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Gliederung

Der Begriff der Stichprobe, Stichprobenfehler

Stichprobenparameter

- Standardfehler des Mittelwertes

- Schätzung der Populationsvarianz

- Schätzung des Standardfehlers des Mittelwertes

Vertrauensintervalle

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Der Begriff der Stichprobe

Auf der Basis von Stichprobendaten ist es möglich, Auskunft über die Ausprägung und Verteilung von Merkmalen in der Grundgesamtheit (Population) zu machen.

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Sich entsprechende Ausdrücke in Stichprobe und Population

Stichprobe Population

Mittelwert wahren Wert µ

Varianz s2 wahren Varianz s2

x

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Formen von Stichproben

Zufallsstichprobe

Klumpenstichprobe

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Fehlerquellen beim Schließen auf die Population

Stichprobenfehler (sampling error):

Rein zufällig ergeben sich in der Stichproben andere Kennwerte als in der Population.

Mit Hilfe von Vertrauensintervallen und Signifikanztests kann die Auftretenswahrscheinlichkeit solcher Fehler kontrolliert werden.

Systematischer Fehler (nonsampling error):

Vermeidung: repräsentative Stichproben z. B. durch die Ziehung einer Zufallsstichprobe

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Beispiel: Verteilung von Stichprobenmittelwerten

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Beispiel: Verteilung von Stichprobenmittelwerten

150 Stichproben im Umfang von n=10

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Beispiel: Verteilung von Stichprobenmittelwerten

150 Stichproben im Umfang von n=40

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Beispiel: Verteilung von Stichprobenmittelwerten

150 Stichproben im Umfang von n=160

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Wichtige Eigenschaften der Kennwertverteilung

Mittelwerte unterscheiden sich bei wachsendem Stichprobenumfang (n) immer weniger, die Streuung (s) der Verteilung der Mittelwerte schrumpft.

Die Verteilung der Stichprobenmittelwerte eines Merkmals X geht für große n in eine Normalverteilung über, deren Varianz proportional zum Stichprobenumfang klein wird.

Zentraler Grenzwertsatz

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Allgemeine Mittelwerteverteilung

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Allgemein gilt:

Für Stichprobenkennwerte und deren Verteilung gilt allgemein:

Die Standardabweichung (Streuung) der Kennwertverteilung heißt Standardfehler oder Standardschätzfehler des Kennwertes.

Der Standardfehler gibt Auskunft darüber, wie genau man mit diesen Kennwert den entsprechenden Populationswert schätzt. Es lassen sich Standardfehler für den Mittelwert, für Varianzen usw. angeben.

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Faustregel

Je größer der Stichprobenumfang n wird, desto genau wird die Schätzung von Parametern, da sich der Standardfehler des Parameters verringert.

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Standardfehler des Mittelwertes

Die Streuung (Standardabweichung) der Mittelwerteverteilung wird als Standardfehler des Mittelwertes oder auch als Standardschätzfehler des Mittelwertes bezeichnet.

Der Standardfehler des Mittelwertes ist ein Maß für die Genauigkeit, mit welcher der wahre Mittelwert µ durch den Stichprobenmittelwert geschätzt wird.

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Standardfehler des Mittelwertes

nx

2

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Schätzung der Populationsvarianz

n

n

i

n

ii

n

xx

n

n

n

xx

1

2

2

12

11*

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Schätzung des Standardfehlers des Mittelwertes

1*

2

11

nn

xxn

ix