Weiterführende Untersuchungen zum dynamischen Beharrungszustand des Bausparens

Weiterfiihrende Untersuchungen zum dynamischen Beharrungszustand des Bausparens

Hans Laux (Ludwigsburg)

I. E i n l e i t u n g

Die letzte in den ,,Bl~ittern" zur Bausparmathematik erschienene Arbeit lautete ,,Der statische Beharrungszustand des bausparmathematischen Gesamtmodells"; sie widmete sich ausschlieBlich dem station~iren Zustand, der sich im Bausparen bei dauerhaft konstanten Neuzug~ingen herausbildet [1]. So bedeutend der statische Beharrungszustand auch far Theorie und Praxis des gemeinschaftlichen Bausparens gegenw~irtig ist, so tritt der dynamische Beharrungszustand, dem steigende Neuzug~inge mit gleichbleibender geometrischer Progression zugrunde liegen, dennoch nicht vollst~indig in den Hintergrund. So fragt sich zum Beispiel, wie stark denn die Progressionseffekte sind, auch wenn diese an die Bauspa- rer in Gestalt erm~if~igter Zielbewertungszahlen [2] nicht weitergegeben werden dtirfen. Fer- ner interessieren die Einzel- und die Gesamtwirkungen der verschiedenen wartezeitbestimmenden Faktoren unter dynamischen Voraussetzungen. Deshalb sollen im folgenden die komplettierten und weitgehend mit neuer Bezeichnungs- weise versehenen Formeln der Bausparmathematik des dynamischen Beharrungszustands, die bisher nur unvollst~indig ver6ffentlicht worden sin& und die Ergebnisse neuerer Be- rechnungen hierzu wiedergegeben werden. Die Aktualisierung bietet sich auch insofern an, als die frtiheren Untersuchungen teilweise drei Jahrzehnte zurtickliegen, sich demnach auf die damaligen bauspartechnischen Verh~iltnisse beziehen und zum Teil in vergriffenen Schriften publiziert sind. Die Abhandlung wendet sich nach Wiederholung der hier als bekannt vorausgesetzten For- meln ftir den statischen Beharrungszustand zun~ichst dem dynamischen Beharrungszustand des reinen Kollektivs ohne wartezeitbestimmende Faktoren dritter Art zu und er6rtert da- nach die Wirkungen dieser Faktoren im einzelnen, Erg~inzend zu den schon l~inger vorliegenden Kalkulationen werden generell nicht nur in den Bauspartarifen vorgegebene Til- gungszeiten t, sondern auch die praxisn~iheren F~ille von primi~r festgelegten Tilgungs- beitr~igen B betrachtet. Auf3erdem enthalten die Tabellen jetzt zahlreiche Zwischenwerte, die es dem Leser erleichtern sollen, die einschl~igigen Kennzahlen nachzurechnen oder selbst solche unter abweichenden Pr~imissen herzuleiten. )~hnlich dem Untersuchungsgang in bisherigen Ver6ffenflichungen zur Bausparmathematik widmet sich die Arbeit ab- schliel3end den aus Raten- und Schnellsparern zusammengesetzten Bausparkollektiven und wieder dem bausparmathematischen Gesamtmodell. Die verwendeten Symbole sind im An- hang aufgelistet.

II . Der s t a t i s c h e B e h a r r u n g s z u s t a n d

Unter der in der Bausparmathematik tiblichen Annahme

• einer viertelj~ihrlichen Zinskapitalisierung (mit den Zinsfaktoren r = 1 + i und q = 1 + j) ftir Bausparguthaben und Bauspardarlehen und

• viertelj~ihrlich nachschtissig gezahlter Sparbeitr~ige A und Tilgungsbeitr~ige B

ergibt sich

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Tabelle 1. Ausgew~ihlte bauspartechnische Kennzahlen fur den statischen Beharrungszustand unter- schiedlicher Bausparbestande

Pr~imissen r q A B Werte s t ZielBZ iSKLV for

Reines Ratensparerkollektiv 1,005 1,01 0,021 0,024 R 23,73 22,52 587,1 100

Ratenzahlungsstopp bei 40% 45% 50%

Einmalspartarif mit E = 40% 45% 5O%

85% R und 15% S (E = 40%)

70% R und 30% S (E = 40%)

85% R und 15% S (E = 50%)

Ktindigeranteil 15% 3O% 45%

50% Fortsetzer 4 Qu. FR = 0

50% Forts. 4 Qu. FR = GS(F)

50% Forts. 4 Qu. FR = Max(F)

50% Fortsetzer 8 Qu. FR = 0

50% Forts. 8 Qu. FR = GS(Ft

50% Forts. 8 Qu. FR = Max(F)

Darlehenstr~igheit 2 Quartale Darlehensverzichteranteil 15%

3O%

1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 32.10 31.56 808,4 100 1,01 1,015 0,009 0,012 R 49,78 52.06 1289,6 100 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 41,98 39,17 1201,3 100 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 40.35 35,73 1014,7 100 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 34,19 33.76 913,3 100 1.0075 1,0125 0.018 S 24.63 36,91 1077.3 100 1,0075 1,0125 0,018 S 18,87 33.61 908,0 100 1,0075 1,0125 0.018 S 14,32 30,36 753.3 100 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 32,56 30,82 832,9 107,71 1,0075 1,0125 0,015 0,018 S 19,42 38,58 832,9 71,24 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 33,08 29,99 862 ,1 117,23 1,0075 1,0125 0,015 0,018 S 20,05 38,38 862,1 74.45 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 32,00 31,71 803,7 98.61 1,0075 1,0125 0,015 0,018 S 15,24 30,04 803,7 108.98 1.0075 1.0125 0.015 0,018 R 31,74 32,14 836.2 94.37 1.0075 1,0125 0,015 0,018 R 31,27 32,91 764.2 87,50 1.0075 1,0125 0,015 0,018 R 30.58 34,02 729.6 100 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 30.13 34,76 707,1 73,18 1,0075 1,0125 0,015 0,018 F 34,13 28.35 707 ,1 138,78 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 31,00 33,34 750,7 83,91 1,0075 1,0125 0.015 0,018 F 35,00 26,99 750,7 160.43 1.0075 1,0125 0,015 0,018 R 31,17 33,06 759.6 86.26 1,0075 1,0125 0,015 0,018 F 35,17 26.73 759,6 165.15 1,0075 1,0125 0.015 0,018 R 28,23 37,92 616,5 54.40 1.0075 1,0125 0,015 0,018 F 36.23 25,10 616.5 197,90 1.0075 1.0125 0,015 0.018 R 30.01 34,94 701.2 71,95 1,0075 1,0125 0,015 0,018 F 38,01 22.41 701,2 270,41 1,0075 1.0125 0,015 0.018 R 30,37 34,36 719,0 76,05 1,0075 1,0125 0,015 0,018 F 38,37 21,87 719,0 288,89 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 32,88 30,43 846,3 112,02 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 31.07 33,21 754.6 85,00 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 29,84 35,23 692,7 70,00

28.20 37,97 614.8 54,13 34.20 36,08 614.8 87,41 30.98 33,37 749,2 83.64 36.98 31,33 749,2 133,95 30,03 34.92 702,1 72,08 36,03 32,92 7 0 2 . 1 91,55 13,40 30,67 702.1 115.51

Gesamtmodell Hptvers.I FR = 0 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 1,0075 1,0125 0,015 0,018 FD

GM Hptvers.II FR = Max(FR) 1,0075 1.0125 0,015 0.018 R 1,0075 1,0125 0,015 0,018 FD

15%S,85%R mit K,V,F~max.FR 1,0075 1,0125 0,015 0,018 R 1,0075 1,0125 0,015 0,018 S 1,0075 1,0125 0,015 0,018 FD

das E n d g u t h a b e n des Ratensparers nach s Quar ta len zu

r s - 1 G ( R , s ) = A . (1)

r - 1

und die S u m m e der Bauspa rgu thaben - ohne das berei ts durch Zute i lung abgef lossene G(R, s) - zu

G S ( R , s) = G ( R , s ) - s- A (2) r - 1

542

Ftir den bei Vertragsabschlul3 den Einmalsparbeitrag E leistenden Schnellsparer betr~igt nach einer Sparzeit von s(S) Quartalen das Endguthaben

G(S, s(S)) = E. r slsl (3)

und die Guthabensaldensumme

r sos) - 1 GS(S, s(S)) = E . - - (4)

r - I

Ohne die Symbole R oder S bel~iuft sich mit der Darlehensgebtihr d, die dem Nettoanfangs- Bauspardarlehen zugeschlagen wird, das Bruttoanfangs-Bauspardarlehen D(0) bei den her- k6mmlichen Bauspartarifen auf

D(0) = [BS- G(s)] -(1 + d), (5)

die Grundgleichung der progressiven Tilgung, bei der die ersparten Zinsen der Tilgung zu- wachsen, auf

qt -1 D(0).qt = B. (6)

q-1

und bei einer im Tarif vorgegebenen Tilgungszeit t, d.h. bei einem in Prozent des Bruttoan- fangs-Bauspardarlehens festgelegten Tilgungsbeitrag (feste Prozentrate), der Tilgungsbei- trag B in Relation zur BS auf

B = D ( 0 ) . q t . q -1 (7) qt -1

Im umgekehrten und weitaus mehr verbreiteten Fall eines im Tarif in Promille der BS deft- nierten Tilgungsbeitrags ist t aus der ebenfalls aus (6) hergeleiteten Formel zu bestimmen:

In B - ( q - I ) , D ( 0 ) lnQ mit (8) In q In q

Q _ B (9) B - ( q - 1 ) . D ( 0 ) "

Die Saldensumme der Bauspardarlehen stellt sich auf

t l t . B - D ( 0 ) D S ( t ) = ~ D ( k ) = ; dennesgilt (10)

k-0 q - 1

qk -1 [ qB l . q k ~ B (11) D ( k ) = D ( 0 ) ' q k - B q f ] - D(0) - -1 q - l "

Die Guthabensumme GS entspricht der Sparerleistung SL und die Darlehenssumme DS der Kassenleistung KL. Der Quotient ergibt das iudividuel[e Sparer-Kassen-Leistungsverh~ltnis (iSKLV), beispielsweise far einen Ratensparer, zu

iSKLV - S L _ G S ( R , s ) ( 1 2 ) KL DS(R, t)

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Die mittlere Wartezeit des Bauspartarifs ist diejenige Sparzeit s, welche die Kassenglei- chung des statischen Beharrungszustands erfi.illt; das ist ftir ein Ratensparerkollektiv

G ( R , s ) - s . A t . B - D ( R , 0 ) GS(R, s) - - - DS(R, t) (13)

r - 1 q - I

und ftir einen reinen Schnellsparerbestand

r ~/s)-I t (S) .B(S)-D(S, 0) GS(S, s(S)) = E.

r - 1 q - I = DS(S, t(S)). (14)

Im statischen Beharrungszustand nimmt das iSKLV den Weft 1 bzw. 100% an; es ist < 1 ftir s, die kleiner, und > 1 ftir s, die gr6ger als die mittlere Wartezeit sind. Wenn die Bewer- tungszahl als Summe der an den durchlaufenen Quartalsenden vorhandenen Prozentgutha- ben definiert ist, k6nnen far die Bausparsumme (BS) = 100 bei erftillter Kassengleichung die Guthabensummen GS (R, s) und GS (S, s(S)) zugleich als Zielbewertungszahlen inter- pretiert werden. Beenden alle Ratensparer die Sparzahlungen A pro Quartal bei dem Anspargrad AS, ist zun~ichst die eigentliche Sparzeit s (1) bis dahin aus der Gleichung

s(1)= InIAS' ( r -1)A +11

In r (16)

und die unbekannte restliche Sparzeit s(2) aus der modifizierten Kassengleichung

SL = G(R, s(1) + s (2 ) ) - s(l). A _ t. B - D(R, 0) _ KL (17) r - I q - I

zu bestimmen. Das Endguthaben bei Zuteilung betrfigt dann

A . ( r s~ l ) - l ) rS(2 ) =AS.rS(2) . G(R, s(1) + s(2)) - (18) r - 1

Sind Raten- und Schnellsparer mit den Anteilen a(R) und a(S) in einem Bausparkollektiv vereint, mtissen unbedingt tibereinstimmende Zielbewertungszahlen ftir die Zuteilungen herangezogen werden, weil die beiden Teilbest~inde unterschiedlich hohe Sparerleistungen erbringen. Aus der Forderung

SL(R) = GS(R, s(R)) = GS(S, s(S)) = SL(S) (19)

ergibt sich verm6ge (4) die Sparzeit der Schnellsparer zu

l n I G S ( R ' s ( R ) ) ' ( r - 1 ) 1+1

s(S) = E (20) In r

und die Kassengleichung zur Berechnung des unbekannten s(R), von dem alle weiteren Gr613en abh~ingen, zu

SL= [1 - a(S)] - GS(R, s(R)) + a(S) . GS(S, s(S))

= [1 - a(S)] • DS(R, t(R)) + a(S). DS(S, t(S)) = KL. (21)

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Wegen der tibrigen Formeln ftir den statischen Beharrungszustand sei auf [1] verwiesen. Das gilt auch fur die bauspartechnischen Kennzahlen der Tabelle 1, die im folgenden ohnehin ftir den dynamischen Beharrungszustand nochmals im einzelnen hergeleitet werden.

I l I . Der d y n a m i s c h e B e h a r r u n g s z u s t a n d des r e i n e n K o l l e k t i v s o h n e w a r t e z e i t b e s t i m m e n d e F a k t o r e n d r i t t e r Ar t

1. Reine Ratensparerbestiinde

Nimmt das Neugesch~ift einer Bausparkasse dauernd geometrisch zu, bildet sich ebenfalls ein Beharrungszustand heraus, der freilich von relativer Natur ist, weil nunmehr die Um- satz- und die Bestandsgr6gen nicht konstant sind, sondern periodisch mit der Progressions- rate p zunehmen. Auch ohne Berechnungen lfigt sich sagen, dab im dynamischen Behar- rungszustand die mittleren Wartezeiten ktirzer und die Zielbewertungszahlen niedriger aus- fallen als im statischen; denn der ,,Nachschub" an BS neuer Sparer nimmt ein h6heres Ni- veau ein als die BS der Darlehensnehmer aus frtiher beigetretenen Zugangsgruppen, deren Bauspardarlehen dutch die Bausparguthaben der jtingeren nicht zugeteilten Bausparver- tr/~ge refinanziert werden. Wie sich die H6henlagen der einzelnen Vertr~ige, welche die Sparzeit s und die Tilgungszeit t durchlaufen, darbieten, ist aus der nachstehenden Skizze zu ersehen, ftir die - ohne Ein- schr~inkung der Allgemeingtiltigkeit - angenommen ist, dab das gerade vollst~indig getilgte Bauspardarlehen D(t) = 0 die H6he pO = 1 aufweist.

0 1 2 . . . t - 2 t - 1 t t + l t + 2 t+3 . . . t + s - 2 t + s - I t+s pO pJ p2 ... pt 2 ptl pt pt+l pt+2 pt+3 ... pt+S-2 pt+S-I pt+S

D(t) D(t-1) D(t-2).. .D(2) D(1) D(0) G(s-1) G(s-2) G(s-3). . . G(2) G(1) G(0)

Somit betr~igt im Ratenspartarif das Bausparguthaben nach einer Sparzeit yon k Quartalen

r k G(R, k, p) = A. - 1 . pt+s k (22) r - 1

und die Summe der Bausparguthaben

P'+' [ ps - r~ P S -1 ] (23) G S ( R , s , p ) = A . r _ I . p r p - 1 J

Da das Bauspardarlehen D(k, p) mit einer bereits zurfickgelegten Tilgungszeit von k Quar- talen die HOhenlage pt k aufweist, errechnet sich die Summe der Bauspardarlehen im dynamischen Beharrungszustand nach einigen Umformungen (vgl. [3]) zu

t 1 p [ 1 DS(R, t, p) = Y D(k, p)= • D(0). pt - B . p t - I 0 p - q p -1 J (24)

Ftir p = r und p = q nehmen (23) und (24) die Gestalt an

GS(R,s , r )= A .rS+l.ls . r s - l _ r s - I 1 r - I _ r - l J und (25)

DS(R, t ,q )= . q. q~_l - t . (26)

545

Die Kassengleichung des dynamischen Beharrungszustands lautet dann

GS(R, s, p) = DS(R, t, p). (27)

Die mittlere Wartezeit s ergibt sich aus der Nullstelle der Funktion

F(R, s, t, p) = GS(R, s, p) - DS(R, t, p). (28)

Setzt man ffir die H6henlage pO = 1 die BS = 1, so stellt sich der Summenbestand der nicht zugeteilten Bausparvertr~ige auf

SNZBS = pt+l . pS _ 1 p - l '

derjenige der zugeteilten Vertr~ge auf

pt - 1 SZBS = p. - -

p - 1

und die Bausparsumme des Gesamtbestandes auf

SBS = SNZBS + SZBS.

Was die Umsatzgr/SBen angeht, gelten die Formeln fCir

die Summe der Sparbeitr~ige

pS _ 1 A. SNZBS SSP = A. pt

p - 1 p

die Summe der Guthabenzinsen beim Ratensparer

(29)

(30)

(31)

(32)

SGZ = A ' p t "IP-p-r-S PS---1 ] - GS(R ' s' p)" ( r - 1) (33) r p - l J p

und, ausgehend von dem Tilgungsbetrag (reine Tilgung ohne Darlehenszinsen) des Bau- spardarlehens im k-ten Quartal

TB = [B - (q- l ) • D(0)] • qk-l . pt-k, (34)

die Summe der Tilgungsbetr~ge

pt qt STB = [ B - ( q - 1)-D(0)] . , (35)

P q die an der Stelle p = q den Wert annimmt

STB(q) = [B - (q - 1). D(0)] • t . qt-J. (36)

Entnommen werden aus der Zuteilungsmasse (gerechnet mit den statischen Werten G(R, s) und D(0)) einerseits die zugeteilten, ausgezahlten Bausparguthaben

ZBG = G(R, s) • pt (37)

und andererseits die zugeteilten, ausgezahlten Bauspardarlehen

ZBD = D(0)- pt. (38)

Ohne Berficksichtigung von auBerkollektiven Mitteln und von Tr~gheits- oder Fortsetzerre- serven lauten dann die Zuflfisse zur Zuteilungsmasse

ZZM = SSP + SGZ + STB (39)

546

und die Entnahmen daraus

EZM = ZBG + ZBD. (40)

Aus den Umsatzgr6gen kann ebenfalls eine Kassengleichung

ZZM = EZM (41)

aufgestellt werden, die, wie in [3] nachgewiesen, beztiglich des sie 16senden s dasselbe Er- gebnis liefert wie die Gleichung (27) ftir die Bestandsgr6Ben. Numerische Auswertungen ftir Ratenspartarife mit verschiedenen Zinsebenen sowie Spar- und Tilgungsbeitr~igen sind aus Tabelle 2 zu entnehmen. Ftir die dort weiter aufgeftihrten bauspartechnischen Kennzahlen ist vorweg zu bemerken, dab auch unter dynamischen Vor- aussetzungen das iSKLV aus den statischen Guthaben- und Darlehenssummen, jedoch gerechnet mit den s und t des dynamischen Beharrungszustandes, zu ermitteln ist. Soweit sich die Kennzahlen nicht von selbst verstehen, wie bei den Prozentanteilen der Zuftihrungen zur und der Abflfisse aus der Zuteilungsmasse, betragen

der durchschnittliche Anspargrad der nicht zugeteilten Bausparvertr~ige in Prozent

ASN = 100- GS(R, s, p) (42) SNZBS

der prozentuale Anlagegrad der Bausparguthaben in Bauspardarlehen

ALG = 100. DS(R, t, p) GS(R, s, p) '

der Zuteilungsgrad in Prozent

ZG = 100. SZBS SBS '

die prozentuale j~ihrliche Sparintensitfit I

S I = 4 0 0 . SSP SNZBS '

und die j~ihrliche Tilgungsintensittit I in Prozent

TI = 400. STB DS( R, t, p) "

Mittels der Summe der Tilgungsbeitr~ige (Zins- und Tilgungsraten)

(43)

(44)

(45)

(46)

SZT -

und der Summe der Darlehenszinsen

B.SZBS (47)

SDZ = DS(R, t, p)- (q - l)

P (48)

kann man den prozentualen Tilgungsanteil der Tilgungsbeitrfige zu

TA = 100 STB SZT

(49)

547

Tabelle 2. Bauspartechnische Kennzahlen for den dynamischen Beharrungszustand yon reinen Ratensparbest~inden bei verschiedenen Zinsebenen sowie unterschiedlichen Spar- und Tilgungs-

beitr~igen (Quartalsprogression 1% und 2%; Anlagegrad 100%; Darlehensgeb0hr 2%)

Position Ein- Fall heit 1 2 3 4 5 6

r 1,005 1,005 1,0075 1,0075 1,01 1,01 q 1,01 1,01 1,0125 1,0125 1,015 1,015 p 1,01 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 A 0,021 0,021 0,015 0,015 0,009 0,009 l+d 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 B 0,024 0,024 0,018 0,018 0,012 0,012 s Qu. 22,9209 22,1209 30 ,7438 29,3650 47, I 165 44,2149 rs 1,1211 1,1166 1,2582 1,2453 1,5981 1,5526 (r~-I)/(r-l) 24.2219 23,3291 3 4 . 4 3 2 7 3 2 , 7 1 3 2 59 ,8114 55.2634 G(R, s) 0,5087 0,4899 0,5165 0,4907 0.5383 0.4974 D(R, 0) 0,5012 0 , 5 2 0 3 0.4932 0,5195 0,4709 0.5127 Q 1.2639 1,2768 1.5209 1,5643 2.4311 2.7844 t Qu. 2 3 . 5 3 9 8 24 ,5571 33 ,7523 3 6 , 0 2 0 8 59,6660 68,7789 stat. GS=SL=ZielBZ % 546 ,4302 507,4272 737,7825 669,6358 1142,5474 994,3657 p~ 1,2562 1,5497 1.3579 1,7887 1,5981 2,4002 (p~-r~)/(p-r) 27,0128 28,8694 39 ,8465 43,4702 p = r ! 84.7612 (~-l) /(p-l) 25,6174 27 ,4843 35 ,7862 39,4363 59 ,8114 70,0123 p- 1.2639 1,6263 1,3991 2,0407 1,8107 3.9040 dyn. GS 7.4819 9 , 6 4 9 8 11 .4754 1 6 , 7 9 3 4 24,2614 52,8582 (pt-1)/(p--l) 26,3934 31 ,3141 3 9 , 9 1 2 4 52,0364 81,0670 145.2001 dyn. DS 7,4820 9,6494 11 .4755 16 .7933 24 ,2608 52,8584 dyn. GS - dyn. DS -0,0001 0,0004 -0,0001 0,0001 0,0006 -0.0003 stat. DS 6,3789 6,9081 9,1490 1 0 . 3 1 0 9 16 ,3374 20,8443 iSKLV % 85.6618 73,4544 80 ,6411 6 4 . 9 4 4 7 69,9344 47,7045 SNZBS 32.7024 45,5912 50,5700 82 ,0883 109,3817 278,7947 SZBS 26,6573 31,9403 40 ,3115 5 3 , 0 7 7 1 81,8776 148,1041 SBS 59,3598 77 ,5315 90 ,8815 135,1655 191,2594 426.8988 Anspargrad % 22,8788 21,1659 22 ,6921 2 0 , 4 5 7 7 22 ,1805 18,9595 Anlagegrad % 100 ,0012 99,9957 100,0007 9 9 . 9 9 9 1 99,9974 100,0005 Zuteilungsgrad % 44,9081 4 I, 1966 44 ,3561 3 9 . 2 6 8 3 42,8097 34,6930 Sparbeitr~ige 0,6800 0,9386 0,7510 1.2072 0,9747 2,4600 Guthabenzinsen 0,0370 0 , 0 4 7 3 0,0852 0,1235 0,2402 0,5182 B - (q-1)-D(R, 0) 0,0190 0 , 0 1 8 8 0,0118 0.0115 0,0049 0,0043 qt 1,2639 1.2768 1,5209 1,5643 2,4311 2.7844 (pt~lt)/(p~l) p = q! 34 ,9488 48,7019 63 .5173 124,0864 223,9263 Tilgungsbetr~ge O, 5594 0,6569 0,5764 0.7309 0,6125 0,9651 Sparintensit~it I jfihrl. % 8,3168 8 , 2 3 5 3 5,9406 5,8824 3,5644 3,5294 Tilggsintensit~it I j~ihrl. % 29,9044 27,2322 20.0916 1 7 . 4 0 8 3 10 ,0985 7,3031 Summe Tilggsbeitr~ige 0,6334 0 , 7 5 1 5 0,7184 0,9367 0,9728 1,7424 Tilggsanteil TiB % 88.3053 87 ,4122 80 .2313 78.0282 62,9618 55,3874 Zufltisse ZMasse 1,2764 1,6429 1.4127 2.0615 1,8274 3,9432 Anteil Sparbeitr. % 53,2730 57,1339 53,1652 58,5579 53,3376 62,3840 Anteil Tilggsbetr. % 43,8250 39 ,9868 40,8027 3 5 , 4 5 2 3 33 ,5173 24,4741 Anteil Zinsen % 2,9020 2,8793 6,0321 5,9898 13,1451 13,1419 Zuget. Guthaben 0,6429 0 . 7 9 6 7 0,7226 1,0014 0,9747 1,9417 Zuget. Darlehen 0,6334 0 . 8 4 6 1 0,6900 1,0601 0,8527 2,0015 Entnahmen ZM 1,2764 1,6429 1,4127 2,0615 1,8274 3,9432 Anteil Guthaben % 50,3710 48,4963 51,1544 48,5750 53 ,3378 49,2421 Anteil Darlehen % 49,6290 51 ,5037 48,8456 51,4250 46,6622 50,7579 SL in zuget. BG 6,9065 8 , 2 5 2 2 10 ,3225 1 3 , 6 6 5 4 20 ,6878 38,8201 KL in zug. BD 8,0625 11 .2344 12 ,8005 21,0416 29 ,5817 81,3762 kSKLV % 85,6618 73.4544 80 ,6411 64,9447 69,9344 47,7045 Diff Zufl.-Entn. ZM -0,0000 0,0000 -0,0000 0,0000 0,0000 -0,0000 Darlehenszinsen 0,0741 0,0946 0,1420 0,2058 0,3603 0,7773 Tilggsbetr~ige als Diff. 0,5594 0,6569 0,5764 0,7309 0,6125 0,9651 Rekursiv berechn. GS 7,4819 9.6498 11 ,4754 1 6 , 7 9 3 4 24,2614 52,8582 Rekursiv berechn. DS 7,4820 9 , 6 4 9 4 11 ,4755 16 ,7933 24 ,2608 52,8584 Altern. rekurs, ber. DS 7,4820 9,6494 11 ,4755 16 ,7933 24 ,2608 52,8584

548

und die Ti lgungssumme alternativ auch nach

STB = SZT - SDZ (50)

berechnen. Ferner lassen sich rekursiv ermitteln die Guthabensumme aus

GS(R, s, p) =

die Dar lehenssumme ,,brutto" aus

G S ( R , s , p) . r + SSP - ZBG, (51)

oder ,,netto" aus

DS(R, t, p ) = DS(R, t, p ) . q + Z B D - SZT (52) P

DS(R, t, p) DS(R, t, p) - + ZBD - STB. (53)

Einfache Umformungen yon (5 l) bis (53) zeigen, wie sich das Anwachsen der Guthaben- und der Darlehensbest~inde dutch die Progression pro Quartal (bier ftir das n~ichste) zusam- mensetzt:

GS(R, s, p) • (p - 1 ) = GS(R, s, p) • i + p • SSP - p • Z B G , (54)

DS(R, t, p) • (p - 1) = DS(R~ t, p) • j + p • ZBD - p - SZT oder (55)

DS(R, t, p) - (p - 1 ) = DS(R, t, p) + p - ZBD - p - STB. (56)

Schliel31ich bel~iuft sich - mit den statischen Gu thaben - und Darlehenssummen, d.h. denje- nigen s gerechnet, die sich ftir das jeweilige p ergeben - die kollektive Sparerleistung auf

kSL = pt. GS(R, s), (57)

die kollektive Kassenleistung auf

kKL = pt. DS(R, t) (58)

und somit das kollektive SKLV auf

k S K L V - kSL _ G S ( R , s ) iSKLV. (59) kKL DS(R, t)

Die Gleichheit von kollektivem SKLV nach (59) und individuel lem SKLV nach Formel (12), dieses gerechnet mit dem s des dynamischen Beharrungszustandes, gilt allerdings nur in den Ffillen homogener Best~inde (mit gleichartigem Spar- und Tilgungsverhalten) mit dem Anlagegrad 100%, wie er den Tabellen 2 bis 4 zugrunde liegt. Wie sich der bauspartechnische Status theoretisch verbessern k6nnte, ist im Beispiel des 3%/5%-Zinsniveaus und der Kombinat ion A = 0,015/B = 0,018 an den nachstehenden Kennzahlen abzulesen:

Quartalsprogression Mittlere Wartezeit Zielbewer- Individuelles des Neuzugangs Quartale tungszahl SKLV in %

0% 32,10 808,4 100 1% 30,74 737~8 80,6 2% 29,36 669,6 64,9

549

Tabelle 3. Bauspartechnische Kennzahlen fiir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%- Ratensparbest~nden bei Sparzahlungsstopp ab Erreichen bestimmter Anspargrade

(Quartalsprogression 1% und 2%; Anlagegrad 100%; Darlehensgebiihr 2%)


Stopp bei % 40 40 45 45 50 50 r 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 q 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 p 1,01 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 A 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 1 +d 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 B 0,018 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 R--0,01. Stopp.(r-1)/A+l 1,2000 1,2000 1,2250 1,2250 1,2500 1,2500 s( 1 ) Qu. 24,4006 24,4006 27 ,1601 2 7 , 1 6 0 1 29,8639 29,3649 s(2) Qu. 1 2 , 7 1 1 7 8 , 8 7 0 0 6,7073 3,7251 1,5482 0,0000 s = s(1)+s(2) Qu. 3 7 , 1 1 2 3 33,2706 33 ,8675 30,8852 31,4121 29,3649 r ~2~ 1,0996 1,0685 1,0514 1,0282 1,0116 32,7131 G(R, s) 0,4399 0,4274 0,4731 0,4627 0,5058 0,4907 D(R, 0) 0,5713 0,5840 0,5374 0,5480 0,5041 0,5195 Q 1,6577 1,6823 1,5954 1,6144 1,5386 1,5643 t Qu. 40,6886 41,8738 37 ,6035 38,5576 34 ,6833 36,0209 stat.GS=SL=ZielBZ % 984,6228 818,6680 876,3418 737,3246 771,4547 669,6330 p~ 1,4467 1,9326 1,4007 1,8434 1,3669 1,7887 r s 1,3196 1,2822 1,2880 1,2596 1,2645 1,2453 (p~-r~)/(p--r) 50,8500 52 ,0265 45 ,1081 46,7055 40,9508 43,4701 (p~-1 )/(p- 1 ) 44,6692 46,6279 40,0728 42,1697 36 ,6921 39,4362 _s~z) 1,1348 I, 1920 1,0690 1,0766 1,0155 1,0000 P s - ~ (p~2)-r:~'~)/(p-r) 14,0776 9,8798 7,0493 3,8664 1,5556 (pS~2)-l)/(p-1) 13,4833 9,6010 6,9018 3,8278 1,5524 pt 1,4991 2,2915 1,4538 2,1459 1,4121 2,0407 dyn. GS 16,9t70 23,9335 14 ,3534 1 9 , 6 8 6 3 12 ,1389 16,7934 (pt-l)/(p-I) 49,9100 64,5755 45,3780 57 ,2931 41,2145 52,0366 dyn. DS 16,9169 23 ,9334 14 ,3534 1 9 , 6 8 6 3 12 ,1389 16,7934 dyn. GS - dyn. DS 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 -0,0000 stat. DS 12,8838 13,5748 11 ,1562 11,6794 9,6186 10,3109 iSKLV % 76,4233 60 ,3077 78 ,5519 63,1306 80,2044 64,9441 SNZBS 67,6332 108,9854 58 ,8397 92,3002 52 ,3327 82,0883 SZBS 50,4091 65,8670 45,8318 58,4390 41,6266 53,0773 SBS 118,0423 174,8524 104,6714 150,7392 93,9594 135,1656 Anspargrad % 25,0129 21 ,9603 24 ,3942 21,3286 23 ,1957 20,4577 Anlagegrad % 99,9996 99 ,9997 99,9993 100,0000 99,9998 100,0000 Zuteilungsgrad % 42,7043 37,6701 43,7863 3 8 , 7 6 8 3 44,3028 39,2684 p~U 1,2748 1,6212 1,3103 1,7123 1,3460 1,7887 (p~( i)_ I )/(p- 1 ) 27,4806 31,0624 31 ,0295 35,6154 34 ,6025 39,4362 SNZBS(A) 47,2183 86,5446 48,7057 83,9220 50 ,1185 82,0883 Sparbeitr~ige 0,7013 1,2727 0,7234 1,2341 (I,7443 1,2072 Guthabenzinsen 0,1256 0,1760 0,1066 0,1448 0,0901 0,1235 B - (q-l). D(R,0) 0,0109 0 , 0 1 0 7 0,0113 0,0111 0,0117 0,0115 qt 1,6577 1,6823 1,5954 1,6144 1,5386 1,5643 (pt_qt)/(p_~) 63,4558 81 ,2244 56 ,6515 70,8576 50,5700 63,5176 Tilgungsbetr~ige 0,6890 0,8691 0,6392 0,7900 0,5916 0,7309 Sparintensit~it I jS, hrl. % 4,1474 4,6711 4,9174 5,3484 5,6892 5,8824 Tilggsintensit~it I j~ihrl. % 16,2917 14 ,5246 17 ,8122 1 6 , 0 5 2 2 19 ,4952 17,4082 Summe Tilggsbeitrage 0,8984 I. 1624 0,8168 1,0313 0,7419 0,9367 Tilggsanteil TiB % 76,6950 74 ,7667 78 ,2518 7 6 , 6 0 6 3 79,7490 78,0281 Zufliisse ZMasse 1,5159 2,3178 1,4691 2,1689 1.4261 2,0615 Anteil Sparbeitr. % 46,2605 54 ,9115 49,2377 56,9014 52,1936 58,5578 Anteil Tilggsbetr. % 45,4525 37 ,4957 43 ,5071 3 6 , 4 2 4 7 41,4856 35,4524 Anteil Zinsen % 8,2869 7,5928 7,2551 6,6739 6,3208 5,9898 Zuget. Guthaben 0,6594 0,9794 0,6878 0,9929 0,7143 1,0014

550

Tabelle 3. (Fortsetzung)

Position Ein- Fall heir 1 2 3 4 5 6

Zuget. Darlehen 0,8565 1,3383 0,7813 1,1760 0,7118 1,060 l Entnahmen ZM 1,5159 2,3178 1,4691 2,1689 1,4261 2,0615 Anteil Guthaben % 43,4982 42,2570 46,8194 45 ,7782 50,0867 48,5748 Anteil Darlehen % 56,5018 57,7430 53,1806 54 ,2218 49,9133 51,4252 SL in zuget. BG 14,7605 18,7599 12,7401 15 ,8220 10,8941 13,6654 KL in zug. BD 19,3141 31,1069 16,2187 25 ,0623 13,5829 21,0418 kSKLV % 76,4233 60,3077 78.5519 63 ,1306 80,2044 64,9441 Diff Zufl.-Entn. ZM 0,0000 (1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0000 Darlehenszinsen 0,2094 0 , 2 9 3 3 0,1776 0,2413 0,1502 0,2058 Tilggsbetr~ige als Diff. 0,6890 0,869 t 0,6392 0,7900 0,5916 0,7309 Rekursiv berechnete GS 16,9170 23,9335 14,3534 19,6863 12,1389 16,7934 Rekursiv berechnete DS 16,9169 23,9334 14,3534 19,6863 12,1389 16,7934 Altern. rekurs, bet. DS 16,9169 23,9334 14,3534 19,6863 12,1389 16,7934

Den Bausparkassen ist es allerdings untersagt, Progressionseffekte an die Bausparer in Ge- stalt erm~ifSigter Zielbewertungszahlen weiterzugeben. Das gilt nicht for die wartezeitverktirzenden Momente dritter Art, die erst sp~iter ins Kalktil gezogen werden.

2. Abweichendes Sparverhalten

a) Vorzeitiger Ratenstopp

Im Fall des vorzeitigen Ratenstopps ist auch unter dynamischen Verh~iltnissen zunachst die eigentliche Sparzeit s(l ) nach ( ! 6) zu bestimmen. Unbekannt und zu ermitteln ist wieder die restliche Sparzeit s(2), in der das Bausparguthaben nut noch verzinst wird. Die Tilgungszeit t h~ingt von dem im Zeitpunkt s = s( l ) + s(2) erreichten Bausparguthaben ab (und braucht nicht auf das t bei bis zur Zuteilung durchgehenden Sparbeitr~igen transformiert zu werden, weil angenommen ist, dass alle Bausparer zur Zeit s( l ) ihre Sparzahlungen beenden). Die Summe der Bausparguthaben im dynamischen Beharrungszustand ergibt sich aus

GS(R, s(1), s(2), p) = rA_~ • p t+i

r p - 1 p - r p - i - " (60)

Darin ist von GS(R, s, p) wegen tier nach Erreichen des Bausparguthabens GfR, s(1)) aus- fallenden Sparbeitr~ige GS(R, s(2), p) mit der zutreffenden H/3henlaage abgezogen. Nattirlich

s(2) kann man zu (60) auch gelangen, wenn man zu GS(R, s(1), p) • p ' - den nur auf dem Zins- zuwachs beruhenden, nach (61) zu berechnenden Teil GS(G(R, s(1), p), s(2), p) addiert. Die Kassengleichung in den Bestandsgr613en ist mit der entsprechend ge~inderten Darlehens- summe in Analogie zu (27) aufzustetlen. Wieder ftir den 3%/5%-Bauspartarif und den Sparstopp bei Anspargraden von 40%, 45% und 50% sind einige Beispielsf~ille mit p = 1,01 und p = 1,02 durchgerechnet. Im dynamischen Beharrungszustand kann es eher geschehen als im statischen, dab der gedachte An- spargrad, bei dem die Sparzahlungen aufh6ren, gar nicht erreicht wird. Dann ist nattirlich die Guthabensumme nach (23) zu bestimmen (vgl. Fall 6 der Tabelle 3). Die Verl~ngerung

551

Tabelle 4. Bauspartechnische Kennzahlen ftir den dynamischen Beharrungszustand von reinen Einmalsparbest~inden auf 3%/5%-Zinsniveau bei unterschiedlichen Einmalsparbeitragen und

6%o-Tilgungsbeitr~igen (Quartalsprogression 1% und 2%; Anlagegrad 100 %; Darlehensgeb0hr 2 %)


E % 40 40 45 45 50 50 r 1,0075 1.0075 1.0075 1,0075 1,0075 1,0075 q 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 p 1,01 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 1 +d 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 B(S) 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 s(S) 20,9791 18 ,0963 16 .3531 1 4 , 3 3 0 9 12 .6218 11,2265 r s~s) 1.1697 1,1448 1,1300 1,1130 1,0989 1,0875 G(S. s(S)) 0,4679 0.4579 0,5085 0,5009 0,5495 0,5438 D~S, 0) 0,5428 0,5529 0,5013 0,5091 0,4596 0,4654 Q 1,6049 1,6233 1,5341 1,5469 1,4687 1,4775 t Qu. 38.0819 38 ,9995 34 ,4495 3 5 , 1 1 9 3 30,9436 31,4223 (r~S)-I)/(r-l) 22.6281 19 ,3046 17 .3292 1 5 , 0 6 9 9 13 ,1868 11,6671 stat.GS=SL=ZielBZ % 905.1234 772,1822 779,8161 678,1452 659,3378 583,3573 t 1,4607 2.1647 1,4089 2.0046 1.3606 1,8631

1,2321 1,4310 1,1767 1,3282 1,1338 1,2490 2,04

dyn. GS 14.7356 20,2212 11 ,9706 15,8356 9,5966 12,2734 (pt-1)/fp-l) 46,0717 58.2362 40.8864 50,2310 36.0564 43.1552 dyn. DS 14.7356 20 ,2212 11 ,9704 15,8356 9,5963 12,2734 dyn. GS - dyn. DS -0,0000 0.0000 0.0002 0,0000 0,0003 0,0000 stat. DS 11,4173 11 .9251 9,4997 9.8420 7,7939 8,0182 iSKLV % 79.2768 64,7529 82 ,0882 68,9030 84 ,5961 72.7541 (pSlSl-l)/(p-1) 23.2136 21 ,5487 17 ,6706 1 6 , 4 0 7 7 13 ,3818 12.4482 SNZBS 34.2476 47,5799 25.1444 33,5490 18 ,3889 23,6562 SZBS 46,5324 59,4009 41.2953 51,2356 36.4169 44,0183 SBS 80,7800 106,9808 66,4396 8 4 , 7 8 4 6 54.8059 67,6744 Anspargrad % 43,0268 42,4994 47 ,6075 47,2014 52,1868 51,8824 Anlagegrad % 100 ,0000 99,9999 99,9982 100,0000 99,9970 99,9999 Zuteilungsgrad % 57,6039 55,5248 62,1546 6 0 , 4 3 0 3 66,4472 65,0442 Sparbeitr~ge 0.7199 1,2391 0,7460 1,1981 0.7713 1.1635 Guthabenzinsen 0.1094 0,1487 0,0889 0,1164 0.0713 0.0902 B(S) - (q-1).D(S,0) 0.0112 0,0111 0,0117 0,0116 0.0123 0.0122 q~ 1,6049 1,6233 1,5341 1,5469 1,4687 1,4775 (p'--qt)/(p~l) 57,6806 72 ,1875 50,0978 61,0257 43,2662 51,4153 Tilgungsbetr~ige 0,6469 0,8004 0.5878 0,7101 0,5302 0,6264 Sparintensit~it I j~ihrl. % 8.4084 10 ,4167 11 .8678 14 .2848 16,7778 19.673 I Tilggsintensit~it ] j~ihrl. % 17,5606 15,8338 19 .6420 1 7 , 9 3 6 6 22.1022 20,4144 Summe Tilggsbeitrfige 0,8293 1,0483 0,7360 0,9042 0.6490 0,7768 Tilggsanteil TiB % 78,0087 76 ,3598 79,8699 7 8 , 5 3 6 5 81,7006 80.6372 Zuflfisse ZMasse 1.4763 2,1882 1.4227 2,0246 1,3728 1,8801 Anteil Sparbeitr. % 48,7665 56,6250 52.4362 59,1762 56 .1845 61.8835 Anteil Tilggsbetr. % 43,8214 36,5801 41,3158 3 5 , 0 7 2 7 38.6246 33.3164 Anteil Zinsen % 7.4122 6 . 7 9 4 9 6,2480 5,7511 5,1909 4,8000 Zuget. Guthaben 0,6834 0 . 9 9 1 3 0,7164 1,0040 0,7476 1,0131 Zuget. Darlehen 0,7928 1,1969 0,7063 1,0206 0.6253 0,8670 Entnahmen ZM 1,4763 2,1882 1,4227 2,0246 1,3728 1,8801 Anteil Guthaben % 46,2957 45,3002 50,3536 49,5910 54 .4543 53.8835 Anteil Darlehen % 53.7043 54,6998 49,6464 50,4090 45,5457 46,1165 SL in zuget. BG 13.2213 16 ,7156 10 ,9865 13,5942 8,9707 10,8685 KL in zug. BD 16,6774 25 ,8145 13 ,3838 1 9 , 7 2 9 5 10 .6042 14.9388 kSKLV % 79,2768 64,7529 82 ,0882 68,9030 84,5961 72,7541 Diff Zufl.-Entn. ZM -0,0000 0,0000 0,0000 0.0000 0.0000 0.0000 Darlehenszinsen 0,1824 0,2478 0.1481 0.1941 0,1188 0,1504 Tilggsbetrage als Diff. 0,6469 0.8004 0,5878 0,7101 0.5302 0.6264 Rekursiv berechnete GS 14,7356 20,2212 11 ,9706 15,8356 9,5966 12,2734 Rekursiv berechnete DS 14,7356 20.2212 11 .9704 15,8356 9,5963 12,2734 Altern. rekurs, ber. DS 14,7356 20 ,2212 11 .9704 15.8356 9,5963 12.2734

552

der Wartezeiten und die Erh6hung der Zielbewertungszahlen, die aus einem generellen Sparzahlungsstopp resultieren, sind im Falle der Regelsparbeitr~ige von 5%0 und der Til- gungsbeitr~ige yon 6%0 der BS monatlich wie folgt einzusch~itzen:

Quartals- Mittlere Wartezeit Zielbewertungszahl progression kein Sparzahlungen bis kein Sparzahlungen bis des Neuzugangs Stopp 50% 45% 40% Stopp 50% 45% 40%

0% 32,10 34,19 40,35 41,98 808,4 913,3 1014,7 1201,3 1% 30,74 31,41 33,87 37,11 737,8 771,5 876,3 984,6 2% 29,36 29 ,36 30,89 33,27 669,6 669 ,6 737,3 818,7

b) EinmaIspartarife

Fiir den Schnellsparer, der den Einmalsparbeitrag E vorschtissig im Quartal des Vertragsab- schlusses leistet, belauft sich

die Habensaldensumme auf

GS(S, s(S), p) = E. pt/S)+l . p s ( S ) _ rS(S)

p - r

bzw. an der Stelle p = r auf

GS(S, s(S), r) = E. s(S) • r tls)+~ls),

der (Einmal-)Sparbeitrag auf

SSP(S) = E • pt(S~+slS)

(61)

die Summe der Guthabenzinsen auf

SGZ(S) = ( r - 1). E. ptISI

und das zugeteilte Bausparguthaben auf

(62)

(63)

p~S~ - r~S) _ GS(S, s(S), p ) . ( r - 1) (64)

p - r p

ZBG(S) = E • ¢lsl. ptCS) (65)

Die darlehensseitigen Werte D(0, S, t(S), p) und DS(S, t(S), p) sind mit den ftir die S gel- tenden s(S) und t(S) nach (5) und (24) zu bestimmen. Ftir Bausparbest~inde auf 3%/5%- Zinsbasis, die ausschlieglich aus Schnellsparern bestehen, gehen die mittleren Wartezeiten, die Zielbewertungszahlen und weitere Kennzahlen aus Tabelle 4 hervor. Sie brauchen hier schon deswegen nicht n~iher untersucht zu werden, weil die Schnellsparvorg~inge im deut- schen Bausparen nach der BS auf 30% des Neugeschfifts und auf 15% des nicht zugeteilten Summenbestands kontingentiert sind.

c) Mischung yon Raten- und Schnellsparern

Aussagekrfiftiger sind daher die Untersuchungen von Bausparkollektiven, die aus Raten- und Schnellsparern (R und S) zusammengesetzt sind. Zunachst ist dazu die Verkntipfung der Sparzeiten der Schnellsparer s(S) mit denen der Ratensparer s(R) nach Formel (20) her- zustellen. Die Kassengleichung ffir den statischen Beharrungszustand kann jedoch nicht in einfacher Weise sinngem~ig auf den dynamischen Beharrungszustand tibertragen werden. Vielmehr ist der im allgemeinen ktirzeren Gesamtlaufzeit s(S) + t(S) der S gegentiber derjenigen s(R) + t(R) der R dadurch Rechnung zu tragen, dab man durch die Niveauverschie-

553

Tabelle 5. Bauspartechnische Kennzahlen fiir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%-Bausparbest~inden, die aus Raten- und Einmalsparern mit unterschiedlichen

Spar- und Tilgungsbeitriigen zusammengesetzt sind (Anlagegrad 100%; Darlehensgebtihr 2%; Tilgungsbeitrag B vorgegeben)

Position Ein- Fall heit I 2 3 4 5 6

r 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 q 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1.0125 p 1,01 1,02 1,0 t 1,02 1,01 1,02 Anteil Einmalsparer 0,15 0,15 0.30 0,30 0,15 0,15 A(R) 0,015 0,015 0.015 0,015 0,015 0,015 1 +d 1,02 1,02 1,02 1,02 1 ,()2 1.02 B(R) 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 E 0,4 0,4 0,4 0,4 0,5 0,5 B(S) 0,018 0,018 0,018 0,018 0,015 0,015 s(R) Qu. 3 1 , 1 0 1 5 29 ,6359 31 ,4945 29,9209 30 ,8181 29,3705 r S 1,2616 1,2479 1,2653 12505 1,2589 1,2454 (F-I)/(r-I) 34,8817 33 ,0497 35,3764 33,4044 34,5259 32,7201 G(R, s(R)) 0,5232 0 , 4 9 5 7 0,5306 0,5011 0,5179 0,4908 D(R,0) 0,4863 0 , 5 1 4 3 0,4787 0,5089 0,4918 0.5194 Q(R) 1,5099 1,5556 1,4980 1,5466 1,5186 1,5642 t(R) Qu. 33,1704 355718 32,5340 35,1012 33 ,6312 36,0116 stat.GS(R)=ZielBZ % 756 ,0407 682,7470 776,3800 696,6872 741,5551 669.9033 p~ 1,3627 1,7983 1,3680 1,8085 1,3589 1,7889 (p~-r~)/(p-r) 40,4361 44 ,0381 41,0878 44,6396 39,9687 43.4818 (p~-I)/(p-1 ) 36,2703 39 ,9175 36 ,8043 40,4264 35,8866 39,4462 pt 1,3910 2,0227 1,3823 2,0039 1,3974 2,0404 dyn.GS(R) 100% 11,7055 17,0029 I 1,9603 1 7 , 2 2 3 5 11,5231 16,7977 GS(R)-(r-I)/E (stat.) 0,1418 0,1280 0,1456 0,1306 0,1112 0,1005 s(S) Qu. 17,7421 16 ,1214 18 ,1883 1 6 , 4 3 1 2 14 ,1154 12,8147 r S~s) 1,1418 1,1280 1,1456 1.1306 1,1112 1,1005 (rs(S~-l)/(r-l) 18,9011) 1%0687 19 ,4095 1 7 , 4 1 7 2 14,8311 13,3981 G(S, s(S)) 0,4567 0,4512 0,4582 0,4523 0,5556 0,5502 D(S. 0) 0,5542 0 , 5 5 9 8 0,5526 0.5587 0,4533 0,4588 Q(S) 1,6256 1,6359 1,6227 1,6340 1,6070 1,6189 t(S) Qu. 3 9 , 1 1 1 7 39 ,6228 38 ,9704 3 9 , 5 2 5 3 38 ,1867 38,7797 stat.GS(S)=ZieIBZ % 756,0407 682,7470 776,3800 696,6872 741,5551 669,9033 p~S~ 1,1931 1,3761 1,1984 1,3846 1,1508 1,2889 (p~S)-r~(S~)/(p-r) 20,5295 19 ,8460 21 ,1279 2 0 , 3 1 4 3 15 ,8246 15,0706 p(-tqs ~ 1.4758 2,1916 1,4737 2,1874 1,4622 2,1553 p~O~>~(s~+um-~s~ 1,0766 1,2061 1,0707 1,1966 1, 1285 1,3139 dyn.GS(S) 100% 13,1775 21 ,4035 13 ,4688 21,6946 13,1867 21,7665 dyn. GS insges. 11,9263 17 ,6630 12 ,4129 1 8 , 5 6 4 8 11,7726 17,5430 stat. DS(R) 8,8605 10 ,0762 8,5497 9,8327 9,0886 10,3060 (pt-l)/(p-l) 39,1046 51 ,1332 38 ,2266 5 0 , 1 9 5 1 39 ,7439 52,0177 Eckige Klammer DS(R) -0,0274 0 , 1 1 9 9 -0,0263 0,1163 -0,0282 0,1234 dyn. DS(R) 100% 11,0711 16 ,3118 10 ,6379 1 5 , 8 1 6 8 11,3907 16,7833 stat. DS(S) 11,9878 12 ,2752 11 ,9088 12,2202 9,5623 9,8355 (pUS~-l)/(p-1) 47,5761 59,5804 47,3688 59 ,3691 46 ,2241 57,7662 Eckige Klammer DS(S) -0,0386 0 , 1 5 4 3 -0,0383 0,1535 -0,0306 0,1223 dyn. DS(S) 100% 16,7708 25 ,3181 16 ,5542 2 4 , 9 7 3 7 13,9368 21,8487 dyn. DS insges. 11,9260 17 ,6628 12 ,4128 1 8 , 5 6 3 9 11,7726 17,5431 GS - DS 0e insges, dyn.) 0,0003 0 , 0 0 0 2 0,0001 0,0009 0,0000 -0,0001 iSKLV(R) % 85,3267 67 .7583 90.8080 70,8539 81,5916 65.0012 iSKLV(S) % 63,0678 55,6199 65,1938 57 ,0111 77,5498 68,1108 SNZBS(R) far R 43,3145 70,0012 35,9674 5 7 , 8 4 1 5 43,0532 69,7798 (p~CS~-l)/(p--I 1 19,3081 18 ,8045 19,839l 1 9 , 2 2 7 9 15 ,0795 14,4434 SNZBS(S) fiir S 4,6476 7,6051 9,4854 15,4008 3,7697 6,2582 SNZBS 47,9620 77 ,6063 45 ,4528 7 3 , 2 4 2 3 46,8229 76,0380 Anteil S an SNZBS % 9,6901 9,7996 20 ,8687 21,0272 8,0510 8.2304

554


Position Ein- Fall heit I 2 3 4 5 6

SZBS(R) fiir R 33 ,5713 44 .3325 27 ,0262 3 5 . 8 3 9 3 34.1202 45,0994 SZBS(S) fiir S 7.7599 10 .9947 15 ,3682 21.7394 7.9027 11,6129 SZBS 41.3312 55.3272 42.3943 57,5787 42.0228 56.7123 SBS 89,2933 132.9335 87 .8472 130,8211 88.8458 132,7503 Anspargrad (R) % 22.9708 20.6460 23.2772 2 0 , 8 4 3 9 22.7500 20,4616 Anspargrad (S/. % 42,5302 42,2154 42 ,5985 4 2 , 2 6 0 1 52.4707 52,1712 Anspargrad insges. % 24.8661 22 ,7597 27 ,3093 2 5 , 3 4 7 1 25,142.8 23,0714 Anlagegrad (R) % 94.5801 95,9356 88,9434 9 1 . 8 3 2 7 98,8512 99,9142 Anlagegrad (S) % 127,2686 118,2894 122,9074 115,1148 105.6883 100.3774 Anlagegrad insges. % 99.9978 99 ,9987 99.9994 99.9949 100.0000 100,0004 Zuteilgsgrad (RI % 43.6639 38 ,7746 42 ,9031 3 8 , 2 5 6 8 44.2124 39.2581 Zuteilgsgrad (S) % 62.5423 59 ,1119 61.8348 58,5334 67.7039 64,9815 Zuteilgsgrad insges, c/, 46.2871 41,6202 48.2592 44,0133 47.2986 42,7211 Sparbeitr~ige 0.7570 1,2477 0.7611 1,2855 0,7818 1,2999 Guthabenzinsen 0.0886 0 , 1 2 9 9 0,0922 0.1365 0.0874 0,1290 B(R)-(q-I )- D(R, O~ 0,0119 0,0116 0,0120 0,0116 0,0119 0,0115 pt(R)--qt~R')/(p--q I 47.5512 62.2689 46,3076 60,9764 48,4614 63,4915 B(S)-(q-I ). DIS, 0) 0,0111 0,0110 0,0111 0,0110 0,0093 0,0093 (pUSL-qtIS~)/(p-q) 59,9279 74 ,0896 59.6170 7 3 . 7 9 0 1 57 ,9073 71,5242 Tilgungsbetr~ige 0.5890 0 , 7 5 9 9 0,6019 0,7886 0.5797 0.7517 Sparintensit~it I j~ihrl. ~} 6.3135 6 . 4 3 0 8 6,6978 7.0206 6,6790 6,8383 Tilggsintensit~it I j~ihrl, c~ 19.7550 17 ,2092 19 ,3967 16 .9921 19 ,6982 17,1386 Summe Tilggsbeitr/ige 0.7366 0.9764 0.7555 1.0161 0.7254 0,9666 Tilggsanteil TiB % 79,9619 77 .8304 79 .6671 7 7 , 6 1 0 5 79 .9158 77.7594 Zufltisse ZMasse 1,4346 2.1375 1.4552 2,2106 1,4490 2,1806 Anteil Sparbeitrfige % 52.7695 58,3720 52,3020 58,1516 53,9564 59,6138 Anteil Tilggsbetr. % 41,0572 35 ,5519 41,3638 3 5 , 6 7 3 3 40,0104 34,4707 Anteil Zinsen % 6,1734 6.0761 6,3342 6,1750 6,0332 5,9155 Zuget. Guthaben 0,7275 1,03 t 2 0,7304 t ,0580 0,7527 1,0849 Zuget. Darlehen 0,7071 I, 1062 0,7248 1,1526 0,6963 1.0956 Entnahmen ZM 1,4346 2, t 375 1,4552 2,2106 1,4490 2.1806 Anteil Guthabe n % 50,7118 48,2452 50,1906 4 7 , 8 6 0 3 51 ,9453 49,7545 Anteil Darlehen % 49.2882 51 ,7548 49,8094 5 2 , 1 3 9 7 48,0547 50,2455 SLin zuget. BG R u.S 1074.1155 1444.5313 1118,7405 1524.3440 1064,3832 1446,3866 KL in zug. BD R u.S 1333,3550 2219,0785 1390,9997 2338.8677 1316.2501 2205,1814 kSKLV % 80,5574 65.0960 80 .4271 65.1744 80 .8648 65,5904 Darlehenszinsen 0,1476 0 . 2 1 6 5 0,1536 0,2275 0,1457 0,2150 Tilggsbetrfige als Diff. 0,5890 0.7599 0.6019 0.7886 0,5797 0,7517 Rekursiv berechrlete GS I 1,9263 17 .6630 12 ,4129 1 8 . 5 6 4 8 11,7726 17,5430 Rekursiv berechnete DS 1 1.9261) 17 .6628 12 ,4128 1 8 . 5 6 3 9 11,7726 17.5431 Alternativ rek. bet. DS 11.9260 t7,6628 12 ,4128 1 8 . 5 6 3 9 11.7726 17,5431

bung bei den Saldensummen und den sonstigen mit s(S) und t(S) berechneten Gr6Ben der S mit dem Faktor

pt(R~+s(R~ t(S) sISI

sicherstellt, dab die ,,letzten" Neuzug~inge der S dasselbe Niveau, n~imlich pt(R)+~lR~, einnehmen wie die der R. Infolgedessen ergibt sich beispielsweise

die Summe der Bausparguthaben im dynamischen Beharrungszustand eines mit den konstanten bausparsummenm~iBigen Anteilen a(R) + a(S) = 1 gemischten Bestandes zu

GS(R/S, s(R)/s(S), p) = [1 - a(S)] • GS(R, siR), p)

+ a (S) . GS(S, s(S), p ) . pt(Rl+s/R)-t(S)-siS) (66)

555

und die Summe der Bauspardarlehen zu

DS(R/S, t(R)/t(S), p) = [1 - a(S)] - DS(R, t(R), p) + a(S) • DS(S, t(8), p) • p t (R j+s (R) - t ( s ) s(S) (67)

Die Tabelle 5 erm6glicht es, die Auswirkungen nicht nur tier Progression des Bausparge- sch~ifts, sondern auch verfinderter S-Anteile und Tilgungsbeitr~ige zu studieren. So best~itigt der Umstand, dab der Schnellspareranteil am nicht zugeteilten Summenbestand erheblich tiber den jeweiligen Neuzugangsanteil hinausgeht, die schon fr~iher festgestellte Tatsache, dab die (15%ige) Bestandskontingentierung schfirfer wirkt als die (30%ige) Zugangsbe- grenzung der S (zusammen mit den Grol3bausparvertr~igen). Ferner k6nnen Anspar-, An- lage- und Zuteilungsgrad zus~itzlich ftir R und S gesondert berechnet werden. In welchem Ausmaf~ die Beimischung von 15% S mit E = 0,4 und dem gleichen B = 18%o, wie es die R zahlen, die Daten der R beeintr~ichtigen, zeigt die Gegentiberstellung der Ziel- bewertungszahlen und der iSKLV ftir p = 1, p = 1,01 und p = 1,02:

Quartals- R = 100% R/S = 85%/15% S = 100% progression ZielBZ iSKLV ZielBZ iSKLV ZielBZ iSKLV des Neu- R S R S R S zugangs % % % % % % % % %

0% 808,4 100 - 832,9 107,71 71,24 1077,3 - 100 1% 737,8 73,45 - 756,0 85,33 63,07 905,1 - 79,28 2% 669,6 64,94 - 682,7 67,76 55,62 772,2 - 64,75

IV. E i n b e z i e h u n g e i n z e l n e r w a r t e z e i t b e s t i m m e n d e r F a k t o r e n

1. Kiindigungen

Unter den wartezeitbestimmenden Faktoren dritter Art versteht man Ktindigungen, Ver- tragsfortsetzungen, Tr~igheitsreserve und Darlehensverzichte. Wie inzwischen tiblich ge- worden, sollen diese Effekte jeweils isoliert untersucht werden, zun~ichst die Rtickzahlun- gender Bausparguthaben nach Ktindigung des Bausparvertrages vor Zuteilung. Da die Berechnungen ftir den statischen Beharrungszustand gezeigt haben, dab die Ergeb- nisse nur wenig von der Verteilung der Ktindigungen auf die vorhergehende Sparzeit ab- hfingen, wird im folgenden nur der formelmfil3ig und rechentechnisch einfachere Fall betrachtet, dab die Ktindiger ein Drittel der Sparleistungen der Normalbausparer aufbringen und ihren Vertrag in dem Zeitpunkt s aufl6sen, in dem sie bei vollen Sparbeitr~igen zugeteilt worden w~'en. Mit dem konstanten Anteil a(K) der potentiellen Ktindiger am summen- m~iSigen Neuzugang erh~ilt man dann

den (statischen) Rtickzahlungsbetrag

G(K, s) = 1 . G(R, s), (68)

der bei BS = 1 zugleich den prozentualen Ktindigeranspargrad bezeichnet:

ASG(K) = 100. G(K, s) und (69)

die noch nicht auf a(K) bezogene Guthabensaldensumme aller kiinftigen K~indiger im dynamischen Beharrungszustand

GS(K, s, p) = 1 . GS(R, s, p) (70) J

556

mit deren Bausparsumme, die sich von derjenigen der R nicht unterscheidet,

SNZBS(K, s, p ) = pl+j . p ~ - 1 (71) p - I

FOr den aus R und K zusammengesetzten Bestand ergibt sich die Summe der (reduzierten) Sparbeitr/Jge zu

SSP(R/K) = A ' SNZBS "[1 - a ( K ) + I ] p 3 ' a ( K ) , (72)

die Entnahme von Kfindigungs-Rtickzahlungen aus der Zuteilungsmasse zu

R(K, s, p) = a(K) • G(K, s) • p~, (73)

die Sparerleistung des Kollektivs, d.h. die Guthabensaldensumme zu

SL = GS(R/K, s, p) = [1 - a(K)] • GS(R, s, p) + a(K) • GS(K, s, p) (74)

und die Kassenleistung, d.h. die Darlehenssaldensumme zu

KL = DS(R/K, t, p) = [1 - a(K)] • DS(R, t, p). (75)

Die Kassengleichung in den Bestandsgr6gen lautet :

GSCR/K, s, p) = DS(R/K, t, p) (76)

und in den Umsatzgr6Ben, bei denen auf der Entnahmeseite die Ktindigungs-Rtickzahlun- gen mit anzusetzen sind:

ZZM(R/K) S S P ( R / K ) + G S ( R / K ' s ' p ) i = + [ I - a ( K ) ] . S T B P

= [1 - a (K)] . ZBG + [1 - a (K)] . ZBD + R(K, s, p) = EZM(R/K). (77)

Als Kennzahlen lassen sich auger (69) ermitteln

die auf den Bestand an nicht zugeteilten BS bezogene Kfindigungsquote in Prozent

K Q = 100- a ( K ) ' G ( K ' s ) Pl SNZBS (78)

die den prozentualen Anteil der R~ickzahlungen an den Entnahmen aus der Zuteilungsmasse bezeichnende Rtickzahlungsquote I

R(K,s , p) RQI = 100. (79)

EZM ( R/K )

und die prozentuale Rfickzahlungsquote II, welche die Rtickzahlungen an den Sparbeitrfi- gen misst,

RQII = 100. R( K, s, p) (80) SSP(R/K) "

Zahlenwerte far a(K) = 0,15, 0,30 und 0,45 bei dem wieder als repr~isentativ ausgewS.hlten Bauspartarif mit r = 1,0075, q = 1,0125, A = 0,015 und B = 0,018 finden sich in Tabelle 6. Greift man als Pars pro toto die Zielbewertungszahlen (einschlieglich derjenigen far

557

Tabelle 6. Bauspartechnische Kennzahlen fiir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%-Raten- sparbestanden mit 5%o-Regelsparbeitrag und 6%~-Tilgungsbeitrag bei Kiindigungen in unterschiedlichem

AusmaB (Quartalsprogression 1% und 2%; Anlagegrad 100%; Darlehensgebiihr 2%)


a(K) % 15 15 30 30 45 45 r 1,0075 1,0075 1,0075 1.0075 1,0075 1,0075 q 1,0125 1.0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 p 1,01 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 A 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 1 +d 1,02 1.02 1.02 1,02 1,02 1,02 B 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 s Qu. 30,3754 28,9911 2 9 , 8 8 2 8 28.4904 29,1856 27,7846 r ~ 1,2548 1,2419 1,2502 1,2372 1,2437 1,2307 (r~-I)/(r-l) 33,9716 32.2499 33 ,3569 3 1 , 6 3 1 6 32 ,4907 30,7640 G(R, s) 0,5096 0 , 4 8 3 7 0,5004 0,4745 0,4874 0,4615 D(S, 0) 0,5002 0,5266 0,5096 0,5360 0,5229 0,5493 Q 1,5323 1,5765 1,5478 1,5930 1,5702 1,6167 t Qu. 3 4 , 3 5 4 4 36,6430 35 ,1641 37,4810 36,3190 38.6720 stat.GS-SL=ZielBZ % 719,2286 651,7651 694.8140 628.2414 661,0284 595,8636 pt 1,4075 2,0660 1,4189 2,1006 1,4353 2,1507 pS 1,3529 1,7755 1,3463 1,7580 1,3370 1,7336 (p~-r~)/(p-r) 39,2427 42.6925 38,4406 41,6622 37.3160 40,2308 (pS-l)/(p-1) 35.2894 38 ,7765 34 ,6278 3 7 , 9 0 0 7 33 ,6970 36,6807 dyn. GS Darl.-nehmer 9,5541 1 4 , 0 2 9 0 7 , 6 4 9 8 11,2831 5,7709 8,5668 dyn. GS Kiindiger 0,5620 0,8252 1,0928 1,6119 1,5739 2,3364 dyn. GS insgesamt 10,116t 1 4 , 8 5 4 2 8 , 7 4 2 7 12,8950 7,3448 10,9031 (pt-l)/(p-1) 40.7532 53 ,3015 41 ,8917 55.0300 43.5317 57.5365 dyn. DS 10,1169 14 ,8542 8 , 7 4 2 7 12,8956 7,3448 10,9031 dyn. GS insg. - dyn. DS -0,0008 0,0000 -0,0000 -0,0006 -0,0000 -0,0000 stat. DS 9,4516 10,6398 9,8651 1 1 , 0 8 9 8 10 .4680 11,7428 iSKLV % 76,0962 61,2570 70,4316 5 6 , 6 5 0 3 63 ,1477 50,7431 Kiindiggs-RiJckzahlgen 0,0359 0,0500 0,0710 0,0997 0.1049 0.1489 Ktindigeranspargrad % 16.9858 16 ,1249 16 ,6784 1 5 . 8 1 5 8 16 ,2454 15,3820 SNZBS 50,1676 81 ,7157 49,6254 8 1 , 2 0 6 6 48,8496 80,4682 SZBS 34,9866 46,2124 29,6174 3 9 . 2 9 1 4 24 ,1819 32,2780 SBS 85,1542 127,9281 79,2428 120.4980 73,0315 112,7461 Anspargrad % 20,1646 18 ,1779 17 ,6173 1 5 , 8 7 9 2 15 ,0355 13,5496 Anlagegrad % 100 .0077 99,9998 100,0001 100,0045 100,0004 100,0000 Zuteilungsgrad % 41.0862 36 ,1237 37.3756 3 2 , 6 0 7 5 33 ,1116 28,6289 Sparbeitr.Darl.-nehmer 0.6333 1,0214 0.5159 0,8359 0.3990 0.6508 Sparbeitr~ige KiJndiger 0,0373 0,0601 0,0737 0,1194 0,1088 0.1775 Sparbeitr~ige insgesamt 0,6706 1,0815 0,5896 0.9554 0,5078 0.8283 Guthabenzinsen 0,0751 0,1092 0,0649 0.0948 0,0545 0,0802 B(S) - (q-l). D(S, 0) 0,0117 0 , 0 1 1 4 0,0116 0.0113 0,0115 0,0111 qt 1,5323 1,5765 1,5478 1.5930 1,5702 1,6167 (pt~qt)/(p~l) 49,9063 65 ,2723 51,5480 67,6822 53,9345 7 t ,2004 Tilgungsbetr~ige 0,4983 0 , 6 3 3 5 0,4196 0.5353 0,3401 0,4360 Sparintensitat I jahrl. % 5,3465 5,2941 4,7525 4,7059 4,1584 4,1176 Tilggsintensitat I jahrl. % 19,7023 17 ,0585 19 ,1994 1 6 , 6 0 5 6 18 ,5199 15,9952 Summe Tilggsbeitrage 0,6235 0 , 8 1 5 5 0,5278 0,6934 0,4310 0,5696 Tilggsanteil TiB % 79,9191 77 ,6783 79 ,5009 7 7 , 2 0 8 2 78 ,9075 76,5424 Zufliisse ZMasse 1,2440 1,8242 1,0742 1,5855 0,9024 1,3445 Anteil Sparbeitr. % 53,9037 59,2870 54,8900 60,2556 56,2740 61,6096 Anteil Tilggsbetr. % 40,0577 34 ,7257 39 ,0661 33,7644 37 ,6824 32,4277 Anteil Zinsen % 6,0386 5 , 9 8 7 3 6,0438 5,9801 6,0436 5,9628 Zuget. Guthaben 0,6097 0 , 8 4 9 5 0,4970 0,6977 0,3847 0,5459 Zuget. Darlehen 0,5985 0 , 9 2 4 7 0,5062 0,7882 0,4128 0,6498 Entnahmen ZM 1,2440 1,8242 1,0742 1,5855 0,9024 1,3445 Anteil Guthaben % 49,0077 46,5689 46,2660 44.0024 42,6324 40,599 I Anteil Darlehen % 48,1095 50 ,6918 47,1246 4 9 , 7 1 1 6 45,7406 48,3284 Ant.Rtickz.= Rtickz.-qu.1% 2,8828 2 , 7 3 9 3 6,6094 6,2861 11 ,6270 11,0725

558



SL in zuget. BG 8,6049 II ,4458 6,9012 9,2378 5,2183 7,0485 SL in Riickzahlungen 0,51162 ( I ,6733 0,9859 1,3197 1,4232 1,9223 SL insgesamt 9,1 II0 12,1191 7,8871 10,5575 6,6415 8,9708 KL in zug. BD 11,3(179 18,6849 9 , 7 9 8 4 16,3067 8,2637 13,8905 kSKLV % 8(I,5725 64,8604 80,4933 64 ,7432 80,3698 64,5821 Diff Zufl.-Entn. ZM (I,0000 0 , 0 0 0 0 -0,0000 -0,0000 -0,0000 -0,0000 Darlehenszinsen 0,1252 0 , 1 8 2 0 0,1082 0,1580 0,0909 0,1336 TilggsbetrS.ge als Diff. 0,4983 ( I ,6335 0,4196 0,5353 0,3401 0,4360 Rekursiv berechnete GS 10, I 161 14,8542 8 , 7 4 2 7 12,8950 7,3448 10,9031 Rekursiv berechnete DS 10,1169 14,8542 8 , 7 4 2 7 12,8956 7,3448 10,9031 Altern. rekurs, ber. DS 10,1169 14,8542 8 , 7 4 2 7 12,8956 7,3448 10,9031 Rtickzahlungsquote II % 5,3481 4,6205 12,0412 10,4324 20,6615 17,9720

Bausparbestande im statischen Beharrungszustand und ohne Ktindigungen) heraus, so zeigt die Wirkungen der Neugeschaftsdynamik und des Ktindigeranteils die Gegentiberstellung:

Quartalsprogression Zielbewertungszahl bei Ktindigeranteil von des Neuzugangs 0% 15% 30% 45%

0% 808,4 789,1 764,2 729,6 1% 737,8 719,2 694,8 661,0 2% 669,6 651,8 628,2 595,9

Far niedrige Ktindigeranteile fallt die Senkung der Zielbewertungszahlen schwach aus. Starker ist sie, abet aus den schon genannten Grtinden nicht zu realisieren, bei Dauerpro- gression des Neuzugangs.

2. Vertrag,~fortsetzungen

Wenn ein dauernd gleichbleibender Anteil der Bausparer am Neugeschaft a(F) die Zutei- lung nach der Sparzeit s nicht annimmt, sondern freiwillig mit dem Sparbeitrag A(F) > 0 tiber f Quartale weiterspart und sich im Zeitpunkt s+f die Bausparsumme auszahlen lagt, ergeben sich Tilgungsbeitrage dieser Vertragsfortsetzer B(F) und Tilgungszeiten t(F), yon denen wenigstens ein Weft - m e i s t t(F) - yon B und t der Normalbausparer abweicht. Mit- tels des statischen Endguthabens (Prozenlguthaben) des Fortsetzers von

r f _ l G(F, s+ f ) = G(R, s). r r + A ( F ) - (81)

r - I

und seines Bruttoanfangs-Bauspardarlehens

D(F, 0, t(F)) = [BS - G ( F , s + f)] . (1 + d) (82)

sind t(F) aus B(F) nach (8) oder im Ausnahmefall B(F) aus t(F) nach (7) herzuleiten. Des weiteren hangt die Auswirkung auf den bauspartechnischen Status des Kollektivs davon ab, welche Fortsetzerreserve FR(f. p) die Bausparkasse stellt, die sie im Bereich

0 <_ FR(f, p) < FRM(f, p) (83)

frei wahlen kann. Bei den herk6mmlichen Bauspartarifen mit einem Darlehensanspruch in H6he der Differenz zwischen Bausparsumme und Bausparguthaben bei Zuteilungsannahme

559

betr~igt das zul~issige Maximum der Fortsetzerreserve

FRM(f, p) = GS(F, f, p) + 0,25 • [SNZBS(F, f, p) - GS(F, f, p)]

= 0,25 • SNZBS(F, f, p) + 0,75 • GS(F, f, p) (84)

und far Bauspartarife mit festem Darlehensanspruch yon 50% der Bausparsumme

FRM(f, p) = GS(F, f, p) + 0,125 - SNZBS(E f, p). (85)

Verallgemeinert gilt mit 0 < a < 1 und bei a = 1 mit 0 </3 < 0,25 und/3 = 0 bei a < 1 ftir die zul~issige Fortsetzerreserve

FR(f, p) = a . GS(F, f, p) +/3. [SNZBS(F, f, p) - GS(F, f, p)]

=/3 . SNZBS(F, f, p) + (ct - / 3 ) . GS(F, f, p) (86)

Darin betr~igt die Guthabensaldensumme der Fortsetzer in der Fortsetzungszeit f nach (57) und (23)

• p f _ r f t+l r f f pf ] G S ( F , f , p ) = G ( R , s ) . p t + I _ _ . p _ f + A ( F ) p"~ . / p _ - r -1

p - r r - J [ p - r p - 1 n ' P - f ' (87)

wenn man die Guthaben in die Herkunft aus der reinen Verzinsung von G(R, s) (Teil 2) und aus der Weiterbesparung in der Fortsetzungszeit (Tell 3) aufteilt (und als Teil 1 die Gutha- bensumme der Fortsetzer w~ihrend der Sparzeit s ansieht). Der Faktor p-f erklart sich aus der Notwendigkeit, - analog zu den Schnellsparern unter llI 2 c - d a s Niveau der f Quartale l~inger sparenden Vertragsfortsetzer um jene f Quartale zn verschieben, damit die zuletzt beigetretenen F die gleiche H6henlage pt+S wie die R einnehmen. Treten von t(F) abhfingige Werte auf, ist zus~itzlich mit pt-t(F) ZU multiplizieren. Die Gesamtsumme der Vertragsfort- setzer-Bausparguthaben ist dann, wenn weiterhin nicht a(F), sondem 100% Fortsetzer betrachtet werden,

GS(F, s + f, p) = GS(R, s, p) + GS(E f, p) (88)

und die zugehOrige BS nicht zugeteilter Vertr~ige SNZBS(F, s, p) + SNZBS(F, f, p)

SNZBS(F, s+ f, p ) = pt+l . pS -1 p - 1

+ pt+l . Pf - 1. p_f = pt+l . pS+f _ 1. p_f . (89) p - 1 p - 1

Die Darlehenssumme der F stellt sich dar als

I pt(F)-ll P • D(F, 0 ) . p t ( F ) - B(F) . .pt-UF)-f DS(F, t(F), p) -- P - q P - (90)

mit D(E 0) aus (82) oder bei festem Darlehensanspruch in H6he yon 50% der BS mit

D(F, 0) = 0,5 • BS- (1 + d), (91)

die Guthabensumme des Gesamtkollektivs als

GS(R/F, s/s + f, p) = [1 - a(F)] • GS(R, s, p) + a(F) - GS(F, s + L p), (92)

die entsprechende Darlehenssumme als

DS(R/F, fit(F), p) = [1 - a(F)] • DS(R, t, p) + a(F). DS(F, t(F), p) (93)

560

und die Bestandsgr613en-Kassengleichung, die berticksichtigt, dass die Fortsetzerreserve nicht in Bauspardarlehen angelegt werden kann, als

GS(R/F, s/s + f, p) - a(F). FR(f, p) = DS(R/E t/t(F), p). (94)

Auf der Umsatzseite betragen - wiederum ftir 100% der F -

die Summe der Sparbeitr~ge

S S P ( F , s + f , p ) = A , pt . p_~_~l + A(F) . p t ( F ) Pf -1 .pt t(F) f (95) p - I p - 1

und die der Tilgungsbetr~ige

STB(F, t(F), p )= [ B ( F ) - ( q - l)- D(F, 0)].

die zugeteilten Bausparguthaben

pt(F)_ qt(F)

p - q • pt t(F) f , (96)

ZBG(F, s + L p) = pt f. G(F, s + f), (97)

die zugeteilten Bauspardarlehen

ZBD(F, t(F), p) = pt f. D(E 0) (98)

und die Entnahmen aus der Zuteilungsmasse zur Erh6hung der Fortsetzerreserve

ZFR(f, p) = p - 1. FR(f, p). (99) P

Mithin stellen sich far das aus Normalbausparern R und Fortsetzern F mit dem Anteil a(F) zusammengesetzte Kollektiv

die Summe der Sparbeitrtige auf

SSP(R/F, s/s + f, p) = [1 - a(F)] • SSP(R, s, p) + a(F) • SSP(F, s + f, p), (100)

die Summe der Guthabenzinsen auf

i. GS(R/F, s/s + f, p) (101) SGZ(R/F, s/s + f, p) =

die Summe der Tilgungsbetr~ige auf

STB(R/F, t(R)/t(F), p) = [1 - a(F)] • STB(R, t(R), p) + a(F) - STB(E t(F), p), (i02)

die neu zugeteilten Bausparguthaben auf

ZBG(R/E s/s + f, p) = [ 1 - a(F)] • ZBG(R, s, p) + a(F) • ZBG(E s + f, p), ( 1037

die neu zugeteilten Bauspardarlehen auf

ZBD(R/F, t(R)/t(F), p) = [1 - a(F)] • ZBD(R, t(R), p) + a(F) • ZBD(F, t(F), p) (104)

und demnach die Kassengleichung in den Umsatzgr6f3en auf

ZZM(R/F) = SSP(R/E s/s + f, p) + SGZ(R/F, s/s + L p) + STB(R/F, t(R)/t(F), p)

= ZBG(R/F, s/s+f, p) + ZBD(R/F, t(R)/t(F), p) + a(F) • ZFR(f, p)

= EZM(R/F). (105)

561

Wie die Tabelle 7 zeigt, werden nunmehr die Berechnungen unvermeidlich umfangreicher, weil die meisten Kennzahlen sowohl fur die Normalbausparer R als auch ffir die Fortsetzer F bestimmt werden k6nnen. Gleichwohl erzwingt die grofSe Ffille von denkbaren Variatio- nen der Parameter eine Konzentration auf wenige Beispielsf'~ille. Abgesehen von den zuletzt schon festgehaltenen Werten ffir r = 1,0075, q = 1,0125, p =1,01 und p = 1,02 ist jeweils A = A(F) = 0,015 und B = B(F) = 0,018 sowie f = 4 und f = 8 variiert und angenommen, dab die Fortsetzerreserve

- gar nicht, - in HOhe der Bausparguthaben der Vertragsfortsetzer oder - mit dem Maximum, das auch ein Viertel des Darlehensanspruchs umfaBt, gebildet wird.

Ffir die beiden zuletzt genannten Konstellationen tritt erstmals die Situation ein, dag der An- lagegrad der Bausparguthaben in Bauspardarlehen beim Gesamtbestand wegen der Fortset- zerreserve 100% unterschreitet. Der Anlagegrad der R liegt fiber 100%, derjenige der F zum Teil weit darunter. W~ihrend in der Tabelle 7 die R immer nur ein iSKLV von weniger als 100% aufzubringen brauchen, tibersteigt das iSKLV der F diese Marke fast allenthalben, Dazu ein Extrakt aus den vorliegenden Berechnungen ftir FR(f, p) = GS(F, f, p):

Fortsetzungszeit f = 4 Quartale Fortsetzungszeit f = 8 Quartale Ziel- iSKLV iSKLV Ziel- iSKLV iSKLV BZ R F BZ R F

Quartals- Keine progression fort- des Neu- setzer zugangs ZielBZ

0% 808,4 1% 737,8 2% 669,6

750,7 83,91 160,43 701,2 71,95 270,41 681,7 67,54 127,68 635,0 57,95 211,96 615,7 54,30 101,91 571,4 46,58 166,94

Infolge des h/3heren Anspargrades der F verktirzt sich deren Tilgungszeit, beispielsweise von 35,61 Quartalen auf 29,15 Quartale im Falle f = 4 und p = 1,01. Die daraus resultie- rende Erm~iBigung der Zielbewertungszahlen ist so kr~iftig, dass die wartezeitverktirzenden Effekte der Vertragsfortsetzungen durch die Stellung von Fortsetzerreserven (selbst bei deren Maximum) nicht eliminiert werden. Hier spielt allerdings eine Rolle, dass generell ein 50%iger Anteil der Fortsetzer unterstellt ist. Den Einflul3 der Reservenh6he auf die Zielbewertungszahlen und den Anlagegrad ersieht man aus den folgenden Zahlenwerten:

Keine Fortsetzungszeit f = 4 Quartale Fortsetzungszeit f = 8 Quartale fort- Fortsetzerreserve = setzer 0 BG Max. 0 BG Max.

Quartals- progression des Neu-

zugangs Zielbewertungszahl

0% 808,4 707,1 750,7 759,6 616,5 701,2 719,0 1% 737,8 642,3 681,7 691,1 557,8 635,0 652,8 2% 669,6 579,7 615,7 625,1 501,6 571,3 589,1

Anlagegrad des Gesamtkollektivs 0% 100,0 100,0 87,1 84,7 100,0 75,5 71,3 1% 100,0 100,0 88,0 85,4 100,0 77,0 72,6 2% 100,0 100,0 88,6 85,9 100,0 78,2 73,7

Selbst wenn die Bausparkasse das Maximum der Fortsetzerreserve stellt, erreichen die Ziel- bewertungszahlen niemals deren Niveau ffir den Fall, dass es gar keine Fortsetzer gibt. Die wartezeitverktirzende Wirkung infolge des Weitersparens in der Fortsetzungszeit und der

562

Tabelle 7. Bauspartechnische Kennzahlen ftir den dynamischen Beharrungszustand yon 3%/5%- Ratensparbest~inden bei 50% Vertragsfortsetzungen fiber 4 und 8 Quartale mit und ohne Bildung von

Fortsetzerreserven (Sparzahlungen in der Fortsetzungszeit wie zuvor: Darlehensgebtihr 2%)


r 1,01/75 1,0075 1,01175 1,0075 1,0075 1,0075 q 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 p 1,01 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 A 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 A(F) 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 d 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 B 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 B(F1 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 Fortsetzerreserve keine Bauspargut- Max. inclus.

haben der F 1/4 Darlehen

I. Fortsetzer yon 50 c~, der Bausparsumme tiber f = 4 Quartale mit anschliegender Darlehensnahme

s(R) = s Qu. 28,7905 27,4254 29,6153 28,2186 29,8077 28,4229 r ~ 1,2400 1,2274 1,2477 1,2347 1,2495 1,2366 (¢-1)/(r-1 ) 32,0020 31/,3241 33,0240 31,2969 33,2633 31,5485 G(R, s(R)) 0,4800 0,4549 0,4954 0,4695 0,4989 0,4732 D(R, 0) 0,53(/4 0,5560 0,5147 0,5412 0,5111 0,5373 Q(R) 1,5831 1,6290 1,5563 1,6021 1,5502 1,5952 t(R) = t Qu. 36 ,9781 / 39,2826 35,6059 37,9384 35,2880 37,5944 stat.GS(R) = ZielBZ 100cA 642,2876 579,7342 681,7442 615,6623 691,1296 625,1062 r f 1,0303 1,0303 1,0303 1,0303 1,0303 1,0303 (riLl)/(r- 1 ) 4,0452 4,0452 4,0452 4,0452 4,0452 4,0452 G(F, s+f) stat. 0.5553 I),5293 0,5711 0,5444 0,5748 0,5483 GSIF, s+f) stat. 100% 8,4552 7,7278 8,9t 17 8,1461 9,0201 8,2558 D(F ,01 0,4536 0,4801 0,4375 0,4647 0,4337 0,4608 Q(F) 1.4599 1,5001 1,4364 1,4765 1,4310 1,4705 t(F) Qu. 30,4576 32,6457 29,1533 31,3698 28,8509 31,0431 p~ 1,3317 1,7213 1,3427 1,7486 1,3453 1,7557 tp'-r~)/(p-r) 36,6842 39,5116 38,0077 41,1080 38,3189 41,5243 (p~ I )/(p-l) 33,1725 36,0663 34,2699 37,4288 34,5272 37,7833 pt 1,4448 2,1769 1,4252 2,1197 1,4207 2,1053 d~cn. GS(R) 1011c~ 11/,2486 15,30( /3 10,7604 15,9095 111,8811 16,0667 p f , 1,0406 1,0824 1,0406 1,0824 1,0406 1,0824 (p -rl)/(p-r) 4,1059 4,1674 4,1059 4.1674 4,1059 4,1674 dYtn. GS(F) reil 2 100% 2,7638 3,8885 2.8134 3,9(}78 2,8249 3,9125 (p - l ) / (p-l) 4,0604 4,1216 4,0604 4,1216 4,0604 4.1216 dyn. GS(F) Teil 3 IO0CA 0,1277 0,1880 0,1260 0,t831 //,1256 0,1818 dyn. GS(F) in Fo-zeit 11}0% 2.8915 4,0765 2,9394 4.0909 2,9504 4,0944 dyn. GS(R+F) insg. l 1,6943 1 7 , 3 3 8 5 12,2300 17.9549 12,3563 18,1139 BS in Fortsetzgszeit 2,8469 4,2274 2,8083 4,1164 2,7994 4,0884 Forts.-Anspargrad c~ 50,7837 48,2157 52,3339 49,6912 52,6969 50,0728 (p~+t-1)/(p-I) 38,5799 43,1609 39,7218 44,6358 39,9896 45,0195 SNZBS 51,2525 84 ,3101 52,1372 85,0414 52,3417 85,2254 Anteil Fortsetzer % 5,5546 5,0141 5,3863 4,8404 5.3484 4,7972 Fortsetzerreserve 0,0000 0,0000 1.4697 2,0455 1,8063 2,5575 FR zu BS(F) % 0,0000 0,0000 52,3339 49.6912 64,5227 62,5546 stat. DS(R) 100% 10,8188 12,0836 10,0940 11,3387 9,9291 11,1513 stat. DS(F) 100% 7,5691 8,6039 6,9799 7,9935 6,8462 7,8403 (pt-l)/(p-1) 44,4760 58,8446 42,5170 55,9856 42,0668 55,2661 Eck.Klammer DS(R) -0,0343 0,1512 -0,0317 0,1394 -0,0311 0,1364 dyn. DS(R} I00% 13,8619 20,5687 1 2 , 8 1 6 6 18,9526 12.5808 18,5528

t~F~ 1,3540 1,9088 1,3365 1,8612 1,3325 1,8492 ~t-t~l-j 1,0671/ 1,1405 1,0663 1,1389 1,11661 1,1385 (pt~Vl-I)/(p-I ) 35,3999 45,4396 33,6541 43,0585 33,2526 42,4584 Eck.Klammer DS(F) 0,0230 0,0984 -0,0210 I),0899 0,0206 0,0878

563



dyn. DS(F) 100% 9 , 5 2 5 5 14 ,1066 8,7028 l 2,8649 8.5178 125587 dyn. DS(R+F) 11,6937 17,3376 I 0,7597 1 5 , 9 0 8 8 10 ,5493 15,5557 GS - DS - FR % 0,0007 0,0009 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 iSKLV (R, s) % 59,3679 47.9771 6 7 , 5 3 9 8 54,2974 69 ,6067 56,0568 iSKLV (F, s+f) % 111,7069 89,8173 127,6781 101,9092 131,7526 105,2992 SL 10.5093 14 ,0808 10 ,9606 1 4 , 5 0 1 4 11 ,0666 14,6090 KL 13,4219 23 ,0192 12 ,2894 20,9314 12 ,0354 20,4194 kSKLV % 78,2997 61 ,1699 89 ,1872 69,2802 91,9502 71,5446 Anspargrad % 22,8171 20,5652 23 ,4575 21 ,1131 23,6070 21,2541 Anlagegrad (R, s) % 135,2567 134,4333 119,1095 119,1280 115,6213 115,4732 Anlagegr.(F, s+f) % 72,4917 72 .8017 63 ,5251 64,3234 61,5830 62,2917 Anlagegrad insg. % 99,9944 99,9949 87 ,9775 88,6040 85,3764 85,8773 p~+f 13858 1,8632 1,3972 1,8927 1,3999 1,9004 SNZBS(F) 27,0497 44,2687 27 ,4727 44,5789 27 ,5705 44,6569 SZBS(R) 22,4604 30 ,0108 21 ,4711 28,5527 21,2438 28,1857 SZBS(F) 18,3310 24,4164 17 ,4152 23,1057 172047 22,7759 SZBS 40,7914 54,4272 38 ,8863 51,6584 38 ,4485 50,9616 SBS 92,0439 138,7373 91,0234 136,6998 90,7902 136,1870 Zuteilungsgrad (R) % 48,1330 42,8406 46 ,5391 41,3716 46,1671 40,9949 Zuteilungsgrad (F) % 40,3938 35 .5483 38 ,7971 3 4 , 1 3 7 3 38 ,4247 33,7757 Zuteilungsgrad insg. % 44,3173 39,2304 42,7212 37,7896 42,3488 37,4203 Sparbeitrfige 0,7612 1,2399 0,7743 1,2506 0,7774 1,2533 B-(q-I).D(R, 0) 0,0114 0 , 0 1 1 0 0,0116 0,0112 0,0116 0,0113 qt 1,5831 1,6290 1,5563 1,6021 1,5502 1,5952 (pt_qt)](p._q} 55,3201 73 ,0475 52 ,4548 69,0202 51,8016 68,0123 B(F)-(q-1)" D(F, 0) 0,0123 0,0120 0,0125 0,0122 0,0126 0,0122 qt{F) 1.4599 1.5001 1.4364 1,4765 1,4310 1,4705 (pt{r:}~lt{ F))/(p~: 1 ) 42,3553 54 ,4903 39,9536 5 1 , 2 8 5 7 39 ,4055 50,4828 Tilgungsbetrage % 0,5823 0,7480 0,5599 0,7167 0,5547 0,7087 Sparintensit~it I j. % 5,9406 5,8824 5,9406 5,8824 5,9406 5,8824 Tilggsintensit~it I j. % 19,9168 17,2575 20,8132 1 8 , 0 1 9 2 21,0311 18,2232 Tilgungsbeitr~ige 0,7270 0 , 9 6 0 5 0,6930 0,9 I16 0,6852 0,8993 Tilggsanteil TiB % 80,0924 77 ,8787 80 ,7850 7 8 , 6 1 3 8 80,9461 78,8025 Zinsen 0,0868 0 , 1 2 7 5 0,0908 0,1320 0,0918 0.1332 ZuflUsse ZMasse 1,4303 2,1154 1,4250 2,0993 1,4238 2,0952 Anteil Sparbeitr. % 53,2192 58 ,6122 54,3382 59,5730 54 ,5983 59,8186 Anteil Tilggsbetr. % 40,7093 35,3610 39,2886 3 4 , 1 3 8 1 38 ,9572 33,8245 Anteil Zinsen % 6,0715 6,0269 6,3732 6,2889 6,4445 6,3570 Zuget. Guthaben 0,7322 1,0274 0,7440 1,0306 0,7468 1,0313 Zuget. Darlehen 0,6980 1,0880 0,6664 1,0286 0,6591 1,0137 ErhOhung FR 0.0000 0,0000 0,0146 0,0401 0,0179 0,0501 Entnahmen ZM 1,4303 2,1153 1,4250 2,0993 1,4238 2,0952 Anteil Guthaben % 51,1956 48,5678 52 ,2141 49,0919 52 ,4503 49,2240 Anteil Darlehen % 48,8044 51,4322 46 ,7647 48,9976 46,2936 48,3826 Anteil Erh6hung FR % 0,0000 0,0000 1,0212 1,9105 1,2561 2,3934 Diff Zufl.-Entn. ZM 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Darlehenszinsen 0,1447 02125 0,1332 0,1950 0,1306 0,1906 Tilggsbetr.als Diff. 0,5823 0,7480 0,5599 0,7167 0,5547 0,7087 Rekurs.berechn.GS 11,6943 17 ,3385 12 ,2300 1 7 , 9 5 4 9 12 ,3563 18,1139 Rekurs.berechn.DS 11,6937 17 ,3376 10 ,7597 1 5 , 9 0 8 8 10 ,5493 15,5557 Alternat.rek.ber.DS 11,6937 17 ,3376 10 ,7597 1 5 , 9 0 8 8 10 ,5493 15,5557

II. Fo~setzervon 50%der Bausparsumme fiberf= 8 Quartale mitanschlieBender Darlehensnahme s{R) = s Qu. 26,9288 25.6050 28,6354 2 7 , 2 3 6 5 29,0138 27,6348 r ~ 1,2229 1,2108 1,2386 1,2257 1,2421 1,2294 (r~-l)/(r-l) 29,7179 28 ,1130 31,8104 3 0 , 0 9 3 2 32,2780 30,5803 G(R,s(R)) 0,4458 0 , 4 2 1 7 0,4772 0,4514 0,4842 0,4587

564



D(R, 01 0.5653 0 ~ 5 8 9 9 0.5333 0,5596 0,5261 0.5521 Q(R) 1,6463 1.6939 1.5882 1,6356 1.5757 1.6218 t(R) = t Qu. 40,1316 42 ,4238 37 ,2378 39,6049 36.6052 38,9263 stat. GS(R) = ZielBZ 100% 557.8244 501,6116 635,0056 571,3475 652.8429 589.1067 r f 1,0616 1,0616 1,0616 1,0616 1.0616 1,0616 (rf-l)/(r-I) 8,2132 8 , 2 1 3 2 8,2132 8,2132 8.2132 8,2132 G(E s+f) stat. 0,5964 0,5709 0.6297 0,6024 0,6372 0,6102 GS(E s+f) stat. 100% 9 , 6 6 5 8 8 , 9 0 5 9 10.6954 9,8473 10 ,9314 10,0849 D(E 01 0,4116 0 , 4 3 7 7 0,3777 0,4056 0,3701 0,3976 Q(F) 1,4003 1,4367 1,3555 1,3920 1,3459 1,3815 t(F) Qu. 2 7 . 1 0 2 7 29,1696 24 ,4852 26,6269 23 .9118 26,0136 p~ 1,3073 1,6604 1,3297 1.7149 1.3347 1,7285 (p~-r~)/(p-r) 33.7591 35 ,9625 36,4372 39.1360 37,0408 39,9301 (p~-I)/(p-l) 30,7282 33,0189 32 .9671 3 5 . 7 4 4 9 33 ,4687 36,4239 pt 1,4908 2,3166 1.4485 2.1908 1,4394 2,1616 d~cn. GS(R) 100% 9.1274 13 ,9108 10 ,1533 15 ,1555 10 ,3862 15,4609

1,0829 1,1717 1,0829 1.1717 1,0829 1,1717 ~pf-rf)/(p-r) 8.5031 8,8048 8,5031 8.8048 8,5031 8,8048 dyn. GS(F)Teil 2 100% 5,2706 7,4881 5.4816 7.5803 5.5273 7,6002 (pf-1)/(p-I) 8,2857 8 , 5 8 3 0 8.2857 8.5830 8.2857 8,5830 dyn. GS(F) Teil 3 100% 0 , 6 0 4 8 0.8949 0,5876 0,8463 0,5839 0,8350 dyn. GS(F) in Fo-zeit 100% 5,8754 8 , 3 8 3 0 6.0692 8,4267 6,1112 8,4353 dyn. GS(R+F) insg. 12.0652 18 ,1023 13 ,1879 1 9 , 3 6 8 8 13 ,4418 19,6785 BS in Fortsetzgszeit 5.7607 8,6548 5,5971 8,1849 5,5620 8,0757 Forts.-Anspargrad % 50,9962 48,4297 54,2174 5 1 , 4 7 6 8 54,9371 52,2263 (p~+~l I/(p-I ) 41,5599 47,2699 43.9843 50.4639 44,5275 51,2594 SNZBS 52,0288 86 .6764 53 ,8275 8 8 , 0 6 2 2 54.2189 88.3839 Anteil Fortsetzer % 11,0720 9,9852 10,3983 9,2945 1 0 . 2 5 8 4 9,1371 Fortsetzerreserve 0,0000 0,0000 3.0346 4,2133 3,6822 5,1821 FR zu BS(F) % 0.0000 0,0000 54,2174 5 1 , 4 7 6 8 66,2029 64,1698 stat. DS(R) 100c~ 12.5643 13 ,9006 10 ,9584 12 ,2651 10 ,6197 11,8842 stat. DS(F/ 100% 6,0962 6,9871 5.0460 5.8987 4,8278 5,6485 (pt-1)/(p 11 49,0815 65,8302 44.8500 5 9 . 5 4 1 5 43.9410 58,0795 Eck.Klammer DS(R/ -0,0407 0,1816 4),0348 0,1542 ~0.0336 0,1480 dyn. DS(R) 100% 16.4368 24 ,6913 14 .0649 20,9690 13 ,5734 20.1319 pt~Fi 1.3095 1,7818 1,2759 1,6943 1,2686 1,6739 pt t~v~ 1.1384 1,3001 1,1353 1,2930 1,1346 1,2914 (pt~Fl-I)/(p 1 } 30,9547 39 ,0909 27,5880 34 ,7161 26 .8621 33,6935 Eck.Klammer DSIF~ -0,0181 0,0763 -0,0147 0,0622 ~).0140 0,0591 dyn. DS(F) 100% 7,6935 I 1.5132 6.2418 9.3420 5,9458 8.8608 dyn. DS(R+F) 12,0652 18 ,1022 10 .1533 15,1555 9,7596 14,4964 GS - DS - FR % 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0000 iSKLV (R, s) % 44,3977 36 ,0857 57 ,9469 46,5832 61 ,4747 49,5705 iSKLV (E s+f) % 158.5539 127,4631 211,9579 166,9380 226,4244 178,5406 SL 10,8117 14 ,6146 11 ,7525 15 ,4651 11 ,9639 15,6698 KL 14.1428 25,0816 11 .7682 2 0 , 5 6 6 3 11 .2838 19,5730 kSKLV % 76,4466 58 ,2681 9 9 , 8 6 6 5 75,1960 106,0276 80,0581 Anspargrad % 23,1894 20 ,8849 24 .5004 2 1 , 9 9 4 5 24 ,7917 22,2648 Anlagegrad (R, s) % 180,0813 177.4976 138,5249 138,3591 130,6868 130,2122 Anlagegr.(F, s+f) % 51,2801 51.6429 38 ,4758 3 9 . 6 1 4 5 36 ,0407 37.0804 Anlagegrad insg. % 100.000(1 99,9997 76,9894 7 8 . 2 4 6 7 72.6062 73.6660 p~+t 1.4156 1,9454 1,4398 2,0093 1,4453 2,0252 SNZBS(F) 28.8947 47,6656 29 .7123 48,1236 29 .8905 48,2298 SZBS(R) 24,7862 33,5734 22 .6493 30 ,3661 22 ,1902 29,6205 SZBS(F) 16,4342 22,1224 14 .6066 19 ,5395 14 ,2139 18,9394 SZBS 41,2204 55 .6958 37 ,2558 49,9056 36,4041 48,5599 SBS 93,2492 142,3722 91,0834 137,9678 90.6230 136,9438

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Zuteilungsgrad(R) % 51,7238 46,2544 48,4326 43,1921 47,7017 42,4517 Zuteilungsgrad(F) % 36,2555 31,6995 32,9579 28 ,8776 32,2278 28,1966 Zuteilungsgrad insg. % 44,2046 39,1199 40 ,9030 36 ,1719 40,1709 35,4597 Sparbeitr~ige 0,7727 1,2747 0,7994 1,2950 0,8052 1,2998 B-(q-l). D(R, 0) 0,0109 0 , 0 1 0 6 0,0113 0,0110 0,0114 0,0111 qt 1,6463 1,6939 1,5882 1,6356 1,5757 1,6218 (pt~tt)/(p-q) 62,1977 83,0324 55,8712 74 ,0344 54,5340 71,9661 B(F)-(q-1) .D(E 0) 0,0129 0 , 0 1 2 5 0,0133 0,0129 0,0134 0,0130

t(F) q , 1,4003 1,4367 1,3555 1,3920 1,3459 1,3815 (pt<F~--q@))/(p~ 1) 36,3000 46,0136 31,8468 40 ,3037 30,9019 38.9854 Tilgungsbetr~ige % 0,5853 0 , 7 6 1 0 0,5383 0,6950 0,5280 0,6793 Sparintensit~it I j. % 5,9406 5 , 8 8 2 4 5,9406 5,8824 5,9406 5,8824 Tilggsintensit~it Ij. % 19,4046 16,8162 21,2071 18.3421 21,6402 18,7437 Tilgungsbeitr~ige 0,7346 0 , 9 8 2 9 0,6640 0,8807 0,6488 0,8569 Tilggsanteil TiB % 79,6737 77,4292 81,0743 78 ,9109 81,3826 79,2691 Zinsen 0,0896 0,1331 0,0979 0,1424 0,0998 0,1447 Zufltisse ZMasse 1,4476 2,1688 1,4357 2,1324 1,4330 2,1237 Anteil Sparbeitr. % 53,3784 58,7727 55,6832 60 ,7310 56,1902 61,2014 Anteil Tilggsbetr. % 40,4325 35,0900 37,4955 32 .5903 36,8445 3t,9854 Anteil Zinsen % 6.1891 6,1373 6,8213 6,6787 6,9653 6,8132 Zuget. Guthaben 0,7428 1,0528 0,7668 1,0577 0,7720 1,0586 Zuget. Darlehen 0,7048 1,1160 0,6388 0,9921 0,6246 0,9635 Erh6hung FR 0,0000 0 , 0 0 0 0 0,0300 0,0826 0,0365 0,1016 Entnahmen ZM 1,4476 2,1688 1,4357 2,1324 1,4330 2,1237 Anteil Guthaben % 51,3154 48,5439 53,4094 49 ,5998 53,8685 49,8461 Anteil Darlehen % 48,6846 51,4561 44,4977 46 ,5260 43,5875 45,3694 Anteil Erh6hung FR % 0,0000 0 , 0 0 0 0 2,0928 3,8742 2,5441 4,7845 Diff Zufl.-Entn. ZM 0,0000 0 , 0 0 0 0 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0000 Darlehenszinsen 0,1493 0 , 2 2 1 8 0,1257 0,1857 0,1208 0,1777 Tilggsbetr.als Diff. 0,5853 0 , 7 6 1 0 0,5383 0,6950 0,5280 0,6793 Rekurs.berechn.GS 12,0652 18,1023 13,1879 19,3688 13,4418 19,6785 Rekurs.berechn.DS 12,0652 18,1022 10,1533 15,1555 9,7596 14,4964 Alternat.rek.berDS 12,0652 18,1022 10,1533 15,1555 9,7596 14,4964

daraus resultierenden Schmfilerung des Darlehensanspruchs und Abktirzung der Tilgungs- zeit wird somit nicht einmal durch die maximale Fortsetzerreserve kompensiert.

3, Triigheitsreserve

Angesichts des im allgemeinen geringen Umfangs der Guthabentr~igheit im Bauspargesch~ift wird wie frfiher ausschliel31ich die Tr/igheitsreserve aus zugeteilten, aber noch nicht ausgezahlten Bauspardarlehen betrachtet. Verschiebt sich der Abruf des vollen Darlehens um g Quartale, so sind die darlehensabh/ingigen Gr6Ben mit dem Faktor p ~ ,abzuwerten", weil sie den um g Quartale friiheren Zug~ingen entstammen. Femer ist zu berticksichtigen, dal3 die Bausparkasse eine Tr/igheitsreserve bilden mufS, die im dynamischen Beharrungszustand die H6he hat:

TR(g, p) = D(0) . pg - 1 . pt-g+l (106)

und der aus der Zuteilungsmasse aus Progressionsgr0nden zugefiJhrt werden muB:

ZTR(g, p) = p - ! • TR(g, p) = D(0) . (pg - 1). p t -g , (107) P

566

Die rechte Seite der Gleichung (107) zerlegt die Bewegung bei der Trfigheitsreserve in die Entnahme des ausgezahlten Bauspardarlehens D(0) • p t - g und die Zuffihrung des gerade zugeteilten Darlehens D(0) • p t Besonders sei darauf hingewiesen, dass die bereitgestellten, aber noch nicht ausgezahlten Bauspardarlehen im hier vorgestellten Formelwerk als noch nicht der Zuteilungsmasse entnommen gelten; sie erh6hen vielmehr bei Zuteilungsannahme die Tr~igheitsreserve, aus der sie bei Auszahlung in den Bestand der ausgezahlten Bauspardarlehen tibergehen. Die Sparzeit s ist aus der Kassengleichung ftir die Bestandsgr6gen:

GS(R, s, p) = DS(R, t, p) • p-~ + TR(g, p) (108)

oder aus der Gleichung fur die Umsatzgr6gen zu berechnen:

SSP + SGZ + STB p-g = ZBG + ZBD • p-g + ZTR(g, p). (109)

Ahnlich der Gleichung (94) ftir die Fortsetzerreserve erweist (108), dass die Tr~igheitsreserve ebenfalls von den Bausparguthaben bedeckt werden mug und die Guthaben insofern nur gemindert ftir die Refinanziemng von Bauspardarlehen zur Verftigung stehen. Durch Fortsetzer- und Tr~gheitsreserven bleibt der Anlagegrad auch im statischen Beharrungszu- stand unter 100%. Die Bildung der Trfigheitsreserve wirkt im Vergleich zu dem Fall, dass es keine Trfigheit g~ibe, wartezeitverl~ingemd. Dies ist aus der Tabelle 8 (und [3]) in bezug auf die Erh6hungen der Zielbewertungszahlen und der iSKLV dutch die Darlehenstrfigheit tiber g = 2 Quartale wie folgt zu entnehmen:

Quartals- progression des Neu- zugangs

0% 1% 2%

Keine Trfigheit Darlehenstrfigheit g = 2 Quartale Spar- Ziel- iSKLV Spar- Ziel- iSKLV zeit s BZ zeit s . BZ

32,10 808,4 100 32,81 846,3 112,02 30,74 737,8 80,64 31,37 770,1 89,10 29,36 669,6 64,94 29,92 685,6 70,85

4. Darlehensver~ichte

Die bei dem konstanten Teil a(V) der zugeteilten Bausparsummen im Zeitpunkt s ausge- sprochenen vollst~indigen Verzichte auf das Bauspardarlehen lassen sich am einfachsten modellieren; denn die darlehensabh~ingigen Bestands- und Umsatzgr6gen sind lediglich auf 1-a(V) zur/ickzuftihrem w~ihrend die Formeln flit die sparzeitabh~ingigen Gr6J3en unver~n- dert bleiben. Das liefert bei A(V) = A die Kassengleichung in den Saldensummen yon Soll und Haben:

SL = GS(R, s, p) = [( 1-a(V)] • DS(R, t, p) = KL. (110)

Zahlenmfil3ig lassen sich die Auswirkungen der Darlehensverzichte an folgendem Auszug aus der Tabelle 8 studieren:

Quartals- Keine Darlehensverzichte progression Spar- des Neu- zeit s zugangs

0% 32,10 1% 30,74 2% 29,36

15% Darlehensverzichte 30% Darlehensverzichte Ziel- iSKLV Spar- Ziel- iSKLV Spar- Ziel- iSKLV BZ zeit s BZ zeil s BZ

808,4 100 31,07 754,6 85,00 29,84 692,7 70,00 737,8 80,64 29,70 685,6 68,39 28,44 625,7 56,16 669,6 64,94 2830 619,4 55,00 27,03 562,1 45,08

567

Tabelle 8. Bauspartechnische Kennzahlen fiir den dynamischen Beharrungszustand von Ratenspar- best~inden bei Tr~igheitsreserve und Darlehensverzichten (Anlagegrad 100% bei Darlehensverzichten;

Darlehensgebtihr 2%)


Darlehenstr~igheit Darlehensverzichte bei ... % der Bausparsumme tiber zwei Quartale 15 15 30 30

a(V) 0 0 0.15 0.15 0,30 0,30 r 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 q 1.0125 1,0125 1,0125 1.0125 1,0125 1,0125 p 1,01 1,02 1,01 1,02 1,01 1,02 A 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0.015 d 1.02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 B 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 s Qu. 31.3747 29,9205 29,6954 28,3006 28,4352 27,0265 r ~ 1,2642 1,2505 1,2484 1.2355 1,2367 1,2238 (r~-I)/(r-l) 35,2255 33,4038 33,1237 31,3979 31,5636 29,8371 G(R, s) 0,5284 0,5011 0,4969 0,4710 0,4735 0,4476 D(R, 0) 0.4811 0,5089 0,5132 0,5396 0.5371 0,5635 Q 1,5016 1,5466 1,5537 1,5993 1.5948 1,6429 t Qu. 32,7277 35,1020 35,4734 37.8002 37,5737 39,9640 stat. GS=SL=ZielBZ % 770,1482 696.6650 685,6456 619,4449 625,6774 562,1029 p~ 1,3664 1.8085 1,3438 1,7514 1,3270 1,7078 (p~-r~)/(p-r) 40,8887 44.6387 38,1372 41,2749 36.1194 38,7205 (pS-I)/(p-l) 36,6413 40.4256 34,3770 37,5710 32.7026 35,3892 pt 1,3849 2.0039 1,4233 2,1139 1.4533 2,2065 dyn. GS 100% 11,8824 17 ,2231 10,8106 15,9726 10,0309 14,9947 (pt_ 1 )](p-l) 38,4932 50.1966 42.3291 55,6959 45,3350 60.3233 pg 1,0201 1,0404 1.0000 1,0000 1,0000 1.0000 dyn. DS 10,5566 15.2033 10,8103 15,9726 10.0308 14.9948 (pg-1)/(p-I) 2,0100 2,0200 0.0000 0,0000 0,0000 0,0000 Tr~igheitsreserve 100% 1,3258 2.0197 0.0000 0,0000 0,0000 0,0000 GS - DS - TR 0,0000 0,0001 0,0003 0,0000 0,0001 -0,0001 stat. DS 100% 8.6438 9.8331 1 0 , 0 2 5 1 11.2632 I 1,1401 12,4687 iSKLV % 89.0984 70,8489 68.3931 54.9970 56,1646 45.0810 SNZBS 51.2531 82.6303 49.4178 81,0104 48,0035 79.6468 SZBS 40,8682 53,1809 36,3396 48.2883 32,0518 43,0708 SBS 92,1213 135,8113 85,7574 129,2988 80,0554 122,7176 Anspargrad % 23,1838 20,8436 21,8759 19,7167 20,8962 18,8266 Anlagegrad % 88,8419 88,2729 99,9976 100.0000 99,9991 100.0004 Zuteilungsgrad % 44.3635 39,1580 42.3748 37.3463 40,0371 35,0975 Sparbeitrage 0,7612 1,2152 0,7339 1,1913 0,7129 1,1713 Guthabenzinsen 0,0882 0,1266 0,0803 0,1174 0,0745 0,1103 B - (q-1).D(R. 0) 0,0120 0,0116 0.0116 0.(1113 0,0113 0,0110 qt 1,5016 1,5466 1,5537 1,5993 1.5948 1,6429 (pratt)/(p~q) 46,6845 60,9784 52,1820 68,6141 56,5878 75,1442 Tilgungsbetr~ige 0,5486 0,6821 0,5138 0,6564 0,4471 0,5763 Sparintensitat I j. % 5,9406 5,8824 5,9406 5,8824 5,9406 5,8824 Tilggsintensit~it I j. % 20,7861 1 7 . 9 4 7 1 1 9 , 0 1 3 1 16,4383 17 .8281 15,3737 Summe Tilggsbeitrage 0,6792 0,8685 0,6476 0,8521 0,5712 0,7601 Tilggsanteil TiB % 80,7648 78.5463 79,3416 77,0295 78,2669 75,8234 Zufltisse ZMasse 1.3980 2.0239 1,3280 1,9652 1.2345 1.8578 Anteil Sparbeitr. % 54,4483 60.0392 55,2636 60,6219 57.7506 63,0449 Anteil Tilggsbetr. % 54,8575 34.1069 17,1282 16,4101 8.9415 9.6052 Anteil Zinsen % 8,8236 6,3320 2,6759 2,9361 1,4897 1.8376 Zuget. Guthaben 0,7318 1,0041 0,7072 0,9956 0,6881 0,9875 Zuget. Darlehen 0,6531 0,9802 0,6209 0,9696 0,5464 0,8703 Zuftihrung TR 0,0131 0,0396 0.0000 0,0000 0,0000 0,0000 Entnahmen ZM 1,3980 2,0239 1,3280 1.9652 1,2345 1,8578 Anteil Guthaben % 52,3444 49,6107 53,2488 50.6614 55,7393 53,1539

568



Anteil Darlehen % 46,7166 48,4326 46,75 t 2 49 ,3386 44,2607 46,846 l Anteil Zuffihrg TR % 0,9390 1,9567 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 SL in zuget. BG 10,6660 13,9607 9 , 7 5 8 7 13,0946 9,0933 12,4026 KE in zug, BD 11,9711 19,7049 [2,1283 20,238[ t 1,3333 19,2583 kSKLV % 89,0984 70,8489 80,4624 64,7024 80,2351 64,4014 Diff Zufl.-Entn. ZM 0,0000 0 , 0 0 0 0 0,0000 0,0000 0,0000 -0,0000 Darlehenszinsen 0,1307 0 , 1 8 6 3 0,1338 0,1957 0,1241 0,1838 Tilggsbetr~ige als Diff. 0,5486 0,6821 0,5138 0,6564 0,4471 0,5763 Rekursiv berechn. GS 11,8824 17,2231 10,8106 15,9726 10,0309 14,9947 Rekursiv berecbn. DS 10,5566 15,2033 10,8103 15,9726 10,0308 14,9948 Altern. rekurs, ber. DS 10,5566 15,2(133 [ 0,8103 15,9726 10,0308 14,9948 TR zu DS % 12,5595 13,2845 Darlehensverzichtsquote % 0,4320 0,3914 0,9083 0,8311

Der Anteil der kanftigen Darlehensverzichte am summenmfigigen Neuzugang spiegelt sich direkt im iSKLV des statischen Beharrungszustandes wider. Von allen wartezeitbestimmenden Faktoren dritter Art bewirken die Darlehensverzichte den deutlichsten Rfickgang yon Wartezeitem Zielbewertungszahlen und iSKLV, well die Darlehensverzichter zugunsten der darlehensnehmenden Bausparer die volle Sparerleistung erbringen, ohne eine Kassenlei- stung zu bekommen.

V. B a u s p a r m a t h e m a t i s c h e s G e s a m t m o d e l l

1. Formeln

Im Gesamtmodell werden die einzelnen wartezeitbestimmenden Faktoren zusammenge- ftihrt, damit sich ein m6glichst realistisches Abbild der Bausparwirklichkeit ergibt. Dabei kann nach Fortsetzern, die (wie unter IV 2) im Zeitpunkt s+f die volle Bausparsumme be- anspruchen (FD), und solchen, die dann auf das Bauspardarlehen verzichten (FV), unter- schieden werden. Ferner ist es m6glich, Schnellsparer zu integrieren und insofern auf die Erkenntnisse von I[[ 2 c zurtickzugreifen. Nach den bisherigen ErOrterungen bedtirfen die dauerhaft konstanten Anteile der verschiedenen Bausparergruppen an der Bausparsumme des Neugeschfifts mit

a(S) + a(R) + a(K) + a(FD) + a(FV) + a(V) -~ 1 (111)

keiner n~iheren Erl~iuterung mehr. Zur Vereinfachung ist ftir die nachfolgenden Tabellen 9 und 10 angenommen, dass

- die Ktindiger wie gehabt nur ein Drittel der normalen Sparbeitr~ige A entrichten und ihren Bausparvertrag im Zeitpunkt s unter Rtickzahlung des Bausparguthabens aufl6sen,

- die Fortsetzer in der Fortsetzungszeit keine Sparbeitr~ige mehr zahlen und die Rechte aus der frtiheren (nicht angenommenen) Zuteilung nach f = 6 Quartalen wieder geltend machen, zum Tell mit Bauspardarlehen (FD), zum Tell ohne (FV),

- for die darlehensnehmenden R und FD (nicht abet ftir die S) eine Tr~igheit des vollen Darlehens von g = 2 Quartalen gilt und

- im Falle a(S) = 0 die Verteilung (111) aus den beiden frtiher vorgestellten Hauptversio- nen I und II des bausparmathematischen Gesamtmodells tibernommen wird.

569

Tabelle 9. Bauspartechnische Kennzahlen ftir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%- Ratensparbest~inden bei Verhalten nach dem bausparmathematischen Gesamtmodell ohne und mit

50%-Schnellsparern (Keine und maximale Fortsetzerreserve; Darlehensgebiihr 2%)


Hauptversion Hauptversion 15% Schnellsparer 1 I II II mit E = 50

Fortsetzerreserve keine maximal maximal

r 1,0075 1,0075 1,0075 1.0075 1.0075 1,0075 q 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 1,0125 p 1.01 1.02 1.01 1,02 1.01 1.02 A 0.015 0,015 0,015 0,015 0.015 0.015 A(F) 0 0 0 0 0 0 d 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 B 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,018 B(S) 0,018 0.018 0.018 0,018 0.018 0,018 B(F) 0,018 0.018 0,018 0,018 0.018 0,018 a(S) 0 0 0 0 0,15 0,15 a(R) 0,40 0,40 0.50 0.50 0,40 0.40 a(K) 0.15 0,15 0.10 0,10 0,20 0,20 a(FD) 0,15 0,15 0,20 0,20 0,05 0,05 a(FV) 0,25 0.25 0,15 0.15 0,15 0,15 a(V) 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 s(R) = s Qu. 26.6719 25,1586 29.4386 27,8983 28,4881 26,9790 r ~ 1,2205 1.2068 1.2460 1,2318 1.2372 1,2233 (r~-l)/(r-l) 29,4053 27 ,5755 32 ,8045 30,9034 31 ,6287 29,7791 G(R, s(R)) 1/,4411 0.4136 0,4921 0.4636 0,4744 0,4467 D(R. 0) 0.5701 0,5981 0.5181 0,5472 0,5361 0.5644 Q(R) 1,6554 1,7104 1.5620 1,6129 1,5931 1,6445 t(R) = t Qu. 40.5730 43,2064 35,8986 38,4794 37,4850 40,0455 stacGS(R) = ZielBZ 100% 546,6706 483,3717 673,1857 601,0180 628,1325 560,0208 stat.DS(R) 100% 12,8172 14 ,3695 10 .2468 11 .6361 11 .0919 12.5151 iSKLV(R) % 42,6513 33 ,6387 65 .6973 5 1 . 6 5 1 2 56,6296 44,7476 GS(R) - (r-1)/E (stat.) 0.0942 0.0840 s(S) Qu. 12,0505 10,7951 r *ts~ 1,0942 1.0840 (r~S~- l)/(r-1) 12,5627 11.2004 G(S, s(S)) 0,5471 0,5420 D(S. 0) 0.4619 0,4672 QfS) 1.4723 1,4802 t(S) Qu. 31,1399 31.5699 stat.GS(S)=ZielBZ 100% 628,1325 560,0208 stat.DS(S) 100% 7.8856 8.0879 iSKLV(S) % 79.6561 69,2417 r t 1.0459 1.0459 1.0459 1.0459 1.0459 1,0459 (rt-1)/(r-I) 6,1136 6 . 1 1 3 6 6,1136 6.1136 6,1136 6,1136 G(F, s+f) stat. 0,4613 0,4326 0,5146 0.4848 0,4962 0,4672 D(E 0) 0,5495 0 , 5 7 8 8 0.4951 0,5255 0.5139 0,5435 Q(F) 1.6170 1.6720 1,5239 1,5746 1,5549 1,6062 t(F) Qu. 3 8 , 6 8 6 3 41.3776 33 ,9138 36,5480 35 ,5328 38,1474 GSIE s+f) stat. 100% 8,1633 7,3625 9,7402 8,8442 9,1818 8,3311 stat. DS(F) 100% 11,7507 13 ,2837 9 . 2 2 9 7 1 0 . 5 8 9 3 10 ,0559 11.4532 iSKLV(FD) % 69,4708 55,4252 105.5307 8 3 , 5 1 9 7 91,3076 72.7401 p~ 1,3039 1.6458 1,3403 1,7375 1.3277 1.7062 (p~-r~)/(p-r) 33,3623 35.1161 3 7 , 7 2 2 7 40.4598 36 ,2032 38,6267 (p*-l)/(p-1) 30,3945 32 ,2883 34 ,0341 3 6 . 8 7 6 1 32 ,7723 35,3089 pt 1,4974 2,3528 1,4293 2,1425 1.4521 2.2100 dyn.GS(R, s, p) 100% 8.9766 13 ,5722 10 .6500 1 5 , 6 6 3 3 10 ,0632 14,9584 pslSl 1.1274 1,2383

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(p~lS~-r'lSl)/(p-r) 13,2687 12,3468 pUS~ 1,3632 1,8686 pS(Rl-,i(S I+tIR) tlS~ 1,2544 1,6296 d~cn.GS(S, s(S), p) 100~ 11,4588 19,1738 p f , 1,0615 1,1262 1,0615 1,1262 1,0615 1,1262 (p -r~)/(p-r) 6,2672 6,4248 6,2672 6,4248 6,2672 6,4248 dytn.GS(F) Teil 2 100~7~ 3,9383 5,6631 4,1939 5,7795 4,1079 5,7446 (p -1 )/(p-I ) 6,1520 6,3081 6,1520 6,3081 6,1520 6,3081 dyn. GS(F)Teil 3 100% 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 dyn.GS(F) in Fo-zeit 100% 3,9383 5,6631 4,1939 5,7795 4,1079 5,7446 dyn.GS(F) insges. 100% 12,9149 19,2353 14,8439 21,4427 14 ,1711 20.7030 dyn.GS(GM) 9,6543 14,4802 I 1,4078 16,6418 9,7524 14,7452 (pSlSl-I)/(p- 1 ) 12,7392 11,9169 SNZBS(R) 1 (J(IC} 45,9672 77,4868 49,1323 80,5888 48,0635 79,5943 SNZBS(S) 1(1(/% 22,0030 37.0124 SNZBS(F) 1(/0% 54,7320 90,9294 57,4987 92,8301 56,5631 92,2212 SNZBS(GM) 49,4731 82,8639 52,0605 84,8733 45,8543 75,7324 Kiindigeranspargrad c} 14,7026 13,7877 1 6 , 4 0 2 3 1 5 , 4 5 1 7 15,8144 14,8896 Ktindigungsquote fiihrl. % 1,8160 1,7036 1,0982 1,0098 2,5334 2,3346 Durchschn.Ansparg.R % 19,5282 17,5155 21,6761 19,4360 20,9373 18,7933 Durchschn.Ansparg.S (/c 52,0784 51.8037 Durchschn.Ansparg.F % 23,5966 21,1541 25,8160 23,0989 25.0537 22.4493 Durch..Ansparg.insges. c} 19.5141 1 7 , 4 7 4 7 21,9126 1 9 , 6 0 7 9 21,2681 19.4701 SNZBS(F, f, p) 100c~ 8,7648 13,4425 8,3665 12,2413 8,4996 12,6269 Fortsetzer-Anspargrad % 44,9335 42,1284 50,1279 47.2127 48,3311 45,4950 Anteil Forts.an SNZBS % 7,0865 6,4890 5,6247 5,0481 3,7072 3.3346 Fortsetzerreserve (1 0 1.8330 2,5882 1.0412 1.4930 FR(E f, pJ zu SNZBS(F) 9; (1 0 62,60 60,41 61,25 59.12 (pt-I//(p-1 ) 49.7377 67,6392 42,9326 57,1270 45,2067 60,5014 p g 0,9803 0,9612 0,9803 0,9612 0,9803 0,9612 Eck.Klammer DS(R/ 0,0416 0,1897 ~0,0323 0,t441 -0,0353 0,1583 dyn.DS(R) 100% 16,4853 24,7953 12.7789 18.8318 13.9785 20,6888 (pt(Sl-I)/(p-1 ) 36,3223 43.4278 Eck,Klammer DS(S) -0,0241 0,0912 dyn. DS(S/ 100% 12,1953 20,2145

,~t 1.4695 2,2691 1,4014 2,0621 1,4241 2,1285 pPt t( l-i 1,0190 1,0369 t ,0199 1.0390 1,0196 1.0383 (p,F~_ 1 )/(p-1 ) 46,9529 63,4552 40,1374 53.1072 42,4 133 56,4252 Eck.Klammer DS(FD) 0.0377 0,1711 -0,0287 0,1277 -0,0316 0,1412 dyn.DS(FD) 1(/(/% 14,3280 20,5869 10,9158 15,4033 12,0168 17,0131 dyn.DS(GM) 8,7433 13,0061 8,5726 12,4966 8,0216 12,1583 Anlagegrad(R) e~ 183,6476 182,6918 119,9906 120,2293 138,9078 138.3090 Antagegrad(S) % 106,4277 105,4280 Anlagegrad(FD) c~ 110 ,9415 107,0266 73,5374 71,8346 84,7979 82,1771 Anlagegrad(GM) insg. ~7~ 90,5643 89,8201 75,1469 75.0912 82,2525 82,4565 (p~-I)/(p 11 2.0100 2,0200 2,0100 2,0200 2,0100 2,0200 Trhgheitsreserve (R) (/,6795 1,1147 0,7369 1,1609 0,6197 0.9881 Trhgheitsreserve (FD) 0,2314 0.3592 0.2653 0.396(/ 0.0699 0.1056 TrS.gheitsreserve (GM) 0,9109 1,4739 1,0022 1,5568 11,6896 1,0937 GS(GM) - FR 9,6543 14,4802 9,5749 14,0536 8,7112 13,2521 DS(GM) + TR 9.6542 14,4800 9,5748 14,0534 8,7112 13,2520 Differenz 0,0000 0,0002 0,0000 0,0002 0,0000 0.0001 Sparerleistung (R+V+K) 4.0929 5,6863 5,6128 7.5116 4.7125 6.3946 Sparerleistung (S) 1,6112 2,5579 Sparerleistung (FD+FV) 4,6061 6,1527 4,5903 5,8892 2,5120 3,2699 Sparerleistung (GM) 8,6989 11 ,8391 1 0 , 2 0 3 1 13,4008 8,8357 12,2223 Kassenteistung (R) 7.5256 12,9982 7,1787 11,9813 6,3156 10,6339

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Kassenleistung iS) 2,0228 3,6941 Kassenleistung (FD) 2.4373 4,0012 2,4366 3,8728 0,6742 1,0802 Kassenleistung (GM) 9,9629 16 ,9994 9 , 6 1 5 3 15,8541 9,0125 15.4082 kSKLV (GM) % 87,3126 69,6439 106,1137 8 4 , 5 2 5 3 98,0379 79,3235 SZBS(R) 100% 52,2252 70,9724 45,3520 60,2500 47,6489 63,6919 SZBS(S) 100% 46,(1201 72,1846 SZBS(FD) 100% 47,4309 6t,4162 40,8633 51,8032 43,0579 54,8893 SZBS(GM) 28,0047 37,6014 30,8487 40,4856 28,1154 39,0489 SBS(R) 100% 98,1924 148,4592 94 ,4843 140,8388 95,7124 143,2861 SBS(S) 100% 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 68,0231 109,1970 SBS(FD) 100% 102,1629 152,3456 98,3620 144,6334 99,6210 147.1105 SBS(GM) 77,4778 120.4652 82 ,9092 125,3589 73.9698 114,7813 Zuleilungsgrad (R) % 53.1866 47.8060 47,9995 42,7794 49,7834 44,4508 Zuteilungsgrad (S) % 67,6536 66,1050 Zuteilungsgrad (FD) % 46,4267 40 ,3137 41,5438 3 5 . 8 1 6 9 43,2217 37,3116 Zuteilungsgrad (GM) % 36,1454 31 ,2135 37 ,2078 3 2 , 2 9 5 8 38 ,0094 34,0203 Anteil NZBS(S)/NZBS % 7,1977 7,3309 Sparbeitr~ige R+V+K 0,3413 0 , 5 6 9 8 0,4257 0,6913 0,3688 0,6048 Sparbeitr~ige S 0,1446 0.2828 Sparbeitr~ige F 0,2731 0,4558 0,2554 0.4148 0,1428 0,2341 Sparbeitr~ige GM 0,6144 1,0256 0,6810 1.1061 0,6562 1,1217 Guthabenzinsen GM 0,0717 0 , 1 0 6 5 0,0847 0,1224 0,0724 0,1084 B-(q-I I. D(R,0) 0,0109 0 , 0 1 0 5 0,0115 0,0112 0,0113 0,0109 qt 1,6554 1,7104 1,5620 1,6129 1,5931 1,6445 (pt_qt)/(p_.q) 63,1936 85 ,6502 53 ,0597 7 0 , 6 2 3 8 56,3980 75,3974 Tilgungsbetr~ige R 0.2694 0 , 3 4 6 5 0.2997 0,3788 0.2499 0.3173 B(S)-(q-I) - DfS, 01 0.0122 0,0122 qt(S) 1,4723 1,4802 (ptlS)-qt(S))/(p~l) 43,6364 51,7808 Tilgungsbetr~,ge S 0,1004 0,1539 B(F)-(q-I ) • D(F, 0) 0,0111 0,0108 0,0118 0,0114 0,0116 0,0112 qt(F) 1,6170 1,6720 1,5239 1.5746 1,5549 1,6062 (pt(F) qt~F))/(p_q) 58,9944 79,6153 49.0236 65.0024 52,3042 69,6370 Tilgungsbetr~ige FD 0,0927 0,1138 0,1091 0,1318 0,0285 0,0346 Tilgungsbetr~ige GM 0,3621 0,4603 0,4088 0,5106 0,3788 0,5058 Sparintensitfit I j~ihrl. % 4,9677 4,9506 5,2327 5,2130 5,7239 5,9244 Tilgungsintensitfit Ij~ihrl. % 16,5675 14,1571 19 ,0739 1 6 , 3 4 2 8 18,8873 16,6396 Tilgungsbeitr~ige R 0,3511 0,4681 0,3788 0,4942 0,3191 0,4187 Tilgungsbeitr~ige S (I,1230 0,1911 Tilgungsbeitr~ige FD 0,1193 0,1516 0,1361 0,1695 0,0359 0,0450 Tilgungsbeitrage GM 0,4703 0 , 6 1 9 7 0,5149 0,6637 0,4780 0,6548 Tilggsanteil in Tilggsbeitr. 76,9937 74,2801 79 ,3938 76,9262 79,2326 77,2442 Zufliisse Zuteilgsmasse 1,0482 1,5924 1,1745 1,7391 1,1073 1,7359 Anteil Sparbeitr~ige % 58,6138 64 ,4053 57,9839 63,6046 59 ,2555 64,6172 Anteil Guthabenzinsen % 6,8391 6,6865 7,2123 7,0364 6,5398 6,2459 Anteil Tilgungsbetr~ige % 34,5471 28 ,9083 34 ,8038 29 ,3591 34 ,2047 29,1369 Zuget.Bausparguth. R+V 0,2972 0,4379 0,3868 0,5462 0,3100 0,4442 Zuget.Bausparguth. S 0,1403 0,2476 Zug.Bausparguth.FD+FV 0,2603 0 , 3 6 1 5 0,2425 0,3228 0,1357 0,1834 Zuget.Bausparguth.GM 0,5575 0,7994 0,6294 0,8691 0,5861 0,8752 Zuget.Bauspardarl. R 0,3347 0,5410 0,363(/ 0,5634 0,3052 0,4795 Zuget.Bauspardarl. S 0, I 185 0,2134 Zug.Bauspardarl. FD 0,1140 0 , 1 7 4 3 0,1307 0,1922 0,0345 0,0513 ZugetBauspardarl. GM 0,4487 0 , 7 1 5 3 0,4937 0,7556 0,4582 0,7442 K(indiggsrdckzahlungen 0,0330 0 , 0 4 8 7 0,0234 0,0331 0,0459 0,0658 Zufiihrung Fortsetzerres. 0 0 0,0181 0,05(17 (I,0103 0,0293 Zuf(ihrung Tr~.gheitsres. 0,0090 0 , 0 2 8 9 0,0099 0,0305 0,0068 0,0214

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Entnahmen Zuteilgsm.GM 1,0482 1,5924 l, 1745 1,7391 1,1073 1,7359 Zufl. Entn. ZM GM 0,0000 0 , 0 0 0 0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 Anteil zug, Guthaben % 53,1838 50,2055 53,5837 49 ,9737 52,9280 50,4160 Anteil zug. Darlehen % 42,8055 44,9238 42,0303 43 ,4490 41,3770 42,8707 Ant.Riickz.=Riickz.-qu.1% 3,1503 3,0558 1,9960 1,9037 4,1475 3,7914 Anteil Zuf. Fortsetzerres. % 0,0000 0,0000 1,5451 2,9182 0,9309 1,6865 Anteil Zuf. Tr~igheitsres. c~ 0,8604 1,8149 0,8448 1,7553 0,6166 1,2354 Darlehenszinsen 0,1082 0 , 1 5 9 4 0,1061 0,1531 0,0993 0,1490 Tilgungsbetrfige als Diff. 0,3621 0,4603 0,4088 0,5106 0,3788 0,5058 Rekursiv bet'. GS(GM) 9,6543 14A802 11,4078 16,6418 9,7524 14,7452 Rekursiv bet. DS(GM) 8,7433 13,0061 8,5726 12,4966 8,0216 12,1583 Altem. rek. bet'. DS(GM) 8,7433 13,0061 8,5726 12,4966 8,0216 12,1583 Riickzahlungsquote II % 5,3747 4 , 7 4 4 7 3,4424 2,9930 6,9993 5,8674 Verzichtsquote j~ihrl. % 3,4566 3,0891 2,1009 1,8498 2,4232 2,1384 Aufl6sungsquote jiihrl, c~ 5,2726 4,7927 3,1991 2,8596 4,9566 4,4730 Fortsetzerres.zu GS(GM) ~ 0 0 16,0677 15,5525 10.6761 10,125611 Tr~gheitsres. zu DS(GM) ~ 10,4184 lt,3323 11,6905 12,4582 8,5969 8,9952

Die Neuzugangs-Bausparsummen werden in der Weise normiert, dass jeweils die ,,letzte'" Zugangsgeneration aller Gruppen das Niveau pt+~ aufweist. Das erfordert, soweit die ent- wickelten Formeln die betreffende Niveauverschiebung nicht schon enthalten, die Multipli- kation mit dem Faktor

p-g bei den Darlehensgr613en der R, pt+S-tCs)-sls) bei allen Werten der S,

ft bei den darlehensabhangigen Gr613en der FD, die mit t = t(R) gerechnet sind, P tg)~g pt bei den mit t(F) gerechneten darlehensabhiingigen Gr/Jgen der FD.

Infolgedessen stellen sich die verschiedenen BS-Best~,nde - hier wie bisher zun~chst ohne Gewichtung mit den Anteilen a - wie folgt dar:

SNZBS(R/K/V) = pt+l . P~ ~ l , (112) p - 1

SNZBS(FD/FV) = pt+l . pS+t _ I . p - t = pt+l pS - 1 p - 1 p - I

S N Z B S ( S ) = p t t S l + I . p s ~ S ) - I pt+S-tCs) s/s) p - I

, _ _ _ _ + pt+l . P f - l . p _ f (113) p - 1

(114)

pt _ 1 + pt+l . _ _ . P g - 1 ~° S Z B S ( R ) = p . p - I p g p - I P (115)

(wie bei den FD einschlieBlich der Bausparvertr~ige, deren Darlehen sich in der Tr~igheitsreserve befinden)

573

Tabelle 10. Bauspartechnische Kennzahlen ftir den dynamischen Beharrungszustand von 3%/5%- Ratensparbesffinden nach den Hauptversionen I und II des bausparmathematischen Gesamtmodells

bei vorgegebenem iSKLV (Keine und maximale Fortsetzerreserve; Darlehensgebtihr 2%)

Position Ein- Fall heit 1 2 3 4 5 6 7 8

Hauptversion I I 1 I 11 II II II Fortsetzerres. keine maximal keine maximal

r

q P A A(F) l+d B B(F) a(R) a(K) a(FD) a(FV) a(V) s(R) = s r s

(r~-I)/(r- I ) G(R, siR)) D(R, 0) Q(R) t(R) = t GS(R) = ZielBZ stat.DS(R) iSKLV(R) r f

(rf-I)/(r-l) G(F, s+f) stat. D(F, 0) Q(F) t(F) GS(F, s+f) star. stat.DS(F) iSKLV(FD) p~ (p~-r~)/(p-r) (p~-I)/(p-l) pt

d~n.GS(R, s, p) P . . (pLrf)/(p-r) dyn.GS(F)Teil 2 (p tZ 1 )/(p- 1 ) dyn.GS(F)Teil 3 GS(F)in Fo-zeit dyn.GS(F) insg. dyn.GS(GM) SNZBS(R) SNZBS(F) SNZBS(GM) Kfind.-anspargr. Kfind.-quote p.a. % Du. Ansparg.R % Du. Ansparg.F %

1,0075 1.0075 1,0075 1.0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0075 1,0125 1.0125 1,(1125 1,0125 1.0125 1.0125 1,0125 1,0125 1,01 1.02 1,01 1,02 1,01 1.02 1,01 1,02 0,015 0.015 0,015 0.015 (1,015 0 . 0 1 5 0,015 0,015 0 0 0 0 0 0 0 0 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 1,02 0,018 0,018 0 , 0 1 8 0,018 0,018 0,018 0,018 0.018 0,018 0,018 0,018 0.018 0,018 0,018 0,018 0,018 0,40 0.40 0.40 0,40 0,50 0,50 0,50 0,50 0,15 0,15 0.15 0,15 0,10 0.10 0,10 0,10 0.15 0,15 0.15 0,15 0.20 0.20 0,20 0.20 0.25 0,25 0.25 0,25 0.15 0,15 0,15 0.15 0.05 0.05 0,05 0,05 0.05 0,05 0.05 0,05

Qu. 28,1988 28.1988 29.7490 29,7490 29,7509 29,7509 30,9752 30.9752 1,2345 1.2345 1,2489 1.2489 1.2489 1,2489 1.2604 1,2604

31.2725 31,2725 33,1904 33,1904 33.1927 33,1927 34,7230 34.7230 0.4691 0.4691 0,4979 0,4979 0,4979 0,4979 0 ,5208 0.5208 0,5415 0 ,5415 0.5122 0,5122 0,5122 0,5122 0 .4887 0,4887 1,6027 1.6027 1,5520 1,5520 1.5520 1.5520 1,5138 1.5138

Qu. 37,9718 37,9718 35,3848 35.3848 35,3817 35,3817 33.3756 33.3756 100% 614,7519 614.7519 688,2616 688,2616 688.3537 688.3537 749,5644 749,5651 100% 11,3570 11,3570 9,9792 9.9792 9,9775 9,9775 8 ,9618 8,9618 % 54,1300 54,1300 68,9699 68,9699 68,9903 68,9903 83,6399 83,6400

1.0459 1.0459 i .(1459 1,0459 t ,0459 1.0459 1.0459 1.0459 6.1136 6,1136 6,1136 6,1136 6.1136 6,1136 6 ,1136 6,1136 0.4906 0,4906 0,5207 0.5207 0.5207 0.5207 0 .5447 0.5447 0,5196 0,5196 0.4889 0,4889 0.4889 0,4889 0,4644 0,4644 1.5645 1,5645 1.5140 1.5140 1,5140 1,5140 1,4760 1,4760

Qu. 36,0298 36,0298 33,3896 33,3896 33.3864 33,3864 31,3402 31,3401 100% 9,0154 9,0154 9.9263 9,9263 9.9275 9,9275 10,6799 10,6799 100% 10.3156 10,3156 8,9687 8,9687 8.9672 8,9672 7.9795 7,9795 % 87,3956 87,3956 110,6771 110,6771 11(/.7091 110,7091 133,8409 133,8412

1.3239 13479 1,3445 1,8024 1.3445 1,8024 1,3610 1,8467 35.7452 41.0678 38,2239 44,2764 38.2270 44,2803 40.2275 46,9007 32.3907 37,3946 34,4487 40,1191 34,4513 4(I,1225 36,0991 42.3341

1,4591 2,1211 1.4220 2,0152 1,4220 2,0151 1 .3939 1,9366 100% 9,8870 15,8942 10,8442 17,0904 10.8454 1%0919 11,6240 18,0410

1,0615 1.1262 1,0615 1,1262 1,0615 1.1262 1,0615 1,1262 6,2672 6,4248 6,2672 6,4248 6,2672 6.4248 6 ,2672 6.4248

100% 4,0814 5,7900 4,2216 5.8382 4,2218 5,8382 4.3291 5,8695 6,1520 6,3081 6,1520 6.3081 6,1520 6,3081 6,1520 6,3081

100% 0.0000 0,0000 0,0000 0.0000 0,0000 0,0000 0.0000 0,0000 100% 4,0814 5.7900 4,2216 5,8382 4.2218 5,8382 4,3291 5.8695 100% 13.9684 21.6842 15,0658 22,9286 15,0672 22,9301 15.9532 23,9106

10.5309 16,6208 11.4484 17,7166 11,6000 17,9958 12,3643 18.8926 100% 47.7345 80,9044 49.4773 82,4645 49.4794 82,4663 50,8214 83.6230 100% 56.2753 93,0233 57,8011 93,9782 57.8029 93,9793 58,9804 94.6876

51,1508 85,7520 52.8068 87,0700 52,3926 86.4959 53,6770 87.4956 % 15,6363 15.6363 16.5952 16.5952 16.5963 16.5963 17.3615 17,3615

1,7115 1,4841 1.6157 1,3887 1,0856 0,9319 1,0387 0,8853 20.7126 19,6457 21.9176 20,7246 21,9190 20.7259 22,8724 21.5743 24.8216 23.3105 26,0650 24.3978 26.0665 24,3991 27.0483 25,2521

574



Du.Ansparg.ges SNZBS(E f, p) Forts.-Anspargr. Forts.zu SNZBS Fortsetzerres. FR / SNZBS(F) (pt-1)/(p-1 ) pg EckKl. DS(R) dyn. DS(R) p,IFl pt t~F~ (ptIF~- 1 )/(p-1 ) Eck.K1. DS(FD) dyn. DS(FD) dyn.DS(GM) Anlagegrad(R) Anlagegr.(FD) Anl.-gr.GM) ges (pg-1)/(p-l) Tr~igheitsres.(R) Tr~igh.-res.(FD) Tr~tgh.-res.IGM) GS(GM) FR DS(GM) + TR Differ.= SR SL (R+V+K) SL (FD+FV/ SL GM) KL (R) KL (FD) KL (GM) kSKLV (GM) SZBS[R) SZBS(FD) SZBS(GM) SBS(R) SBSfFD) SBSfGM) Zut.-grad (R) Zut.-grad (FD) Zut.-grad (G M ) Sparb. R+V+K Sparbeitrage F Sparbeitr. GM Guth.-zins.GM B-(q-I ). D(R, 0) qt (pt qt)/(p q)

Tilgungsbetr. R B(F)-(q-1 )-D(E 0)

t¢FI q (p tF _q IF )/(p_q)

Tilgungsbetr.FD Tilggsbetr.G M Sparint. 1 j~ihrl, Tilggsint. I j~ihrl.

% 20,5879 19,3824 21,6799 20,3476 22,1405 20,8054 23,0346 21.5927 100% 8,5408 12,1189 8,3238 11,5137 8,3235 11,5130 8,1590 11,0646 % 47,7868 47,7766 50,7174 50,7065 50,7210 50,7101 53,0594 53,0480 % 6,6790 5.6530 6,3051 5,2894 5,5604 4,6587 5,3201 4,4261

0 0 2,0989 2,9028 0 0 1,8503 2,5089 % 0 0 63,03811 63,0299 0 0 64,7945 64,7860

45,9117 56,0557 42,2038 50,7594 42,1994 50,7532 39,3890 46,8291 0,9803 0,9612 0,9803 0,9612 0,9803 0,9612 0,9803 0,9612

-0,0363 0,1396 -0,0313 0,1185 -0,0313 0.1185 -0,0278 0,1036 100% 14,3586 18,2542 12,4031 15,4882 12,40118 15,4851 10,9919 13.5369

1,4312 2 ,0411 1 ,3941 1 ,9371 1,3940 1,9370 1 ,3659 1,8601 1,0195 1 ,0392 1,0201 1,0403 1 ,0201 1 ,0403 1,0205 1,0411

43,1193 52,0545 39,4084 46,8559 39,4040 46.8498 36,5943 43,0038 -0,0325 0,1236 -0,0278 0,1037 -0,0278 0,1036 -0,0244 0,0897

11///% 12,3663 14.9034 10,5716 12,5169 10,5695 12,5142 9,2830 10,8414 7,5984 9,5372 6,5470 8,/1728 8,3143 10,2454 7,3525 8,9368

% 145,2261 114,8481 114,3750 90,6253 114,3417 90,5991 94,5615 75.0342 % 88,5305 68,7294 70,1694 54,5907 70,1494 54,5753 58,1888 45,3416 % 72,1532 57,3811 57,1865 45,5663 71,6751 56,9321 59,4658 47,3029

2,0100 2,0200 2,0100 2,0200 2,0100 2,0200 2,0100 2,0200 0,6290 /),9099 0,5798 0,8176 0,7247 1,0219 0,6779 0,9372 0,2132 1/,2907 0,1955 0,2599 0,2607 0,3465 0,2427 0,3163 0.8422 1,2006 0,7753 1 ,0775 0.9853 1,3684 0,9206 1,2535

10,5309 16,6208 9,3496 14,8138 11,6000 17,9958 10,5140 16,3837 8,4406 10,7378 7,3223 9,1503 9,2996 11,6137 8,2731 10,1903 2,0903 5,8830 2,0273 5,6635 2,3004 6,3821 2,2409 6, 1935 4,4850 6,5198 4,8937 6,9349 5,7099 8,0913 6,0947 8,4676 4,9568 6,7921 5,3190 7,1050 4,6545 6,2172 4,9083 6,4279 9,4418 13,3119 10,2127 14,0399 10,3644 14,3085 11,0031 14,8955 6,4978 9,2616 5,5644 7,7316 6,9542 9,6623 6,1228 8,3407 2,0850 2,8012 1,7667 2,3139 2,3551 3,0844 2,0543 2,6378 8,5828 12,0628 7,3311 10,0455 9,3093 12,7468 8,1771 10,9785

% 110,0081 110,3551 139,3054 139,7634 111,3334 112,2519 134,5592 135,6797 100% 48,3610 59,1572 44,6159 53,7550 44,6115 53,7487 41,7730 49,7460 100~ 43,7383 50,8233 40,1599 45,9786 40,1557 45,9729 37,4437 42,3827

25,9051 31.2864 23,8704 28,3988 3(/,3369 36,0689 28,3752 33,3496 11)0~7c 96,0954 140,0616 94,0932 136,2195 94,0908 136,2150 92,5943 133,3690 100% 1/10,0136 143,8466 97,9610 139,9568 97.9586 139,9523 96,4241 137,0703

77,0559 117,0384 76,6772 115,4688 82.7295 122,5648 82,0523 120,8452 % 50,3260 42,2365 47,4167 39,4620 47,4132 39,4587 45,1140 37,2995 c~ 43,7324 35,3316 40,9958 32,8520 40,9925 32,8490 38,8323 30.9204 % 33,6186 26,7317 31,1310 24,5943 36,6700 29,4285 34,5819 27,5969

03545 0,5949 0,3674 0,6064 0,4287 0,7074 0,4403 0,7174 I),2836 0,4759 0,2939 0,4851 0,2572 0,4245 0,2642 0,4304 0,63811 1 ,0708 0,6613 1,0914 0,6859 1,1319 0.7045 1,1478 0,0782 0,1222 0,0850 0,1303 0,0861 0,1323 0,0918 0,1389 0,0112 0,0112 0,0116 0,0116 0,0116 0,0116 0,0119 0,0119 1,6027 1 ,6027 1,5521/ 1,5520 1,5520 L,5520 1 ,5138 1,5138

57.4429 69,1184 52,0001 61,7534 51,9937 61,7449 47,9556 56,3737 I),25311 0,2984 0,2365 0,2754 0,2956 0,3442 0,2795 0,3221 0,0115 0,0115 0,0119 0,0119 0,0119 0,0119 0,0122 0,0122 1,5645 1 ,5645 1,5140 1,5140 1,5140 1,5140 1,4760 1,4760

53,3318 63,5424 47,9832 56,4102 47,9769 56,4019 44,0158 51,2125 0,0867 0,0973 0,0806 0,0893 0,1075 0 ,1191 0,1012 0.1110 0,3396 0,3957 0,3171 0,3647 0,4030 1/,4632 0,3807 0,433 I

% 4,9894 4,9948 5,0094 5,0141 5,2363 5,2344 5,2496 5,2472 % 17,8787 16.5964 19,3729 18,0691 19,3901 18,0857 20,70947 19,3870

575



Tilgungsbeitr.R Tilggsbeitr. FD Tilggsbeitr. GM Tilgg/Tilggsbeitr. % Zufliisse ZM Anteil Sparbeitr. % Anteil Guth.-zi. % Anteil Tilggsbetr. % Zuget.BG R+V Zug.BG FD+FV Zuget.BG GM Zuget.BD R Zug.BD FD Zuget.BD GM Kiind.-rtickzahl. Zufiihr. FR Zuf(ihr. TR Entn. ZM GM Zuf-Ent ZM GM Anteil ZBG % Anteil ZBD % Riickz.-quote I % Anteil Zuf. FR % Anteil Zuf. TR % Darl.-zins. GM Tilgsbetr.= Diff. Rekurs.GS(GM) Rekurs.DS(GM) AIt.rek.DS(GM) Riickz.-quote II % Verzichtsqu. j/i. % Aufl6sgsqu. j~i. % FR zu GS(GM) % TR zu DS(GM) % SR zu GS(GM) %

0,3241 0,3879 0,2979 0,3513 0,3723 0,4390 0,3475 0,4051 0,1096 0,1247 0,1002 0,1123 0.1336 0,1498 0,1241 0,1376 0,4337 0,5126 0,3981 0,4636 0,5059 0,5888 0,4717 0,5427

78,3151 77,1985 79,6472 78,6603 79,6615 78,6757 80,7073 79.8182 1,0559 1,5887 1.0634 1,5864 1,1750 1.7274 1,1769 1,7198

60,4281 67,4000 62,1885 68.8006 58,3690 65,5238 59,8550 66.7374 7,4063 7,6925 7,9943 8,2117 7,3308 7.6600 7,8011 8,0774

32,1656 24,9075 29.8172 22,9876 34,3002 26,8162 32.3439 25,1853 0.3080 0,4477 0,3186 0,4515 0.3894 0,5518 0,3993 0.5548 0,2697 0,3696 0,2790 0,3727 0,2441 0,3261 0,2503 0,3279 0,5777 0,8174 0,5976 0.8242 0,6335 0,8779 0,6496 0,8826 0,3098 0,4416 0,2856 0,3968 0,3570 0,4960 0,3339 0.4549 0,1050 0,1411 0,0963 0.1261 0.1284 0,1682 0,1196 0,1535 0,4149 0.5827 0.3819 0.5230 0,4854 0,6641 0,4535 0,6084 0,0342 0.0497 0,0354 0.0502 0,0236 0.0334 0.0242 0,0336 0 0 0,0208 0,0569 0 0 0,0183 0.0492 0,0083 0,0235 0,0077 0,0211 0.0098 0,0268 0,0091 0,0246 1,0352 1,4734 1,0434 1,4753 1,1523 1,6023 1,1547 1,5984 0,0207 0,1154 0,0201 0.1110 0,0228 0,1251 0,0222 0,1214

55.8121 55,4757 57,2762 55,8627 54,9827 54,7903 56,2590 55,2193 40,0763 39,5499 36,6036 35,4471 42,1225 41,4480 39,2695 38,0618

3,3060 3.3766 3,3928 3,4002 2,0482 2.0872 2,0957 2,1035 0,0000 0,0000 1,9917 3.8580 0,0000 0,0000 1,5865 3.0777 0,8055 1,5978 0,7357 1,4321 0.8467 1,6745 0,7893 1,5377 0,0940 0,1169 0,0810 0.0989 0,1029 0,1256 0,0910 0,1095 0,3396 0,3957 0,3171 0,3647 0,4030 0,4632 0,3807 0,4331

10,5309 16,6208 11,4484 17,7166 11,6000 17,9958 12,3643 18,8926 7,5984 9,5372 6,5470 8,0728 8,3143 10,2454 7,3525 8,9368 7,5984 9,5372 6,5470 8,0728 8,3143 10,2454 7,3525 8,9368 5,3638 4,6460 5,3526 4,5961 3,4410 2,9546 3,4353 2,9293 3,2578 2,6911 3,0754 2,5181 2,0769 1,7071 1,9871 1,6219 4,9693 4,1753 4,6912 3,9067 3,1626 2,6390 3,0259 2,5072 0 0 18,3332 16,3848 0 0 14,9650 13,2798

11,0839 12,5888 11,8422 13,3474 11,8509 13,3559 12,5206 14,0263 19,8494 35,3953 17,7081 31,9670 19,8307 35,4641 18,1238 32,7825

pt(F) --1 pt(F)+l SZBS(FD) = p. . p -g + - - - -

p - 1

pt(S) _ 1 pt+S-t~s) s(S) SZBS(S) -- p . - - .

p - 1

Die Bestiinde und Ums~itze der Geldgr6gen lauten:

GS(GM) = a(S) . GS(S, s(S), p) . pt+S-t(S)-s(S)

+ I a ( R ) + ~ + a (V) l " GS(R, s, P)

+ [a(FD) + a(FV)] • GS(F, s + f, p),

pg - 1 1 p - 1 p -g .p t - t (F) - f und

FR(GM) = [a(FD) + a (FV)] . FR(f , p),

(116)

(117)

(118)

(119)

576

DS(GM) = a(S ). DS(S, t(S), PT" pt+~-tl s)-~¢ s)

+ a(R). DS(R, t, p)- p g

+ a(FD). DS(FD, t(F), p). p-g, (120)

TR(GM) = a(RT. TR(R, g, p)+ a(FD). TR(FD, g, p). p- f , (121)

SSP(GM) = a(S). E. pt+S + [a(R)+ a (K)+ a(V)], a . pt .P s - I p -1

[a(FD)+a(FV)] [ A . p t p s - 1 . • +A(F) -p t p f - 1 ] - -p-f p - I p -1 , (122)

wobei in den Rechenbeispielen der Tabellen 9 und 10 A(F) = 0 ist,

SGZ(GM) = r - 1. GS(GMT, (123) P

ptiS) _qttS) STB(GM) = a(S)-[B(S)-(q -1). D(S, 0)]. . pt+~-tc s)-~ls)

p - q pt _qt

+ a(R). [B(R)- (q - 17-D(R, 07] • p-g p - q pt{F) _qt(F)

+ a(FD). [B(F)-(q -1). D(F, 0)]. pt-t(F)-f-g, (124) p - q

ZBG(GM7 = a(S). G(S, s(S)), pt+~-tls)-~ls~

+ [a(R)+ a(V)]. G(R, s). pt

+ [a(FD)+a(FV)]. G(F, s+ f). pt 1 (1257

ZBD(GM) = a(S)-D(S, 0). pt+S us) siS)

+ a(R). D(R, 07-pt-g

+a(FD).D(F, 07.p t f g, (126)

GIR, s7 pt RK(GM) = a(K). - . , (127)

3

ZFR(GM) = [a(FD) + a(FV)], p-E1 . FR(f, p), (1287 P

ZTR(GM) = [a(R7. TR(R, g, p7 + a(FD)-TR(FD, g, p) .p e]. P - 1 (129) P

Wfihrend es auf der Seite der Zufltisse zur Zuteilungsmasse bei den drei Zuflugarten Spar- beitr~ige, Guthabenzinsen und Tilgungsbetr~ige verbleibt, sind im Gesamtmodell bei den Entnahmen neben den Auszahlungen an zugeteilten Bausparguthaben und zugeteilten - erst bei Auszahlung der Zuteilungsmasse zu entnehmenden - Bauspardarlehen zus~itzlich Ktin- digungsriickzahlungen sowie Zuftihrungen zur Fortsetzerreserve und zur Tr~igheitsreserve zu beriicksichtigen. Die Kassengleichung lautet bei Bildung von Fortsetzer- und Trfigheits- reserven ftir die Bestandsgr6gen:

GS(GM) - FR(GM) = DS(GM) + TR(GM) und (130)

577

schliel31ich die Kassengleichung in den Umsatzgrtigen (unter Weglassung des Symbols GM):

ZZM -- SSP + SGZ + STB = ZBG + ZBD + RK + ZFR + ZTR = EZM (t31)

Nach den friiheren Darlegungen eriibrigt es sich, die Formeln des Gesamtmodells ftir die verschiedenen Kennzahlen anzugeben. Erw~ihnt sei nur, dass einige Werte, so Anspar-, An- lage- und Zuteilungsgrad sowie iSKLV ftir die Einzelbest~inde S, R und FD berechnet werden kOnnen, auch die - in den Tabellen jeweils nut ftir den Gesamtbestand genannten - Spar- und Tilgungsintensit~iten und Tilgungsanteile der Tilgungsbeitr~ige.

2. Beispiele fiir den Kollektivausgleich

Es liegt auf der Hand, dass sich ftir das bausparmathematische Gesamtmodell (GM) mit sei- nen zahlreichen Parametern eine kaum mehr tibersehbare Mannigfaltigkeit der denkbaren numerischen Auswertungen auftut. Oberdies dtirften bei jeder Bausparkasse etwas andere bauspartechnische Verh~iltnisse herrschen, die zudem der subjektiven Beurteilung dutch den Bausparmathematiker unterliegen. Wie aus den Tabellen hervorgeht, ist der Programmier 7 aufwand zur Umsetzung des Modells nicht gering, abet insofern lohnend, als das imple- mentierte Programm durch Variation der Bestimmungsgr613en zur Erzeugung beliebig vie- let GM-Realisationen benutzt werden kann. Vor diesem Hintergrund kann es nicht darum gehen, m6glichst viele Beispielsf~ille durch- zurechnen. Vielmehr beschr~inken sich die Beispiele der Tabelle 9 wieder auf ausgewghlte F~ille, bei denen die Ergebnisse ftir den statischen Beharrungszustand in [1] schon vorlie- gen. Nunmehr wird der dynamische Beharrungszustand mit p = 1,01 und p = 1,02 ftir die GM-Hauptversionen I (ohne Bildung einer Fortsetzerreserve) und II (mit maximaler Fort- setzerreserve) sowie ftir einen Ratensparerbestand betrachtet, der sich in die Teilbest~inde R, K, FD, FV und V aufteilt und dem ein 15%iger Anteil von 50%-Schnellsparem beigemischt ist. Die Sparzeiten s(R) sind so bestimmt, dass nach Bildung von Fortsetzer- und Tr~tgheits- reserven alas Kollektiv ausgeglichen ist, also weder ein Oberschul3 (Schwankungsreserve) noch ein Defizit der Zuteilungsmasse existiert. Auszugsweise ergeben sich nachstehende Kennzahlen:

Quartals- Hauptversion I ohne FR progression Spar- Ziel- ind. Spar- des Neu- zeit BZ SKLV zeit zugangs s(R) R s(R)

0% 28,20 614,8 54,13 30,98 1% 26,67 546,7 42,65 29,44 2% 25,16 483,3 33,64 27,90

An- Zu- koll. An- lage- teil.- SKLV lagegrad grad grad

0% 91,18 40,23 109,67 74,90 1% 90,56 36,15 87,31 75,15 2% 89,82 31,21 69,64 75,09

Hauptversion II max. FR Ratensp. mit 15% S Ziel- ind. Spar- Ziel ind. BZ SKLV zeit BZ SKLV

R s(R) R

749,2 83,64 30,02 702,1 72,08 673,2 65,70 28,49 628,1 56,63 601,0 51,65 26,98 560,0 44,75

Zu- koll. An- Zu- koll. teil.- SKLV lage- teil.- SKLV grad grad grad

40,96 133 ,51 81,86 41,30 122,16 37,21 106 ,11 82,25 38,01 98,04 32,30 84,53 82,46 34,02 79,32

Wie nicht anders zu erwarten, vermindern sich mit zunehmender Dynamik des Neuge- sch~ifts die Sparzeiten der Ratensparer (und der Bausparer mit abweichendem Verbalten)

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sowie die Zielbewertungszahlen und noch mehr die iSKLV. Das gilt auch for das kSKLV und den Zuteilungsgrad, wS.hrend der Anlagegrad kaum yon der Progression p, wohl aber vom Ausmal3 der Bildung einer Fortsetzerreserve abhangt. Wie sehr es auf die Bestandsmi- schung der Kollektive ankomrnt, zeigt die Bandbreite der Zielbewertungszahlen bei glei- chem p, die fiir die Tabelle 9 im statischen Beharrungszustand immerhin rd. yon 615 bis 750 reicht. Wenn jedoch der bauspartechnische Status des jeweiligen Bausparbestandes durch den Da- tenkranz der beiden Hauptversionen oder die dritte Konstellation der Tabelle 9 zutreffend beschrieben ist, dtirfen die aus den Zeilen p = 1,01 und p = 1,02 ablesbaren Verbessemngen an die Bausparer nicht weitergegeben werden, da sie allein aus dem wartezeitbestimmenden Faktor erster Art herrtihren. Hingegen k6nnen die Bausparer yon den Wirkungen der Fakto- ren zweiter und dritter Art durchaus profitieren, die sich jedoch bereits in den Ans~itzen des bauspal'mathematischen Gesamtmodells niederschlagen.

3. Mindestbewertungszahlen und Wirkungen der dadurch vorgegebenen individuellen SKLV

Das geeignete Instrument zur Erftillung der aufsichtsrechtlichen Forderung, zwar die wartezeitbestimmenden Faktoren zweiter und dritter Art in die Zielbewertungszahlen einfliegen zu lassen, nicht aber die Progressions- und Anlaufeffekte, sind Mindestbewertungszahlen (MBZ), die - ftir die Optimierer - auch die iSKLV minimieren. Welche Situation ergibt sich nun, wenn derartige MBZ gezogen sind, sich das Kollektiv gleichwohl im dynamischen Behan'ungszustand befindet? Diese Frage beantwortet Tabelle 10 fur einige ausgewahlte F~ille, in denen die iSKLV des statischen Beharrungszustandes der jeweiligen Konstellation ftir die Hauptversionen I und II auch bei p = 1,01 undp = 1,02 vorgegeben sind. Nachste- hend einige wichtige Kennzahlen far zwei F~ille:

Quartals- Hauptversion I ohne FR Hauptversion II mit max. FR progression koll. An- Zu- SR koll. An- Zu- SR des Neu- SKLV lage- teil. zu SKLV lage- teil. zu zugangs grad grad SBG grad grad SBG

0% 109,67 91,18 40,23 0 133,51 74,90 40,96 0 1% 110,01 72,15 33,62 19,85 134,56 59,47 34,58 18,12 2% 110,36 57,38 26,73 35,40 135,68 47,30 27,60 32,78

Die Folge ist demnach, dass die kSKLV, die in allen betrachteten Beispielen im zul~issigen Bereich > 100% liegen, kaum vonder Progression abh~ingen, durchaus aber von dem Aus- real3 der Dotierung der Fortsetzerreserve. Andererseits vermindern sich mit zunehmender Progression die Anlage- und die Zuteilungsgrade betr~ichtlich, undes bilden sich Schwan- kungsreserven (SR), d.h. auch nach Bildung von Fortsetzer- und Tr~,gheitsreserven Uber- schtisse der Zuteilungsmasse, welche die Bausparkasse aul3erkollektiv anlegen kann. Aus den dadurch erzielbaren Zusatzertr~igen kann sie den Fonds zur bauspartechnischen Ab- sicherung (FbtA) speisen [4].

VI . A b s c h l i e g e n d e W e r t u n g

Der dynamische Beharrungszustand des bausparmathematischen Gesamtmodells (GM) liefert bei zutreffender Auswahl der ihm zugrundeliegenden Pr~imissen ein brauchbares Abbild der tatsachlichen bauspartechnischen Gegebenheiten von Bausparkollektiven, bei denen das Neugesch~ift ann~ihernd mit konstanter Zuwachsrate geometrisch zunimmt. Das haben

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friihere Vergleiche der aus dem GM ableitbaren Kennzahlen mit den fur die Gesamtheiten der privaten und der 6ffentlich-rechtlichen Bausparkassen feststellbaren Kennzahlen gezeigt. Ein aktualisierender Vergleich mit den neuesten publizierten Werten [5] unterbleibt nur deshalb, weil sich in den Verbandsstatistiken untemehmenstypische Abweichungen na- turgem~if5 verwischen und weil eine Gegentiberstellung der theoretischen und der empiri- schen Zahlen ohnehin ftir die einzelne Bausparkasse am aussagekr~iftigsten ist, der eine derartige Untersuchung tiberlassen bleiben muf3. Das GM ist nach allem als Prototyp zu verstehen, der Erganzungen und Abwandlungen in fast unbegrenztem Ausmaf3 zug~inglich ist. Beispielhaft seien folgende Verfeinerungen ge- nannt: 1. Die Ktindigung von Bausparvertr~igen kann mit Verteilungsfunktionen der Kfindigungs-

h~iufigkeiten erfasst werden, die der Realit~it besser nachgebildet sind als der gew~hlte Ansatz einer Vertragsaufl6sung mit vollst~diger Rtickzahlung im Zeitpunkt s [6].

2. Ftir die Teilbest~inde FD und FV der Fortsetzer k/~nnen die Sparbeitr~ge in der Sparzeit s mit A(FD) und A(FV) abweichend von A (und A(F)) bemessen und dadurch Anspargrade bei Wiedergeltendmachung erreicht werden, die eher der Bausparwirklichkeit entspre- chen. Allerdings mtisste dann zur Abgrenzung der Fortsetzer errechnet werden, zu welchem Zeitpunkt diese mit ihrem (im Zweifel) h6heren Sparbeitrag die Zielbewertungs- zahl der Normalbausparer erreichen und sornit zugeteilt werden k6nnten.

3. Denkbar ist i.iberhaupt, die Sparzeit der Fortsetzer von s unabh~ingig zu machen und deren L~inge nach Erfahrungswerten, die vermutlich stark mit der (siebenj~ihrigen) Bin- dungsfrist des Wohnungsbau-Pr~imiengesetzes korrelieren, vorzugeben. Auch hier w~ire die Sparzeit s(F) bis zur Zuteilung aus der (schon mit r-I multiplizierten) Gleichung herzuleiten: G(r, s) - s. A = G(F, s(F)) - s(F). A(F).

4. Bei Tariftypen, die den Darlehensanspruch oder die Kassenleistung nach der Sparerlei- stung bemessen und dadurch weitgehend die Wirkungen von Vertragsfortsetzungen be- seitigen, sind die Anteile a(FD) und a(FV) gegebenenfalls = 0 zu setzen.

5. Komplizierter werden die Berechnungen, wenn das Tarifwerk zwei und mehr Varianten mit unterschiedlichen Sparbeitr~igen, Bewertungszahlfaktoren und Tilgungsbeitr~igen ent- halt. W~,hlt man die Variante mit dem niedrigsten Sparbeitrag, also der meist l~ingsten Spar- zeit s = s(1) als Normtyp, k6nnte man mit k = 2 . . . . . m die Sparzeiten s(k) der iabrigen m-1 Varianten wieder aus der Gleichheit der Zielbewertungszahlen, also aus den Gleichungen [G(R(1), s(l)) - s(l) . A(1)] • BZF(1) = [G(R(k), s(k)) - s(k). A(k)] • BZF(k) bestimmen, in denen BZF(k) die als bekannt vorausgesetzten Bewertungszahlfaktoren darstellen.

6. Hingegen bereitet es relativ wenig Mtihe, auch die Guthabentr~igheit, sollte sie aus- nahmsweise eine gr013ere Bedeutung haben, einzubeziehen. Die nach Zuteilung bereitgestellten, aber noch nicht abgerufenen Bausparguthaben erhOhen zwar die Summe der Bausparguthaben, mtissen davon aber als Teil der Tr~igheitsreserve wieder abgezogen werden.

7. Ebenso leicht liel~e sich das sogenannte Restguthaben, das sich durch die ftir die verfiJg- baren Zuteilungsmittel vorgeschriebene Berechnungsweise ergibt [7], in die Formeln integrieren.

8. Schliel31ich lassen sich auch Bauspartarife mit unterschiedlichen Zinsebenen, denen Zins- faktoren r(k) und q(k) zuzuordnen sind, erfassen. Von besonderem Interesse sind dabei Untersuchungen tiber die der Bausparkasse verbleibende Zinsspanne zwischen den Ertrfi- gen aus den Darlehenszinsen und den Aufwendungen ftir Guthabenzinsen. Die letzteren diJrfen jedoch nur in H6he des Anlagegrades dem Kollektivgeschfift zugerechnet werden. Die auf den Uberschul3 der Bausparguthaben tiber die Bauspardarlehen entfallenden Zins- aufwendungen sind dem aul3erkollektiven Gesch~ift der Bausparkasse zuzuordnen [8].

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Verceichnis der wichtigsten verwendeten Bezeichnungen und Symbole

A a(D)

a(F) a(FD) a(FV) a(K) a(R) a(S) a(V) ALG ASG ASN B BD BG BS BZ BZF D d D(0) DA DS DZ E EZM f FR FRM G g G(s) GS GZ i iSKLV J K KL KQ kSKLV MBZ MGH P q r

R

Sparbeitrag eines Ratensparers pro Quartal (auch A (R)) Anteil der sofortigen Darlehensnehmer an Bausparsumme des Neuzugangs (auch a(R)) Anteil der Vertragsfortsetzer an Bausparsumme des Neuzugangs Anteil der sp~iter darlehensnehmenden Fortsetzer Anteil der sp~iter darlehensverzichtenden Fortsetzer Anteil der Ktindiger an Bausparsumme des Neuzugangs Anteil der darlehensnehmenden Ratensparer (auch a (D)) Anteil der Schnellsparer an Bausparsumme des Neuzugangs Anteil der (sofortigen) Darlehensverzichter an Bausparsumme des Neuzugangs Anlagegrad Anspargrad Anspargrad der nicht zugeteilten Vertr~ige Tilgungsbeitrag pro Quarta] Bauspardarlehen (auch D) Bausparguthaben (auch G) Bausparsumme Bewertungszahl Bewertungszahlfaktor Bauspardarlehen (auch BD) Darlehensgeb~hr (zu Nettoanfangs-Bauspardarlehen) Bruttoanfangs-Bauspardarlehen (einschlieglich Darlehensgebtihr) Darlehensanspruch Darlehenssumme (auch SBD) Darlehenszinsen Einmalsparbetrag des Schnellsparers bei Vertragsbeginn Entnahmen aus der Zuteilungsmasse Fortsetzungszeit in Quartalen Fortsetzerreserve Maximale Fortsetzerreserve Bausparguthaben (auch BG) Tr~igheitszeit bei den zugeteilten Bauspardarlehen in Quartalen Bausparguthaben zum Zeitpunkt s Guthabensumme (auch SBG) Guthabenzinsen Zinssatz ftir die Guthabenverzinsung pro Quartal Individuelles Sparer-Kassen-Leistungsverh~iltnis Zinssatz ftir die Darlehensverzinsung pro Quartal KiJndiger Kassenleistung KiJndigungsquote Kollektives Sparer-Kassen-Leistungsverh~iltnis Mindestbewertungszahl Mindestsparguthaben Progressionsfaktor des summenmfigigen Neuzugangs pro Quartal Zinsfaktor 1 + j ftir die Darlehensverzinsung pro Quartal Zinsfaktor 1 + i ftir die Guthabenverzinsung pro Quartal Ratensparer

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RK RQ S

S SBD SBG SBS SDZ SGZ SI SKLV SL SNZBS SR SSP STB SZBS SZT t TA TB TI TR ~3ZM ZBD ZBG ZBZ ZFR ZG ZM ZTR ZZM

Riickzahlungen Rtickzahlungsquote Sparzeit in Quartalen Schnellsparer Summe der Bauspardarlehen (auch DS) Summe der Bausparguthaben (auch GS) Summe der (nicht zugeteilten und der zugeteilten) Bausparsummen Summe der Darlehenszinsen Summe der Guthabenzinsen Sparintensit~it I Sparer-Kassen-Leistungsverh~iltnis Sparerleistung Summe nicht zugeteilter Bausparsummen Schwankungsreserve Summe der Sparbeitr~ige Summe der Tilgungbetrage Summe zugeteilter Bausparsummen Summe der Tilgungsbeitr~ige (Zins- und Tiigungsraten) Tilgungszeit in Quartalen Tilgungsanteil der Tilgungsbeitr~ige Tilgungsbetr~ige Tilgungsintensit~it I Tr~igheitsreserve Oberschu8 der Zuteilungsmasse (Im Quartal neu) Zugeteilte Bauspardarlehen (Im Quartai neu) Zugeteilte Bausparguthaben Zielbewertungszahl Zuftihrung zur Fortsetzerreserve Zuteilungsgrad Zuteilungsmasse Zuftihrung zur Tr~gheitsreserve Zufliisse zur Zuteilungsmasse

LITERATUR

[1] Laux, Hans: ,,Der statische Beharrungszustand des bausparmathematischen Gesamtmodells", Bl~itter der DGVM, Band XXIV, 1999, S. 265.

[2] Wegen einer Erkl~irung der bausparspezifischen Begriffe siehe Bertsch, EberhardJHOlzle, Bern- hard/Laux, Hans: ,,Handw6rterbuch der Bauspartechnik", Schriftenreihe ,,Angewandte Versiche- rungsmathematik" der DGVM, 1998, Heft 30, 259 S.

[3] Laux, Hans: ,Grundztige der Bausparmathematik", Schriftenreihe ,,Angewandte Versicherungs- mathematik" der DGVM, 1978, Heft 8, 102 S. (vgl. dort S. 27-28)

[4] Siehe hierzu Laux, Hans: ,,Der neue ,Fonds zur bauspartechnischen Absicherung'" Bl~itter der DGVM, Band XX, 1992, S. 183 sowie Laux, Hans/Lehmann, Hans-J6rg: ,,Modellberechnungen zur Reichweite der Mittet des Fonds zur bauspartechnischen Absicherung", Bl~tter der DGVM, Band XXI, 1993, S. 55.

[5] Bauer, Ulrike/Laux, Hans: ,,Aktualisierte Kennzahlen des Bausparens", Bl~itter der DGVM, Band XXIII, 1998, S. 313.

[6] Vgl. FuSnote 1, S. 280 ff. [7] Hinweise auf das Restguthaben enth~dt u.a. der in Fu8n~te 4 genannte Beitrag v~n Laux/Lehmann. [8] Vgl. Laux, Hans: ,Bilanzielle und ertragsm~iBige Wirkungen von Einschleusungen aul~erkollekti-

vet Mittel in die Zuteilungsmasse einer Bausparkasse", Bl~itter der DGVM. Band XVI, 1983, S. 47.

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Zusammenfassung

Weiterfahrende Untersuchungen zum dynamischen Beharrungszustand des Bausparens

Zuletzt stand in den Bl~ittern der DGVM ,,Der statische Beharrungszustand des bausparmathematischen Gesamtmodells" zur Diskussion (Band XXIV S. 265). Nunmehr werden die Untersuchungen auf den dynamischen Beharrungszustand ausgedehnt, der sich herausbildet, wenn das Neugesch~ift dauernd geometrisch zunimmt. Die im einzelnen nach einer zum Teil neu gewfihtten Bezeichnungs- weise hergeleiteten Formeln werden dadurch umfangreicher, insbesondere bei Einbeziehung der wartezeitbestimmenden Faktoren dritter Art. Zwar sind die Bausparkassen gehindert, Antauf- und Progressionseffekte in Gestalt erm~igigter Warte- zeiten und Zielbewertungszahlen an die Bausparer weiterzugeben. Gleichwohl sind die Berechnungs- ergebnisse unter dynamischen Voraussetzungen fur den Bausparmathematiker yon Interesse, weil er so die Wirkungen der verschiedenen Bestimmungsgr6Ben im bausparmathematischen Gesamtmodell erkennen kann. Ein Beispiel hierftir ist die H6he der Schwankungsreserve bei vorgegebener Mindest- bewertungszahl, die das individuelle Sparer-Kassen-Leistungsverh~iltnis minimiert.

Summar 3'

Further investigations on the dynamic state of equilibrium of the German building savings and loans model

At last in the BLATTER there was discussed "The static state of equilibrium of the German building savings and loans model" (Vol. XXIV, p. 265). The investigations are now extended to the dynamic state of equilibrium, which results from a permanent geometrically growing influx of the amounts of building savings sums. Therefore the mathematical formulae are developed in new figures, which are inevitably increasing, specially in case of integrating the factors shortening the waiting periods of third kind. German building savings banks (Bausparkassen) are not permitted to transfer running-in and progression effects to the customers in reducing the waiting periods and the target valuation figures. Never- theless the mathematicians of the saving for home building profit by the results of calculations under dynamic preassumptions, being able to recognize the effects of different determining factors. An ex- ample is the technical reserve of the allotment fund caused by the codified minimal evaluation figures which minimise the special terms of ratio between accumulated savings and credits.

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Documents

Weiterführende Untersuchungen zum dynamischen Beharrungszustand des Bausparens