Wie weit wurde der Balken von der Wand … Thema Schwierigkeit Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Balken an Wand Auf einer alten babylonischen

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Balken an Wand Auf einer alten babylonischen Keilschrifttafel aus der Zeit von etwa 1700v.Chr. findet sich die folgende Aufgabe: Ein Balken von 1gi Länge (das sind etwa 3m) steht an einer e-benfalls 1gi hohen Wand. Wie weit wurde der Balken von der Wand weggezogen, wenn er

von oben 51 gi herabgekommen ist?

2011 Thomas Unkelbach


x: Länge der Strecke, um die der Balken von der Wand weggezogen wurde, in gi

(P)

−==−⇔=

+

53;

53L;0

259x1

54x 22

22

Der Balken wurde 53 gi von der Wand weggezogen.


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Baum am Fluss 1

Die obige Zeichnung stammt aus dem handgeschriebenen und reich bebilderten Rechenbuch des Fillipo CA-LANDRI aus dem Jahre 1491. Es wird in der Bibliothek von Florenz aufbewahrt. Ein ursprünglich 60 Fuß hoher Baum ist umgeknickt. Er ragt jetzt über den 30 Fuß breiten Fluss. In welcher Höhe ist der Baum umgeknickt?



h: Höhe des Baumstumpfes in Fuß; (60-h): Höhe des abgeknickten Stückes in Fuß (P) { }2

121222 22L;022h)h60(30h ==−⇔−=+

Der Baum ist in einer Höhe von 2

122 Fuß abgeknickt.



Baum am Fluss 2

Die folgende Aufgabe stammt aus der Arithmetik des Chinesen CH'IN CHIU-SHAO (13. Jh. n.Chr.), die Ab-bildung aus einem Rechenbuch des 15. Jahrhunderts. Ein ursprünglich 10 Fuß hoher Bambus ist so geknickt, dass seine Spitze 3 Fuß vom unteren Ende des Bambus entfernt den Boden berührt. In welcher Höhe ist der Bambus abgeknickt?



h: Höhe des Bambus in Fuß; (10-h): Höhe des abgeknickten Stückes in Fuß (P) { }20

112011222 4L;04h)h10(3h ==−⇔−=+

Der Bambus ist in einer Höhe von 20

114 Fuß abgeknickt.



Brunnen zwischen den Türmen 1

Die obige Zeichnung stammt aus dem handgeschriebenen und reich bebilderten Rechenbuch des Fillipo CA-LANDRI aus dem Jahre 1491. Es wird in der Bibliothek von Florenz aufbewahrt. Auf einem ebenen Feld stehen zwei Türme, einer 60 Fuß hoch, der andere 80 Fuß hoch. Ihr Abstand beträgt 100 Fuß. Für die beiden Vögel ist der Weg von der Turmspitze bis zu einem Brunnen zwischen den Türmen gleich weit. Wie weit ist der Brunnen von den Türmen entfernt? Tipp: Führe zwei Variablen ein.



d: Abstand des linken Turms vom Brunnen in Fuß; (100-d): Abstand des rechten Turms vom Brunnen in Fuß s: Abstand der beiden Turmspitzen vom Brunnen in Fuß (P) { }64L;064d)d100(80d60s)d100(80sd60 2222222222 ==−⇔−+=+⇒=−+∧=+ Der linke Turm steht 64 Fuß und der rechte 36 Fuß vom Brunnen entfernt.



Brunnen zwischen den Türmen 2

Die folgende Aufgabe stammt aus der 'Coß' des Christoff RUDOLFF (1553). Zween Thurn stehen auff einer ebenen velde 60 eln von ein ander. Der ein ist 50 eln hoch der ander 40 eln hoch. Zwischen den zweyen Thurnen steht ein Brunne gleych weyt von den spitzen der zweyen Thurnen. Ist die frag wie fern steht der Brunne vnden von yedem Thurn? Tipp: Führe zwei Variablen ein.



d: Abstand des linken Turms vom Brunnen in Ellen; (60-d): Abstand des rechten Turms vom Brunnen in Ellen s: Abstand der beiden Turmspitzen vom Brunnen in Ellen (P) { }2

1212222222222 22L;22d)d60(40d50s)d60(40sd50 ==⇔−+=+⇒=−+∧=+

Der linke Turm steht 2

122 Ellen und der rechte 2137 Ellen vom Brunnen entfernt.


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Diagonale im Quadrat

a) Ein Quadrat hat die Seitenlänge cm6a = . Berechne die Diagonalenlänge d . b) Stelle den Term )a(d auf, mit dem man allgemein in einem Quadrat aus der Seitenlänge a die Diagonalen-

länge d berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.


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a) d: Diagonalenlänge in cm

(P) { }26;26L;072dd66 2222 −==−⇔=+ Die Diagonalenlänge beträgt cm5,8cm26 ≈ .

b) a: Seitenlängen; d: Diagonalenlänge (P) 2aa2da2ddaa 222222 ==⇒=⇒=+ Der Term lautet 2a)a(d = .



Diagonale im Rechteck

a) Ein Rechteck hat die Seitenlängen cm6a = und cm3b = . Berechne die Diagonalenlänge d . b) Stelle den Term )b;a(d auf, mit dem man allgemein in einem Rechteck aus den Seitenlängen a und b die

Diagonalenlänge d berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.



a) d: Diagonalenlänge in cm

(P) { }53;53L;045dd36 2222 −==−⇔=+ Die Diagonalenlänge beträgt cm7,6cm53 ≈ .

b) a, b: Seitenlängen; d: Diagonalenlänge (P) 22222 baddba +=⇒=+ Der Term lautet 22 ba)b;a(d += .



Echolot Ein Schiff bestimmt die Wassertiefe mittels Echolot. Schallsender und Schallempfänger sind im Abstand von 10m am Schiffsboden angebracht. Wie weit über Grund befindet sich dieser, wenn ein ausgesandtes Signal bei einer Schallgeschwindigkeit in

Wasser von sm1500 nach 0,1s wieder empfangen

wird?



s: Länge des Streckenzugs S-B(oden)-E in m; es gilt 150m 0,1ssm1500 t v s =⋅=⋅=

h: Länge der Strecke SB in m; (150-h): Länge der Strecke BE in m (P) { }3

2322222 74L;74h)h150(10h ==⇔−=+

Das Schiff befindet sich m74 3

2 über Grund.



Eckschrank

Ein Eckschrank aus einer Anbauserie hat nach dem Prospekt eine Schenkellänge von 70cm und eine seitliche Tiefe von 37cm. Im Prospekt wird die Breite AD mit 100cm und die Breite BC mit 45cm angegeben. Prüfe die Angaben des Prospekts kritisch nach.



1b : Breite AD in cm (P) { }270;270L;09600bb7070 2

12

122 −==−⇔=+

Die Breite AD beträgt cm99cm270 ≈ .

2b : Breite BC in cm (P) { }233;233L;02178bb)3770()3770( 2

22

222 −==−⇔=−+−

Die Breite BC beträgt cm7,46cm233 ≈ .



Giebel 1

In der obenstehenden Abbildung ist die Giebelseite eines Hauses gezeigt. Berechne die Entfernung der Punkte A und S.



d: Länge der Strecke AS in m

(P) { }181;181L;0181dd)46()2

18( 2222 −==−⇔=++

Die Strecke AS ist m5,13m181 ≈ lang.



Giebel 2

In der obenstehenden Abbildung ist die Giebelseite des Daches eines älteren Hauses gezeigt. Berechne die Län-gen x und y. Tipp: Berechne zuerst die Längen der beiden eingezeichneten Hilfslinien in Abhängigkeit von x bzw. y.



Für die Länge h1 der vertikalen Hilfslinie gilt als Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge x und

dem Satz des PYTHAGORAS: x321h1 = .

Für die Länge h2 der horizontalen Hilfslinie gilt als Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge y

und dem Satz des PYTHAGORAS: y321h 2 = .

Damit ergibt sich das Lineare Gleichungssystem

80,4y21x3

21 =+ und 40,580,10

21x

21y3

21 =⋅=+

und daraus m9,2m)4,538,4(x ≈−= und m6,4m)8,434,5(y ≈−= .



Glocke In einem Glockenturm hängt das Seil zum Läuten der Glocke. Wenn man das Ende des Seils um 2m seitlich aus der Ruhelage bewegt, so hebt sich das Seilende dabei um 10cm. Berechne die Länge des Glockenseils.



l : Länge des Seils in m (P) { }05,20L;05,202)1,0( 222 ==⇔=+− lll Das Seil ist 20,05m lang.



Höhe im Gleichschenkligen Dreieck

a) Ein Gleichschenkliges Dreieck hat die Seitenlängen cm6a = und cm5c = . Berechne die Höhenlänge h . b) Stelle den Term )c;a(h auf, mit dem man allgemein in einem Gleichschenkligen Dreieck aus den Seitenlän-

gen a und c die Höhenlänge h berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Forme l-sammlungen.



a) h: Höhenlänge in cm

(P) { }4;4L;016h526h 22

22 −==−⇔=

+

Die Höhenlänge beträgt cm4 .

b) a, c: Seitenlängen; h: Höhenlänge

(P) 2

222

2

2caha

2ch

−=⇒=

+

Der Term lautet 2

2

2ca)c;a(h

−= .



Höhe im Gleichseitigen Dreieck

a) Ein Gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge cm6a = . Berechne die Höhenlänge h . b) Stelle den Term )c;a(h auf, mit dem man allgemein in einem Gleichseitigen Dreieck aus der Seitenlänge a

die Höhenlänge h berechnen kann. Hinweis: Diese „Formel“ findet man in allen Formelsammlungen.



a) h: Höhenlänge in cm

(P) { }33;33L;027h626h 22

22 −==−⇔=

+

Die Höhenlänge beträgt cm2,5cm33 ≈ .

b) a: Seitenlängen; h: Höhenlänge

(P) 32a

4a3

4a

4a4

4aa

2aaha

2ah

22222

222

22 ==−=−=

−=⇒=

+

Der Term lautet 32a)a(h = .



Interessantes zum Parallelogramm

Beweise mit Hilfe der Zeichnung, dass in jedem Parallelogramm gilt 2222 feb2a2 +=+ .

Tipp: 2b , 2e und 2f lassen sich als Hypotenusenquadrate auffassen.


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In dem Rechtwinkligen Dreieck BFC gilt

(P) 222 bhd =+ (1) In dem Rechtwinkligen Dreieck AFC gilt

(P) 222 eh)da( =++ (2) In dem Rechtwinkligen Dreieck EBD gilt

(P) 222 fh)da( =+− (3) Addieren der Gleichungen (2) und (3) liefert

)hd(2a2h2d2a2...h)da(h)da(fe 222222222222 +⋅+=++==+−+++=+ Einsetzen von (1) 222 bhd =+ liefert 2222 b2a2fe +=+



Interessantes zur Raute

Beweise mit Hilfe der Zeichnung, dass in jeder Raute gilt 222 fea4 += . Tipp: Es gibt mindestens zwei verschiedene Beweismöglichkeiten; beide sind angedeutet.


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1. Möglichkeit: Ist M der Schnittpunkt der beiden Diagonalen der Raute, dann gilt in dem Rechtwinkligen Dreieck AMD

(P) 222222

222

222

a4fe4a4

fea4

f4

ea2f

2e =+⇔⋅=+⇔=+⇔=

+

2. Möglichkeit: In dem Rechtwinkligen Dreieck AEC gilt

(P) 222222 a4fe)a2(fe =+⇔=+



Leiter an Hauswand A Eine 5m lange Leiter wird auf einen horizontalen Untergrund gestellt und an eine Haus-wand gelehnt. Ihr unteres Ende hat von der Wand den Abstand 80cm. In welcher Höhe berührt sie die Wand?



h: Höhe, in der die Leiter die Wand berührt, in m (P) { }36,24;36,24L;036,24h00,580,0h 2222 −==−⇔=+ Die Leiter berührt die Wand in einer Höhe von m94,4m36,24 ≈ .



Leiter an Hauswand B Eine Leiter von 3,60m Länge ist so an eine Hauswand gestellt, dass ihre unteren Holm-enden einen Abstand von 1,00m von der Hauswand haben. In welcher Höhe berührt sie die Wand?



h: Höhe, in der die Leiter die Wand berührt, in m (P) { }96,11;96,11L;096,11h60,300,1h 2222 −==−⇔=+ Die Leiter erreicht eine Höhe von m49,3m96,11 ≈ an der Hauswand.



Leiter an Wand A

Bereits in einem altbabylonischen Text um 2000 v.Chr. findet sich das Problem der 'angelehnten Leiter', die Abbildung stammt aus dem 15. Jahrhundert: Eine Leiter steht an einer Wand, die so hoch wie die Leiter ist. Wird nun die Leiter von der Wand weggezogen, so dass oben 3Ellen frei sind, steht die Leiter am Boden 9Ellen von der Wand entfernt. Wie lang ist die Leiter?



h: Höhe der Wand und gleichzeitig Länge der Leiter in Ellen. (P) { }15L;15hh9)3h( 222 ==⇔=+− Die Wand ist 15Ellen hoch, die Leiter ebenfalls 15Ellen lang.



Leiter an Wand B

Bereits in einem altbabylonischen Text um 2000 v.Chr. findet sich das Problem der 'angelehnten Leiter', die Abbildung stammt aus dem 15. Jahrhundert: Eine Leiter steht an einer Wand, die so hoch wie die Leiter ist. Wird nun die Leiter von der Wand weggezogen, so dass oben 2

11 Ellen frei sind, steht die Leiter am Boden 214 Ellen von der Wand entfernt. Wie lang ist die Lei-

ter?



h: Höhe der Wand und gleichzeitig Länge der Leiter in Ellen. (P) { }2

12122

212

21 7L;7hh4)1h( ==⇔=+−

Die Wand ist 2

17 Ellen hoch, die Leiter ebenfalls 217 Ellen lang.



Schale A

In einer Kugelschale mit dem Radius m8,1R = hat der Flüssigkeitsspiegel den Durchmesser m5,12s = .

Berechne die Flüssigkeitstiefe t.



t: Flüssigkeitstiefe in m

(P) { }2,3;4,0L;028,1t6,3t8,1)t8,1()12,521( 2222 ==+−⇔=−+⋅

Die Flüssigkeitstiefe beträgt m4,0 .



Schale B

In einer Kugelschale mit dem Radius 8cmR = hat der Flüssigkeitsspiegel den Durchmesser cm38s = . Berechne die Flüssigkeitstiefe t.



t: Flüssigkeitstiefe in m

(P) { }12;4L;048t16t8)t8()3821( 2222 ==+−⇔=−+⋅

Die Flüssigkeitstiefe beträgt cm4 .



Schilfrohr

Die folgende Aufgabe stammt aus der Arithmetik des Chinesen CH'IN CHIU-SHAO (13.Jh. n.Chr.). 5 Fuß vom Ufer eines Teichs entfernt ragt ein Schilfrohr einen Fuß über das Wasser empor. Zieht man seine Spitze an das Ufer, so berührt sie gerade den Wasserspiegel. Wie tief ist der Teich?



t: Tiefe des Teichs in Fuß; (t+1): Höhe des Schilfrohres in Fuß (P) { }12L;12t)1t(5t 2222 ==⇔+=+ Der Teich ist 12 Fuß tief.



Schrank 1 Ein Schrank wurde in ein Dachzimmer getragen, das 2,20m hoch ist. Der Schrank ist 2,05m hoch, 95cm breit und 55cm tief. Kann man ihn aufstellen, wenn man ihn

a) über die Seitenkante b) über die Vorderkante kippt?



a) d: Länge der Diagonalen beim Kippen über die Seitenkante in m (P) { }105,5;105,5L;0105,5dd95,005,2 2222 −==−⇔=+ Nein, denn die Diagonale beim Kippen über die Seitenkante hat die Länge m26,2m105,5 ≈ . b) d: Länge der Diagonalen beim Kippen über die Vorderkante in m (P) { }505,4;505,4L;0505,4dd55,005,2 2222 −==−⇔=+ Ja, denn die Diagonale beim Kippen über die Vorderkante hat die Länge m12,2m505,4 ≈ .



Schrank 2A

Wie hoch darf der Schrank in der obenstehenden Abbildung höchstens sein, damit man ihn wie angegeben auf-stellen kann?



h: Höhe des Schranks in m (P) { }4,5;4,5L;04,5h4,26,0h 2222 −==−⇔=+ Der Schrank darf höchstens m32,2m4,5 ≈ hoch oder breit sein.



Seil zwischen den Türmen

Ein 14m hoher Turm und ein 2m hoher Turm sollen an ihren höchsten Stellen mit einem Seil verbunden wer-den. Die Türme stehen 8m voneinander entfernt. Bestimme, wie lang das Seil mindestens sein muss.



x: Länge des Seils in m (P) { }134;134L;0208xx)214(8 2222 −==−⇔=−+ Das Seil muss mindestens 14,42mm134 ≈ lang sein.



Sendemast

Um einen Sendemast zu befestigen, werden Stahlseile in 50m Höhe am Mast angebracht und in 40m Entfer-nung vom Fuß des Mastes verankert. Wie lang sind die Stahlseile in gespanntem Zustand?



l : Länge der Seile in m (P) { }4110;4110L;010044050 2222 −==−⇔=+ ll Die Seile sind m64m4110 ≈ lang.



Sichtweite 1

a) Die Erde ist näherungsweise eine Kugel mit dem Radius 6370kmR = . Wie weit kann ein Beobachter aus

der Höhe h im Idealfall sehen? Zeige, dass für die Sichtweite s gilt 2hRh2s += . Warum kann man als 'Faustformel' Rh2s = benutzen?

b) Berechne die Sichtweiten für die Höhen m8,0h = (Kajak), m2,2h = (Segeljacht), m21h = (Frachtschiff), m90h = (Bohrinsel) und 00m01h = (Flugzeug).

c) Wie weit ist ein Schiff mindestens entfernt, dessen 20m hohe Mastspitze für einen Beobachter mit der Au-genhöhe 1,6m gerade 'hinter dem Horizont' verschwindet?



a) (P) 2222 hRh2s)sR(sR +=⇒+=+ .

Da in der Formel 2hRh2s += die Größe h2 im Verhältnis zur Größe 2Rh immer sehr klein ist, kann man diese vernachlässigen und es gilt Rh2hRh2s 2 ≈+= .

b) 3,2kms ≈ ; 5,3kms ≈ ; km0,8s ≈ ; km12s ≈ ; km34s ≈ ; km113s ≈ c) s1: Länge der Strecke vom Beobachter bis zum Horizont in km

s2: Länge der Strecke vom Schiff bis zum Horizont in km

21 sss += : Länge der Strecke vom Beobachter bis zum Schiff in km Wie in b) errechnen sich km5,4s1 ≈ , km0,16s 2 ≈ , also km5,20s ≈ .



Sperrholzplatte Passt eine 2,40m lange, 1,85m breite und 3cm starke rechteck ige Sperrholzplatte durch eine 1,20m breite und 1,40m hohe rechteckige Fens-teröffnung?



d: Länge der Diagonalen der Fensteröffnung in m (P) { }4,3;4,3L;04,3dd40,120,1 2222 −==−⇔=+ Die Spanplatte passt nicht durch die Fensteröffnung, da die Diagonale der Fensteröffnung m84,1m4,3 ≈ lang ist.



Steigung A

Die Steigung einer ansteigenden Straße AB wird als Verhältnis des Höhenunterschieds h zur horizontal gemes-senen Entfernung e angegeben. Ist z.B. 20mh = und 800me = , so beträgt die Steigung

%5,2401

m800m20

eh === .

a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung 2,5kme = und die Steigung 8%. Wie groß ist der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB ? Runde auf Meter.

b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße km4,12AB = und die Steigung 5%. Wie groß sind die horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter.



a) km2,0h%8eh%8eh =⇔⋅=⇔= ; l : Länge der Straße in km

(P) { }29,6;29,6L;029,65,22,0 2222 −==−⇔=+ ll Die Länge der Straße beträgt km508,2km29,6 ≈ .

b) e: Horizontale Entfernung in km; e%5 ⋅ : Höhenunterschied in km

(P) { }38,153;38,153L;038,153e4,12e)e05,0( 2222 −==−⇔=+⋅ Die Horizontale Entfernung beträgt km380,12km38,153 ≈ , der Höhenunterschied ca. m619km619,0 = .



Steigung B


%5,2401

m800m20

eh === .

a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung 2,5kme = und die Steigung 4%. Wie groß ist der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB ? Runde auf Meter.





(P) { }26,6;26,6L;026,65,21,0 2222 −==−⇔=+ ll Die Länge der Straße beträgt km502,2km26,6 ≈ . b) e: Horizontale Entfernung in km; e%5 ⋅ : Höhenunterschied in km (P) { }34,38;34,38L;034,38e2,6e)e05,0( 2222 −==−⇔=+⋅ Die Horizontale Entfernung beträgt km190,6km34,38 ≈ , der Höhenunterschied ca. m310km310,0 = .



Steigung C


%5,2401

m800m20

eh === .

a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung km21e = und die Steigung 6%. Wie groß ist der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB ? Runde auf Meter.





(P) { }144,5184;144,5184L;0144,51841272,0 2222 −==−⇔=+ ll Die Länge der Straße beträgt km022,12km144,5184 ≈ . b) e: Horizontale Entfernung in km; e%10 ⋅ : Höhenunterschied in km (P) { }06,38;06,38L;006,38e2,6e)e1,0( 2222 −==−⇔=+⋅ Die Horizontale Entfernung beträgt km169,6km06,38 ≈ , der Höhenunterschied ca. m617km617,0 = .



Steigung D


%5,2401

m800m20

eh === .

a) Aus einer Karte entnimmt man die horizontale Entfernung km21e = und die Steigung 9%. Wie groß ist der Höhenunterschied h und wie lang ist die Straße AB ? Runde auf Meter.

b) Auf einem Straßenschild steht die Länge der Straße km2,6AB = und die Steigung 7,5%. Wie groß sind die horizontale Entfernung e und der Höhenunterschied h? Runde auf Meter.




(P) { }145,1664;145,1664L;0145,16641208,1 2222 −==−⇔=+ ll Die Länge der Straße beträgt km049,12km145,1664 ≈ . b) e: Horizontale Entfernung in km; e%5,7 ⋅ : Höhenunterschied in km (P) { }22,38;22,38L;022,38e2,6e)e075,0( 2222 −==−⇔=+⋅ Die Horizontale Entfernung beträgt km183,6km22,38 ≈ , der Höhenunterschied ca. m464km464,0 = .



Strohhalm Wie weit ragt ein 20cm langer Strohhalm mindestens aus der Dose, wenn diese 11cm hoch ist und einen Durchmesser von 6cm hat?



l : Länge des Strohhalms in der Dose in cm (P) { }157;157L;0157116 2222 −==−⇔=+ ll Die Länge des Strohhalms in der Dose beträgt cm5,12cm157 ≈ , also ragen mindestens ca. 7,5cm des Stroh-halms aus der Dose.



Tischplatte Kann man eine 3cm dicke kreisförmige Tischplatte von 2,10m Durchmesser durch eine Türöffnung transportieren, die nur 2m hoch und 1m breit ist?



d: Länge der Diagonalen der Türöffnung in m (P) { }5;5L;05dd12 2222 −==−⇔=+ Die Tischplatte passt durch die Türöffnung, da die Diagonale der Türöffnung m24,2m5 ≈ lang ist. Die Dicke der Tischplatte kann man in diesem Fall vernachlässigen.



Trampelpfad

An einer unbebauten Straßenecke ist ein Trampelpfad entstanden. Wie lang ist die Abkürzung von P nach Q? Wie viel Meter spart man durch die Abkürzung?



d: Länge der Strecke PQ in m (P) { }3410;3410L;03400dd3050 2222 −==−⇔=+ Die Strecke PQ ist m3,58m3410 ≈ lang. Man spart durch sie ca. m7,21m3,58m30m50 =−+



Turm am Fluss

Die obige Zeichnung stammt aus dem handgeschriebenen und reich bebilderten Rechenbuch des Fillipo CA-LANDRI aus dem Jahre 1491. Es wird in der Bibliothek von Florenz aufbewahrt. Ein Turm am Fluss ist 40 Fuß hoch, der Fluss ist 30 Fuß breit. Wie lang ist das Seil?



l : Länge des Seils in Fuß (P) { }50;50L;025003040 2222 −==−⇔=+ ll Das Seil ist 50 Fuß lang.



Wärmeausdehnung

Fließt elektrischer Strom durch einen Draht, so wird dieser erwärmt. Dadurch verlängert sich der Draht und ein angehängter Körper sinkt. Berechne die Längenänderung eines ursprünglich 50cm langen Drahtes, wenn der Körper um 2cm, 4cm bzw. 8cm sinkt.



l : Länge des erwärmten Drahtes in cm bei einem Absinken des angehängten Körpers um 2cm

(P) { }6292;6292L;02516)2

(2)2

50( 2222 −==−⇔=+ ll

Der erwärmte Draht hat eine Länge von cm16,50cm6292 ≈ , die Längenänderung beträgt also ca. 0,16cm . Entsprechend ergeben sich bei einem Absinken des angehängten Körpers um 4cm bzw. 8cm Längenänderungen von ca. 0,6cm bzw. ca. 2,5cm.



Zahnradbahn am Pilatus

Die steilste Zahnradbahn der Welt fährt auf den Pilatus (Schweiz). Auf einem Streckenabschnitt von 1130m Länge überwindet sie gleichmäßig einen Höhenunterschied von 489m. a) In einer Landkarte sind im Normalfall die horizontalen Abstände von Orten maßstabsgetreu abgebildet. Wie lang erscheint dieser Streckenabschnitt auf einer Karte im Maßstab 1:25000? b) Eine andere Zahnradbahnstrecke erscheint auf einer Karte im Maßstab 1:10000 12cm lang. Die wirkliche Streckenlänge beträgt 1250m. Wie groß ist der Höhenunterschied?



a) x: Länge der horizontalen Strecke in m (P) { }1037779;1037779L;01037779x1130489x 2222 −==−⇔=+ Der horizontale Abstand beträgt in der Wirklichkeit m1019m1037779 ≈ und auf einer Karte im Maßstab 1:25000 ca. 4,1cm. b) Der horizontale Abstand beträgt in der Wirklichkeit 1200m. h: Höhenunterschied in m (P) { }350;350L;0122500h12501200h 2222 −==−⇔=+ Der Höhenunterschied beträgt 350m.


Name: Datum: Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Grundwissen

2011 Thomas Unkelbach Seite 1 von 1

Welche Zusammenhänge beste-hen zwischen den Streckenlän-gen in Rechtwinkligen Drei-ecken? Aussagen hierüber machen die sogenannten Flächensätze in Rechtwinkligen Dreiecken. Für die Hypotenuse und die beiden Hypotenusenabschnitte (hier c, p und q) gilt

cqp =+ . Satz des PYTHAGORAS (PYTHAGORAS von Samos, ca. 580-500 v.Chr.) In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den Katheten inhaltsgleich dem Quadrat über der Hypotenuse, hier

222 cba =+ . Erster Satz des EUKLID oder Kathetensatz (EUKLID, ca. 365-300 v.Chr.) In jedem Rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über einer Kathete inhalts-gleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem an der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt, hier

cpa2 ⋅= und cqb2 ⋅= . Zweiter Satz des EUKLID oder Höhensatz In jedem Rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe inhaltsgleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten, hier

qph2 ⋅= . Flächeninhaltsformel In jedem Rechtwinkligen Dreieck ergibt sich der Flächeninhalt entweder aus Hypotenuse und Höhe (hier c und h) oder aber aus den Katheten (hier a und b)

ba21hc

21A ⋅⋅=⋅⋅= .

Daraus ergibt sich die Höhe durch Katheten und Hypotenuse (hier h, a, b und c)

cbah ⋅= .

Nach dem Satz des PYTHAGORAS in den rechtwinkligen Teildreiecken (ADC) bzw. (DBC) gilt weiter

222 aph =+ und 222 bqh =+ .

Bereich Thema Schwierigkeit Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben *

Aufgabe 1a Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 19,2cm und 25,6cm lang. Wie lang ist die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchte Größe an.



x: Länge der Hypotenuse in cm (P) }32;32{L;01024xx6,252,19 2222 −==−⇔=+ Die Hypotenuse ist 32cm lang.



Aufgabe 1b Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 51,4cm und eine der Katheten 6,4cm lang. Wie lang ist die andere Kathete? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

Gib die gesuchte Größe an.



x: Länge der anderen Kathete in cm (P) }51;51{L;02601x4,51x4,6 2222 −==−⇔=+ Die andere Kathete ist 51cm lang.


Bereich Thema Schwierigkeit Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben **

Aufgabe 2a In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 2,4mal so lang wie die andere. Die Länge der Hypotenuse beträgt 39cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.

Gib die gesuchten Größen an.



x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) }15;15{L;01521x76,639 x(2,4x) 2222 −==−⇔=+ Die Katheten sind 15cm und 36cm lang.



Aufgabe 2b

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 311 mal so lang wie die andere. Die Länge der Hypotenuse

beträgt 35cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.

Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung. Gib die gesuchten Größen an.



x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) }21;21{L;01225x235 xx)(1 2

97222

31 −==−⇔=+

Die Katheten sind 21cm und 28cm lang.



Aufgabe 2c In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete drei Mal so lang wie die andere. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) }104;104{L;01600x1040 x(3x) 2222 −==−⇔=+ Die Katheten sind cm104 und cm1012 lang.



Aufgabe 2d In einem rechtwinkligen Dreieck mit einer 40cm langen Hypotenuse ist eine Kathete doppelt so lang wie die andere. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) }58;58{L;01600x540 x(2x) 2222 −==−⇔=+ Die Katheten sind cm58 und cm516 lang.



Aufgabe 2e Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 15:8, d.h. die Länge der längeren Kathete beträgt das 8

15 fache der Länge der größeren Kathete. Die Länge der Hypotenuse beträgt 18,7cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der kürzeren Kathete in cm (P) }8,8;8,8{L;069,349x418,7 xx)( 2

6433222

815 −==−⇔=+

Die Katheten sind cm8,8 und cm5,16 lang.



Aufgabe 2f Die Längen der Katheten eines rechtwink ligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die Länge der kleineren Kathete beträgt das 4

3 fache der Länge der größeren Kathete. Die Länge der Hypotenuse beträgt 7,2cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der längeren Kathete in cm (P) }76,5;76,5{L;084,51x17,2 xx)( 2

169222

43 −==−⇔=+

Die Katheten sind cm76,5 und cm32,4 lang.



Aufgabe 3a

In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 20,5cm lang, die Länge der Hypotenuse beträgt das 1213 fache

der Länge der anderen Kathete. Wie lang sind die andere Kathete und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.




x: Länge der anderen Kathete in cm (P) }2,49;2,49{L;025,420xx)( x5,02 2

144252

121322 −==−⇔=+

Die andere Kathete ist cm2,49 und die Hypotenuse cm3,53 lang.



Aufgabe 3b

In einem rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete 5,6cm lang. Die Länge der Hypotenuse beträgt das 1517 fache

der Länge der anderen Kathete. Wie lang sind die andere Kathete und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf.




x: Länge der anderen Kathete in cm (P) }5,10;5,10{L;036,31xx)( x6,5 2

225642

151722 −==−⇔=+

Die andere Kathete ist cm5,10 und die Hypotenuse cm9,11 lang.


Bereich Thema Schwierigkeit Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Textaufgaben ***

Aufgabe 4a Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die Länge der kleineren Kathete beträgt das 4

3 fache der Länge der größeren Kathete. Die größere Kathete ist um 4cm kürzer als die Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der größeren Kathete in cm (P) }16;1{L;016x8x4)(x xx)( 9

72169222

43 −==−−⇔+=+

Die Katheten sind cm16 und cm12 und die Hypotenuse cm20 lang.



Aufgabe 4b Die Längen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks verhalten sich wie 5:12, d.h. die Länge der kleineren Kathete beträgt das 12

5 fache der Länge der größeren Kathete. Die größere Kathete ist um 2cm kürzer als die Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der größeren Kathete in cm (P) }24;{L;04x4x2)(x xx)( 25

24214425222

125 −==−−⇔+=+

Die Katheten sind cm24 und cm10 und die Hypotenuse cm26 lang.



Aufgabe 5a Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 29cm lang. Die Summe der Längen der Katheten beträgt 41cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge einer der beiden Katheten in cm (P) }21;20{L;0840x82x229 x)41(x 2222 ==−−⇔=−+ Die Katheten sind cm20 und cm21 lang.



Aufgabe 5b Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist 34cm lang. Die Summe der Längen der Katheten beträgt 46cm. Wie lang sind die Katheten? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge einer der beiden Katheten in cm (P) }30;16{L;0960x92x234 x)46(x 2222 ==−−⇔=−+ Die Katheten sind cm16 und cm30 lang.



Aufgabe 6a In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um 2cm, die andere um 9cm kürzer als die Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der Hypotenuse in cm (P) }17;5{L;085x22x x 9)x(2)-(x 2222 ==+−⇔=−+ Die Hypotenuse ist cm17 und die Katheten cm15 und cm8 lang.



Aufgabe 6b In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete um 2cm, die andere um 16cm kürzer als die Hypotenuse. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der Hypotenuse in cm (P) }26;10{L;0260x36x x )61x(2)-(x 2222 ==+−⇔=−+ Die Hypotenuse ist cm26 und die Katheten cm24 und cm10 lang.



Aufgabe 7a In einem rechtwinkligen Dreieck ist die größere Kathete um 1cm kürzer als die Hypotenuse und um 17cm län-ger als die kleinere Kathete. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der größeren Kathete in cm (P) }24;12{L;0288x36x1)(x )71x(x 2222 ==+−⇔+=−+ Die Katheten sind cm24 und cm7 und die Hypotenuse cm25 lang.



Aufgabe 7b In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse um 9cm größer als die eine und um 8cm größer als die andere Kathete. Wie lang sind die Katheten und die Hypotenuse? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der Hypotenuse in cm (P) }29;5{L;0145x34xx )8x(9)-(x 2222 ==+−⇔=−+ Die Hypotenuse ist cm29 und die Katheten cm20 und cm21 lang.



Aufgabe 8a Die eine Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks ist 39cm und die Hypotenuse 89cm lang. Wie lang ist die ande-re Kathete? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der anderen Kathete in cm (P) }80;80{L;06400x89x39 2222 −==−⇔=+ Die andere Kathete ist 80cm lang.



Aufgabe 8b In einem rechtwinkligen Dreieck ist die eine Kathete 65cm und die Hypotenuse 97cm lang. Wie lang ist die andere Kathete? Stelle eine Gleichung mit einer Variablen auf. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.




x: Länge der anderen Kathete in cm (P) }72;72{L;05184x97x65 2222 −==−⇔=+ Die andere Kathete ist 72cm lang.


Nam

e: D

atum:

Flächensätze - Textaufgaben - Klapptest 1

Falte zuerst das Blatt entlang Linie 1. Löse dann die Aufgaben.

Falls du bei einzelnen Aufgaben keinen A

nsatz gefunden hast, so falte das Blatt entlang Linie 2 und arbeite m

it der Hilfe weiter. D

u erhältst für die Aufgabe einen halben Punkt.

Kontrolliere anschließend die Ergebnisse und notiere die Anzahl der richtigen A

ufgaben.

©

2005 Thomas U

nkelbach ; nach einer Idee von Maria N

iehaves

/9

1 2

1) D

ie Katheten eines rechtw

inkligen Dreiecks sind 19,2cm

und 25,6cm lang. W

ie lang ist die H

ypotenuse? 2

22

x6,

252,

19=

+

}32

;32

{L

−=

. Die H

ypotenuse hat die Länge 32cm

. 2)

In einem rechtw

inkligen Dreieck ist die eine K

athete 2,4mal so lang w

ie die andere. Die

Länge der Hypotenuse beträgt 39cm

. 2

22

39

x

(2,4x)=

+

}15;

15{

L−

=. D

ie Katheten haben

die Längen 15cm und 36cm

. 3)

In einem rechtw

inkligen Dreieck m

it einer 40cm langen H

ypotenuse ist eine Kathete

doppelt so lang wie die andere.

22

240

x

(2x)=

+

}58;

58

{L

−=

. Die K

atheten haben die Längen

cm5

8 und

cm5

16.

4) D

ie Längen der Katheten eines rechtw

inkligen Dreiecks verhalten sich w

ie 3:4, d.h. die Länge der kleineren K

athete beträgt das 4 3fache der Länge der größeren K

athete. Die

Länge der Hypotenuse beträgt 7,2cm

.

22

24 3

7,2

x

x)(

=+

}

76,5

;76

,5{

L−

=. D

ie Katheten

haben die Längen 5,76cm und

4,32cm.

5) In einem

rechtwinkligen D

reieck ist eine Kathete 20,5cm

lang. Die H

ypotenuse und die andere K

athete verhalten sich wie 13:12, d.h. die Länge der H

ypotenuse beträgt das 12 13fache der Länge der anderen K

athete.

212 13

22

x)(

x

5,02

=+

}2

,49

;2,

49{

L−

=. D

ie andere K

athete hat die Längen 49,2cm,

die Hypotenuse die Länge 53,3cm

. 6)

Die Längen der K

atheten eines rechtwinkligen D

reiecks verhalten sich wie 3:4, d.h. die

Länge der kleineren Kathete beträgt das

4 3fache der Länge der größeren Kathete. D

ie größere K

athete ist um 4cm

kürzer als die Hypotenuse.

22

24 3

4)(x

x

x)(

+=

+

}16;

1{

L9 7

−=

. Die K

atheten haben die Längen 12cm

und 16cm, die

Hypotenuse die Länge 20cm

. 7)

Die H

ypotenuse eines rechtwinkligen D

reiecks ist 29cm lang. D

ie Summ

e der Längen der K

atheten beträgt 41cm.

22

229

x)

41(

x=

−+

}

21;

20{

L=

. Die K


und 21cm.

8) In einem

rechtwinkligen D

reieck ist die eine Kathete um

2cm, die andere um

9cm


22

2 x

9)

x(2)

-(x

=−

+

}17;5

{L=

. Die H


, die Katheten

haben die Längen 15cm und 8cm

.

Nam

e: D

atum:

Flächensätze - Textaufgaben - Klapptest 2

Falte zuerst das Blatt entlang Linie 1. Löse dann die Aufgaben.

Falls du bei einzelnen Aufgaben keinen A

nsatz gefunden hast, so falte das Blatt entlang Linie 2 und arbeite m

it der Hilfe weiter. D

u erhältst für die Aufgabe einen halben Punkt.

Kontrolliere anschließend die Ergebnisse und notiere die Anzahl der richtigen A

ufgaben.

©

2005 Thomas U

nkelbach ; nach einer Idee von Maria N

iehaves

/8

1 2

1) V

on einem rechtw

inkligen Dreieck ist die H

ypotenuse 51,4cm und eine der K

atheten 6,4cm

lang. Wie lang ist die andere K

athete? 2

22

4,51

x4,

6=

+

}51;

51{

L−

=. D

ie Kathete hat die

Länge 51cm.

2) In einem

rechtwinkligen D

reieck ist die eine Kathete

3 11

mal so lang w

ie die andere. Die

Länge der Hypotenuse beträgt 35cm

.

22

23 1

35

x

x)(1

=+

}

21;

21{

L−

=. D

ie Katheten haben

die Längen 21cm und 28cm

. 3)

In einem rechtw

inkligen Dreieck m

it einer 40cm langen H

ypotenuse ist eine Kathete

dreimal so lang w

ie die andere. 2

22

40

x

(3x)=

+

}10

4;10

4{

L−

=. D

ie Katheten

haben die Längen cm

104

und cm

1012

. 4)

Die Längen der K

atheten eines rechtwinkligen D

reiecks verhalten sich wie 15:8, d.h.

die Länge der größeren Kathete beträgt das

8 15fache der Länge der kleineren Kathete.

Die Länge der H

ypotenuse beträgt 18,7cm.

22

28 15

18,7

x

x)(

=+

}8,

8;8,

8{

L−

=. D

ie Katheten haben

die Längen 8,8cm und 16,5cm

.

5) In einem

rechtwinkligen D

reieck ist eine Kathete 5,6cm

lang. Die H

ypotenuse und die andere K

athete verhalten sich wie 17:15, d.h. die Länge der H

ypotenuse beträgt das 15 17fache der Länge der anderen K

athete.

215 17

22

x)(

x

6,5

=+

}5,

10;5

,10

{L

−=

. Die andere

Kathete hat die Längen 10,5cm

, die H

ypotenuse die Länge 11,9cm.

6) D

ie Längen der Katheten eines rechtw

inkligen Dreiecks verhalten sich w

ie 5:12, d.h. die Länge der kleineren K

athete beträgt das 12 5fache der Länge der größeren K

athete. D

ie größere Kathete ist um

2cm kürzer als die H

ypotenuse.

22

212 5

2)(x

x

x)(

+=

+

}24

;{

L25 24

−=

. Die K


und 24cm, die

Hypotenuse die Länge 26cm

. 7)

Die H

ypotenuse eines rechtwinkligen D

reiecks ist 34cm lang. D

ie Summ

e der Längen der K

atheten beträgt 46cm.

22

234

x)

46(

x=

−+

}

30;

16{

L=

. Die K


und 30cm.

8) In einem

rechtwinkligen D

reieck ist die eine Kathete um

2cm, die andere um

16cm


22

2 x

)6

1x(

2)-

(x=

−+

}

26;

10{

L=

. Die H


, die Katheten

haben die Längen 24cm und 10cm

.

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Wie weit wurde der Balken von der Wand … Thema Schwierigkeit Geometrie Berechnungen in Rechtwinkligen Dreiecken I - Anwendungsaufgaben ** Balken an Wand Auf einer alten babylonischen