Wie rechnen Computer?

Computer benutzen zum Rechnen nicht wie wir das 10er-System, sondern das 2er-System

Dort gibt es nur die Ziffern 0 und 1, die als andere Repräsentationen der Wahrheitswerte WAHR und FALSCH angesehen werden können.

Technisch werden die beiden Möglichkeiten durch Strom/kein Strom realisiert.

1-Bit-Addierwerk

Ein 1-Bit-Addierwerk muss aus zwei einstelligen Eingaben S1 und S2 den Summenwert S und einen eventuellen Übertrag C (engl. Carry) berechnen können.

Im 10er-System entspricht das der Addition zweier einstelliger Zahlen, der Summenwert ist die Einerziffer des Ergebnisses, der Übertrag die Zehnerziffer.

Es gilt: 0 + 0 = 00⇒ S=0 C=00 + 1 = 01⇒ S=1 C=01 + 0 = 01⇒ S=1 C=01 + 1 = 10⇒ S=0 C=1

1-Bit-Addierwerk Damit ergibt sich folgende

Verknüpfungstafel:

Die Summe ergibt dann WAHR, wenn genau ein Eingang WAHR ist, das nennt man eine Exclusiv-Oder-Funktion.

Der Übertrag ist genau dann WAHR, wenn beide Eingänge WAHR sind, das ist eine UND-Funktion.

S1 S2 Summe Übertrag

FALSCH FALSCH FALSCH FALSCH

FALSCH WAHR WAHR FALSCH

WAHR FALSCH WAHR FALSCH

WAHR WAHR FALSCH WAHR

Entwurf

Entwerfe je ein Datenflussdiagramm zur Berechnung von S und C

Lösung: S1

NICHT

S2

UND

NICHT

UND

ODER

S

S1 S2

UND

C

Reales Modell

Setze die beiden Diagramme in je ein reales Modell um.

Überzeuge dich davon, dass es richtig arbeitet indem du alle möglichen Kombinationen der Eingangswerte einstellst.

Kopiere das Ergebnis in eine zweite Tabelle und arbeite sie mit Hilfe der WENN-Funktion so um, dass statt WAHR und FALSCH nun an den Eingängen 0 und 1 eingegeben werden können.

Reales Modell

Überlege dir für S (Eingabewerte 0 und 1) einen möglichst kurzen Gesamtterm und ordne die Zellen in einer neuen Tabelle so an, wie sie unten zu sehen sind.

S1 0S2 1C       0 S 1

Der Volladdierer

Den bisherigen Entwurf nennt man in der Computertechnik einen Halbaddierer.

Es kann nur für die letzte Ziffer von mehrstelligen Zahlen benutzt werden.

Für alle höherwertigen Stellen muss auch noch der Übertrag der Stelle vorher als Eingang verarbeitet werden können.

Eine solche Vorrichtung nennt man einen Volladdierer.

Wertetabelle

Ein Volladdierer hat folgende Wertetabelle (Cn-1 bezeichnet den Übertrag der Stelle vorher):

S1 S2 Cn-1 S C

0 0 0 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 1 0

1 0 0 1 0

0 1 1 0 1

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

Funktionsterme

Das Ergebnis lässt sich so formulieren: S ist genau dann 1, wenn die Summe der

drei Eingaben 1 oder 3 ergibt, sonst 0. C ist genau dann 1, wenn die Summe der

drei Eingaben 2 oder 3 ergibt, sonst 0. Schreibe in die Zeilen für C und S

entsprechende Funktionsterme, so dass insgesamt mehrstellige Zahlen addiert werden können.

Hinweise

S1   1 1 0 1S2   0 1 1 1C 1 1 1 1 S 1 0 1 0 0

Das Ergebnis sollte in etwa so aussehen:

In die grau hinterlegten Zellen neben S1 und S2 darf nichts eingegeben werden, da das Ergebnis eine Stelle mehr haben kann als die beiden Summanden.

In der grau hinterlegten Zelle rechts unten braucht keine Formel eingegeben zu werden, da in der letzten Stelle kein Übertrag vorhanden ist.

Hinweise

Ein solches Addierwerk heißt n-Bit-Addierwerk mit durchlaufendem Übertrag.

Vorteile: übersichtlicher Aufbau Nachteile: für n Stellen sind

n Volladdierer nötig n Takte bei der Berechnung nötig

Andere Lösungen (z.B. Serienaddierwerke, Carry-Save-Addierwerke) benötigen weniger Hardware und/oder weniger Takte.

An die KollegenInnen:

Bitte beachten: Diese Sequenz (inklusive der

Tabellenblätter) darf für den Unterricht frei verwendet werden.

Verbesserungsvorschläge, Fehler usw. bitte an:info@DieterBergmann.de