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Walk-graph ver5.0 操作方法
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
i
目次 Walk-graph ver5.0 操作方法 ................................................................................................................ 1
１．ＭＡＩＮ画面について.................................................................................................................... 1
１－１．被験者情報入力について.......................................................................................................... 1
１－２．ツールバーについて............................................................................................................. 2
（１）読み込み（R）............................................................................................................................. 2
（２）フィルタ後に計算処理（F）........................................................................................................... 2
（３）100％正規化後にグラフ化（G）.................................................................................................... 4
（４）100％規格化データの保存（K）.................................................................................................... 5
（５）データクリア（C）......................................................................................................................... 5
１－３．時間因子の設定.................................................................................................................... 6
２．inf シートについて............................................................................................................................... 7
２－１ 計測環境情報 ....................................................................................................................... 7
２－２ マーカの内挿 ....................................................................................................................... 7
２－３ 静止立位時の運動学データ .................................................................................................. 7
３．ＧＲＦ３シートについて ................................................................................................................ 8
３－１ 操作方法 .............................................................................................................................. 8
４．３Ｄシートについて ....................................................................................................................... 9
４－１ 操作方法 .............................................................................................................................. 9
５．ＡＮＧシートについて.................................................................................................................. 10
６．ＡＮＧ２について......................................................................................................................... 10
７．Walk-graph の操作手順について................................................................................................. 10
８．Walk-graph で出力されるデータの概要....................................................................................... 11
８－１ 身体パラメータ.................................................................................................................. 11
８－２ 座標系について.................................................................................................................. 12
（１）座標系................................................................................................................................ 12
（２）歩行分析における座標系の一般的な定義 ........................................................................... 13
８－３ 三次元角度の計算手法 ....................................................................................................... 14
８－４ 速度と加速度 ..................................................................................................................... 16
８－５身体合成重心の計算手法 ....................................................................................................... 18
(1)各体節の重心 ........................................................................................................................... 18
(2)身体の合成重心算出................................................................................................................. 19
８－６運動力学的因子の分析........................................................................................................... 21
8-6-1 床反力の推定 ..................................................................................................................... 21
８－７ 関節モーメント解析手法.................................................................................................... 24
8-7-1 関節モーメント解析の目的 ................................................................................................ 24
8-7-2 数学モデルを用いた関節モーメントの計算手法............................................................... 24
ii
８－８ ローパスフィルタの設計.................................................................................................... 27
8-8-1 フィルタリングの必要性.................................................................................................. 27
8-8-2 フィルタ特性 ................................................................................................................... 27
8-8-3 再帰型デジタルローパスフィルタの設計 ......................................................................... 28
8-8-4 位相特性の改善................................................................................................................ 31
参考文献.............................................................................................................................................. 32
1
１．ＭＡＩＮ画面について
１－１．被験者情報入力について
（１） 被験者の体重
被験者の体重をｋｇ単位で入力する．
（２） 身長
被験者の身長をｃｍ単位で入力する．
（３） 足のサイズ
被験者の裸足サイズを入力する．靴のサイズではない．
（４） サンプリング周波数
1 秒間の情報量である．通常は 30Hz か 60Hz のいずれかである．静止画に分割した際に 30 コマで分解し
たのか，60 コマでフィールドに分解したのかを選択する．
（５） カットオフ周波数
動作解析分野における設定は通常は６Hz である．数値が小さいほどグラフは平滑化されていく．サンプリン
グ周波数の半分がちょうど生データと同じ波形となる．フィルタは Bryant の再帰型 IIR デジタルフィルタが組
み込まれており，（サンプリング周波数／２）が生データとなり，この値を境に低く設定すると，ローパスフィル
タ，高く設定するとハイパスフィルタとなる．つまりサンプリング周波数６０Hz の場合，カットオフ周波数３０HZ
が生データで，それより低い値でカットオフ周波数を５Hz や１０Hz といった値に設定するとローパスフィルタ，
３１Hz に設定するとハイパスフィルタとなる．
（６） ＳＥＸ
男性か女性かを選択する．
（７） 体型
標準成人（１6 歳以上），筋肉質（16 歳以上），肥満，標準，痩せ型（10－15 歳以上），老人（60 歳以上）から
対応する体型を選択する．
図１ メイン画面
2
１－２．ツールバーについて
ツールバーは walk-graph を用いてデータ解析を行うための基本ボタンである．
（１）読み込み（R）
ToyBox で出力された変換ツール形式の
三次元空間座標を読み込む作業を行う．
操作方法
①右図のように読み込みボタンを押して，
ToyBox で出力された変換ツール形式デー
タを選択し，開くを押すと，自動的に読み
込み処理が行われる．
（２）フィルタ後に計算処理（F）
必要に応じて，サンプリング周波数とカ
ットオフ周波数の設定からデジタルフィルタを実行し基本的な関節角度などを計算する．生データで処
理したい場合には“サンプリング周波数／２”の設定で実行する．
（２）－１ 操作方法
① サンプリング周波数を設定する．（通常は 30Hz or 60Hz）
② カットオフ周波数を設定する（通常は 6Hz）
③ 読み込みボタンを押す．
④ 画面上のグラフが滑らかになったことが確認できるはずである．（下図）
図２ ツールバー
図３ 読み込みボタン選択後
図４ 平滑化確認
3
シート上の名称 正式名称 シート上の名称 正式名称
Rancle 右足関節角度 Rancle加速度 右足関節加速度Lancle 左足関節角度 Lancle加速度 左足関節加速度RKnee 右膝関節角度 RKnee加速度 右膝関節加速度LKnee 左膝関節角度 LKnee加速度 左膝関節加速度RHip 右股関節（鉛直軸に対しての大腿角） RHip加速度 右股関節（鉛直軸に対しての大腿角）
R-HIP(体幹-大腿角) 右股関節（体幹-大腿）） R-HIP(体幹-大腿角)加速度 右股関節（体幹-大腿））LHip 左股関節（鉛直軸に対しての大腿角） LHip加速度 左股関節（鉛直軸に対しての大腿角）
Lhip(体幹-大腿角) 左股関節（体幹-大腿）） Lhip(体幹-大腿角)加速度 左股関節（体幹-大腿））R-HipAbduct 右股関節外転角度 R-HipAbduct加速度 右股関節外転加速度L-HipAbduct 左股関節外転角度 L-HipAbduct加速度 左股関節外転加速度
前屈 体幹前屈角度 前屈加速度 体幹前屈加速度側屈 体幹側屈角度 側屈加速度 体幹側屈加速度
骨盤回旋 骨盤回旋角度 骨盤回旋加速度 骨盤回旋加速度骨盤傾斜 骨盤傾斜角度 骨盤傾斜加速度 骨盤傾斜加速度
右下腿回旋 右下腿回旋角度 右下腿回旋 右下腿回旋加速度左下腿回旋 左下腿回旋角度 左下腿回旋 左下腿回旋加速度右大腿回旋 右大腿回旋角度 右大腿回旋 右大腿回旋加速度左大腿回旋 左大腿回旋角度 左大腿回旋 左大腿回旋加速度Rancle速度 右足関節角度 COGX 身体合成重心（ｘ方向成分）Lancle速度 左足関節角度 COGY 身体合成重心（ｙ方向成分）RKnee速度 右膝関節角度 COGZ 身体合成重心（ｚ方向成分）LKnee速度 左膝関節角度 COGX速度 身体合成重心速度（ｘ方向成分）RHip速度 右股関節（鉛直軸に対しての大腿角） COGY速度 身体合成重心速度（ｙ方向成分）
R-HIP(体幹-大腿角)速度 右股関節（体幹-大腿）） COGZ速度 身体合成重心速度（ｚ方向成分）LHip速度 左股関節（鉛直軸に対しての大腿角） COGX加速度 身体合成重心加速度（ｘ方向成分）
Lhip(体幹-大腿角)速度 左股関節（体幹-大腿）） COGY加速度 身体合成重心加速度（ｙ方向成分）R-HipAbduct速度 右股関節外転角度 COGZ加速度 身体合成重心加速度（ｚ方向成分）L-HipAbduct速度 左股関節外転角度 骨盤移動ｘ 骨盤移動（ｘ方向成分）
前屈速度 体幹前屈角度 骨盤移動ｙ 骨盤移動（ｙ方向成分）側屈速度 体幹側屈角度 骨盤移動ｚ 骨盤移動（ｚ方向成分）
骨盤回旋速度 骨盤回旋角度 骨盤移動ｘ速度 骨盤移動ｘ速度骨盤傾斜速度 骨盤傾斜角度 骨盤移動ｙ速度 骨盤移動ｙ速度
骨盤移動ｚ速度 骨盤移動ｚ速度左右合成反力 左右合成反力 骨盤移動ｘ加速度 骨盤移動ｘ加速度進行合成反力 進行合成反力 骨盤移動ｙ加速度 骨盤移動ｙ加速度鉛直合成反力 鉛直合成反力 骨盤移動ｚ加速度 骨盤移動ｚ加速度
角度
角加速度
重心位置
角度
床反力
変位（位置座標） 速度 加速度体幹重心X 体幹重心速度X 体幹重心加速度X体幹重心Y 体幹重心速度Y 体幹重心加速度Y体幹重心Z 体幹重心速度Z 体幹重心加速度Z
左大腿重心X 左大腿重心速度X 左大腿重心加速度X左大腿重心Y 左大腿重心速度Y 左大腿重心加速度Y左大腿重心Z 左大腿重心速度Z 左大腿重心加速度Z右大腿重心X 右大腿重心速度X 右大腿重心加速度X右大腿重心Y 右大腿重心速度Y 右大腿重心加速度Y右大腿重心Z 右大腿重心速度Z 右大腿重心加速度Z左下腿重心X 左下腿重心速度X 左下腿重心加速度X左下腿重心Y 左下腿重心速度Y 左下腿重心加速度Y左下腿重心Z 左下腿重心速度Z 左下腿重心加速度Z右下腿重心X 右下腿重心速度X 右下腿重心加速度X右下腿重心Y 右下腿重心速度Y 右下腿重心加速度Y右下腿重心Z 右下腿重心速度Z 右下腿重心加速度Z左足部重心X 左足部重心速度X 左足部重心加速度X左足部重心Y 左足部重心速度Y 左足部重心加速度Y左足部重心Z 左足部重心速度Z 左足部重心加速度Z右足部重心X 右足部重心速度X 右足部重心加速度X右足部重心Y 右足部重心速度Y 右足部重心加速度Y右足部重心Z 右足部重心速度Z 右足部重心加速度Z
大腿
下腿
足部
体幹
（２）－２．出力データ
フィル後に計算された運動学データは“ANG”シートに書き込まれる．書き込まれるデータ内容を表
１・２に示す．
表１ 出力される運動学的基礎データ
表２ 各体節の重心位置
4
シート上の名称 正式名称 シート上の名称 正式名称右COP進行 右下肢床反力作用点（ｙ方向） R足部x 右足部のｘ座標左COP進行 左下肢床反力作用点（ｙ方向） R足部y 右足部のｙ座標
右COP左右方向 右下肢床反力作用点（ｘ方向） R足部z 右足部のｚ座標左COP左右方向 左下肢床反力作用点（ｙ方向） L足部x 左足部のｘ座標進行合成COP 進行合成床反力作用点 L足部y 左足部のｙ座標左右合成COP 左右合成床反力作用点 L足部x 左足部のｚ座標R左右床反力 右下肢左右方向床反力 骨盤X 骨盤中心のｘ座標L左右床反力 左下肢左右方向床反力 骨盤Y 骨盤中心のｙ座標R進行床反力 右下肢進行方向床反力 L足部X 右足部のｘ座標L進行床反力 左下肢進行方向床反力 L足部Y 右足部のｙ座標R鉛直床反力 右下肢鉛直方向床反力 R足部X 右足部のｚ座標L鉛直床反力 左下肢鉛直方向床反力 R足部Y 左足部のｙ座標右足モーメント 右下肢足関節モーメント 股関節X 左足部のｙ座標左足モーメント 左下肢足関節モーメント 股関節Z 左足部のｚ座標右膝モーメント 右下肢膝関節モーメント 肩峰X 肩峰X左膝モーメント 左下肢膝関節モーメント 肩峰Z 肩峰Z右股モーメント 右下肢股関節モーメント R下肢X R下肢X左股モーメント 左下肢股関節モーメント R下肢Z R下肢Z
右膝内反モーメント 右膝内反モーメント L下肢X L下肢X左膝内反モーメント 左膝内反モーメント R下肢Z R下肢Z右股外転モーメント 右股外転モーメント COGX COGX左股外転モーメント 左股外転モーメント 右下腿回旋 右下腿回旋
前屈モーメント 前屈モーメント 左下腿回旋 左下腿回旋側屈モーメント 側屈モーメント 右大腿回旋 右大腿回旋右足パワー 右足パワー 左大腿回旋 左大腿回旋左足パワー 左足パワー右膝パワー 右膝パワー左膝パワー 左膝パワー右股パワー 右股パワー左股パワー 左股パワー
右股外転パワー 右股外転パワー左股外転パワー 左股外転パワー
前屈パワー 前屈パワー側屈パワー 側屈パワー
関節パワー
床反力作用点
スティックピクチャー用データ
床反力
関節モーメント
（３）100％正規化後にグラフ化（G）
歩行データは速度によって当然，1 歩行周期に要する時間が違ってきてしまい，左下図のようなグラフ
になってしまう．これでは横軸が統一されていないため，時間（ｓ）をすべて１歩行周期を 100%に正
規化して，右下図のようにする．こうすると横軸が統一され，波形グラフの比較をしやすい．
このようにして１歩行周期を 100％に正規化したデータは，表１・２のデータを正規化するほかに以下
のデータ（表３）が追加されて“ANG2”シートに計算出力される．
表３ 100％規格化後の追加データ
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
時間（ｓ）
角度
（DEG
)
遅い
速い
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 20 40 60 80 100
時間（％）
角度
（DEG
)
遅い速い
図５ 100％正規化
5
図６ 規格化データの保存
（４）100％規格化データの保存（K）
グラフ作成時に使用したデータはもちろんのこと，“ANG２”シートのデータのみを EXCEL 形式で
名前を変えて保存できる．統計処理を行うときなど規格化されたデータを用いれば，データ解析の効率
化を図ることができる．
（４）－１ 使用方法
① 100％規格化データの保存ボタンを押す．
② 図６の画面が現れる．
③ 名前を付けて保存する
④ 指定したフォルダにファイルが生成される
（５）データクリア（C）
データクリアボタンは walk-graph 上で計算されて、シート上に書き込まれたデータをクリアして．
リフレッシュする．新しい ToyBox データを読み込む際には，必ずデータクリアをしてから，データ解
析を行うこと．処理が途中で中断することもあります．
図２ ツールバー
6
１－３．時間因子の設定
（１） スクロールバーを動かすと，スティックピクチャーと対応するリンクセルが連動することを確認する．
（２） 表示切替ボタンにより，L・R（左下肢，右下肢）どちらの計測データをみたいのかを指定する．（画面は
右となっている．）
（３） 解析したい下肢の踵接地の瞬間をスクロールバーを動かして指定する．（直接入力でもかまわない）
（４） 解析したい下肢のつま先離れの瞬間をスクロールバーを動かして指定する．
（５） 解析したい下肢の次の踵接地の瞬間をスクロールバーを動かして指定する．
（６） 反対側の下肢のつま先離れの瞬間をスクロールバーを動かして指定する．
（７） 反対側の下肢の踵接地の瞬間をスクロールバーを動かして指定する．（直接入力でもかまわない）
（８） 健常者であれば，およそ立脚相：遊脚相の割合が６０％：４０％に近いことを確認する．
注意：スクロールバーを動かしていった時にスティックピクチャーに人の形が見えないときは，グラ
フ横軸目盛りを左クリックで指定して，右クリックから軸の書式設定を選び，目盛の設定を自動，ある
いは手動で調整すること．
スクロールバーリンクセル グラフ横軸目盛
スティックピクチャー時間因子割合グラフ 下肢切り替えボタン
図７ 時間因子設定画面
7
２．inf シートについて
“inf”シートは基本的なインフォーメーションシートである．大きくわけ
て３つで構成される．
２－１ 計測環境情報
計測施設，計測日，身長，体重などが記述されている．この項目は将来
的に DIFF フォーマット対応を考慮しているもので，現在のところ，あ
まり活用する場がない．
２－２ マーカの内挿
計測時には身体表面にマーカを設置しているので，関節中心に向かって
内挿を行う必要がある．茶色の大きいのが表面に取り付けたマーカ，黒色丸
は内挿された関節中心位置である．内挿は以下のルールに従って内挿してい
る．
１）肩峰 10％内挿(両肩峰の内側 10％距離)
２）股関節 19％内挿（両股関節の 10％内側の距離）
３）膝関節 4.8％内挿（身長に対して 4.8％）
４）足関節 3.5％内挿（身長に対して 3.5％）
５）踵 2.3％内挿（身長に対して 2.3％）
６）MP 関節 3.5％内挿（身長に対して 3.5％）
２－３ 静止立位時の運動学データ
静止立位時の角度，COG などの計算デ
ータである．グラフでは静止立位時のデ
ータを差し引いて計算されているので，
この値を加算すれば，純粋な角度や COG
位置を知ることができる．
図８ マーカ内挿
図 9 inf シート
8
３．ＧＲＦ３シートについて 歩行動作をより直感的に捉えるためのシートである．表示される筋活動は推定である．
３－１ 操作方法
１）スクロールボタンを左に移動させる
２）PLAY ボタンを押すと歩行動作開始となる
３）スクロールボタンをクリックさせていくと，1 こまづつ動作する
４）着目関節切り替えボタンにより，足・膝・股関節のデータに切り替えることができる．
５）グラフはそれぞれ，
① 矢状面スティックムービー
② 前額面スティックムービー（後方視点）
③ 水平面スティックムービー（上方視点）
である．
６） 筋活動推定セルは，関節モーメント，パワーの値から推定されているものであり，必ずしも筋電
計で計測した値と一致するものではない．関節モーメントは内部モーメントである筋・靱帯の拮抗
度合いをモーメントの総和という形で表現しているので，等尺性収縮などがある動作では正しい筋
活動を検地することができない．
PLAYボタン スクロールボタン 着目関節切り替えボタン
筋活動推定
図 10 GRF3 シート
9
４．３Ｄシートについて 三次元的にスティックピクチャーを動作させるシートである．矢状面，前額面．水平面から変化させ
て 360 度回転させることも可能である．
４－１ 操作方法
１）スクロールバーを左に移動させる
２）PLAY ボタンを押す
３）動き出す．
４）視点回転ボタンを押すと，スティックが回転する
PLAYボタン スクロールバー リセットボタン 視点回転ボタン
図 11 ３D シート
図 12 視点切り替えた場合
10
５．ＡＮＧシートについて P3 に説明してあるので，割愛する
６．ＡＮＧ２について P4 に説明してあるので割愛する
７．Walk-graph の操作手順について 1） データクリアボタンを押す
2） データの読み込みボタンを押す
3） 身長・体重・足のサイズ・性別・体型を入力する
4） サンプリング周波数とカットオフ周波数を入力する
5） 解析したい下肢（R・L）を決定する
6） 観測下肢の H.C.，T.O.，H.C.のコマ数をスクロールバーを動かし決定する．
7） 反対下肢の T.O.，H.C.のコマ数をスクロールバーにより決定する．
8） フィルタ後に計算処理ボタンを押す．
9） 100％正規化後にグラフ化ボタンを押す．
10） GRAPH シートにデータが完成する．
11） 100％規格化ボタンを押す
12） 名前を付けて保存する．
13） 解析範囲を変更したければ，6)～12）の操作を繰り返す
14） 新しいデータを読み込みときは１)～12）の操作を繰り返す
11
８．Walk-graph で出力されるデータの概要 GRAPH シートにおいて印刷ボタンを押せば，A4 サイズで 4 枚のグラフが印刷される．グラフの説
明に関しては専門文献を参考にされたし．
８－１ 身体パラメータ
本項では，身体パラメータの推定方法について述べる．関節モーメント計算に必要な身体のパラメー
タとして，各体節の長さ，質量，重心位置，重心まわりの慣性モーメントがある．このなかで長さの計
測はもっとも容易で，関節中心とみなせる点を定めその距離をあらかじめ計測しておけばよい．厳密に
考えれば関節中心は関節の内部にあるが，歩行中の関節モーメントを評価することを目的とした解析な
ら，皮膚表面に取り付けた標点間の距離を長さとしても十分に無視できる誤差の範囲内と考えてよい．
また，歩行中の関節点の位置を座標計測システムで計測し，空間的な 2 点間距離を算出してパラメータ
として扱っても実質的に問題はない．それ以外のパラメータは質量が影響してくるため，各節を独立し
て切り出して実測したいくつかの古典的な報告以外には，なんらかの方法で推定するしかなく，従来か
らさまざまな手法が提案されてきた．質量については，容積がわかれば平均密度から質量を推定できる
ため，水を張ったバスタブに目的の体節を浸けて溢れ出る水の量を測ったり，あるいは体表面に投影し
たスリット光を用いて 3 次元形状を計測して容積を測り，平均密度から推定する方法などが考案されて
きた．また，重心位置や重心まわりの慣性モーメントについては，各体節の形状が計測できればおのお
ののパラメータの定義に従って積分することによって算出が可能である．
なお，これらのパラメータを実測した報告例としては， Dempster の研究〔7〕がある．これは米軍
基地の研究施設で実際に屍体を切断して計測したデータである．まず軟組織がもっともうまく体節に沿
って分離するような関節角度で保持して屍体を冷凍し，切断して振動周期などを計測して慣性モーメン
トを実測している．各被験者ごとに体節形状を計測してパラメータを計算するほうが望ましいが，通常
は統計データに基づく推定方法を用いることが多い．詳細な各体節パラメータを推定するための式の紹
介などは紙数の都合で割愛し（参考文献参照〔6〕），ここでは従来からいくつか提案されている推定方
法をについて述べる．表４，表５は体節の質量および重心位置，表６は慣性モーメントの推定方法を示
している．
また下肢のパラメータよりも大きな比率を占める上体の影響に関しては，体幹，頭郁，上肢を合わせ
た上体の質量は体童の半分，を超えるため，その挙動は当然下肢関節の解析に対して大きな影響を与え
るが，それらの情報はすべて床反力（ベクトルと作用点）に反映されているから問題ない．ただし，上
体の運動に起困する影響を解析結果に正しく反映させるためには，床反カベクトルを計測する床反力の
座標系と，関節位置を計測するカメラ装置の座標系とを高い精度で一致させておくことが必要である．
表４ 屍体から得た各体節の質量と重心位置（田中繁）〔8〕
12
８－２ 座標系について
（１）座標系
座標系とは，空間の位置座標を記述するための基準位置と基準方向の組み合わせのことである．“こ
ちらの向きを X 軸，こちらの向きを Y 軸とし，ここを原点（座標ゼロ）にする”というような取り決
めをしておかないと，空間の位置を同定することができない．例えば，立ったときの目の位置を家屋の
床面から測る場合と海抜ゼロから測る場合では，同じものを測っていても数字は違ってくる．この基準
面の違いが座標系の違いである．目の高さのような場合なら常識が通用するが，歩行計測のようなもの
では常識論では済まされない．つまり，どこを原点（ゼロ点）にし，どちらの向きを X 軸，どちらの向
きを Y 軸にするのかという取り決めを，運動データと床反カデータとで統一しておかなければならない．
表 6 体節の慣性モーメントの推定係数（阿江通良，1982）〔9〕
表 5日本アスリートの質量と重心位置（阿江通良，1982）〔9〕
13
（２）歩行分析における座標系の一般的な定義
歩行分析の座標系に常識は通用しないと述べたが，それでは座標系の統一にも不便であ
るし，お互いに計測したデータを比較したりするうえでも不都合がある．それらの不都合
を解消するために，臨床歩行分析研究会から標準的な座標系定義法が提案されている
[10][11]．これによれば，歩行計測の場合，進行方法を Y 軸，進行方向に向かって右向き
に X軸，鉛直方向に Z軸をとるように提唱している（図 13）．Z軸の原点は床面である．XY
軸の原点はとくに規定していないが，通常は床反力計の端や中央にとることが多い．
図 13 標準的な座標系
14
８－３ 三次元角度の計算手法
医学的な関節角度の定義にはあいまいさが存在するために，歩行解析における関節角度には工学的な
定義が用いられる．
工学的な角度定義としてはオイラー角が用いられることが多いが[12]，力学的解析を念頭においた角
度定義であるために，必ずしも直感的なものではない．そこで本研究では，航空機や船舶で用いられる
角度定義を適用した関節角度の表記法を提案する．
航空機や船舶においては，機体や船体の長軸と水平面とのなす角をピッチ角，その長軸を水平面内に
投影した軸と水平面内の基準軸とのなす角をヨウ角，長軸回りの角をロール角として定義している．こ
の角度定義は，上肢の机上動作のような水平面内中心の動作には適しているが，歩行のような矢状面内
の動作が支配的な場合には必ずしも適当ではない．そこでこの定義を修正して図 14 に示すような角度
定義を行う．まず，各体節の長軸と矢状面とのなす角を内外転（反）角θa とし，その長軸を失状面に
投影した軸と垂直軸とのなす角を屈伸角度θe とする．さらにその長軸回りの回転角度を回旋角θrとし
て定義する．また，各節間の相対角に関しても同等の定義を拡張して定義することができる．
実際の計算方法は，以下のように行う．まず空間における絶対座標系として次のような座標系を定義
する．鉛直軸に平行で上方が正となるように Z 軸を定め，水平面内で進行方向が正となるような X 軸を
定義する．さらに右手直交座標系を構成するように Z 軸と X 軸との外積により Y 軸を定める．また，
節 i に関しても同様に，次のように節座標系を定義する．長軸を zi軸として遠位方向を正とする．xi軸
は静止直立時に，矢状面に平行で zi軸に直交するように定め進行方向を正とする．
図 14座標系と角度の定義
15
eaaea
eaaea
ee
ee
ee
aa
aa
θθθθθθθθθθ
θθ
θθ
θθ
θθθθ
coscossinsincoscossincossinsin
sin0cos
cos0sin010
sin0cos
cossin0sincos0
001
⋅⋅−⋅−⋅=
−−
xit
xixixixi IMZYXI ⋅== −1)',','(')/'(tan 1
xixir YX−=θ回旋角：
の外積により定める．骨格に対する相対的な位置が不変となるように各節に3点以上の標点を装着し，
その 3 次元位置を計測すれば，節座標系を決定することができる．ここで節 i の zi軸の単位方向ベクト
ルを Izi，その方向余弦を（Xzi，Yzi，Zzi）とすれば，屈伸角および内外反角は次式により求めることが
できる．
また並進成分を無視し，内外反角と屈伸角を用いて絶対座標系を回転変換すれば，絶対座標系の変
換後の Z 軸と節座標系の zi軸とを一致させることができる．この変換は，内外転角による回転変換行列
を Ma，屈伸角による回転行列を Me とすれば，式（1）に示す変換行列により表すことができる．この
ときの変換後の座標系の X’軸と節座標系の xi軸とのなす角が回旋角となる[13]．
・ ・・・・・・・・・・・・ （1）
したがって，絶対座標系からみた節座標系の ｘ軸の単位方向ベクトルを Ixi，このベクトルの内
外転（反）と屈曲を戻したベクトルを I’xi，とすれば回旋角は次式により求めることが出来る．
・ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2）
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（3）
また，相対角度を計算するには，上記手順における絶対座標系を，隣接する節の節座標系に置き換えて
同様の処理を行えばよい．
16
図 15 変位
図 16 速度
図 17 加速度
：角加速度）：慣性モーメント，回転運動の慣性力： θθ &&&& II (
xdtdxtxvt
&==∆∆=→
/)/(lim0
８－４ 速度と加速度
体幹全体の移動速度は歩行の実用性の観点から重要であるが，そのほかの速度が関係する物理量には
次のものがある．
（１）運動エネルギー： 1／2mv2（m：質量，ｖ：重心速度）
1／2Iω2（I：慣性モーメント，ω：角速度）
（２）パワー（仕事率）： Fv（F：運動を生じ力，ｖ：運動速度）
Mω（M：モーメント，角速度）
（３）粘性減衰抵抗 ： ｃv（ｃ：粘性減衰係数，運動速度）
Cω（C：回転の粘性減衰係数，ω：角速度）
パワーは単位時間当りのエネルギーを表す．モーターやエンジンと同様に，筋肉にも出しうる最大の
パワーがあり，Fv＝Pmax となる．Pmax は筋の種類，個体，疾患により異なる．粘性減衰抵抗は関節ま
わりの軟部組織や筋肉の内部抵抗の存在によるが，一般には筋力による関節モーメントに比較して無視
できるほど小さい．また，加速度は動的歩行を理解するうえでの重要な概念で，以下の慣性力をもたら
す．
（４） 並進運動の慣性力：ma（m：質量，a：重心加速度）
（５）
このように速度と加速度は，運動学的データから力学情報を引き出すものとなる．その計算方法は，
物理学における定義に従えば，直線運動を例にして次のようになる．
１）変位：図 15 に示す x 軸上の直線運動を考えるとき，原点 O から
測った座標 x を点 A の変位という．変位の符号は座標の符号と一致す
る．
２）速度：変位 x が時間 t に対して図 16 のように変化するとき，
時間間隔Δ内の変位の増加量を
Δx＝Xt+Δt 一 Xt とすれば，この時間間隔Δt 内の平均速度v＿
は，
v＿
＝Δx／Δt
････････････････････････････（４）
ここで，Δt を無限に小さくとれば，斜辺 AB の傾きは A 点における
接線に近づき，時刻 t における瞬問速度 v となる．速度の符号はΔx
の符号に一致する．
･････････(5)
３）加速度：速度 v が時間 t に対して
17
図 18 平面屈線運動の加速度
at:接線加速度，an：法線加速度
xdtdvtvat
&&/)/(lim0
=∆∆=→
ρρρ /)/)(/()/(lim)/(
/)/(lim2
0
0
vdtdsvtsva
dtdvtva
tn
tt
==∆∆=
=∆∆=
→
→
2121
11
/)2(/)(
)(
txxxtvva
txxv
iiiiii
ii
∆+−=∆−=
∆−=
+++
+
tvvvvatxxxxv
iiii
iiii
∆−−+=∆−−+=
−−++
−−++
6/)(6/)(
21121
21121
図 17 のように変化するとき，時間間隔Δt 内の速度の日量を
Δv＝vt+Δt 一 vt とすれば，この時間間隔Δt 内の平均加速度a＿
は，
a＿
＝Δv／Δt･･････(8)
ここで，Δt を無限に小さくとれば，斜辺 CD の傾きは C 点における接線に近づき，時刻 t における瞬
間加速度 a となる．加速度の符号はΔv の符号に一致する．
･･････････（6）
なお，・は 1 階微分を，‥は 2 階微分を表す．以下同様にして，
加速度の変化率なども計算することができる．また，2 次元ある
いは 3 次元運動の場合には，運動を直交する座標成分に分け，そ
れぞれの座標軸方向で上述の計算を行えばよい．角度についても，
変位と同様にして角度変位，角速度，角加速度を定義することが
できるが，空間角度の微分については各方向を独立に扱うことは
できない．
曲線運動については，図 18 に示すように，曲線に添った加速
度 at と，曲線と直角方向の加速度 anとを考える場合がある．これらは次式で求められる．
････(7)
････(8)
ここで，v は接線方向の速度，s は曲線上の距離，ρは A 点での曲率半径である．等速円運動の場合
は at は 0 となり，an のみが作用する．この加速度による慣性力（加速度と逆向き）は遠心力と呼ばれ
る．変位あるいは角度が時間を変数とする式で表すことができる場合には，速度，加速度の時間関数は
変位あるいは角度の式を時間で微分することによって求めることができる．しかし，一般にコンピュー
タ処理される計測データは一定時間間隔ごとの数値データであるために，微分も数値的に行う必要があ
る．これは，基本的には前述の平均速度あるいは平均加速度の定義に戻って計算するものであり，もっ
とも簡単には次式で求めることができる．
･･･････････････(9)
･･･････････････(10)
しかし，この方法では高周波ノイズが増幅され，また変位の時点と速度あるいは加速度の時点にずれ
が生じるために，接線を求めたい時点の両側のデータを用い，かつ平滑化機能を含めた次式で計算する
方がよい．
･･･････････････････････(11)
･･･････････････････････(12)
なお，計測ノイズの平滑化についてはじ節に述べる．
18
図 19 各体節の重心位置
８－５身体合成重心の計算手法
(1)各体節の重心
屍体を身体各部位に分割して計算した結果，下腿部の重心は足関節から，下腿長の 57％の位置にある
ことがわかっていると仮定する．この数値を生きている人体にも適用して考える．運動中の人体の足関
節と膝関節の 3 次元位置を各々（Xa，Ya，Za，（Xk，Yk，Zk）とすると，下腿部の重心位置（Xl，Yl，
Zl）は以下の式で表される（図 19）．
Xl? Xa+(Xk-Xa? *0.57 ・・・・・・・・・・・・・(13)
Yl? Ya+(Yk-Ya? *0.57・・・・・・・・・・・・・ (14)
Z l? Za+( Zk-Za? *0.57 ・・・・・・・・・・・・・ (15)
この式は以下のように書き換えることができる．
Xl＝0．57Xk +0．43Xa・・・・・・・・・・・・・ (16)’
Yl＝0．57Yk＋0．43Ya・・・・・・・・・・・・・ (17)’
Z l＝0．57Zk＋0．43Za・・・・・・・・・・・・・ (18)’
これも 1 種の加重平均である．ただしこの場合，足関節から測
った重心位置が足－膝関節長の 57％の位置である場合，膝関節位
置にかかる重みは 0.57，足関節位置にかかる重みは（1‐0.57）＝0.43 であることに注意する．膝関節
位置と股関節位置がわかれば大腿部の重心位置も同様にして計算が可能となる．
下腿部重心位置，大腿部重心位置が計算されたとして，これらを（X1，Y1，Zl），（X2，Y2，Z2）とす
る．ここで下腿部の質量を ml，大腿部の質量を m2 とするとき大腿部と下腿部の合成重心（X3，Y3，
Z3）は次のように表される．
X3＝（m1／（ml＋m2））Xl 十（m2／（ml＋m2））X2･･･････（19）
Y3＝（m1／（ml＋m2））Yl 十（m2／（ml＋m2））Y2････････(20)
Z3＝（m1／（ml＋m2））Zl 十 （m2／（ml＋m2））Z2･･･････（21）
この式は，質量 ml の小さな球を下腿部の重心位置に置き，質量 m2 の小さな球を大腿部の重心位置
においた場合の，両者の合成重心を求める式と同一になる．大腿部と下腿部の位置関係が変わると合成
重心の位置が変わることに注意する．大腿部・下腿部の合成重心は，大腿部と下腿部の重心を結んだ線
上にある．膝関節が完全伸展の状態では合成重心は大腿部のある場所にくるが，膝が屈曲している状態
では合成重心は「身体のない場所」にくることに着目する．
下腿部と大腿部の合成重心には；両者の質量の和に等しい質量が存在するとして考えることができる．
このテクニックを使って身体全体の合成重心を求める．身体全体の合成重心（以下体重心と略す）．ま
ず身体を図 19 のように 7 つの部分に分けて考える．ここでは頭部と上肢は体幹に含める．それぞれの
部分を節あるいはセグメントとよぶ．これら 7 つのセグメントは各々変形しないと仮定する．このよう
な考え方を「身体を 7 つのセグメントの剛体リンクモデルに近似した」という．これら 7 つのセグメン
トの重心位置と質量は，第 2 項の身体のパラメータからわかっているとする．
19
(2)身体の合成重心算出
体幹： 両肩峰の中点と両股関節の中点を結んだ線上にあって，
下から線長の Cl（＝55％）．
大腿： 膝・股関節を結ぶ線上にあって，線長の下から C2（＝57％）の点．
下腿： 足・膝関節を結ぶ線上にあって，線長の下から C3（＝57％）の点．
足部： 第3中足骨と足関節を結ぶ線上にあって，線長の下からC4（＝60％）の点．
体幹： ml＝０．６６
大腿： m2＝０．１０
下腿： m3＝０．０５
足部： ｍ4＝０．０２
身体の関節位置（肩関節 s，股関節 h，膝関節 k，足関節 a，中足骨点 m）の座標がわかると，体重心の
座標は以下のように計算が可能となる．まず両肩峰の中点の座標（XsYs）を求める．（添え字 r，?は右・
左の意味である．）
１）量肩峰の中点
Xs＝0．5Xsr 十 0．5Xs?･････････(22)
Ys＝0．5Ysr 十 0．5Ys?･････････(23)
Zs＝0．5Zsr 十 0．5Zs?･････････(24)
２）両股関節の中点
Xh＝0．5Xhr 十 0．5Xh?･････････(25)
Yh＝0．5Yhr 十 0．5Yh?･････････(26)
Zh＝0．5Zhr十 0．5Zh?･････････(27)
３）肩峰の中点と股関節の中点から体幹重心が求まる．
Xl＝ClXs 十 （1－Cl）Xh･････････(28)
Yl＝ClYs 十 （1－Cl）Yh･････････(29)
Z l＝ClZs 十 （1－Cl）Zh･････････(30)
４）節ごとの合成重心算出
以下は x 座標のみについて記述する．y 座標，z 座標については X を各々Y， Z におきかえて考える．
右大腿部重心 X2r＝C2Xhr 十（1－C2）Xkr･････････(31)
左大腿部重心 X2l ＝C2Xhl 十（1－C2）Xkl ･････････(32)
右下腿部重心 X3r＝C3Xkr 十（1－C3）Xar･････････(33)
左下腿部重心 X3l ＝C3Xkl 十（1－C3）Xal ･････････(34)
右足部重心 X4r＝C4Xar 十（1－C4）Xmr･････････(35)
左足部重心 X4l ＝C4Xal 十（1－C4）Xml ･････････(36)
上記のすべての値を使って体重心の座標（XG，YG，ZG）が計算できる．
20
５）身体の合成重心
XG＝ml・Xlr＋m2・X2r+m3・X3r+m4・X4r＋m2・X2?＋m3・X3?＋m4・X4?･････････(37)
YG＝ml・Ylr＋m2・Y2r＋m3・Y3r＋m4・Y4r＋m2・Y2?＋m3・Y3?＋m4・Y4?････････(38)
ZG＝ml・Zlr＋m2・Z2r＋m3・Z3r＋m4・Z4r＋m2・Z2?＋m3・Z3?＋m4・Z4?･･････････(39)
実際の演算は walk-graph 上で行う．計算された体重心は walk-graph ソフトで動的にグラフィック表
示できる．姿勢の変化によって体重心の位置が変わることに注意する．姿勢によっては身のない場所に
体重心があることもある．
21
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3ｔｉｍｅ（ｓ）
CO
Gの
高さ
（ｃ
ｍ）
図 20 体重心の変位
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
time（ｓ）
速度
（m/s
ec）
図 21 体重心の加速度
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3
time(s)
加速
度(m
/sec
2)
図 22 体重心の加速度
８－６運動力学的因子の分析
8-6-1 床反力の推定
（１）合成重心の速度
直立姿勢から，上体は直立を保ったままで膝
を曲げてしゃがみ込む動作を例として，重心の
速度・加速度を考えてみる．この動作中に重心
の高さを時間でプロットすると図 20 のように
なる．このとき重心の下降速度はどうなるであ
ろうか．上向きの速度を正，下向きの速度を負
として作図してみる．まず直立時には速度はゼ
ロ．動作が始まると速度は負の値が大きくなり，
やがて負の値が最大となり，しゃがみ込んで静
止すると再びゼロになる．速度は位置の変化分，
すなわち単位時間あたりの位置の変化である．
（２）体重心の加速度
加速度は速度の変化分である．静止時は速度
はゼロのままで変化はないので，加速度もゼロ
である．動作が開始されると重心速度はゼロか
ら減少して負になる．速度が減少することから
加速度は負になる．やがて速度は最低（負の値
が最大）になる．この瞬問では速度の増減は
ないので加速度はゼロになる．動作の後半で
は最低になった速度がゼロに向かうので，速度
は増加することになる．速度が増加することか
ら加速度は正に転じる．やがて速度がゼロにな
るのに伴って加速度もゼロとなる．このような
速度ゼロから始まって速度ゼロで終わる動作
では．正の加速度が作るグラフの面積は等しく
なることに注目する．
22
床反力波形（体重 ６２ｋｇ）
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
time(s)
床半
力（N
)
床半力
図 24 床反力計で計測した波形（しゃがみ込み動作）
（3）床反力
床反力とは身体と床との接触部分に生じる反力を 1 本のベクトルに合成したものである．動作分析の
分野では右足に生じる反力を 1 本のベクトルで，左足の反力のベクトルを別の 1 本のベクトルで表示し，
さらにこれら両者の合成をもう 1 本のベクトルで表示することが多い．
前記しゃがみ込み動作中の両足合成床反力の上下成分床反力を図 23 に示す．静止時には体重と同じ
値が得られ，動作前半には体重より小さくなり，後半で体重を越し，静止とともに体重レベルに復帰し
ている．
図 23 床反力ベクトル
23
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
time(s)
加速
度(m
/sec
2)
床半力
加速度
図 25 重心加速度と床反力
床反力波形（体重 ６２ｋｇ）
0
100
200
300
400
500
600
700
800
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
time(s)
床半
力（N
)
床半力
重心加速度
図 26床反力波形との近似
（４）力と物体の運動との関係
床面のみと接している身体には床反力
と重力と空気の浮力と空気抵抗のみが作
用している．後の 2 項目は床反力と重力
に比べて非常に小さいので通常は無視で
きる．ニュートンの法則より床反力と重
力の和が身体重心の加速度と等しくなる
のでこれを上下方向成分のみについて記
述すれば
αZ＝（fCZ‐620）／62････････(40)
となる．
(5)床反力の推定と比較
ただし fcz は左右合成床反力の上下成
分，62 は被験者の質量，身体にかかる
重力は 620N（620 ニュートン）とし
た．この関係式から，体重心の加速度
が計算できるとそこから床反力が計算
できる．
また前述 2 項で重心の動きより計算
した加速度と，床反力から計算した加
速度を比較すると図 26 のようになり，
この関係が確認できる．すなわち床反
力は力を計測したとも考えられるし，
体重心の加速度を計測したと読み替え
ることも可能である．
床反力は身体運動中の関節モーメン
トと非常に密接な関係がある．このこ
とについては次節で述べる．
24
８－７ 関節モーメント解析手法
8-7-1 関節モーメント解析の目的
関節モーメント解析の目的の 1 つは，身体障害者の歩行異常のメカニズムを分析することである．
すなわち，身体の障害によりどのような補償動作が余儀なくされ，またその補償動作がどの程度の効果
をあげているかの分析である．これらの分析によって，より効果的な歩行訓練，より適正な補装具，よ
り好ましい手術の方式などが科学的な裏付けのもとで提供できる．歩行異常のメカニズムを分析するた
めには，身体骨格がどのような力学の原理で動いているのかを理解する必要がある．力学の原理自体は
単純だが，骨格系が複雑な連鎖構造のため，その動きの原因は誤解されやすい．したがって，骨格系力
学についての学習が必要である．これが理解できると，補償動作の分析にあたって対象者が行おうとし
ている努力を筋活動の発現という形で把握することが可能となる．次に逆に，その筋活動がどういう形
で歩容なり動作なりを生み出すかの分析をすることになる．したがって，この分析では動作中の筋活動
が推定できるかどうかがポイントである．
筋活動の分析には長い間，筋電位計測が行われてきた．しかし，この手法では筋張力が何ニュートン
発揮されているかといった定量的な計算ができなかった．また，計測に手数がかかり，個々の対象者に
日常的に適用するには煩雑であった．このような壁を打破しようとして開発され，発展してきたのが関
節モーメント計算の手法である．関節モーメントには筋活動がかなりの程度直接的に反映されている．
現時点では関節モーメントを計算することだけが筋活動を定量的に推定する唯一の現実的な方法であ
る．三次元動作解析の普及ならびにパーソナルコンピュータの進歩を背景として，関節モーメントの計
算が簡便に実行できるようになり，臨床応用が可能となりつつある．本節での目的は関節モーメント計
算の具体的な手続きを示し，関節モ―メントの理解を通じて身体骨格系の動きのメカニズムを把握する
ことである．
8-7-2 数学モデルを用いた関節モーメントの計算手法
（１） ニュートンの運動方程式による方法
力学モデルを数学的に表現したものが数学モデルである．ニュートンの運動方程式においては，並進
運動（すなわち重心の運動）における運動量と作用する力との関係より 1 つの方程式が導き出される．
また，回転運動に関しても角運動量と作用する力のモーメントとから，もう 1 つの方程式が導き出され
る[16]．これを図 27 の力学モデルに当てはめてみる．図 27 におけるリンクモデルから 1 つのリンクを
取り出し，そこに作用する力と力のモーメントを表示したものである．個々の要素については詳しく触
れないが，このリンクにおける運動方程式は次のようなものとなる．
25
図 27 リンクモデルとフリーボディダイアグラムの概念図
図 28 フリーボディダイアグラムの一つの節における力とモーメント
26
jjjkjkjkjijijjjkjkjijijjijjk
jkjkjijijjjkjkjijijjjkijjj
jjijjk
jijjk
jjkijjj
jkijjj
IRRXXRXXNYYNYYMM
RXXRXXNYYNYYMMI
gYmRR
XmNN
gmRRYm
NNXm
θ
θ
&&
&&
&&
&&
&&
&&
⋅−−−+−−−−−+=
−+−−−−−+−=⋅
+−=
−=
−−=⋅
−=⋅
)()()()(
)()()()(
)(
これより
式回転運動に関する方程
これを変形すると
成分の力の節へ及ぼされる関節間節から：
成分の力の節へ及ぼされる関節間節から：
座標節の間の関節の節と：
座標節の間の関節の節と：
成分節の重心の加速度の：
成分節の重心の：
１つ上の節：対象としている節の
：対象としている節
１つ下の節：対象としている節の
yxkjRN
yxjiRN
yxkjYX
yxjiYX
yxjYX
yxjYX
k
ji
jkjk
ijij
jkjk
ijij
jj
jj
,),(
,),(
,),(
,),(
,),(
,),(&&&&
の質量：節
られるモーメントに関節軸を介して加えから：節
られるモーメントに関節軸を介して加えから：節
節の回転の角加速度：
モーメント節の重心まわりの慣性：
：重力加速度
jm
kjM
jiM
j
jI
g
j
jjk
ij
j
j
θ&&
),,,( YXYX &&&&
（２）並進運動に関するニュートンの方程式
と定義すると，
･･･････････････････････(41)
である．
この運動方程式においてもっとも下の節は足部なので，足部に対する外力である床反力が計測され，
N と R が求まり，また床反力の作用点回りのモーメントは０であるから，その上の節に加えられる力と
モーメントが求まる．したがって，下から順次上に向かって計算を続ければすべての力 N と R および
モーメント M が決定されることになる．具体的には，各節の剛体的特性(mj,Ij，重心位置割合)および運
動学的データ と最終端の力すなわち床反力（N0i，R0i）とモーメント（M0i=0）を与えれ
ば，上式を用いて関節力と関節モーメントを計算することができる．
27
８－８ ローパスフィルタの設計
8-8-1 フィルタリングの必要性
フィルタの内容を説明する前に，まず，なぜフィルタが必要になるのかを述べると，歩行動作におけ
る有効な周波数成分の帯域は 6～8Hz までと慣例的にいわれている．5Hz 成分を超えると成分の大きさ
が基本波成分の約 1／10 程度の大きさになり，7Hz 成分までに 99％のパワーが含まれているとの報告
がある[18]．
関節モーメントの計算のためには3次元座標計測装置や床反力計によって時系列データを採取しなけ
ればならない．計算にあたっては，計測した時系列データだけではなく，それらの 2 階微分値（加速度
成分）の時系列データまで必要となる．ところが微分処理（離散時間データの微分は基本的には差分処
理で十分に実用的である）は，歩行運動を対象とする場合には不要な高周波ノイズ成分を相対的に強調
してしまうことになる．通常，計測データは A／D 変換によって離散値化して計算機に取り込むが，分
解能という限界があるために最下位桁に四捨五入の際に誤差が混入する．この誤差はサンプリング時刻
ごとにランダムに上下する高周波成分であるため，微分処理によってこの誤差が強調されてしまうこと
になる．すなわち，微分前の生データでは分解能よりも小さい範囲に埋もれているためにグラフでなめ
らかに見えたとしても，微分処理によって高周波ノイズが無視できないレベルに強認されてしまい最終
的に目的とする関節モ―メントのデータに影響を及ほしてしまう．
8-8-2 フィルタ特性
このような高周波ノイズを除去するためのローパスフィルタとしては，移動加算平均がもっとも簡単
な方法といえる．これは，ある時刻の前後何個かずつの生データの平均値を算出し，それをフィルタの
出力とする方法である．急激（つまり高周波の）変動はその前後のデータとの平均をとることでならす
ことができる．他のフィルタとして，いわゆるディジタルフィルタがあげられる．これは移動加算平均
をもう少し工夫した方法だと考えればよい．移動加算平均の場合には，演算で用いる前後何個かの生デ
ータにすべて係数 1 の重み付けをして単純化して平均値を算出した．それに対してディジタルフィルタ
では，演算に用いる何個かの生データに対して適切な重みを配分した係数を用いる．さらにフィルタリ
ング前の時系列データだけでなく，フィルタリング後の平滑化されたデータ列に対しても適切な係数を
設定して，同じ個数だけ演算に用いるフィルタである．この何個前までのデータを用いるかで次数が決
まり，この次数やカットオフ周波数や重み係数の決め方によってさまざまな減衰特性をもたせることが
できる．ローパスフィルタはこのカットオフ周波数より高い周波数の成分のみを減表させ，カットオフ
周波数より低い成分は極力減衰しないように機能する．カットオフ周波数としては，すでに引用した文
献[18]から 6～8Hz が適当である．ところで，ローパスフィルタは積分要素の特徴をもつため，演算結
果には前述のゲインの減衰だけでなく位相の遅れも生じる．位相遅れは直感的には時間遅れ解釈しても
かまわないが，カットオフ周波数周辺で急激な遮断特性を得るために次数を高くすると，比例して時間
遅れも大きくなってしまう．そこで，これをキャンセルする方法が用いられている．いったんフィルタ
リングしたデータ列の時間順序を反転させ，今度は時間をさかのぼる方向で再度同じフィルタリング演
算を行う． 2 度日の演算によって各周波数成分はさらに 1 度目と同じだけ遅れるが，時間軸が反転して
いるために，見かけ上，時間が進んだことになってちょうどキャンセルされることになる．この方法に
より次数が 2 倍になることで，遮断特性がよくなり，さらに位相遅れがなくなる．歩行分析のようにオ
フラインでの演算が許される場合には有効な手段である．
28
3|2|1|3|2|1|
)(pppzzz
eH Tj
・ ・
・ ・ 利得特性： =ω
321321)( pppzzzTjeH θθθθθθω −−−++=∠位相特性：
（実数部）虚数部）
位相特性
（虚数部）（実数部）利得特性
(tan)(
)(
1
22
−=∠
+=
ZH
ZH
8-8-3 再帰型デジタルローパスフィルタの設計
･･････････････････････(42)
････････(43)
利得特性の式から，直ちに以下のことが理解できる．
１） 零点を単位円上に配置すると，その周波数成分の出力は理論的に０になる
２） 極点を単位円に近づけすぎると，フィルタの出力が不安定になって振動しやすくなるので注
意が必要である．
周波数特性の確認をすると，
周波数特性（利得特性と位相特性）は次式で表される．
フィルタ特性を表す伝達関数 H(Z)は次式のとおり，
図 29 Z 平面上の幾何学的な関係から特性を直感的に把握する方法
29
{ }）・・（・・・・・・・・・・･･･・・・・・・・
（・・
・・
・
51)(
21
21)2cos2122()2cos2(1
))(2cos2)(()1)(1(
))()(())()((
))()()(
)()()()(
23
23
2
1
2223
23
22221
2
)22()22()01(
2/02/00
2
321
321
CBZAZZgFEZDZZ
ee
fcTzfcTzZgzzz
efeTzeZeZgZZ
eZeZeZgeZeZeZ
eZZZZZZZg
ZZZZZZzH
TfejTfejTj
jjj
fTj
ppp
zzz
+++++−
=
==
−++−+++
=
+−−++
=
−−−−−−
=
=−−−
−−−=
−++
−++
σ
σ
σσσ
ωσωσσ
ωωω
π
ρρ
ρρπρρρπρ
π
12112cos1212cos21
===+==+=
FCEfcTB
DfcTA
ここで，
ρρπρρ
πρρ
虚数部） （実数部）
有理化
(
)()(
))(())((
)(
2222 bagbcad
jbag
bdacjbajbag
jbajdcjdag
jdcg
+−
++
+=
−+−+
=+
+=
fTEfTDfTbFfTEfTDfTc
fTBfTAfTbCfTBfTAfTa
ππππππ
ππππππ
2sin4sin6sin2cos4cos6cos
2sin4sin6sin2cos4cos6cos
++=+++=
++=+++=
ここで，
これで，周波数特性（横軸パラメータｆ）が描ける．
30
は出力データ列．は入力データ列，ここで， )()()()(
1(1
)( 321
321
ZYZXZXZY
CZBZAZgFZEZDZ
ZH
←≡
++++++
= −−−
−−−
{ })()()()(1
)()()()(
321
321
ZXFZZXEZZXDZZXg
ZYCZZYBZZYAZZY
Z
−−−
−−−
+++=
+++
↓↓↓
ずれを表している．の次数は時間軸上での
{ })3()2()1()(1
)3()2()1()(
−⋅+−⋅+−⋅++
−⋅+−⋅+−⋅=
mxFmxEmxDmxg
myCmyBmyAmy
その時刻の出力 一個前の入力 二個前の入力 三個前の入力
ﾌｨﾙﾀの出力 一個前の出力 二個前の出力 三個前の出力
例として fc=6Hz，ρ1＝0.7，ρ2＝0.8，T＝0.02s（fc=50Hz）の場合
まずまずの利得特性が認められる．では最後に残った問題は，この特性を備えたフィルタの算出式は，
どのようにして導出するのかを以下に示す．
フィルタ出力式の導出
(1)から
････････(44)
以上の結果から，再帰型フィルタの具体的な算出式は次式の漸化式となる
･････････････････････････････････････････････(45)
31
0)()(
)(1
2
=∠+∠ −ZHZH
ZH
位相特性：
利得特性：
↑
位相遅れがなくなる
8-8-4 位相特性の改善
ここまでは特に位相特性に関しては言及してこなかったが，次のように位相遅れをキャンセルする方
法がある．
ある時系列データに対して，時間軸逆向きにフィルタリングすると，フィルタの周波数特性は次式で
表される．
H(Z-1)・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(46)
このこと，フィルタ出力を時間を戻る方向で再度同じフィルタを通すと，その場合の合成された周波数
特性（得特性と位相特性）は次式となり，とても平滑化された利得特性を得ることができ，なおかつ位
相特性は常に０で不変となり位相遅れの無い良好な特性が得られる．
・・・・・・・・・・・・(47)
・・・・・・・・(48)
32
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