Voyage 200 Workshop

Mag. Gerhard Hainscho

Ein Unterrichtsbehelf zum Einsatz moderner Technologien

im Mathematikunterricht

T3 Österre ich / ACDCA am PI-Niederösterre ich, Hol labrunn

Mag. Gerhard Hainscho

Voyage 200 Workshop

Themenbereich

Einführung in den Gebrauch des Voyage 200

Inhalte Ziele

• Grundlagen / Typische Anfängerprobleme • Gleichungen / (Un)Gleichungssysteme • Funktionen • Potenzen und Wurzeln • Winkelfunktionen • Logarithmen • Wachstumsmodelle • Analysis • Stochastik • Data/Matrix Editor • CellSheet • Text Editor • Program Editor • Numeric Solver • Geometrie (Cabri / Geometer’s Sketchpad) • Datenübertragung • Adressen

• Den Gebrauch des Voyage 200 sowie einige seiner Besonderheiten anhand von Arbeitsblättern und Aufgaben der Schulmathematik kennen lernen.

• Anregung zu eigenem Experimentieren.

Begleittext eines Einsteigerseminars mit Schwerpunkt Handling, auch zum Selbststudium geeignet.

04. 01. 2005

Inhalt Grundlagen ..........................................................................................................................1

Typische Anfängerprobleme ................................................................................................4

Gleichungen.........................................................................................................................5

Gleichungssysteme .............................................................................................................9

Systeme von Ungleichungen .............................................................................................14

Funktionen .........................................................................................................................15

Arbeitsblatt Potenzen (1) ...................................................................................................20

Arbeitsblatt Potenzen (2) ...................................................................................................21

Arbeitsblatt Wurzeln...........................................................................................................22

Arbeitsblatt Winkelfunktionen.............................................................................................23

Logarithmen.......................................................................................................................24

Wachstumsmodelle ...........................................................................................................25

Arbeitsblatt Analysis...........................................................................................................27

Arbeitsblatt Integral ............................................................................................................28

Bestimmtes Integral ...........................................................................................................29

Stochastik ..........................................................................................................................31

Applikationen .....................................................................................................................38

Data/Matrix Editor ..............................................................................................................39

CellSheet ...........................................................................................................................42

Text Editor .........................................................................................................................46

Program Editor...................................................................................................................47

Numeric Solver ..................................................................................................................50

Cabri Geometrie ................................................................................................................51

Geometer’s Sketchpad Geometrie.....................................................................................55

Datenübertragung..............................................................................................................57

Anhang 1: Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme..................................................60

Anhang 2: Flächenberechnung mit Ober- und Untersummen...........................................61

Internet Adressen ..............................................................................................................62

Adresse des Autors ...........................................................................................................63

Seite 1

Grundlagen O - Home

Nr Angabe Eingabe Ergebnis

1 =⋅ 248 8 Ù 24 ¸

8 e 24 ¸ 2 =

248

8 e 24 ¥ ¸

2 ]( 8 d ¸ 3 =8

2 ]( 8 d ¥ ¸

4 − =83 c · 8 d Z c 1 e 3 d ¸

5 =!24 24 2 W ¸

• Zweitbelegungen ( 2 ) : ¥ K

• Umwandlung

- Grad / Minuten / Sekunden → Dezimalgrad : ...°...'..." úDD Z.B.: 0°12’ úDD ⇒ (1/5)°

- Dezimalgrad → Grad / Minuten / Sekunden : ...° úDMS

- Altgrad → Radiant (3 - Angle = RADIAN) : ...° - Radiant → Altgrad (3 - Angle = DEGREE) : ...r - Cartesische Koordinaten → Polarkoordinaten : [... , ...] úPOLAR

- Polarkoordinaten → Cartesische Koordinaten : [... , ∠...] úRECT • Griechische Schriftzeichen (α, β, γ, ...) : 2 G A, 2 G B, 2 G G, ...

oder : 2 ¿ ... • Abbruch von Berechnungen / Plots : ´

Pause / weiter : ¸

Seite 2

• Kontrast (Bildschirm dunkler / heller) : ¥ « / ¥ | • Bewegung des Cursors

- Zeichen für Zeichen (Schritt für Schritt) : @ - schnelle Bewegung (seitenweises Blättern) : 2 @ - an den Anfang / ans Ende : ¥ @ - History-Bereich → Eingabezeile : N

• Weiterrechnen mit letztem Ergebnis (ans(1)) : 2 ± • Löschen

- in der Eingabezeile nach links / rechts : 0 / ¥ [DEL] - ganze Eingabezeile ab Cursor nach rechts - links : M M - Einfügen / Überschreiben (dünner / dicker Cursor) : 2 / - im History-Bereich (Eingabe-Antwort-Paar) : M - ganzer History-Bereich : ƒ - 8: Clear Home - Variable : DELVAR ... oder 2 ° ...

Variable mit 1-Charakter-Namen : ˆ Clean Up - 1: Clear a-z - Reset : 2 ¯ - ƒ RESET ...

Tastenkombination : ‚ 2 ´ Hinweis - gesperrte Variable ( 2 ° - ƒ Manage - 6: Lock ) sind gegen versehentliches Löschen

geschützt. - archivierte Variable ( 2 ° - ƒ Manage - 8: Archive Variable ) stehen auch nach einem

Reset noch zur Verfügung. • Ausschalten

- nächstes Einschalten → Startschirm (APPS) : 2 ® - nächstes Einschalten → aktueller Zustand : ¥ ®

• Version : O - ƒ Menu - 3: About…

• Klammern

- Rechenklammern : ( ) - Matrizen : [ ] - Listen : { }

• GGT (engl.: Greatest Common Divisor) : GCD (...)

KGV (engl.: Least Common Multiple) : LCM (...) • Vorkomma-Anteil einer reellen Zahl : IPART (...)

Nachkomma-Anteil einer reellen Zahl : FPART (...)

Seite 3

• Größte ganze Zahl ≤ ... (Gauß-Klammer) : FLOOR (...) x FLOOR a b b MOD a b= ÷ ∗ +( ) ( , )

• Integer-Division : INTDIV (... , ...)

x INTDIV a b b REMAIN a b= ∗ +( , ) ( , ) • Dezimalzahl → Bruch : EXACT (...) • FACTOR (...) : Verwandlung in ein Produkt:

Faktorisierung / auf gemeinsamen Nenner bringen; falls eine Variable angegeben ist, wird nach dieser sortiert.

• EXPAND (...) : Verwandlung in eine Summe:

Ausmultiplizieren / Dividieren (Partial-bruchzerlegung); falls eine Variable angegeben ist, wird nach dieser sortiert.

Seite 4

• Analoge Funktionen für trigonometrische Terme : TCOLLECT (...) TEXPAND (...)

Typische Anfängerprobleme • Klammernsetzung • Klammernarten: ( ) ≠ [ ] ≠ { } • Vorzeichenminus ≠ Rechenminus: · ≠ | • 0. ≠ 0 • 2a = 2⋅a, aber ab ≠ a⋅b; a-1b = a-1⋅b, aber ab-1 ≠ a⋅b-1; ... • Interpretation von Ergebnissen mit Formvariablen (‹...) • mit Werten belegte Variable • veränderte Grundeinstellungen • voller Speicher

Seite 5

Gleichungen Bsp.: x x2 6 5 0− + = 1. Schnelle Lösung mit SOLVE oder FACTOR oder ZEROS x x2 6 5 0− + = Lösung(en) berechnen : SOLVE (..., x) x x= ∨ =5 1

2. Lösung durch Äquivalenzumformungen x x2 6 5 0− + = x auf der linken Seite isolieren : (...) - 5 x x2 6 5− = − quadratische Ergänzung : (...) + 9

x x2 6 9 4− + = Zerlegung in Quadrate : FACTOR (...) ( )x − =3 22 2 Wurzel : √(...) x − =3 2 Lösungsliste erstellen : x - 3 = {-2 , 2}

x − = −3 2 2{ } x auf der linken Seite isolieren : (...) + 3 x = { }1 5

3. Tabellarische Lösung x x2 6 5 0− + = Term als f(x) bzw. y1(x) definieren : ¥ # Wertetabelle betrachten : ¥ '

Seite 6

4. Grafische Lösung x x2 6 5 0− + = Term als f(x) bzw. y1(x) definieren : ¥ # Funktionsgraphen betrachten : ¥ % Nullstellen berechnen : ‡ Math - 2: Zero ...

WINDOW (ZoomSqr): 14..14x −= / 6..6y −= ¥ H kopiert die Ergebnisse numerischer Berechnungen in den HOME-Screen:

5. Lösung durch Substitution

0qxpx2 =+⋅+ x durch 2pt − substituieren

05x6x2 =+− x durch 3t + substituieren : …| x = t+3

04t2 =− Lösungsliste erstellen : t = {-2 , 2}

}22{t −= Rücksubstitution : …| t = x-3

x − = −3 2 2{ } x auf der linken Seite isolieren : (...) + 3

x = { }1 5

Seite 7

Aufgaben aus dem Schulbuch

Nr Angabe Lösung(en) Anmerkung

1 ( ) ( ) ( )( )3 1 4 2 5 1 5 12 2x x x x− + + = + −

2 x x2 2 2 0− + = cSOLVE (…, x)

3 ax bx c2 0+ + =

4 11

1 1x x a

aa+

−−

=+ SOLVE (…, x)

SOLVE (…, a)

5 3 26

89

0x x−−

+≤

6 11

23x −

< (…) (…)

7 x x x+ + + = ⋅ +15 3 2 8

8 6 7 5 6 61 1x x x x+ −− = ⋅ −

9 ln ( ) ln ( ) ln5 12 5 12 81x x+ + − =

10 ln (ln (ln ))x = 0

11 xcosxsin = SOLVE (…, x)

SOLVE (…, x)SOLVE (…, x)

12 5,0xsin = sin-1 (0,5)

SOLVE (…, x)SOLVE (…, x)

13 ycy ⋅=′ deSOLVE (…, x, y) deSOLVE (…, t, y)

14 ycy ⋅=′ ∧ 1)0(y =

15 xycy +⋅=′ ∧ 1)0(y =

Seite 8

Historische Aufgaben 1. Aus dem Papyrus Rhind (so genannt nach einem schottischen Antiquitätenhändler, der Teile des Textes in Luxor erwarb -

erst nach seinem Tod wurden in New York die fehlenden Teile entdeckt, sodass dieses älteste bekannte mathematische Hand“buch“ vollständig vorliegt: eine 5,25 m lange Rolle mit 84 Aufgaben, als Abschrift eines älteren Textes (19. Jh. v. Chr.) vom Schreiber Ahmes um 1650 v. Chr. verfasst.)

a) Haufen; sein 23

, sein 12

, sein 17

, sein Ganzes, es beträgt 33.

[ 2

3

1

2

1

733

1386

97⋅ + ⋅ + ⋅ + = =x x x x x; ]

b) 23

hinzu, 13

weg, 10 ist der Rest.

[ x x x x oder x x x x x+ ⋅ − ⋅ = = + ⋅ − ⋅ + ⋅ = =

2

3

1

310

15

2

2

3

1

3

2

310 9; ; ]

2. Über Diophantos von Alexandria (3. Jh. n. Chr. ?)

Hier dies Grabmal deckt Diophantos. Schaut das Wunder! Durch des Entschlafenen Kunst lehret sein Alter der Stein. Knabe zu sein gewährte ihm Gott ein Sechstel des Lebens; Noch ein Zwölftel dazu, sprosst’ auf der Wange der Bart; Dazu ein Siebentel noch, da schloss er das Bündnis der Ehe, Nach fünf Jahren entsprang aus der Verbindung ein Sohn. Wehe, das Kind, das vielgeliebte, die Hälfte der Jahre Hatt’ es des Vaters erreicht, als es dem Schicksal erlag. Drauf vier Jahre hindurch durch der Größen Betrachtung den Kummer Von sich scheuchend kam auch er an das irdische Ziel.

[

( )

1

6

1

12

1

75

1

24 84

1

6

1

12

1

75

1

24 4 65

1

3

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = =

⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ − + = =

x x x x x x oder

x x x x x x

;

; ]

3. Wir drei Liebenden stehen hier und gießen Wasser zum Baden aus, wobei wir Ströme von Wasser in

das Becken fließen lassen. Ich auf der rechten Seite fülle es mit meinen langen Füßen im sechsten Teil eines Tages; ich auf der linken Seite mit meinem Krug in vier Stunden und ich in der Mitte mit meinem Bogen in genau einem halben Tag. Sag mir, in welch kurzer Zeit wir das Becken füllen würden, wenn wir drei gleichzeitig Wasser eingießen!

[ 1 Tag = 12 Stunden ⇒ 1

2

1

4

1

6

1 12

11+ + = =

xx; ]

4. Eine Goldmünze Konstantins des Großen (Abb. 1) zeigt die Siegesgöttin Viktoria, in der Linken einen

Palmzweig, in der Rechten ein Siegesmal (Tropaion) haltend. Im so genannten Abschnitt der Münze, d.h. unter der Bodenlinie, befindet sich die Signatur der Münzstätte Antiochia in Syrien, rechts neben der Göttin die Zahl LXXII, die angibt, wie viele derartige Münzen ein römisches Pfund = 324 g ergeben. Wie schwer müsste die Münze sein?

Abb. 1

[ x = =324

724 5, g ]

5. Es sei ein Rohr zuerst senkrecht an eine Mauer gelehnt, dann wird die Spitze um 3 Ellen gesenkt,

sodass sich der Fuß des Rohres um 9 Ellen von der Mauer entfernt. Wie lang ist das Rohr? [ x x x2 2 23 9 15= − + =( ) ; ]

Seite 9

Gleichungssysteme Bsp. 1: 2 12x y+ =

3y4x −=−

1. Schnelle Lösung mit SOLVE 2 12x y+ =

3y4x −=− Lösung(en) berechnen : SOLVE (... AND ..., {x, y}) x y= ∧ =5 2

2. Lösung mit Matrizen

Eingabe der Koeffizientenmatrix : [2, 1; 1, - 4] § A und des konstanten Vektors : [12; -3] § b x berechnen : A-1 b

belegte Variable löschen : DELVAR A, b

Iterative Lösung (nur bei Matrizen mit Diagonaldominanz): )x0Ab(Dx 1nn −⋅−⋅= Erläuterungen siehe Anhang 1.

32143421bA

312

x41

12

−

=⋅

−

25

Seite 10

3. Lösung durch Gleichsetzungsverfahren 2 12x y+ = (1) y aus (1) berechnen : SOLVE (..., y) y x= − +2 12 (1*)

3y4x −=− (2) y aus (2) berechnen : SOLVE (..., y)

43xy +

= (2*)

43x12x2 +

=+− x aus (1*) = (2*) berechnen : SOLVE (..., x)

x = 5 x in (1*) oder (2*) rückeinsetzen : ... x = 5

y = 2

4. Lösung durch Einsetzungsverfahren 2 12x y+ = (1) y aus (1) berechnen : SOLVE (..., y) y x= − +2 12 (1*)

3y4x −=− (2) (1*) einsetzen und x berechnen : SOLVE (..., x) y = ... x = 5 x in (1*) rückeinsetzen : ... x = 5

y = 2

Seite 11

5. Lösung durch Eliminationsverfahren 2 12x y+ = (1)

3y4x −=− (2) 4⋅(1) + (2) : 4⋅(...) + (...)

45x9 = x berechnen : SOLVE (..., x) x = 5 x in (1) einsetzen und y berechnen : SOLVE (..., y) x = 5

y = 2

6. Grafische Lösung 2 12x y+ = y berechnen : SOLVE (..., y) y x= − +2 12 Term als f1(x) bzw. y1(x) definieren : ¥ #

3y4x −=− y berechnen : SOLVE (..., y)

43xy +

= Term als f2(x) bzw. y2(x) definieren : ¥ #

Funktionsgraphen betrachten : ¥ % Schnittpunkt berechnen : ‡ Math - 5: Intersection ... Wertetabelle betrachten : ¥ '

WINDOW (ZoomSqr): 14..14x −= / 6..6y −= ¥ H kopiert die Ergebnisse numerischer Berechnungen in den HOME-Screen:

Seite 12

Bsp. 2: Eine Polynomfunktion ist durch ihren Graphen gegeben:

a) Wie hoch ist der Grad der dargestellten Polynomfunktion? b) Ermittle die Gleichung der Polynomfunktion aus den gegebenen Eigenschaften. Vorbereitung

gesuchte Funktion als f0(x) speichern 1. Ableitung als f1(x) speichern

2. Ableitung als f2(x) speichern

Formulierung der Bedingungen T(-1/2) ⇒ f0(-1) = 2

f1(-1) = 0 W(1/3) ⇒ f0(1) = 3

f2(1) = 0 Lösung mit SOLVE

SOLVE (… AND … AND … AND …, {a,b,c,d}) Hinweis Die Gleichungen können entweder in der Form -a + b - c + d = 2 AND … oder in der Form f0(-1) = 2 AND … eingegeben werden.

belegte Variable löschen

Seite 13

Bsp. 3: Setze die Funktion f: „knickfrei“ fort, und zwar a) durch eine lineare Funktion. b) durch eine quadratische Parabel, die durch P(5/0) geht. c) durch eine quadratische Parabel, die die x-Achse berührt. Lösungsvorschlag für Teilaufgabe a) Vorbereitung

gesuchte Funktion als f0(x) speichern 1. Ableitung als f1(x) speichern

Formulierung der Bedingungen und Lösung mit SOLVE

Hinweis: Die Gleichungen können entweder in der Form d + 4k = 2 AND … oder in der Form f0(4) = 2 AND … oder in der Form f0(4) = y1(4) AND … eingegeben werden. Lösungsvorschlag für Teilaufgaben b) und c) Vorbereitung

gesuchte Funktion als f0(x) speichern 1. Ableitung als f1(x) speichern

Formulierung der Bedingungen und Lösung mit SOLVE

WINDOW (ZoomSqr): 14..14x −= / 6..6y −=

Hinweis: Die Gleichungen eines Systems können auch nichtlinear sein.

Seite 14

Systeme von Ungleichungen Bsp. 1: 0x ≥

0y ≥

4x51y +−≥

x2y ≤

8x21y +−≤

Grafische Lösung

WINDOW (ZoomSqr): 28..0x = / 12..0y =

Bsp. 2: (1) 0x ≥

(2) 0y ≥ (3) 6y2x ≥+ (4) 10y2x3 ≥+

a) Stelle das Lösungsgebiet des gegebenen Systems grafisch dar. b) Erfinde eine Zielfunktion z1, die (1) ∩ (4) als Lösung einer Minimumaufgabe ergibt. c) Erfinde eine Zielfunktion z2, die keine eindeutige Lösung einer Minimumaufgabe ergibt.

WINDOW (ZoomSqr): 14..0x = / 6..0y = Lösungsvorschlag für Teilaufgaben b) und c)

b) z1: xky ⋅= mit 23k −< (z.B. y = -2x)

c) z2: xky ⋅= mit }0,21,

23{k −−∈ oder z2: 0x =

Seite 15

Funktionen 1. xy-Darstellung: MODE - Graph = FUNCTION • Bsp. 1: )x(sinx)x(f ⋅=

WINDOW (ZoomSqr): 21..21x −= / 9..9y −= / xscl = π/4 Achtung: 3 - Angle = RADIAN

• Bsp. 2 stückweise definierte Funktionen:

>=<−

=0x10x00x1

)x(f

WINDOW (ZoomSqr): 7..7x −= / 3..3y −= Achtung : Der -Operator arbeitet nur, wenn die Variable x im Funktionsterm vorkommt. Oder : WHEN(bedingung,dann,sonst), hier: .

Der letzte Punkt eines Zweigs wird dabei stets mit dem ersten Punkt des nächsten Zweigs verbunden; Ausweg: ˆ Style - 2: Dot

Hinweis : Die implementierte Funktion sign(x) liefert ein merkwürdiges Ergebnis für x = 0:

Seite 16

• Bsp. 3 Funktionenscharen: f x aa

xa

( ) cos= +

⋅

12

WINDOW (ZoomSqr): 3,9..3,9x &&−= / 4..4y −= / xscl = π/4 Achtung: 3 - Angle = RADIAN

• Bsp. 4 Funktionenscharen: Taylorentwicklung von )xsin(

WINDOW (ZoomSqr): x = − 32

32

π π.. / y = − 2 02 2 02, .. , / xscl = π/2

Achtung: 3 - Angle = RADIAN / Plot sehr zeitaufwendig 2. Parameterdarstellung: MODE - Graph = PARAMETRIC

• Bsp. 1: f ttt

( )cossin

=⋅⋅

52

WINDOW (ZoomSqr): t = 0 2.. π / x = − 7 7.. / y = − 3 3.. Achtung: 3 - Angle = RADIAN

Seite 17

• Bsp. 2 Wurfparabel: v0 = 15 m/s, α = 60° und g = 10 m/s2

tvx)cos(

0 ⋅=α ⇒ t)cos(vx 0 ⋅α⋅=

tv

t2gy

)sin(0

2

⋅

⋅+=α ⇒ t)sin(vt

2gy 0

2 ⋅α⋅+⋅−=

ˆ Style - 1: Line

ˆ Style - 5: Animate

WINDOW (ZoomSqr): 3..0t = / 1,0tstep = / 23..5x −= / 10..2y −= Achtung : 3 - Angle = DEGREE Hinweis : Eine interessante Darstellung ergibt sich auch, wenn dieselbe Funktion zweimal in verschiedenen Stilen gezeichnet wird (Formateinstellung: ¥ F - Graph Order = SEQ). Wiederholung der Animation mit † Regraph.

3. Polardarstellung: MODE - Graph = POLAR • Bsp. 1: f( )Θ Θ=

WINDOW (ZoomSqr): Θ = 0 2.. π / x = − 14 14.. / y = − 6 6..

Seite 18

• Bsp. 2: 5)(f =Θ

WINDOW (ZoomSqr): Θ = 0 2.. π / x = − 14 14.. / y = − 6 6..

4. Folgen: MODE - Graph = SEQUENCE • Bsp. 1 exponentielles Wachstum

(Zinsen): f n f n( ) ( ) ,= − ⋅1 103 f( )0 1000= bzw. f n n( ) ,= ⋅1000 103

WINDOW: n = 0 30.. / x = 0 30.. / y = 1000 2500.. Achtung: Funktionen ohne werden nicht dargestellt, aber trotzdem berechnet.

• Bsp. 2 Tilgungsplan: Ein Kredit von 10 000,- € mit 6% Zinsen p.a. wird in jährlichen Raten von

a) 1000,- € b) 600,- € c) 200,- € zurückgezahlt. Wann ist man schuldenfrei?

WINDOW: 30..0n = / 30..0x = / 20000..0y =

Seite 19

• Bsp. 3 Fibonacci-Folge: f n f n f n( ) ( ) ( )= − + −1 2 { ( ), ( )} { , }f f2 1 1 1=

WINDOW: n = 1 10.. / x = − 1 15.. / y = − 1 15..

5. 3D-Darstellung: MODE - Graph = 3D

• Bsp.: f x y x y y x( , ) = −3 3

400

WINDOW (ZoomSqr): x = − 10 10.. / y = − 10 10.. / z = − 10 10.. / Θ = °20 / Φ = °70 / °=ψ 0 Formateinstellung: ¥ F - Style = HIDDEN SURFACE

6. Differentialgleichungen: MODE - Graph = DIFF EQUATIONS • Bsp. begrenztes Wachstum: ′ = − ⋅f t f t( ) , ( )6 0 3

f( )0 6=

WINDOW: t = 0 30.. / 56..0x = / 24..0y = Ermittlung der Funktionsgleichung:

Seite 20

Arbeitsblatt Potenzen (1) • Ziel: Potenzen in Brüche bzw. Wurzeln verwandeln können und umgekehrt. Den numerischen Wert

angeben können.

Ergänze folgende Tabelle (soweit es sinnvoll erscheint).

Nr Potenz Bruch / Wurzel numerischer Wert

1 3-5

2 n-7

3 18

4 0,001

5 7-x

6 53

7 x34

8 817

9 ars

10 3

11 412

−

12 12

4

−

13 ab

− 1

14 1

15 273

Seite 21

Arbeitsblatt Potenzen (2) • Ziel: Potenzen in Brüche bzw. Wurzeln verwandeln können und umgekehrt. Rechenregeln für

Potenzen anwenden können. Den numerischen Wert angeben können.

Ergänze folgende Tabelle (soweit es sinnvoll erscheint).

Nr Angabe Lösung Potenz Bruch numerischer Wert

1 10 10 103 6 5− −⋅ ⋅ 10 110

22

− =

1

101

2 51

1002 2 2=

⋅= 0,01

2 0,04-2

3 ( )0,5-1 -2

4 −

−32

3 1

5 23

94

2 3

⋅

− −

6 215

52

2 3 2

−

:

7 36

4

3xx−

8 bb

s

s

5−

−

9 ( ) ( )a b a b2 2 4 4− ⋅ + −

10 x yx y

− −

− −

−

+

2 2

2 2

11 ab

bab2

24

3 2

−

⋅−

− −

12 ( )

( )5 3 2

6 2

3 5 2

2 3

⋅ − ⋅

− ⋅− −

13 52

1052

1

2 3abca b

abc−

−

− −:

14 52

1052

1

2 3

0abca b

abc−

−

− −

:

15 ( )y x− − −−1 1 1

Seite 22

Arbeitsblatt Wurzeln 1. Ziel: Rechenregeln für Potenzen bzw. Wurzeln anwenden können.

Vereinfache die gegebenen Ausdrücke so weit wie möglich und stelle die Ergebnisse exakt und numerisch dar.

Nr Angabe exakte Lösung Begründung numerische

Lösung

1 8 =

2 2 8+ =

3 ( )27 12 3+ ⋅ =

4 3 3⋅ =

5 3753 =

6 ( )1 23

+ =

7 12=

8 1

1 2+=

9 1

3 2+=

10 1

2 3 5+ −=

2. Ziel: Rechenregeln für Potenzen bzw. Wurzeln anwenden können. Die Fibonacci-Folge kennen.

Ermittle für n = 1, 2, 3, … die ersten Glieder der Folge

−−

+⋅

nn

251

251

51 .

3. Ziel: Rechenregeln für Potenzen bzw. Wurzeln anwenden können. Den goldenen Schnitt kennen.

Die Zahl 1 5

2+

heißt „goldener Schnitt“; sie wird üblicherweise zu Ehren des griechischen Bildhauers

ΦΙ∆ΙΑΣ mit Φ bezeichnet.

a) Zeige: Φ2 = Φ + 1, Φ3 = 2Φ + 1, Φ4 = 3Φ + 2 b) Findest du entsprechende Formeln für höhere Potenzen? c) Φ-1 =

Seite 23

Arbeitsblatt Winkelfunktionen

WINDOW (ZoomSqr): ππ−= 3..x / 693,2..693,2y −= / xscl = π/4 Achtung: 3 - Angle = RADIAN

• Ziel: Winkelfunktionswerte spezieller Winkel berechnen können. Reduktionsformeln durch

geometrische Überlegungen aufstellen können. Eigenschaften der Winkelfunktionen kennen.

Berechne folgende Winkelfunktionswerte. Wie lassen sich die Ergebnisse begründen?

Nr Angabe exakte Lösung numerische Lösung

1 sin 12° =

2 sin 30° =

3 sin 15° =

4 sin 45° =

5 sin 72° =

6 sin 123° =

7 cos 123° =

8 tan 50° =

9 tan 90° =

10 cos x = 0,5

Seite 24

Logarithmen

Bsp.: Wie viele Ziffern hat 2004! ?

Überlegung: wir kennen die Ziffernanzahl von 10er-Potenzen: 1000 = 103 ⇒ 4 Ziffern 1001 = 103,00043 ⇒ 4 Ziffern 10000 = 104 ⇒ 5 Ziffern Idee: x10!2004 = log

3211

10logx!2004log ⋅=

73,5748ilog2004log...2log1log)2004...21log(!2004logx2004

1i==+++=⋅⋅⋅== ∑

=

⇒ 5749 Ziffern

Achtung: ¥ ¸ / lange Rechenzeit Zusatzfrage 1: Wie lautet die Einerziffer von 2004! ? → 0, denn: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, … ab 5! enden alle Fakultäten auf 0 (0⋅x = 0) Zusatzfrage 2: Auf wie viele Nullen endet 2004! ? → 499, denn: Jede der Endnullen entsteht letztlich durch Multiplikation mit 10 2 5= ⋅ ; da jede zweite Zahl gerade ist und damit den Faktor 2 enthält, sind lediglich jene Zahlen zu ermitteln, die den Faktor 5 enthalten: IntDiv (2004,5) = 400 (400 Zahlen enthaltenden den Faktor 5) IntDiv (400,5) = 80 (80 weitere Zahlen enthalten den Faktor 52) IntDiv (80,5) = 16 (16 weitere Zahlen enthalten den Faktor 53) IntDiv (16,5) = 3 (3 weitere Zahlen enthalten den Faktor 54) Insgesamt : 499 Nullen Zusatzfrage 3: Wann kommt die 500. Null ? → Mit dem nächsten Wert, der den Faktor 5 enthält, also 2005.

Seite 25

Wachstumsmodelle Lineares Wachstum: f n f n d f n d( ) ( ) ( )= − + = + ⋅1 0 • Bsp.: Der Buchwert eines Firmenwagens (Neupreis 20 000,- €) sinkt jährlich um 1/8 des Neupreises

(= lineare Abschreibung in 8 Jahren).

Graph = SEQUENCE; WINDOW: 10..0n = / 10..0x = / 25000..0y =

Exponentielles Wachstum: f n f n r f n f n q f qn( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + ⋅ − = − ⋅ = ⋅1 1 1 0 • Bsp.: Der Listenpreis eines Gebrauchtwagens (Neupreis 20 000,- €) sinkt jährlich um 1/6 seines

Zeitwertes.

Graph = SEQUENCE; WINDOW: 10..0n = / 10..0x = / 25000..0y =

Logistisches Wachstum: f n f n r f nK f n

K( ) ( ) ( )( )

= − + ⋅ − ⋅− −

1 11

• Bsp.: Der Durchmesser d (in cm) einer Fichte hängt von ihrem Alter ab. Es wurden folgende Werte

gemessen [Dateneingabe im Data/Matrix Editor]:

Alter in Jahren 10 20 40 50 80 100 120Durchmesser d in cm 8 12 38 88

Welchen Durchmesser hat eine 40 / 80 / 120 Jahre alte Fichte?

Plot Type = Scatter; x = c1; y = c2; WINDOW: n = 0 150.. / x = 0 150.. / y = 0 150..

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Graph = SEQUENCE; WINDOW: n = 0 150.. / x = 0 150.. / y = 0 150.. Regression: O - Data/Matrix Editor; ‡ Calc - Calculation Type = Logistic; x = c1; y = c2; Store RegEQ to y1(x)

Graph = FUNCTION; WINDOW: 150..0x = / 150..0y =

• Achtung: Hohe Wachstumsraten erzeugen chaotisches Verhalten (nur im diskreten Modell).

Graph = SEQUENCE; WINDOW: n = 0 30.. / x = 0 30.. / y = 0 15.. , ; ¥ # - ‰ Axes... - Axes = TIME

Graph = SEQUENCE; WINDOW: n = 0 30.. / x = − 1 4.. / y = − 1 2.. ; ¥ # - ‰ Axes... - Axes = WEB

Graph = SEQUENCE; WINDOW: n = 0 30.. / x = − 1 4.. / y = − 1 2.. ; ¥ # - ‰ Axes... - Axes = WEB

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Arbeitsblatt Analysis • Berechne:

Nr Angabe Eingabe Ergebnis

1 f x x( ) tan= ; ′ =f x( )

2 f x x( ) tan= ; ′ =f ( )0

3 f x x( ) tan= ; ′′ =f x( )

4 ( )∂∂x

f x g x( ) ( )⋅ =

5 ∂∂x

f xg x( )( )

=

6 limln ( ) ln ( )

h

x h xh→

+ −=

0

7 limn

n

n→∞+

=1 1

8 1 2 3 1001

100+ + + + = =

=∑... ii

9 ii

n

=∑ =

1

10 ii

n3

1=∑ =

11 xn

ii

n

⋅ ==∑

43

1

12 lim (n )n

xn→∞

+ ⋅

=

14

2 4

3

Erläuterungen zu den Fragen 11 und 12 siehe Anhang 2.

WINDOW: 4..4x −= / y = − 10 10..

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Arbeitsblatt Integral • Berechne folgende Integrale.

Nr Angabe Eingabe Ergebnis

1 =∫ dxx12

2 =∫2

12

dxx1

3 =∫∞

12

dxx1

=∫ dxxsin 3 - Angle = DEGREE

4 =∫ dxxsin

3 - Angle = RADIAN

5 =∫ − dxxsin 1

6 =∫ − dx)x(sin 1

7 =∫ dxxsinh

8 =∫ dxxln

9 =∫ dxxlog

10 =∫ dxe2x

11 =∫1

0

x dxe2

12 =+∫ dx)x(g)x(f

Seite 29

Bestimmtes Integral 1. Berechne die Fläche eines Kreises.

• händisch:

=⋅= ∫r

0

dxy4A (eigentlich: ∫→⋅=

1

1

x

0rx

dxylim4A )

∫ =−⋅=r

0

22 dxxr4

Substitution: tcosrx ⋅=

⇒ tcosrx 222 ⋅=

( ) tsinrtcos1rxr 222222 ⋅=−⋅=−

tsinrxr 22 ⋅=−

⇒ dttsinrdx ⋅−=

=⋅−= ∫ dttsinr4 22

partielle Integration: { { =⋅∫ dttsintsinv'u

=+⋅−= ∫ dttcostsintcos 2

=−+⋅−= ∫ dttsin1tcostsin 2

∫−+⋅−= dttsinttcostsin 2

ttcostsindttsin2 2 +⋅−=⋅ ∫

( )ttcostsin21dttsin2 −⋅⋅−=∫

( ) =−⋅⋅= ttcostsinr2 2

Rücksubstitution: rxtcostcosrx =⇒⋅=

= −

rxcost 1

rxr

tsinr

xrrx1tcos1tsin

22

2

22

2

22 −=⇒−=−=−=

22

0

r1

222 r

20r2

rxcos

rx

rxr

r2 π=

π+⋅=

−⋅

−⋅= −

• mit Voyage 200: 1. Versuch: 2. Versuch:

Seite 30

2. Berechne das Volumen einer Kalotte.

3. Berechne die Mantelfläche eines Drehkegels.

4. Berechne die Bogenlänge einer gespitzten Zykloide.

Achtung: 3 - Angle = RADIAN

5. Berechne die von einer Lemniskate eingeschlossene Fläche.

Achtung: 3 - Angle = RADIAN

Seite 31

Stochastik Bsp. 1: Anzahl der schwer verletzten Unfallopfer pro Tag für die letzten 30 Tage in einer bestimmten Stadt

Quelle: Götz, Reichel, Müller, Hanisch: Lehrbuch der Mathematik 7. Wien 2003 (4. Aufl.) <öbv & hpt>. S 242. Dateneingabe im HOME-Screen: {12, 8, 10, 11, 7, 0, 9, 9, 8, 10, 5, 8, 3, 6, 13, 9, 4, 11, 2, 6, 4, 2, 9, 7, 10, 6, 11, 5, 5, 3} § u Übernahme in den Data/Matrix Editor: O - Data/Matrix Editor - 3: New… - c1 = u Berechnung statistischer Parameter: ‡ Calc - Calculation Type = OneVar; x = c1

Hinweis: die Standardabweichung Sx wird nach der Formel 1n

)xx(n

1i

2i

−

−∑= berechnet:

Grafische Darstellung als Histogramm / Box Plot: „ Plot Setup - ƒ Define - Plot Type = Histogram (Hist. Bucket Width = 1) / Box Plot; x = c1

WINDOW (ZoomSqr): 5,22..5,5x −= / 10..2y −=

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Bsp. 2: Die Ergebnisse zweier Schularbeiten einer Klasse mit 30 Schülern sind wie folgt gegeben: 1 2 3 4 5

1. Schularbeit 11 3 3 6 7

2. Schularbeit 3 9 10 6 2 Vergleiche die Ergebnisse. Dateneingabe im Data/Matrix Editor: O - Data/Matrix Editor - 3: New…

Hinweis: Man kann auf einzelne Spalten und Elemente, nicht aber auf einzelne Zeilen zugreifen. Berechnung statistischer Parameter: ‡ Calc - Calculation Type = OneVar; x = c1; Use Freq and Categories? = YES; Freq = c2 bzw. c3

Grafische Darstellung als Histogramm / Box Plot: „ Plot Setup - ƒ Define - Plot Type = Histogram (Hist. Bucket Width = 1) / Box Plot; x = c1; Use Freq and Categories? = YES; Freq = c2 bzw. c3

Die Stabhöhen des Histogramms bzw. die relevanten Daten des Box Plots (Median, Quartile, Minimum und Maximum) können mit … Trace abgelesen werden.

WINDOW: 5,6..5,0x −= / 20..5y −=

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Bsp. 3: Zusammenhang von Körpergröße und Gewicht Quelle: Reichel, Müller, Hanisch: Lehrbuch der Mathematik 8. Wien 1993 (2. Aufl.) <öbv & hpt>. S 212. Dateneingabe im Data/Matrix Editor: O - Data/Matrix Editor - 3: New… Körpergröße : 170 176 165 171 177 167 179 185 175 180 Gewicht : 68 70 67 78 83 60 77 89 77 76 Regressionsgerade: ‡ Calc - Calculation Type = LinReg; x = c1; y = c2; Store RegEQ to y1(x)

WINDOW: x = 130 250.. / y = 50 100.. Hinweis: Die Regressionsgerade geht stets durch den Schwerpunkt ( x / y ) der Punktwolke.

Seite 34

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• Hypergeometrische Verteilung

Bsp.: Berechne die Gewinnchancen für alle Gewinnränge beim österreichischen Lotto „6 aus 45“. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nichts zu gewinnen?

• Binomialverteilung

Bsp.: Ein Hellseher kann (nach eigenen Angaben) 80% der an ihn gestellten Fragen richtig beantworten. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau 80 von 100 Fragen richtig beantwortet? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 80 von 100 Fragen richtig beantwortet? c) Wie viele Fragen müsste er beantworten, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% mindestens

einmal Erfolg zu haben?

Seite 35

• Normalverteilung N(µ, σ2)

WINDOW: x = − 5 5.. / y = − 0 25 0 75, .. , Bsp.: Ein bestimmtes Getränk wird in Flaschen mit einem Sollwert von 330 ml abgefüllt, wobei eine technisch bedingte Standardabweichung von 5 ml auftritt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Inhalt einer zufällig ausgewählten Flasche um

mindestens 5% unter dem Sollwert liegt? b) Die Getränkefirma garantiert, dass ihre Abfüllanlage zu 98% exakt arbeitet, d.h. der Flascheninhalt

um nicht mehr als einen bestimmten Wert c vom Sollwert nach oben oder unten abweicht. Für welche Toleranzgrenzen stimmt diese Aussage?

a)

b)

Achtung: ¥ ¸ / lange Rechenzeit

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• Normalverteilung mit TIStat-Funktionen Lange Rechenzeiten, wie sie insbesondere bei (Umkehr)Aufgaben zur Normalverteilung auftreten, lassen sich durch Verwendung von TIStat-Funktionen deutlich verkürzen. Dabei handelt es sich um Funktionen des Statistik-Listeneditors, der nicht nur die Arbeit mit Daten in Listen erleichtern soll, sondern auch eine Reihe stochastischer Funktionen beinhaltet, die auch außerhalb des Editors verwendet werden können. Eine Übersicht über die vorhandenen Funktionen liefert 2 ½ - … Flash Apps, ihr Aufruf erfolgt durch tistat.funktionsname(parameter). Insbesondere entsprechen der oben definierten Funktion die TIStat-Funktion

Bsp. 1: Ein bestimmtes Getränk wird in Flaschen mit einem Sollwert von 330 ml abgefüllt, wobei eine technisch bedingte Standardabweichung von 5 ml auftritt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Inhalt einer zufällig ausgewählten Flasche um

mindestens 5% unter dem Sollwert liegt? b) Die Getränkefirma garantiert, dass ihre Abfüllanlage zu 98% exakt arbeitet, d.h. der Flascheninhalt

um nicht mehr als einen bestimmten Wert c vom Sollwert nach oben oder unten abweicht. Für welche Toleranzgrenzen stimmt diese Aussage?

c) Die Firma erhält einen Auftrag über 3500 Flaschen, wobei nur Flaschen mit mindestens 320 ml Inhalt abgenommen werden. Wie viele Flaschen müssen mindestens produziert werden, um die benötigte Anzahl brauchbarer Flaschen erwarten zu können.

a)

b)

c)

Seite 37

Bsp. 2: Für eine normalverteilte Zufallsvariable X wurden die folgenden Bedingungen festgestellt: (1) 41,0)35X(P =≤

(2) 19,0)60X(P =≥

Welche Schätzungen für µ und σ können vorgenommen werden?

Hinweis: Bei einem Aufruf der Funktion tistat.invNorm(x,µ,σ) ohne die optionalen Parameter µ und σ werden die Standardwerte µ = 0 und σ = 1 angenommen.

Seite 38

Applikationen O

Der Voyage 200 verfügt über eine Reihe vorinstallierter (Flash)Applikationen. Neben diverser Sprachlokalisierungen des Betriebssystems sind dies in der Regel • Cabri Géomètre II™ Dynamische Geometrie Software (Flash) • CellSheet™ Tabellenkalkulation (Flash) • Clock Uhr und Datum • Data/Matrix Editor Arbeit mit Daten (auch Listen und Matrizen) • Finance Finanzmathematik (Flash) • Graph Grafik-Bildschirm • Home Home Screen • Numeric Solver Numerisches Lösen von Gleichungen • Polynomial Root Finder Numerische Nullstellenbestimmung von Polynomen (Flash) • Program Editor Programmierung • Simultaneous Eqn Solver Numerisches Lösen von Gleichungssystemen (Flash) • Stats/List Editor Arbeit mit Listen und stochastische Berechnungen (Flash) • StudyCards™ Karteikarten (Flash) • Symbolic Math Guide Äquivalenzumformungen (Flash) • Table Wertetabellen • Text Editor Texte und Scripts • The Geometer’s Sketchpad Dynamische Geometrie Software (Flash) • Window Editor Eigenschaften des Grafik-Bildschirms • Y= Editor Definition von Funktionen Einige dieser Anwendungen sollen hier kurz behandelt werden Hinweis: Die installierten Anwendungen lassen sich zu Kategorien zusammenfassen. Mit ƒ Menu können Kategorien umbenannt und editiert werden, mit „ bis Š kann die Anzeige auf die gewählte Kategorie beschränkt werden.

Seite 39

Data/Matrix Editor O - Data/Matrix Editor

Der Data/Matrix Editor dient zur bequemen Eingabe von Daten (im Sonderfall von Matrizen und Listen), die für weitere Berechnungen und Plots zur Verfügung stehen. Bsp. 1: Ein Baumarkt erhält eine Lieferung Glühbirnen. Erfahrungsgemäß sind 12% aufgrund von

Transportschäden oder anderer Ursachen defekt. Im Zuge einer Qualitätskontrolle werden 50 Glühbirnen getestet. Welche Anzahl defekter Birnen hat die größte Wahrscheinlichkeit und wie groß ist diese? Vorbereitung: 1. Eingabe im Funktions-Editor

Graph = SEQUENCE; WINDOW: 50..0n = / 5,20..5,4x −= / 3,0..1,0y −= 2. Eingabe im Data/Matrix Editor Die Eingabe der Formeln für n und P(n) erfolgt in den Spaltenköpfen, die Daten in den Zellen des Data/Matrix Editors werden dann automatisch generiert (Formateinstellung: ¥ F - Auto-calculate = ON):

Plot Type = Histogram (Hist. Bucket Width = 1); x = c1; Use Freq and Categories? = YES; Freq = c2

WINDOW: 50..0n = / 5,20..5,4x −= / 3,0..1,0y −= Achtung: Bei Abbruch einer Berechnung wird Auto-calculate automatisch auf OFF gestellt.

Seite 40

Bsp. 2 Geburtstagsparadoxon: In einem Raum sind zufällig n Personen anwesend (n = 1..50). a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag

haben (ohne Berücksichtigung von Schaltjahren und unter der Voraussetzung, dass jeder Tag mit der gleichen Wahrscheinlichkeit als Geburtstag auftritt)?

b) Ab welcher Personenzahl übersteigt die Wahrscheinlichkeit 50% / 75% / 90%? Überlegung: Rechnung über das Gegenteil …

1 Person : 3653651− = 365

13661 −−

2 Personen : 365364

3653651 ⋅− = 365

2366365

13661 −⋅−−

3 Personen : 365363

365364

3653651 ⋅⋅− = 365

3366365

2366365

13661 −⋅−⋅−−

…

n Personen : ∏=

−−=−⋅⋅−⋅−⋅−−n

1k365

k3661365

n366365

3366365

2366365

13661 K

1. Eingabe im Funktions-Editor

Graph = SEQUENCE; WINDOW: 50..1n = / 5,50..5,0x = / 2,1..0y = 2. Eingabe im Data/Matrix Editor

Plot Type = Histogram (Hist. Bucket Width = 1); x = c1; Use Freq and Categories? = YES; Freq = c2

WINDOW: 50..1n = / 5,50..5,0x = / 2,1..0y = ; 3 - „ Page 2 - Exact/Approx = APPROXIMATE

Seite 41

Tabelle aller Werte 1..50

Bsp. 3: Ein Produkt von 1000,- € wird jährlich

a) um 30,- € b) um 3% teurer. Ermittle die absoluten und relativen Zuwächse beider Folgen, vergleiche die Ergebnisse und stelle die Preisentwicklung grafisch dar. Eingabe im Data/Matrix Editor

3 - „ Page 2 - Exact/Approx = APPROXIMATE

Plot Type = Scatter; x = c1; y = c2; WINDOW: 50..0x = / 5000..0y =

Plot Type = Scatter; x = c2; y = c3; WINDOW: 5000..0x = / 5000..0y =

Seite 42

CellSheet O - CellSheet

CellSheet ist eine Tabellenkalkulation mit Anlehnung an Excel. Die Daten eines Tabellenblattes (64 Spalten, 999 Zeilen) können statistisch und grafisch ausgewertet werden. Die jeweils letzte Aktion lässt sich mit † Undo… rückgängig machen. Bsp. 1: Ein Produkt von 1000,- € wird jährlich

a) um 30,- € b) um 3% teurer. Ermittle die absoluten und relativen Zuwächse beider Folgen, vergleiche die Ergebnisse und stelle die Preisentwicklung grafisch dar.

• Zahlen, Variablen und Terme werden direkt eingegeben, Formeln müssen mit Á beginnen,

Texte müssen von É…É eingeschlossen sein.

• Zelle A2 bzw. B2 markieren und Formeln als Folge eingeben: … Edit - 4: Sequence - … - ¸ ¸

Seite 43

• Bereich C3:C52 bzw. D3:D52 markieren und erste Formeln eingeben: … Edit - 2: Select Range … - … Edit - 3: Fill Range - … - ¸ ¸

Hinweis: Das Markieren eines Zellbereichs ist auch mit ¤ @ möglich.

• Grafische Darstellung als Scatter Plot: „ Plot - 1: Plot Setup - ƒ Define - Plot Type = Scatter; xRange = A2:A52; yRange = B2:B52

WINDOW: 50..0x = / 5000..0y =

• Analog für b)

WINDOW: 50..0x = / 5000..0y =

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Bsp. 2 Zufallszahlen: Simuliere eine Serie von 10 Würfen mit einem Würfel. Wie oft wurde 1, 2, …, 6 geworfen? Experimentiere mit „alternativen Würfeln“.

• Zahlen, Variablen und Terme werden direkt eingegeben, Formeln müssen mit Á beginnen,

Texte müssen von É…É eingeschlossen sein.

Hinweis: Die Spaltenbreite wurde mit … Edit - 8: Column Format - Col Width verändert. • Zelle B4 markieren und Formel als Folge eingeben: … Edit - 4: Sequence - … - ¸ ¸

Bereich C4:C13 markieren und erste Formel eingeben: … Edit - 2: Select Range … - … Edit - 3: Fill Range - … - ¸ ¸

Hinweise - Das Markieren eines Zellbereichs ist auch mit ¤ @ möglich. - Die Funktionstasten, insbesondere ‡ $ und ˆ Funcs funktionieren nur in der Eingabezeile, nicht

innerhalb einer Dialogbox. Das $-Zeichen dient wie in Excel zur absoluten Adressierung von Zeilen- und / oder Spalten und ist auch als 2 ¿ 34 verfügbar.

- „Neuer Wurf“ mit Š ReCalc. - Da das Tabellenblatt Formeln mit Zufallszahlen enthält, wird es bei jeder Eingabe neu erstellt.

Dies kann durch ¥ F - AutoCalc = NO verhindert werden. • Indikatortabelle erstellen: Bereich D4:I13 markieren und erste Formel eingeben: … Edit - 2: Select Range … - … Edit - 3: Fill Range -

Seite 45

• Auswertung: Bereich D2:I2 markieren und erste Formel eingeben: ¤ B … - … Edit - 3: Fill Range - …

• Grafische Darstellung: „ Plot - 1: Plot Setup - ƒ Define - Plot Type = Histogram (Hist. Bucket Width = 1) / Box Plot; xRANGE = D1:I1; Use Freq and Categories? = YES; Freq = D2:I2

WINDOW: 5,7..5,0x −= / 8..0y =

• „Alternative Würfel“:

Seite 46

Text Editor O - Text Editor

Der Text Editor dient zur Eingabe von Texten (Notizen, „Schwindelzettel“, …), aber auch von ausführbaren Befehlen („ Command - 1: Command), die gegebenenfalls ergänzt und mit † Execute abgearbeitet werden können.

Bsp.: Kurvendiskussion für rationale Funktionen am Beispiel der Funktion 2x

x91)x(f

3

+⋅=

• Für die Abarbeitung empfiehlt es sich, den Schirm in Text- und Home-Screen zu teilen: 3 - „ Page 2 - Split Screen = TOP-BUTTOM, Split 1 App = Text Editor, Split 2 App = Home (Wechsel des aktiven Fensters mit 2 a)

• Für die Betrachtung des Graphen dagegen sollte die Teilung rückgängig gemacht werden: 3 - „ Page 2 - Split Screen = FULL, Split 1 App = Graph

• Die Grenzen des Grafik-Fensters (¥ $) wurden so gewählt, dass ganzzahlige Punkte tatsächlich berechnet werden (insbesondere x = -2) und im vorliegenden Bsp. somit keine Verbindungen als „falsche Asymptoten“ auftreten.

WINDOW: 9,11..9,11x −= / 2,10..2,10y −= / 1xres =

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Program Editor O - Program Editor

Mit dem Program Editor lassen sich Programme oder Funktionen erstellen und bearbeiten. • Der Aufruf von Programmen erfolgt im HOME-Screen oder aus anderen Programmen heraus durch

name(parameter) bzw. name(). Auch Unterprogramme innerhalb eines Programms sind möglich. :name(parameter) :Prgm : : Local constname,varname,... : : ¦ Hauptprogramm : ClrIO : ... :EndPrgm

:name(parameter) :Prgm : : Local constname,varname,... : : ¦ lokales Unterprogramm : Local upname : Define upname(parameter)=Prgm : ... : EndPrgm : : ¦ lokale Funktion : Local fname : Define fname(parameter)=Func : ... : EndFunc : : ¦ Hauptprogramm : ClrIO : ... :EndPrgm

• Die Programmausgabe erfolgt auf einem eigenen Schirm, der aus dem HOME-Screen mit ‡ PrgmIO

erreichbar ist. Die Rückkehr aus diesem Schirm kann ebenfalls durch ‡ PrgmIO oder N oder 2 K oder ¥ " erfolgen.

• „Programme“ können auch als Folge ausführbarer Befehle im Text Editor erstellt werden.

• Funktionen führen Berechnungen aus, deren Ergebnis dargestellt bzw. in Terme eingebaut werden kann. Einfache Funktionen können auch im HOME-Screen definiert werden, sie werden dann im Program Editor „ohne Struktur“ (Func - EndFunc) dargestellt.

Seite 48

Bsp. 1 Ermittlung des Wochentags: Algorithmus von Christian Zeller (1824 - 1899) Keine Überprüfung auf Korrektheit der Eingaben. Variante A: Dateneingabe mit INPUT

Variante B: Dateneingabe mit Dialogbox

Seite 49

Bsp. 2: Temperaturmessung mit CBL / CBL2 (-20° C..125° C)

Hinweis für CBL: erlaubte Werte für - Zeit : 0,0001..0,2 bzw. 0,25..16000 (in Schritten von 0,25) [ 0 = externe Uhr ] - Anz : 1..512 [ -1 = Real Time ]

Seite 50

Numeric Solver O - Numeric Solver

Der Numeric Solver dient zur (vergleichsweise raschen) numerischen Lösung von Gleichungen mit oder ohne vorgegebenem Startwert. Die gegebene Gleichung kann zunächst auch mehrere Variable enthalten, die nach der Eingabe (alle bis auf eine) mit Werten belegt werden können.

‡ Eqns liefert eine Liste bereits eingegebener Gleichungen (Anzahl je nach Formateinstellung, Standard: ¥ F - Last Eqns History = 11), einzelne Gleichungen lassen sich auch mit ƒ - 2: Save Copy as... oder ¥ S speichern und mit ƒ - Open... oder ¥ O wieder öffnen. Bsp.: Fixpunkte der Funktion )xsin(x)x(f ⋅=

Gleichung eingeben, Eingabe mit D oder ¸ beenden - vorgegebene Grenzen akzeptieren

• Lösung ohne vorgegebenen Startwert: „ Solve

• Lösung mit vorgegebenen Startwert: x = Startwert eingeben - „ Solve

• Belegte Variable löschen: DelVar x

Seite 51

Cabri Geometrie O - Cabri Geometry

Mit Cabri lassen sich geometrische Objekte bzw. Makros erstellen und animieren. Die jeweils letzte Aktion lässt sich mit Š - D: Undo oder mit ¥ Z rückgängig machen. Einzelne Objekte können auch mit ¸ gewählt und mit 0 gelöscht werden. Bsp.: Satz von Thales • Neue Geometrie-Sitzung eröffnen und mit „thales“ bezeichnen:

O - Cabri Geometry - 3: New… - … - ¸ ¸

Es erscheint ein leeres Geometriefenster - je nach Formateinstellung (¥ F) mit oder ohne Koordinaten-system, Gitterpunkten ...

• Kreis zeichnen:

… - 1: Circle; Mittelpunkt mit ¸ wählen, Kreis mit @ aufziehen und mit ¸ bestätigen.

• Durchmesser konstruieren:

„ - 4: Line; Mittelpunkt ansteuern ( ), mit ¸ bestätigen; Linie mit @ aufziehen, mit ¸ bestätigen.

Gerade mit Kreis schneiden: „ - 3: Intersection Point; Gerade ansteuern ( ), mit ¸ bestätigen; Kreis ansteuern ( ), mit ¸ bestätigen.

Gerade verstecken: ‰ - 1: Hide / Show; Gerade ansteuern ( ), mit ¸ bestätigen und mit N verstecken.

Durchmesser zeichnen: „ - 5: Segment; Anfangspunkt ansteuern ( ), mit ¸ bestätigen; Endpunkt ansteuern ( ), mit ¸ bestätigen.

Seite 52

• Punkt am Kreis zeichnen und mit Durchmesserendpunkten verbinden:

„ - 2: Point on Object; Gewünschten Punkt ansteuern ( ), mit ¸ bestätigen.

Verbindungen zeichnen: „ - 5: Segment; Anfangspunkt ansteuern ( ), mit ¸ bestätigen; Endpunkt ansteuern ( ), mit ¸ bestätigen.

• Winkel und Koordinaten des Scheitels messen:

Winkel markieren: ‰ - 7: Mark Angle; Drei Punkte in „richtiger“ Reihenfolge ansteuern (Scheitel als 2. Punkt) und jeweils mit ¸ bestätigen. Es erscheint das Symbol für einen rechten Winkel.

Winkel messen: ˆ - 3: Angle; Drei Punkte in „richtiger“ Reihenfolge oder Winkelsymbol ansteuern ( bzw. ) und mit ¸ bestätigen.

Häufig wird das Messergebnis an einer ungünstigen Stelle angezeigt, es lässt sich aber leicht verschieben:

ƒ - 1: Pointer; Messergebnis ansteuern ( ) und mit ‚ an die gewünschte Stelle bewegen.

Koordinaten messen: ˆ - 5: Equation & Coordinates; Winkelscheitel ansteuern ( ) und mit ¸ bestätigen.

ƒ - 1: Pointer; Messergebnis ansteuern ( ) und mit ‚ an die gewünschte Stelle bewegen.

• Punkt am Kreis bewegen:

Manuelle Bewegung:

Winkelscheitel ansteuern ( ) und mit ‚ bewegen; der Punkt bleibt dabei am Kreis, alle Messwerte werden laufend aktualisiert.

Während sich die Punktkoordinaten ständig ändern, bleibt der Winkel konstant 90°.

Animierte Bewegung:

‰ - 3: Animation; Winkelscheitel ansteuern ( ), mit ‚ die „Feder“ in die Gegenrichtung der beabsichtigten Bewegung ziehen und loslassen. Die Animation kann jederzeit mit ¸ unterbrochen und ebenso mit ¸ wieder fortgesetzt werden.

Seite 53

Das Geometrie-Menü des Voyage 200 Ein kleines Vokabelheft

Hinweis: Sprachumstellung mit 3 - … Page 3 - Language = DEUTSCH

F1 1: Pointer 1: Zeiger

2: Rotate 2: Drehen

3: Dilate 3: Strecken

4: Rotate & Dilate 4: Drehen und Strecken

F2 1: Point 1: Punkt

2: Point on Object 2: Punkt auf Objekt

3: Intersection Point 3: Schnittpunkt

4: Line 4: Gerade

5: Segment 5: Strecke

6: Ray 6: Strahl

7: Vector 7: Vektor

F3 1: Circle 1: Kreis

2: Arc 2: Kreisbogen

3: Triangle 3: Dreieck

4: Polygon 4: Polygon

5: Regular Polygon 5: Reguläres Polygon

F4 1: Perpendicular Line 1: Senkrechte [Normale]

2: Parallel Line 2: Parallele

3: Midpoint 3: Mittelpunkt

4: Perpendicular Bisector 4: Mittelsenkrechte [Streckensymmetrale]

5: Angle Bisector 5: Winkelhalbierende [Winkelsymmetrale]

6: Macro Construction 6: Makrokonstruktion

1: Execute Macro 1: Makro ausführen

2: Initial Objects 2: Startobjekte

3: Final Objects 3: Zielobjekte

4: Define Macro 4: Definiere Makro

7: Vector Sum 7: Vektorsumme

8: Compass 8: Zirkel

9: Measurement Transfer 9: Maß übertragen

A: Locus A: Ortslinie

B: Redefine Object B: Objekt neu definieren

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F5 1: Translation 1: Parallelverschiebung

2: Rotation 2: Drehung

3: Dilation 3: Streckung

4: Reflection 4: Geradenspiegelung

5: Symmetry 5: Punktspiegelung

6: Inverse 6: Kreisspiegelung

F6 1: Distance & Length 1: Entfernung und Länge

2: Area 2: Fläche

3: Angle 3: Winkel

4: Slope 4: Steigung

5: Equation & Coordinates 5: Gleichung und Koordinaten

6: Calculate 6: Berechnen

7: Collect Data 7: Daten sammeln

1: Store Data ♦D 1: Daten speichern ♦D 2: Define Entry 2: Eingabe

8: Check Property 8: Lagebeziehung prüfen

1: Collinear 1: Kollinear

2: Parallel 2: Parallel

3: Perpendicular 3: Senkrecht [Normal] 4: Member 4: Element 5: Equidistant 5: Entfernungsgleich

F7 1: Hide / Show 1: Ausblenden / Zeigen

2: Trace On / Off 2: Spur ein / aus

3: Animation 3: Animation

4: Label 4: Objektnamen

5: Comment 5: Text

6: Numerical Edit 6: Numerische Eingabe

7: Mark Angle 7: Winkelmarkierung

8: Thick 8: Liniendicke

9: Dotted 9: Punktiert

A: Units A: Einheit

F8 1: Open... ♦O 1: Öffnen... ♦O 2: Save Copy As... ♦S 2: Kopie speichern als... ♦S 3: New... ♦N 3: Neu... ♦N 4: Cut ♦X 4: Ausschneiden ♦X 5: Copy ♦C 5: Kopieren ♦C 6: Paste ♦V 6: Einfügen ♦V 7: Delete ← 7: Löschen ← 8: Clear All 8: Alles löschen 9: Format... ♦F 9: Format... ♦F A: Show Page A: Seite anzeigen B: Data View B: Daten betrachten C: Clear Data View C: Datenanzeige löschen D: Undo ♦Z D: Rückgängig ♦Z E: About... E: Info...

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Geometer’s Sketchpad Geometrie O - The Geometer’s Sketchpad

Mit Sketchpad lassen sich geometrische Objekte erstellen und animieren. Die jeweils letzte Aktion lässt sich mit ƒ - 1: Undo oder mit ¥ Z rückgängig machen. Bsp.: Satz von Thales • Neue Geometrie-Sitzung eröffnen:

O - The Geometer’s Sketchpad

Es erscheint ein leeres Geometriefenster.

• Kreis zeichnen:

Mit Š - @ das Kreiswerkzeug wählen; Mittelpunkt mit ¸ wählen, Kreis mit @ aufziehen und mit ¸ - ¸ bestätigen.

• Durchmesser konstruieren:

Mit Š - @ oder N das Pointerwerkzeug wählen; Mittelpunkt und Kreispunkt ansteuern und mit ¸ markieren; Gerade mit … - 6: Line zeichnen, mit ¸ bestätigen.

Gerade mit Kreis schneiden: Kreis und Gerade ansteuern und mit ¸ markieren; Schnittpunkte mit … - 3: Intersection konstruieren, mit ¸ bestätigen.

Gerade verstecken: Gerade ansteuern, mit ¸ markieren, mit „ - 1: Hide Line verstecken.

Durchmesser zeichnen: Schnittpunkte ansteuern und mit ¸ markieren; Durchmesser mit … - 4: Segment zeichnen, mit ¸ bestätigen.

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• Punkt am Kreis zeichnen und mit Durchmesserendpunkten verbinden:

Kreis ansteuern und mit ¸ markieren; Kreispunkt mit … - 1: Point on Circle konstruieren, mit ¸ bestätigen. Kreispunkt mit ‚ an gewünschte Stelle bewegen.

Endpunkte ansteuern und mit ¸ markieren; Verbindungen mit … - 4: Segment zeichnen, mit ¸ bestätigen.

• Winkel und Koordinaten des Scheitels messen:

Winkel messen: 3 Punkte in „richtiger“ Reihenfolge (Scheitel als 2. Punkt) ansteuern und mit ¸ markieren; Wahl des Winkels mit † - 3: Mark Angle überprüfen; Winkelmessung mit ‡ - 5: Angle anzeigen, mit ¸ bestätigen.

Koordinaten messen: Scheitel ansteuern und mit ¸ markieren; Koordinaten mit ‡ - D: >Analytic - 1: Coordinates anzeigen, mit ¸ bestätigen.

Dabei wird auch das Koordinatensystem eingeblendet, seine Elemente (Achsen, Einheitspunkt, Gitterpunkte) können einzeln mit ¸ markiert und mit „ - 1: Hide … versteckt werden, die Gitterpunkte auch mit ˆ - 4: Hide Grid.

• Punkt am Kreis bewegen:

Manuelle Bewegung:

Winkelscheitel ansteuern und mit ‚ bewegen; der Punkt bleibt dabei am Kreis, alle Messwerte werden laufend aktualisiert.

Während sich die Punktkoordinaten ständig ändern, bleibt der Winkel konstant 90°.

Animierte Bewegung:

Bewegung des markierten Winkelscheitels mit „ - 8: Animate Point oder mit ¥ U starten und mit „ - A: Stop Animation oder mit ¥ . stoppen.

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Datenübertragung

Rechner ↔ Rechner 1. Verbindungskabel an beide Rechner anschließen

2. Empfänger vorbereiten

2 ° - … Link - 2: Receive

In der Statuszeile erscheinen die Meldungen VAR-LINK: WAITING TO RECEIVE sowie BUSY

3. Senden

2 ° - gewünschte Variable mit @ und † wählen (Flash Applications mit ‰ - @ und †) - … Link - 1: Send bzw. 3: Send to TI-92

Analog lässt sich mit Receive OS / Send OS das Betriebssystem von Rechner zu Rechner übertragen.

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Auch der History Bereich lässt sich von Rechner zu Rechner übertragen; er muss dafür zuerst als Textvariable gespeichert werden (ƒ - 2: Save Copy As... oder ¥ S) und nach der Übertragung mit dem Text Editor geöffnet und mit † Execute Zeile für Zeile wiederhergestellt werden.

O - Text Editor - 2: Open

Textvariable lassen sich über TI Connect auch direkt in Derive (ab Version 6) importieren und weiterbearbeiten. Datei - TI-Taschenrechner - Import von…

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Rechner ↔ PC 1. Software (TI Connect und / oder TI Graph Link) installieren und Verbindungskabel an PC und

Rechner anschließen.

2. Voyage 200 vorbereiten: außer bei Screen-Shots sollte sich der Rechner im HOME-Screen befinden. 3. Datenübertragung

Rechner → PC: TI DeviceExplorer PC → Rechner: TI GroupExplorer

Für die Übertragung des Betriebssystems steht der TI OSDownloader zur Verfügung.

Rechner ↔ PC: TI ScreenCapture Rechner ↔ PC: TI ProgramEditor

Mit dem Program Editor der Graph Link Software lassen sich einzelne Dateien öffnen und bearbeiten.

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Anhang 1: Iterative Lösung linearer Gleichungssysteme Gesamtschrittverfahren (Jacobi-Verfahren)

Voraussetzung : Diagonaldominanz ∑≠=

>n

ij1j

ijii aa

Prinzip : Fixpunktform )x(fx 1nn −=

3333231

2232221

1131211

bzayaxabzayaxabzayaxa

=++=++=++

)yaxab(a

1z

)zaxab(a

1y

)zayab(a1x

3231333

2321222

1312111

−−⋅=

−−⋅=

−−⋅=

{ {

⋅

−

⋅

=

−1nn x0A

323123211312

b

321

D

33

22

11

x

zyx

0aaa0aaa0

bbb

a100

0a

10

00a1

zyx

444 3444 21321

444 3444 21

Kurzform:

=⋅−⋅= −

33

322

211

1

01nn

ababab

xStartwert)xA0(bDx mit

Bsp.: 2 12x y+ =

3y4x −=−

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Anhang 2: Flächenberechnung mit Ober- und Untersummen Bsp.: 3x)x(f =

Untersumme („Fläche aus der Sicht des Käufers“) Obersumme („Fläche aus der Sicht des Verkäufers“)

dx)x(fdx)x(fdx)x(fUA 1n10n ⋅++⋅+⋅=≈ −K

∑−

=

⋅=1n

0iin dx)x(fU

mit nxdx =

nxidxi0xi ⋅=⋅+=

⇒ {∑∑−

=

−

=

⋅=⋅

⋅=

1n

0i

43

1n

0idx)x(f

33

n nxi

nx

nxiU

i

43421

∑−

=

⋅

=

1n

0i

34

n inxU

dx)x(fdx)x(fdx)x(fOA n21n ⋅++⋅+⋅=≈ K

∑=

⋅=n

1iin dx)x(fO

…

∑=

⋅

=

n

1i

34

n inxO

nn

nn

OlimUlimA∞→∞→

==

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Internet Adressen

www.austromath.at/daten/voyage200 (Online-Kurs zu diesem Skriptum)

education.ti.com/oesterreich

www.ticalc.org

www.acdca.ac.at

www.austromath.at/t3

shop.bk-teachware.com

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Adresse des Autors

Bild öffnen: ¥ % - ¥ F - Axes = OFF - ƒ - 1: Open... - Type = Picture

Hai.v2i

Bild löschen: ˆ Draw - 1: ClrDraw

Mag. Gerhard Hainscho

privat: Schule:

Am Schirm 8 BORG Gartenstraße 1 A-9063 Maria Saal A-9400 Wolfsberg Tel. : 042 23 - 30 42 Tel. : 043 52 - 23 42 - 0 eMail : gerhard.hainscho1@schule.at Fax : 043 52 - 23 42 - 30