TEILPRÜFUNG ZUR BERUFSREIFEPRÜFUNG

Themenstellung für die schriftliche Berufsreifeprüfung

aus dem Fach Mathematik und angewandte Mathematik

Termin: Sommer 2015

PrüferInnen: Mag. Wolfgang BODISCH Mag. Wolfgang GALSTERER Dr. Irene HUMER Dr. Maja LOPERT MMag. Stephan STRASSER

Punkteverteilung/Gewichtung:

Beispiel 1: 13 PunkteBeispiel 2: 11 PunkteBeispiel 3: 12 PunkteBeispiel 4: 12 PunkteBeispiel 5: 12 Punkte

Gesamt: 60 Punkte

Notenschlüssel:

56-60 Punkte Sehr gut48-55 Punkte Gut38-47 Punkte Befriedigend30-37 Punkte Genügend 0-29 Punkte Nicht genügend

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1. WIRTSCHAFTSMATHEMATIK

Die erste Ableitung einer Kostenfunktion heißt Grenzkostenfunktion.Die Grenzkosten, die bei einer bestimmten Produktion entstehen, können durch einequadratische Funktion modelliert werden, deren Graph hier dargestellt ist:

a) Verwenden Sie Informationen aus diesem Graphen, um die quadratische Grenzkostenfunktion zu erstellen und geben Sie diese an. (3 P)

b) Dokumentieren Sie, wie Sie jene Produktionsmenge berechnen können, bei der die Grenzkosten minimal sind und bestimmen Sie diese minimalen Grenzkosten. (2 P)

c) Angenommen die Fixkosten betragen 2000 Geldeinheiten.

Berechnen Sie für diesen Fall die Kostenfunktion . (2 P) Stellen Sie den entsprechenden Graphen im Intervall in einem

geeigneten Koordinatensystem dar. (Falls Sie für die Kostenfunktion kein brauchbares Ergebnis erzielen,

verwenden Sie als Kostenfunktion ) (2 P) Berechnen Sie die Kostenkehre und geben Sie an, in welchem Bereich

der Kostenverlauf progressiv und in welchem degressiv ist. (2 P)

d) Angenommen, pro Mengeneinheit kann ein Preis von 30 Geldeinheiten erzielt werden.

Berechnen Sie jene Absatzmenge, bei der der Gewinn (= Erlös minus Kosten)

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maximal ist und bestimmen Sie wie groß er dann konkret ist. (2 P)

2. KURVENENUNTERSUCHUNG

Die Flugbahn eines Golfballs kann näherungsweise durch eine Funktion 3. Grades

beschrieben werden. x … Horizontale Distanz zum Koordinatenursprung in m y … Höhe des Golfballs in m

a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wobei folgende Daten gegeben sind:Der Abschlagpunkt liegt im Koordinatenursprung. Dieser ist auch gleichzeitig ein Wendepunkt. Der höchste Punkt der Bahn liegt 80 m vom Abschlag entfernt in einer Höhe von 25 m. Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten der Funktion f auf und bestimmen Sie diese. (4 P)

b) Bei einem anderen Schlag ergibt sich folgende Funktion:

Berechnen Sie, in welcher Entfernung der Ball auf den Boden auftrifft. (1 P) Bestimmen Sie auch unter welchem Winkel dies erfolgt. (2 P)

c) Die Bewegungsenergie des Balls ist durch folgende Formel bestimmt.

E … Energie in Joule (J) m … Masse in kg v … Geschwindigkeit in m/s

Formen Sie diese Formel nach der Größe v um. (1 P) Berechnen Sie, welche Geschwindigkeit ein 45 g schwerer Ball erreicht,

wenn er mit einer Energie von 100 J abgeschlagen wird. (1 P) Argumentieren Sie, um welchen Faktor sich die Energie erhöht, wenn die

Geschwindigkeit verdoppelt wird. (2 P)

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3. STOCHASTIK

Eine Forscherin macht Experimente mit Ratten. Sie lässt 20 Ratten durch ein Labyrinthlaufen und stoppt folgende Zeiten (in Sekunden):

346, 322, 280, 302, 383, 420, 205, 250, 375, 445, 310, 256, 340, 470, 317, 220, 427, 264, 405, 355

a) Bestimmen Sie den Median, die Quartilen sowie die Spannweite. (2 P)

b) Teilen Sie die Zeiten in Klassen ein (0 - 1 Minuten, 1 - 2 Minuten, ……).Wenn ein Wert auf einer Klassengrenze liegt, soll er zur unteren Klasse gerechnet werden. Ermitteln Sie für jede Klasse die absolute und relative Häufigkeit. (2

P) Zeichnen Sie das entsprechende Histogramm. (1 P)

c) Die Forscherin will untersuchen, ob Ratten bestimmte Farben bevorzugenund baut dafür ein Labyrinth mit einem blauen und einem roten Gang. Berechnen Sie wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich von 10 Ratten

mindestens 7 für den blauen Gang entscheiden, wenn sie beide Gänge mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählensowie (1 P)

wenn sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% den blauen Gang bevorzugen. (1P)

Die Forscher haben in Erfahrung gebracht, dass die Masse der Versuchsratten normalverteilt ist mit einem Erwartungswert von μ = 320 g und einer Standardabweichung von σ = 26 g.

d) Bestimmen Sie, ab welcher Masse die Ratten zu den 5 % schwersten zählen. (3 P)

e) Die schnellste Ratte wiegt 300 g.Berechnen Sie, wie viel Prozent aller Ratten eine Masse besitzen, die um nicht mehr als 20 g von der Masse der schnellsten Ratte abweichen. (2 P)

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4. TRIGONOMETRIE, ZAHLEN UND MASSE

a) Von einem Beobachter auf der Erdoberfläche wird die Sonne unter einem bestimmten

Sehwinkel (vgl. Skizze) gesehen.

Geben Sie eine explizite Formel für den Sehwinkel unter Verwendungdes Sonnenradius r und des Abstandes d des Beobachtungspunktes E vom Sonnenmittelpunkt M an. (2 P)

Berechnen Sie den Sonnenradius, wenn der Sehwinkel 0,5º beträgt und die Distanz EM 150 000 000 km beträgt. (2 P)

b) Licht breitet sich mit einer Geschwindigkeit von ca. 300.000 km/s aus.

Berechnen Sie die Entfernung zwischen Erde und Sonne, wenn das Licht für diese Entfernung ca. 8,3 Minuten braucht (2 P)

Wie viele Stunden braucht das Licht vom Kleinplaneten Pluto, der im Mittel 5,869 Milliarden km von der Erde entfernt ist, zu uns. (2 P)

c) Betrachten Sie das folgende Dreieck und kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.

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(4 P)

5. EXPONENTIELLE ABNAHME

Die Anzahl von Neuronen in der Großhirnrinde kann durch folgende Funktionsgleichung berechnet werden:

N(t) … Anzahl der Neuronen in Milliarden (Mrd.) in Abhängigkeit vom Lebensalter (t) t … Lebensalter in Jahren (a)

„Innerhalb von 50 Jahren nimmt die Anzahl der Neuronen in der Großhirnrinde um 10 % ab.“

a) Überprüfen Sie mit Hilfe des gegebenen Modells, ob diese Behauptung für die ersten 50 Jahre zutrifft. (3 P)

b) Bestimmen Sie, in welchem Alter die Neuronenzahl auf 85 % vom Anfangswert abgesunken ist. (2 P)

c) Erstellen Sie ein exponentielles Modell (=Funktion) für die Abnahme der Neuronen wenn folgende Daten gegeben sind: Im Lebensalter von 10 Jahren existieren 20,8 Mrd. Neuronen, im Alter von 90 Jahren18,5 Mrd. Neuronen. Die unabhängige Variable ist dabei t (Lebensalter in Jahren), die abhängige Variable ist N (Anzahl der Neuronen in Mrd.). (5 P)

d) Dokumentieren Sie, wie Sie mit den Daten N(25)=20 und N(100)=17 ein lineares Modell erstellen würden (ohne Berechnung!). (2 P)

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LÖSUNGEN:1 a)

b) Die Minimalen Grenzkosten berechnet man durch Nullsetzung der 1. Ableitung von K‘(x), also K‘‘(x)=0.

Die Grenzkosten sind bei der Produktion von 100 ME minimal und betragen dort K‘(100)=10 GE/ME

c)

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Kostenkehre

Links vom Wendepunkt, also im Intervall [0,100] steigen die Kosten degressiv, rechts davon im Intervall [100,[ progressiv.

d)

Für die Produktion von 215 ME ist der Gewinn maximal.

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Seite 10

2 a)

b)

c)

Die Energie vervierfacht sich bei Verdoppelung der Geschwindigkeit

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3 a)

b)

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Kategorie 10

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

181 - 240 241 - 300 301 - 360 361 - 420 421 - 480

Klasse hi fi

0 – 60 0 0

61 – 120 0 0

121 – 180 0 0

181 – 204 2 0,1

241 – 300 4 0,2

301 – 360 6 0,3

361 – 420 5 0,25

421 – 480 3 0,15

c)

d)

Normalverteilung

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e)

4 a)

b)

Seite 14

c)

W, F, F, W

5 a)

Die Aussage ist falsch. Die Abnahme der Neuronen in 50 Jahren beträgt nur 7,2 %.

b)

Im Alter von 108 a ist die Neuronenzahl auf 85 % abgesunken.

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c)

d)

a und b

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