238 Wichtige Formelzeichen und Abkürzungen

Wichtige Formelzeichen und Abkürzungen Abkürzungen

EN AEN EEN EAEN IN SN SP ÜN ÜP

Formelzeichen

A B bi C c~ J

D E A*,B*,C* u(t) u(k)

w(t) x(t) y(t) y(k)

n m

Ö d di duCk)

dx dy(k)

dieS) eies)

Entkopplungsnullstellen Ausgangs-Entkopplungsnullstellen Eingangs-Entkopplungsnullstellen Ein-/ Ausgangsentkopplungsnullstellen Invariante Nullstellen Systemnullstellen Systempole Übertragungsnullstellen Übertragungspole

Systemmatrix Eingangsmatrix i-te Spalte der Eingangsmatrix Ausgangsmatrix j-te Zeile der Ausgangsmatrix

Durchgangsmatrix Störmatrix Strukturmatrizen (Boolesche Matrizen) Eingangsvektor k-te zeitliche Ableitung des Eingangsvektor u Führungsvektor Zustandsvektor Ausgangsvektor k-te zeitliche Ableitung des Ausgangsvektor y Dimension des Zustandsvektors x(t) Dimension des Eingangsvektors u(t) Dimension des Ausgangsvektors y(t)

Entkopplungsmatrix Differenzengrad Entkopplungsindizes Differential von u(k)

Differential von x Differential von y(k)

Determinantenteiler einer Polynommatrix Elementarteiler der Kronecker-Normalform

Wichtige Formelzeichen und Abkürzungen 239

F(s) F(s) Fij(S) Fo(s) Fs(s), FR(S) I ik(S) M(s) = M{(·)} mb; mSi N;(s) N(w) nB ne

nEEN

nG

nGA

nIN

ns nSIN

nÜN P P(s) QA QB QG Qs 8(s) = 8{(-)} r

s T T~{(.)} V Z(s), N(s)

Z;(s) Ci

cm Tli A {A(·) } 1\;(. )

Übertragungsfunktion Übertragungsmatrix Elemente der Übertragungsmatrix F( s) Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises Strecken- bzw. Reglerübertragungsfunktion Einheitsmatrix Elementarpolynome (Invariantenteiler ) Smith-McMillan-Normalform von (.) Beeinflußbarkeitsmaße Steuerbarkeitsmaße Nennerpolynome der Smith-McMillanform von F(s) Zählermatrix des Prim-Matrix-Produktes von P(l/w) Dimension der beobachtbaren Unterraums Dimension des erreichbaren Unterraums Anzahl der Eingangs-Entkopplungsnullstellen Dimension des strukturell steuerbaren Unterraums Dimension des strukturell ausgangssteuerbaren Raums Anzahl der Invarianten Nullstellen Dimension der steuerbaren Unterraums Anzahl der strukturellen Invarianten Nullstellen Anzahl der Übertragungsnullstellen Permutationstransformation Rosenbrock-Systemmatrix Ausgangssteuerbarkeitsmatrix Beobachtbarkeitsmatrix Gramsche Steuerbarkeitsmatrix Steuerbarkeitsmatrix Smithsche Normalform von (.) Normalrang von P(s) Laplace·-Variable reguläre Transformationsmatrix Toeplitz-Matrizen im Unendlichen von (-) Vorfiltermatrix teilerfreie Zähler- und Nennerpolynome der Übertragungsfunktion Zählerpolynome der Smith-McMillanform von F(s) Kroneckerspaltenindizes Rechengenauigkeit der Gleitpunktarithmetik Kroneckerzeilenindizes Eigenwert Menge der Eigenwerte von (.) Konditionszahl einer Matrix

240

Ki

KS

f.li f.li p p* p~ Ui(') Woo (f(8))

block diag (Mi)

det M Grad (p(8)) dirn & Rang P(s) g-Rang span ~ dy, ... , dy(1c)}

M-1

M+ MH MT Madj

00 C ~

Cn

~n

cnxm ~nxm

110111 110112 11 0 1100 1I0liG 1I01lE

Wichtige Formelzeichen und Abkürzungen

Steuerbarkeitsindizes Steuerbarkeitsindex Ordnungen der Nullstellen im Unendlichen Generische Ordnungen der Nullstellen im Unendlichen Normalrang von F(8) Generischer Rang von F( 8) Rangindizes der Toeplitz-Matrizen im Unendlichen Singulärwerte einer Matrix Gradbewertung einer rationalen Funktion /(8)

aus den Matrizen MI und M2

zusammengesetzte Matrix block diagonale Matrix bestehend aus Blöcken Mi auf der Hauptdiagonalen Determinante von M Grad des Polynoms p( 8) Dimension des Vektorraums & Rang der Matrix P(s) generischer Rang einer Matrix der durch die angegebenen Vektoren aufgespannte Vektorraum inverse Matrix zu M Pseudioinverse der Matrix M konjugiert komplexe, transponierte Matrix zu M transponierte Matrix zu M adjungierte Matrix zu M Komplexität eines Algorithmus (Landausches Symbol) Menge der komplexen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der n-dimensionalen komplexen Vektoren Menge der n-dimensionalen reellen Vektoren Menge der n x rn-dimensionalen komplexen Matrizen Menge der n x rn-dimensionalen reellen Matrizen Spaltennorm einer Matrix (.) Spektralnorm einer Matrix (.) Zeilennorm einer Matrix (.) Gesamtnorm einer Matrix 0 Euklidische Norm einer Matrix 0

Algorithmen verzeichnis 241

Algorithmenverzeichnis Algorithmus 3.1: Abstand zum nächsten nicht steuerbaren System 51 Algorithmus 3.2: Steuer- und Beeinflußbarkeitsmaße ........ 58 Algorithmus 3.3: Steuerbarkeitsprüfung (Anzahl der EEN) . . . . . 73 Algorithmus 3.4: Anzahl der Eingangs-Entkopplungsnullstellen mit

ZEROS ................................ 77 Algorithmus 3.5: Dimension des strukturell erreichbaren Unterraums 82 Algorithmus 3.6: Überprüfung der strengen strukturellen Steuerbarkeit 89 Algorithmus 5.1: Nullstellenberechung (Davision und Wang) ...... 128 Algorithmus 5.2: REDUCE (Elementare System reduktion) ....... 134 Algorithmus 5.3: Nullstellenberechung (Emami-Naeini und Van Dooren)135 Algorithmus 5.4: Maximale Anzahl der Invarianten Nullstellen . . 144 Algorithmus 6.1: Berechnung der strukturellen Invarianten ....... 203 Algorithmus 6.2: Generische Nullstellenstruktur im Unendlichen .... 210 Algorithmus 6.3: Generische Struktur im Unendlichen (Toeplitz-Matrix)213

242

Stichwortverzeichnis Ähnlichkeitstransformation 22 54 , ,

80 .. -, numerische Berechnung 77 Aquivalenzumformung, strenge 35 Algorithmus 37

-, graphentheoretischer 70 -, Komplexität 37, 83, 86, 87,

89, 145 -, Tarjan- 146

Ausgangs-Entkopplungsnullstelle 98,107, 113, 117, 133, 188

-, Anzahl 120, 205 -, numerische Berechnung 205

Ausgangsinjektion 113, 117, 118, 177

Ausgangsmatrix 1, 189 Ausgangsrückführung 116, 119, 125 Ausgangssteuerbarkeit 39, 193

-, Kriterien 43 -, funktionale 44 -, numerische Überprüfung 92 -, strukturelle 94

Ausgangs-Steuerbarkeitsmatrix 43, 46,92

-, erweiterte 94, 95 Auslöschungseffekt 81

Balancierung 65, 66, 68, 70 -, -sprogramm 67

Beeinflußbarkeit-smaß 53, 57, 58 -, einer Zustandsvariablen 53

beobachtbarer Unterraum -, Dimension 98, 188

Beobachtbarkeit 97 -, -sindizes 178, 179, 181, 205 -, -smatrix 98

- -, Rangdefekt 120 -, numerische Überprüfung 98

Beobachter 97

Stichwort verzeichnis

-, dezentraler 183 Besetzungsmuster einer Matrix 141,

142, 170 Blockdreiecks-matrix 146, 148

-, -struktur 36 Block-Entkopplungsproblem 189

-, reguläres 159, 189 Block-Hessenberg-Form 77 Blockierungsnullstelle 104

Determinantenteiler 15, 42 Diagonal-Entkopplungsproblem 184,

185 Diagonalmatrix 1, 16, 26, 55, 57,

65, 66, 128, 134, 184 Differenzgrad 153, 188 Dreiecksmatrix 21, 88, 108 Dualitätsprinzip 97, 110, 120

Eigenbewegung 46, 100, 107 Eigenvektor 23 Eigenwert 23, 40, 50, 55, 59, 93,

112, 179 -, allgemeiner 37, 134, 135, 205 -, beobachtbarer 98, 107, 117 -, dezentraler fester 126 -, endlicher 128 -, mehrfacher 99, 111 -, numerische Berechnung 127,

146 -, schlecht konditionierter 71 -, steuerbarer 41, 107

Eigenwertaufgabe, allgemeine 131 -, spezielle 131

Eigenwertproblem 129, 148 -, allgemeines 130

Ein-/ Ausgangs-entkopplung 127, 184, 216

-, -Entkopplungsnullstelle 107 -, -verhalten 102, 107, 184

Stichwort verzeichnis

Eingangs-Entkopplungsnullstelle 41, 60,72,81,88,107,113,133

-, Anzahl 41, 72, 73, 91, 119, 126, 205

-, numerische Berechnung 72,205 Eingangsmatrix 1 Eingangs-Nullstellenrichtung 118 Einschließungsverfahren 70 EISPACK 20, 28, 37, 63, 70, 71,

127, 130, 131 elementare Operationen 15, 44, 138,

172 Elementarpolynom 15, 16, 43, 112,

117, 118 Elementarteiler 34, 179, 180

-, endliche 30, 37, 134 -, unendliche 30, 37, 134, 157

- -, Anzahl 157 - -, Ordnung 157, 181, 203

Entkoppelbarkeit 216 -, Kriterien 184-186 -, Überprüfung 186

Entkopplung, näherungsweise 188 -, nichtlinearer Systeme 159 -, -sindizes 184, 185 -, -smatrix 185, 186 -, -sregelgesetz 186 -, stabile 188

Entkopplungsnullstelle 102,107, 112, 113, 117

-, numerische Berechnung 127 Erreichbarkeit 38

-, strukturelle 80, 88

Form I 81, 84, 90 Form 11 81 Funktion, echt rationale 170

Givens-Transformation 20, 37 Gradbewertung 166-168, 199, 208

-, einer rationalen Funktion 166 - einer rationalen Matrix 166,

168

243

Gramsehe Steuerbarkeitmatrix 52, 54, 55, 59

-, Determinante 59

Hautus-Kriterium 40 -, Beobachtbarkeit 98 -, Steuerbarkeit 41, 60, 71, 81,

91, 92 Hermite-Indizes 49 Hessenberg-Form 22, 23

-, schlecht konditionierte 78 Hessenberg-Matrix 74 Hinterachsprüfstand 148, 216 Householder-Matrix 20-22 Householder-Transformation 19 37

58, 73, 76, 78, 136, 138 '

Integratorkette 153, 182, 192 -, Anzahl 182 -, Länge 153, 159, 206 -, unabhängige 182, 208

Invariante Nullstelle 102, 112, 113, 117, 118, 126, 128, 131, 133-135, 178, 180, 197

-, Anzahl 120, 142, 183, 209 -, numerische Berechnung 128,

138, 152 -, strukturelle, Anzahl 141, 142,

144, 210 invariante Polynome 15 Invarianten, Kronecker 181, 200 Invarianten, strukturelle 36, 37,

177, 202 Invariantenteiler 15, 30

Jordan-Normalform 30, 35, 54

KaIman-Kriterium 40 -, Beobachtbarkeit 98 -, Steuerbarkeit 41, 60, 91, 92

Kompensator, dynamischer 188,191 Kondition

-, einer Matrix 65, 66, 94 -, eines Problems 61

244

-, eines Verfahrens 61 -, numerische 60, 64

Konditionszahl 26, 28, 29, 56, 68, 71

Koordinatentransformation 116 Kostenmatrix 143, 145 Kronecker-Invarianten 181, 200 Kroneckerindizes 33, 48, 75, 180,

205 -,Invarianzeigenschaften 48, 75 -, linke 34, 202 -, rechte 34, 202

Kronecker-Normalform 31, 35, 133, 181, 200, 201

-, numerische Berechnung 36,200 Kronecker-Zerlegung 33

Landausches Symbol 83 Laurent-Reihe 163, 174 LINPACK 20, 28, 63, 70, 71 Liste, dominante 208

MATLAB 129, 136 Matrix, diagonalähnliche 54

-, bikausale 171, 173 -, echt rationale 171 -, linksinverse 27 -, orthogonale 19, 26, 56, 57, 71,

134 -, rationale 14, 16, 17, 99, 106 -, rechtsinverse 27 -, reguläre 11, 54 -, schlecht konditionierte 62, 126,

186 -, schwach besetzte 12, 86, 137,

212 -, singuläre 11, 54 -, streng äquivalente 179, 202 -, symmetrische 19 -, unimodulare 14, 105, 165, 170 -, unitäre 19 -, zeilenverdichtete 73

Stichwort verzeichnis

Matrizenbüschel 29, 48, 130, 134, 180, 201

-, reguläre 30, 31, 36, 134, 135, 157

-, singuläre 30, 33, 37, 133 - -, streng äquivalente 34

-, streng äquivalente 30, 31 McMillan-Normalform 16 minimale Indizes 33, 205 minimale Spaltenindizes 34, 37,48,

134 minimale Zeilenindizes 34, 37, 134 Minimalrealisierung 162 Modellfolgeproblem 190, 194

-, dynamisches 192 -, exaktes 191, 192

Modellreduktion 127, 199 -, balancierte Realisierungen 59

Morse-Liste 179-181,192,201,205

Norm, Euklidische 24 -, Gesamt- 25, 137 -, Matrix- 25 -, Maximum- 24, 136 -, Spalten- 25 -, Spektral- 25, 26, 28, 29, 68,

76, 137 -, Summen- 24 -, Vektor- 24 -, Verträglichkeit 25 -, Zeilen- 25

Nulldynamik 119 Nullschranke 64, 68, 76, 132, 136,

140, 146 Nullstelle 64

-, der Übertragungsfunktion 102, 116

-, einer rationalen Matrix 154 -, eines Eingrößensystems 102,

116, 153 -, eines Mehrgrößensystems 102,

106 -, endliche 146

Sti ch wortverzei chnis

-, in der rechten s-Halbebene 125, 127, 140, 188

-,Invarianzeigenschaften 104, 116 -, variante 104 -, Vorgabe einer 125

Nullstelle im Unendlichen 153, 154, 158, 161, 197

-, Anzahl 182 -, Berechnung 172, 175, 199, 202 -, einer rationalen Matrix 154 -, generische Anzahl 208 -, generische Ordnung 210 -, nichtlinearer Systeme 159 -, Ordnung 153, 155, 158, 161,

181, 183, 185, 203, 206 -, strukturelle 206 -,Invarianzeigenschaften 177

Nullstellenberechnung 128, 152 -, Zerlegung 147

Nullstellenpolynom 142 Nullstellenrichtung 118 Nullstellenstruktur 158

- der Rosenbrock-Matrix 162 -, der Übertragungsmatrix 162,

187 -, generische 213 -, im Unendlichen 159, 162

-, Berechnung 172, 175, 199, 202

-, triviale 216 Nullstruktur 80, 91, 137 numerische Zuverlässigkeit 61, 67,

70

Ordnung -, einer Nullstelle 17, 105 -, einer Nullstelle im Unendlichen

153, 155, 158, 161, 181, 183, 185, 203, 206

-, eines Pols 17 - eines unendlichen Elementar-

teilers 157, 181, 203

245

Permutation-smatrix 79, 80, 142, 143

-, -stransformation 80 -, Spalten- 88, 90, 147 -, Zeilen- 88, 90, 147

Pcl 46, 50, 64, 119 -, einer rationalen Matrix -, eines Eingrößensystems

103, 153 -, eines Mehrgrößensystems

106

154 102,

102,

-, im Unendlichen 154-156, 158 -, -/Nullstellenkürzung 64, 99,

104, 107 -, -IN ullstellenstruktur

- -, im Unendlichen 167 - -, rationale Matrix 165, 167 - -, unimodulare Matrix 165

Polynom, charakteristisches 104 -, elementares 41, 98 -, invariantes 15, 112 -, -matrix 9, 14, 16, 18, 41, 98,

105,117,142,155,157,168 Problem, Sensibilität 61, 70

-, Kondition 61 Pseudoinverse 26, 54, 57

-, Moore-Penrose- 26

Quasi-Schur-Form 134, 201

Rang-defekt 31, 42, 44, 86, 118, 157

-, einer Matrix 10, 21 -, eines Matrizenproduktes 11 -, eines Systems 182 -, generischer 13, 81, 85, 177,

207, 211 -, Normal- 14, 15, 105 -, numerischer 29, 56, 63, 68, 76,

94, 177 -, struktureller 13 -, Term- 12, 85, 92, 95, 207, 211 -, Zeilen- 27, 73-75, 134

246

Rangbestimmung 13, 29, 69, 71, 76, 92, 94, 137

-, numerische 29, 62, 94, 131, 212

Rangindizes im Unendlichen 175 RASP 56, 67, 70, 76, 136, 204, 210 Rechen-genauigkeit 63

-, -zeit 131, 145, 152, 200, 204, 212, 214

Regelungskonzept, adaptives 127 Regler 46

-, dezentraler 117, 127, 197 -, dynamischer 46 -, -entwurf 126, 140 -, optimaler 127, 183

Rosenbrock-Systemmatrix 9, 14, 118, 130, 133, 143, 158, 168

-, Normalrang 45,175,180,201, 215

-, Pol-/Nullstellenstruktur im Un­endlichen 156

-, Term-Rang 208, 215 -, unendliche Nullstelle 155, 162,

169 Rückführung, dezentrale 126

-, dynamische 126, 159 -, statische 116, 119, 186, 191

Rückführverstärkung, hohe 119, 125, 127, 128, 196

Rundungsfehler 49, 66, 70, 71, 78, 145, 146

Signalflußdiagramm 153 Singulärvektor 23, 51, 56, 58 Singulärwert 23, 25, 28, 29, 50, 51,

56, 58, 59, 63 -, -zerlegung 23, 26, 27, 37, 51,

56, 76 - -, numerische Berechnung 28

Skalierung 64, 65 SLICOT 136, 204 Smith-McMillan-Normalform 16,

18, 102, 105, 154, 156, 158,

Stichwort verzeichnis

165-167 -, im Unendlichen 169, 171,200

Smithsche Normalform 14, 112, 157 Spalten-permutation 88, 90, 147

-, -pivotisierung 76, 136 -, -verdichtung 37, 58, 134, 137

Stabilität 119, 188, 196, 198, 199 steuer barer Unterraum

-, Dimemsion 40-42, 47, 72, 85, 92

Steuerbarkeit 38 -, Abstandsmaß 49, 50

- -, numerische Berechnung 49, 51

-, einer Zustandsvariablen 53 -, Kriterien 40 -, numerische Überprüfung 61,

76, 126 -, strenge strukturelle 87 -, strukturelle 81, 96, 127

Steuerbarkeitsindex 46, 47 Steuerbarkeitsindizes 46, 48, 75,

178, 179, 181, 205 Steuerbarkeitsmaß 51, 57, 58

-, konsistentes 52, 53 -, modales 52

Steuerbarkeitsmatrix 40,42,47,60, 62, 66, 69, 75, 84

-, erweiterte 85, 86, 92 -, Rangdefekt 119, 126 -, schlecht konditionierte 62

Steuerenergie 53 Steuerzeit 54, 58 Störsignaleingang 193 Störungsentkopplung 192-194 Störunterdrückung 127 Struktur im Unendlichen 159, 180,

190, 193 -, Berechnung 166 -, generische 206

- -, Berechnung 208, 210, 213 Struktur-algorithmus 202

-, gleiche 79, 142, 207

Stichwort verzeichnis

-, -graph 69 -, -matrix 79, 87, 138 -, -modell 78, 94, 206

strukturell ausgangssteuerbarer Un­terraum

-, Dimension 85, 95 strukturell erreichbarer Unterraum

-, Dimension 82, 83, 90 strukturell steuerbarer Unterraum

-, Dimension 86, 92, 95 strukturelle Eigenschaft 49, 78, 81,

94 strukturelle Invarianten 36, 37, 177,

202 System

-, äquivalentes zeitdiskretes 55, 58

- -, numerische Berechnung 56 -, beobachtbares 97 -, degeneriertes 10, 102, 129, 131,

158, 190, 207, 215 -, duales 97, 110 -, ein-/ausgangslinearisierbar 159 -, erweitertes 191, 194 -, -graph 141 -, integratorentkoppeltes 187 -, inverses 119 -, lineares 1 -, -matrix 1, 40, 46, 54, 55, 66,

87, 104, 112, 126 -, -matrizen 60, 65, 78, 89, 94,

117, 137 -, nichtlineares 119, 154, 159

- -, affines 159 -, nicht steuerbares 49, 71 -, -nullstelle 102, 112, 113 -, -pol 112, 127 -, primes 178, 179 -, quadratisches 10, 113, 119,

120, 131, 156, 183, 186, 197 -, rechteckiges 10, 113, 120, 131,

158 -, schwach gestörtes 49, 61

247

-, steuer- und beobachtbares 113, 120, 163

-, streng strukturell steuerbares 87, 88, 91

-, strukturell degeneriertes 144 -, strukturell erreichbares 84, 88,

91 -, strukturell steuerbares 86 -, transformiertes 65 -, von gleicher Struktur 79, 142,

207 -, von schwieriger Struktur 78,

137, 138, 205 -, zeitinvariantes 1 -, zeitkontinuierliches 55

Tastzeit 55 Teilsystem 147, 185, 190, 209 Term-Rang 12,85,92,95,207,211

-, numerische Bestimmung 13, 86, 96, 212

Toeplitz-Matrix 163,174-176,200 -, generischer Rang 211 -, Rangindizes 164, 175, 176 -, Term-Rang 211

Transformation -, des Ausgangssvektors 177,198 - des Eingangsvektors 48, 149,

177, 198 - des Zustandsvektors 48, 75,

149, 177 -, orthogonale 73, 78, 91, 137 -, streng äquivalente 179, 180

Transformationsmatrix 65, 72, 109, 116, 170, 178

-, bikausale 173 -, unimodulare 14

Transversale 212 -, Länge 212

Übertragungsblockierung 118 Übertragungsfunktion 64, 100, 102,

103, 116, 119, 153, 196

248

Übertragungsmatrix 9, 14, 41, 98, 103, 104, 124, 163, 168, 184, 193

-, block-diagonale 189, 190 -, diagonale 184, 187, 190 -, generischer Rang 207, 208 -, Normalrang 45, 105, 180, 182 -, Nullstelle 105 -, Nullstelle im Unendlichen 162,

169 -, Pol 104, 105, 127

Übertragungsnullstelle 102,105,112, 113, 117, 187

-, Anzahl 119 Übertragungspol 105, 123 Ungarische Methode 143, 144

Verfahren, graphentheoretisches 69, 80, 83, 142, 147

-, gut konditioniertes 61, 70 -, Kondition 61 -, numerisches 61, 174, 182 -, parameterunabhängiges 70,141,

170, 208 -, schlecht konditioniertes 61, 64 --, Sensibilität 61

Vorfiltermatrix 116, 186 -, reguläre 189

Wurzelortskurvenverfahren 153 -, Asymptotenmuster 197 -, für Mehrgrößensysteme 195,

197 -, Wurzelschwerpunkt 197

Zeilenverdichtung 22, 24, 73, 74, 76, 134

ZEROS-Algorithmus 76-78, 126, 133,135,137,141,145,203

-, erweiterter 200, 203-205, 216 Zufallszahl 128, 139, 214 Zuordnung mit minimalen Kosten

143, 144, 214

Stich wortverzeichnis

Zuordnung, optimale 143 -, ~sproblem 143, 145

Zusta,nds-Nullstellenrichtung 118 Zustandsgröße, strukturell nicht er­

reichbare 80 Zustandsmodell 65, 80, 108, 148 Zustandsrückführung 48, 113, 116-

118, 125, 127, 159, 177, 185, 187, 190, 193

Zustandssteuerbarkeit 38, 39 Zustandstransformation 64, 66, 73,

74, 149 Zustandsvektor 65, 149