Wichtige optische Elemente und Instrumente Optik I (Lindlein)/02 - Instrumente... · Geometrische und Technische Optik N. Lindlein 126+2 Institut für Optik, Information und Photonik

126+1Geometrische und Technische Optik N. Lindlein

Institut für Optik, Information undPhotonik

Wichtige optische Elemente und Instrumente:

Diffraktive optische Elemente/Linsen



Diffraktive optische Elemente

Wirkungsweisen einiger optischer ElementeRefraktive Optik Diffraktive Optik

Brechung an Grenzfläche

Brechung in GRadienten INdex

Medium

Beugung an (lokal) periodischen Strukturen

Beugung an binärem

Gitter

n n1 2

n( )r




Prinzip eines Beugungsgitters (hier: Amplitudengitter)

Konstruktive Interferenz, falls optische Weglängendifferenz (OPD) zwischen äquivalenten Strahlen benachbarter Perioden ganzzahliges Vielfaches m der Wellenlänge ist:

m

m

sin'sin

sin'sin

�

� �’

� �sin

� �sin ’



Diffraktive optische ElementeZusammenhang Phase und optische Weglänge:

Trifft ein Strahl auf eine strukturierte Oberfläche mit einem Dielektrikum mit Brechzahl n (z.B. Quarzglas) auf der einen Seite und Luft auf der anderen Seite, so gilt für die Phasenverzögerung bei einer lokalen Höhe h (bzw. z) des Dielektrikums:

hn 12OPD2

Selbstverständlich gilt diese Gleichung nur für den Fall, dass der einfallende Strahl fast senkrecht auf die lokale Grenzfläche trifft, so dass man annimmt, dass der Strahl seine Richtung nicht ändert.

n1 n2

z

x,y

OPD=(n -n )z(x,y)1 2




h n= /(2( -1))

Beziehung zwischen diffraktiven und refraktiven Strukturen

h n= /( -1)

RefraktivesElement

Geblaztes (=kontinuierliches) diffraktives Element

Binäres diffraktives Element

h n= /( -1)Anmerkung: Eine geblazte Linse, deren Stufenhöhe h>>/(n-1) ist, ergibt eine Fresnel-Linse. Im Grenzfall sind die einzelnen „Zähne“ dann lokale Prismen.




a) b)

c) d)

�h

�h�h

Verschiedene Arten von diffraktiven optischen Elementen

Amplitudengitter Binäres Phasengitter h=/(2(n-1))

Mehrstufiges Phasengitter h=(N-1)/(N(n-1))

Geblaztes Phasengitter h=/(n-1)

Maximal je 1/2=10.1% in ±1. Ordnung(bei 25% in 0. Ordnung)

Maximal je 4/2=40.5% in ±1. Ordnung(bei 0% in 0. Ordnung)

Theoretisch bis zu 100% in 1. Ordnung (in Praxis selbst bei Entspiegelungweniger)

Symmetrie zwischen +1. und -1. Ordnung gebrochen. Je nach Stufenzahl zwischen 40.5% und 100% in 1. Ordnung

: Wellenlänge, n: Brechzahl des Gitters, N: Anzahl der Stufen




’ sin

sin ’

Unterschied Amplitudengitter -Phasengitter:Positive Interferenz der Wellen, falls:

m

m

sin'sin

sin'sin

’ sin

sin ’

Bei binären Phasengittern interferiert auch der rote Strahl positiv, da er wegen der Stufe mit /2 Gangunterschied wieder in Phase ist (für m=1;3;5;…):

2

122

OPD mm




Bei einem binären Phasengitter interferieren also für ungerades m„doppelt so viele Strahlen“ wie bei einem Amplitudengitter positiv.

Die Amplitude der Welle in den ungeraden Ordnungen wird doppelt so groß. Die Intensität dieser Ordnungen wird bei einem Phasengitter 4x so groß wie bei einem Amplitudengitter!

Anmerkung: Die Energieerhaltung ist natürlich erfüllt, denn beim Amplitudengitter werden 50% der Energie absorbiert und 25% sind in der nullten Beugungsordnung (bei unserem Phasengitter ist dagegen kein Licht in der 0. Ordnung, da dort negative Interferenz auftritt). Beim binären Phasengitter ist 4x so viel Energie für die ungeraden Beugungsordnungen vorhanden.



Diffraktive optische ElementeAnschauliche Berechnung der Beugungseffizienz m der einzelnen Ordnungen m bei einem binären Phasengitter mit Tastverhältnis 1:1 (d.h. Stegbreite = Grabenbreite) und Tiefe, die eine optische Weglängendifferenz von /2 zwischen Steg und Graben erzeugt: 0=0: destruktive Interferenz zwischen Licht von Steg und Graben bei Tiefemit /2 opt. Weglängendifferenz (OPD)

2n=0 (n=1,2,3,): alle geraden Ordnungen (ungleich m=0) fallen aus, daOPD innerhalb von Steg und Graben zwischen Anfang und Ende je ganzzahliges Vielfaches von schon vollständige Auslöschung innerhalb von Steg und Graben

1: innerhalb von Steg und Graben OPD zwischen Anfang und Ende nur /2 Amplituden addieren sich konstruktiv maximale Effizienz

3=1/9: innerhalb von Steg und Graben OPD zwischen Anfang und Ende 3/2 Amplituden addieren sich nur in einem drittel des Bereiches konstruktiv, Rest löscht sich aus Effizienz nur 1/9 verglichen zu 1. Ordnung (Intensität proportional zu Amplitudenquadrat !).

Analog: 5=1/25 bzw. allgemein (2n+1)=1/(2n+1)2 für n=1,2,3,…

’ sin

sin ’




Effizienzen eines binären Phasengitters mit Tastverhältnis 1:1 und idealer Tiefe:Summe der Effizienzen aller Ordnungen muss 1 sein wegen Energieerhaltung

...

016.0451

045.0431

405.0418

2112

12

225

223

21

2

1

8/

021

2

n n




N Effizienz

2 40.5%

4 81.1%

8 95.0%

16 98.7%

32 99.7%

Maximale Beugungseffizienz in 1. Ordnung für mehrstufiges Phasengitter mit N Stufen(berechnet in skalarer Näherung)

Ideale Gesamttiefe:

Identische Höhe und Breite aller Stufen.

Senkrechter Lichteinfall.

Fresnel Reflektionsverluste vernachlässigt.

1

1

nNNd



Diffraktive optische ElementeDiffraktive Linse: Wir betrachten im Folgenden zuerst wieder nur die Meridionalebene und kleine Winkel.

Lokale Gitterfrequenz sei proportional zu lateraler Koordinate x:

cxx

x

1:

cxmmm

'sin'sin Winkelkleine

Gleichung ist analog zu paraxialer Gleichung für die Strahlablenkung an einer Linse mit Brennweite f‘, wenn gilt:

cmfcm

f 1'

'1

Aus Gittergleichung folgt dann für kleine Winkel:




Insbesondere ist für eine diffraktive Linse das Produkt aus Brennweite und Wellenlänge konstant:

00 '' ff

452.3nm 3.656nm 486.1

nm 6.587'/1'/1

'/1

CF

d

CF

dd ff

fV

Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist deshalb:

• Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist also immer konstant, unabhängig vom Material bzw. dem genauen Typ der Linse.

• Die Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist negativ, d.h. ihre Dispersion hat umgekehrtes Vorzeichen wie die von Glas. Der Betrag ist sehr klein, d.h. starke Dispersion!



Diffraktive optische ElementePhasenfunktion eines diffraktiven optischen Elementes (DOE):Die Phasenfunktion eines DOEs beschreibt, an welchen Stellen sich die lokalen Gitterlinien befinden, d.h. an welchen Stellen die Phase relativ um jeweils 2 zu- oder abnimmt.

yxyx

yx ,21

,1,

000mit rrrrr rrrr

Zusammenhang zwischen der Phasenfunktion und der lokalen Gitterfrequenz , wobei x und y die Koordinaten in der (lokalen) Ebene des DOEs sind:

22

y

xr




Zusammenhang Höhenprofil h und Phasenfunktion :

Geblaztes DOE:

2mod,

12, yx

nyxh

Mehrstufiges Phasen-DOE mit N Stufen:

NyxN

nNyxh mod

2,floor

1,

: Wellenlänge im Vakuum, n: Brechzahl des DOEs, wobei außen Luft sei.

x mod a: Modulo-Funktion= Rest bzgl. einer Division von x durch a.

floor: Funktion, die die nächst kleinere ganze Zahl zurückgibt.




Einfache Beispiele einiger wichtiger Phasenfunktionen:

Lineares Gitter: byaxyx 2,22 ba Gitterfrequenz konstant:

Fresnel-Zonen-Linse in paraxialer (parabolischer) Näherung: 222, yxayx

Gitterfrequenz:

amcmf

yxayx

211'

2, 22




Berechnung der Phasenfunktion eines DOE unter Ausnutzung des holographischen Prinzips:

Sind die Phase in der auf das DOE einfallenden Wellenfront und die Phase out der gewünschten Wellenfront bekannt, so ergibt sich die Phasenfunktion des Hologramms in der Ordnung m zu:

mm inout

inout




g b

rObjectpoint

Imagepoint

DOE

Beispiel: Linse, die einen axialen Punkt im Abstand g vor der Linse auf einen axialen Punkt im Abstand b hinter der Linse im nicht-paraxialen Bereich abbilden soll.

22221

22

222

2

2

rgrbrb

rg m

out

in

Paraxiale Näherung ergibt unter Vernachlässigung einer konstanten Phase -2(g+b)/ eine parabolische Funktion:

gbar

gb11

2111 2



Diffraktive optische ElementeRay tracing Gleichung für lokale Gitter: Plausibilitätsbetrachtung analog zum Brechungsgesetz (multipliziert mit 2/

1211

22

1122220 kNkNanNanNananN

Interpretation: Die Komponente des k-Vektors senkrecht zu N (i.e. parallel zur Grenzfläche) ist invariant vor und hinter der Grenzfläche.

Erweiterung auf diffraktive optische Elemente mit lokalem Gittervektor K mit |K|=2/wobei K in der Grenzfläche liegt, also K·N=0: ganzzahliges Vielfaches m von K muss zur Komponente von k1 senkrecht zu N addiert werden:

KNmkNkN 12



Diffraktive optische ElementeFalls k1, N und K in gemeinsamer Ebene liegen und N senkrecht zu K, ergibt der Betrag der Gleichung die normale Gittergleichung:

mnnmnn

112211

22 sinsin2sin2sin2

Allgemeine Gleichung aufgelöst nach a2 ray tracing am DOE:

02 2

12

1212

K

nma

nnaNKNmkNkN

NGannmG

nm

nnNa

nnNaNNa

nnG

nma

nna

12

2

1

2

2

2

2

121

2

2

111

2

1

21

2

12 21sign

2

21

2

11

2

12 21 Gn

mannNa

nn

1 und 0;21: mit

21

2

12

21

2

12 GNGKGNG

nma

nnaNG

nma

nna




recrecrecrec

rec

recrec

ananNmananN

kkNmkNkN

,1,1,2,21122

,1,212

Ein Spezialfall eines DOE ist ein Holographisch optisches Element (HOE), bei dem der Gittervektor durch die Interferenz zweier Wellen mit lokalen k-Vektoren k1,rec und k2,rec bei der Wellenlänge rec erzeugt wird.

DOE

HOE

Lens

Lens

HOE

spatialfilter

Aufnahme Rekonstruktion

Dann lautet die Gleichung für lokale Beugung am HOE:



Der aplanatische Meniskus




i

n

n’

O

QP

P’

i’ i’i

Die aplanatischen Punkte einer Kugel:Behauptung: Eine Kugel mit Radius R und Brechzahl n‘ (schattiert in Grafik) kann alle Punkte auf der äußeren (gestrichelten) Kugel mit Radius n‘R/n (n: Brechzahl des umgebenden Mediums, n<n‘) aberrationsfrei, aber leider nurvirtuell, auf die innere (gepunktete) Kugel mit Radius nR/n‘ abbilden.

Betrachte Strahl einer konvergenten Kugelwelle mit Fokuspunkt P. Laut Behauptung muss er nach der Brechung an der Kugel mit Radius R im Punkt Q die lokale optische Achse, gegeben durch die Verbindungslinie OP, im Punkt P‘ auf der gepunkteten Kugel schneiden.

Zu zeigen ist, dass dies gerade dann der Fall ist, wenn für die Brechung das Brechungsgesetz nsini=n‘sini‘ gilt.




i

n

n’

O

QP

P’

i’ i’i

Laut Behauptung gilt:OQOP''

''OPOQ

R

Rnn

nn

RnnR

Da die beiden Dreiecke QOP‘ und POQ den gemeinsamen Winkel QOP‘ bzw. QOP haben und das Verhältnis der daran angrenzenden Seiten in beiden Dreiecken identisch ist, müssen die Dreiecke ähnlich sein.

Es muss, wie schon in der Grafik eingezeichnet, gelten: Winkel QP‘O ist identisch zum Einfallswinkel i, Winkel QPO ist identisch zum Brechungswinkel i‘.

(q.e.d.) 'sin'sin'

OQOP

'sinsin

QPOsinPQOsin inin

nn

ii

Aus dem Sinussatz im Dreieck POQ folgt (das Verhältnis der Sinusse zweier Winkel ist gleich dem Verhältnis der jeweils gegenüberliegenden Seitenlängen):



Der aplanatische MeniskusDer bisher betrachtete Strahl sei nun der Randstrahl eines Strahlbündels, der somit zusammen mit der lokalen optischen Achse die numerische Apertur festlegt.

Aus unseren bisherigen Überlegungen folgt dann für das Verhältnis der Sinusse der Aperturwinkel bzw. ‘ des einfallenden konvergenten Strahlbündels bzw. des gebrochenen Strahlbündels:

n

nii ''sin

sinQPOsin

OQP'sinsin

'sin

Der Sinus des Aperturwinkels ‘ des gebrochenen Strahlbündels erhöht sich also um das Verhältnis n‘/n gegenüber dem Sinus des Aperturwinkels des einfallenden Strahlbündels.




n’n n

O��’

PP’

Beim aplanatischen Meniskus wird nun die sphärische Rückfläche konzentrisch um den Fokuspunkt P‘ gelegt.

Es tritt also keine Richtungsänderung durch Brechung an der Rückfläche mehr auf und insgesamt erhöht der aplanatische Meniskus deshalb die numerische Apertur des einfallenden konvergenten Strahlbündels um den Faktor n‘/n.

Umgekehrt kann also durch eine Abfolge mehrerer aplanatischer Menisken die hohe numerische Apertur einer von einem Objektpunkt ausgehenden Kugelwelle erniedrigt werden ohne Aberrationen einzuführen. Für off-axisObjektpunkte treten zwar Aberrationen auf, diese sind aber gering.



Der aplanatische MeniskusMaximal mit einem aplanatischen Meniskus erreichbare numerische Apertur:Der zum Punkt P laufende Randstrahl des einfallenden Strahlbündels tangiert im Grenzfall des maximalen Aperturwinkels gerade die Kugelfläche (> Halbkugel !), die die Vorderseite des aplanatischen Meniskus bildet, im Punkt Q.

Das Dreieck OQP ist dann rechtwinklig am Schnittpunkt Q und es gilt:

1sin''sin

''sin

nn

nn

RnnR

Im Prinzip ist also eine numerische Apertur von bis zu 1.0 in Luft erreichbar. Der Grenzfall ist in der Praxis aber äußerst problematisch, da die Fläche hochgradig entspiegelt sein müsste (streifender Einfall hohe Reflexion) und die Herstellung einer Kugelfläche mit „größer Halbkugel“ auch schwierig ist.

��‘

n n‘

n‘R n/

R

Q

PO P‘



Der aplanatische MeniskusRaytracing Simulation eines aplanatischen Meniskus mit sin‘=0.996, d.h. ‘=84.9o: außen Luft, Linsenmaterial SF10 (n‘=1.723 bei =633 nm), R=100 mm nR/n‘=58.04 mm, n‘R/n=172.3 mm; Krümmungsradius Rückfläche: 50 mm

-200 -100 0 100 200

-200 -100 0 100 200

-150

-100

-50

0

50

100

150

-150

-100

-50

0

50

100

150

Distances in mm, horizontal z-axis, vertical x-axis

Seitenansicht Spotdiagramm



Der aplanatische MeniskusRaytracing Simulation eines aplanatischen Meniskus mit sin‘=0.996, d.h. ‘=84.9o: außen Luft, Linsenmaterial BK7 (n‘=1.515 bei =633 nm), R=100 mm nR/n‘=66.003 mm, n‘R/n=151.5 mm; Krümmungsradius Rückfläche: 50 mm

Seitenansicht Spotdiagramm

-200 -100 0 100 200

-200 -100 0 100 200

-150

-100

-50

0

50

100

150

-150

-100

-50

0

50

100

150


Auch mit weniger stark brechendem Material ist also eine NA=1.0 erreichbar!



Die achromatische Linse = Achromat



Der Achromat

Definition: Eine achromatische Linse (kurz: Achromat) hat für zwei verschiedene Wellenlängen die gleiche Brennweite. Sie besteht typischerweise aus zwei miteinander verkitteten Einzellinsen. Ihre „Nominalbrennweite“ hat sie aber bei einer dritten Wellenlänge, die normalerweise zwischen den anderen beiden Wellenlängen liegt.Als Wellenlängen mit gleicher Brennweite wählt man für Anwendungen im Sichtbaren Spektrallinien am Rand des sichtbaren Bereichs: F=486.1 nm (blaue Linie des atomaren Wasserstoffs) und C=656.3 nm (rote Linie des atomarenWasserstoffs). Die Wellenlänge mit Nominalbrennweite ist d=587.6 nm (gelbe Helium-Linie).

Analog gibt es noch eine apochromatische Linse (kurz: Apochromat), die für drei verschiedene Wellenlängen gleiche Brennweite hat. Dazu müssen mindestens drei Einzellinsen verwendet werden.



Der AchromatPrinzip eines Achromats anhand zweier dünner Linsen, die unmittelbar hintereinander stehen (Idealisierung):Einzellinse: Brennweite f‘i, Brechzahl ni, Krümmungsradien Ri,1 und Ri,2, i=1,2. Brennweite der Linsenkombination f‘, Linsen seien in Luft.

Paraxiale Matrix der Linsenkombination:

21

2112

12

'1

'1

'1

1'

101

1'

1'

101

1'

101

1'

101

fff

fffff

MMM

Wellenlängenabhängigkeit der Brechkraft einer Einzellinse:

iiii

ii

CnRR

nf

1:111'1

2,1,



Der Achromat

Achromasie-Bedingung liefert:

222111

22112211

2121

1111

'1

'1

'1

'1

CnnCnn

CnCnCnCn

ffff

CFCF

CCFF

CCFF

Die nur von den Krümmungsradien abhängigen konstanten Terme Ci können durch die Brennweiten bei der mittleren Wellenlänge d ausgedrückt werden:

dddd

dd

CF

dd

CF fVfVfn

nnfn

nn

2,21,1

22

22

11

11 '''1'1

V1,d und V2,d sind die Abbe-Zahlen der beiden Linsenmaterialien.



Kurze Diskussion der Achromasie-Bedingung:für einen Achromat mit positiver Gesamtbrechkraft f‘>0.

1. Fall: Rein refraktiver Achromat aus zwei refraktiven Linsen.Abbe-Zahlen von Materialien sind immer positiv eine der Linsen muss eine Zerstreuungslinse sein.Da ein stark dispersives Material (Flintglas wie z.B. SF10) eine kleine Abbe-Zahl hat, muss die Brennweite der Linse aus diesem Material betragsmäßig größer sein bzw. die Brechkraft (inverse Brennweite) kleiner als bei der zweiten Linse aus dem schwach dispersiven Material (Kronglas wie z.B. BK7) Für positive Gesamtbrechkraft muss die Kronglaslinse eine Sammellinse und die Flintglaslinse eine Zerstreuungslinse sein.

2. Fall: Achromat aus einer refraktiven und einer diffraktiven Linse (Hybrid-Achromat)Abbe-Zahl einer diffraktiven Linse ist immer negativ und betragsmäßig sehr klein: Vd=-3.452 Sowohl die refraktive als auch diffraktive Linse sind Sammellinsen. Die diffraktiveLinse hat aber eine sehr große Brennweite bzw. sehr kleine „Brechkraft“.

Der Achromat dddd fVfV 2,21,1 ''



Der Achromat

crown glass flintglass

a) b)

Praktische Realisierung eines refraktiven und eines hybriden Achromats mit positiver Gesamtbrechkraft



Der Achromat

Anmerkungen:

Ein refraktiver Achromat aus zwei verkitteten Linsen hat drei Krümmungsradien, von denen nur zwei durch die Achromasie-Bedingung festgelegt sind. Ein Krümmungsradius kann also frei gewählt werden, was in der Praxis normalerweise dafür benutzt wird, um die Sinus-Bedingung zu erfüllen.

Beim hybriden Achromaten kann die Sinus-Bedingung nicht so leicht erfüllt werden, aber dafür kann die diffraktive Linse (freie Wahl der „nicht-parabolischen“ Terme der Phasenfunktion möglich) z.B. die sphärische Aberration (bei einer Wellenlänge, z.B. d) korrigieren.



Der AchromatDesign eines Achromaten bei gegebener Brennweite f‘(d):

d

ddd

d

ddd

dd

d

ddd

d

d

dddd

VV

ffVV

ff

fVV

ffVV

f

fVfVfff

,2

,12

,1

,21

2,2

,1

11,1

,2

2

2,21,121

1'' bzw. 1''

''1 bzw.

''1

'' und '

1'

1'

1

Beispiele:1. Refraktiver Achromat aus BK7 (V1,d=64.17) und SF10 (V2,d=28.41)

dddd ffff '259.1' und '557.0' 21

2. Hybrider Achromat aus BK7 (V1,d=64.17) und DOE (V2,d=-3.452) '588.19' und '054.1' 21 dddd ffff

3. Hybrider Achromat aus SF10 (V1,d=28.41) und DOE (V2,d=-3.452) dddd ffff '230.9' und '122.1' 21



Der AchromatRestliche Wellenlängen-Abhängigkeit der auf f‘(d) normierten Brennweite f‘:

21

21

21

'1

'1

'1

'1

''

'1

'1

'1 und

2,1mit 1'1 :Linse

ff

ffff

fff

iCnf

dd

d

iii

1

111

11

''

11

''1

2

1

,1

,221

,1

,21

12

1

,1

,22

1,1

,2

2

d

d

d

d

d

dd

d

d

d

d

d

dd

d

d

nn

VV

nn

VV

n

ff

Cnn

VV

C

fVV

f

Für refraktiven Achromaten folgt dann:



Der Achromat

d

d

d

dDOE

d

dDOEd

d nV

Vn

VV

n

ff

11

11

''

1

,1

,1

,1

,1

Analog folgt für hybriden Achromaten (Linse 1 sei refraktiv und Linse 2 diffraktiv):

DOEdDOEdDOE

iii

Cff

iCnf

:''

1 :DOE

2,1mit 1'1 :Linse

Ersetze n2()-1 durch bzw. V2,d durch VDOE,d:

Bei einer einzelnen refraktiven Linse ist die Wellenlängen-Abhängigkeit zum Vergleich:

1

1''

nn

ff d

d



Der Achromat

�/nm

f’f’/

d

Lens (SF10)

Lens (BK7)

Achromaticdoublet(BK7+SF10)

0.99

1.01

1

0.98

500 550 600 650

Wellenlängenabhängigkeit eines Achromats (refraktiv) bzw. einer Einzellinse



Der Achromat

1

�/nm

f’f’/

d

refractive achromat(BK7+SF10)

hybrid achromat(BK7+DOE)

hybrid achromat(SF10+DOE)

1.001

0.999

0.998

0.997

0.996500 550 600 650

Wellenlängenabhängigkeit verschiedener Achromat-Typen



Kurzer Einschub zur Auflösung einer Linse oder eines Spiegels



Auflösungsvermögen einer Linse oder eines SpiegelsExkurs in Wellenoptik: Intensitätsverteilung I() (Airy-Verteilung) des Bildes eines -entfernten Objektes in Brennebene eines Spiegels oder einer Linse mit kreisförmiger Apertur (Durchmesser D, Brennweite f‘, : radiale Koordinate in Brennebene, Wellenlänge Intensität der einfallenden ebenen Welle I0):

ist die entsprechende Winkel-Koordinate /f‘

Erste Nullstelle der Airy-Verteilung bei: DD 22.122.1ˆ

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

�̂

^[2

J(

)/(

)]1

��

��

2^

Df

DJf

DII'

ˆmit ˆ

ˆ2'4

ˆ2

1

22

0

D

f‘��

� ��=f‘



Auflösungsvermögen einer Linse oder eines SpiegelsAuflösungsvermögen für zwei Punkte nach Rayleigh:Maximum der Intensität des einen Punktes fällt mit dem ersten Minimum der Intensität des zweiten Punktes zusammen.

-0.01 -0.006 -0.002 0 0.002 0.006 0.01

x-axis (mm)

Inte

nsity

(no

rma

lize

d)

00

.10

.20

.30

.40

.50

.60

.70

.80

.91

DD 22.1

Gleiches gilt auch, wenn die Lichtquelle (inkohärent) aus einem schmalen Spalt besteht, dessen Licht kollimiert wird!

=/D =1.22 /D



Der Spektrograph



Der Spektrograph

Ein Spektrograph ist ein optisches Instrument, mit dem einfallendes Licht in seine verschiedenen Wellenlängen-Komponenten zerlegt werden kann.

Selektiert man am Ausgang des Spektrographen einen schmalen Wellenlängenbereich, so spricht man von einem Monochromator.

Eng verwandt mit einem Spektrographen ist auch das Spektrometer, das zur Vermessung des Spektrums verwendet wird und dafür typischerweise einen Spektrographen verwendet.



Der SpektrographDer Prismen-Spektrograph: Zerlegung des Lichts mit Hilfe eines Prismas

Generell besteht ein Spektrograph aus einer spalt- oder punktförmigen Lichtquelle, einer Linse zur Kollimation, einem dispersiven Element und einer zweiten Linse zur Abbildung der spalt-/punktförmigen Lichtquelle auf einen Detektor.

� �‘i i‘

�

DD‘

L/2



Der Spektrograph

� �‘i i‘

�

DD‘

L/2

Ableitung der spektralen Auflösung (Brechzahl ndes Prismas, außen Luft/Vakuum):

'180'9090'sin'sinsinsin

iiiiinin

ooo

sincossinsin

sincossin1sinsincoscossinsin'sin22

2

n

ininininin

dd

sinsin

d'd'cos

22

nnn

Wichtigster Fall in der Praxis: Symmetrischer Strahlengang, d.h. =‘:

2sin

2/cos222/cos2/sin2

cos12sinsin

sinsincoscos21sinsinsincos1sin

2

2222222

nnnnn



Der SpektrographNatürlich gilt dann (wie vorausgesetzt):

2sin2/sin12/cos22/sin2/cos2/sin2

sincossinsin'sin

2222

22

nnnn

n

dd

2sin1

2sin2

'

dd

2sin1

2sin2

d'd

dd

2sin2

dd

sinsin

d'd'cos

22

2222

n

n

n

n

nnnn

ACHTUNG: Zur Ableitung der Dispersionsformel muss die vorige Gleichung verwendet werden, da der symmetrische Strahlengang streng nur für eine Wellenlänge möglich ist und man ansonsten die Dispersion bei Brechung an der ersten Grenzfläche des Prismas vernachlässigen würde!



Der Spektrograph

� �‘i i‘

�

DD‘

L/2

Spektrale Auflösung / wird durch Beugung begrenzt, wenn Spalt genügend klein ist (≤f‘/D):

Linse mit Brennweite f‘ und Durchmesser D hat Winkelauflösung von Beugung=/D:

dd

2sin1

2sin2

dd

2sin1

2sin2

2222

n

nDn

nD

phSpektrograBeugung

Alternative Gleichung für spektrale Auflösung (gültig für symmetrischen Strahlengang), die oft verwendet wird:

dd

dd2/sin'2

dd

'cos2/sin2 nLnDnD

Dabei ist L die Basislänge des Prismas unter der Annahme, dass das Prisma voll ausgeleuchtet ist.



Der Spektrograph

� �’

�D

D’

Der Gitter-Spektrograph: Zerlegung des Lichts mit Hilfe eines Beugungsgitters

Ableitung der spektralen Auflösung (Periode des Gitters, Beugungsordnung m, außen Luft/Vakuum):

NmmDmD

Dmmm Beugung

''cos

'cos'

d'd'cossin'sin

Spalt sei wieder genügend klein (≤f‘/D), wobei f‘ die Brennweite der beiden Linsen ist.

Hierbei ist N die Anzahl der ausgeleuchteten Perioden des Gitters.



Der SpektrographVergleich Prismen- und Gitter-Spektrograph für praxisnahe Werte:60o-Prisma aus SF10 (=60o), Schwerpunktswellenlänge =550 nm: n=1.734, dn/d=-0.000161 nm-1, ausgeleuchteter Durchmesser der Linse D=20 mm.

Beugungsgitter mit symmetrischem Strahlengang für =-45o Einfallswinkel (m=1):

nm 38922

212

sin'sin45'

o

m

727002' :Gitter

6460dd

4/1dd

2sin1

2sin2

:Prisma

1

222

DDN

nnDn

nD

m

Gitter-Spektrograph hat also ca. 10x höhere spektrale Auflösung



Der Spektrograph

Für noch höher auflösende Spektrometer werden spezielle auf der Wellenoptik basierende Instrumente eingesetzt.

Fabry-Perot-Spektrometer (Vielstrahlinterferenz) oder Echelle-Spektrometer erreichen bis zu /=108

Dazu muss aber praktisch immer ein normaler Gitter- oder Prismen-Spektrograph vorgeschaltet werden, um nur noch einen kleinen Spektralbereich zu haben.



Die Kamera



Die Kamera

diaphragm lens

photosensitivedevice

Eine Kamera wird zur Aufnahme des (invertierten) Bildes einesObjektes benutzt. Sie besteht aus folgenden Komponenten:• Linse (Linsensystem!) oder Spiegel mit Brennweite f‘• Blende (= Aperturblende = kann Fassung Linse/Spiegel sein)• Detektor (z.B. Film, CCD-Chip, …)

Meist ist die Brennweite f‘ sehr viel kleiner als der Abstand des Objektes |dO|. Bildweite dI

''

111 '

fdfdd I

fd

OI

O



Die KameraDie Größe x des Bildes auf dem Kamera-Detektor wird also im wesentlichen durch die Winkelausdehnung des Objektes bestimmt und das Bild ist ungefähr in der Brennebene der Linse:

'fx

Beispiel: Kleinbild-Kamera mit f‘=50 mm

1. Aufnahme eines Menschen mit 5 m Abstand (dO=-5 m) von der Kamera und einer Größe von 1.75 m.

mm 68.17

mm 51.50'

''

111:gleichungAbbildungsmit Exakt

mm 5.17'35.0575.1

O

I

O

OI

OI

ddx

fdfdd

fdd

fx

Näherungsformel ergibt also nur ca. 1% Fehler.



Die Kamera

2. Bild des Mondes aufgenommen mit einer normalen Kleinbild-Kamera mit Brennweite f‘=50 mm:

Mond: ≈0.5o mm 44.0' fx

Auf einem Dia-Film mit 24 mm x 36 mm Größe wäre der Mond also winzig und man könnte kaum Details erkennen (Auflösung z.B. 200 Linien/mm ca. 100 Pixel im Durchmesser)

Zur Beobachtung von astronomischen Objekten mit kleiner Winkelausdehnung braucht man lange Brennweiten.

Astronomische Kamera mit langbrennweitigem Spiegel. In der Astronomie wird diese oft auch einfach als astronomisches Teleskop bezeichnet.



Die KameraDie Schärfentiefe:

Eine ideale Linse ohne Aberrationen bildet ein Objekt „beugungsbegrenzt“ ab, d.h. die Auflösung wird nur durch die Wellennatur des Lichts bestimmt.

Allerdings kann immer nur eine Ebene wirklich scharf abgebildet werden.

In einer realen Kamera ist die Auflösung des Detektors oft aber schlechter als die beugungsbegrenzte Auflösung.

Auch Objekte in Ebenen mit verschiedener Tiefe können „scharf“im Sinne der begrenzten Auflösung des Detektors abgebildet werden, solange ein Bildpunkt nicht größer als ein Detektorpixel ist (Detektorpixel = kleinstes noch unterscheidbares Bildelement).



Die Kamera

p

dIdO

D

ideal objectplane

detectorplane

dO,F dI,F

dO,N dI,N

Schärfentiefe (= Abstand zwischen den noch scharf abgebildeten Ebenen):Durchmesser p der Detektorpixel, Brennweite f‘ der Kamera, Durchmesser D der BlendeObjekt- bzw. Bildweite dO bzw. dI der exakt scharf abgebildeten EbeneObjekt- bzw. Bildweite dO,N bzw. dI,N der näher an der Kamera liegenden Ebene, die noch scharf abgebildet wird.Objekt- bzw. Bildweite dO,F bzw. dI,F der weiter von der Kamera entfernt liegenden Ebene, die noch scharf abgebildet wird.



Die KameraBlendenzahl/Öffnungszahl f# (f number):

Dff '#

Zusammenhang Blendenzahl - numerische Apertur im Bildraum NAI:Gilt nur für weit entfernte Objekte, so dass das Bild ungefähr in der Brennebene der Linse ist.

#21

'2sinNA

fn

fDnn IIIII

In der Praxis meist nI=1.0 (Luft) NAI=1/(2f#)Es gibt aber auch optische Systeme, bei denen nI≠1.0, wie z.B. im menschlichen Auge!

Blendenzahl bestimmt die Belichtungszeit t, da die auf den Detektor fallende Lichtenergie E proportional zur Fläche der Aperturblende ist (Konstante a).

22

22 #

'#' f

afEt

fftaDtaE



Die KameraAbleitung Schärfentiefe für unter-schiedliche Brechzahlen nO bzw. nI in Objekt- und Bildraum:

FOIO

FOIFI

I

FO

O

FI

I

NOIO

NOINI

I

NO

O

NI

I

OIO

OII

I

O

O

I

I

dnfndfn

dfn

dn

dn

dnfndfn

dfn

dn

dn

dnfndfnd

fn

dn

dn

,

,,

,,

,

,,

,,

''

'

''

'

''

'

Laut Strahlensatz (siehe Abbildung) gilt:

'11''

''

11''

'

,

,

,,,,

,,,,

fndn

Dp

d

dnfnDpfn

dfnd

fndn

Dp

d

dnfnDpfn

dfnd

dDpdd

ddp

dD

dDpdd

ddp

dD

O

OI

O

OIOO

OOFO

O

OI

O

OIOO

OONO

FIFIIFIIFI

NIINIININI

p

dIdO

D

IdealeObjektebene

Detektor-ebene

dO,FdO,F dI,FdI,F

dO,NdO,N dI,NdI,N



Die KameraAbbildungsmaßstab für den Fall, dass die Kamera-Linse (in Praxis = Objektiv) die Sinus-Bedingung erfüllt ( Eintritts- und Austrittspupille sind Sphären um Objekt- bzw. Bildpunkt):

OI

IO

II

OO

II

OO

O

I

dndn

dDndDn

nn

xx

2/2/

sinsin

'11

'1

' fndn

fndn

dndn

fn

dn

dn

O

OI

O

OI

IO

OII

O

O

I

I

'#11

'#11

,

,

ffp

d

Dp

dd

ffp

d

Dp

dd

OOFO

OONO

Aus Abbildungsgleichung folgt:

Für Kamera ist f‘ positiv und negativ (reales invertiertes Bild, da |dO|>f‘ und dO<0). Der Nenner der Gleichung für dO,F kann also Null werden.

#'1'1'

01

, fpf

nfn

pD

nfnd

Dp

Dp

I

O

I

OCO



Die Kamera

Wenn die Kamera auf die „kritische Objektweite“ dO,C scharf gestellt wird, geht |dO,F| gegen unendlich und alle Objekte ab dem Abstand |dO,N|=|dO,C|/2 werden scharf (im Sinn der begrenzten Auflösung des Detektors) abgebildet.

#'1'1' d.h. 01 , fp

fn

fnpD

nfnd

Dp

I

O

I

OCO

FO

COCONO

d

d

Dp

dd

,

,,, 21

Deutung der letzten Gleichung:

Anmerkung: Auch wenn die Kamera auf weiter entfernte Objekte mit Abstand >|dO,C| scharf gestellt wird (d.h. || wird kleiner), werden alle weiter entfernten Objekte scharf abgebildet, da dO,F dann sogar formal positiv wird (wegen 1+p/(D)<0). D.h. sogar virtuelle, durch ein vorgeschaltetes Abbildungssystem erzeugte, Objekte könnten noch scharf abgebildet werden.



Die KameraBeispiel: f‘=50 mm, nO=nI=1, p=11 µm (CCD-Kamera mit großem Dynamikbereich)

1. minimale Blendenzahl f#=2.8

m 6.402

m 2.81#'1' ,

,,

NO

NOI

OCO

dd

fpf

nfnd

2. Blendenzahl f#=16

m 1.72

m 3.14#'1' ,

,,

NO

NOI

OCO

dd

fpf

nfnd

Aber Vorsicht: Ab dieser Blendenzahl begrenzt die Beugung, die bei der Ableitung der Schärfentiefe nicht berücksichtigt wurde, die Auflösung:

nm) 550 nlänge(für Welle µm 7.10#22.1NA

61.0 pfrAiry



Die KameraSchärfentiefe für nahe Objekte, so dass dO,F endlich ist:

'11 : wurde verwendetrechts wobei

'#1

111

#2

'#1

'#2

'#1

'#1

22,,

fndn

ffp

fpnn

ffpf

fpd

ffp

d

ffp

dddd

O

OI

I

OO

OOFONO

Für die kritische Distanz (pf#/(f‘)=1) würde der Nenner also wieder Null und dunendlich. Für nähere Objekte (d.h. || wird größer) ist der Nenner natürlich endlich und es gilt näherungsweise:

221#2111#2

'#1

111

#2#'

fpnnfp

nn

ffp

fpnndfpf

I

O

I

O

I

O



Die KameraBeispiel für Schärfentiefe bei nahem Objekt:

CCD-Kamera mit f‘=50 mm, Linse in Luft, Pixelgröße p=11 µm.

Die Blendenzahl sei f#=10 und das Objekt befinde sich in 1 m Abstand, d.h. dO=-1 m

Abbildungsmaßstab folgt aus Abbildungsgleichung: 05263.0'

11

fndn

O

OI

mm 746.83

'#1

111

#2 2

ffp

fpnnd

I

O

Exakte Gleichung für die Schärfentiefe liefert:

Näherungsformel für die Schärfentiefe liefert:

mm 600.831#2111#2 2

fp

nnfp

nnd

I

O

I

O

Der relative Fehler der Näherungsformel ist also nur ca. 0.2% und die Schärfentiefe beträgt 8.4 cm bei einer idealen Objektebene in 1 m Abstand. Objekte außerhalb der Schärfentiefe werden unscharf abgebildet.



Die KameraDetektor-Typen:

Früher wurden photographische Filme eingesetzt: analog sowohl hinsichtlich der räumlichen Auflösung (es gibt keine Pixel) als auch der Anzahl an Graustufen.

CCD oder CMOS-Sensoren: digitale elektronische Detektoren, sowohl räumlich digital (es gibt klar definierte Pixel) als auch bezüglich der Anzahl an Graustufen (Analog-Digital-Wandler erzeugt ein digitales Signal).

CCD/CMOS-Sensoren liefern direkt ein elektronisches digitales Signal, das verarbeitet werden kann. Filme dagegen liefern kein elektronisch direkt auswertbares Signal, können dafür aber (nach der Entwicklung und evtl. Umkopierung) ohne Hilfsmittel betrachtet werden.



Die Kamera

Vergleich Film CCD/CMOS-Sensor

Bis zu ≥ 90%5-10 %Quantenausbeute

Räumlich digital (Pixel), Intensität digital (DA-Wandler)

Räumlich analog, Intensität analog

Digital/Analog

Bis zu 16 MPixelPixel nicht vorhanden. Aber: 150 lp/mm bei 36 mm x 24 mm Format ca. 74 MPixel

Anzahl Pixel

Pixelabstand 1.7 µm -20 µm Max. 300 lp/mm

> 1000 lp/mm (s/w), gängig 40-150 lp/mm(Farbe)

Auflösungsvermögen in lp/mm(=Linienpaare/mm)

CCD/CMOSFilm



Die KameraPrinzip CCD: CCD=Charge-coupled deviceNobelpreis für Physik 2009: Willard Boyle und George E. Smith

„Eimerketten-Prinzip“

Ladungsverschiebungs-Varianten von CCDs

Alles Bildmaterial aus Wikipedia

Lichtempfindlich ist nur ein Teil jedes Pixels höhere Lichtausbeute möglich durch je eine Mikrolinse pro Pixel.



Die Kamera

Signal-Rausch-Verhältnis SNR (signal-to-noise) eines CCD-Chips:Jedes Pixel kann je nach Größe nur eine Maximalzahl N an durch einfallende Photonen erzeugten Elektronen speichern. Das Rauschen in der Anzahl der Elektronen liegt typischerweise bei .

Das SNR ist also:

N

NN

NSNR

Die maximale Anzahl N an speicherbaren Elektronen pro Pixel hängt von der Größe, d.h. Fläche, des Pixels ab. Bei einer Kantenlänge d jedes Pixels gilt also:

dNdN SNR2

Ein CCD-Chip mit 20 µm großen Pixeln hat also beispielsweise ein mehr als 10-fach größeres Signal-Rausch-Verhältnis als ein Chip mit nur 1.7 µm großen Pixeln!



Die KameraAnmerkungen zur Pixelgröße:Generell sollte man sich klar machen, dass neben dem geringeren Signal-Rausch-Verhältnis immer kleinere Pixel auch sonst wenig sinnvoll sind, da der Informationsgehalt des Bildes ab einer bestimmten Größe nicht mehr zunimmt.Beugungsbedingte Größe der Airy-Disc (Radius):

Bei einer Wellenlänge von =0.5 µm wäre der Radius eines Punktbildes also schon durch Beugungseffekte ab einer Blendenzahl von 2.8 größer als 1.7 µm.

Pixel mit Durchmesser <1.7 µm können nur noch für Blendenzahlen <2.8 eingesetzt werden, wenn man die volle Auflösung haben möchte. Geringe Schärfentiefe und relativ hohe Anforderungen an das Objektiv bezüglich Aberrationskorrektur wegen des großen Feldwinkels und der kleinen Blendenzahl.

#22.1'22.1'61.0NA

61.0Luftin

fD

fr

frAperturApertur

Airy



Die KameraFarb-Kameras:CCD-Chip basierend auf Silizium-Technologie (Standard) besteht letztendlich aus einem Array von Silizium-Photodioden + weiterer Elektronik. Sensitiv für Photonen mit Energie Eph > Bandlücke von Si (EBandlücke=1.1 eV) Wellenlänge :

µm 127.1J 10602.11.1

ms 10998.2Js 10626.619

-1834

BandlückeBandlückeph E

hcEhchE

Si-Photodiode: Strom/einfallende Leistung als Funktion der Wellenlänge

CCD-Kamera mit IR-durchlässiger Optik ohne IR-Filter ist bis ins nahe IR sensitiv und liefert „nur Grauwerte“.

Quelle: Wikipedia



Die KameraFarb-Kameras(2):Farb-Kamera hat in der Regel ein Array von Farbfiltern vor dem Chip Verschiedene Pixel für verschiedene Wellenlängenbereiche sensitiv

Quelle: Wikipedia

Bayer-Farbfilter: Array mit je einem roten, zwei grünen und einem blauen Pixel (RGB)

Warum kann man mit nur drei Wellenlängen (bzw. genauer Wellenlängenbereichen) wie beim RGB-Verfahren alle sichtbaren Farben erzeugen bzw. detektieren?

Der Grund liegt natürlich in der Physiologie unseres Auges: Wir haben genau drei Farbrezeptoren (S-,M- und L-Zapfen): siehe menschliches Auge



Das menschliche Auge



Anmerkung:Maßeinheit für Brechkraft (=1/Brennweite): 1 Dioptrie = 1 dpt = 1 m-1


Quelle: Zeiss

Aufbau des menschlichen Auges(gleiches Prinzip bei allen Wirbeltieraugen):

Analogie zu einer Kamera:

• Iris = Blende (Durchmesser 2 mm - 8 mm)

• Hornhaut + Augenlinse = Linse

• Netzhaut = Detektor (schärfstes Sehen in der Netzhautgrube=Sehgrube)



Das menschliche AugeDie „Kamera-Linse“ des Auges:Hauptanteil der Brechung findet an der Hornhaut (Cornea) statt (Übergang Luft –Hornhaut: Brechzahldifferenz n=nHornhaut-nLuft=0.376): ca. 43 dpt

Augenlinse (Kristalllinse) besteht aus unterschiedlichen Schichten mit Brechzahlen zwischen 1.386 und 1.406 eingebettet in Kammerwasser bzw. Glaskörper mit je nGlaskörper=1.336 n≤0.07Brechkraft der Linse für entspanntes Auge (Ferne): ca. 19-20 dptBei Akkomodation (zusätzliche Brechkraft für nahe Objekte): max. 14 dpt zusätzlich

Gesamtbrechkraft Auge:Ferne: 59 dpt (endlicher Abstand Hornhaut zu Linse kleiner als Summe der Einzelbrechkräfte von Hornhaut und Augenlinse)

mm 9.16''dpt 59

''

nf

fn Achtung: Das Auge ist ein Immersionssystem

mit n‘=nGlaskörper=1.336. f‘/n‘ ist deshalb die effektive Brennweite bezogen auf Luft.



Das menschliche AugeAkkomodation: Fähigkeit des Auges auf unterschiedliche Entfernungen scharf zu stellen.

Scharfstellung auf nahes Objekt Ziliarmuskel (Ringmuskel) wird angespannt Ziliarbänder werden entspannt und die elastische Augenlinse versucht möglichst Tröpfchenform anzunehmen stärkere Krümmung = höhere Brechkraft

Ziliarmuskel entspannt Ziliarmuskel angespannt

Deutliche Sehweite: 25 cm Augenlinse muss zusätzlich 4 dpt Brechkraft liefern

dpt 41''

''

''

'''

'''

1

12

2

1

O

n

O

OI

I

ddn

fn

fn

fn

fn

dn

dn

fn

dnObjekt in Ferne dO-

Objekt im Abstand der deutlichen Sehweite dO=-25 cm



Das menschliche AugeBei einer zusätzlichen Brechkraft der Augenlinse von 14 dpt (nur in der Jugend) können also noch Objekte im Abstand |dO|=1/14 dpt=7.1 cm scharf gesehen werden.

Mit zunehmendem Alter „verkalkt“ die Augenlinse, d.h. ihre Elastizität nimmt ab und deshalb auch ihre Fähigkeit zur Tröpfchenform zusätzliche Brechkraft nimmt ab bis zum „Endstadium“ der zusätzlichen Brechkraft Null.

Ab Akkomodationsfähigkeit kleiner als 4 dpt benötigt man eine Lesebrille (im Volksmund „ist der Arm nicht mehr lange genug“ um das Buch weit genug entfernt zu halten). Fachausdruck Presbyopie (Alterssichtigkeit)

Diese „natürlichen Alterungsprozesse“ dürfen nicht mit einer angeborenen Fehlsichtigkeit (Ametropie) verwechselt werden, bei der der Augapfel zu kurz (Weitsichtigkeit) oder zu lang (Kurzsichtigkeit) ist. Korrektur der Weitsichtigkeit mit Sammellinse bzw. der Kurzsichtigkeit mit Zerstreuungslinse.



Das menschliche AugeAuflösungsvermögen des menschlichen Auges:Unter optimalen Bedingungen können zwei Objekte mit einem Winkelabstand von =30‘‘ noch unterschieden werden (bei normalsichtigen Augen im Durchschnitt bei 1‘ Winkelabstand). Abstand x der Bildpunkte auf der Netzhaut ist dann:

µm 5.2mm 9.1660180

5.0''''

nffx

Abstand der „Pixel“ des Auges (= Abstand der Rezeptoren) muss <2.5 µm sein, damit eine Verminderung der Intensität im Punktbild zweier Objektpunkte noch erkennbar ist. Laut Literatur beträgt der Abstand der Rezeptoren (Zapfen) im Zentrum der Sehgrube (Ort des schärfsten Sehens) ca. 1.5-2 µm.Bis Pupillendurchmesser (Irisblende) von ca. 3 mm ist das Auge beugungsbegrenzt: Pupillenradius r=1.5 mm numerische Apertur NA=n‘sin‘=n‘r/f‘=1.5 mm/16.9 mm=0.089 Radius der Airy-Disc für Wellenlänge 550 nm: rAiry=0.61 /NA=3.8 µmDies wäre sogar größer als der oben berechnete Bildpunktabstand bei optimaler Auflösung, allerdings war dies nur eine Abschätzung, da sowohl etwas kleiner als auch r etwas größer sein können: =450 nm, r=2 mm rAiry=2.3 µm.




Irisblende kann Durchmesser zwischen 2 mm (bei sehr hellem Licht) und 8 mm (bei Dämmerung/Dunkelheit) haben. Mit zunehmendem Pupillendurchmesser (z.B. in der Nacht) verringern Aberrationen (sphärische Aberration wächst mit NA4) das Auflösungsvermögen.

Diese Rechnung zeigt auf jeden Fall, dass das menschliche Auge im Lauf der Evolution zu einem erstaunlichen optischen Instrument optimiert wurde, das an den physikalisch möglichen Grenzen funktioniert.

Einen wesentlichen Teil unseres „Seh-Apparats“ bildet selbstverständlich die Verarbeitung der Informationen im Gehirn, wobei schon in der Netzhaut (Retina), dem Detektor unseres Auges, eine komplexe Vorverarbeitung durch entsprechende Verschaltung der Nervenzellen (Neuronen) stattfindet. Da dieses System an das Überleben im Alltag eines Primaten angepasst ist, kommt es unter gewissen Umständen zu optischen Täuschungen.Das Auge macht auch ständig bewusste und unbewusste Augenbewegungen um ein Objekt „abzuscannen“, da wir nur in einem sehr schmalen Bereich (ca. 1o) wirklich scharf sehen.



Das menschliche AugeFarbwahrnehmung:Das menschliche Auge hat unterschiedliche Rezeptoren:Stäbchen: keine Farbempfindlichkeit, d.h. nur Schwarz-Weiß-Sehen, aber extrem empfindlich (bis zu einzelne Photonen sichtbar) Nachtsehen (skotopischesSehen) erfolgt mit Stäbchen. Häufigkeit auf der Netzhaut nimmt vom Zentrum zum Rand hin zu (ca. 120 Millionen insgesamt) Mensch sieht bei Dämmerung in der Peripherie besser.

Zapfen: Farbrezeptoren durch drei Zapfen-Typen: S-Zapfen (blau), M-Zapfen (grün) und L-Zapfen (rot).Zapfen benötigen mindestens 200 Photonen für ein zuverlässiges Signal Zapfen nur bei Tageslicht aktiv (photopisches Sehen), bei geringer Helligkeit wie nachts „abgeschaltet“, d.h. keine Farbwahrnehmung.Häufigkeit nimmt vom Zentrum der Netzhaut zum Rand hin ab. Höchste Dichte in der fovea centralis=Sehgrube (ca. 6 Millionen insgesamt auf der menschlichen Netzhaut, davon ca. 200 000 in der Sehgrube mit ca. 1.5 mm Durchmesser).



Das menschliche AugeVerteilung der Zapfen (blau) und Stäbchen (rot) auf der Netzhaut: In Sehgrube praktisch nur Zapfen, größte Dichte der Stäbchen auf Ring mit 17o

Winkelabstand relativ zur optischen Achse.Da im Zentrum der Sehgrube (fast) keine Stäbchen vorhanden sind und bei Dunkelheit die Zapfen nicht mehr funktionieren, kann man bei Dunkelheit nur unscharf sehen und z.B. kaum einen Text lesen.Der blinde Fleck (Austrittspunkt des Sehnervs) ist weiß gezeichnet (rechts von der Sehgrube).

Quelle: http://www.dma.ufg.ac.at/app/link/Grundlagen:Allgemeine/module/16457?step=2



Das menschliche AugeFarbwahrnehmung(2):

Quelle: Wikipedia

Wellenlängen-Abhängigkeit der Empfindlichkeit der verschiedenen Rezeptoren im menschlichen Auge (für jeden Rezeptor getrennt normiert)

S,M,L: Zapfen-Typen

R: Stäbchen (engl. rods)




Quelle: Wikipedia

Farbwahrnehmung(3):Relative Empfindlichkeit der verschiedenen Zapfen bzw. der Gesamtheit der Zapfen in der Sehgrube im menschlichen Auge

S,M,L: Zapfen-Typen

Z: Sehgrube

Maximale Empfindlichkeit des Auges bei 555 nm (Tagessehen) bzw. 498 nm (Nachtsehen) ist also gut an das Strahlungsmaximum unserer Sonne bei ca. 500 nm angepasst!



Das menschliche AugeRot-Grün-Sehschwäche bzw. totale Farbenblindheit:Bei Rot-Grün-Sehschwäche (bis zu 9% der Männer und 0.8% der Frauen) kann man Rot und Grün nicht unterscheiden, da anstelle der M- und L-Zapfen nur eine Sorte vorliegt.Fehlen die Zapfen vollständig (recht selten) kann man nur noch mit Hilfe der Stäbchen Grautöne wahrnehmen und ist meist extrem behindert (Stäbchen am Tag geblendet, in Sehgrube meist nur geringe Stäbchendichte und Sehschärfe).

Que

lle: W

ikip

edia

Nachweis der Rot-Grün-SehschwächeSimulation der Rot-Grün-Sehschwäche (Mitte) bzw. totaler Farbenblindheit (rechts) für Normalsichtigen



Das menschliche AugeDer RGB-Farbraum:Durch additive Mischung unterschiedlicher Intensitäten von nur drei Grundfarben (rot, grün und blau), die in etwa an die Absorptionsmaxima der drei Zapfen-Typen angepasst sind, lassen sich alle Farbtöne für das menschliche Auge erzeugen, da das Auge eben nur über das Verhältnis der Anregung der drei Zapfen-Typen Farben erkennen kann.

Wenn wir auf einem Computer-Bildschirm z.B. gelbes Licht sehen, so wurde dort nicht etwa wirklich monochromatisches Licht mit einer Wellenlänge emittiert, die wir als gelb empfinden, sondern es wurde durch die Mischung von rotem und grünem Licht erzeugt.

Diese Eigenschaft unseres Farbwahrnehmungs-Systems mit den drei Zapfen-Typen ermöglicht also erst die technische Darstellung aller Farben.

In der Drucktechnik muss man natürlich die subtraktive Farbmischung verwenden, bei der aus weißem Licht (= Mischung aller Farben) entsprechende Farben herausgefiltert werden.



Das menschliche AugeAnmerkung zur Farbwahrnehmung anderer Tiere:

Manche Tiere haben bis zu 4 Farb-Rezeptoren (Vögel, Fische). Manche Tiere wie Vögel, (manche) Fische und Schmetterlinge sehen im Ultravioletten bei unter 400 nm.

Die meisten Säugetiere (Ausnahme Primaten wie z.B. der Mensch) haben nur 2 Farb-Rezeptoren.

Mensch Biene Fisch (Plötze)Quelle: http://www.sinnesphysiologie.de/komplex/farbe.htm



Das Teleskop



Das Teleskop

u1 u1’ u2 u2’

u1u1’

f1’

-f =f2 2’

u2 u2’

F ’=F1 2

f2

f1’

F ’=F1 2

(a)

(b)

Definition:Ein Teleskop ist ein System aus zwei Linsen (oder Spiegeln), bei dem der bildseitige Brennpunkt der ersten Linse (Objektiv) mit dem objektseitigen Brennpunkt der zweiten Linse (Okular) zusammenfällt.

Es gibt zwei unterschiedliche Arten: a) Kepler-Teleskop (astronomisches

Fernrohr) aus zwei Sammellinsen

b) Galilei-Teleskop (terrestrisches Fernrohr, holländisches Fernrohr) aus einer Sammel- und einer Zerstreuungslinse



Das TeleskopParaxiale Matrix eines Teleskops:Bildseitige Brennweite f1‘ der ersten Linse bzw. f2‘ der zweiten Linse, je in Luft.

Laut Definition gilt für Abstand d zwischen bildseitiger Hauptebene der ersten Linse und objektseitiger Hauptebene der zweiten Linse:

''' 2121 ffffd

''0

''''

'1

'''1

'1

'1

1'

101

101

1'

101

2

1

211

2

22121

1

12 ff

ffff

fd

ffd

ff

dfd

f

d

fM

Die Brechkraft (Koeffizient -C) ist also bei einem Teleskop Null bzw. die Brennweite ist unendlich (daher auch der Name afokales System für ein Teleskop)!Trotzdem kann ein Teleskop aber zur Abbildung von Objekten verwendet werden!

M: Matrix des Teleskops von objektseitiger Hauptebene U1 der ersten Linse bis zur bildseitigen Hauptebene U2‘ der zweiten Linse.



Das TeleskopTeleskop als Aufweitungssystem und Abbildungssystem für weit entfernte ObjekteBetrachte einfallende ebene Welle unter Winkel relativ zur optischen Achse paraxiales Strahlenbündel wird durch zwei Strahlen der Höhe x1 bzw. x2 vor dem Teleskop und dem Winkel repräsentiert.Die Strahlvektoren unmittelbar hinter dem Teleskop sind dann:

1'''

'''':'

'''

'''''

2,1mit

''

''''

''

1

212

1

212

2

1

2

121

2

1

211

2

xxx

ffxx

ffxxx

ff

ff

i

ff

ffxff

xx

i

ii

i

i

i

i M

Die Winkelvergrößerung ist also betragsmäßig gleich dem Verhältnis der Brennweiten f1‘/f2‘.

Eine einfallende ebene Welle mit Durchmesser xwird um den Faktor –f2‘/f1‘==1/ aufgeweitet (oder komprimiert).



Das Teleskop

Für |f1‘|>|f2‘| wird die Winkelvergrößerung also betragsmäßig größer als eins und das entfernte Objekt erscheint unter einem vergrößerten Winkel, d.h. auch größer.

Bei einem Kepler-Teleskop gilt f1‘>0 und f2‘>0 <0, d.h. das Bild steht auf dem Kopf. Bei astronomischen Objekten ist dies kein Problem, bei terrestrischen Objekten ist es aber störend, so dass man ein Bildumkehrungs-System benutzen muss (z.B. nachgeschaltetes Kepler-Teleskop mit zwei identischen Linsen).

Bei einem vergrößernden Galilei-Teleskop gilt f1‘>0 und f2‘<0 >0, d.h. das Bild steht aufrecht.



Das TeleskopAbbildung endlich weit entfernter Objekte mit einem Teleskop

u1 u1’ u2 u2’

f1’

-f =f2 2’

F ’=F1 2

Objectplane

Imageplane

d1

d2

Das Objekt befinde sich in der Entfernung d1vor der objektseitigen Hauptebene der ersten Linse (d1>0, wenn Objekt links der ersten Linse ist). Das Bild ist dann in der Entfernung d2 hinter der bildseitigen Hauptebene der zweiten Linse, wobei es reell ist, wenn d2>0 gilt. Matrix M‘ von Objekt- zu Bildebene ist:

''0

''

''''

''

101

''0

''''

101

'

2

1

2

12

1

2121

1

2

1

2

1

211

2

2

ff

ffd

ffdff

ff

d

ff

ffff

dM

Für Abbildung muss der „B-Koeffizient“ Null sein:

21

22

11

22

222

12

1

2121 '

''''0

''

''''

ffd

fffd

ffd

ffdff



Das TeleskopUm also ein reelles Bild (d.h. d2≥0) eines reellen Objektes (d1≥0) zu erzeugen, muss gelten:

0'

1'

10'

''0''

'''

211

2

21

121

22

11

22

22 ff

dfff

ffd

fffd

Da bei einem Galilei-Fernrohr die Sammellinse immer die betragsmäßig größere Brennweite haben muss (siehe später), kann ein Galilei-Fernrohr kein reelles Bild eines reellen Objektes liefern. Das Kepler-Teleskop liefert dagegen ein reelles Bild solange 0≤d1≤f1‘+(f1‘)2/f2‘ gilt.

Im Fall der teleskopischen Abbildung gilt für den lateralen Abbildungsmaßstab :

'''

1

20

ffA

xBAx

xx B

Der Abbildungsmaßstab hängt also nur vom Verhältnis der Brennweiten ab und nicht von der Lage des Objektes. Wenn sich in der gemeinsamen Brennebene des Teleskops (nur Kepler) noch die Aperturblende befindet, ist das System telezentrisch.



Das TeleskopWichtiges teleskopisches Abbildungssystem: Das 4f-SystemEin wichtiger Spezialfall eines teleskopischen Abbildungssystems ist das sogenannte 4f-System, bei dem beide Linsen die gleiche Brennweite f1‘=f2‘=f‘>0 besitzen.

1''

'2'2''

'''

1

2

21121

22

11

22

22

ff

fdddfffd

fffd

Bei einem 4f-System (Gesamtlänge 4f‘) ist also die Summe der Abstände des Objektes und des Bildes von den Linsen konstant bzw. man kann das Teleskop axial verschieben, ohne dass sich paraxial etwas an der Abbildungssituation ändert (bei einem realen System ändern sich natürlich eventuelle Aberrationen!). Das Bild hat die gleiche Größe wie das Objekt, steht aber auf dem Kopf.

4f-Systeme werden z.B. verwendet, um ein nicht direkt zugängliches Zwischenbild reell abzubilden und damit zugänglich zu machen.



Das Teleskop(a) Infinite distant objects

(b) Finite distant objects

aperturestop field

stop

fieldstop

aperturestop

vignettedimage point

Apertur- und Feldblende eines teleskopischen Abbildungssystems (Kepler-Teleskop)Bei unendlich weit entfernten Objekten ist in der Regel die Apertur der ersten Linse die Aperturblende. Die Feldblende bringt man sinnvollerweise in der gemeinsamen Brennebene des (Kepler-)Teleskops an.

Bei einem Objekt in der vorderen Brennebene der ersten Linse ist die Apertur der ersten Linse die Feldblende, während eine Blende in der gemeinsamen Brennebene des Teleskops zur Aperturblende wird. Es tritt allerdings Vignettierung am Rand des Feldes auf.



Das TeleskopBerechnung der Austrittspupille bei Kepler- und Galilei-Teleskopfür entfernte Objekte und den Fall, dass die Apertur des Objektivs mit Durchmesser D die Aperturblende ist.Eintrittspupille fällt dann mit der Apertur des Objektivs zusammen und die Austrittspupille ist das Bild davon abgebildet durch das Okular mit Brennweite f2‘.Die Objektweite dO und Bildweite dI der Abbildung lauten also:

1

''

'''

'''

''

''''

111

''

1

2

21

1

212

2

''

1

212

2

21

21

ff

fff

fff

dd

ff

fffdfdd

ffd

O

IupilleAustrittsp

ff

IOI

O

Die Bildweite der Austrittspupille ist also ungefähr gleich der Brennweite des Okulars und der Durchmesser der Austrittspupille ist D/||.



Das TeleskopAnmerkungen zum Kepler-Teleskop:Kepler-Teleskop zur vergrößerten Abbildung ferner Objekte besteht aus dem Objektiv (erste Linse) und dem Okular (zweite Linse), die beide Sammellinsen sind. In der hinteren Brennebene des Objektivs entsteht ein reelles Bild des Objekts und hinter dem Okular ergibt sich wiederum ein Bild im Unendlichen, aber mit vergrößertem Sehwinkel, da f1‘>f2‘.Die Aperturblende des Kepler-Teleskops ist die Apertur des Objektivs mit Durchmesser D, solange die Apertur des Okulars groß genug ist. Wegen des deutlich geringeren Strahlquerschnitts am Okular (für ||>>1) muss die Apertur des Okulars allerdings absolut gesehen nicht sehr groß sein. Eintrittspupille des Teleskops = Apertur des Objektivs Austrittspupille als Bild der Aperturblende liegt nahe der hinteren Brennebene

des Okulars wegen f1‘>>f2‘ und hat einen Durchmesser D/||. Die Pupille des Auges kann mit der Austrittspupille zur Deckung gebracht

werden, so dass alles Licht, das das Objektiv trifft, auch auf die Netzhaut fällt, falls Durchmesser DAuge der Augenpupille DAuge>D/||.



Das TeleskopAnmerkungen zum Galilei-Teleskop:Generell muss beim Galilei-Teleskop die Sammellinse die betragsmäßig größere Brennweite als die Zerstreuungslinse haben wegen:

''''0'0' :Fall 2.''''0'0' :Fall 1.

''0''221121

1122212121 ffffff

ffffffffffd

Vorteile sind: Die kompakte Baulänge von |f1‘|-|f2‘| verglichen mit |f1‘|+|f2‘| beim Kepler-Teleskop.Das aufrecht stehende Bild eines entfernten Objektes.

Großer Nachteil ist (nur der Fall der Sammellinse als Objektiv wird betrachtet):Die Austrittspupille als Bild der Apertur des Objektivs abgebildet mit dem Okular liegt vor dem Okular, da dI≈f2‘<0. Die Augenpupille kann deshalb nicht an den Ort der Austrittspupille gebracht werden und man hat einen „Schlüsselloch-Effekt“, der das Feld stark einschränkt. Es sind in der Praxis auch nur Winkelvergrößerungen von 2-5 sinnvoll.Sinnvolle Anwendungen: Strahlaufweitung, Opernglas



Teleskope in der Astronomie



Teleskope in der AstronomieTeleskope in der Astronomie (=„astronomisches Teleskop“):Begriffsklärung: Ein modernes Teleskop in der Astronomie bildet mit Hilfe einer Linse, eines Spiegels oder auch eines ganzen optischen Systems (Objektiv) ein reelles Bild eines unendlich weit entfernten Objekts auf einem Detektor (CCD, fotografischer Film). Die Apertur des Objektivs ist meist auch gleichzeitig die Aperturblende.Laut unserer Definition ist ein modernes astronomisches Teleskop also streng genommen eine Kamera.

Ein astronomisches Hobby-Teleskop hat dagegen keinen unmittelbaren Detektor sondern stattdessen ein Okular zur visuellen Beobachtung, so dass Objektiv und Okular zusammen ein Kepler-Teleskop bilden.

Die astronomische Kamera bezeichnet in der Astronomie einfach ein normales modernes astronomisches Teleskop mit großem Feldwinkel, das keine direkte visuelle Beobachtung mit dem Auge zulässt. (Anmerkung: professionelle astronomische Teleskope lassen allerdings praktisch nie mehr eine direkte visuelle Beobachtung mit dem Auge zu.)



Teleskope in der AstronomieLinsen-Teleskope (sogenannte Refraktoren) werden heutzutage nur noch selten in der Astronomie eingesetzt, da Linsen mit großen Durchmessern (und deshalb großer Dicke) sehr massiv und teuer sind. In der Praxis verwendet man deshalb fast nur noch Spiegel-Teleskope.

Beliebte Bauweisen (heutzutage besonders in der Hobby-Astronomie) sind das Newton-Teleskop (auch Newton Reflektor genannt) und das Cassegrain-Teleskopbzw. das Schmidt-Cassegrain-Teleskop.

Eine verbesserte Version des Cassegrain-Teleskops ist das Ritchey-Chrétien-Cassegrain-Teleskop, das auch bei sehr großen Teleskopen verwendet wird:• Hubble-Space-Teleskop (Primärspiegel mit 2.4 m Durchmesser und effektiver

Brennweite von 57.6 m)• Very Large Telescope (VLT) der ESO in Chile (vier baugleiche zusammen

geschaltete Teleskope mit je 8.2 m Primärspiegeldurchmesser und effektiver Brennweite von 108.8 m)



Kategorien:• Ellipse mit Spezialfall Kreis

(Kreis Flächennormale der Ebene parallel zur Kegelachse, Ellipse Winkel zwischen Flächennormale der Ebene und Kegelachse kleiner als Kegelwinkel)

• Parabel ( Ebene parallel zum Kegelmantel)

• Hyperbel (Winkel zwischen Flächennormale der Ebene und Kegelachse größer als Kegelwinkel) Quelle: Wikipedia

Einschub: KegelschnitteKegelschnitte entstehen beim Schnitt eines (unendlichen) (Doppel-)Kreiskegels mit einer Ebene.




Brennpunkte eines KegelschnittsKegelschnitte sind durch zwei sogenannte Brennpunkte definiert. Ellipse und Parabel: Die Summe der Abstände von den beiden Brennpunkten ist für alle Punkte der Ellipse/Parabel identisch. Bei der Parabel ist allerdings einer der Brennpunkte im Unendlichen.Hyperbel: Die Differenz der Abstände von den beiden Brennpunkten ist für alle Punkte der Hyperbel identisch.

Quelle: Wikipedia




Dreht man den Kegelschnitt um seine Symmetrieachse, so entstehen:

• Rotationsellipsoid (Spezialfall Kugel),

• Rotationsparaboloid

• Rotationshyperboloid

Als Spiegel haben diese Körper die Eigenschaft, dass alle Lichtstrahlen, die vom einen Brennpunkt ausgehen und am Spiegel reflektiert wurden, im anderen Brennpunkt fokussieren (für Ellipsoid und Paraboloid) oder von ihm ausgehen zu scheinen (für Hyperboloid).

ACHTUNG: Die Brennpunkte des Kegelschnitts haben im Allgemeinen nichts mit den optischen Brennpunkten des Spiegels im Sinn der paraxialen Optik zu tun.




Zusammenhang mit der in der Optik üblichen Asphärenformel:Konische Konstante K, Scheitelkrümmung C=1/R (R: Scheitelkrümmungsradius), radiale Koordinate r, axiale Koordinate z

11111111

1111

11122222

220

122

2

rCKCzKCzKrCK

CKrCK

rCKCrrz

C

K

11011 2

22

br

azKK

11011 2

22

br

azKK

1. Fall: Ellipsoid

111;

111

KR

CKb

KR

CKa

2. Fall: Hyperboloid

Halbachsen a und b:

Scheitel sind jeweils bei z=0 (oder z=2a)




Ellipsoid: Entfernung e zwischen Brennpunkt und Scheitel

K

KR

KR

KR

KRe

baaebaeabeaa

11111

2

2

2

222222

Hyperboloid: Entfernung e zwischen Brennpunkt und Scheitel (ohne Beweis)

KK

R

KR

KR

KR

KR

KR

KRbaae

11

111111

2

2

22

2

222

Achtung: Für K ist nur der Wertebereich -1<K0 zugelassen. Kurven mit K>0 sind keine Ellipsoide mit aberrationsfreier Abbildung zwischen den Brennpunkten!

D.h. gleiche Abhängigkeit wie bei Ellipsoid!


ab

z

r

F1 F2

e



Für Ellipsoid und Hyperboloid (und im Grenzfall auch für Paraboloid) gilt also für die Entfernung e zwischen Brennpunkt und Scheitel:

KR

KKKR

K

KRKK

ReK

1111

1

111 2

0wegen

Dabei sind für K nur Werte K0 zugelassen, da Kurven mit K>0 kein Ellipsoid ergeben, dessen Symmetrieachse (=Drehachse) parallel zur Verbindungslinie zwischen den beiden Brennpunkten ist!K>0 große Halbachse der Ellipse in Richtung der Koordinate r, Drehung der Ellipse erfolgt aber um die z-Achse Keine aberrationsfreie Abbildung zwischen den beiden Brennpunkten!




Grenzfall Paraboloid: K -1 bzw. -K +1

2/1/1/

1

1

RKRKR

KRe

K

Der eine Brennpunkt liegt also, wie schon früher gesagt, im Unendlichen. Der andere Brennpunkt liegt im Abstand R/2 vom Scheitel.

Für einen konkaven Parabolspiegel (R<0), ist aber die bildseitige Brennweite f‘: f‘=-R/2=|R|/2.

Der bildseitige Brennpunkt der paraxialen Optik und der eine „Brennpunkt“der Parabel im Sinn der Kegelschnitte fallen also zusammen.

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

RAYTRACE Copyright © 2006 University Erlangen-Nuremberg


r

z

f’




Das Newton-Teleskop (ursprünglich von Sir Isaac Newton entwickelt)Sphärischer oder parabolischer Primär-Spiegel (Parabolspiegel keine sphärische Aberration)

Quelle: Wikipedia

Planer Fang-Spiegel unter 45o, um das Licht seitlich unter 90o aus dem Tubus heraus auf das Okular zu lenken




Das Cassegrain-TeleskopKonkav-parabolischer Primärspiegel und konvex-hyperbolischer Sekundärspiegel, wobei der optische Brennpunkt des Primärspiegels mit dem einen Kegelschnitt-Brennpunkt des hyperbolischen Sekundärspiegels übereinstimmt, so dass das Licht zum zweiten Kegelschnitt-Brennpunkt des Sekundärspiegels gelenkt wird keine sphärische Aberration, aber lange Brennweite trotz kurzer Baulänge.

Quelle: Wikipedia


Licht wird durch ein Loch im Primärspiegel auf das Okular geführt, falls Fokus hinter dem Primärspiegel (für visuelle Beobachtung), oder es befindet sich direkt ein Detektor im Fokus, falls dieser vor dem Primärspiegel liegt.



Einschub: Kombination zweier Spiegel (Primär- und Sekundärspiegel) als Objektiv:Anwendung der paraxialen geometrischen Optik mit „aufgefaltetem Strahlengang“:Brennweiten f‘1 und f‘2 der beiden Spiegel im Abstand d. Matrix M vom Scheitel des ersten zum Scheitel des zweiten Spiegels.

dfffff

ffd

fff

fd

ffd

ff

dfd

fd

f

'2

'1

'2

'1

'2

'1

'2

'1

'2

'2

'1

'2

'1

'1

'1

'2

'11'

1

111

1

1/101

101

1/101

M


Anmerkung: Die Brennweiten der Spiegel hängen mit den Scheitelkrümmungs-radien unabhängig vom Kegelschnitt-Typ gemäß f‘1,2=-R1,2/2 zusammen! Der konische Parameter K bestimmt dann die exakte Lage der Kegelschnitt-Brennpunkte und damit mögliche Aberrationen.



Für unendlich weit entferntes Objekt liegt der Fokuspunkt im Abstand dI vom Sekundärspiegel, wobei gilt:

x

fd

ffd

ff

fdddd

ffd

ffd

fd

xdxI

III

'2

'2

'1

'2

'1

'2

'2

'1

'2

'1

'1

111

111

101

''

M

Im Fokus muss die Strahlhöhe x‘ unabhängig von der Strahlhöhe x der einfallenden (parallelen) Strahlen sein, so dass also das Matrixelement A der Gesamtmatrix Null ist:

dff

fdfd

ffd

ffd

fdAxBAxx

I

I

'2

'1

'2

'1

'2

'1

'2

'1

'1

0111 von unabhängig'




Teleskope in der AstronomieAbstand d muss in der Praxis deutlich größer als 0.5*f‘1 sein, damit die Abschattung des Primärspiegels durch den Sekundärspiegel nicht zu groß wird.

Beispiel eines Cassegrain-Designs: f‘1=2000 mm, f‘2=-700 mm, d=1500 mm

mm 7000mm 200

mm 700-mm 2000'

mm 1750mm 200

mm 700-mm 500

'2

'1

'2

'1

'2

'1

'2

'1

dfffff

dfffdfdI

Für dieses Cassegrain-Teleskop liegt der optische Fokus also nur 250 mm hinter dem Primärspiegel bzw. die Baulänge vom Sekundärspiegel (der am nächsten zum Objekt ist) zum Fokus ist nur dI=1750 mm, während die effektive Brennweite f‘=7000 mm beträgt! Kompakter Bau

Hätte man nur einen einzigen Spiegel, so müsste die Baulänge gleich f‘ sein.

d

dI



Teleskope in der Astronomie• Konische Konstante des Primärspiegels (=Parabolspiegel) ist K=-1. Konische

Konstante des Sekundärspiegels (=hyperbolischer Spiegel) ergibt sich daraus, dass der erste Brennpunkt des Hyperboloids mit dem Brennpunkt des Primärspiegels übereinstimmen muss. e=f‘1-d=500 mm

514

50014001

1

eRK

KRe

24.32581

59

5141 KKK

d

dIeDa –K>1 für Hyperboloid, kann nur der Term mit dem „+“-Zeichen eine Lösung ergeben:

Zur Überprüfung: Die zweite Lösung ergibt

IdK

Re

mm -17505/91

mm 14001

Negatives Vorzeichen deutet an, dass zweiter Brennpunkt auf anderer Seite des Spiegels als erster Brennpunkt ist.

• Krümmungsradius R des Sekundärspiegels ergibt sich aus f‘2: R=-2f‘2=1400 mm



Teleskope in der AstronomieRay tracing Simulation des Beispiels: D=0.5 m, f‘=7 m, =0.5 µm

-1500 -1000 -500 0

-1500 -1000 -500 0

-600

-400

-200

0

200

400

600

-600

-400

-200

0

200

400

600


-1500 -1000 -500 0

-1500 -1000 -500 0

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

250


Spotdiagramme von

Objektpunkten

Auf Achse

0.1o

off-axis

Maßstabsgerecht

Zoom

20 µm10-8 µm! D.h. in Praxis beugungsbegrenzt



Das Schmidt-Cassegrain-TeleskopAm Eingang wird eine asphärische Phasenplatte (Glasplatte) zur Korrektur der sphärischen Aberration des sphärischen Primär-Spiegels angebracht. Ein konvexer (hyperbolischer) Sekundärspiegel lenkt dann das Licht durch ein Loch im Primärspiegel auf das Okular bzw. Detektor.

Quelle: Wikipedia

Die Schmidt-KameraNur für photographische Zwecke ist die Schmidt-Kamera geeignet, bei der eine asphärischeGlasplatte mit Blende im Krümmungsmittelpunkt eines sphärischen Spiegels dessen sphärische Aberration korrigiert. Der Detektor muss sich im Tubus befinden, wobei Bildfeldwölbung auftritt. Durch das kugelsymmetrische Design sind Coma und Astigmatismus weitgehend korrigiert!




Das Ritchey-Chrétien-Cassegrain-TeleskopKombination zweier spezieller hyperbolischer Spiegel, die eine komafreie Abbildung ermöglichen. Bildfeld ist allerdings nach wie vor gekrümmt und muss anderweitig korrigiert werden.

Quelle: Wikipedia




(Winkel-)Auflösungsvermögen eines (Spiegel-)TeleskopsWie schon mehrfach erwähnt wurde, begrenzt die Beugung die Auflösung eines Teleskops, vorausgesetzt das Teleskop hat keine Aberrationen.

Bei einem Durchmesser D des Primärspiegels (=Eintrittspupille) und der Wellenlänge beträgt der Winkel zwischen zwei punktförmigen, (unendlich) weit entfernten Objekten, die gerade noch aufgelöst werden können:

Dk

Die Konstante k kann in der Praxis gleich eins gesetzt werden. Für eine Kreisapertur (ohne Obskuration) gilt k=1.22. Bei einer Ringapertur wie beim Newton- oder Cassegrain-Teleskop ist k leicht verschieden davon, je nachdem wie groß der innere Ring ist.

Um eine aberrationsfreie Abbildung zu erhalten, müssen bei erdgebundenen Teleskopen aber Luftturbulenzen und Verbiegungen des Spiegels durch das Eigengewicht korrigiert werden. Adaptive und aktive Optik nötig (z.B. beim VLT)




Zusammenhang Winkel-Auflösungsvermögen, Spiegeldurchmesser, Brennweite eines (Spiegel-)TeleskopsGroße Brennweite f‘ des Spiegelsystems bedeutet auch eine große laterale Vergrößerung:(Objekt mit Winkelgröße , laterale Größe x des Objekts auf dem Detektor)

Dffx

DDk ''


Durchmesser D des Primärspiegels (=Eintrittspupille), Wellenlänge Winkel zwischen zwei punktförmigen, (unendlich) weit entfernten Objekten, die gerade noch aufgelöst werden können, und entsprechende Größe x auf Detektor:

'fx

Maximal sinnvolle laterale Vergrößerung ergibt sich daraus, dass die Pixel des Detektors einen Abstand xPixel von ca. 0.5*x haben (damit Intensitätsabnahme zwischen zwei auflösbaren Objektpunkten noch messbar ist):

PixelPixel xDfD

fxx

2''2



Für typischen CCD-Detektor mit hoher Intensitätsauflösung ( große Pixel), wie in Astronomie üblich, ist xPixel=10 µm bis xPixel=25 µm.

Die maximal sinnvolle Blendenzahl f# ergibt sich dann in etwa zu (=0.5 µm):


100402'#2'

Pixel

Pixelx

DffxDf

In der Praxis wählt man die Blendenzahl meist etwas kleiner (ca. 13-50), da die Auflösung des Teleskops durch andere Faktoren etwas schlechter ist bzw. die Wellenlänge größer (IR), etc. Auch die nötige kompakte Bauweise der Riesenteleskope begrenzt die Brennweite.

Feldwinkel Feld:Der Durchmesser xCCD des Detektors (= Anzahl NCCD der Pixel pro Zeile * xPixel) bestimmt mit der Brennweite f‘ den Feldwinkel:

'' fxN

fx PixelCCDCCD

Feld

z.B. f‘=100 m, NCCD=8000, xPixel=20 µm Feld=0.1o



Teleskope in der AstronomieAstronomische Kameras mit großen Feldwinkeln bis ca. 12o müssen also deutlich kleinere Brennweiten haben, da die Detektoren nicht viel größer werden können. Die resultierende Winkelauflösung der Kameras ist nicht so hoch wie sie laut der Beugungsbegrenzung sein könnte.

Beispiel: Kepler Teleskop = Schmidt-Kamera zur Beobachtung von Exo-Planeten, Spiegel-Durchmesser ca. 1 m, Brennweite auch ca. 1 m, 42 CCD-Chips mit je 2200x1024 Pixel (Pixel-Größe ca. 25 µm)

Quelle: NASA



Durch unterschiedliche Brechzahlen (wegen unterschiedlichem lokalen Luftdruck) auf dem Weg des Lichts durch die untersten 15 km der Atmosphäre (Troposphäre) sind die optischen Weglängen verschiedener Strahlen in der Spiegelebene unterschiedlich Winkelauflösung eines Teleskops am Erdboden ist auf ca. 1 Bogensekunde begrenzt!

Auflösungsbegrenzung durch Luftturbulenzen

Dies wäre der Durchmesser eines einfachen Hobby-Teleskops und professionelle Teleskope für die Astronomie mit Spiegeldurchmessern von mehr als D=5 m wären von der Winkelauflösung um ca. einen Faktor 50 schlechter als durch die Beugung vorgegeben! Moderne Teleskope werden auf hohen Bergen installiert wegen der dünneren Atmosphäre.Weitere Korrektur durch deformierbare Spiegel nötig.

mm 100105''1nm500

1

6

k

kDD

k




Adaptive Optik zur Korrektur von atmosphärischen Turbulenzen

Quelle: Wikipedia

Korrektur der Luftturbulenzen durch deformierbaren Spiegel.

Regelgeschwindigkeit muss bei ca. 100 Hz liegen, um die atmosphärischen Schwankungen auszugleichen. Typischerweise wird der kleinere Sekundärspiegel oder ein weiterer (ebener) Spiegel deformiert.

Messung der Wellenaberrationen mit Shack-Hartmann-Sensor meist anhand eines fernen Leitsterns (=ideale Punktlichtquelle).

Aktive Optik funktioniert nach gleichem Prinzip, korrigiert aber nur Verformungen des Spiegels aufgrund der Bewegung. Die Messung erfolgt deshalb auch nur ca. jede Minute.




Shack-Hartmann-Sensor zur Messung von Wellenfront-Deformationen

• Laterale Spotauslenkungen hängen von lokaler Steigung der Wellenfront ab

• Interpretation als lokale Ableitungen der Wellenfront (W: optische Weglänge):

deformierteWellenfront

lokaleOpt. Achsen

y

xlokaleKoordinaten

'

'

fyW

fxW

y

x

Mikrolinsenarray mit Brennweite f‘ vor einem Detektor (CCD-Kamera)

Integration liefert die Wellenfront




Das Mikroskop



Das MikroskopUm kleine nahe Objekte vergrößert abzubilden, gibt es mehrereMöglichkeiten:• Die Lupe• Das visuelle Mikroskop zum direkten Betrachten mit dem Auge• Das Inspektions-Mikroskop mit elektronischem Detektor• Weitere Möglichkeiten, die hier aber nicht behandelt werden:

• Laser-Scanning-Mikroskop oder konfokales Mikroskop: in beiden Fällen wird ein Objekt Punkt für Punkt abgerastert

• Dunkelfeld-, Polarisations- oder Phasenkontrast-Mikroskop: spezielle wellenoptische Eigenschaften werden ausgenutzt

Je nach Beleuchtungsart unterscheidet man auch Auflicht- und Durchlicht-Mikroskope



Das MikroskopDie Lupe:

Die Größe eines Objektes auf unsererNetzhaut hängt vom Sehwinkel O ab, unter dem das Objekt erscheint.

Um so näher das Objekt am Auge ist, desto größer erscheint es.

Aber das Auge hat eine minimale Entfernung, auf die es scharf stellen kann. Zum entspannten Betrachten ist dies die sogenannte deutliche Sehweite dS=25 cm

Eine Sammellinse direkt vor dem Auge, die Lupe, kann ein vergrößertes virtuelles Bild im Abstand |dI|=dS vor dem Auge erzeugen.

Anmerkung: Man kann eine Lupe auch so benutzen, dass sie nicht direkt vor dem Auge ist. Diesen Fall betrachten wir hier aber nicht.

dO,2

xO �O,2AugexO

dO,1

�O,1

Hauptebenedes Auges



Das MikroskopDa das menschliche Auge nur in Luft scharfe Bilder liefert, gilt im Bildraum der Lupe n‘=1.

Abbildungsgleichung für Brechzahl n zwischen Objekt und Lupe (wenn auch meist n=1):

'11fd

nd OI

f‘: Brennweite der Lupe

Wegen Vorzeichen-Definition sind sowohl dO als auch dI = -dS negativ.

Für den lateralen Abbildungsmaßstab gilt:

r Fall)(paraxiale ' wobei'

1'

11'

nnnfd

fd

ddn

dd

xx

O

In

OISI

O

I

OO

II

O

I

Grafik für n=n‘

Beispiel: Lupe mit f‘=5 cm =1+25/5=6

Anm.: In der Praxis ist eine gute Lupe ein achromatisches mehrlinsiges System.

F

dI

dO

xI

xO

� �I O=Auge

Objekt

Lupe



Das MikroskopEinsatzgrenze der Lupe: Für starke Vergrößerung muss die Brennweite f‘ sehr klein sein und deshalb das Objekt sehr nahe an die Lupe und damit auch ans Auge gebracht werden. Vergrößerung der Lupe ist begrenzt.

Ausweg: zweistufige Abbildung im Mikroskop zur visuellen Betrachtung:• Mikro-Objektiv erzeugt reelles vergrößertes Zwischenbild des Objekts mit

Abbildungsmaßstab 1<0 und |1|>>1 (in Praxis |1| zwischen etwa 5 und 100).• Dieses Bild wird mit einer Lupe (hier genannt: Okular) nochmals um den Faktor 2>1 (|2| zwischen etwa 5 und 20) vergrößert, so dass ein stark vergrößertes virtuelles Bild im Abstand der deutlichen Sehweite vor dem Auge erzeugt wird.

Der resultierende laterale Abbildungs-maßstab ist das Produkt der beiden Abbildungsmaßstäbe 1 und 2:

10mit 21 F1 F’1

Mikro-ObjektivOkular

F2

Objekt ReellesZwischenbild

Virtuelles Bild



Das MikroskopAnmerkungen:• Das Mikro-Objektiv muss achromatisch sein, eine hohe numerische Apertur und

ein großes aberrationsfreies Feld haben. Kompliziertes System aus vielen Linsen nötig. Sinus-Bedingung muss erfüllt sein Coma korrigiert.

• Oftmals sind moderne Mikro-Objektive auf „unendlich korrigiert“, d.h. das Objekt befindet sich exakt in der vorderen Brennebene und hinter dem Objektiv entsteht für jeden Objektpunkt eine (geneigte) ebene Welle. Das reelle Zwischenbild wird mit einer zusätzlichen, sogenannten Tubus-Linse erzeugt, deren Brennweite gleich der Tubuslänge (oft 160 mm) ist.Vorteil dieser Konfiguration ist, dass der Abstand zwischen Mikro-Objektiv und Tubuslinse weitgehend beliebig sein kann und dort nur ebene Wellen vorhanden sind, die beim Durchgang durch Planplatten, wie z.B. in einem Strahlteiler, keine zusätzlichen Aberrationen erzeugen.

• Bei biologischen Objekten befindet sich zwischen Objekt und Mikro-Objektiv oft ein Deckglas. Die Aberrationen beim Durchgang der Kugelwelle vom Objekt durch das Deckglas müssen dann im Design des Mikro-Objektivs korrigiert werden.



Das MikroskopAuflösungsgrenze des Mikroskops (für inkohärentes Licht):Zwei Objektpunkte mit lateralem Abstand x können, wenn sie inkohärentzueinander strahlen, gerade dann noch aufgelöst werden, wenn gilt:

sinNA nkkx

: Wellenlänge im Vakuum n: Brechzahl zwischen Objekt und Mikro-Objektiv: (halber) Aperturwinkel des Mikro-Objektivsk: Konstante, die bei einer Kreisapertur normalerweise 0.61 ist, die aber je nach Beleuchtung und Detektor (z.B. bei Nichtlinearität oder Schwellenempfindlichkeit) auch etwas kleiner oder größer sein kann.

-0.01 -0.006 -0.002 0 0.002 0.006 0.01

x-axis (mm)

Inte

nsity

(no

rma

lize

d)

00

.10

.20

.30

.40

.50

.60

.70

.80

.91

x



Das Mikroskop

Alternative Betrachtungsweise zur Auflösungsgrenze, indem ein periodisches Objekt (Linien-Gitter) der Periodenlänge pbetrachtet und mit einer ebenen Welle beleuchtet wird.

Damit das Gitter gerade noch abgebildet wird, müssen mindestens die 0. Beugungsordnung und eine der ersten Beugungsordnungen vom Objektiv übertragen werden.

p

�

�’1

p

�’1m=0

m=1

m=-1

m=0

m=1

m=-1

NAsinsin'sin 1

n

pnp

n

Bei schräger Beleuchtung (unteres Bild) kann man das gleiche Gitter schon bei kleinerem Aperturwinkel gerade noch abbilden.

Bei achsenparalleler Einstrahlung (oberes Bild) muss dann für den Beugungswinkel ‘1 in erster Beugungsordnung gelten (: Aperturwinkel des Mikro-Objektivs, n: Brechzahl vor Objektiv):

Abbe‘sche Theorie des Mikroskops (für kohärentes Licht):



Das MikroskopSinnvolle maximale Vergrößerung eines visuellen Mikroskops:Um die für ein visuelles Mikroskop sinnvolle maximale Vergrößerung || zu berechnen, muss man zuerst die Auflösung des Auges kennen.Bei der Besprechung des menschlichen Auges hatten wir gesehen, dass dieses unter optimalen Bedingungen zwei Objekte mit Sehwinkel-Abstand von =30‘‘noch unterscheiden kann. Unter normalen Bedingungen und „entspanntem“ Sehen sollte man also zwei Objekte im Abstand der deutlichen Sehweite mit =2‘ noch gut unterscheiden können. Der laterale Abstand xAuge der auflösbaren Punkte ist dann:

mm 15.060180

2mm 250

SAuge dx

Der Abstand x zweier Punkte des Objekts unter dem Mikroskop, die bedingt durch Beugung gerade noch aufgelöst werden können, sollte also auf die Größe xAugevergrößert werden, so dass für den Abbildungsmaßstab || gilt:

500NA nm 500

61.0 1,NA

k

AugeAuge

kx

xx Stärkere Vergrößerungen als ca. 500-1000

machen also in der Praxis keinen Sinn!



Das MikroskopDas Inspektions-Mikroskop mit elektronischem Detektor:In der Praxis sieht man heutzutage oft nicht direkt durch ein Mikroskop, sondern nimmt das Bild mit einem CCD-Chip auf und schaut es auf einem Bildschirm an.

Auf dem CCD-Chip muss ein reelles Bild vorhanden sein. Das Okular entfällt.

Sinnvolle maximale Vergrößerung || liegt dann vor, wenn der Intensitätsabfall zwischen zwei gerade noch auflösbaren Objektpunkten auf dem CCD-Chip sichtbar ist. Für Pixelabstand d muss gelten:

kdkxd NA2

NA22

Für sichtbares Licht (=500 nm), Objekt in Luft (d.h. n=1) und sin=1 (maximaler Wert) folgt dann für k=0.61 und Pixelabstand d=10 µm: ||=66

Abstand d der CCD-Pixel typischerweise 5 µm d 20 µm (bzw. d=25 µm für licht-schwache astronomische Anwendungen). Beim Mikroskop eher 5 µm d 10 µm.

Das reelle Bild kann mit einem hochaperturigen Mikro-Objektiv erzeugt werden.



Das MikroskopUV-Mikroskope mit Wasser-Immersion:Höchste Auflösung mit „Licht“-Mikroskop Reduktion der Wellenlänge und Erhöhung der numerischen Apertur durch Immersionsflüssigkeit zwischen Objekt und Mikro-Objektiv. Systeme zur Inspektion von Masken für ICs: =248 nm und NA1.25 (Brechzahl Wasser im UV n1.38). Damit erhält man (für k=0.61): x=120 nm

2002

x

d

Möchte man den Intensitätsabfall zwischen zwei gerade noch auflösbaren Objekt-punkten also auf einem CCD-Pixel (d=12 µm) detektieren, muss die Vergrößerung betragen:

Es gibt mittlerweile Mikro-Objektive mit direkter 200-facher Vergrößerung. Auch eine zweistufige reelle Abbildung ist möglich, wobei das zweite Abbildungssystem nur eine sehr geringe numerische Apertur haben muss, da diese ja durch die erste Abbildung mit Abbildungsmaßstab 1 stark verringert wird: NABild=NAObjekt/||

Quelle: Leica, http://www.dgao-proceedings.de/download/106/106_a28.pdf



Das MikroskopVergleich Teleskop und Mikroskop:

OrtsauflösungWinkelauflösungAuflösung

Laterale Vergrößerung =x‘/xWinkelvergrößerung =‘/Prinzip

Soll nahe sehr kleine Objekte vergrößert abbilden.

Soll (unendlich) weit entfernte (meist sehr große) Objekte vergrößert abbilden.

Zweck

MikroskopTeleskop

DkT

sinNA n

kkx MM

: Winkel, unter dem das Objekt erscheint, ‘: Winkel, unter dem das Bild erscheint, x, x‘: laterale Objekt- bzw. Bildgröße, : Wellenlänge im Vakuum, D: Aperturdurchmesser, n: Brechzahl zwischen Objekt und Objektiv, : (halber) Aperturwinkel, f‘: Brennweite des Objektivs

MT kkfxf

D 2'und'2

sin Zusammenhang zwischen den Größen:

kT=1.22 für Kreisapertur

kM=0.61 für Kreisapertur



Anwendung optischer Methoden in der Astronomie: Detektion

erdähnlicher Planeten um andere Sterne



Detektion erdähnlicher PlanetenIm Folgenden sollen Verfahren zum Auffinden erdähnlicher Planeten um andere Sterne diskutiert werden.

Was hat dies mit technischer Optik zu tun?Letztendlich stammt die gesamte Information, die wir in der Astronomie von fernen Sternen und Sternsystemen bisher haben, von elektromagnetischer Strahlung (Detektionsverfahren für Gravitationswellen und Neutrinos sind erst in der Entwicklung und würden bei der Suche nach Exoplaneten kaum helfen).

Davon wiederum hat das Spektrum vom fernen Infrarot bis zum nahen Ultraviolett, in dem optische Methoden zum Einsatz kommen,den wichtigsten Anteil.

Verfahren der technischen Optik in Kombination mit anderen physikalischen Verfahren kommen zum Einsatz.



Detektion erdähnlicher Planeten

Methode 1: Periodische Doppler-Verschiebung der Spektrallinien des Sterns aufgrund der Rotation um den gemeinsamen Schwerpunkt (Radialgeschwindigkeits-Methode)

Mit dieser Methode wurden schon mehrere Riesenplaneten mit sehr kleinen Bahnradien nachgewiesen. Momentane „Standardmethode“.

Könnte mit diesem Verfahren auch ein erdähnlicher Planet in einem unserem Sonnensystem ähnlichen Planetensystem nachgewiesen werden?

Als Modellsystem betrachten wir für alle Methoden unser eigenes Sonnensystem und unsere Erde und versuchen abzuschätzen, ob wir die Erde aus vielen Lichtjahren Entfernung nachweisen könnten.



Detektion erdähnlicher PlanetenVerwendete Größen: Erdmasse mE=5.974.1024 kg, Sonnenmasse MS=1.989.1030 kg, Abstand Erde-Sonne r=1 AE=149.6.106 km, Abstand Sonne vom gemeinsamen Schwerpunkt rS, Abstand Erde vom gemeinsamen Schwerpunkt rE.

Kreisbahn wird angenommen!

Schwerpunktsbedingung:SSEE rMrm

r

rE

rS

Erde

Sonne

Schwerpunkt

rmM

mrrm

mMrrmMr

rmM

MrrM

mMrMmrr

rrr

ES

ESS

E

ESSS

E

S

ES

SEE

S

ESE

S

EE

SE



Detektion erdähnlicher PlanetenZentrifugalkraft = Gravitationskraft

rmM

Gmr

MGmrm

mMMr

MGmr

M

rmMGM

rMGm

rMmMm

rMGm

rm

ESES

SES

E

ESSSE

S

SS

ESSE

SEE

S

ESESE

E

EE

vvv

vvv

22

2

2

22

2

2

vE: Bahngeschwindigkeit des Planeten um Schwerpunkt; vS: Bahngeschwindigkeit des Sterns um SchwerpunktGravitationskonstante G=6.67.10-11 m3.kg-1.s-2

Umlaufzeit T (selbstverständlich für Stern und Planet gleich):

Erde)(für Tage 3.3652

22v

3

ES

ESS

ES

SEEEE

mMGrT

rmMGMr

mMM

Tr

Tr



Detektion erdähnlicher PlanetenOptischer Dopplereffekt:

cosv1

cosv1cosv1

v10

1/v0

1/v2

2

0 ccc

c cc

: Frequenz des dopplerverschobenen Lichts, 0: Frequenz bei ruhendem Objekt, v: Betrag der Relativ-Geschwindigkeit zwischen Objekt und Beobachter, c: Lichtgeschwindigkeit, : Winkel zwischen Beobachtungsrichtung und Bewegungsrichtung des Objekts: =0 Objekt entfernt sich (Rotverschiebung), = Objekt nähert sich (Blauverschiebung)

Doppler-Verschiebung ist also maximal, wenn die Bahnebene des Systems parallel zur Beobachtungsrichtung ist. Die Stärke nimmt aber nur Kosinus-förmig ab, wenn dies nicht der Fall ist. In ersterem Fall ist /0 während eines vollen Umlaufs:

cv2

0



Detektion erdähnlicher Planeten

Einfluss der Erde auf die Sonne:mE=5.974.1024 kg, rE=1 AE

10S

0S 1062v2

sm 089.0v

EES

E

EESE rmM

Gc

mcrmM

Gm

Bisher minimal messbare Geschwindigkeit ca. 1 m/s Zu klein für Messung!

Abschätzung Doppler-Verschiebung in unserem Sonnensystem: Bahngeschwindigkeit vS um Schwerpunkt bzw. maximale Doppler-Verschiebung der Sonne (Bahnebene || Beobachtungsrichtung) aufgrund des Einflusses von Jupiter: mJ=1.899.1027 kg, MS=1.989.1030 kg, rJ=5.204 AE, c=2.998.108 m s-1

8

0

103.8v2sm 5.12v

crmMGm S

JJSJS

Anschaulicher Vergleich: 100 m Weltklasse-Sprinter erreicht in etwa diese Geschwindigkeit. Man müsste also die Spektralverschiebung einer Spektrallampe messen können, die er beim Sprint mit sich trägt.



Detektion erdähnlicher PlanetenMethode 2: Verdunkelung des Sterns aufgrund der Passage eines Planeten zwischen Stern und Beobachter (Transit-Methode)

Mit dieser Methode wurden auch schon einige Riesenplaneten nachgewiesen.

Voraussetzung: Die Bahnebene des Planeten muss fast parallel zurBeobachtungsrichtung sein. Die Spitze des Bahnebenen-Normalenvektors muss also auf der Einheitskugel auf einem Ring senkrecht zur Beobachtungsrichtung liegen, dessen Winkeldicke durch das Verhältnis DS/r gegeben ist (DS: Durchmesser des Sterns (=Sonne), r: Bahnradius des Planeten (=Erde)).

%5.0005.0km 106.1492

km 1039.124

/26

6

rDrDW SS

Wahrscheinlichkeit W, dass dies der Fall ist:



Detektion erdähnlicher PlanetenRelative Reduktion der Helligkeit I/I0 des Sterns beim Durchzug des Planeten hängt vom Flächenverhältnis beider Himmelskörper ab (Durchmesser Stern DS, Durchmesser Planet DE), ist aber unabhängig vom Abstand zum Beobachter:

km) 1027.1mit Erde(für %01.010km) 101.38mit Jupiter (für %110

2/2/

44

52

2

2

2

2

0 E

J

S

E

S

E

DD

DD

DD

II

Dauer t des Vorbeizugs des Planeten am Stern bei zentralem Vorbeizug, d.h. Bahnebene exakt parallel zur Beobachtungsrichtung (T: Umlaufdauer des Planeten um den Stern, r: Bahnradius):

Erde)(für h 13h 24365km 106.1492

km 1039.12 6

6

T

rDt S

Natürliche Schwankung der Helligkeit der Sonne 0.1% Helligkeitsreduktion bei Durchzug eines erdähnlichen Planeten kaum vom natürlichen „Rauschen“unterscheidbar. Beobachtung müsste auf jeden Fall ständig und über mehrere Umläufe/Jahre erfolgen, damit ein periodisches Signal aus dem Rauschen gefiltert werden könnte! Nur vom Weltall aus möglich wegen Helligkeitsschwankung durch Atmosphäre!



Detektion erdähnlicher PlanetenMethode 3: Direkte Beobachtung des Planeten.Winkelauflösungsvermögen eines Teleskops mit Spiegeldurchmesser D bei der Wellenlänge :

D

Bei Beobachtung aus d=10 Lichtjahren Entfernung und =500 nm müsste dann für den Spiegeldurchmesser gelten (r: Bahnradius):

m 0.32m 105.0m10149.6

m 1046.910

m 105.0m 10149.6

m 10336002436510

69

15

69

8

rdD

dr

D

Hubble-Weltraum-Teleskop mit D=2.4 m wäre also ausreichend?ACHTUNG!!! Gleichung für Auflösungsvermögen gilt nur für zwei gleich helle Punkte!



Detektion erdähnlicher PlanetenExkurs in Wellenoptik: Intensitätsverteilung I() (Airy-Verteilung) des Bildes eines -entfernten Objektes in Brennebene eines Teleskops mit kreisförmiger Apertur (Durchmesser D, Brennweite f‘, : radiale Koordinate in Brennebene, Wellenlänge Intensität der einfallenden ebenen Welle I0):

: entsprechende Winkel-Koordinate

Erste Nullstelle der Airy-Verteilung bei:

DD 22.122.1ˆ

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

�̂

^[2

J(

)/(

)]1

��

��

2^

Df

DJf

DII'

ˆmit ˆ

ˆ2'4

ˆ2

1

22

0

Asymptotisches Verhalten für :̂

3

2ˆ

ˆ4/3ˆcos8

0ˆ

II



Detektion erdähnlicher PlanetenAuflösungsvermögen für zwei Punkte nach Rayleigh:Maximum der Intensität des einen Punktes fällt mit dem ersten Minimum der Intensität des zweiten Punktes zusammen.Hierbei werden aber zwei gleich helle Punkte angenommen!

-0.01 -0.006 -0.002 0 0.002 0.006 0.01

x-axis (mm)

Inte

nsity

(norm

aliz

ed)

00.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

DD 22.1

Im Fall eines Sterns und eines Planeten sind die Intensitäten aber extrem unterschiedlich, so dass das Intensitäts-Maximum des Planetenbildes selbst von weit außen liegenden Nebenmaxima höherer Ordnung des Sternbildes überstrahlt wird.



Detektion erdähnlicher PlanetenÜberblick über nötige Spiegeldurchmesser bzw. erreichbare Auflösung bei Beobachtung einiger Objekte in Astronomie oder Alltag:Erdbeobachtung mit Satellit: Entfernung ca. d=300 km, Spiegeldurchmesser ca. D=3 m, Wellenlänge =0.5 µm Auflösung x (in Praxis wegen Einfluss der Atmosphäre geringer):

cm 5D

ddx Autonummern bzw. Gesichter nicht erkennbar!

Beobachtung des Mondes von der Erde aus: Entfernung d=384 000 km, Spiegeldurchmesser zur Zeit maximal D=10 m, Wellenlänge =0.5 µm Auflösung x (in Praxis wegen Einfluss der Atmosphäre geringer):

m 20D

ddx Überreste von Apollo-Mondlandungen (x<5 m) nicht sichtbar!

Sonnennächster Stern Alpha Centauri A: d=4.34 Lichtjahre=4.11.1016 m, =0.5 µm, Durchmesser des Sterns D centauri1.22.DS=1.7.109 m nötiger Spiegel-Ø

m 12,

centauriD

dD Selbst sonnennächster Stern ist heutzutage noch nicht auflösbar, d.h. alle Sterne sind punktförmige Lichtquellen



Detektion erdähnlicher PlanetenIntensitätsverhältnis Planeten- zu Sternbild im VIS am Beispiel Erde:Gesamte von der Sonne emittierte Strahlungsleistung PS: Solarkonstante E0=1367 W/m2 * Kugeloberfläche mit Erdbahnradius rE=1 AE

W108.34 260

2 ErP ES

Gesamte von der Erde direkt rückgestreute Strahlungsleistung PE (d.h. ohne Änderung der Spektralzusammensetzung): Solarkonstante E0=1367 W/m2 * Scheibe mit Erddurchmesser DE=12700 km * Albedo =0.367 der Erde (Verhältnis gestreute zu einfallende Leistung im VIS)

W104.62/ 160

2 EDP EE

Unter der Annahme, dass die direkt gestreute Strahlung nur in einen Halbraum emittiert wird, ist das Intensitätsverhältnis IE/IS zwischen Erde und Sonne im VIS, wenn man sie von einem entfernten Sternsystem aus beobachtet, also:

102

103.34

22

E

E

S

E

S

E

rD

PP

II



Detektion erdähnlicher PlanetenWahre Verhältnisse bei Beobachtung der Erde aus 10 Lichtjahren Entfernung:Durchmesser des Spiegels D=10 m, Wellenlänge =0.5 µm, rE=1 AE, IE/IS=3.3.10-10, d=10 Lichtjahre=9.46.1016 m Winkelabstand zwischen Erde und Sonne:

6106.1 drE

Das Hauptmaximum der Airy-Disc der Erde liegt deshalb relativ zum Hauptmaximum der Airy-Disc der Sonne in der Bildebene des Teleskops bei der normierten Radial-Koordinate:

6.31ˆ

D

Aus asymptotischem Verhalten der Airy-Verteilung der Sonne folgt für die Intensität des nächstgelegenen Nebenmaximums relativ zum Hauptmaximum:

46

10

634

2

10106.2103.3

0/ˆ0/0

ˆ0

106.2ˆ

80ˆ

175.0ˆcos

SS

SE

S

E

S

S

IIII

II

II

Das Bild der Erde wäre

relativ zum „Störlicht“ der Sonne also immer noch um den Faktor 10000 dunkler!



Detektion erdähnlicher PlanetenAbschätzung der Strahlungsleistung PTele in Teleskop mit Spiegeldurchmesser D für Beobachtung der Erde aus einer großen Entfernung d:

Beispiel: D=10 m, d=10 Lichtjahre Pro Sekunde fallen gerade ca. 200 Photonen in den Spiegel, der den derzeit maximal herstellbaren Durchmesser hat.

W10Lichtjahr/

m/82

2/ 1622

2

2

dD

dDP

dDPP E

ETele

Machen wir weiter die stark vereinfachende Annahme, dass all diese Strahlung in Form von Photonen der Wellenlänge =0.5 µm vorliegt, entspräche dies einer einfallenden Photonenrate N/t (Anzahl Photonen pro Zeit) von:

s/200Lichtjahr/

m/2

dD

hcP

hP

tN Tele

Photon

Tele

Selbst von Alpha Centauri aus mit d=4.34 Lichtjahre wären es nur ca. 1000 Photonen/s. In der Praxis beobachtet man nur in einem gewissen Spektralbereich noch deutlich weniger Photonen.



Detektion erdähnlicher PlanetenVerbesserte Beobachtung von Planeten im IR (Beispiel Erde):Planeten absorbieren den größten Teil der einfallenden Sonnenstrahlung und geben die Energie wieder als IR-Strahlung ab.Auf der Erde werden (1-)=63.3% der einfallenden Sonnenstrahlung mit Maximum bei 500 nm Wellenlänge (Effektiv-Temperatur Sonne TS=5778 K) absorbiert und dann als Infrarot-Strahlung abgestrahlt. Die effektive Temperatur TE der Erde lässt sich damit aus der Energie-Bilanz und dem Stefan-Boltzmann-Gesetz berechnen:

Laut Wienschem Verschiebungsgesetz liegt das Strahlungsmaximum der Erde unter Annahme eines schwarzen Körpers deshalb bei der Wellenlänge:

K 24841

KmW 1067.5mit

241

2

4 0

4284

22

0

ET

TDPDEP

E

EE

gAbstrahlunE

absorbiert

µm 7.11K µm 2898

EE T



Detektion erdähnlicher Planetenhttp://upload.w

ikimedia.org/w

ikipedia/comm

ons/0/0e/BlackbodySpectrum

_loglog_150dpi_de.png

Aus dem Planckschen Strahlungsgesetz für schwarze Strahler lässt sich dann ermitteln, wie viel Strahlung PE,IR die Erde bzw. PS,IR die Sonne in einem schmalen Spektralbereich bei E=11.7 µm emittieren bzw. wie groß das Verhältnis dort ist:

dd

1exp

12dd, 5

2

A

kThc

hcATM

72

2

2

,

, 104.11/exp1/exp

,,

2/42/4

EE

SE

S

E

SE

EE

S

E

IRS

IRE

kThckThc

DD

TMTM

DD

PP

Im IR ist das Helligkeitsverhältnis Erde/Sonne also um fast einen Faktor 500 größer als im VIS und der Photonenfluss ist auch deutlich größer! Aber die Auflösung ist deutlich geringer (wegen größer), so dass der nötige Spiegeldurchmesser entsprechend größer wäre!



Detektion erdähnlicher PlanetenMögliche Verbesserungen zur direkten Beobachtung erdähnlicher Planeten:„Koronograph“: Durch eine Blende wird das direkt vom Stern kommende Licht absorbiert, während das schräg kommende Licht außerhalb der Achse auf den Detektor fällt. Bei Planeten um Sterne müsste die Blende aber sehr weit weg sein.

„Nulling“-Interferometrie: Durch eine Maske soll das Sternenlicht auf der Achse negativ interferieren, während das außeraxiale Licht des Planeten nicht beeinflusst wird. Komplizierte wellenoptische Berechnung.

Mehrere Spiegel werden in einer Reihe interferometrisch zu einem Teleskop der Länge L gekoppelt, das zumindest in einer Richtung die Auflösung eines Spiegels mit scheinbarem Durchmesser L hat. Auswertung muss auch wellenoptisch erfolgen.

Natürlich sollten all diese Teleskope im Weltall platziert werden oder eine aufwändige adaptive Optik besitzen, um die Auflösungsreduktion durch Turbulenzen der Atmosphäre zu vermeiden.

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Wichtige optische Elemente und Instrumente Optik I (Lindlein)/02 - Instrumente... · Geometrische und Technische Optik N. Lindlein 126+2 Institut für Optik, Information und Photonik