Wartezeiten, Anspargrade und Zielbewertungszillem im dynamischen Beharrungszustand

yon Bauspartarifen mit Einmalsparbeitrag Hans Laux (Ludwigsburg)

I. Aufgabens t e l lung

Der Verfasser hat sich in zwei Aufs~tzen, die under dem Titel ,,Der dynamische Be- harrungszustand des kollektiven Bausparens" und ,,Die Wirkung der wartezeit- verkiirzenden Faktoren drifter Art im kollektiven Bausparen" in den Bl~ttem der DGVM Band X, Seite 419--430, 1972 mad Band XI, Seite 31--76, 1973 verSffentlicht worden sind, eingehend mit einem erweiterten bausparmathematischen Ansatz be- faflt, dcr unter anderem eine dauernde Progression des Neugesch~fts als wartezeit- verkiirzenden Faktor erster Art, den erhShten Geldeingang als Faktor zweiter Art und die wartezeitverkiirzenden Faktoren dritter Art wie Kiindigungen und Dar. lehensverzichte in die Betrachtung einbezieht. Jenen Abhandlungen, die als bekannt vorausgesetzt werden, lagen jewefls Ratentarife des kollektiven Bausparens zugrunde. Bauspartarffe mit Einmalsparbeitrag (Grundspareinlage) konnten vernachl~sigt werden, weft sie am Markte v611ig bedeutungslos shad. Gleiehwohl besteht ein Interesse daran zu erfahren, welehe Wartezeiten, Anspargrade und Zielbewertungsziffem f/ir solche Einmalspartarffe im statischen und dynamischen Beharrungszustand, d.h. bei dauernd gleichbleibendem und geometrisch progressivem Neuzugang gelten. Bei allen deutschen Bausparkassen kann der Bausparer jeder- zeit Sondersparzahlungen in beliebiger H6he leisten. Infolgedessen kann ein de jure auf Ratenbasis abgeschlossener Bausparvertrag de facto zum Einmalsparvertrag werden. Besondere Aktualit~t hat die Frage der SehneUfinanzierungen durch das Bausparkassengesetz und die Bausparkassen-Verordnung gewonnen. Danach sind ab 1.1. 1973 diejerdgen Bausparvertr~ge, bei denen innerhalb der ersten 12 Monate ihrer Laufzeit das tarifliche Mindestspar~thaben angespar~ wird, zusammen mit den sogenannten GroBbausparver~r~gen (Bausparsummen yon mehr als 300000 DM) nach Bestand und Zugang kontingentiert, l~here Einzelheiten finden sich im Tefl C des Buches yon ~ r ,,Das kollektive Bausparen. Neuere Untersuchungen und zusammenfassende Darstellung zur Technik und Mathematik des deutsehen Bau- sparens",Verlagsgesellsehaft Recht und Wirtschaft mbH, Heidelberg, 1973, 352 Seiten. Es d/irfte deshalb angebracht sein, in Erg~nzung zu den friiheren Arbeiten kurz die Formeln des dynamisehen Beharrungszustandes fiir Bauspartarife mit Grundspar- einlage anzugeben und auf Grund dessen die mittleren Wartezeiten sowie die bei der Zuteilung erreichten Anspargrade und erforderlichen Zielbewertungsziffem fiir meh- rere Speziaff~lle zu berechnen. Femer sollen einige bauspartechnische Kennzahlen mitgeteflt werden. Die fiir Einmalspartarife gefundenen Ergebnisse werden schlie~lich mit den sehon bekannten Daten f/it Ratentarife verglichen.

II. Fo rme lwerk

Betrachtet wird ein Bauspartarif, bei dem im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses neben der Absehlu~gebiihr, die nicht in das bausparmathematische Formelwerk ein- geht, eine Grundspareinlage E zu leisten ist, beispielsweise yon 50% der Bauspar~ summe. Der Bausparer ist nicht verpflichtet, anschlie~end laufende Sparraten zu entrichten.

227

Unter Verwendung der fiblichen bausparmathematischen Bezeiehnungsweise, Wie sie zuletzt in den Bl~ttern der DGVM Band XI, S. 33, 1973 dargestellt worden ist, ergeben sich bei der viertelj/ihrlichen Zinsverrechnung die Bestands- und Umsatz- grSBen des dynamischen Beharrungszustandes wie folgt: Summe der Bauspareinlagen:

s-1 pS _ r s | (E) = ~ E- r k. pt+s-k ~_~ E . pt+l (1)

k~O p - - r

Summe der Bauspardarlehen wie beim Ratentarif:

~-----q--lP "[ B ' ( p - t - - 1 + \ p - 1 ~ 1 ) P--qpt . (B -- (q --1) - Do)] . (2,

Die mittlere Wartezeit s erffillt die sogenannte Kassengleichung:

SparbeitrAge:

Guthabenzinsen:

(E) = ~ . (3)

(U) ~--- n . pt+s . (4)

S(E) (r 1 ) ' E ' p t " p S _ r s = - ( 5 ) p - - r

Tflgungsrfickflfisse wie beim Ratentarff: pt _ qt

----- (B -- ( q - 1). Do) (6) p - - q Zugeteflte Bauspareinlagen:

~ ( E ) = E . rS. p t . (7)

Zugeteilte Bauspardarlehen wie beim Ratentarff:

~-~ Do. pt . (8)

Die Wartezeit s kann man auch aus der ftir die Umsatzgr6Ben geltenden Gleichung

(E) + 3(E) + ~ = @(E) + ~ (9) herleiten. Der statische Beharrungszustand bfldet den Grenzfall des dynamischen Beharrungs- zustandes mit dem Progressionsfaktor p = 1.13ber den wartezeitverktirzenden Fak- tot erster Art (steigendes Neugesehaft) hinaus kann man bei Einmalspartarffen alien- falls noch die wartezeitverkfirzenden Wirkungen erhbhter Tilgungsleistungen in die Berechnung eblbeziehen. Das geschieh~ durch Variierung der Tilgungszeit t. Hingegen entfallen bei Grundspartarffen weitestgehend wai~ezeitverkfirzende Momente aus er- hbhten Sparleistungen und vor allem aus Kfindigungen, Tr~gheitsreserve, Vertrags- fortsetzungen und Darlehensverzichten. Denn Bausparer, die sofort bei Vertrags- abschluB wenigstens das tarffliche Mindestsparguthaben einlegen (wegen der Begriffe und Bezeichnungsweisen im deutschen Bausparen verweist der Verfasser auf seine Schrfft ,,Die Bausparfinanzierung. Die finanziellen Aspekte des Bausparvertrages als Spar- und Kreditinstrument", 3. v611ig neubearbeitete und stark erweiterte Auflage, 1970, 309 Seiten, Verlagsgesellschaft Reeht und Wirtschaft mbH, Heidelberg), sind an einer frfihestmbglichen Zuteflung und damit Inanspruchnahme der Kollektiv- mittel interessiert. In aller Regel ist die Zuteflungsarmahme dureh eine vorhergehende Zwischenfinanzierung bereits determiniert. Mithin umreiBen die vorstehenden For- meln den dynamisehen Beharrungszustand yon Bauspartarffen mit Grundspareinlage

228

bereits in zutreffender Weise. Das gilt sowohl ffir eigene Tarffe dieser Art als auch ffir die Teilbest/inde yon Schnellfinanzierungen, die in Ratentarffe eingebettet sin&

III . B e r e e h n u n g s e r g e b n i s s e

1. Mittlere Wartezeit

Auf Grund des unter I I mitgeteilten Formelwerkes sind zun/iehst die mittleren Warte- zeiten des statischen und dynamischen Beharrungszustandes berechnet worden. Wie sehon bei den frfiheren Untersuehungen wurden dabei die mal3geblichen Parameter wie folgt ausgew/ihlt :

Guthabenzinssatz 0,75% pro Quartal, d.h. 3% pro Jahr (r -= 1,0075), Darlehenszinssatz 1,25% pro Quartal, d.h. 5% pro Jahr (q = 1,0125), Darlehensgebfihr 2% yore Nettoanfangs-Bauspardarlehen, Progression des Neugeseh/ifts pro Quartal 0% (statischer Beharrungszustand; p = 1), 2%, das sind pro Jahr rd. 81/4% (p = 1,02), 4~ das sind pro Jahr rd. 17% (p ---- 1,04), Tilgungszeit der Bauspardarlehen 28, 36 und 44 Quartale, Einmalige Grundspareinlage yon 40 sowie 45 und 50~ der Bausparsumme.

Tabelle 1. Mittlere Wartezeiten, Anspargrade und Zielbewertungsziffern im dynamischen Be- harrungszustand yon Bauspartarffen mit Grundspareinlage

Grundspar- Progression, des NeugesehKfts pro Quartal, 0% 2% 4% einlage in % I [

tier Bau- Tilgungszeit der Bauspardarlehen in Quartalen sparsumme

28 I 36 I 44 I 28 I 36 I 44 I 28 / 36 I 44

40 45 50

40 45 50

40 45 50

I. Mittlere Wartezeit in Quartalen

19,55 24,14 2 8 , 4 3 14 ,73 17,25 19,40 I 11,75 13,28 14,49 16,13 19,98 23 ,60 12 ,37 14,55 16,42 I 9 ,98 11,32 12,39 13,34 16,56 19,61 10,39 12,26 13,88 8,45 9,63 10,56

II . Anspargrad bei Zuteilung in Prozent der Bausparsumme ( Prozentguthaben)

46,29 47,91 4 9 , 4 7 44 ,65 45,50 46,24 I 43,67 44,17 44,58 50,77 52,25 53 ,68 49,36 50,17 50,87 ] 48,48 48,97 49,37 55,24 56,59 57 ,89 54 ,04 54,80 55,46 53,26 53,73 54,11

I I I . Zielbewertungszi]]er im dynamischen Beharrungszustand

839 1054 1262 620 734 832 ] 490 557 610 769 966 1157 581 689 783 I 464 530 582 699 878 1052 538 640 728 434 497 548

Unter den bezeichneten Voraussetzungen ergeben sich die mittleren Wartezeiten in Quartalen, die unter I der Tabelle 1 aufgeffihrt sind. Wie nicht anders zu erwarten, ist die Wartezeit um so kfirzer,

je hSher die Dynamik des Neugesch~fts, je kiirzer die Tflgungszeit der Bauspardarlehen und je h6her die Grundspareinlage ist.

229

Besonders auff~llig is~ die erhebliehe Abkfirzung der Wartezeit mit ansteigender Neu- zugangs-Zuwaehsrate; sie macht beispielsweise mehr als 1 Jahr (16,56--12,26 = 4,30 Quartale) aus, wenn bei 50 %iger Grundspareinlage und 36 Quartalen Tilgungszeit start eines gleiehbleibenden ein um rd. 81/4% pro Jahr zunehmendes Neugesehiift vorliegt. Allgemein gilt, Tarife mit Grundspareinlage reagieren heftiger auf Veriinderungen des 5leuzugangs als Regelspartarffe, bei denen der weiterttiel]ende Spargeldeingang friihe- rer Zugangsgenerationen d~mpfend wirkt. Das hat vor allem Bedeutung, werm die Zuwachsraten im Bauspargesehiift einmal sehrumpfen sollten. Alsdann w~ire bei Tarffen mit Einmalspareinlage unter sonst gleiehen Voraussetzungen mit einem st~r- keren Wartezeitanstieg zu reehnen als bei Ratenspartarffen. In der Abbildung I sind die mittleren Wartezeiten bei Bauspartarffen mit 40-, 45- und 50%iger Grundspareinlage in Abh~ngigkeit yon der Progression des Neuzugangs grafisch dargestellt. Die Tilgungszeit der Bauspardarlehen betriigt jeweils 36 Quartale. Die sehon beschriebenen Zusammenhiinge, insbesondere die starke Abhiingigkeit der Wartezeiten yon der Dynamlk des 5Ieugeseh~fts k6nnen daraus direkt abgelesen werden.

22

26

18

16

14

12

10

Grundspareinlage

- -< ;:

Warfezelf in Quarfo/en

24

8 Progression des Neugesch~ffs

< pro Quartal I I I . I

o i 2 3

Abb. 1. Mit~lere War~zeit im dynamisohen Beharrungszus/mnd des kollektiven Bausparens bei Tarifen mit Grundspareinlage (Tilgungszeit t = 36 Quartale)

230

2. Anspargrad bei Zutdlung Unter II der Tabelle 1 sind ferner die bei Zuteilung erreiehten Prozentguthaben an- gegeben. ~hnlieh wie bei der Wartezeit ist der Anspargrad um so niedriger,

je hSher der Progressionsfaktor und je kiirzer die Tflgungszeit ist.

Das Prozentguthaben kann sieh nieht so stark ver~ndern, weft es nut dutch die Zinsen auf das Bausparguthaben anw/~ehst. Betraehtet man speziell den Bauspartarff mit 40% iger Grundspareinlage, so bleiben die bei Zuteilung erreiehten Anspargrade zwar unter 50% der Bausparsumme, das mug aber durch erheblich 1/ingere Wartezeiten als bei den Einmalspartarffen mit hSherer Anfangsleistung erkauft werden. Gerade bei raseh ansparenden Bausparem diirften abet 1/ingere Wartezeiten meist oberhalb ihrer Erwartungen liegen.

3. ZielbewertungsziHer In der Bewertungsziffer wird das Sparverdienst des Bausparers naeh einem Zeit-mal- Geld-System gemessen. Die Bewertungsziffer driiekt sowohl das zeitliche als aueh das geldliehe Element der Entwieklung des Bausparvertrages in der Ansparphase aus. Naeh der Zielbewertungsziffer richter sieh die Auswahl der tatsiiehlieh zugeteflten Bausparer aus den Zuteilungsanws Eine derartige Bewertungsziffer ist unter III der Tabelle 1 mitgeteflt.(Formel: Summe der Prozentguthaben an den durehlaufenen Quartalsenden.) Die so definierten Ziel- bewertungsziffern reiehen yon einem Minimum 434 im Falle einer Quartalsprogression des Neugeseh~fts von 4%, einer Tflgungszeit yon 28 Quartalen und einer 50~ Grundspareinlage bis zu dem Maximum 1262 im statischen Beharrungszustand bei einer Tflgungszeit yon 44 Quartalen und einer nur 40%igen Grundspareinlage. Die Spanne ist deshalb so hoeh, weft sieh die gleiehsinnigen Auswirkungen auf der Zeit- und Geldseite bei der Zielbewertungsziffer gegenseitig verst~rken.

IV. K e n n z a h l e n

1. Sparintensit~it Aus der Tabelle 2 gehen die j~hrlichen Sparintensit~ten hervor, die sieh bei Bauspar- tarffen mit Grundspareinlagen ergeben. Bemerkenswert ist, wie stark die Sparintensi- t~t mit steigendem Progressionsfaktor zunimmt. Bei sehr hoher Zuwaehsrate des Neugeseh~fts erlangen die Grundspareinlagen der zuletzt, d.h. auf hSehstem Niveau zugehenden Generationen ein groBes Gewieht. Anders gewendet, kehrt sieh die dynamisehe in eine statisehe Entwicklung urn, so geritt die Jahressparintensit~t selbst bei 50% iger Grundspareinlage in GrSBenordnungen, die im Bauspargeseh~ft tats~eh- lich zu beobachten sind. Dies liegt in der ansteigenden Wartezeit begriindet. Naeh der Definition der Sparintensit~t sind die Grundspareinlagen einer Jahreszugangsgenera- tion dureh den mittleren Bestand der nicht zugeteflten Vertr~ge zu dividieren, der sich im statisehen Beharrungszustand proportional zur verl~ngerten Wartezeit ver- grSBert.

2. Tilgungsintenslt~t und Tilgungsanteil im Tilgungsbeitrag Da bei den Berechnungen die Tflgungszeiten der Bauspardarlehen, d.h. die Tflgungs- beitr~tge in Relation zu den anf~nglichen Bruttobauspardarlehen (und nieht zur Bau- sparsumme) vorgegeben worden sind, h~ngt die Tflgungsseite des BausparkoUektivs reehneriseh nieht yon den Wartezeiten und von den Grundspareinlagen ab. Das kommt in der Tabelle 3 zum Ausdruek, in der einerseits die Tilgungsintensitiiten,

231

Tabelle 2. Ji~hrliche Sparintensitiiten im dynamischen Beharrungszustand bei Bauspartarifen mlt Grundspareinlage

Grundspar- Progression des Neugesch~ifts pro Quartal einlage in ~ 0% [ 2% 4% der Bau- Tilgungszeit der Bauspardarlehen in ( uartalen sparsumme

281 36 I 44 [ 28 I 36 1 44 2 8 1 3 6 1 4 4

40 45 50

I 8,19 6,63 5,63 [ 12,52 10,95 9,93

11,16 9,01 7,63 [ 16,40 14,24 12,84 14,99 12,07 10,20 21,30 18,37 16,48

16,99 15,45 14,47 21,80 19,68 18,33 27,79 24,93 23,11

Tabelle 3. TilgungsintensitKten und Tilgungsanteile in den TilgungsbeitrKgen im dynamischen Beharrungszustand des kollektiven Bausparens

Progression des Neugesch~fts pro Quartal 0% [ 2% I 4%

Tilgungszeit der Bauspardarlehen in Quartalen 28 I 36 I 44 [ 28 i 36 ] 44 I 28 I 36 I 44

I. Tilgungsintensitdt 26,13 20,17 16,33 [ 23,51 17,59 13,80 [ 21,37 15,61 11,97

II. Verhgltnia Tilgungsbetrdge zu Tilgungsbeitrdge 83,94 80,13 76,56 I 82,60 78,04 73,60 I 81,34 76,11 70,94

das shad die j~ihrlichen Tilgungsrfickflfisse bezogen auf den mittleren Bestand an Bauspardarlehen, und andererseits die Tilgungsantefle in den Tilgungsbeitr~igen mit- geteJlt werden. Die Zahlenwer~e gelten auch fiir Ratentarlfe, soweit fiir diese die Vor- aussetzungen nach Zugangsprogression und Tilgungszeit ebenfalls zutreffen.

3. Durchschnittlicher Anspargrad und VerMiltnis der nicht zugeteilten Vertriige zum Gesamtbestand

Es liegt auf der Hand, dab bei reinen Einmalspartarffen der durchschnittliche Anspar- grad der nicht zugeteflten Vertrage ziemlich hoch liegen muB. Das ist aus den Werten mater I der Tabelle 4 zu entnehmen. Wie sich die Bausparsummen der nicht zugeteilten Vertr~ge zu der gesamten Bau- sparsumme aller Vertr~ge des Kollektivs verhalten, ist unter II der Tabelle 4 er- rechnet. Die bekannte Faustregel, dab etwa zwei Drittel eines Bausparbestandes noch nicht zugeteflt, ein Drittel zugeteflt ist, scheint sich fast umzukehren. So betriigt der Bausparsummenanteil der nicht zugeteilten Vertr~ige beim Bauspartarff mit 50 %iger Einmalspareinlage zwischen 31,51% (p ----- 1) und 37,76% (p ---- 1,04) ffir t = 36. Im Falle niedrigerer Grundspareinlage verschiebt sich zwar das Verhaltnis zugunsten der nicht zugeteflten Vertr/ige, doch wird ein h~fftiger Antefl nirgends erreicht. Das Uber- gewicht der nicht zugeteflten Bausparsummen stellt sich erst heraus, wenn man die wartezeitverkfirzenden Momente dritter Art mit ins Kalkfil zieht. Allgemein ist der Anteil der nicht zugeteflten Vertrage um so hSher, je starker die Dynamik des Neugesch~fts und je niedriger die Grundspareinlage ist.

232

Tabelle 4. Durchschnittlicher Anspargrad und Bausparsummenanteil der nicht zugeteilten Ver- triage bei Bauspartarffen mit Grundspareinlage

Grundspar- Progression des Neugeschtifts pro Quartal einlage in % 0% I 2% I 4% der Bau- Tilgungszeit der Bauspardarlehen in Quartalen sparsumme 2 8 ] 3 6 1 4 4 1 2 8 [ 3 6 1 4 4 1 2 8 1 3 6 ] 4 4

40 45 50

40 45 50

I . Durchschnittlic~her Anspargard der nicht zugeteilten VertrSge

42,91 43,67 44,40 42,02 42,38 42,69 [ 41,52 41,72 41,88 47,65 48,35 49,03 46,89 47,24 47,54 ] 46,43 46,64 46,80 52,38 53,03 53,65 51,73 52,07 52,37 51,34 51,54 51,70

I I . Verbal'finis der nlcht zugeteilten Bausparsumme zu Gesamtbestand

41,11 40,14 39,25 44,31 44,41 44,61 [ 46,78 47,49 48,23 36,56 35,69 34,91 39,48 39,59 39,79 [ 41,82 42,51 43,23 32,27 31,51 30,83 34,92 35,03 35,23 37,10 37,76 38,46

Tabelle 5. Relativer Anteil der Zuflfisse zu und der Entnahmen aus der Zuteilungsmasse im dynamischen Beharrungszustand yon Bauspartarffen mit Grundspareinlage

Grundspar- Progression des Neugeschiffts pro Quartal einlage in ~ 0% [ 20/0 I 40/0 der Bau- Tilgungszeit der Bauspardarlehen in Quartalen sparsumme 28 i 36 i 44 i 28 ] 36 i 44 i 28 i 36 i 44

40 45 50

40 45 50

40 45 50

40 45 50

40 45 50

I . Zufl~sse zur Zuteilungsmasse

1. Sparbeitr~ge (Grundspareinlagen) 39,57 39,59 39,60 44,56 44,57 44,59 49,56 49,57 49,58 2. Tilgungsbetri~ge 54,20 52,59 51,03 49,73 48,25 46,81 45,25 43,90 42,59 3. Guthabenzinsen 6,23 7,82 9,37 [ 5,28 6,40 7,42 5,71 7,18 8,60 I 4,83 5,86 6,78 5,19 6,53 7,83 4,39 5,32 6,15

I I . Entnahm~n aus der Zuteitung~nasae

I. Guthabenauszahlungen

52,96 55,68 58,11 I 62,72 66,62 69,86 56,92 59,44 61,69 ] 65,88 69,46 72,44 60,86 63,17 65,24 69,01 72,28 74,99

41,76 37,92 34,47 ] 32,77 28,09 24,20 38,25 34,70 31,53 I 30,00 25,70 22,13 34,75 31,51 28,61 27,24 23,33 20,07

4,51 5,29 5,94 4,12 4,84 5,43 3,75 4,39 4,94

45,80 47,41 48,97[ 44,16 45,01 45,75 ] 43,19 43,69 44,09 50,27 51,75 53,19 I 48,86 49,67 50,38 [ 47,99 48,48 48,87 54,75 56,10 57,41 53,54 54,31 54,97 52,77 53,24 53,61 2. Darlehensauszahlungen 54,20 52,59 51,03 55,84 54,99 54,25 ] 56,81 56,31 55,91 49,73 48,25 46,81 51,14 50,33 49,62 [ 52,01 51,52 51,13 45,25 43,90 42,59 46,46 45,69 45,03 47,23 46,76 46,39

233

4. Bewegung der Zuteilungsmasse In der Tabelle 5 sind sehliel31ieh die relativen Antefle der Zu- und Abg/tnge im Zu- teflungsstoek zusammengestellt. Die Zuflfisse zur Zuteflungsmasse bestehen aus den Sparbeitr/~gen (Grundspareinlagen), den Tilgungsbetr/~gen und den Guthabenzinsen. Entnommen werden aus der Zuteflungsmasse die zugeteilten Bausparguthaben und -darlehen. Bei den Zuflfissen zum Zuteilungsstoek ist yon besonderem Interesse, wie seer die Tflgungsbetr/ige an Gewieht zunehmen, wenn sieh die Dynamik des Bauspar- neugesch/ifts abschw~cht.

V. V e r g l e i c h s b e t r a e h t u n g e n

Die nunmehr for Bauspartarffe mit Grundspareinlage hergeleiteten Resultate sollen absclrlieBend mit den friiher ermittelten Daten for Ratenspartarffe vergliehen werden. Aus verschiedenen Griinden ist das allerdings nieht unproblematisch. Die reinen Wartezeiten einander gegenfiberzustellen, hat wenig Sinn. Der Soforteinleger erbringt n/imlich eine wesentlich hShere Geldleistung als der Ratensparer. Andererseits bleibt der bei Zuteflung erreiehte Anspargrad in Grenzen, weft voraussetzungsgem/i~ ffir den Grundspartarff die Weiterentrichtung yon Sparraten nieht angenommen wird. Daher seheidet der Vergleieh der Wartezeiten und der Prozentguthaben aus. Zul/issig ist es indessen, die Zielbewertungsziffern zu vergleichen. In ihr spiegeln sieh naeh Zeit und Geld die untersehiedliehen Sparleistungen der beiden Gruppen wider. Wenn in ein und demselben Kollektiv untersehiedliche Teflbest/~nde mit abweichen- den Sparintensit/iten existieren, bleibt sogar kein anderer Weg, als deren Zuteflung gleiehsam fiber das Gelenk der Bewertungsziffer miteinander zu verbinden, so wie dies aueh in der Praxis der Fall ist. Dariiber hinaus kann man noeh versehiedene bausparteehnisehe Kennzahlen zuein- ander in Beziehung setzen, z.B. diejenigen for die Bewegung der Zuteilungsmasse. Aus Platzgriinden wird jedoeh hierauf verziehtet, ebenso wie auf eine Wiederholung der in der letzten Arbeit angegebenen Zielbewertungsziffern des dynamisehen t~e- harrungszustands yon Ratentarffen. Uberdies unterbleibt die Beriieksiehtigung wartezeitverkorzender Faktoren dritter Art. Genfigen soll vielmehr die grafrsehe Wiedergabe des Verlaufs der Zielbewertmagsziffern in Abh/ingigkeit yon der Progression des Neugeseh/ifts. Die Darstellung findet sieh in der Abbfldung 2, in der die Zielbewertungsziffern for die Bauspartarffe mit 40-, 45- und 50~iger Grundspareinlage einerseits uud for Ratentarffe mit viertelj/ihrliehen Sparbeitr/~gen yon 1,25, 1,5, 1,75 und 2% der Bausparsumme andererseits aufge- zeiehnet sind. Aus der Figur ist zun/iehst zu ersehen, dab die Zielbewertungsziffern bei den Grundspartarffen mit steigenden Neuzugangs-Zuwachsraten starker abneh- men als bei Ratentarffen. Daraufist for die Wartezeiten sehon unter III 1 hingewiesen worden. FOr diejenigen Parameter, bei denen sich for Grund- und Ratenspartarffe fiberein- stimmende Zielbewertungsziffern ergeben (Sehnittpunkte der durehgezogenen und der gestrichelten Linien in der Abbildung 2) mfissen die Bausparer der beiden Gruppen gleichhohe Sparverdienste aufbringen. Man kSnnte mithin unter den jewefls geltenden Pr/~missen die beiden Teilbest~nde in einem Kollektiv zusammenfassen, ohne dal3 der eine Teilbestand yore anderen profitiert oder ihn sch/idigt. Sofern ein Teilbestand aus sieh heraus hShere Zielbewertungsziffern erfordert als ein anderer, wiirde sich bei der Mischung eine dazwisehen liegende Bewertungsziffer herausstellen mit der Folge, dab dem zuerst genannten Teflbestand in einem gewissen MaBe das niedrigere Niveau des zweiten Teilbestandes zugute k~me.

234

Zie/bewer- fungsziffer

llOC

I00s

- - 125% ,o,

--,.75Y., N.'\ \

700 -re Ouorfo/ "N .N"~\ ~ x ~ Bausporforif ~beim Rg/en- - " ~ N'~. .N~ mif Grundspar-

�9 ~ ~ ",c, ~ eimoge yon

6OO

- -

500 ~ 50%--

400 Progression de.~ Neugesch5 ft's

< pro Ouorfol I I I ) I 0 1 2 3 # ~o

Abb. 2. Zielbewertungsziffern im dynamischen Beharrungszus~nd des Bausparens bei Tarifen mit Ratensparbeitrag und Grundspareinlage (Tflgungszeit t = 36 Quartale)

Eine vollst~ndige Gleiehwertigkeit der aufzubringenden Sparverdienste grit beispiels- weise im Falle p -~ 1,04 fiir den Tarff mit 50% iger Grundspareinlage und den Raten- tarff mit dem 2 ~ Quartalssparbeitrag. In beiden F~llen lautet die Zielbewer~ungs- zitfer 497. Im statischen Beharrungszustand ist die ~quivalenz des genannten Grund- spartarifs hingegen mit dem Ratentarff bei einem vierteljghrlichen Sparbeitrag yon etwa 1,5% der Bausparsumme gegeben. Freilieh, solche und gegebenenfalls noeh weitere Vergleichsbetrachtungen erweisen besonders deutlich den Modellcharakter der zugrundeliegenden Bereehnungsannah- men. Sind sehon fiir einen homogenen Bausparbestand die Voraussetzungen des dynamisehen Beharrungszustandes mit der Konstanz aller maBgebliehen Daten in der Praxis nur annghernd erfiillt, so grit dies erst reeht bei gemisehten Bestgnden. Auf den ersten Blick kSnnte man aus den gefundenen Ergebnissen sehliegen, dab man in die Ratentarife beliebig hohe Vertragsabsehliisse mit Einmalspareinlagen, d.h. Sehnellfinanzierungen hineinnehmen kSnnte, insbesondere wenn man bedenkt, dab sieh in der Praxis nach Ellmiuierung der Schnellfinanzierungen bzw. Sonderspar- zahlungen durehaus vergleiehbar niedrige Sp&rintensit~ten fiir die reinen Ratensparer ergeben, wie sie gem~g Abbfldung 2 eine/~quivalenz mit dem Einmalspartarif ge- wghrleisten. Vor einem solehen Fehlschlug kann nut gewarnt werden; er lgBt un- beachtet, dab die bauspartechnisehe Qualit~t der Sehnellfinanzierungen, wie sehon

235

unter IX gesehildert, wesentlich ungfinstiger ist als die der Regelsparer. Dominieren die Schnellsparvertr/~ge, so werden sic auch ffir das Wartezeit- und Zielbewertungs- zifferniveau bestimmend. Alsdann wfirden sich Werte herausstellen, die kaum unter denen von I und I I I der Tabelle 1 liegen. Je naeh Progressionsfaktor und Tflgungszeit sind die Wartezeiten, mit denen danach zu rechnen w~re, jedoch sehon bei der 50%igen Grundspareinlage, verglichen mit den derzeit geltenden Wartezeiten yon rd. 2 Jahren oder wenig mehr, wenig attraktiv. Erst recht grit das flit nur 45- oder 40~/oige Sofortauffiillungen des Bausparvertrages. Daraus lgBt sich die weitere Erkenntnis ableiten, dab diejenigen Bausparkassen gut beraten sind, die den Schnell- finanzierern -- beispielsweise als Voraussetzung ffir einen zu gew~hrenden oder zu ver- mittelnden Zwisehenkredit -- eine fiber das 40%ige Mindestsparguthaben hinaus- gehende Ansparung yon wenigstens 50% der Bausparsumme abverlangen.

Der Aufsatz befallt sich mit den Wartezeiten, Anspargraden, Zielbewertungsziffern und weiteren banspartechnischen Kennzahlen, die fiir den statischen und dynamischen Beharrungszustand yon Banspartarifen mit Einmalsparbeitrag gelten. Die Arbeit erg~nzt insofern frflhere Abhandlungen des Verfassers, die an dieser Stelle zur Mathematik des kollektiven Bausparens erschienen sind (BlOtter der DGVM, Band X, S. 419 bis 430, 1972 und Band XI, S. 31 bis 76, 1973). Damals wurden nut die in der Praxis vorherrschenden Ratenspartarife untersucht. Die nunmehr vor- liegenden Ergebnisse ermSgliehen einen Einblick in die bauspartechnische Struktur yon Bauspar- tarifen mit Grundspareinlage oder yon derartigen Teilbestiinden des Kollektivs, sie erlauben darfiber hinaus den Vergleich mit Bauspartarifen auf Ratenbasis.

Summary The article discusses various indices applying to the static and dynamic states of equilibrium of savings and loans plans for housing purposes with special initial contributions. It thus com- plements earlier publications by the author on the mathematics of such plans published in this journal (Bl/~tter der DGVM, Volume X, pp. 419 to 430, 1972 and Volume XI, pp. 31 to 76, 1973). Then only the plans with regular contributions, most frequent in practice, were investi. gated. The new results provide an insight into the structure of savings and loans plans with special initial contributions, or of parts of them in force of that type; beyond that they permit a comparisonwith plans with regular contributions.

236