VorlesungTheoretischePhysikI Mechanik nochunvollständig ... · 5 NEWTON’SCHEAXIOME 19 5 Newton’scheAxiome 5.1 Vorbemerkungen † DieBewegungenﬁndeninNewton’sabsolutemRaumundabsoluterZeitstatt

Vorlesung Theoretische Physik IMechanik

noch unvollständig,Fehler im Skript mir bittemitteilen!G.I.

26. Januar 2006

Inhaltsverzeichnis1 Einführung 3

1.1 Physikalische Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Einordnung der Theoretischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Raum, Zeit, Bezugssystem 52.1 Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Kinematik eines Massenpunktes 73.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Das begleitende Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Bahn- und Zentripetalbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 ebene Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Relativbewegungen 11

5 Newton’sche Axiome 195.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Newton’s Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.3 Bemerkungen zu den Axiomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Kräfte 216.1 Klassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Zentralkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

INHALTSVERZEICHNIS 2

7 Erhaltungssätze 257.1 Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.2 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.3 Drehimpulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.4 Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

8 Einfache Anwendungen 308.1 Ungedämpfter linearer harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.2 Gedämpfter linearer harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.3 Erzwungene Schwingungen - Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

9 Das Keplerproblem 44

10 Der Duffing-Oszillator 49

11 Prinzipien der Mechanik 5511.1 Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5511.2 Prinzip der virtuellen Arbeit (Verrückungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5611.3 Hamilton’sches Prinzip (1834) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811.4 Ableitung der Lagrange’schen-Gleichungen aus dem Hamilton-Prinzip . . . . 60

11.4.1 Lagrange-Gleichungen in kartesischen Koordinaten ohne Nebenbedin-gungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

11.4.2 Lagrange-Gleichungen 2. Art (mit Nebenbedingungen) . . . . . . . . 6011.4.3 Lagrange-Gleichungen 2. Art in verallgemeinerten Koordinaten . . . . 61

11.5 Beispiel für die Lagrange-Gleichungen 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6111.6 Hamilton’sche kanonische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.7 Beispiel für die Hamilton’schen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311.8 Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

12 Mechanik des starren Körpers 6512.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6512.2 Der Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.3 Der Drehimpuls des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7312.4 Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

12.4.1 Kräftefreier Kreisel ( ~M = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7612.4.2 Schwerer Kreisel ( ~M 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

12.5 Die Erde als Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1 EINFÜHRUNG 3

1 Einführung

1.1 Physikalische Theorien

• Ordnung vieler experimenteller Ergebnisse;Erklärung durch wenige Größen und Gesetze;Isolierung des Problems vom Umwesentlichen, dazu Vernachlässigungen nötig;Aus wenigen ”gesetzten” (in Übereinklang mit der Erfahrung) Gesetzen Aufbau einerlogisch einwandfreien Theorie mit mathematischen Hilfsmitteln

• Induktion und Deduktion;Voraussagen möglich auch zu bisher unbekannten Sachverhalten(Bsp.: 1846 Neptun entdeckt, vorausgesagt aus Störung der Uranusbahn. 1930 Plutoentdeckt, vorausgesagt aus Störung der Neptunbahn.Voraussage Neutron, Neutrino)

• ”Prüfstein Praxis”:Gültigkeit der physikalischen Theorie nicht beweisbar, aber Ungültigkeit beweisbar.(äußerste Asymmetrie: ein einziges Experiment, das die Verletzung des Energiesatzeszeigt, verwirft den Energiesatz)physikalische Theorie weniger ”richtig oder falsch”, eher ”brauchbar oder nicht brauch-bar”

1.2 Einordnung der Theoretischen Mechanik

• ”Theorie vom Gleichgewicht und der Bewegung von Körpern unter dem Einfluss vonKräften”

• historische BedeutungMuster einer TheorieTechniken übertragbarLaplace’scher DämonZusammenhang mit anderen Gebieten der theoretischen Physik

• Grenzen der klassischen theoretischen PhysikGrenzfall allgemeinerer Theorien:spezielle Relativitätstheorieallgemeine RelativitätstheorieQuantenmechanikTeilchen-Welle-Dualismus

1.3 Historisches

Auswahl einiger Höhepunkte:

1 EINFÜHRUNG 4

Altertum:Archimedes (-287 bis -212):Hebelgesetz, Auftrieb, Flaschenzug

Mittelalter:geprägt durch Überlieferungen der Werke des Aristoteles

14. Jahrhundert:Entwicklung der StatikBsp.: Leonardo-da-Vinci-Kräfteparallelogramm

Kepler (1571 - 1630):Kepler’sche Gesetze, verbindet die Planetenbewegung mit physikalischen Ursachen(Sonne, Sitz der Kraft, Annahme F ∼ 1

r)

Galilei (1564 - 1642):Fallgesetz, Trägheitsprinzip, schiefe Ebene, schiefer Wurf, F∼ a, auf Planetenbewegungnicht angewendet

Huygens (1629 - 1695):krummlinige Bewegung (Zentripetalkraft, Fliehkraft), Pendeluhr, Impulssatz

Toricelli (1608 - 1647):Barometer, Hydro-, Aeromechanik

v. Guericke (1602 - 1686):Vakuum, Luftpumpe, Barometer

Newton (1643 - 1727):”philosophiae naturalis principia mathematica” 1686/87:in sich geschlossene Theorie, systematische Verknüpfung der Begriffe Masse, Kraft,Impuls, Gravitationsgesetz (F ∼ 1

r2 ) umfasst irdische und Himmelsbewegungen

Euler (1707 - 1783):Mechanik des starren Körpers, Kreisel, Hydromechanik

D. Bernoulli (1700 - 1782):Hydromechanik

Maupertuis (1698 - 1759):1747 Prinzip der kleinsten Wirkung

Lagrange (1736 - 1813):1788 ”Mechanique Analytique”

Hamilton (1805 - 1865):

2 RAUM, ZEIT, BEZUGSSYSTEM 5

Einstein (1879 - 1955):1905 spezielle Relativitätstheorie1916 allgemeine Relativitätstheorie

Heisenberg (1901 - 1975):1925 Quantenmechanik

Schrödinger (1887 - 1961):1926 Quantenmechanik, Schrödingergleichung

2 Raum, Zeit, Bezugssystem

2.1 Raum

Vorstellungen vom Raum:

• Inbegriff des Nebeneinanders der Dinge, der örtlichen Relation der DingeBsp.: Aristoteles, Descartes, Huygens

• Raum ist ”leere Schachtel”, existiert unabhängig von den darin befindlichen Körpernhomogen und isotropBsp.: Newtons absoluter Raumeuklidische Geometrie: Winkelsumme im Dreieck gleich 180 Grad(dl)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2

• Raum hat Struktur, abhängig von den enthaltenen Massen,nichteuklidische Geometrie: Winkelsumme im Dreieck ungleich 180 Grad

(dl)2 =3∑

i,j=1gijdxidxj,

die gij beschreiben die MetrikBsp.: Einstein, allgemeine Relativitätstheorie

2.2 Zeit

Vorstellungen von der Zeit:

• Newton’s absolute Zeit

• Relativität der Zeit, Relativitätstheorieeindimensionale Zeit und eindimensionaler Raum: verschiedene Orte bei gleicher Zeitunmöglichideale Mechanik: Zeitrichtung umkehrbarBsp.: Mondfinsternis für Vergangenheit berechnen

2 RAUM, ZEIT, BEZUGSSYSTEM 6

2.3 Bezugssystem

• fester Verbund von Messgeräten

• in unterschiedlichen Bezugssystemen i. allg. verschiedene MessergebnisseBsp. Labor, fahrender Zug, ”Fixsternsystem”

• Inertialsystem ist ein spezielles Bezugssystem, in dem das Galilei’sche Trägheitsprinzipgilt.(Körper in Ruhe oder gleichförmiger geradliniger Bewegung, wenn keine Kraft auf ihneinwirkt)

3 KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES 7

3 Kinematik eines Massenpunktes

3.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung

x

y

zr(t)�

r(t dt)+� dr

�Abb. 3.1 : Ortsvektor

Ort: wird durch den Ortsvektor ~r beschrieben

Geschwindigkeit: ~v(t) =d~r

dt= ~r

Beschleunigung: ~a(t) = ~r =d2~r

dt2= ~v =

d~v

dt

in kartesischen Koordinaten:

~r(t) = x~e1 + y~e2 + z ~e3

~ei : Einheitsvektoren :

„Kronecker− Symbol“ ~ei · ~ej = δij =0 i 6= j1 i = j

~v(t) = x · ~e1 + y · ~e2 + z · ~e3

~a(t) = x · ~e1 + y · ~e2 + z · ~e3

3.2 Das begleitende Dreibein

•z

yx

r(t)�

r(t dt)+�

T�dr

�

•s(0)

s(t)

Abb. 3.2 : Tangenteneinheitsvektor

Anpassung des Koordinatensystemsan die Bahnkurve

Bogenlänge s

ds =√

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 = |d~r|,mit v =

ds

dt→ ds =

√x2 + y2 + z2 dt = vdt

~T =d~r

ds

Tangenteneinheitsvektor


~T und d~T sind zueinander ⊥

Krümmungs-mittelpunkt•

dT�

T�

T dT+� �

dϕ�

ρ

90°

N�r�ds �

Abb. 3.3 : Hauptnormalen-einheitsvektor

|d~T | = dϕ|~T | = dϕ

ds = ρdϕ = ρ|d~T |

|d~T

ds| = dϕ

ρdϕ=

1

ρ= κ Krümmung

ρ = Krümmungsradius

~N =d~Tds

|d~Tds|

= ρd~T

ds

Hauptnormaleneinheitsvektor

Dritter Vektor des begleitenden Dreibeins ist der Binormaleneinheitsvektor:

~B = ~T × ~N

Binormaleneinheitsvektor

τ = |d~B

ds| ist die Windung, ρτ =

1

τist der Windungsradius.

3.3 Bahn- und Zentripetalbeschleunigung

(ausgedrückt im mitbewegtem Koordinatensystem)

~v =d~r

dt=

d~r

ds

ds

dt= v ~T

~a =d~v

dt=

d

dt(v ~T ) = v ~T + v ~T

~T =d~T

dt=

d~T

ds

ds

dt=

~N

ρv

⇒ ~a = v ~T +v2

ρ~N,


der erste Teil der Summe steht dabei für die Tangentialbeschleunigung, der zweite für dieZentripetalbeschleunigung.


3.4 ebene Polarkoordinaten

y

x

r�v�

ϕxe

�ye�

re�

eϕ�

Abb. 3.4 : ebene Polarkoordinaten

x = r cos ϕy = r sin ϕ|~r| = r =

√x2 + y2

ϕ = arccos xr

= arcsin yr

~er = ~ex cos ϕ + ~ey sin ϕ

~eϕ = −~ex sin ϕ + ~ey cos ϕ

~er = −~ex sin ϕ · ϕ + ~ey cos ϕ · ϕ = ϕ · ~eϕ

~eϕ = −~ex cos ϕ · ϕ− ~ey sin ϕ · ϕ = −ϕ · ~er

~r = r~er

~v = ~r = r ~er︸︷︷︸Radialgeschwindigkeit

+ ϕ ~eϕ︸︷︷︸Azimutgeschwindigkeit

~a = ~v = ~r = r ~er + r ~er + rϕ ~eϕ + rϕ ~eϕ + rϕ ~eϕ

= r ~er + 2rϕ ~eϕ + rϕ ~eϕ − rϕ2~er

= (r − rϕ2)~er︸︷︷︸Radialbeschleunigung

+ (2rϕ + rϕ) ~eϕ︸︷︷︸Azimutalbeschleunigung

4 RELATIVBEWEGUNGEN 11

4 RelativbewegungenΣ Inertialsystem

x y

z

x′

y′

z′ω�

r�

0r�r�

O

O′

Σ ′Σ

Abb. 4.1: bewegtes Bezugssystem

~ω: Drehachse von Σ′ (axialer Vektor)|~ω| = ω = dϕ

dt

z.B: Σ mit Sonne fest verbunden, Σ′ mit Erde fest verbunden

~r = x~ex + y ~ey + z ~ez

~r ′ = x′ ~ex′ + y′ ~ey

′ + z′~ez′

d~r

dt= ~r = x ~ex + y ~ey + z ~ez ( ~ex = ~ey = ~ez = 0)

d~r ′

dt= ~r

′= x′ ~ex

′ + x ~ex′+ y′ ~ey

′ + y ~ey′+ z′~ez

′ + z ~ez′

x′ ≡ d′dt

x′ zeitliche Änderung der x′ Komponente von ~r ′, gemessen von mit Σ′ bewegtemBeobachterddt

~e′ =?

4 RELATIVBEWEGUNGEN 12�( )xe t′�( )xe t dt′ +

�xde′�

α

dϕ

sin( )α

ω�

O´

Abb. 4.2: Drehung um diemomentane Drehachse

~ex′ = ~ex

′(t)

in Zeit dt bewegt sich ~ex′ auf Kreisbahn

~ex ⇒ ~ex + d~e′x = ~ex′(t + dt)

Winkel zwischen ~ω und ~ex′: α

⇒ Abstand Vektor / Drehachse:sin α (|~ex

′| = 1)

|d~ex′| = dϕ sin α

= ω sin αdt

⇒ |d~ex′

dt| = ω sin α

d~ex′

dt= ~ω × ~ex

′ d~ex′

dt⊥~ω⊥~ex

′

d~r ′

dt=

d′~r ′

dt︸︷︷︸↪→(1)

+ ~ω × ~r ′︸︷︷︸↪→(2)

(1): zeitliche Änderung von ~r ′ in Bezug auf Σ′

(2): zeitliche Änderung von ~r ′ infolge der Drehung

Operator: ddt

= d′dt

+ ~ω×

~r = ~r0 + ~r ′

~v = ~v0 + ~r ′

~v = ~v0 + ~vrel + ~ω × ~r ′

~v0 + ~ω × ~r ′: Führungsgeschwindigkeit infolge Bewegung des neuen Bezugssystemsd~v

dt= ~a = ~v = ~v0 +

d

dt

(d′~r ′

dt+ ~ω × ~r ′

)

= ~a0 +d′2~r ′

dt2+ ~ω × ~vrel + ~ω × ~r ′ + ~ω ×

(d′~r ′

dt+ ~ω × ~r ′

)

~a = ~a0 + ~arel + 2 ~ω × ~vrel︸︷︷︸−Coriolisbeschl.

+ ~ω × (~ω × ~r ′)︸︷︷︸−Zentrifugalbeschl.

+d~ω

dt× ~r ′

︸︷︷︸−Zusatz


Zusatz: Effekt, wenn sich die Drehachse ändert


Bsp: Drehscheibe

�ω� x (t 0), x′ =

x (t 0 dt)′ = +

y (t 0 dt)′ = +

d r′ ′�

dr′�

dϕ

eϕ�y (t 0), y′ =

r (0)′�O

Abb. 4.3: gleichförmige Bewegungeines Zuges im rotierenden Bezugssystem

Σ raumfestΣ′ dreht sich um O mit ω

~ω = const. steht senkrechtauf der Zeichnungsebene

Annahme: Zug bewegt sich längs der x′-Achse mit konstanter Geschwindigkeit v′

Beobachter in Σ′: Zug hat in der Zeit dt die Strecke d′~r′ zurückgelegtBeobachter in Σ: Zug hat in der Zeit dt die Strecke d~r′ zurückgelegt

d~r ′ = d′~r′ + dϕ|~r′| ~eϕ = d′~r ′ + d~ϕ× ~r ′

d~r ′

dt=

d′~r ′

dt+ ~ω × ~r ′ (Geschwindigkeit)

d2~r ′

dt2=

d

dt

(d′~r ′

dt+ ~ω × ~r ′

)= ~arel + 2 ~ω × ~vrel + ~ω × (~ω × ~r′)


r (0)′� r (0)′�OO� �

Bahnkurve von Σ aus gesehen Bahnkurve von Σ′ aus gesehenBeobachter außerhalb der Scheibe: Beobachter auf der Scheibe:Spiralarm geradlinige Bewegung

Abb. 4.4: Bahnkurve des Zuges vom raumfesten und vom mitrotieren-den Beobachter aus gesehen


Bsp: Bewegung auf der rotierenden Erde

auf Sonne bezogen: Σ auf Erde: Σ′

0r�

r′�ρ′� ζ ′

�η′�

z′y′ψ

ω�

r�

Erde ( )′Σ

Sonne ( )Σ0R

�

ξ�

P

Abb. 4.5: Bewegung auf der rotierenden Erde

R0: Radius der Erdbahnr0: ErdradiusO: fest auf ErdoberflächeP : P = P (x, y, z) (Σ-System)P = P (x′, y′, z′) (Σ′-System)P = P (ξ′, η′, ζ ′) von “O” aus

x′ = ξ′ Richtung Osty′ = η′ Richtung Nordz′ = ζ ′ Richtung Oben

~r = ~R0 + ~r ′ = ~R0 + ~r0 + ~ρ ′

~v = ~R0 + ~vrel + ~ω × ~r ′ ~vrel =d′~r ′

dt=

d′~ρ ′

dt

~a = ~R0 + ~arel + ~ω × d′~r ′

dt+

d

dt(~ω × ~r ′)

~a = ~a0 + ~arel + 2 ~ω × ~vrel + ~ω × (~ω × ~r ′) +d~ω

dt× ~r ′

~arel =d′2~r ′

dt2=

d′2~ρ ′

dt2

nährungsweise kann man ~r ′ durch ~r0 ersetzen, wenn |~ρ ′| ¿ |~r ′|:

~a = ~a0 + ~arel + 2 ~ω × ~vrel + ~ω × (~ω × ~r0) +d~ω

dt× ~ro

Größenordung der Beiträge:

R0 ≈ 143, 5 · 109m ≈ 1, 5 · 1011m

ωES =2π

T=

2π

3, 2 · 107s≈ 2 · 10−7s−1

ωE =2π

86000 s≈ 7, 3 · 10−5s−1

d~ωdt: Erdachse wandert in 25700 Jahren einmal auf Kegelmantel herum (Präzession)

d~ωdt

< ~ωE

25700 a


Vergleich mit g = 10 m · s−2 (Erdbeschleunigung ),Annahme: |~vrel| = 1000km · h−1

|~a0| = |d2 ~R0

dt2| = ω2

ESR0 = 6 · 10−3m · s−2

|2 ~ω × ~vrel| = 4, 4 · 10−2m · s−2

|~ω × (~ω × ~r0)| < 3, 4 · 10−2m · s−2

|d~ω

dt× ~r0| < 5, 7 · 10−10m · s−2

~R0 = R0~er ⇒ ~R0 = R0ϕ~eϕ

~R0 = −R0ϕ2~er = −R0~ω

2ES~er

Beschleunigung für Beobachter auf der Erde (bei Vernachlässigung der Präzessionsbewegung)

~arel = ~a− ~a0 − 2~ω × ~vrel − ~ω × (~ω × ~r0)

in ~a enthalten

• Gravitationbeschleunigung der Sonne

~gS = −γMS

R20

~R0

R0

kompensiert sich mit ~a0

~gS + ~a0 = 0 mit ~a0 = ~R0 → |~a0| = ω2ESR0 → γMS

R20

= ω2ESR0

• Gravitationsbeschleunigung der Erde

~gE = −γME

r ′2~r ′

r ′≈ −γME

r20

~r0

r0

die Erde ist keine Kugel, sondern bildet ein Geoid:


0( r )−ω× ω×� � �Erdeg

�Erde 0g ( r )

g( )

− ω× ω×= ψ

� � � �ω�

ψ

Abb. 4.6: Gestalt der rotierenden Erde

~g(ψ) = ~gE − ~ω × (~ω × ~r)

~gPol = 9, 832ms−2

~g45◦ = 9, 806ms−2

~gAqua = 9, 780ms−2

näherungsweise: Erdoberflächestellt sich ⊥ zu ~g(ψ) ein.

⇒ ~arel = ~a− 2~ω × ~vrel + ~g

~ω = (0, ω cos ψ, ω sin ψ)

~g = (0, 0,−g)

x = ax − 2ω(z cos ψ − y sin ψ)

y = ay − 2ωx sin ψ

z = az + 2ωx cos ψ − g

5 NEWTON’SCHE AXIOME 19

5 Newton’sche Axiome

5.1 Vorbemerkungen

• Die Bewegungen finden in Newton’s absolutem Raum und absoluter Zeit statt.

• Die Länge eines bewegten Maßstabes, Zeitintervalle und Masse sind vom Bewegungs-zustand des Körpers unabhängig und in allen Bezugssystemen gleich.

• Gleichheit von träger und schwerer Masse

5.2 Newton’s Axiome

• lex prima (Trägheitsgesetz):Jeder Körper verharrt in Ruhe oder gleichförmiger geradliniger Bewegung, falls keineKräfte auf ihn einwirken.

m~r = const. für ~f = 0 (1)

• lex secunda (dynamische Grundgleichung):Die Änderung der Bewegung ist proportional und gleichgerichtet der einwirkendenKraft.

[m~r]• = ~f (2)

• lex tertia (actio = reactio, Wechselwirkungsgesetz):Die Wirkung ist stets gleich der Gegenwirkung. Die Wirkung zweier Körper aufeinanderist stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.

~fij = −~fij (3)

Bei Newton sind weitere Folgesätze (”corollaries”) zu finden, z.B. das Superpositions-prinzip ~f =

∑i

~fi, Kräfte addieren sich wie Vektoren.

5.3 Bemerkungen zu den Axiomen

• [m~r]• = ~f

für ~f = 0 → m~r = const. (1)für m = const. → ~r = const.

• für m = const. → m~r = ~f

• [m~r]• = ~f gilt nur im Intertialsystem.Nichtinertialsysteme (m = const):

5 NEWTON’SCHE AXIOME 20

md′ 2~r ′

dt2= ~f −m~a0 − 2m~ω × ~vrel −m~ω × (~ω × ~r ′)−m~ω × ~r ′ (4)

Intertialsysteme: ~ω = 0, ~r0 = const, ~a0 = 0Die dynamische Grundgleichung ist der Form nach gleich in Intertialsystemen.

• Die dynamische Grundgleichung für 1 Massenpunkt führt i. allg. auf Differenzialglei-chungen 2. Ordnung:m~r = f(~r, ~r, t) (3 Dgl. 2. Ordnung)Lösung: ~r = ~r(t, ~r0, ~r0)~r0 Anfangsort~r0 Anfangsgeschwindigkeit

• Die dynamischen Grundgleichungen für N Massenpunkte(kein abgeschlossenes System, Aufteilung in innere und äußere Kräfte)i = 1, 2, ..., Nmi~ri = ~fi = ~f in

i + ~faussi 3 N Dgl. 2. Ordnung

Bsp.: Erde und Mond im Gravitationsfeld der Sonne, Sonne ”aufgespiesst”wegen (3), actio = reaction, gilt

~f inij = −~fm

ji

∑

i

mi~ri = ~fauss =∑

i

~faussi

Innere Kräfte kompensieren sich:∑

i,j

~f innij = 0.

6 KRÄFTE 21

6 Kräfte

6.1 Klassifizierung

eingeprägte (echte) Kräfte und Trägheitskräfte (Scheinkräfte)

Bsp. für eingeprägte Kräfte:Gravitationskraft; elektromagnetische Kraft; Reibungskraft; Federkraft

Bsp. für Trägheitskräfte:Zentrifugalkraft; Corioliskraft

Trägheitskräfte treten auf bei Beschleunigungen gegenüber einem Bezugssystem.Bsp.:

• Fahrstuhl bewegt sich beschleunigt aufwärts, nach unten wirkende Kraft auf Beobach-ter im Fahrstuhl

• Karussell dreht sich gleichförmig (entspricht beschleunigter Bewegung des Beobachtersim Sessel, verspürt Zentrifugalkraft)

”Scheinkräfte” (Trägheitskräfte) haben reale Wirkungen.

Zwangskräfte

Zwangskräfte treten auf, wenn Massenpunkte bei ihrer Bewegung an eine Fläche bzw. Kurvegebunden sind.

Bsp.: schiefe Ebene (Normalkraft), Schleifenbahn (krummlinige Bewegung)

innere und äußere Kräfte

Bsp.: Massenpunktsystem Sonne, Erde, Mond.Behandlung als Dreikörperproblem und als Zweikörperproblem (Sonne ”aufgespiesst”) abge-schlossenes System - offenes System

konservative (Potenzial-)Kräfte und nichtkonservative Kräfte

siehe 6.2.

Zentralkräfte und nicht zentrale Kräfte

siehe 6.3.

6 KRÄFTE 22

6.2 Konservative Kräfte

Eine Kraft ~f(~r) ist konservativ, wenn sie sich durch Gradientenbildung aus einer Ortsfunktion(dem Potenzial U(~r) ableiten lässt:

~f = −grad U(~r) (5)

= −5 U(~r) = −∂U

∂x~ex − ∂U

∂y~ey − ∂U

∂z~ez

Wenn das Kraftfeld ~f(~r) gegeben ist, lässt sich das Potenzial berechnen:

~fd~r = −∂U

∂xdx− ∂U

∂dy− ∂U

∂zdz = −dU

U(~r) = U(~r0)−~r∫

~r0

~f · d~r (6)

Potenziale sind nicht messbar, nur Potenzialdifferenzen = Energiedifferenzen

[~f ] = N=kgm

s2, [U ] = kg

m2

s2=J

Das Linienintegral∮ ~f · d~r längs eines geschlossenen Weges im Potenzialfeld ist für konser-

vative Kräfte gleich Null!∮

~f · d~r = 0 konservative Kräfte (7)

Für nichtkonservative Kräfte ist das Linienintegral wegabhängig und es gilt∮

~f · d~r 6= 0 nichtkonservative Kräfte (8)

Mit Hilfe des Stokes’schen Satzes∮ ~f · d~r =

∫rot ~f · d ~A erhält man

rot ~f = 0 konservative Kräfte (9)

rot ~f 6= 0 nichtkonservative Kräfte (10)

Struktur des Potenzialfeldes:

6 KRÄFTE 23

dr�

grad U

r�

Abb. 6.1 : Struktur des Potenzialfeldes

Äquipotenzialflächen:U(~r = const.)

Für die Äquipotenzialfläche gilt:

0 = dU =∂U

∂xdx +

∂U

∂ydy +

∂U

∂zdz = grad U · d~r = −~f · d~r

Daher ist grad U⊥d~r, ~f⊥d~r

|~f | ist groß, wenn die Äquipotenzialflächen dicht sind.~f wirkt in Richtung abnehmenden Potenzials, d. h. ein Massenpunkt bewegt sich zu kleinererEnergie hin.

Bsp. konservative Kräfte:Gravitationskraft; elektrostatische Kraft; magnetostatische Kraft; Federkraft

Bsp. nichtkonservative Kräfte:Reibungskraft; Corioliskraft

Gravitationsfeld der Erde

Abbildung fehlt!

~f = −γmM

r2

~r

rGravitationsgesetz (11)

U = U0 +

r∫

r0

γmM

r2dr

= U0 − γmM[1

r

]r

r0

= U0 − γmM

r+

γmM

r0

6 KRÄFTE 24

Die Integrationskonstante U0 wird so festgelegt, dass das Potenzial im Unendlichen ver-schwindet:

U = 0 für r →∞, ...U0 = −γmM

r0

U = −γmM

r(12)

An der Erdoberfläche (r = RE) ergibt sich wegen

~f = m~g = −grad U = −γmM

R2E

~er

g =γM

R2E

, (13)

wenn die Zentrifugalbeschleunigung nicht berücksichtigt wird.

6.3 Zentralkräfte

Kräfte, die von einem Zentrum ausgehen oder auf ein Zentrum gerichtet sind:

~f = F (~r, ~r, t)~r

(~r)(14)

Spezialfall:

~f = F (r)~r

r(15)

Bsp.: Gravitationsfeld einer elektrostatischen Kraft einer Punktladung

~f ist konservativ wegen

rot F (r)~r

r= rot F (r)~r = grad F (r)× ~r + F (r)rot ~r = 0

Es ist gradF (r)||~r (senkrecht zu zentrischen Kugelflächen) und rot ~r = 0.

7 ERHALTUNGSSÄTZE 25

7 ErhaltungssätzeAbleitung der Erhaltungssätze aus den Newton’schen Axiomen.Es ergeben sich 10 Erhaltungsgrößen:Energie (1), Impuls (3), Drehimpuls (3), Schwerpunkt (3).

7.1 Energiesatz

a) 1 Massenpunkt:

~f = m~r

~f · d~r = m~r · d~r = m~r · ~rdt = d(

1

2m~r 2

)= dT

T =1

2m~v 2 = kinetische Energie (16)

~f sei eine Potenzialkraft. Dann ist ~f · d~r = − grad U · d~r = −dU = dT .Die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie ist konstant:

T + U = const. Energiesatz (17)

b) N Massenpunkte:Zwischen den Massenpunkten wirken innere Kräfte ~fij . Auf den Massenpunkt i wirkteine Kraft, die vom Massenpunkt j ausgeht. Wegen actio = reactio gilt ~fji = −~fij.Außerdem können an den Massenpunkten noch äußere Kräfte ~fauss

i angreifen. Für einabgeschlossenes System aus Massenpunkten gilt ~fauss

i = 0. Für den Massenpunkt i gilt

~fi = ~f inni + ~fauss

i =∑

i

~f innij + ~fauss

i = mi · ~ri

∑

i

~fi · d~ri =∑

i

mi~ri · d~ri =∑

i

mi~ri · ~ridt =

=1

2

∑

i

(mi~r

2

i

)=

∑

i

dTi = dT

T =∑

i

1

2mi~vi

2 = kinetische Energie (18)

Die Kräfte seien Potenzialkräfte. Dann ist∑

i

~f inni · d~ri = −∑

i

gradiUinn · d~ri = −dU inn

∑

i

~faussi · d~ri = −dUauss


Wegen dT = −dU inn − dUauss ergibt sich

T + U inn + Uauss = const. Energiesatz (19)

Die potenzielle Energie der inneren Kräfte hängt nur von den Abständen der Massen-punkte ab. Das folgt wegen der Beziehung ~fji = −~fij (actio = reactio)

Abbildung fehlt

und es ergibt sich

U inn =1

2

∑

i,j

U(|~rj − ~ri|)

7.2 Impulssatz

a) 1 Massenpunkt:

~f = m~r~fdt = m~rdt = md~r

t2∫

t1

~fdt =

t2∫

t1

md~r = m~v(t2)−m~v(t1)

~P = m~v = Impuls (20)

~P (t2)− ~P (t1) =

t2∫

t1

~fdt Impulssatz (21)

Der Impuls bleibt erhalten, falls keine Kraft einwirkt (~f = 0).

b) N Massenpunkte:


i =∑

j

~f innij + ~fauss

i = mi~ri

∑

i,j

~f innij dt +

∑

i

~faussi dt =

∑

i

mid~ri = d~P

~P =∑

i

~Pi =∑

i

mi~vi Impuls (22)

Mit∑i,j

~f innij = 0 wegen ~fji = −~fij und ~fauss =

∑i

~faussi ergibt sich


~P (t2)− ~P (t2) =

t2∫

t1

~faussdt Impulssatz (23)

Der Impuls bleibt erhalten, falls keine äußeren Kräfte auf das Massenpunktsystemeinwirken (~fauss = 0).

7.3 Drehimpulssatz

a) 1 Massenpunkt

~f = m~r

~r × ~fdt = m~r × ~rdt = d(m~r × ~r)

~M = ~r × ~f (24)

Drehmoment

~L = m~r × ~r = m~r × ~v = ~r × ~P (25)

Drehimpuls

Aus ~Mdt = d~L folgt:

~L(t2)− ~L(t1) =

t2∫

t1

~Mdt (26)

Drehimpulssatz

Der Drehimpuls bleibt erhalten, falls kein Drehmoment wirkt ( ~M = 0).

Beispiele:

– Kreisbewegung

Abbildung einfügen!

~v = ~r = ~ω × ~r~L = m~r × (~ω × ~r) = mr2~ω

– Masse bewegt sich längs einer Geraden: Drehimpuls hängt vom Koordinatenur-sprung ab


– Zentralkraft:~M = ~r × F (r)~r

r= 0

→ ~L = const.→ ebene Bahnkurve

b) N Massenpunkte:


i =∑

j

~f innij + ~fauss

i = mi~ri

∑

i,j

~ri × ~f innij dt +

∑

i

~ri × ~faussi dt =

∑

i

mi~ri × ~ridt

= d

(∑

i

mi~ri × ~ri

)

~L =∑

i

mi~ri × ~ri =∑

i

~ri × ~Pi (27)

Drehimpuls

~Mauss =∑

i

~Maussi =

∑

i

~ri × ~faussi (28)

Drehmoment der äußeren Kräfte

∑

i,j

~ri × ~f innij = 0 wegen ~f inn

ji = −~f innij :

∑

i,j

~ri × ~fij =1

2

∑

i,j

~ri × ~fij +∑

i,j

~rj × ~fji

=1

2

∑

i,j

(~ri − ~rj)× ~fij = 0

)

(siehe Abbildung!)

Daher folgt der Drehimpulssatz:

~L(t2)− ~L(t1) =

t2∫

t1

~Maussdt (29)

Drehimpulssatz

Der Drehimpuls bleibt erhalten, falls kein äußeres Drehmoment einwirkt.


7.4 Schwerpunktsatz

a) 1 Massenpunkt:trivial, Schwerpunkt fällt mit Massenpunkt zusammen

b) N Massenpunkte:


i =∑

j

~f innij + ~fauss

i = mi~ri

∑

i

~fi = ~faussi =

∑

i

mi~ri

wegen∑i,j

~f innij = 0

Definition des Schwerpunktes ~rs :

~rs =1

M

∑

i

mi~ri, M =∑

mi (30)

Schwerpunkt

Falls ~fauss = 0:~rs = 0

→ ~rs = ~vst + ~rs0 (31)

Schwerpunktsatz

Der Schwerpunkt bewegt sich auf einer Geraden mit konstanter Geschwindigkeit,falls keine äußeren Kräfte wirken.Erhaltungssatz:

~rs0 = ~rs −

~P

Mt = const. (32)

8 EINFACHE ANWENDUNGEN 30

8 Einfache Anwendungen

8.1 Ungedämpfter linearer harmonischer Oszillator

Bsp.: Federschwinger, Federkonstante k

x0 xk( x)e− + �

�

0 xk e− ��

mg�

mg�

0�

Abb. 8.1: Federschwingera) Ruhelageb) Schwingfall

Die rücktreibende Kraft sei proportional zur Auslenkung.

a) Ruhelage:Kräftegleichgewicht 0 = mg − kl0→ l0 =

mg

k

b) Schwingfall:dynamische Grundgleichung: mx = mg − k(l0 + x) = −kx

→ x +k

mx = 0 (33)

lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Lösungsansatz: x = eλt

Der Parameter λ ergibt sich als Lösung der charakteristischen Gleichung:

x +k

mx = (λ2 +

k

m)eλt = 0

→ λ1/2 = ±i

√k

m= ±iω0

Verschiedene Darstellungen der allgemeinen Lösung:

x(t) = x1(t) + x2(t)

= αeiω0t + βe−iω0t


= A cos(ω0t) + B sin(ω0t)

= C cos(ω0t + ϕ0)

Umrechnung der Konstanten:

A = α + β

B = i(α− β)

C2 = A2 + B2

tan ϕ0 = −B/A

Die Lösungen x1(t) und x2(t) bilden ein Fundamentalsystem (sind linear unabhängig), wennfür die Wronski’sche Determinante gilt:

∣∣∣∣∣x1 x2

x′1 x′2

∣∣∣∣∣ 6= 0.

Die beiden Konstanten der Lösung werden so festgelegt, dass das Anfangswertproblem x(0) =x0, x(0) = x0 gelöst wird.

x = x0 cos(ω0t) +v0

ω0

sin(ω0t) (34)

Der Parameter ω0 ist die Kreisfrequenz der Schwingung

ω0 =

√k

m(35)

Die Kreisfrequenz ist unabhängig von den Anfangswerten x0 und x0 und von der Schwin-gungsamplitude (Maximalauslenkung).Zusammenhang mit Frequenz ν0 und Schwingungsdauer T :

ω0 = 2πν0 =2π

T(36)

Diskussion:

1) Energiesatz:

x +k

mx = 0

xx +k

mxx = 0

d

dt(x2 +

k

mx2) = 0


→ m

2x2 +

k

2x2 = const. = E = T + U (37)

Die Federkraft ist eine Potentialkraft mit dem Potential

U =k

2x2 (38)

~f = −gradU = −∂U

∂x~ex = −kx~ex

U(x)

x

E

xmaxxmin

2kx

2

2mx

2�

x2max =

2E

k

x2max =

2E

mUmax = Tmax

Abb. 8.2: Potential U(x) des Federschwingers

2) Bedeutung des harmonischen Oszillators:Viele Potentiale sind in Nähe des Potentialminimums in eine Taylorreihe entwickelbarmit einem Anfangsglied ∼ x2


U(x) U(x)

x x

De

0a(x x ) 2eD (1 e )−−

x0

2kx

2

e

ka 2D=

Abb. 8.3: Harmonischer Oszillator als Näherung für a) Pendelschwingungen, b) Mole-külschwingungen

3) Lösung mit Hilfe des Energiesatzes:

m

2x2 + U(x) = E

Nur eine Integration notwendig, Trennung der Variablen:

dx

dt= ±

√2

m(E − U(x))

→ t− t0 = ±x∫

x0

dx√2m

(E − U(x))(39)

t(x) → x(t)

Form gut geeignet für numerische Integration.

4) Phasenraum:Raum aller Lage- und Impulskoordinatenhier: zweidimensionaler (x, p)-RaumZustand = Punkt im Phasenraum

P = mx


1

2mP 2 +

k

2x2 = E

→ P 2

a2+

x2

b2= 1 ,

a =

√2E

k= xmax, b =

√2mE = Pmax

b a

P

U

x

x

E

xmaxxmin

Abb. 8.4: Phasenraum des harmonischen Oszillators

Fläche im Phasenraum:

A = π · a · b = 2πE

√m

k=

2πE

ω0

=E

ν0

→ 1

ν0

=A

E

gilt allgemein: Periodischer Bewegung entspricht geschlossene Kurve im Phasenraummit

1

ν=

∂A(E)

∂E(40)

Planck (1900): A = (n + 12)h mit h = 6, 625 · 10−34Ws

Nur bestimmte Flächen sind im Phasenraum möglich, minimales Volumen im Phasen-raum"

→ E = (n +1

2)hν0 = (n +

1

2)hω0.

Nur diskrete Energiewerte möglich.


0ω�

0ω�

0ω�

102 ω�

x

U

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

Abb. 8.5: Energiequantelung beim harmonischen Oszillator

8.2 Gedämpfter linearer harmonischer Oszillator

x 0 xk( x)e− + ��

mg�

xx e−µ ��

0�

Ansatz einer Reibungskraft,die zur Geschwindigkeit ent-gegengesetzt gerichtet ist:fR = −µx

Abb. 8.6: gedämpfter Federschwingerdynamische Grundgleichung:

mx = −kx− µx

→ x + 2ρx + ω20x = 0 (41)


mit ω0 =

√k

m

(Kreisfrequenz des ungedämpften Oszillators) und 2ρ =µ

mµ: Reibungszahl, ρ: Dämpfungskonstante

Anatz: x = eλt

charakteristische Gleichung:(λ2 + 2ρλ + ω2

0)eλt = 0

→ λ1/2 = −ρ±√

ρ2 − ω20 = −ρ± i

√ω2

0 − ρ2

Allgemeine Lösung:

x = e−ρt(Ae+i√

ω20−ρ2t + Be−i

√ω2

0−ρ2t)

= Ce−ρt cos(√

ω20 − ρ2t + ϕ0)

(42)

1) ω0 > ρ, ”periodischer Fall” (kleine Reibung)

x = Ce−ρt cos(√

ω20 − ρ2t + ϕ0)

Bsp.: C = x0, ϕ0 = 0

x = x0eρt cos(

√ω2

0 − ρ2t) (43)

t

x

x0

τ 2τ 3τ

e-ρt

Abb. 8.7: Gedämpfter harmonischer Oszillator (periodischer Fall)

Schwingungsfrequenz:

ω =√

ω20 − ρ2 (44)


Schwingungsdauer τ =2π√

ω20 − ρ2

aufeinanderfolgende Maximalausschläge:

xmaxn+1

xmaxn

= e−ρτ

logarithmisches Dekrement:

δ = ρτ = ln

(xmax

n

xmaxn+1

)(45)

Maximalausschläge:

Max.ausschlag n t x1 0 0 x0

2 1 τ x0e−ρτ

3 2 2τ x0e−2ρτ

n n− 1 (n− 1)τ x0e−(n−1)ρτ

n + 1 n nτ x0e−nρτ

xMaxn+1

xMaxn

=e−nρτ

e−nρτeρτ→ xMax

n+1

xMaxn

= e−ρτ

2) ω0 < ρ, ”aperiodischer Fall”

x = Ce−ρt(i√

ρ2 − ω2t + ϕ0

), ϕ0 = ipsi0

= Ce−ρtch(√

ρ2 − ω20t + ψ0

)

Bsp.: C = x0, ψ0 = 0

→ x = x0e−ρtch

(√ρ2 − ω2

0t)

(46)


t

x

x0

e-ρt

Abb. 8.8: Gedämpfter harmonischer Oszillator, aperiodischer Fall

3) ω0 = ρ, aperiodischer Grenzfall

λ12 = −ρ± 0

→ x1 = e−ρt ist eine Lösung

weil Dgl. ..., muss 2. Lösung existieren (s. Theorie der linearen Dgl. mit konstantemKoeffizient: wenn die charakteristische Gleichung mehrfache Wurzeln hat (Vielfachheit2), ist auch te−λt eine Lösung.)

→ x2 = te−ρt

x = e−ρt(A + Bt) = e−ρt[x0 + (v0 + ρx0)t] (47)

wegen

x(0) = x0 = A

x(0) = v0 = B − ρA

t

x

x0

e-ρt


Abb. 8.9: Gedämpfter harmonischer Oszillator, aperiodischer Grenzfall

Energiebetrachtung:d

dt

(m

2x2 +

k

2x2

)= −µx2 < 0


8.3 Erzwungene Schwingungen - Resonanz

xf (t) e�

�

0 xk( x)e− + ��

mg�

xx e−µ ��

x

Abb. 8.10: Erzwungene Schwingung des gedämpften Federschwingers

mx = −kx− µx + f(t)

x + 2ρx + ω20x = f(t) (48)

mit

2ρ =µ

m

ω0 =

√k

m

f =f

m

inhomogene Dgl. 2.0., linear

Lösung: x = xhom.allg. + xinhom.

part.

spezieller Ansatz für f(t): harmonisch gestörter Schwinger

f(t) = f0eiωt = f0(cos(ωt) + i sin(ωt))

Ansatz für die partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung:

xinhom.part. = Aei(ωt−ϕ)

A(−ω2 + 2iρω + ω20)e

i(ωt−ϕ) = f0eiωt

→ A(−ω2 + 2iρω + ω20) = f0(cos ϕ + i sin ϕ) = f0e

iϕ

= α + iβ = z


A√

(ω20 − ω2)2 + 4ρ2ω2 = f0

tan ϕ =2ρω

ω20 − ω2

(49)

Realteil bilden: Lx = f

<e(Lx) = L<e(x) = <ef

xinhom.part. = A cos(ωt− ϕ) = f0 cos(ωt)

Lösung:

x = Ce−ρt cos(√

ω20 − ρ2t + ϕ0)

+A cos(ωt− ϕ)(50)

Schwingung erfolgt mit der Frequenz der Störung ω nach Abklingen des Einschwingvorgan-ges mit der Frequenz

√ω2

0 − ρ2.

Diskussion (der partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung)

• A(ω), ϕ(ω) Amplitude und Phasenwinkel

A =f0

ω20

unabhängig von ρ

ω >> ω0:

A ≈ f0

ω√

ω2 + 4ρ2→ 0

Amax :dA

dω= 0 = −1

2

f0√3

[−4(ω2

0 − ω2)ω + 8ρ2ω]

→ 2ρ2 = ω20 − ω2

ωmax =√

ω20 − 2ρ2, existiert nur für ω0 >

√2ρ

ρ = 0 : ωmax = ω0, A →∞Amax =

f0

2ρ√

ω20 − ρ2

nur für ω20 > 2ρ2)


ω << ω0:

A =f0

ω20

√(1− x2)2 − 4ρ2

ω20

x2

x =ω

ω0

≈ f0

ω20

[1 + αx2] α = 1− 2ρ2

ω20

π

π/2

0.3110

0.3110

ω0

A

ω

020

f

ω0.01ρ =

0.01ρ =

Abb. 8.11: Amplitude und Phasenverschiebung der erzwungenen Schwingung

• ResonanzfallBsp.: Brücke, Geige

Resonanzkatastrophe

• allgemeinerer Verlauf der erzwingenden Kraft:

f(t) =∑ν

fνeiωνt

(Fourierentwicklung für periodische Vorgänge)wegen Linearität der Dgl. Superposition:

xinh.part. =

∑ν

Aνei(ωνt−ϕν)


nichtperiodischer Kraftverlauf: Fourierintegral

f(t) =∫

f(ω)eiωtdω

xinh.part. =

∫A(ω)ei(ωt−ϕ(ω))dω

9 DAS KEPLERPROBLEM 44

9 Das KeplerproblemBewegung einer Masse m im Gravitationsfeld einer Masse M .Bewegungsgleichung:

m~r = ~f = −γmM

r2

~r

r(51)

γ = 6, 67 · 10−11m3/s2kgGravitationskonstante

• Potenzialkraft

U(r) = U(r0)−r∫

r0

~f · d~r

Mit U(∞) = 0 ergibt sich

U = −r∫

∞

~f · d~r = −γMm

r(52)

• Zentralkraft:Drehimpuls ~L bleibt erhalten wegen ~r × ~f = ~M = 0→ m~r × ~r = ~L = const.Die Bewegung erfolgt daher in einer Ebene und es gilt der Flächensatz:

d ~A =1

2(~r × d~r) =

m

2m(~r × ~r)dt =

1

2m~Ldt

→ d ~A

dt=

~L

2m= const. (53)

Abb. 9.1: Flächensatz

2. Kepler’sches Gesetz:”Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen”

Darstellung von Gl. (51) in ebenen Polarkoordinaten:Mit ~r = r~er, ~er = ϕ~eϕ, ~eϕ = −ϕ~er ergibt sich

~r = (r − rϕ2)~er︸︷︷︸Radialbeschleunigung

+ (2rϕ + rϕ)~eϕ︸︷︷︸Azimutalbeschleunigung

(54)

r − rϕ2 + γMr2 = 0

2rϕ + rϕ = 0(55)


Lösung dieses Differenzialgleichungssystems unter Berücksichtigung der Anfangsbedingun-gen

r(0) = r0, r(0) = r0, ϕ(0) = ϕ0, ϕ(0) = ϕ0

durch numerische Integration möglich (s. Seminar). Analytische Lösung über Energiesatz:

T + U =m

2~r

2 − γMm

r= E (56)

Mit ~r = r~er + rϕ~eϕ, ~r2

= r2 + r2ϕ2

und ~L = m~r × ~r = mr2ϕ~ez, ~L2 = m2r4ϕ2

ergibt sich:m

2r2

︸︷︷︸Tr

+L2

2mr2− γMm

r︸︷︷︸Ueff

= E (57)

Tr

E

Ueff

Ueff

Emin

r

Tr + Ueff = E

Abb. 9.2a) Radialbewegung im Potenzialfeld Ueff

b) harmonischer Oszillator zum VergleichAus Gl. (57) ergibt sich

r =dr

dt=

dr

dϕ

dϕ

dt=

dr

dϕ

L

mr2

=

√2E

m− L2

m2r2+

2γM

r

→ ϕ− ϕ0 =

r∫

r0

dr

mr2

L

√2E

m− L2

m2r2+

2γM

r

(58)


Das Integral kann mit Hilfe der Suestitution z = 1/r in ein Grundintegral überführt werden:

ϕ− ϕ0 = arccos

1

r− γMm2

L2√2Em

L2+

γ2M2m4

L4

(59)

r =

L2

γMm2

1 +

√1 +

2EL2

γ2M2m3cos(ϕ− ϕ0)

(60)

Festlegung: r(0) = rmin, ϕ(0) = 0 → ϕ0 = 0.

Gleichung () entspricht der Polargleichung eines Kegelschnittes:

r =p

1 + ε cos ϕ(61)

mit

p =b2

a=

L2

γMm2(62)

= ”Parameter”

ε =c

a=

√1 +

2EL2

γ2m3M2(63)

= ”numerische Exzentrizität”Als Beispiel eines Kegelschnittes ist in Abb. 9.3 eine Ellipse dargestellt, dann sind a und b diebeiden Halbachsen, 2c ist der Abstand der beiden Brennpunkte F1 und F2. Im BrennpunktF1 befindet sich die Masse M(1. Kepler’sches Gesetz).

b

a

c ϕr

ξ, x

yη

cp

F1F2

Abb. 9.3: Ellipse


Die Gleichung der Ellipse lautet in kartesischen Koordinaten

ξ2

a2+

η2

b2=

(x− c)2

a2+

y2

b2= 1 (64)

Mit r =√

x2 + y2, cos ϕ = x/√

x2 + y2 ergibt sich aus der Polargleichung (7...)

x2(1− ε2) + 2pεx + y2 − p2 = 0 (65)

Diese Gleichung hat die Gestalt einer allgemeinen Kurve 2. Ordnung (Kegelschnitt)

c1x2 + 2c2xy + c3y

2 + 2c4x + 2c5y + c6 = 0 (66)

mit

δ =

∣∣∣∣∣c1 c2

c2 c3

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣1− ε2 00 1

∣∣∣∣∣ = 1− ε2

Der Parameter δ bestimmt die Form des Kegelschnittes (Ellipse, Parabel, Hyperbel):Ellipse: δ > 0, ε2 < 1, E < 0Parabel: δ = 0, ε2 = 1, E = 0Hyperbel: δ < 0, ε2 > 1, E > 0

Kreis: δ = 1, ε2 = 0, E = −γ2m3M2

2L2(Kreis als Spezialfall der Ellipse)

3. Kepler’sches Gesetz: Perihel: ϕ = 0, r = rmin Aphel: ϕ = π, r = rmax

Aus Gl. (60) ergibt sich

rmin =

L2

γMm2

1 +

√1 +

2EL2

γ2M2m3

(67)

rmax =L2

γMm2

1−√

1 +2EL2

γ2M2m3

(68)

rmin + rmax = 2a = −γMm

E

Aus dem Flächensatz (53) folgt:

dA

dt=

L

2m=

πab

T=

πa√

pa

T(69)

πab ist die Ellipsenfläche, T die Umlaufzeit. Unter Verwendung von Gl. (...) ergibt sich das3. Kepler’sche Gesetz:

T 2

a3=

4π2

γM(70)


1. kosmische Geschwindigkeit:Satellit mit der Masse m auf einer Kreisbahn in Nähe der Oberfläche der Erde (ErdmasseM):Mit ε = 0, p = R0, L

2 = R0γMm2,

E = −γ2m3M2

2L2= −γmM

2R0

ergibt sich ausm

2v2

1 = |E|

v1 =

√γM

R0

= 7, 9 km/s (71)

2. kosmische GeschwindigkeitSatellit verlässt die Erde auf einer ParabelbahnMit ε = 1, p = 2R0, L

2 = eR0γMm2,E = 0

ergibt sich ausL = mv2R0 = m

√2R0γM

v2 =

√2γM

R0

= 11, 2 km/s (72)

3. kosmische Geschwindigkeit (Verlassen des Sonnensystems)

v3 = 16, 7 km/s (73)

10 DER DUFFING-OSZILLATOR 49

10 Der Duffing-OszillatorNichtlineare Dynamik, deterministisches Chaos

V (x) =ax

2

2

+bx

4

4

=x

2

2

(a +b

2x2) (74)

Duffing-Potential

K(x) = −dV

dx= −x(a + bx2) (75)

a > 0a < 0U

x

Abb. 10.1: Duffing-Oszillator:Potentialverlauf

b > 0ein Minimum bei x1 = 0 für a > 0ein Maximum bei x1 = 0 für a < 0

zwei Minima bei x2/3 = ±√

a

bfür a < 0

experimentelle Realisierung z. B. durch ”Euler’schen Stab”:

m

Blattfeder

Abb. 10.2: Euler’scher Stab


Bewegungsgleichung:mx + µx + ax + bx3 = f0 cos(ωt)

→ x + 2ρx + αx + βx3 = f0 cos(ωt) (76)

mit

ρ = µ/2m

α = a/m

β = b/m

f0 = f0/m

numerische Lösung der Bewegungsgleichung:Darstellung von Gl. (76) als System von Differenzialgleichungen 1. Ordnung:

x = vv = −2ρv − αx− βx3 − f0 cos(ωt)

(77)

oder:~u = A~u + ~ω (78)

mit

~u =

(x

v

), ~u =

(x

v

)

A =

∂u0

∂u0

∂u0

∂u1

∂u1

∂u0

∂u1

∂u1

=

0 1

−α− 3βx2 −2ρ

~ω =

(0

f0 cos(ωt)

)

x

v

u

u

Abb. 10.3: Bahnkurvein der Phasenebene

~u und ~u sindOrts- und Geschwindigkeitsvektorin der Phasenebene


d~u = ~udt = A~udt + ~ωdt (79)

Die Bahnkurve in der Phasenebene kann nummerisch berechnet werden (Verfahren z. B.Runge-Kutta-Verfahren oder Differenzenverfahren):Die Anfangswerte sind durch

~u0 = ~u(t = 0)

festgelegt. Damit kann ein benachbarter Bahnpunkt berechnet werden:

~u(t0 + dt) = ~u(t0) + A(t0)~u(t0)dt + ~ω(t0)dt

und sukzessive der ganze Bahnverlauf.

Fixpunkte:

~u = 0 (80)

Das System verharrt an einem Punkt.Bsp.: gedämpfter harmonischer Oszillator

Ursprung ~u = 0 ist Fixpunkt eines Systems, das durch ~u = A~u beschrieben wird:

1 0 11

0

1

Mi 2,

Mi 1,

0.5 0 0.5 11

0.5

0

0.5

Mi 2,

Mi 1,

x x

v v

0ρ >0ρ =

Abb. 10.4: Fixpunkt des gedämpften harmonischen Oszillators

stabile Fixpunkte:lineares System hat stabilen Fixpunkt, wenn alle seine Ljapunov-Exponenten negativ sind(Reλ1, Reλ2,...):

|A− λI| = 0 (81)

Übertragung auf nichtlineare Systeme, Linearisierung in der Nähe eines Fixpunktes

Beispiele für Schwingungen des Duffing-Oszillators:


0 50 1002

0

2

Bahnkurve

Mi 1,

ti

2 1 0 1 2

1

0

1

Phasenebene:

Mi 2,

Mi 1,t x

x v

Abb. 10.5 : chaotischer Bahnverlauf

α = −1 , β = 1 , ρ = 0.125 , f0 = 0.55 , ω = 1.4 , x0 = 0 , v0 = 0

90 95 1002

0

2

Bahnkurve

Mi 1,

ti

2 1 0 1 21

0

1

Phasenebene:

Mi 2,

Mi 1,

90 95 1002

0

2

Bahnkurve

Mi 1,

ti

2 1 0 1 21

0

1

Phasenebene:

Mi 2,

Mi 1,

t x

x

x v

v

(a)

(b)

Abb. 10.6 : Einfluss der Anfangsbedingungen

α = −1 , β = 1 , ρ = 0.125 , f0 = 0.55 , ω = 1.4(a) : x0 = −2 , v0 = 0(b) : x0 = −2.000001 , v0 = 0


t x

x

x

x

v

v

v

(a)

(c)

(b)

180 185 190 195 2000

1

2

Bahnkurve

Mi 1,

ti

0 0.5 1 1.5 21

0.5

0

0.5

1

Phasenebene:

Mi 2,

Mi 1,

180 185 190 195 2000

1

2

Bahnkurve

Mi 1,

ti

0 0.5 1 1.5 21

0.5

0

0.5

1

Phasenebene:

Mi 2,

Mi 1,

180 185 190 195 2000

1

2

Bahnkurve

Mi 1,

ti

0 0.5 1 1.5 21

0.5

0

0.5

1

Phasenebene:

Mi 2,

Mi 1,

Abb. 10.7 : Grenzzyklen: Periodenverdopplung

(a) : α = −1 , β = 1 , ρ = 0.125 , f0 = 0.34 , ω = 1.4 , x0 = 0 , v0 = 0(b) : α = −1 , β = 1 , ρ = 0.125 , f0 = 0.37 , ω = 1.4 , x0 = 0 , v0 = 0(c) : α = −1 , β = 1 , ρ = 0.125 , f0 = 0.39 , ω = 1.4 , x0 = 0 , v0 = 0

• Umschlag ins Chaos über Periodenverdopplung (Feigenbaum-Szenario)


• Einfluss der Anfangsbedingungen, Auseinanderlaufen von Trajektorien

• Schmetterlingseffekt, Lorenz

• deterministisches Chaos

• Prinzip der schwachen Kausalität: ähnliche Ursachen bringen nicht ähnliche Wirkungenhervor

11 PRINZIPIEN DER MECHANIK 55

11 Prinzipien der Mechanik

11.1 Nebenbedingungen

Berechnung von Massenpunkt-Systemen mit eingeschränkter Bewegungsfreiheit, Freiheits-grad eingeschränkt, Beziehung zwischen den Koordinaten der Teilchen

Freiheitsgrade:f = 3 1 Massenpunkt

2 1 Massenpunkt auf Fläche z = f(x, y)1 1 Massenpunkt auf Kurve z = f1(x, y) z = f2(x, y)

f = 6 starrer Körperf = 5 Hantelf = 3N N freie MPNebenbedingungen: Gleichung, die Anzahl der Freiheitsgrade einschränken

Bsp.:MP auf Kugel: x2 + y2 + z2 = R2

F (~r) = x2 + y2 + z2 −R2 = 0

allgemein:Fm(~r1, ~r2, ..., ~rN , t) = 0 (82)

holonome Nebenbedingungen(3N-dimensionale bewegte Fläche)m = 1...M (M Anzahl der Bindungen, NB)

f = 3N −M (83)

andere DarstellungBsp.: Massenpunkt auf Kugel:

dF = 2xdx + 2ydy + 2zdz = gradF · d~r = 0

allgemein:

dFm(~r1, ..., ~rN , t) =N∑

i=1

gradiFm · d~ri +∂Fm

∂tdt = 0 (84)

(nicht holonome NB: nicht darstellbar in dieser Form, sondern

N∑

i=1

~ami· d~ri + am0dt = 0 mit ~ami

6= gradiFm,

nicht integrabel und darstellbar in Form *, Bsp.: Schlittschuhläufer, Rad auf Ebene (s. u.))

skleronome NB:∂Fm

∂t= 0

rheonome NB: Fm zeitabhängig,∂Fm

∂t6= 0


grad F

dr�

dr�

t1t2

Abb. 11.1 : skleronome und rheonome Nebenbedingungen, Luftballon wirdaufgeblasen

Bsp. für nichtholonome NB:

11.2 Prinzip der virtuellen Arbeit (Verrückungen)

J. Bernoulli 1717

virtuelle Verrückung:mit NB verträglich, aber zeitlos:

δ~ri 6= 0, δt = 0

(Unterschied zu realen Verrückungen, Bewegung nur bei rheonomen NB, dort unendlichschnelle Verrückung auf bewegter Fläche)

Bsp.: 1 Massenpunkt auf Kugel

allgemein:

δFm =N∑

i=1

gradiFm · δ~ri = 0 (85)

Zwangskräfte:

mi~ri = ~fi + ~f zi

~f zi Zwangskraft, die auf die Masse mi von der Fläche Fm ausgeübt wird


m

Zf�

f mg=�

�

f mg=�

�

Zf�

α

Abb. 11.2 : Beispiele für Zwangskräfte

F = x2 + y2 + z2 −R2 = 0

F = z − tan α · x = 0

Prinzip der virtuellen Arbeit:

Die Zwangskräfte leisten bei einer virtuellen Verrückung des Systems keine Arbeit.N∑

i=1

~f zi · δ~ri = 0

Zusammenhang Zwangskräfte - Nebenbedingungen:

δFm =N∑

i=1

gradiFm · δ~ri = 0

N∑

i=1

gradiF1 · δ~ri = 0| · λ1

N∑

i=1

gradiFM · δ~ri = 0| · λM

N∑

i=1

M∑

m=1

λmgradiFm · δ~ri = 0

N∑

i=1

~f zi · δ~ri = 0

Lagrange’sche Multiplikatoren

→ ~f zi =

M∑

m1

λmgradiFm (86)


Ermittlung der λm aus Lagrange-Gleichung 1. Art:

mi~ri = ~fi + ~f zi = ~fi +

M∑

m=1

λmgradiFm (87)

3N + M Gleichung zur Bestimmung der Unbekannten ri, λm(3N + M).

11.3 Hamilton’sches Prinzip (1834)

Ableitung mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Arbeit. Für den Massenpunkt i (i = 1...N)gilt:

mi~ri = ~fi + ~f zi

mit~f zi =

M∑

m=1

λigradiFm, Fm(~r1, ~r2, ..., t) = 0

Die Arbeit der Zwangskräfte bei einer virtuellen Verrückung ist Null, daraus ergibt sich:

0 = −N∑

i=1

~f zi · δ~ri =

N∑

i=1

(~fi −mi~ri) · δ~ri

=N∑

i=1

~fi · δ~ri + δN∑

i=1

1

2mi~ri

2 − d

dt

N∑

i=1

mi~ri · δ~ri

= δA + δT − d

dt

N∑

i=1

mi~ri · δ~ri (88)

δA ist die Arbeit der Kräfte ~fi bei einer virtuellen Verrückung des Systems um δ~ri

δT ist die Änderung der kinetischen Energie bei einer virtuellen Verrückung desSystems um δ~ri

δU = −δA =∑

i gradiU · δ~ri ist die Änderung der potentiellen Energie bei einervirtuellen Verrückung um δri, wenn Potentialkräfte vorliegen.

t0 : P0

t1 : P1

ir (t)�

ir (t)��

Abb. 11.3 : Integrationsweg

~ri(t) : tatsächliche Bahn~ri(t) : virtuelle, denk-bare, varierte Bahn~ri(t)− ~ri(t) = δ~ri(t)virtuelle Verrückung(δt = 0)

δ~ri klein und differenzierbar,δ~ri(t0) = δ~ri(t1) = 0)


Hinweis zur Umformung in Gl. (88): Es ist

xδx =d

dt(xδx)− δ

(1

2x2

).

Integration der Gleichung

δ(T − U) =d

dt

N∑

i=1

mi~ri · δ~ri :

t1∫

to

(δT − δU)dt =

t1∫

t0

d(∑

mi~ri · δ~ri)

=∑

i

mi~ri · δri|t1t0 = 0

(Anfangs- und Endpunkt fest)

→ δ

t1∫

t0

(T − U)dt = δ

t1∫

t0

Ldt = 0 (89)

mit L = T − U = Lagrange-Funktion

Hamilton’sches Prinzip

Die wirkliche Bahn ist durch δ

t1∫

t0

Ldt = 0 ausgezeichnet, d. h.

W =

t1∫

t0

Ldt = Wirkung⇒ Extramalwert

Hinweis auf andere Prinzipien, z. B.Fermat’sches Prinzip


11.4 Ableitung der Lagrange’schen-Gleichungen aus dem Hamilton-Prinzip

11.4.1 Lagrange-Gleichungen in kartesischen Koordinaten ohne Nebenbedin-gungen

L = T − U = L(x1, y1, z1, ..., xN , yN , zN , x1, ..., zN , t)

= L(xk, xk, t)

k = 1...3N

W =

t1∫

t0

L(xk, xk, t)dt

xk(t) → xk(t) + δxk(t)

δxk(t0) = δxk(t1) = 0

δxk seien klein und differenzierbar

δW =

t1∫

t0

{L(xk + δxk, xk +d

dtδxk, t)− L(xk, xk, t)}dt = 0

=

t1∫

t0

3N∑

k=1

[∂L

∂xk

δxk +∂L

∂xk

d

dtδxk

]dt =

t1∫

t0

3N∑

k=1

[∂L

∂xk

− d

dt

∂L

∂xk

]δxkdt +

[∑ ∂L

∂xk

δxk

]t1

t0︸︷︷︸=0

Hinweis:d

dt

(∂L

∂xk

δxk

)=

d

dt

(∂L

∂xk

)δxk +

∂L

∂xk

d

dtδxk

⇒ d

dt

∂L

∂xk

− ∂L

∂xk

= 0 (90)

11.4.2 Lagrange-Gleichungen 2. Art (mit Nebenbedingungen)

Fm(x1, ..., xN , t) = 0, m = 1...MZur Wahrung der Nebenbedingungen Variation ausdehnen auf

δ

t1∫

t0

{L +M∑

m=1

λmFm}︸︷︷︸

L∗

dt = 0

→ d

dt

∂L∗

∂xk

− ∂L∗

∂xk

= 0


→t1∫

t0

3N∑

k=1

[∂L

∂xk

− d

dt

∂L

∂xk

+M∑

m=1

λm∂Fm

∂xk

]

︸︷︷︸=0

δxkdt = 0

Hinweis:f Klammern sind Null, weil f Koordinatenverrückungen δxk

frei wählbar sind3N − f = M Klammern sind Null, weil M Lagrange’sche Multiplikatoren

λm so bestimmbar sind, dass M Klammern verschwinden.

L = T − U =3N∑

k=1

mk

2x2

k − U(~r1, ..., ~rN)

d

dt

∂L

∂xk

= mkxk

∂L

∂xk

= − ∂U

∂xk

= fk

xk : x1, x2, x3, x4, x5, x6, ...xi, yi, zi : x1, y1, z1, x2, y2, z2, x3, y3, z3,

Indices k in 3er-Gruppen zusammenfassen

→~fi −mi~ri +

M∑

m=1

λmgradiFm = 0 (91)

11.4.3 Lagrange-Gleichungen 2. Art in verallgemeinerten Koordinaten

elegante Behandlung des Systems mit Nebenbedingungen:

xj(t) = xj(qk(t), t) j = 1...3N ; k = 1...f

qk der Symmetrie des Systems angepasst, erfüllen Nebenbedingungen automatischBsp.:

L(xj, xj, t) = L(qk, qk, t)

Nebenbedingungen eliminiertd

dt

∂L

∂qk

− ∂L

∂qk

= 0 (92)

Lagrange-Gleichungen 2. Art (für konservative Kräfte)

11.5 Beispiel für die Lagrange-Gleichungen 2. Art

d

dt

∂L

∂qk

− ∂L

∂qk

= 0 L = T − U (93)


qk: generalisierte Koordinaten (Abstände, Winkel)f : Dgl. 2. Ordnung

Erläuterung des Algorithmus zur Lösung von Aufgaben an Beispielen

Bsp.: Mathematisches Pendel

Schritt 1 L = T − U in kartesischen Koordinaten aufschreibenL = T − U =

m

2~r2 + mgz =

m

2(x2 + z2) + mgz

Schritt 2 geeignete qk(q1, ..., q3N−M) einführenf = 1, M = 2, 3N −M = 1,q = ϕ

Schritt 3 ~ri = ~ri(qk, t) berechnen~ri = ~ri(qk, qk, t) berechnenx = l sin ϕz = l cos ϕx = l cos ϕϕz = −l sin ϕϕ

Schritt 4 L(qk, qk, t) berechnenL =

m

2l2ϕ2 + mgl cos ϕ

Schritt 5 Lagrange’sche Gleichungen 2. Art aufstellend

dt

∂L

∂ϕ− ∂L

∂ϕ= 0

d

dtml2ϕ + mgl sin ϕ = 0

ml2ϕ + mgl sin ϕ = 0

ϕ +g

lsin ϕ = 0

kleine ϕ: sin ϕ ≈ ϕ

ϕ +g

lϕ = 0 ⇒ ϕ = A cos

(√g

lt + α

)

11.6 Hamilton’sche kanonische Gleichungen

L = L(qk, qk, t)

generalisierte Impulse:

pk =∂L

∂qk

= pk(ql, ql, t) (94)

Die pk sind kanonisch konjugiert zu den qk

(Hinweis: für L = T − U =m

2x2 − U(x) ergibt sich p =

∂L

∂x= mx)


Elimination der ~qk zugunsten der pk:Statt Lagrange-Funktion Einführung der Hamiltonfunktion:

H =f∑

i=1

piqi − L = H(pk, qk, t) (95)

(Hinweis: qk = qk(qi, pi, t))

∂H

∂qk

=∑

i

pi∂qi

∂qk

− ∂L

∂qk

−∑

i

∂L

∂qi

∂qi

∂qk

= − ∂L

∂qk

= − d

dt

∂L

∂qk

= −pk (96)

∂H

∂pk

=∑

i

∂qi

∂pk

pi + qk −∑

i

∂L

∂qi

∂qi

∂pk

= qk (97)

∂H

∂qk

= −pk

∂H

∂pk

= qk

(98)

2f Differentialgleichungen 1. OrdnungH Gesamtenergie

H =∑

i

piqi − L = T + U

11.7 Beispiel für die Hamilton’schen Gleichungen

Bsp.: Mathematisches Pendel

Schritt 1 L(qk, qk, t) aufstellen: L = T − U

L =m

2l2ϕ2 + mgl cos ϕ

Schritt 2 qk eliminieren durch Einführung von

pk =∂L

∂qk

p =∂L

∂ϕ= ml2ϕ →

qk=qk(qi,pi,t)︷︸︸︷ϕ =

p

ml2

Schritt 3 H = T + U = H(qk, pk, t) berechnen

H =p2

2ml2−mgl cos ϕ

Schritt 4 Hamilton’sche Gleichungen aufstellen

p = −∂H

∂ϕ= −mgl sin ϕ

ϕ =∂H

∂p=

p

ml2

⇒ ϕ +g

lsin ϕ = 0 (s. Lagrange’sche Gleichung 2. Art)


11.8 Erhaltungssätze

a) zyklische KoordinatenZyklische Koordinaten sind Koordinaten, von denen H nicht abhängt:

∂H

∂qk

= 0 = −pk → pk = const.

⇒ Erhaltungssatz für den generalisierten Impuls pk.Im Folgenden werden abgeschlossene Systeme betrachtet.

b) Energiesatz

H = H(qi, pi, t)

dH

dt=

∑ ∂H

∂qi

qi +∑ ∂H

∂pi

pi +∂H

∂t

=∑ (

∂H

∂qi

∂H

∂pi

− ∂H

∂pi

∂H

∂qi

)

︸︷︷︸=0

+∂H

∂t

→ dH

dt= 0, falls

∂H

∂t= 0

→ H = const. (zeitlich) = Gesamtenergie

(folgt aus Homogenität der Zeit, H(t + t0) = H(t),→ δH = 0 → H = const.)

c) ImpulssatzHomogenität des Raumes fordert:

H(~ri + δ~a, ~pi, t) = H(~ri, ~pi, t)

δH =∑

i

∂H

∂~ri

· δ~a = 0 (δ~a beliebig)

→ ∑

i

∂H

∂~ri

= −∑~pi = 0

→ ∑~pi = const.

12 MECHANIK DES STARREN KÖRPERS 65

d) DrehimpulssatzIsotropie des Raumes (Homogenität bezüglich Drehung) fordert:

H(~ri + δ~ϕ× ~ri, ~pi + δϕ× ~pi, t) = H(~ri, ~pi, t)

δH =∑

i

[∂H

∂~ri

· [δ~ϕ× ~ri) +∂H

∂~pi

· (δ~ϕ× ~pi)

]=

=∑

i

[(−~pi · (δ~ϕ× ~ri) + ~ri · (δ~ϕ× ~pi)

]

= δ~ϕ ·∑[(−~ri × ~pi) + (~pi × ~ri

]=

= δ~ϕ · d

dt

∑(~ri × ~pi) = 0

→ ∑~Li =

∑~ri × ~pi = const.

12 Mechanik des starren Körpers

12.1 Vorbemerkungen

Ein starrer Körper kann als ein System von Massenpunkten mit festen Abständen unterein-ander aufgefasst werden.Nebenbedingungen (M Gleichungen):

|~ri − ~rj| = const. (99)

Freiheitsgrade eines starren Körpers aus N Massenpunkten:

f = 3N −M (100)

N = 1 2 3 4 5M = 0 1 3 6 9 f = 3 5 6 6 6

Abb. 12.1 : Freiheitsgrade eines starren Körpers aus NMassenpunkten

Ein freier starrer Körper hat 3 Freiheitsgrade der Translation und 3 Freiheitsgrade der Ro-tation: f = 6


Einschränkungen:f = 3 : Festhalten bzw. Unterstützen eines Punktes → Kreiself = 1 Drehung um eine feste Achse → physikalisches Pendel

Geschwindigkeit eines Massenpunktes des starren Körpers:

ir� im

x

y

z

ω�iR

�

0R�X

Y

Z

O

ΣΣΣΣ=(X,Y,Z)

ΣΣΣΣ´=(x,y,z)

Abb. 12.2 : raumfestes undmitbewegtes Koordinatensystem

Beschreibung der Lage eines Massenpunktes im körperfesten und im raumfesten Koordina-tensystem

~Ri = ~R0 + ~ri (101)

d~Ri

dt=

d~R0

dt+ ~ω × ~ri (102)

~vi = ~v0 + ~ω × ~ri (103)

(Der Operatord

dt=

d′

dt+ ~ω× ist anzuwenden, wobei

d

dtund

d′

dtdie zeitliche Ableitung im

raumfesten bzw. körperfesten Koordinatensystem bedeuten. Es istd′ ~ri

dt= 0).

~ω ist die momentane Drehachse. ~ω ist unabhängig vom Bezugspunkt 0, alle Punkte desstarren Körpers haben die gleiche Winkelgeschwindigkeit. ~v0 ist dagegen vom Bezugspunktabhängig:Man wähle einen neuen Bezugspunkt 0′ im Abstand ~a von 0. Dann ist

~vi = ~v0 + ω × ~ri = ~v0 + ~ω ′ × (~ri + ~a) (104)

Die Gleichung ist für alle ~ri nur zu erfüllen, wenn

~ω′ = ~ω (105)


~v′0 = ~v0 − ~ω × ~a (106)

12.2 Der Trägheitstensor

In den folgenden Abschnitten wird der starre Körper als homogen mit der Massendichte ρ(~r)angenommen. Das ist der Grenzfall eines aus einer sehr großen Anzahl von Massenpunktenbestehenden festen Körpers. Die Masse m des starren Körpers und seine Geschwindigkeit ~vim Punkt ~r ergeben sich dann aus

m =N∑

i=1

mi → m =∫

dm =∫

ρ(~r)dV (107)

vi → v(~r) (108)

Die kinetische Energie des starren Körpers ergibt sich zu

T =∫ v2

2dm =

=∫ v2

0

2dm +

∫ |~ω × ~r|2

2

dm +∫

~v0 · (~ω × ~r)dm

= T T︸︷︷︸

Translationsenergie

+ TR︸︷︷︸

Rotationsenergie

+ TWW︸︷︷︸

′Wechselwirkungsenergie′(109)

Die kinetische Energie lässt sich als Summe aus zwei Termen T = T T + TR darstellen mitTWW = 0, wenn man den Ursprung des körperfesten Koordinatensystems in den Schwer-punkt des festen Körpers legt (~rS = 0).

Schwerpunkt des starren Körpers:

~rS =

∫~r dm

m, m =

∫dm (110)

Mit ~rS = 0 folgt TWW = ~v0 · (~ω ×∫

~r dm) = 0.Daher ist es günstig, den Ursprung des körperfesten Koordinatensystems in den Schwer-punkt zu legen. Die kinetische Energie ist dann die Summe aus Translationsenergie der imSchwerpunkt vereinigten Gesamtmasse m und der Rotationsenergie des starren Körpers beiDrehung um die momentane Drehachse ~ω durch den Schwerpunkt:

T = T T + TR (111)

T T : Translationsenergie der Masse m im SchwerpunktTR: Rotationsenergie bei Drehung um die Achse ~ω durch den Schwerpunkt

T T =mv2

0

2(112)


TR =1

2

∫|~ω × ~r|2dm =

1

2

∫ [~ω 2~r 2 − (~ω · ~r)2

]dm

=1

2

∫[ωlωlxjxj − ωkxkωlxl] dm

=1

2ωkωl

∫[xjxjδkl − xkxl] dm (113)

mit

δkl =10

}für

{k = lk 6= l

Die erste Umformung in Gleichung (113) ergibt sich unter Beachtung der Regeln für dasSpatprodukt:

|~ω × ~r|2 = (~ω × ~r) · (~ω × ~r) = ~ω [~r × (~ω × ~r)]

= ~ω · ~ω(~r · ~r)− ~ω · ~r(~ω · ~r)= ~ω2~r2 − (~ω · ~r)2 (114)

Des Weiteren wurde von der Summationsvereinbarung Gebrauch gemacht, dass übergleiche Indices in einem Ausdruck automatisch zu summieren ist. Das bedeutet z. B.

~r 2 ≡ x2 + y2 + z2 ≡3∑

l=1

xlxl ≡ xkxk ≡ xjxj ≡ ... (115)

Die Rotationsenergie lässt sich unter Einführung des Trägheitstensors I (Tensor 2. Stufe)darstellen als

TR =1

2Iklωkωl

mitIkl =

∫[xjxjδkl − xkxl] dm

(116)

Ausführliche Scheibweise des Trägheitstensors:

I =

∫(y2 + z2)dm − ∫

xydm − ∫xzdm

− ∫yxdm

∫(x2 + z2)dm − ∫

yzdm− ∫

zxdm − ∫zydm

∫(x2 + y2)dm

(117)

Der Trägheitstensor ist wegen Ilk = Ikl symmetrisch. Elemente in der Hauptdiagonale: Träg-heitsmomente, Nichtdiagonalelemente: Deviationsmomente.

Andere Darstellung der kinetischen Energie:

TR =1

2(ω1, ω2, ω3)

I11 I12 I13

I21 I22 I23

I31 I32 I33

ω1

ω2

ω3

(118)


Der Trägheitstensor kann durch ein Trägheitsellipsoid veranschaulicht werden:

2TR = Iklωkωl > 0 (119)

Mit ω = |~ω| und ~n =~ω

ω(Einheitsvektor ‖~ω) ergibt sich

2TR

ω2= Iklnknl = I (120)

Dabei ist I das Trägheitsmoment bei Drehung des starren Körpers um die Achse ~n‖~ω.Die Gl. (120) kann unter Einführung von xk =

nk√Igeschrieben werden

Iklnk√

I

nl√I

= Iklxkxl = 1 (121)

Gl. (121) beschreibt eine Fläche 2. Grades.

Bsp.:

x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 Ellipsoid.

Im Allgemeinen ist das Trägheitsellipsoid gedreht:

x

y

x´

y´ω�

1

I

1

1

I′

11

1

I

Abb. 12.3 : Trägheitsellipsoid

Es gilt z. B. mit x2 = x3 = 0 :

I11x21 = 1 → x1 =

1√I11

.

A und B sind die halbenHauptachsenabschnitte des Ellipso-ids und es ist

A =1√I ′1

, B =1√I ′2

Hauptachsentransformation:

Das Koordinatensystem kann stets so gedreht werden, dass gilt:

I ′1x′21 + I ′2x

′22 + I ′3x

′23 = 1 (122)

Die Achsen x′1, x′2, x

′3 stehen senkrecht aufeinander.


Im Hauptachsensystem ergibt sich

2TR = Iklωkωl

= I ′11ω′21 + I ′22ω

′22 + I ′33ω

′23

= I1ω′21 + I2ω

′22 + I3ω

′23 (123)

I1, I2, I3: Hauptträgheitsmomente

I =

I1 0 00 I2 00 0 I3

(124)

Spezialfälle:

I1 6= I2 6= I3 asymmetrischer KreiselI1 = I2 6= I3 symmetrischer KreiselI1 = I2 = I3 Kugelkreisel

Beispiele für Berechnung von Trägheitstensoren:

1. 2-atomiges Molekül (’Hantel’)

S

z

m1

m2

2�

1�

Abb. 12.4 : Hantel

Schwerpunkt liegt im Ursprung 0

0 = m1l1 + m2l2l = l1 − l2

}l1 = l

m2

m1 + m2

=lµ

m1

l2 = − lµ

m2

µ: reduzierte Masse:1

µ=

1

m1

+1

m2

→ µ =m1m2

m1 + m2


I1 = I2 = m1l21 + m2l

22 = µ2l2

(1

m1

+1

m2

)= µl2

I3 = 0 (da Punktmassen)

I = µl2

1 0 00 1 00 0 0

(125)

2. Zylinder

ϕ

ρ

z

x

x

y

z

r� dV d d dz= ρ ρ ϕ

h

R

ρ

Abb. 12.5 : Zylinderkoordinaten

x1 = x = ρ cos ϕ

x2 = y = ρ sin ϕ

x3 = z

I11 =∫

(x22 + x2

3)dm = ρD

R∫

ρ=0

2π∫

ϕ=0

h/2∫

z=−h2

ρ(ρ2 sin2 ϕ + z2)dρdϕdz

= πρD

R∫

ρ=0

h/2∫

z=−h2

ρ(ρ2 + 2z2

)dρdz

= πρD

h/2∫

z=−h2

(R

4

4

+ R2z2

)dz =

= πρD

(R4h

4+

R2h3

12

)= m

(R2

4+

h2

12

)

I33 =∫ (

x21 + x2

2

)dm = ρD

R∫

ρ=0

2π∫

ϕ=0

h/2∫

z=−h2

ρ3dρdϕdz =mR2

2(126)


Des Weiteren ergeben sich

I22 = I11,

I12 = I13 = I23 = I21 = I31 = I32 = 0 (127)

I11 = I22 = I1 = I2 und I33 = I3 sind die Hauptträgheitsmomente

I =

I1 0 00 I1 00 0 I3

(128)

Kinetische Energie bei Drehung um die Achse ~ω mit der Winkelgeschwindigkeit ω = |~ω| :

a)

~ω‖x3, ~ω = (0, 0, ω) : → TR =1

2I3ω

2 (129)

b)

~ω = (ω1, ω2, ω3) :

TR =1

2I1(ω

21 + ω2

2) +1

2I3ω

23 (130)

Steiner’scher Satz:Das Trägheitsmoment IS einer Masse M bezüglich Drehung um eine Achse S durch denSchwerpunkt sei bekannt. Das Trägheitsmoment IA bezüglich Drehung um eine zu S paralleleAchse A im Abstand s ergibt sich zu:

IA = IS + Ms2 (131)

Ddm dV= ρ

ρ�x

y

′ρ�s�

A

S

zω� �ϕ

Abb. 12.6 : Steiner’scher Satz

~ρ = ~s + ~ρ ′, ~ω‖z,x2 + y2 = s2 + x

′2 + y′2 + 2~s · ~ρ ′

die Vektoren ~ρ, ~ρ ′ und ~sliegen in einer Ebene ⊥ zu ~ω.


TR =1

2

∫ (x2 + y2

)ω2dm =

1

2IAω2

=1

2Ms2 +

1

2ω2

∫ (x′2 + y

′2)dm + ~s ·

∫~ρ ′dm

︸︷︷︸0

(132)

=1

2Ms2 +

1

2ISω2

Beispiel zur Anwendung des Steiner’schen Satzes:

ϕ�

M

S

A

Abb. 12.7 : physikalisches Pendel

IS : Trägheitsmoment bezüglichDrehung um die Achse S durchden SchwerpunktIA = IS + Ml2

TR + U = E =IAϕ2

2−Mgl cos ϕ = const.

→ IAϕ + Mgl sin ϕ = 0

Für kleine ϕ << 1 ergibt sich:

ϕ + ω20ϕ = 0 mit ω0 =

√Mgl

IA

12.3 Der Drehimpuls des starren Körpers

R�

0R� r

�S

O

Abb. 12.8 : raumfestes und körperfestes Bezugssystem

Der Ursprung des körperfestenKoordinatensystems sei imSchwerpunkt S des starren Körpers:∫

~rdm = M~rS = 0


~L =∫

~R× ~vdm =∫ (

~R0 + ~r)× (~v0 + ~ω × ~r) dm

=∫

~R0 × ~v0dm +∫

R0 × (~ω × ~r) dm︸︷︷︸

0

+

+∫

~r × ~v0dm︸︷︷︸

0

+∫

~r × (~ω × ~r) dm

= ~R0 × (M~v0) +∫

~r × (~ω × ~r) dm

= ~LT + ~LR (133)

Der Translationsanteil ~LT des Drehimpulses entspricht dem Drehimpuls einer im Schwer-punkt vereinigten Punktmasse M . ~LT = 0, falls ~v0‖~R0 oder ~v0 = 0 .Rotationsanteil LR desDrehimpulses:

~LR =∫

~r × (~ω × ~r)dm

=∫

[(~ω(~r · ~r)− ~r(~ω · ~r)] dm (134)

In Komponentenscheibweise:

LRk =

∫[ωkxjxj − xkωlxl] dm (135)

Mit ωk = ωlδkl ergibt sich:

LRk = ωl

∫[xjxjδkl − xkxl] dm = ωlIkl

= Iklωl (136)

~LR = I~ω (137)

Die Rotationsenergie ergibt sich zu

TR =1

2Iklωkωl =

1

2LR

k ωk (138)

Veranschaulichung der Richtung des Drehimpulses, wenn momentane Drehachse ~ω und Träg-heitsellipsoid gegeben sind:


RL�

ω�

1ω

2ω

RT const.=Abb. 12.9 : Trägheitsellipsoid

Der Drehimpulsvektor steht senk-recht auf der Tangentialebene imSchnittpunkt des Vektors ~ω mit demTrägheitsellipsoid

Der Drehimpuls ist zur momentanen Drehachse ~ω nur dann parallel, wenn die Drehungum eine der Hauptachsen erfolgt. Beim Kugelkreisel gilt immer ~L‖~ω.

12.4 Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers

a) Wirkung äußerer Kräfte auf den starren Körper (innere Kräfte heben sich paarweiseauf wegen actio = reactio):

~fauss =∫

~Rdm =∫

~R0dm +∫

~rdm (139)

~fauss = M ~R0 (140)

∫~rdm = M~rS = 0 (Koordinatenursprung im Schwerpunkt)

Äußere Kräfte bewirken eine Translation des starren Körpers, die als Bewegung einerim Schwerpunkt vereinigten Punktmasse M beschrieben werden kann.

b) Wirkung des Drehmomentes äußerer Kräfte auf den starren Körper (innere Kräftebewirken keine Drehmomente)

~Mauss =∫

~R× ~Rdm = ~R0 ×M ~R0 +∫

~r × ~rdm

=d

dt[~R0 × (M~v0)] +

d

dt

∫[~r × ~rdm]

=d~LT

dt+

d~LR

dt(141)

Im Folgenden wird der Index ’auss’ weggelassen und nur der Rotationsanteil ~LR des Drehim-pulses betrachtet. Zweckmäßig ist die Darstellung im mitrotierenden körperfesten Koordina-tensystem. Ansonsten würden sich z. B. die Komponenten des Trägheitstensors bei Drehunglaufend ändern.

~M =d

dt~LR =

d′

dt~LR + ~ω × ~LR (142)


Mit ~LR = I~ω ergibt sich:

~M = Id′~ωdt

+ ~ω × (I~ω) (143)

Euler’sche Kreiselgleichungen (′ bedeutet körperfestes Koordinatensystem)

Wenn die Achsen des körperfesten KS mit dem Hauptträgheitsmoment zusammenfallen,gilt:

I =

I1

I2

I3

, ~ω = (ω1, ω2, ω3)

in Komponenten:

M1 = I1ω1 + (I3 − I2)ω2ω3

M2 = I2ω2 + (I1 − I3)ω3ω1

M3 = I3ω3 + (I2 − I1)ω1ω2

(144)

Euler’sche Kreiselgleichungen (· = d′

dt)

12.4.1 Kräftefreier Kreisel ( ~M = 0)

Bsp.: Unterstützung des Kreisels im Schwerpunkt:

S

Abb. 12.10 : Bsp.: kräftefreier Kreisel

Unterstützung des Kreisels imSchwerpunkt

Drehung um feste (freie) Achse, deren Lage sich im Körper nicht ändert, bedeutetd′

dt~ω = 0 :

ω1 = ω2 = ω3 = 0

⇒ 0 = (I3 − I2)ω2ω3


0 = (I1 − I3)ω3ω1

0 = (I2 − I1)ω1ω2 (145)

Lösungen:

1) I1 = I2 = I3 (Kugelkreisel)Bsp.: rotierender Würfel im Weltall hat in jeder Richtung feste Achse

2) 2 der ω1 sind 0→ nur Hauptträgheitsachsen sind freie Achsen, dann ist aber ~ω‖~LR, und diese Achsensind auch raumfest.Stabile, freie Achsen sind nur die HTA mit kleinstem und größtem Hauptträgheitsmo-ment (s.u.)

allgemeine Bewegung des kräftefreien Kreisels:

×

×

ω�L�

Figurenachse

Spurkegel

Polkegel

momentaneDrehachse

Nutationskegel

Abb. 12.11 : Bewegung des kräftefreien Kreisels

Nutation = reguläre Präzession(kräftefreier Kreisel)

Der Polkegel rollt auf dem Spurkegelab, die Figurenachse bewegt sichauf dem Nutationskegel um dieDrehimpulsachse:

stabile Achsen des kräftefreien Kreisels:

Annahme:Drehung um die Achse 1 ω1 ≈ const.; ω2, ω3 << ω1

0 = I2ω2 + (I1 − I3)ω3ω1


0 = I3ω3 + (I2 − I1)ω1ω2

(146)0 = I2ω2 + (I1 − I3)ω3ω1

0 = I3ω + (I2 − I1)ω1ω2

(147)

0 = I2ω2 − (I1 − I3)I2 − I1)

I3

ω1ω2ω1 (148)

→ ω2 − (I1 − I3)

I2

(I2 − I1)

I3

ω21ω2 = 0

damit keine exponentiell anwachsende Lösung vorliegt, muss

(I1 − I3)(I2 − I1) < 0

sein.Lösungen:

1) I1 > I2, I3 Achse mit größtem HTM

2) I1 < I2, I3 Achse mit kleinstem HTM

Nur die Achsen des größten und des kleinsten Hauptträgheitsmoments sind stabile Achsen.

12.4.2 Schwerer Kreisel ( ~M 6= 0)

S

mg�a

�Abb. 12.12 : Spielkreisel

~M = ~a×m~g =d~L

dt


a

ωωK

L�LL d+

� �M�

f� dϕ

ω�

Abb. 12.13 : Bsp.: anderer schwererKreisel

dL = Ldϕ = Mdt

ωP =dϕ

dtPräzessionsfrequenz (149)

LωP = M

IKωKωP = M (150)

⇒ωP =

M

IKωK

=mga sin α

IKωK

Präzession (151)

gilt näherungsweise. Die Achse vollführt außerdem kleine Schwingungen um die Horizontal-richtung.Durch die Präzessionsbewegung (Drehung der Achse in der Horizontalebene) entsteht amKreisel ein Coriolismoment, das dem Moment ~M das Gleichgewicht hält.Der Drehimpuls ändert seine Lage im Raum!

12.5 Die Erde als Kreisel

a) ’reguläre Präzession’ (Nutation) Polschwankungen

Erde: näherungsweise abgeplattetes Rotationsellipsoid: symmetrischer Kreisel


L� ω�

Figuren-achse

Pol-kegel

Spur-kegel

Abb. 12.14 : Nutation der Erde

I2 = I3

I2 − I1

I1

≈ 1

300(152)

’Euler’′sche Periode ≈ 300 Tage’Chandler’′sche Periode ≈ 433 Tage

berücksichtigt elastische Erde

Abb. 12.15 : Chandler’sche Periode

nach W.E.Carter,Earth orientation, in:The Encyclopedia ofSolid Earth Geophysicsed. by D.E.James,Van Nostrand ReinholdNew York 1989

b) Präzession

Präzession:T = 25.700 Jahre (ein Umlauf)’Platonisches Jahr’ (Hipparch, 150 vor Chr.)


23°27´

Pol der Ekliptik

Sonne

Mond

ω�

Sonne

Mond

Abb. 12.16 : Präzession der Erdachse

Man denkt sich dieMassen von Sonneund Mond "ver-schmiert"über einenRinggürtel um dieErde.Die Mondgezeiten sind2,4 mal stärker als dieGezeiten der Sonne.

Achtung: In der Astronomie werden die Begriffe Präzession und Nutation auch inanderer Bedeutung verwendet.

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