangen. Das Kapitel iiber das Extrem yon vielfachen Integralen wurde betrgchtlich ausgestaltet. Es ist gewi~ nicht zu verwundern~ dab der Unter- suehung konjugierter Punkte und tier Einhtillenden yon Extremalenfeldern, mit denen sich der Yerfasser selbst und seine Breslauer 8chtiler so vielfach befa~t haben, ein sehr breiter Raum gewidmet wurde; schreibt doch der u (S, 68): .,In alien Anwendungen der Theorie auf BeispieIe ist die Untersuchung~ ob die ' Jaeobische Bedingung erfilllt ist, oder die Bestimmung der Paste konjugierter Punkte, gegebenenfalIs der Nachweis, dal~ keine solchen vorliegen,