Die Chaos-Theorie

Oder warum das Apfelmännchen sich selbst ähnlich ist und

Computer einfach anfangen, falsch zu rechnen...

Der Weg ins Chaos

Ist Fortpflanzung so einfach?

Seltsame Attraktoren

Ist unser Sonnensystem stabil?

Das Apfelmännchen stellt sich vor

Was ist Chaos?

Der Flügelschlag des Schmetterlings

Was ist Chaos?

„(...) es kann vorkommen, dass kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen schließlich große Unterschiede in den Phänomenen erzeugen. Ein kleiner Fehler zu Anfang wird später einen großen Fehler zur Folge haben. Vorhersagen werden unmöglich, und wir haben ein zufälliges Ereignis.“

Poincaré 1899

„Theorie komplexer Systeme“: behandelt die Dynamik deterministischer Systeme und ihre Unvorhersehbarkeit (Chaos).

„Es ist eine metaphysische Doktrin, dass gleiche Ursachen gleiche Wirkungen nach sich zögen. Niemand kann sie bestreiten. Ihr Nutzen aber ist gering in einer Welt wie dieser, in der gleiche Ursachen niemals wieder eintreten und nichts zum zweiten Mal geschieht.“

James Clerk Maxwell 1879

Entwicklung einer Population

Verhulst-Prozess

x1 ax0

xn an x0

+ =

Population

Population

Der Raum ist begrenzt

je mehr Kaninchen, desto geringer der Zuwachs

Population

Rückkopplung der Funktion

ar(1 xn )

xn1 rxn (1 xn )

r(xn xn2)

(Bevölkerungsbremse gegeben durch den begrenzten Raum r)

Die Gleichung ist jetzt nicht-linear.

xn1 axn

Population

Population

r<3 xn pendelt sich auf 1 Wert ein

3<r<3,449 xn pendelt zwischen 2 Werten

3,499<r<3,544 xn pendelt zwischen 4 Werten

3,544<r<3,56441 xn pendelt zwischen 8 Werten

3,56441<r<3,568757 16 Werten

3,568757<r<3,5696911 32 Werten

usw...

3,57<r Die Werte für xn sind nicht mehr vorraussagbar

Chaos

limxnn

x=Anteil der Momentanpopulation an xmax

r 1 2 3 3,6 3,8 3,82x0=0,5

x1 0,25 0,25 0,75 0,9 0,95 0,955

x2 0,1875 0,375 0,5625 0,324 0,1805 0,1641645

x3 0,15234375 0,46875 0,73828125 0,7884864 0,56209505 0,52415945

x4 0,12913513 0,49804688 0,57966614 0,60039215 0,93534798 0,95277035

x5 0,11245925 0,49999237 0,73095992 0,8637171 0,22979412 0,17189624

x6 0,09981217 0,5 0,58997255 0,42375554 0,67255738 0,54376905

x7 0,0898497 0,5 0,72571482 0,87907242 0,83685101 0,94768191

x8 0,08177673 0,5 0,59715846 0,38269477 0,51881931 0,18939906... 0,0750893 0,5 0,7216807 0,85046214 0,94865417 0,58647336

0,06945089 0,5 0,602573 0,45783464 0,18509586 0,926435410,06462747 0,5 0,71843634 0,8935995 0,57317446 0,260343850,06045076 0,5 0,6068567 0,34228597 0,92965289 0,735598040,05679646 0,5 0,71574494 0,81045463 0,24851389 0,742965410,05357063 0,5 0,61036236 0,55302452 0,709668 0,729497030,05070081 0,5 0,71346045 0,88987824 0,78294946 0,753804850,04813024 0,5 0,61330391 0,35278185 0,6457705 0,708927430,04581372 0,5 0,71148667 0,82197654 0,86925365 0,788254440,04371482 0,5 0,61582017 0,526792 0,43187661 0,637593820,04180384 0,5 0,70975707 0,89741588 0,93236498 0,882679530,04005628 0,5 0,61800592 0,33141823 0,23963 0,395585360,03845177 0,5 0,70822381 0,79768867 0,69238837 0,913352770,03697323 0,5 0,61992853 0,58097325 0,80934952 0,302312840,03560621 0,5 0,70685144 0,876396 0,58635092 0,805713590,03433841 0,5 0,62163745 0,38997378 0,92166537 0,597979760,03315928 0,5 0,705613 0,85641923 0,27435361 0,918327880,03205975 0,5 0,62316989 0,44267519 0,75651808 0,286506830,03103192 0,5 0,70448754 0,88816992 0,69995421 0,780886950,03006894 0,5 0,62455454 0,35756682 0,7980696 0,653611640,0291648 0,5 0,7034585 0,82696604 0,61238716 0,86486124

0,02831421 0,5 0,62581392 0,51513556 0,90200268 0,446467380,02751252 0,5 0,70251257 0,89917529 0,33589662 0,944052870,02675558 0,5 0,62696597 0,32637271 0,84766631 0,201761130,02603972 0,5 0,70163892 0,79147283 0,49068693 0,615224660,02536165 0,5 0,62802523 0,59415693 0,94967041 0,904282920,02471844 0,5 0,70082862 0,8680841 0,18162677 0,330641330,02410744 0,5 0,6290036 0,41225074 0,56482625 0,845433390,02352627 0,5 0,70007422 0,87228024 0,93403072 0,499181450,02297278 0,5 0,62991092 0,40106672 0,23414588 0,95499744

0,1641734

Population

2 Fixpunkte r=3

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 10 20 30 40

Reihe1

Chaos r=3,8

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 10 20 30 40

Reihe1

Population

Population

Feigenbaum-Zahl („Konstante des Chaos“):f=4,190610296620...

Bifurkationspunkt: Wert ri der Periodenverdoppelung

Population

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 20 40 60 80

Reihe1

Intermittenz r=3,82

Population

Population

Die Geburtenrate b ist gleichzusetzten mit dem Raum r.

Bifurkationsdiagramm des Feigenbaumszenarios

Intermittenz

Population

AttraktorenBeschreibung des Verhaltens eines Systems

Das Pendel im Phasenraum

gedämpft:

nulldimensionaler AttraktorIm zweidimensionalen Raum

Ort Ort

ImpulsImpuls

Attraktoren

Vakuum:

eindimensionaler Attraktorim zweidimensionalen Raum

Ort Ort

ImpulsImpuls

Attraktoren

Torus

zweidimensionalerAttraktor im dreidimensionalen Raum

seltsamer Attraktor des chaotischen Zustandes(nicht dreidimensional)

Attraktoren

Kopplung zweier Pendel

Empfindlichkeit der Systeme

0,707070; 0,414141; 0,828282; 0,656565; 0,313131; 0,626262; 0,252525; 0505050; 0,010101;

0,707170; 0,414341; 0,828682; 0,657365; 0,314731; 0,629462; 0,258924; 0,517849; 0,035698;

0,020202; 0,040404; 0,080808

0,071396; 0,142792; 0,285584

Iteration: Verdoppelung, ausschließlich Dezimalstellen

FraktaleWie lang ist die Küstenlinie Irlands?

Abhängig von der Genauigkeit der Messungkann sie sogar unendlich lang sein.

Fraktale

Selbstähnlichkeit ist in der Natur sehr häufig zu finden.

Fraktale

Idee: Mandelbrot in den 70er und 80er Jahren

Fraktal von lat.: frangere = brechen

Erzeugung durch Iteration mit dem Merkmal derSelbstähnlichkeit chaotisches System lässtsich mit fraktaler Geometrie beschreiben.

Fraktale

Das ApfelmännchenIteration eines algebraischen Ausdruckes mit komplexer Zahlen:

Z1 Z02 C

Ein Computer iteriert den Ausdruck bis zu 1000mal,prüft, ob die Zahl endlich bleibt und trägt C im Koordinaten-system auf.

endlich: C ist teil der „Mandelbrotmenge“; schwarzim Koordinatensystem

unendlich: Grau abgestuft, je nach Geschwindigkeit

Fraktale

2500-fach

Fraktale

50000-fach 833333-fach

Fraktale

833333-fach

2 702 702 702-fach

Fraktale

Bifurkationsdiagramm

Ist das Sonnensystem stabil?

• Poincaré: Erste Fragestellung zur Chaosforschung Ende 19. Jh.

• Zwei Objekte sind stabil, auch bei gravitativer Störung eines weiteren Planeten, sofern Umlaufzeiten nicht ein einfaches Verhältnis bilden(1/3, 2/3....)

• Einfaches Verhältnis: Störung wird immens verstärkt, der Planet verlässt seine Bahn

Die Entdeckung des Chaos; John Briggs, F. David Peat Metzler PhysikDeterministisches Chaos; Jahresarbeit von Jörg Stadlingerwww.wikipedia.dehttp://www.ginko.de/user/kremer/karsten/ap-gal/fract011.htm

Quellen